Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος"

Transcript

1 Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) νότητα: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής

2 ΚΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 3.1 Ηλεκτρική ρή Όπως είδαμε στ πρηγύμεν κεφάλαι, υπλγισμός της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μιας κατανμής φρτίυ στ χώρ μπρεί να γίνει με τν υπλγισμό ενός αθρίσματς (κατανμή σημειακών φρτίων) ή ενός λκληρώματς (συνεχή κατανμή φρτίυ). Ο υπλγισμός αυτός βασίζεται στ νόμ τυ Coulom και Kal Fiedich Gauss ( ) εκφράζεται με τ λκλήρωμα της εξ..6, πυ συχνά όμως απδεικνύεται αρκετά δύσκλη υπόθεση. Ένας εναλλακτικός τρόπς υπλγισμύ τυ πεδίυ για μια συνεχή κατανμή φρτίυ είναι νόμς τυ Gauss πυ απρρέει από τν νόμ τυ Coulom. O νόμς τυ Gauss, πίς φέρει τ όνμα τυ διάσημυ Γερμανύ φυσικύ, μαθηματικύ και αστρνόμυ Kal Fiedich Gauss ( ) πίς και τν εισήγαγε, είναι πλύ πι εύχρηστς και πρτιμάται αντί εκείνυ τυ Coulom για τν υπλγισμό τυ πεδίυ E πυ δημιυργείται από συμμετρικές κατανμές ηλεκτρικών φρτίων. Πριν όμως περιγράψυμε τ νόμ, πρέπει να ρίσυμε την φυσική πσότητα της ηλεκτρικής ρής, η πία είναι ανάλγη τυ αριθμύ των δυναμικών γραμμών πυ διαρρέυν μια υπθετική επιφάνεια ΔS. άν υπθέσυμε ότι έχυμε ένα μγενές ηλεκτρικό πεδί (σταθερή πυκνότητα δυναμικών γραμμών στ χώρ), αριθμός των γραμμών πυ διαπερνύν μια υπθετική επιφάνεια είναι ανάλγς πρς τ μέτρ τυ πεδίυ. Η ηλεκτρική ρή Φ ρίζεται τ γινόμεν τυ πεδίυ με την επιφάνεια ΔS. Σ αυτό τ σημεί πρέπει να τνίσυμε ότι αριθμός των δυναμικών γραμμών τυ πεδίυ πυ διαπερνύν την επιφάνεια εξαρτάται από τν πρσανατλισμό της επιφάνειας ως πρς τ διάνυσμα. Πράγματι για κάθετη επιφάνεια στ αριθμός των διαρρεόντων δυναμικών γραμμών από την επιφάνεια είναι

3 μέγιστς (μέγιστη ρή), ενώ για παράλληλη επιφάνεια είναι μηδενικός (μηδενική ρή). Η πι πάνω θεώρηση εκφράζεται μαθηματικά με τ εσωτερικό γινόμεν Φ.ΔS (3.1) όπυ η επιφάνεια εκφράζεται με διάνυσμα μέτρυ ΔS και κατεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια πυ δηλώνεται από τ μναδιαί διάνυσμα n, ώστε να ισχύει ΔS ΔSn (3.) Άρα τ μέτρ της ρής είναι Φ EΔS cos (3.3) E όπυ θ η γωνία μεταξύ πεδίυ και επιφάνειας (μεταξύ και n) όπως φαίνεται στ σχ ΔS n θ Σχήμα 3.1 πίπεδη επιφάνεια ΔS η πία διαρρέεται από ηλεκτρικό πεδί. Ο πρσανατλισμός μεταξύ πεδίυ και επιφάνειας ρίζεται από την γωνία θ. άν τ μέτρ της επιφάνειας τείνει να γίνει πλύ μικρό, δηλαδή να έχυμε ένα στιχειώδες εμβαδόν τότε ΔS ds, πότε η στιχειώδης ρή η πία περνά από τ ds είναι dφ ds cos (3.4) Η συνλική ρή Φ η πία διαρρέει την επιφάνεια δίνεται από την λκλήρωση της εξ. 3.4, δηλαδή Φ dφ ds cos Φ d.ds (3.5) Τ λκλήρωμα της ρής νμάζεται επιφανειακό λκλήρωμα γιατί η λκλήρωση γίνεται πάνω σε μια επιφάνεια. Παράδειγμα 3.1 Ηλεκτρική ρή Έστω ένα ρθγώνι παραλληλόγραμμ με πλευρές α=cm και =4cm μέσα σε ένα μγενές S n θ Σχήμα 3. πίπεδη επιφάνεια εμβαδύ S η πία διαρρέεται από ηλεκτρικό πεδί. Ο πρσανατλισμός μεταξύ πεδίυ κι επιφάνειας ρίζεται από την γωνία θ. α

4 3 ηλεκτρικό πεδί =310 3 N/C με κατεύθυνση πυ σχηματίζει γωνία θ=30 με την κάθετ στην επιφάνεια τυ παραλληλόγραμμυ όπως δείχνει τ σχ. 3.. α) Υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πυ διαρρέει την επιφάνεια. β) Πια είναι η ηλεκτρική ρή αν τ επίπεδ τυ παραλληλγράμμυ είναι κάθετ στ πεδί ; γ) Πια όταν είναι παράλληλ; Λύση α) Για την ηλεκτρική ρή γράφυμε o o Φ dφ ds cos E cos ds Φ ES cos 30 Ea cos 30 Φ N/C 10 m 4 10 m 0.87 Φ 0.1Nm /C β) Αν τ πεδί είναι κάθετ στ παραλληλόγραμμ η γωνία θ=0 και επμένως η ρή είναι Φ ES Φ Φ o cos N/C 10 m 4 10 m 0.4Nm /C δηλαδή είναι η μέγιστη ηλεκτρική ρή πυ μπρεί να επιτευχθεί. γ) Αν τ πεδί είναι παράλληλ με την επιφάνεια τυ παραλληλγράμμυ, τότε καμία δυναμική γραμμή δεν διαπερνά τ παραλληλόγραμμ, η γωνία θ=90 και επμένως η ρή είναι μηδενική. Φ ES Φ o cos90 0 Παράδειγμα 3. Ηλεκτρική ρή Υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πεδίυ πυ διέρχεται δια μέσυ ενός κύβυ ακμής α με διεύθυνση παράλληλη πρς κάπια ακμή τυ, όπως φαίνεται στ σχ Λύση Για να βρύμε την συνλική ρή πυ διαπερνά τν κύβ θα πρέπει να υπλγίσυμε την ρή κάθε πλευράς και να πρσθέσυμε όλες τις ρές. Έτσι ισχύει ds a () ds ds (1) ds Σχήμα 3.3 Δυναμικές γραμμές μγενύς ηλεκτρικύ πεδίυ διαπερνύν κύβ ακμής a παράλληλα πρς αυτήν(παράδειγμα 3.).

5 4 o o o Φ EdS cos 0 EdS cos180 EdS cos 90 o o o EdS cos90 EdS cos90 EdS cos90 Φ dφ dφ dφ dφ dφ dφ dφ Φ Ea Ea Φ Η ρή κάθε πλευράς την πία δεν διασχίζυν ι δυναμικές γραμμές είναι μηδέν. Μόν η ρές των πλευρών (1) και () είναι μη μηδενικές γιατί ι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις πλευρές αυτές. πειδή όμως ι ρές Φ 1 και Φ είναι αντίθετες μεταξύ τυς, η συνλική ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά τν κύβ είναι μηδέν. Αυτό εξηγείται γιατί όσες δυναμικές γραμμές εισέρχνται στν κύβ τόσες και εξέρχνται. 3. Ο νόμς τυ Gauss Έχντας ρίσει την ηλεκτρική ρή μπρύμε να πρχωρήσυμε στην διατύπωση τυ νόμυ τυ Gauss, σύμφωνα με τν πί η ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά μια πιαδήπτε κλειστή επιφάνεια είναι ανάλγη με τ συνλικό φρτί (λαμβάνντας υπ όψη και τ αλγεβρικό πρόσημ) πυ αυτή η επιφάνεια περικλείει. Στη συνέχεια θα δύμε πως μπρύμε να καταλήξυμε στη μαθηματική διατύπωση τυ νόμυ τυ Gauss ξεκινώντας από τν ρισμό τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σημειακύ φρτίυ απόρρια τυ νόμυ τυ Coulom. Έστω λιπόν θετικό σημειακό φρτί q τ πί δημιυργεί στν κενό χώρ ηλεκτρικό πεδίυ μέτρυ 1 q E 4 (3.6) άν τώρα θεωρήσυμε μια υπθετική σφαίρα με ακτίνα R στ κέντρ της πίας βρίσκεται τ φρτί, η επιφάνεια της σφαίρας περικλείει συνλικό φρτί q. Σύμφωνα με την εξ. 3.5 η ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά την σφαιρική επιφάνεια είναι 1 q 1 q 1 q q (3.7) Φ ds ds 4 R Φ 4 R 4 R 4 R Η εξ. 3.7 είναι η μαθηματική έκφραση τυ νόμυ τυ Gauss και μας δίνει την αναλγία της ηλεκτρικής ρής με τ φρτί πυ περικλείει η κλειστή επιφάνεια (επιφάνεια Gauss ή

6 5 αλλιώς γκαυσιανή επιφάνεια). Η αναλγία εκφράζεται μέσω τυ αντιστρόφυ της διηλεκτρικής σταθεράς τυ μέσυ μέσα στ πί βρίσκεται τ φρτί. Βάση της 3.7, νόμς τυ Gauss διατυπώνεται με την εξίσωση q περ E. ds (3.8) ε Πρέπει να σημειώσυμε ρισμένες παρατηρήσεις για την εξ Ο κύκλς στ σύμβλ τυ λκληρώματς δηλώνει ότι η λκλήρωση γίνεται πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια γύρω από τ φρτί. πίσης τ εσωτερικό γινόμεν στ λκλήρωμα δηλώνει ότι στην υσία λκληρώνυμε την κάθετη συνιστώσα E σε όλη την επιφάνεια, μιας και η ριζόντια συνιστώσα δίνει εσωτερικό γινόμεν μηδέν (σχ. 3.1). Η διηλεκτρική σταθερά είναι ε όταν τ φρτί είναι στ κενό. Σε διαφρετική περίπτωση θα πρέπει να γνωρίζυμε την διηλεκτρική σταθερά τυ μέσυ μέσα στ πί βρίσκεται τ φρτί. Τ πεδί έχει κατεύθυνση πρς τα «έξω» της επιφάνειας όταν τ φρτί είναι θετικό, γιατί ι δυναμικές γραμμές απμακρύννται από τ φρτί. Αν τ φρτί είναι αρνητικό, τότε πεδί και δυναμικές γραμμές κατευθύννται πρς τ φρτί, δηλαδή η E είναι σε αντίθετη κατεύθυνση από τ διάνυσμα ΔS της επιφάνειας, πότε η ρή είναι αρνητική. Πρέπει να τνισθεί ότι νόμς τυ Gauss (εξ. 3.8) ισχύει για πιαδήπτε κλειστή επιφάνεια ανεξαρτήτυ μεγέθυς και σχήματς γύρω από πιαδήπτε κατανμή φρτίυ. Μην ξεχνύμε ότι η επιφάνεια Gauss είναι συχνά μια φανταστική (μη πραγματική) επιφάνεια και η επιλγή της γίνεται σύμφωνα με την συμμετρία τυ φρτίυ πυ περικλείει. Στη συνέχεια θα δύμε πως επιλέγντας μια κατάλληλη γκαυσιανή επιφάνεια μπρύμε να υπλγίσυμε ηλεκτρικά πεδία διαφόρων συμμετρικών κατανμών φρτίυ. Τέλς πρέπει να γνωρίζυμε ότι νόμς τυ Gauss είναι μια εναλλακτική διατύπωση τυ νόμυ τυ Coulom και είναι πλήρως ισδύναμς με αυτόν. Χρησιμπιύμε τν νόμ τυ Gauss αντί αυτύ τυ Coulom όταν τ φρτί τυ σώματς παρυσιάζει συμμετρία τέτια ώστε υπλγισμός τυ να είναι απλύστερς απ ότι με την εφαρμγή τυ νόμυ τυ Coulom (βλέπε λκλήρωμα στη σχέση.6).

7 6 Παράδειγμα 3.3 Ηλεκτρικό θετικό φρτί είναι μιόμρφα κατανεμημέν σε λόκληρ τν όγκ μιας μνωτικής σφαίρας με ακτίνα R. Τ λικό φρτί της σφαίρας είναι Q. Να βρεθεί τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ α) σε σημεί >R και β) σε σημεί <R. γ) Παραστήστε γραφικά τ E=f(). Λύση α) Για απόσταση >R θεωρύμε την σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα (μεγάλς διακεκμμένς κύκλς) σφαίρα τυ σχήματς 3.4. φαρμόζντας τ νόμ τυ Gauss παίρνυμε Q Q Q E. ds EdS E ds (1) o o o Τ επιφανειακό λκλήρωμα της κλειστής σφαιρικής επιφάνειας Gauss είναι τ εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας ίσ με 4π. πμένως η εξ. 1 γίνεται Q Q 4 () E4 E o o Παρατηρύμε ότι για απστάσεις μεγαλύτερης της ακτίνας R, τ πεδί είναι αντιστρόφως ανάλγ τυ τετραγώνυ της απστάσεως και η κατεύθυνσή τυ είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια της σφαίρας Gauss με φρά πρς τ άπειρ μιας και τ φρτί της σφαίρας είναι θετικό (βλέπε σχ. 3.4). Ακλυθεί συνεπώς τις δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ πυ δημιυργεί ένα σημειακό θετικό φρτί, μιας και η συμμετρία σφαίρας και σημείυ στ χώρ είναι πανμιότυπες. β) Για απόσταση <R, δηλαδή για σημεί στ εσωτερικό της σφαίρας, θεωρύμε σφαιρική επιφάνεια Gauss (μικρός διακεκμμένς κύκλς) και εφαρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss παίρνντας q περ E. ds (3) o Σχήμα 3.4. Μνωτική σφαίρα φρτίυ Q και ακτίνας R (παράδειγμα 3.3). R

8 7 όπυ q περ είναι τ ηλεκτρικό φρτί πυ περικλείει η επιφάνεια Gauss. Γνωρίζυμε ότι τ φρτί Q κατανέμεται μιόμρφα στν όγκ της μνωτικής σφαίρας πότε η πυκνότητα φρτίυ της σφαίρας είναι Q Q 3Q 3 V 4 3 R 4 R. (4) 3 άν πλλαπλασιάσυμε την πυκνότητα φρτίυ με τν όγκ πυ περικλείει η σφαιρική επιφάνεια Gauss ακτίνας, θα βρύμε τ φρτί πυ περικλείει. Έτσι βρίσκυμε (4) 4 3 3Q 4 3 Q 3 qπερ. qπερ q 3 περ. (5) R R Η εξ. 5 στην 3 δίνει τελικά Q Q Q Q E. ds E.dS E ds ES (6) or or or or όπυ τ ηλεκτρικό πεδί σε απόσταση από τ κέντρ της σφαίρας, τ πί λόγω της σφαιρικής συμμετρίας είναι σταθερό και εξαρτάται μόν από τ και βγαίνει σαν σταθερά εκτός λκληρώματς, ενώ τ S είναι τ συνλικό εμβαδόν πυ παίρνυμε από την λκλήρωση τυ ds πάνω στην σφαιρική επιφάνεια Gauss και δίνεται από την επιφάνεια σφαίρας ως S = 4π (7) Η εξ. 7 στην 6 δίνει τελικά Q Q E.4 E or 4 or (8) Τ πεδί είναι κάθετ σε πιδήπτε σημεί της επιφάνειας Gauss με ακτινική κατεύθυνση πρς τ άπειρ (βλέπε σχ. 3.4) διότι τ φρτί είναι θετικό. γ) Η γραφική παράσταση τυ συναρτήσει της απόστασης E Q/4πε o R R Σχήμα 3.5 Μεταβλή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μνωτικής σφαίρας ακτίνας R και φρτίυ Q ως συνάρτηση της απόστασης από τ κέντρ της (παράδειγμα 3.3)

9 8 φαίνεται στ σχ Ηλεκτρικό πεδί σε αγωγό =0 Σχήμα 3.6 σωτερικό αγωγύ σε ηλεκτρστατική ισρρπία όπυ τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν ενώ όλα τα φρτία κατανέμνται στην επιφάνειά τυ. Η συσσώρευση φρτίυ είναι μεγαλύτερη στις περιχές με μικρότερη καμπυλότητα (ακίδες ή αιχμές). Όταν ένας φρτισμένς αγωγός είναι σε ηλεκτρστατική ισρρπία, δηλαδή δεν συμβαίνει κίνηση ηλεκτρικών φρτίων (ελευθέρων ηλεκτρνίων ή πών) στν αγωγό, τότε συμβαίνυν τα εξής: α) Τ ηλεκτρικό πεδί στ εσωτερικό τυ αγωγύ είναι μηδέν, =0. Αυτό είναι ένα λγικό συμπέρασμα γιατί εάν δεν ήταν μηδέν τότε τα φρτία στ εσωτερικό τυ αγωγύ, λόγω των ηλεκτρικών δυνάμεων θα κινύνταν και δεν θα υπήρχε ηλεκτρστατική ισρρπία. β) Τ φρτί τυ αγωγύ είναι συγκεντρωμέν στην επιφάνειά τυ. Αυτό είναι πρφανές γιατί κατά την φόρτιση τυ αγωγύ τα φρτία απωθύνται μεταξύ τυς και εφόσν μπρύν να κινύνται διαμέσυ τυ αγωγύ, απμακρύννται όσ είναι δυνατόν τ ένα από τ άλλ, καταλαμβάνντας τις πι απμακρυσμένες θέσεις μεταξύ τυς πυ είναι στις επιφάνειες τυ αγωγύ. Η κίνηση αυτή διαρκεί ώσπυ να επέλθεί ηλεκτρστατική ισρρπία στν αγωγό και τα φρτία να καταλάβυν τις τελικές τυς θέσεις. Σε διαφρετική περίπτωση εάν τα φρτία παρέμεναν ακίνητα στ εσωτερικό τυ αγωγύ θα υπήρχαν σημεία στ εσωτερικό τυ στα πία τ ηλεκτρικό πεδί θα ήταν μη μηδενικό γεγνός μη εφικτό σύμφωνα με τ α) Όταν εννύμε φρτί τυ αγωγύ εννύμε τα φρτία εκτός των θετικών των πυρήνων και των αρνητικών των ηλεκτρνίων (ελευθέρων και μη) πυ έχει στην υδέτερη κατάσταση. γ) Τ πεδί λίγ «έξω» από τν αγωγό είναι κάθετ στην επιφάνεια τυ αγωγύ με μέτρ, =σ/ε, όπυ σ η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ. Και αυτή η συνθήκη είναι εύλγη γιατί εάν τ δεν ήταν κάθετ στην επιφάνεια τυ αγωγύ θα υπήρχε μια ριζόντια συνιστώσα τυ πεδίυ με συνέπεια στα επιφανειακά φρτία να ασκείται δύναμη και επμένως αυτά να κινύνταν και να μην υπάρχει ηλεκτρστατική

10 9 ισρρπία. δ) Τ φρτί τείνει να συσσωρευτεί σε σημεία όπυ η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας είναι μικρότερη (ακίδες ή αιχμές). Τ ότι τ φρτί «πρτιμά» τις αιχμές είναι έκδηλ και από τ γεγνός ότι ι κεραυνί έχυν την τάση να πέφτυν σε κρυφές δένδρων ή σε τεχνητές διατάξεις πυ νμάζνται αλεξικέραυνα. Μέσω αυτών, τ τεράστι ηλεκτρικό φρτί πυ μεταφέρυν διχετεύεται στη Γη πυ όπως έχυμε αναφέρει είναι μια τεράστια δεξαμενή ηλεκτρικύ φρτίυ. Γι αυτό τ λόγω είναι γνωστό ότι κάπις ρειβάτης ή περιπατητής στην εξχή θα πρέπει να απφεύγει τα ψηλά δένδρα γιατί «πρσελκύυν» κεραυνύς. Αντίθετα με τυς αγωγύς ι μνωτές μπρεί να έχυν πεδί διάφρ τυ μηδενός στ εσωτερικό τυς. Παράδειγμα 3.4 Αγώγιμς μνωμένς συμπαγής κύλινδρς ακτίνας α και μεγάλυ μήκυς l είναι μιόμρφα φρτισμένς με θετικό φρτί Q. Ο κύλινδρς περιβάλλεται από μαξνικό επίσης αγώγιμ και μνωμέν κυλινδρικό σωλήνα με συνλικό φρτί Q και εσωτερική και εξωτερική ακτίνα και c αντίστιχα, όπως φαίνεται στ σχήμα. Υπλγίστε α) την ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ για <a, a<<, <<c και >c όπυ η απόσταση από τν άξνα συμμετρίας τυ κυλινδρικύ συστήματς, β) την επιφανειακή πυκνότητα κάθε φρτισμένης κυλινδρικής επιφάνειας. Λύση α) πειδή έχυμε φρτισμέν σώμα κυλινδρικής συμμετρίας μπρύμε να εφαρμόσυμε τ νόμ τυ Gauss θεωρώντας γκαυσιανή κλειστή επιφάνεια μήκυς l. Για <a,θεωρύμε γκαυσιανή επιφάνεια με <a και γράφυμε q περ. ds (1) Πρέπει να υπλγίσυμε τ φρτί πυ περικλείει η επιφάνεια Gauss. πειδή κύλινδρς είναι αγωγός Q l -Q Σχήμα 3.5 Φρτισμένς με -Q αγώγιμς κυλινδρικός σωλήνας μήκυς l περιβάλει φρτισμέν με Q αγώγιμ κύλινδρ (παράδειγμα 3.4). a c

11 10 δεν υπάρχυν φρτία στ εσωτερικό τυ. πμένως τ περικλείν φρτί της επιφάνειας Gauss είναι μηδέν, άρα ισχύει E.dS 0 EdS 0 E 0. () Δηλαδή =0 για <a. Για α<<,θεωρύμε γκαυσιανή κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα και γράφυμε q Q Q Q Q l περ E.dS E. ds E ds E l E (3) φαρμόσαμε δηλαδή τ νόμ τυ Gauss με περικλείν φρτί Q τ φρτί τυ εσωτερικύ κυλίνδρυ. Η κατεύθυνση τυ είναι κάθετη στην παράπλευρη επιφάνεια τυ συμπαγύς κυλίνδρυ και ακτινικά πρς τα «έξω». Γι αυτό τ λόγ ι επιφάνειες των δυ βάσεων της κυλινδρικής επιφάνειας Gauss δεν συνεισφέρυν στ λκλήρωμα της εξ. 3. Για <<c, βρισκόμαστε στ εσωτερικό αγωγύ όπυ δεν υπάρχυν φρτία και επμένως τ πεδί E=0. Για >c, θεωρύμε γκαυσιανή κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα και γράφυμε q Q Q Q Q l περ E.dS E. ds E ds E l E (4) όπυ ως περικλείν φρτί θεωρήσαμε τ συνλικό φρτί των δυ κυλίνδρων. Θεωρήσαμε ότι λόγω τυ μεγάλυ μήκυς των κυλίνδρων τ φρτί κατανέμεται όλ στην παράπλευρη επιφάνειά τυς και όχι στις βάσεις τυς. πμένως η ρή μέσω των δυ βάσεων τυ εσωτερικύ κυλίνδρυ θεωρείται μηδενική. Αυτό βέβαια είναι μια πρσέγγιση λόγω τυ μεγάλυ μήκυς l τυ κυλίνδρυ. Παρατηρύμε ότι τ αρνητικό πρόσημ τυ πεδίυ σημαίνει ότι σε αυτήν την περιχή τυ χώρυ ι δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ καταλήγυν κάθετα στην παράπλευρη επιφάνεια τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ δηλαδή τ κατευθύνεται ακτινικά πρς τα «μέσα». β) Για να υπλγίσυμε την επιφανειακή πυκνότητα κάθε φρτισμένης επιφάνειας θα πρέπει να διαιρέσυμε τ φρτί της με τ εμβαδόν της. Αρχικά για τν εσωτερικό κύλινδρ ακτίνας a όλ τ φρτί είναι μιόμρφα κατανεμημέν στην επιφάνεια μιας και ως αγωγός δεν μπρεί να έχει φρτία στ εσωτερικό τυ. Έτσι θεωρώντας αμελητέ τ

12 11 φρτί πυ συσσωρεύεται στις κυκλικές επιφάνειες (βάσεις τυ κυλίνδρυ) μιας και τ Q μήκς θεωρείται πλύ μεγαλύτερ από την ακτίνα τυ κυλίνδρυ έχυμε α l. Με ανάλγ τρόπ δυλεύυμε για τις επιφανειακές πυκνότητες των επιφανειών τυ εξωτερικύ κυλινδρικύ σωλήνα. Καταρχήν θα πρέπει να υπλγίσυμε πόσ φρτί έχει η κάθε μια επιφάνεια (εσωτερική και εξωτερική). Όλς εξωτερικός κύλινδρς έχει -Q φρτί. Ας δύμε πως αυτό κατανέμεται στις δυ επιφάνειές τυ μιας και στ εσωτερικό τυ δεν μπρεί να υπάρχυν φρτία επειδή είναι αγωγός. Ας εξετάσυμε αρχικά τι συμβαίνει στην εσωτερική επιφάνεια ακτίνας. Έστω ότι υπάρχει φρτί q εκεί. Ας εφαρμόσυμε τν νόμ τυ Gauss για μια κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα <<c. Τότε γράφυμε q Q q περ E.dS E. ds (7) Από τ α) ερώτημα όμως έχυμε καταλήξει ότι τ πεδί στ εσωτερικό τυ σωλήνα είναι μηδέν γιατί πρόκειται για αγωγό. Άρα η εξ. 7 δίνει Q q 0 Q q 0 q Q (8) πμένως στην εσωτερική επιφάνεια τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ είναι κατανεμημέν μιόμρφα φρτί επιφανειακή πυκνότητά τυ είναι Q, και επμένως η Q. l Η εξωτερική επιφάνεια τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ έχει φρτί επίσης Q (ώστε τ συνλικό φρτί τυ σωλήνα να είναι -Q). Έτσι η επιφανειακή τυ πυκνότητα είναι Παράδειγμα 3.5 Q. lc Μια πλύ λεπτή μεταλλική πλάκα πυ έχει σχήμα τετραγώνυ πλευράς α=50cm βρίσκεται E E Σχήμα 3.6. Ηλεκτρικό πεδί από μιγενώς φρτισμένη θετικά λεπτή μεταλλική τετραγωνική πλάκα. Με διακεκμμένη γραμμή διακρίνεται η επιλεγμένη γκαυσιανή επιφάνεια (παράδειγμα 3.5).

13 1 στ επίπεδ xy. άν στην πλάκα τπθετηθεί λικό φρτί Q=410-8 C, βρείτε α) την πυκνότητα ηλεκτρικύ στην πλάκα, β) τ ηλεκτρικό πεδί ακριβώς πάνω από την πλάκα και κάτω από την πλάκα.. Λύση α) πειδή η τετραγωνική πλάκα είναι πλύ λεπτή έχει εμβαδόν S a. Η πυκνότητα φρτίυ της πλάκας ρίζεται ως επιφανειακή πυκνότητα σ γιατί θεωρύμε ότι η πλάκα έχει μόν δυ διαστάσεις. Έτσι έχυμε Q a (0.5m) 0.5m m C 410 C 8 C 8 10 β) Για να βρύμε τ ηλεκτρικό πεδί πλύ κντά στην πλάκα θα χρησιμπιήσυμε τ νόμ τυ Gauss, περικλείντας την πλάκα με μια κατάλληλη γκαυσιανή επιφάνεια, η πία είναι ένα ρθγώνι παραλληλεπίπεδ, όπως φαίνεται στ σχ Τ ύψς τυ παραλληλεπιπέδυ μπρύμε να τ πάρυμε όσ μικρό θέλυμε ώστε να πρσεγγίσυμε τις επιφάνειες της πλάκας. Έτσι μπρύμε να γράψυμε q Q Q Q Q a E.dS ή αλλιώς περ E. ds E ds Ea E 8 E E 810 C/m C /Nm E N/C Αυτό είναι τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πλύ κντά στην πλάκα ανεξαρτήτως από την πλευρά (πάνω ή κάτω). Τ διάνυσμα δείχνει πρς τα επάνω για την πάνω πλευρά και κάτω για την κάτω πλευρά (βλέπε σχ. 3.6). Παράδειγμα 3.6 Μια αγώγιμη σφαίρα με θετικό φρτί Q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα αυτή βρίσκεται στ εσωτερικό μιας κίλης μόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική c. Η κίλη σφαίρα φέρει συνλικό φρτί -3Q. α) Βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί συναρτήσει της απόστασης από τ κέντρ για τις περιχές <a, a<<, <<c και >c. β) Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σαν συνάρτηση τυ από =0 έως =c. γ) Πι είναι τ φρτί στην εσωτερική επιφάνεια της κίλης

14 13 σφαίρας και πι στην εξωτερική επιφάνεια; δ) Σχεδιάστε τις δυναμικές ηλεκτρικές γραμμές τυ συστήματς μέσα σε σφαιρικό όγκ ακτίνας c. Λύση α) Καταρχήν τα φρτισμένα σώματα παρυσιάζυν σφαιρική συμμετρία και επειδή είναι αγώγιμα τα φρτία θα κατανέμνται μιόμρφα πάνω στις επιφάνειές τυς. Για να υπλγίσυμε τ φρτί σε κάθε περίπτωση θεωρύμε σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα συμμετρίας των σφαιρών. από τ κέντρ Για απόσταση <a, βρισκόμαστε σε εσωτερικό αγωγύ και επμένως =0, διότι όλ τ φρτί Q της εσωτερικής σφαίρας είναι κατανεμημέν στην επιφάνειά της. Για απόσταση a<<, ρίζω σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα και από τν νόμ τυ Gauss γράφυμε q Q E.dS περ E. ds E ds E4 E Τ πεδί έχει ακτινική διεύθυνση πρς τα «έξω» (πρς τ άπειρ) μιας και τ φρτί της σφαίρας είναι θετικό. Για απόσταση <<c, βρισκόμαστε στ εσωτερικό της εξωτερικής σφαίρας, η πία ως αγωγός έχει μηδενικό ηλεκτρικό πεδί σ αυτήν την περιχή. Έτσι =0. Για απόσταση >c, εφαρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss για γκαυσιανή επιφάνεια πυ περικλείει και τις δυ σφαίρες έτσι q 3 Q Q Q 4 E.dS περ E. ds E ds E4 E Τ μείν δηλώνει ότι η κατεύθυνση τυ πεδίυ E είναι ακτινικά πρς τα «μέσα» (έρχνται από τ άπειρ και καταλήγυν στ κέντρ συμμετρίας τυ συστήματς, =0). β) Η γραφική παράσταση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ως συνάρτηση τυ από =0 έως =c, φαίνεται στ σχ Q a Q Σχήμα 3.7 Αγώγιμη σφαίρα με θετικό φρτί Q και ακτίνα α, στ εσωτερικό μιας κίλης μόκεντρης αγώγιμης φρτισμένης με -Q σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική c (παράδειγμα 3.6). c

15 14 E Q/πε o a Q/πε o Σχήμα 3.8 Μεταβλή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ τυ συστήματς των δυ φρτισμένων σφαιρών ως συνάρτηση της απόστασης από τ κέντρ συμμετρίας (παράδειγμα 3.6) α c c -Q/πε o c γ) Τ συνλικό φρτί της εξωτερικής σφαίρας είναι -3Q, τ πί κατανέμεται στις δυ επιφάνειές της, την εσωτερική ακτίνας και την εξωτερική ακτίνας c. Η εσωτερική επιφάνεια φρτίζεται επαγωγικά με φρτί -Q λόγω τυ θετικύ φρτίυ της εσωτερικής σφαίρας πυ έχει φρτί Q στην επιφάνειά της. Ένας άλλς τρόπς για να καθρίσυμε τ φρτί της σφαίρας με ακτίνα είναι εφαρμόζντας τν νόμ τυ Gauss για γκαυσιανή σφαιρική επιφάνεια με Σχήμα 3.9 Οι δυναμικές γραμμές στν σφαιρικό όγκ με ακτίνα c τυ συστήματς των δυ μόκεντρων σφαιρών τυ παραδείγματς 3.6. ακτίνα <<c. Τ υπλγιζόμεν πεδί σ αυτήν την περιχή τυ χώρυ είναι μηδέν (βλέπε ερώτημα α). Αυτό συμβαίνει μόν όταν τ περικλείν συνλικό φρτί της επιφάνειας Gauss είναι μηδέν. Δεδμένυ ότι η εσωτερική σφαίρα έχει φρτί Q, η σφαίρα ακτίνας πρέπει να έχει φρτί -Q. φόσν η εσωτερική επιφάνεια της -Q -Q Q

16 15 εξωτερικής σφαίρας έχει φρτί -Q η εξωτερική επιφάνεια ακτίνας c απμένει να έχει τ υπόλιπ Q. δ) Στ σχ. 3.9 φαίννται ι δυναμικές γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ σχηματίζυν ι δυ μόκεντρες φρτισμένες σφαίρες με φρτία Q και -3Q αντίστιχα. Πρσέξτε ότι ι δυναμικές γραμμές ξεκινύν πάντα από τα θετικά φρτία και καταλήγυν στα αρνητικά. Στ εσωτερικό χώρ των σφαιρών (σκιασμένες περιχές) δεν υπάρχυν δυναμικές γραμμές μιας και τ πεδί είναι μηδενικό λόγω τυ ότι είναι εσωτερικός χώρς αγωγών. Σ αυτές τις περιχές ι δυναμικές γραμμές διακόπτνται απότμα. Παράδειγμα 3.7 Μια μνωτική συμπαγής σφαίρα ακτίνας R έχει μεταβλητή πυκνότητα φρτίυ πυ μεταβάλλεται με την απόσταση από τ κέντρ της σφαίρας με την σχέση ρ=a, όπυ Α είναι σταθερά. Βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ. Λύση α) Για >R, θεωρώ γκαυσιανή σφαιρική επιφάνεια πυ περιβάλλει όλη την μνωτική σφαίρα και εφαρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss. Έτσι γράφυμε Q Q Q Q Q περ E.dS E. ds E ds E4 E (1) 4 όπυ Q είναι τ συνλικό φρτί της σφαίρας, τ πί και πρέπει να υπλγίσυμε. Θεωρώντας την σφαίρα σαν ένα άθρισμα άπειρων πλύ λεπτών στιχειωδών σφαιρικών φλιών με πάχς d (βλέπε σχ.3.10), μπρύμε αρχικά να υπλγίσυμε τ φρτί dq έχει κάθε τέτις φλιός, ως dq dv () όπυ dv είναι όγκς τυ στιχειώδυς φλιύ, ίσς με d Σχήμα Μνωτική σφαίρα ακτίνας R και μεταβλητής πυκνότητας φρτίυ (παράδειγμα 3.7). Η σφαίρα θεωρείται άθρισμα άπειρων λεπτών σφαιρικών φλιών πάχυς d. R

17 16 dv Η εξ. 3 στην δίνει dq 4 d (3). 4 d (4) Ολκληρώνντας την εξ. 4 από 0 έως R, μπρύμε να υπλγίσυμε τ συνλικό φρτί Q της σφαίρας. Έτσι ισχύει R R R R 5 R R (5) dq d A d A d A d A Q A φόσν υπλγίσαμε τ Q, μπρύμε να τ αντικαταστήσυμε στην εξ. 1, πότε παίρνυμε A( R / 5) AR E E AR Άρα για >R, τ ηλεκτρικό πεδί είναι E 5, ˆ με ακτινική διεύθυνση πρς τ άπειρ μιας και η σφαίρα είναι θετικά φρτισμένη. β) Για <R, τ ηλεκτρικό πεδί υπλγίζεται ξανά με τν νόμ τυ Gauss, θεωρώντας όμως γκαυσιανή σφαιρική επιφάνεια με ακτίνα πυ περικλείει φρτί q μικρότερ από τ Q, μιας και τώρα θεωρύμε ένα μόν μέρς της μνωτικής σφαίρας. πμένως η εξ. 1 μπρεί να γραφτεί q E (6) 4 Τ περικλείν φρτί q υπλγίζεται όπως τ Q με μόνη διαφρά τα όρια της λκλήρωσης πυ είναι από 0 έως. Έτσι γράφυμε (7) dq d A d A d A d A q A Αντικατάσταση της εξ. 7 στην 6 δίνει 4 A( / 5) A E E Ξανά η κατεύθυνση είναι ακτινική πρς τ άπειρ. Έτσι συγκεντρωτικά μπρύμε να πύμε για τ πεδί πυ δημιυργεί η σφαίρα.

18 17 5 AR E 5, ˆ για >R και E 3 A ˆ, για <R. 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Η λική ηλεκτρική ρή πυ διαρρέει μια κλειστή κυλινδρική επιφάνεια είναι Nm /C. α) Πι είναι τ συνλικό φρτί μέσα στν κύλινδρ; β) Πι είναι τ φρτί αν η ηλεκτρική ρή είναι Nm /C; Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Απάντηση: α) 761nC και β) -663nC. (Νέμβρις 008, πτυχιακή).. Ένα σημειακό φρτί 3.00nC βρίσκεται στ κέντρ ενός κύβυ. Πια είναι η ηλεκτρική ρή πυ διαπερνά κάθε μια από τις έξι πλευρές τυ κύβυ. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Απάντηση: 56.6Nm /C. 3. Ένας μνωτής κυλινδρικύ σχήματς, ακτίνας R και μεγάλυ μήκυς l είναι μιόμρφα φρτισμένς με φρτί Q. α) Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε απόσταση από τν άξνα συμμετρίας τυ στις περιπτώσεις, <R, =R και >R. β) Σχεδιάστε γραφικά τ =f(). (Νέμβρις 007, πτυχιακή). 4. Αγώγιμς μνωμένς σφαιρικός φλιός με εσωτερική ακτίνα a και εξωτερική έχει σημειακό θετικό φρτί Q τπθετημέν στ κέντρ τυ. Τ λικό φρτί πάνω στν φλιό είναι -3Q. α) Βρείτε εκφράσεις για τ ηλεκτρικό πεδί -3Q Q α συναρτήσει της απόστασης από τ κέντρ για τις περιχές, <a, a<< και >. β) Πια είναι η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ σ στην εσωτερική και πια στην εξωτερική

19 18 επιφάνεια τυ αγώγιμυ φλιύ; γ) Απδώστε γραφικά την εξάρτηση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ συναρτήσει τυ. (Ιύλις 007). 5. Μια μεταλλική ράβδς μεγάλυ μήκυς και κυλινδρικής μρφής έχει διατμή ακτίνας 5 cm και φέρει φρτί ανά μνάδα μήκυς ίσ με λ=30nc/m. Βρείτε με την βήθεια τυ νόμυ τυ Gauss τ μέτρ και την κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στις ακόλυθες απστάσεις από τν άξνα της ράβδυ: α) 3cm, β) 10cm, γ) 1m. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /m N. Απάντηση: α) 0, β) Ν/m και γ) 541Ν/m. (Σεπτέμβρις 010). 6. Δύ μόκεντρι φρτισμένι λεπτί σφαιρικί φλιί έχυν ακτίνες 1 =10cm και =15cm. Τ φρτί στν εσωτερικό φλιό είναι q 1 =40nC και στν εξωτερικό q =19.3nC. Βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί στη θέση α) =1.0cm, β) =.0cm και γ) =8.0cm από τ κέντρ των φλιών. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /N m. Απάντηση: α) Ν/m, β) Ν/m και γ) 0. (Νέμβρις 010, πτυχιακή). 7. Ομόκεντρι λεπτί κυλινδρικί σωλήνες. Τ σχήμα δείχνει την τμή δυ μόκεντρων μακριών λεπτών κυλινδρικών σωλήνων με ακτίνες a και. Οι σωλήνες είναι μιόμρφα φρτισμένι με ίσα και αντίθετα φρτία πυ a κατανέμνται στην επιφάνειά τυς. Η επιφανειακή πυκνότητα φρτίυ τυ σωλήνα με ακτίνα a είναι σ. Δείξτε ότι α) τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν για > και <a και β) τ πεδί ανάμεσα στυς κυλίνδρυς είναι a E. (Σεπτέμβρις 007, πτυχιακή). o 8. Μια μνωτική σφαίρα ακτίνας R είναι ανμιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμένη. Η πυκνότητα φρτίυ ρ δίνεται ως ρ=ρ (1-/R) για απόσταση <R, και ρ=0 για >R. Ισχύει ότι ρ =3Q/πR 3. Απδείξτε ότι τ συνλικό φρτί της σφαίρας είναι Q. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι τ στιχειώδες φρτί dq της σφαίρας είναι dq=ρdv, όπυ dv=4π d.

20 19 9. Ένας πλύ μακρύς αγώγιμς σωλήνας έχει εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική. Ο σωλήνας φέρει συνλικό φρτί Q μιόμρφα κατανεμημέν πάνω τυ. Ένα γραμμικό φρτί Q είναι πάνω στν άξνα τυ σωλήνα όπως δείχνει τ σχήμα. α) Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε απόσταση από τν άξνα τυ σωλήνα για 1) <a, ) a < < και 3) >. β) Πι είναι τ φρτί στην εξωτερική και πι στην εσωτερική επιφάνεια τυ σωλήνα; -Q Q a 10. Μια κίλη μνωτική σφαίρα έχει σταθερή πυκνότητα φρτίυ ρ. Η εσωτερική και εξωτερική ακτίνα της είναι α και, αντίστιχα. Χρησιμπιήστε τ νόμ τυ Gauss για να βρείτε τ ηλεκτρικό πεδί στις περιχές α) <a, β) a<< και γ) >. Δίννται τ εμβαδόν και όγκς της σφαίρας, 4π και (4/3)π 3 αντίστιχα. α

21 Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμι Ιωαννίνων Τέλς νότητας

22 Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιωαννίνων» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφωση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ πιχειρησιακύ Πργράμματς «κπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την υρωπαϊκή Ένωση (υρωπαϊκό Κινωνικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς. Σημειώματα Σημείωμα Αναφράς Copyight Πανεπιστήμι Ιωαννίνων, Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός). ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS». Έκδση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Ceative Commons Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι4 1 Δημήτρις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Για ευθύγραμμ αγωγό μήκυς l σε μγενές μαγνητικό πεδί πυ σχηματίζει γωνία φ με αυτόν: dl d Ι l φ φ sin ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 1 Δημήτρις Βλάχς Κεφάλαι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 9 1

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Κεφάλαι 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι, ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη φρτία. ενώ μελετάται τ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.

ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών. Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Guss 22.36.Μία αγώγιμη σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα βρίσκεται στο εσωτερικό μίας κοίλης ομόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι, Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών:

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών: τμικάενεργειακάδιαγράμματα: Χωρικές διαστάσεις ενεργειακές απστάσεις χρνική κλίμακα Καταστάσεις ydg Θεώρημα μεταβλών: Εφαρμγή σε πρόβλημα της ατμικής Πρσέγγιση on- Opnhm: Εφαρμγή στ Η Θεωρία μριακών τρχιακών:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Κεφάλαιο 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Κεφάλι 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Σύνψη Στ τρίτ τύτ κεφάλι ρίζετι η πσότητ της ηλεκτρικής ρής κι περιγράφετι νόμς τυ Gauss, με τν πί υπλγίζυμε την έντση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στ χώρ διφόρων μη σημεικών, λλά συμμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 7/15/2014 Ο νόμος του Gauss Νόμος Gauss Ο νόμος

Διαβάστε περισσότερα

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο). 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss Περιεχόµενα Κεφαλαίου 22 Ηλεκτρική Ροή Ο Νόµος του Gauss Εφαρµογές του Νόµου του Gauss Πειραµατικές επιβεβαιώσεις για τους Νόµους των Gauss και Coulomb 22-1 Ηλεκτρική Ροή Ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2001 Β' Λυκείου

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2001 Β' Λυκείου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Μια αγώγιµη µεταλλική σφαίρα ακτίνας α περιβάλλεται από παχύ αγώγιµ κέλυφς εσωτερικής ακτίνας β > α και εξωτερικής ακτίνας γ. Τ σύστηµα βρίσκεται στ κενό

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001 Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Β Λυκείυ 9 Απριλίυ Μια αγώγιμη μεταλλική σφαίρα ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς. ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: // ΘΕΜΑ ( μνάδες) T κύκλωμα τυ παρακάτω σχήματς λαμβάνει ως εισόδυς τις εξόδυς των αισθητήρων Α και Β. Η έξδς τυ αισθητήρα Α είναι ημιτνικό

Διαβάστε περισσότερα

απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα

απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Σύνψη Στ δεύτερ τύτ κεφάλαι, ρίζεται τ ηλεκτρικό πεδί ως ιδιότητα τυ χώρυ γύρω από τ ηλεκτρικό φρτί. Γίνεται περιγραφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ με την έννια των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 7-8 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ν. Τράκας Ι. Ράπτης /4/8 Παράδοση των 3 4 5 μέχρι /4/8 [Σε χειρόγραφη μορφή στο μάθημα ή σε μορφή ενιαίου αρχείου PDF στις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //7 ΘΕΜΑ ( μνάδες) Οι τιμές των αντιστάσεων και τυ κυκλώματς τυ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ.

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ. Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου Οµοιόµορφη Μικρή Περιοχή Χωρική ρ Q V ρ= dq dv Επιφανειακή σ Q A σ = dq da Γραµµική λ Q l λ= dq dl Γ. Βούλγαρης 1 Παράσταση της έντασης Ηλεκτρικού Πεδίου. Η Εφαπτόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Το ηλεκτρικό ρεύμα. και. πηγές του. Μια διαδρομή σε μονοπάτια. Φυσικής Χημείας. Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης

Το ηλεκτρικό ρεύμα. και. πηγές του. Μια διαδρομή σε μονοπάτια. Φυσικής Χημείας. Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του. Μια διαδρομή σε μονοπάτια Φυσικής Χημείας. και Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης Η εργασία αυτή αφιερώνεται στους νέους συναδέλφους Φυσικούς και Χημικούς, αφού περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3.

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3. ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 8-9 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αγωγοί Διηλεκτρικά Ν. Τράκας Ι. Ράπτης Ζωγράφου 7.3.9 Να επιστραφούν λυμένες μέχρι.4.9 οι ασκήσεις 3 4 5 [ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Τ δκίμι απτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. ) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

Κεφάλαιο 9 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Κεφάλαι 9 ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σύνψη Στ ένατ τύτ κεφάλαι γίνεται η περιγραφή και υπλγισμός τυ μαγνητικύ πεδίυ, τ πί δημιυργείται από ηλεκτρικό ρεύμα, αρχικά με τ νόμ των it και Savat και μετέπειτα

Διαβάστε περισσότερα

Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.

Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης. Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου. Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας πρτείνυν για άλλη μια χρνιά, ένα λκληρωμέν επαναληπτικό υλικό στη Φυσική Θετικής-Τεχνλγικής

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, 6 Ιυνίυ 00 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις - να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα πυ αντιστιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t). Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α Ηλεκτρική ροή Hλεκτρική ροή: φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) που δηλώνει τον αριθμό των δυναμικών γραμών ενός ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν μία επιφάνεια. Εμβαδόν=Α Για παράδειγμα, η ηλεκτρική ροή για την

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ. α β γ ΜΑΘΗΜΑ 10. Κεφάλαιο 2o : Τριγωνοµετρία. Υποενότητα 2.4: Νόµος των Ηµιτόνων Νόµος των Συνηµιτόνων. Θεµατικές Ενότητες:

Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ. α β γ ΜΑΘΗΜΑ 10. Κεφάλαιο 2o : Τριγωνοµετρία. Υποενότητα 2.4: Νόµος των Ηµιτόνων Νόµος των Συνηµιτόνων. Θεµατικές Ενότητες: ΜΑΘΗΜΑ 10 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.4: Νόµς των Ηµιτόνων Νόµς των Συνηµιτόνων Θεµατικές Ενότητες: 1. Νόµς Ηµιτόνων.. Νόµς Συνηµιτόνων. Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τ σηµαντικότερ πρόβληµα στη τριγωνµετρία

Διαβάστε περισσότερα

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του. 1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων

Ηλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Ηλεκτρική ροή Θα εξετάσουμε πρώτα την ένοια της ροής (π.χ. σωματιδίων) από μια S ταχύτητα σωματιδίων υ πιφάνεια S κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Η ένταση J της ακτινοβολίας σωματιδίων ΔΝ ανά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Πρτεινόμενες Λύσεις Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χρίς τριβές

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για διαφορετικές τιµές των Παραµέτρων του Κλασσικού Γραµµικού Υποδείγµατος.

Ελαχιστοποίηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για διαφορετικές τιµές των Παραµέτρων του Κλασσικού Γραµµικού Υποδείγµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΚΛΑΣΣΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. Στατιστικί Έλεγχι Αναλύσεις. Πρλέψεις. Ελαχιστπίηση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (Απαντσεις) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτσεις

Διαβάστε περισσότερα

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

To θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή.

To θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή. Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου, Ηλεκτρικό Δυναμικό 23.21.Δύο σημειακά φορτία q 1 =+2,4 nc q 2 =-6,5 nc βρίσκονται σε απόσταση 0,1 m το ένα από το άλλο. Το σημείο Α βρίσκεται στο μέσον της απόστασής τους και το

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Hλεκτρικό Πεδίο Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Προτεινόμενη βιβλιογραφία: SRWAY, Physics fo scientists nd enginees YOUNG H.D., Univesity

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α. 1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 6/03/04 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα τ γράμμα π

Διαβάστε περισσότερα