Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009

2 2

3 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών Λήψη αποφασεων Κατανάλωση-ισορροπία Μετρικοί χώροι Βασικές έννοιες Η επαγόµενη τοπολογία Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Συµπάγεια Συνέχεια συναρτήσεων Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους εσµευµένα ακρότατα ιαχωριστικά Θεωρήµατα Hahn-Banach Επέκταση γραµµικών συναρτησιακών Το συναρτησιακό Minkowski ιαχωρισµός κυρτών συνόλων Θεωρήµατα διαχωρισµού σε χώρους µε norm ιατεταγµένοι χώροι Κώνοι και διάταξη Βασικές έννοιες Γραµµικοί σύνδεσµοι (linear lattices) υϊκότητα και διάταξη ιατεταγµένοι υπόχωροι

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ο διατακτικός δυϊκός Βάσεις κώνων Πλειότιµες απεικονίσεις Ορισµοί Συνέχεια Ακολουθιακή συνέχεια Θεώρηµατα Μεγίστου Συνεχείς Επιλογές Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων Θεωρήµατα σταθερού σηµείου Απεικονίσεις συστολής ιµελείς σχέσεις - Θεωρία αποφάσεων ιµελείς Σχέσεις Σχέσεις Προτίµησης Κυρτές Σχέσεις Προτίµησης Συναρτήσεις Χρησιµότητας Συνέχεια σχέσεων προτίµησης Βελτιστοποίηση σχέσεων προτίµησης Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης Ασκήσεις Θεωρία Ζήτησης Σύνολο Προϋπολογισµού Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας Αντιστοιχία ήτησης Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής Οικονοµία Ανταλλαγής Η συνάρτηση υπερβάλλουσας ήτησης Η Εννοια της Κατανοµής Ο Πυρήνας της Οικονοµίας Κατανοµή ισορροπίας Ασκήσεις

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 9 Γραµµική ϐελτιστοποίηση Γραµµική ϐελτιστοποίηση στον R m Η αποτελεσµατική απεικόνιση Οικονοµίες Παραγωγής Σύνολο Παραγωγής Ιδιότητες του Συνόλου Παραγωγής Το Πρόβληµα της Βελτιστοποίησης Συνάρτηση Εφοδιασµού Οικονοµία παραγωγής Συνάρτηση Εισοδήµατος- Σύνολο προϋπολογισµού Συνάρτηση Υπερβάλλουσας Ζήτησης Ισορροπία σε Οικονοµίες Ανταλλαγής Η απόδειξη ισορροπίας των Arrow-Debreu Η απόδειξη ισορροπίας του Mas-Colell Θεωρία Παιγνίων Εισαγωγή Παίγνια δυο παικτών Παίγνια n παικτών Παίγνια καθαρής στρατηγικής Παίγνια µεικτής στρατηγικής Στοιχεία γραµµικού προγραµµατισµού Ανταγωνιστικά παίγνια Το ϑεώρηµα ελαχίστου-µεγίστου Ο αλγόριθµος Ελαχίστου - Μεγίστου Ουσιώδεις στρατηγικές Ισορροπία κατά Nash Βιβλιογραφία 245

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Σκοπός του εισαγωγικού αυτού κεφαλαίου είναι να δείξει το τρόπο που οι οιονοµικές έννοιες που ϑα µελετήσουµε συνδέονται µε τα Μαθηµατικά και ειδικότερα µε την Ανάλυση. Τα οικονοµικά µοντέλα που συνήθως µελετάµε ϑεµελειώνονται σε πεπερασµένης ή απειρης διάστασης χώρους Banach ή σε άλλες γενικότερες κατηγορίες χώρων και η µελέτη των διαφόρων οικονοµικών εννοιών ανάγεται στη γνώση των µαθηµατικών ιδιοτήτων αυτών των χώρων αλλά και ϑέτει νέα εδιαφέροντα µαθηµατικά προβλήµατα. Το µοντέλο γενικής ισορροπίας είναι ένα τέτοιο παράδειγµα και ϑεωρείται ως πρότυπο για την κατασκευή πολλών άλλων οικονοµικών µοντέλων. Στα παίγνια µεικτής στρατηγικής εµφανίζονται γραµµικοί χώροι, διάστασης ανάλογης µε το πλήθος των στρατηγικών των παικτών. Στα χρηµατοοικονοµικά µοντέλα η διάσταση του χώρου απόδοσης εξαρτάται από το πλήθος των δυνατών καταστάσεων. Οι αλγεβρικές και τοπολογικές αλλά και οι διατακτικές ιδιότητες των χώρων στους οποίους ϑεµελειώνονται τα µοντέλα είναι σηµαντικές στη µελέτη των οικονοµικών προβληµάτων. Παρακάτω περιγράφεται το µοντέλο γενικής ισορροπίας και ϕαίνεται η σηµασία της ανάλυσης. 7

8 8 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών Για την καλύτερη κατανόηση αυτού του µοντέλου αρχίζουµε πρώτα µε πεπερασµένες οικονοµίες. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πεπερασ- µένο πλήθος αγαθών (m αγαθά). Σε πεπερασµένες οικονοµίες µπορεί να έχουµε πεπερασµένο πλήθος αγαθών αλλά δεν υπάρχει άνω ϕράγµα για το πλήθος m των αγαθών που µπορεί να είναι οσοδήποτε µεγάλο. Η οικονοµία που µελετάµε µπορεί να περιλαµβάνει τα αγαθά ενός µεγάλου super market, µιας χώρας αλλά και τα αγαθά της παγκόσµιας οικονοµίας. Τα αγαθά αριθµούνται µε τους αριθµούς 1, 2,,..., m. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πλέον διανύσµατα αγαθών όπου οι συντεταγµένες του διανύσµατος είναι ο αριθµός των µονάδων του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα αγαθών ή δέσµη αγαθών. ηλαδή, υποθέτουµε ότι σε κάθε οικονοµική πράξη λαµβάνουν µέρος ό- λα τα αγαθά της οικονοµίας, αλλά όσα δεν επιλέγονται εµφανίζονται µε µηδενικές συντεταγµένες. Ετσι αν υποθέσουµε ότι έχουµε οικονοµία µε τρία αγαθά, το διάνυσµα a = (3, 4, 2), είναι µια δέσµη αγαθών που περιέχει τρεις µονάδες από το πρώτο αγαθό, τέσσερεις από το δεύτερο και δύο από το τρίτο. Αν σε µια πράξη κατανάλωσης επιλεγούν µόνον δύο µονάδες από το δεύτερο αγαθό ϑα λέµε ότι ο καταναλωτής επέλεξε το διάνυσµα αγαθών a = (0, 2, 0). Τα διανύσµατα αγαθών είναι στοιχεία του R m και ο R m ονοµάζεαται χώρος αγαθών. Το σύνολο όλων των δεσµών αγαθών που µπορεί να εµφανιστούν στην οικονοµία είναι ένα κυρτό υποσύνολο του X του R m το οποίο ονοµάζεται σύνολο κατανάλωσης. Συνήθως το σύνολο κατανάλωσης X είναι κυρτό υποσύνολο του ϑετικού κώνου R m + = {x Rm x i 0 για κάθε i} του R m που στις περισσότερες περιπτώσεις είναι ακριβώς ο R m +. Η υπό- ϑεση ότι το X είναι κυρτό σηµαίνει προφανώς ότι αν οι δέσµες αγαθών a και b είναι διαθέσιµες (ανήκουν στο X) τότε κάθε κυρτός συνδυασµός τους ta + (1 t)b, είναι επίσης διαθέσιµος. Η κυρτότητα του συνόλου κατανάλωσης είναι µιά από τις ϐασικές υποθέσεις της οικονοµίας.

9 1.1. Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών 9 Ανάλογα µε τα αγαθά που εµφανίζονται ως διανύσµατα, σε οικονοµία µε m αγαθά οι τιµές εµφανίζονται επίσης ως διανύσµατα όπου κάθε συντεταγµένη του διανύσµατος είναι η τιµή της µονάδας του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα τιµών. Ετσι αν q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι ένα διάνυσµα τιµών, τότε q i είναι η τιµή της µονάδας του i αγαθού. Η αξία της δέσµης αγαθών a = (a 1, a 2,..., a m ) είναι το εσωτερικό γινόµενο : q a = q 1 a 1 + q 2 a q m a m. Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα τιµών είναι γραµµική και συνεχής συνάρτηση που ορίζεται στον χώρο αγαθών. Η γραµµικότητα και η συνέχεια των τιµών είναι µιά από τις σηµαντικότερες υποθέσεις της οικονοµίας και η ϕυσική σηµασία αυτών των υποθέσεων είναι προφανής. Εποµένως τα διανύσµατα τιµών είναι αυτόµατα στοιχεία του δυϊκού χώρου του χώρου α- γαθών. Υπενθυµίζουµε ότι ο δυϊκός χώρου µε norm E είναι το σύνολο των συνεχών και γραµµικών απεικονίσεων του E στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R και συµβολίζεται µε E. Στη περίπτωση όπου E = R m ο δυϊκός είναι ο R m εποµένως ο χώρος τιµών είναι πάλι ο R m. Στην οικονοµία οι τιµές των αγαθών υποτίθενται συνήθως αυστηρά ϑετικές. Αν υποθέσουµε ότι µιά συντεταγµένη του διανύσµατος τιµών q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι µηδέν, π.χ. q i = 0, τότε το i-αγαθό είναι ελεύθερο αγαθό υπό τη τιµή q. Ετσι η υπόθεση ότι τα διανύσµατα τµών είναι αυστηρά ϑετικά ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι στην οικονοµία δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά. Εποµένως το δυϊκό σύστηµα R m, R m, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Σε οικονοµίες µε άπειρα αγαθά υποθέτουµε οτι ο χώρος αγαθών είναι απειροδιάστατος χώρος E συνήθως χώρος µε norm ή χώρος Banach. Κά- ϑε στοιχείο x του E είναι ένα διάνυσµα (δέσµη) αγαθών. Παράδειγµα τέτοιων χώρων έχουµε στη περίπτωση που ως σύνολο των πιθανών καταστάσεων ϑεωρείται το συνεχές διάστηµα [0, 1] των πραγµατικών αριθµών και ταυτί- ουµε τα αγαθά µε την αποδοσή τους την χρονική περίοδο που πρόκειται

10 10 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή να ακολουθήσει. Η απόδοση του τυχαίου αγαθού της οικονοµίας είναι µια συνάρτηση x : [0, 1] R, όπου x(ω) είναι η απόδοση του αγαθού αν συµβεί το ενδεχόµενο ω. Ετσι στη περίπτωση αυτή ως χώρος αγαθών E ϑεωρηθείται συνήθως κάποιος από τους χώρους L p [0, 1], L [0, 1] ή οποιοσδήποτε άλλος υπόχωρος του χώρου των συναρτήσεων {f : [0, 1] R}. Παρατηρούµε ότι οι χώροι αυτοί µε τη σηµειακή διάταξη είναι διατεταγµένοι χώροι και ότι αν x, y είναι τυχαία αγαθά, έχουµε ότι x y αν και µόνο αν x(ω) y(ω) για κάθε ω [0, 1], δηλαδή για κάθε ενδεχόµενο η απόδοση του x είναι µεγαλύτερη ή ίση από την απόδοση του y. Επόµένως η διάταξη του των χώρων χρησιµεύει στη σύγκριση των διανυσ- µατικών αγαθών αλλά γενικά οι διατακτικές ιδιότητες του χώρου αγαθών είναι πολύ χρήσιµες και απολύτως συµβατές µε τη πραγµατικότητα που ϑέλουµε να µοντελοποιήσουµε. έτσι είναι πολύ ϕυσικό να υποθέσουµε επίσης οτι ο χώρος αγαθών E είναι µερικά διατεταγµένος χώρος. Το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E και συνήθως υποθέτουµε ότι συµπίπτει µε το ϑετικό κώνο E + του E, δηλαδή έχουµε X = E +. Το σύνολο κατανάλωσης X µε την επαγόµενη τοπολογία είναι µετρικός χώρος και d(x, y) = x y για κάθε x, y X. είναι η επαγόµενη µετρική στο X. Οπωσ και στη περίπτωση των πεπερασµένων οικονοµιών στις απειροδιάστατες οικονοµίες οι τιµές απαιτούµε να είναι γραµµικές και συνεχείς. Ετσι ως χώρος τιµών ϑεωρείται συνήθως ο τοπολογικός δυϊκός E του E, οπότε λέµε ότι το δυϊκό εύγος E, E, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Σηµειώνουµε επίσης ότι στη γενική περίπτωση, οποιοσδήποτε γραµµικός υπόχωρος του E µπορεί να ϑεω- ϱηθεί ως χώρος τιµών. Υπενθυµίζουµε οτι E είναι το σύνολο των γραµ- µικών και συνεχών απεικονίσεων p : E R. Αν υποθέσουµε οτι X = E +, όπου X είναι το σύνολο κατανάλωσης, και p E είναι διάνυσµα τιµών απαιτούµε συνήθως p(x) 0 για κάθε x X, δηλαδή υποθέτουµε οτι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Ετσι υποθέτουµε συνήθως οτι τα

11 1.1. Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών 11 διανύσµατα τιµών είναι στοιχεία του ϑετικού κώνου E+ του E. Αν υπο- ϑέσουµε επίσης οτι δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά απαιτούµε p(x) > 0 για κάθε x E + µε x 0, άρα οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά του E. Στο ϐιβλίο αυτό υποθέτουµε συνήθως ότι ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος E µε norm και το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E + που συνήθως συµπίπτει µε τον E +. Στη ϑεωρία γενικης ισορροπίας υποθέτουµε οτι ένα δυϊκό σύστηµα E, F, όπου συνήθως ο E είναι γραµµικός χώρος µε norm και ο F είναι κλειστός γραµµικός υπόχωρος του E, είναι το ευγάρι που εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών (comodity -price duality) Λήψη αποφασεων Οπως αναφέραµε παραπάνω, ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι υποσύνολο του ϑετικού κώνου E + του E. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε καταναλωτές (παίκτες, επενδυτές) και µελετούµε τη συµπεριφορά των καταναλωτών σε σχέση µε τις προτιµήσεις τους, τιµές και το συνολικό διαθέσιµο αγαθό. Ο τρόπος που ο τυχαίος καταναλωής συγκρίνει τα διάφορα αγαθά και λαµβάνει τις αποφάσεις του είναι ακριβώς µια διµελής σχέση που στα οικονοµικά αναφέρεται ως σχέση προτίµησης. Η µελέτη της συµπεριφοράς των καταναλωτών οδηγεί στη µελέτη των διµελών σχέσεων που είναι ένα από τα ϑεµελειώδη προβλήµατα των οικονοµικών. Ενδεικτικά αναφέρουµε ότι το πρόβληµα της αναπαράστασης συνεχών σχέσεων προτίµησης από συνεχείς συναρτήσεις όπως περιγράφεται στο Κεφάλαιο 6 λύθηκε από τον διάσηµο οικονοµολόγο-µαθηµατικό Gerard Debreu. Για τη µοντελοποίηση και µελέτη της συµπεριφοράς των καταναλωτών που περιγράφεται από τις προτιµήσες τους µε τις οποίες συγκρίνουν τα διαάφορα αγαθά Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής διαθέτει κάποιο αρχικό αγαθό και

12 12 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή είναι εφοδιασµένος µε µια σχέση προτίµησης µε την οποία κάνει τις επιλογές του Κατανάλωση-ισορροπία Οπως αναφέραµε παραπάνω, ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι υποσύνολο του ϑετικού κώνου E + του E. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε καταναλωτές και µελετούµε τη συµπεριφορά των καταναλωτών σε σχέση µε τις προτιµήσεις τους, τις τιµές και το συνολικό διαθέσιµο αγαθό. Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής διαθέτει κάποιο αρχικό αγαθό και είναι εφοδιασµένος µε µια σχέση προτίµησης µε την οποία κάνει τις επιλογές του. Καθοριστικό ϱόλο στην οικονοµία ϑα παίξουν οι τιµές των αγαθών. Γενικά είναι άγνωστο τι ϑα συµβεί και στόχος µας είναι να µελετήσουµε τα διάφορα δυνατά ενδεχόµενα για τις διάφορες τιµές των αγαθών. Οι τιµές είναι ο µεγάλος άγνωστος και καθορίζουν τι πρόκειται να συµβεί και ϑέλουµε να µελετήσουµε πως επηρεάζεται η οικονοµία στη µεταβολή των τιµών. Αλλά κυρίως ϑέλουµε να µελετήσουµε αν υπάρχουν τιµές που κάνουν την προσφορά ίση µε τη ήτηση και επιφέρουν την ισορροπία στην αγορά.

13 Κεφάλαιο 2 Μετρικοί χώροι 2.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)(τριγωνική ιδιότητα). Τότε η d είναι µια µετρική στο X και το ευγάρι (X, d) ονοµάζεται µετρικός χώρος. Συχνά για λόγους απλότητας ϑα λέµε ο µετρικός χώρος X αντί του ακριβούς ο µετρικός χώρος (X, d). Εστω (X, d) µετρικός χώρος. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 ϑα συµβολίζουµε µε B(x, ρ) την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ, δηλαδή B(x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} και όταν γράφουµε B(x, ρ) ϑα εννοούµε πάντοτε ότι ρ R µε ρ > 0. Στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές τοπολογικές έννοιες και ιδιότητες των µετρικών χώρων. Υπενθυµίζουµε τις κυριότερες από αυτές που ϑα χρησιµοποιήσουµε στο ϐιβλίο. Εστω A X. Το A είναι ανοικτό αν για κάθε x A, B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστο ρ και το A 13

14 14 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι είναι κλειστό αν το συµπλήρωµα A c = X \ A του A στο X είναι ανοικτό. Αν x X το x είναι εσωτερικό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστον ρ, το x είναι συνοριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A και B(x, ρ) A c για κάθε ρ, το x είναι σηµείο συσσώρευσης του A αν B(x, ρ) (A \ {x}) για κάθε ρ και το x είναι οριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για κάθε ρ. Για κάθε A X συµβολίζουµε µε A το κλειστό περίβληµα του A, δηλαδή A είναι το σύνολο των οριακών σηµείων του A. Εστω ο µετρικός χώρος X και A X. Αν το κλειστό περίβληµα του A είναι ολόκληρο το X, δηλαδή A = X, λέµε ότι το A είναι πυκνό υποσύνολο του X ή ότι το A είναι πυκνό στον X. Αν υπάρχει αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο A του X, λέµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. ηλαδή ο X είναι διαχωρίσιµος αν υπάρχει ακολουθία {x n } του X πυκνή στον X. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία {x n } είναι πυκνή στον X αν για κάθε x X και κάθε ɛ > 0 η σφαίρα B(x, ɛ) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο της ακολουθίας ή ισοδύναµα για κάθε x X υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } που συγκλίνει στο x. Ο µετρικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν µπορεί να γραφεί σαν ενωση δυό ξένων και ανοικτών υποσυνόλων του. Ο µετρικός χώρος (E, d) είναι πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy του E συγκλίνει σε στοιχείο του E. Οπως αναφέραµε παραπάνω, στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές έννοιες της σύγκλισης ακολουθιών και της συνέχειας συναρτήσεων σε µετρικούς χώρους. 2.2 Η επαγόµενη τοπολογία Εστω (E, d) µετρικός χώρος και X E, X, τυχαίο υποσύνολο του E. Ο περιορισµός d X της µετρικής d στο X X είναι µετρική στον X που ονοµάζεται επαγόµενη µετρική του X. Ετσι για κάθε x, y X έχουµε d X (x, y) = d(x, y) και πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η d X είναι µετρική στον X. Επίσης για λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την µετρική d X του X πάλι µε d. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 συµβολίζουµε µε B X (x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ}

15 2.2. Η επαγόµενη τοπολογία 15 την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Για κάθε x X έχουµε : B X (x, ρ) = B(x, ρ) X, όπου B X (x, ρ) είναι η ανοικτή σφαίρα του E µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Η επαγόµενη µετρική του X ορίζει µια τοπολογία στο X που αναφέρεται ως η µετρική τοπολογία ή επαγόµενη τοπολογία του X. Επίσης όταν λέµε ο µετρικός χώρος X ϑα εννοούµε τον X εφοδιασµένο µε τη µετρική τοπολογία. Ετσι αν A X έχουµε ότι το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X ( ή στην επαγόµενη τοπολογία του X) αν για κάθε x A υπάρχει ρ > 0 ώστε B X (x, ρ) A. Οπως ϑα δούµε παρακάτω αν το A είναι ανοικτό υποσύνολο του X δεν έπεται κατανάγκη ότι είναι και ανοικτό υποσύνολο του E. Υποθέτουµε τώρα ότι (E, ) είναι χώρος µε norm και X E, X. Η επαγόµενη τοπολογία του X ορίζεται ως εξής : Για κάθε x, y X d(x, y) = x y, όπου η norm του E, οπότε η d είναι η επαγόµενη µετρική του X και το ευγάρι (X, d) είναι ο µετρικός χώρος X. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 B X (x, ρ) = {y X x y < ρ}, είναι η ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Θεώρηµα 2.1. Εστω E µετρικός χώρος και X E, X και έστω A X, τότε : (i) το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E ανοικτό ώστε A = B X, (ii) το A είναι κλειστό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E κλειστό ώστε A = B X. Απόδειξη. (i): Εστω A ανοικτό υποσύνολο του X. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B X (x, ρ x ) A. Τότε A = x A B X (x, ρ x ).

16 16 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι Αν B = x A B(x, ρ x ), τότε B ανοικτό υποσύνολο του E και A = B X = ( x A B(x, ρ x )) X = x A B X (x, ρ x ) = A. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι A = B X, όπου B E, ανοικτό. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) B, άρα B X (x, ρ x ) = B(x, ρ x ) X B X = A, εποµένως το A είναι ανοικτό. (ii): Εστω A κλειστό υποσύνολο του X. Τότε A c = X \ A ανοικτό υποσύνολο του X, εποµένως, από την (i), υπάρχει D E ανοικτό ώστε A c = D X, άρα A = X \ A c = X \ (D X) = X F, όπου F = E \ D κλειστό υποσύνολο του E. 2.3 Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Εστω X R m, X. Για κάθε x, y X, d(x, y) = x y, όπου η Ευκλείδια norm του R m, είναι η επαγόµενη ή η Ευκλείδια µετρική του X. Το ευγάρι (X, d) είναι Ευκλείδιος µετρικός χώρος που για συντοµία ϑα αναφέρεται και ως ο µετρικός χώρος X R m. Αν είναι norm του R m ισοδύναµη µε την ευκλείδια norm, δηλαδή υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α, ϐ > 0 ώστε : και X R m, η ϐ x x α x για κάθε x R m. d (x, y) = x y για κάθε x, y X, είναι µετρική στον X, ισοδύναµη µε την Ευκλείδια µετρική d του X. Σηµειώνουµε ότι στον R m κάθε norm είναι ισοδύναµη µε την Ευκλείδια norm.

17 2.3. Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι 17 Θεώρηµα 2.2. Εστω ο µετρικός X R m. Αν K X, έχουµε : Το σύνολο K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X αν και µόνο αν κάθε ακολουθία {x n } του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Απόδειξη. Εστω το K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X και x n = (x n (1), x n (2),..., x n (m)), n N ακολουθία του K. Τότε η ακολου- ϑία των πρώτων συντεταγµένων {x n (1)} της {x n } είναι ϕραγµένη, άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία {x kn (1)}. Αν προχωρήσουµε στη δεύτερη συντεταγµένη της {x kn } έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία της {x kn } ώστε η πρώτη και η δεύτερη συντεταγµένη της υπακολουθίας να συγκλίνουν. Ετσι αν προχωρήσουµε εξαντλώντας τις συντεταγµένες προκύπτει υπακολουθία {y n } της {x n } ώστε y n (i) y(i) για κάθε i = 1, 2,..., m. Αν y = (y(1), y(2),..., y(m)) έχουµε ότι y n y. Πραγµατικά για κάθε ɛ > 0 υπάρχει n 0 ώστε y n (i) y(i) < ɛ για κάθε i = 1, 2,..., m και κάθε n n 0, άρα y n y < ɛ για κάθε n n 0, εποµένως y n y. Επειδή το K είναι κλειστό έχουµε ότι y K. Αντίστροφα αν κάθε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K τότε το K είναι προφανώς κλειστό. Αποδεικνύουµε ότι το K είναι ϕραγµένο ως εξής : Αν το K δεν είναι ϕραγµένο, υπάρχει ακολουθία y n K µε y n n για κάθε n N. Αν {y kn } είναι συγκλίνουσα υπακολουθία της {y n } τότε η {y kn } είναι ϕραγµένη, άτοπο γιατί y kn k n για κάθε n. Άρα το K είναι και ϕραγµένο. Θεώρηµα 2.3. Για κάθε X R m, ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη. Το σύνολο Q m, όπου Q είναι το σύνολο των ϱητών είναι αρι- ϑµήσιµο και πυκνό στον R m. Εστω Q m = {r i i N} µια αρίθµηση του συνόλου. Για κάθε x X και για κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1) n ή ισοδύναµα x B(r i, 1). Εποµένως B(r n i, 1 ) X. Εστω D = n {(i, n) N N B(r i, 1 ) X }. Για κάθε (i, n) D επιλέγουµε n x (i,n) B(r i, 1) X. Τότε η ακολουθία {x n (i,n)} είναι πυκνή στο X. Πραγ- µατικά για κάθε x X και κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1 ) οπότε n x (i,n) B(x, 1 ) X. Άρα d(x, x n (i,n)) < 2, εποµένως η {x n (i,n)} είναι πυκνή στον X.

18 18 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι 2.4 Συµπάγεια Οπως αποδείξαµε προηγουµένως σε Ευκλείδειους µετρικούς χώρους τα κλειστά και ϕραγµένα υποσύνολα K του χώρου έχουν την ιδιότητα : κά- ϑε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Η ιδιότητα αυτή του µετρικού χώρου K έχει πολύ σηµαντικές συνέπειες τόσο στη µαθηµατική ϑεωρία όσο και στις εφαρµογές. Χώροι µε αυτή την ιδιότητα απετέλεσαν αντικείµενο συστηµατικής µελέτης των µαθηµατικών και αναφέρονται ως συµπαγείς. Ετσι δίνουµε τον οισµό : ο µετρικός χώρος X ονοµάζεται συµπαγής αν κάθε ακολουθία του X έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του X. Επειδή ϑα αποδείξουµε παρακάτω ότι η συµπάγεια του X είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα ότι κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, αρχίζουµε τη µελέτη της συµπάγειας µε τους αντίστοιχους ορισµούς. Εστω µετρικός χώρος X. Λέµε ότι η οικογένεια (A i ) i I είναι κάλυψη του X αν A i X για κάθε i και i I A i = X. Αν επιπλέον κάθε A i είναι ανοικτό υποσύνολο του X η (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Αν (A i ) i I είναι κάλυψη του X και I I ώστε i I A i = X, λέµε ότι η (A i ) i I είναι υποκάλυψη του X που αντιστοιχεί στην (A i ) i I. Αν επιπλέον το I είναι πεπερασµένο (αριθµήσιµο) λέµε ότι η (A i ) i I είναι πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη του X ή ισοδύναµα ότι η κάλυψη (A i ) i I έχει πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη. Οταν χρειάζεται δηλώνουµε την κάλυψη στην οποία αντιστοιχεί η υποκάλυψη. Θεώρηµα 2.4. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Απόδειξη. (i) = (ii): Εστω (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Θα δείξουµε πρώτα ότι υπάρχει ρ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I ώστε B(x, ρ) A ix.

19 2.4. Συµπάγεια 19 Αν υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει, για κάθε ρ n = 1, n N υπάρχει n x n X ώστε B(x n, 1 n ) A i, για κάθε i I. Από την (i), υπάρχει υπακολουθία της {x n } που συµβολίζουµε πάλι µε {x n } που συγκλίνει σε σηµείο x X. Επειδή η (A i ) i I είναι κάλυψη του X έχουµε ότι x A i, για ένα τουλάχιστο i και επειδή A i ανοικτό υπάρχει r > 0 ώστε B(x, r) A i. Επειδή η x n συγκλίνει στο x, εχουµε ότι x n B(x, ɛ) για κάθε n n 0. Αν ɛ < r 2, τότε για κάθε n max{ 2, n r 0}, έχουµε B(x n, 1 ) B(x, r) A n i, άτοπο. Άρα υπάρχει ρ > 0 ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I µε B(x, ρ) A ix. Θα δείξουµε ότι για αυτό το ρ υπάρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n B(x i, ρ). i=1 Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η σχέση, τότε αρχίζοντας από κάποιο x 1 X µπορούµε να επιλέξουµε x 2 X \ B(x 1, ρ) και συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο παίρνουµε την ακολουθία {x n } του X ώστε x n+1 X \ n i=1 B(x i, ρ) για κάθε n N. Τότε d(x n, x m ) ρ για κάθε n m, άρα η x n δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, που είναι άτοπο. Άρα υπαρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n i=1 B(x i, ρ). Επειδή B(x i, ρ) A ixi, έχουµε X = n i=1 A i xi, άρα ισχύει η (ii). (ii) (i) : Υποθέτουµε ότι η ακολουθία {x n } του X δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Τότε για κάθε x X υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) περιέχει το πολύ πεπερασµένου πλήθους όρους της ακολουθίας. Η οικογένεια (B(x, ρ x )) x X είναι ανοικτή κάλυψη του X και από τη (ii) υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη του X. Επειδή κάθε σφαίρα περιέχει πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας η πεπερασµένη υποκάλυψη περιέχει και πεπερασµένο πλήθος στοιχείων της ακολουθίας, άτοπο. Άρα η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

20 20 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι Μια οικογένεια συνόλων έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν κάθε πεπερασµένη υποοικογένεια έχει µη κενή τοµή. Ετσι η οικογένεια {B i i I} υποσυνόλων του µετρικού χώρου X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν για κάθε J I πεπερασµένο, έχουµε i J B i. Θεώρηµα 2.5. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έχει µη κενή τοµή. Απόδειξη. (i) (ii) : Εστω η οικογένεια (F i ) i I κλειστών υποσυνόλων του X ώστε i A F i, για κάθε A I πεπερασµένο. Θα δείξουµε ότι i I F i. Υποθέτουµε ότι i I F i =. Τότε ( i I F i ) c = i I F c i = X. Επειδή (F c i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X, από το Θεώρηµα 2.4, υπάρχει A I πεπερασµένο ώστε i A F c i = X. Άρα έχουµε ( i A F c i )c = i A F i =, άτοπο γιατί η οικογένεια (F i ) i I έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, εποµένως i I F i. (ii) (i) : Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.4 αρκεί να δείξουµε ότι κά- ϑε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Τότε i I A i = X, άρα i I A c i =. Αν υποθέσουµε ότι i J A i X για κάθε J I πεπερασµένο έχουµε ότι i J A c i για κάθε J I πεπερασµένο, εποµένως i I A c i, άτοπο. Εποµένως υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη της (A i ) i I, άρα ο X είναι συµπαγής. Παρατήρηση 2.6. Η έννοια της συµπάγειας γενικεύεται και σε γενικούς τοπολογικούς χώρους όπου όµως δεν ισχύει πλέον η ισοδυναµία του Θεω- ϱήµατος 2.4: κάθε ακολουθία του X έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του X αν και µόνο αν κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασ- µένη υποκάλυψη. Ειδικότερα ισχύει αυτή η ισοδυναµία αν η έννοια της ακολουθίας αντικατασταθεί µε την έννοια του δικτύου. Ετσι στη σύγχονη µαθηµατική ϐιβλιογραφία σε οποιδήποτε τοπολογικό χώρο (µετρικό ή µη) ως ορισµός της συµπάγειας δίνεται συνήθως εκείνος µε τις ανοικτές καλύψεις.

21 2.4. Συµπάγεια 21 Θεώρηµα 2.7. Ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν για κάθε ανοικτή κάλυψη (A i ) i I του X υπάρχει αριθµήσιµη υποκάλυψη. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος και ότι {x n } είναι πυκνή ακολουθία στον X. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Για κάθε A i και για κάθε x A i υπάρχει m N ώστε B(x, 1 ) A m i γιατί το A i είναι ανοικτό. Επειδή η {x n } 1 είναι πυκνή στον X υπάρχει x n B(x, ), άρα έχουµε x B(x 1 2m n, ) και 2m 1 B(x n, ) B(x, 1 ) A 2m m i. Πραγµατικά για τη τελευταία σχέση έχουµε 1 ότι για κάθε z B(x n, ) έχουµε d(x, z) d(x, x 2m n) + d(x n, z) 1. Για m κάθε i ορίζουµε το σύνολο F i = {(n, m) N N B(x n, 1 m ) A i}, οπότε έχουµε : A i = (n,m) F i B(x n, 1 m ), γιατί κάθε x A i περιέχεται σε κάποιο B(x n, 1 ). Επειδή (A m i) i I κάλυψη του X έχουµε ότι X = B(x n, 1 m ), (n,m) F όπου F = F i N N. Για κάθε (n, m) F επιλέγω i = i(n, m) I ώστε B(x n, 1 m ) A i(n,m), οπότε έχουµε : X = (n,m) F A i(n,m), άρα (A i(n,m) ) (n,m) F είναι αριθµήσιµη υποκάλυψη του X. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι για κάθε ανοικτή κάλυψη του X υπάρχει αριθµήσιµη ( υποκάλυψη. Τότε για κάθε k N σταθερό, έχουµε ότι η οικογένεια B(x, 1)) είναι ανοικτή κάλυψη του X, άρα υπάρχει k x X αριθµήσιµη υποκάλυψη ( B(x k n, 1 k )) n N

22 22 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι του X. Το σύνολο {x k n n, k N}, είναι αριθµήσιµο και πυκνό στον X, άρα ο X είναι διαχωρίσιµος. 2.5 Συνέχεια συναρτήσεων Εστω X µετρικός χώρος και f : X R. Η f είναι συνεχής στο x X αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x f (x n ) f (x). Επειδή η f (x n ) συγκλίνει στο f (x) αν και µόνο αν limf (x n ) = limf (x n ) = f (x), η παραπάνω συνεπαγωγή γράφεται ως εξής x n x limf (x n ) f (x) και limf (x n ) f (x), όπου µε limf (x n ) και limf (x n ) συµβολίζουµε το ανώτερο και κατώτερο όριο της ακολουθίας {f (x n )}. Ετσι η συνέχεια της συνάρτησης διασπάται στις δυο παρακάτω συνθήκες και x n x limf (x n ) f (x) x n x limf (x n ) f (x). που όταν ισχύουν ταυτόχρονα εξασφαλίζουν τη συνέχεια. Οταν ισχύει µια από αυτές η συνάρτηση είναι άνω ή κάτω ηµισυνεχής στο x. Στη διεθνή ϐιβλιογραφία ορίζονται διάφορα είδη ηµισυνέχειας. Ειδικά για συναρτήσεις χρησιµοποιείται ο όρος semicontinious και για πλειότιµες απεικονίσεις οι όροι hemicontinious και demicontinious. Στό ϐιβλίο αυτό για συναρτήσεις ϑα χρησιµοποιήσουµε τον ελληνκό όρο ηµισυνέχεια και για πλειότιµες απεικονίσεις ϑα διατηρήσουµε την αγγλική ορολογία. Εστω f : X R και x X. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x),

23 2.5. Συνέχεια συναρτήσεων 23 ϑα λέµε ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής στο x. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε ότι η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο x. Αν η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής για κάθε x X ϑα λέµε ότι η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής στο X. Θεώρηµα 2.8. Αν X µετρικός χώρος και f : X R, έχουµε : (i) Η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R, (ii) Η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ((, a]) είναι κλειστό για κάθε a R. Απόδειξη. (i): Εστω ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Υποθέτουµε ότι x n f 1 ([a, + )) και ότι x n x. Θα δείξουµε ότι f (x) a, οπότε το f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Εστω ότι f (x) < a και έστω ϐ R µε f (x) < ϐ < a. Επειδή η f είναι άνω ηµισυνεχής έχουµε limf (x n ) f (x), άρα υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } µε f (x kn ) < ϐ για κάθε n, άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f (x n ) a για κάθε n. Άρα για κάθε a R, f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Για το αντίστροφο υπο- ϑέτουµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R. Αν η f δεν είναι άνω ηµισυνεχής υπάρχει x X και ακολουθία {x n } του X ώστε x n x και limf (x n ) > f (x) και έστω limf (x n ) ϐ > γ > f (x). Από τις υποθέσεις αυτές έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } ώστε f (x kn ) > γ > f (x) για κάθε n. Ετσι έχουµε x kn f 1 ([γ, + )), x kn x και x f 1 ([γ, + )), άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a. Άρα η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X. Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Θεώρηµα 2.9. Εστω X συµπαγής µετρικός χώρος και f : X R. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει µέγιστη τιµή στο X. Το σύνολο K των σηµείων που µεγιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X.

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13112012 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα