Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009

2 2

3 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών Λήψη αποφασεων Κατανάλωση-ισορροπία Μετρικοί χώροι Βασικές έννοιες Η επαγόµενη τοπολογία Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Συµπάγεια Συνέχεια συναρτήσεων Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους εσµευµένα ακρότατα ιαχωριστικά Θεωρήµατα Hahn-Banach Επέκταση γραµµικών συναρτησιακών Το συναρτησιακό Minkowski ιαχωρισµός κυρτών συνόλων Θεωρήµατα διαχωρισµού σε χώρους µε norm ιατεταγµένοι χώροι Κώνοι και διάταξη Βασικές έννοιες Γραµµικοί σύνδεσµοι (linear lattices) υϊκότητα και διάταξη ιατεταγµένοι υπόχωροι

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ο διατακτικός δυϊκός Βάσεις κώνων Πλειότιµες απεικονίσεις Ορισµοί Συνέχεια Ακολουθιακή συνέχεια Θεώρηµατα Μεγίστου Συνεχείς Επιλογές Μεγιστοποίηση διµελών σχέσεων Θεωρήµατα σταθερού σηµείου Απεικονίσεις συστολής ιµελείς σχέσεις - Θεωρία αποφάσεων ιµελείς Σχέσεις Σχέσεις Προτίµησης Κυρτές Σχέσεις Προτίµησης Συναρτήσεις Χρησιµότητας Συνέχεια σχέσεων προτίµησης Βελτιστοποίηση σχέσεων προτίµησης Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης Ασκήσεις Θεωρία Ζήτησης Σύνολο Προϋπολογισµού Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας Αντιστοιχία ήτησης Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής Οικονοµία Ανταλλαγής Η συνάρτηση υπερβάλλουσας ήτησης Η Εννοια της Κατανοµής Ο Πυρήνας της Οικονοµίας Κατανοµή ισορροπίας Ασκήσεις

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 9 Γραµµική ϐελτιστοποίηση Γραµµική ϐελτιστοποίηση στον R m Η αποτελεσµατική απεικόνιση Οικονοµίες Παραγωγής Σύνολο Παραγωγής Ιδιότητες του Συνόλου Παραγωγής Το Πρόβληµα της Βελτιστοποίησης Συνάρτηση Εφοδιασµού Οικονοµία παραγωγής Συνάρτηση Εισοδήµατος- Σύνολο προϋπολογισµού Συνάρτηση Υπερβάλλουσας Ζήτησης Ισορροπία σε Οικονοµίες Ανταλλαγής Η απόδειξη ισορροπίας των Arrow-Debreu Η απόδειξη ισορροπίας του Mas-Colell Θεωρία Παιγνίων Εισαγωγή Παίγνια δυο παικτών Παίγνια n παικτών Παίγνια καθαρής στρατηγικής Παίγνια µεικτής στρατηγικής Στοιχεία γραµµικού προγραµµατισµού Ανταγωνιστικά παίγνια Το ϑεώρηµα ελαχίστου-µεγίστου Ο αλγόριθµος Ελαχίστου - Μεγίστου Ουσιώδεις στρατηγικές Ισορροπία κατά Nash Βιβλιογραφία 245

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Σκοπός του εισαγωγικού αυτού κεφαλαίου είναι να δείξει το τρόπο που οι οιονοµικές έννοιες που ϑα µελετήσουµε συνδέονται µε τα Μαθηµατικά και ειδικότερα µε την Ανάλυση. Τα οικονοµικά µοντέλα που συνήθως µελετάµε ϑεµελειώνονται σε πεπερασµένης ή απειρης διάστασης χώρους Banach ή σε άλλες γενικότερες κατηγορίες χώρων και η µελέτη των διαφόρων οικονοµικών εννοιών ανάγεται στη γνώση των µαθηµατικών ιδιοτήτων αυτών των χώρων αλλά και ϑέτει νέα εδιαφέροντα µαθηµατικά προβλήµατα. Το µοντέλο γενικής ισορροπίας είναι ένα τέτοιο παράδειγµα και ϑεωρείται ως πρότυπο για την κατασκευή πολλών άλλων οικονοµικών µοντέλων. Στα παίγνια µεικτής στρατηγικής εµφανίζονται γραµµικοί χώροι, διάστασης ανάλογης µε το πλήθος των στρατηγικών των παικτών. Στα χρηµατοοικονοµικά µοντέλα η διάσταση του χώρου απόδοσης εξαρτάται από το πλήθος των δυνατών καταστάσεων. Οι αλγεβρικές και τοπολογικές αλλά και οι διατακτικές ιδιότητες των χώρων στους οποίους ϑεµελειώνονται τα µοντέλα είναι σηµαντικές στη µελέτη των οικονοµικών προβληµάτων. Παρακάτω περιγράφεται το µοντέλο γενικής ισορροπίας και ϕαίνεται η σηµασία της ανάλυσης. 7

8 8 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών Για την καλύτερη κατανόηση αυτού του µοντέλου αρχίζουµε πρώτα µε πεπερασµένες οικονοµίες. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πεπερασ- µένο πλήθος αγαθών (m αγαθά). Σε πεπερασµένες οικονοµίες µπορεί να έχουµε πεπερασµένο πλήθος αγαθών αλλά δεν υπάρχει άνω ϕράγµα για το πλήθος m των αγαθών που µπορεί να είναι οσοδήποτε µεγάλο. Η οικονοµία που µελετάµε µπορεί να περιλαµβάνει τα αγαθά ενός µεγάλου super market, µιας χώρας αλλά και τα αγαθά της παγκόσµιας οικονοµίας. Τα αγαθά αριθµούνται µε τους αριθµούς 1, 2,,..., m. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πλέον διανύσµατα αγαθών όπου οι συντεταγµένες του διανύσµατος είναι ο αριθµός των µονάδων του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα αγαθών ή δέσµη αγαθών. ηλαδή, υποθέτουµε ότι σε κάθε οικονοµική πράξη λαµβάνουν µέρος ό- λα τα αγαθά της οικονοµίας, αλλά όσα δεν επιλέγονται εµφανίζονται µε µηδενικές συντεταγµένες. Ετσι αν υποθέσουµε ότι έχουµε οικονοµία µε τρία αγαθά, το διάνυσµα a = (3, 4, 2), είναι µια δέσµη αγαθών που περιέχει τρεις µονάδες από το πρώτο αγαθό, τέσσερεις από το δεύτερο και δύο από το τρίτο. Αν σε µια πράξη κατανάλωσης επιλεγούν µόνον δύο µονάδες από το δεύτερο αγαθό ϑα λέµε ότι ο καταναλωτής επέλεξε το διάνυσµα αγαθών a = (0, 2, 0). Τα διανύσµατα αγαθών είναι στοιχεία του R m και ο R m ονοµάζεαται χώρος αγαθών. Το σύνολο όλων των δεσµών αγαθών που µπορεί να εµφανιστούν στην οικονοµία είναι ένα κυρτό υποσύνολο του X του R m το οποίο ονοµάζεται σύνολο κατανάλωσης. Συνήθως το σύνολο κατανάλωσης X είναι κυρτό υποσύνολο του ϑετικού κώνου R m + = {x Rm x i 0 για κάθε i} του R m που στις περισσότερες περιπτώσεις είναι ακριβώς ο R m +. Η υπό- ϑεση ότι το X είναι κυρτό σηµαίνει προφανώς ότι αν οι δέσµες αγαθών a και b είναι διαθέσιµες (ανήκουν στο X) τότε κάθε κυρτός συνδυασµός τους ta + (1 t)b, είναι επίσης διαθέσιµος. Η κυρτότητα του συνόλου κατανάλωσης είναι µιά από τις ϐασικές υποθέσεις της οικονοµίας.

9 1.1. Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών 9 Ανάλογα µε τα αγαθά που εµφανίζονται ως διανύσµατα, σε οικονοµία µε m αγαθά οι τιµές εµφανίζονται επίσης ως διανύσµατα όπου κάθε συντεταγµένη του διανύσµατος είναι η τιµή της µονάδας του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα τιµών. Ετσι αν q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι ένα διάνυσµα τιµών, τότε q i είναι η τιµή της µονάδας του i αγαθού. Η αξία της δέσµης αγαθών a = (a 1, a 2,..., a m ) είναι το εσωτερικό γινόµενο : q a = q 1 a 1 + q 2 a q m a m. Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα τιµών είναι γραµµική και συνεχής συνάρτηση που ορίζεται στον χώρο αγαθών. Η γραµµικότητα και η συνέχεια των τιµών είναι µιά από τις σηµαντικότερες υποθέσεις της οικονοµίας και η ϕυσική σηµασία αυτών των υποθέσεων είναι προφανής. Εποµένως τα διανύσµατα τιµών είναι αυτόµατα στοιχεία του δυϊκού χώρου του χώρου α- γαθών. Υπενθυµίζουµε ότι ο δυϊκός χώρου µε norm E είναι το σύνολο των συνεχών και γραµµικών απεικονίσεων του E στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R και συµβολίζεται µε E. Στη περίπτωση όπου E = R m ο δυϊκός είναι ο R m εποµένως ο χώρος τιµών είναι πάλι ο R m. Στην οικονοµία οι τιµές των αγαθών υποτίθενται συνήθως αυστηρά ϑετικές. Αν υποθέσουµε ότι µιά συντεταγµένη του διανύσµατος τιµών q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι µηδέν, π.χ. q i = 0, τότε το i-αγαθό είναι ελεύθερο αγαθό υπό τη τιµή q. Ετσι η υπόθεση ότι τα διανύσµατα τµών είναι αυστηρά ϑετικά ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι στην οικονοµία δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά. Εποµένως το δυϊκό σύστηµα R m, R m, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Σε οικονοµίες µε άπειρα αγαθά υποθέτουµε οτι ο χώρος αγαθών είναι απειροδιάστατος χώρος E συνήθως χώρος µε norm ή χώρος Banach. Κά- ϑε στοιχείο x του E είναι ένα διάνυσµα (δέσµη) αγαθών. Παράδειγµα τέτοιων χώρων έχουµε στη περίπτωση που ως σύνολο των πιθανών καταστάσεων ϑεωρείται το συνεχές διάστηµα [0, 1] των πραγµατικών αριθµών και ταυτί- ουµε τα αγαθά µε την αποδοσή τους την χρονική περίοδο που πρόκειται

10 10 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή να ακολουθήσει. Η απόδοση του τυχαίου αγαθού της οικονοµίας είναι µια συνάρτηση x : [0, 1] R, όπου x(ω) είναι η απόδοση του αγαθού αν συµβεί το ενδεχόµενο ω. Ετσι στη περίπτωση αυτή ως χώρος αγαθών E ϑεωρηθείται συνήθως κάποιος από τους χώρους L p [0, 1], L [0, 1] ή οποιοσδήποτε άλλος υπόχωρος του χώρου των συναρτήσεων {f : [0, 1] R}. Παρατηρούµε ότι οι χώροι αυτοί µε τη σηµειακή διάταξη είναι διατεταγµένοι χώροι και ότι αν x, y είναι τυχαία αγαθά, έχουµε ότι x y αν και µόνο αν x(ω) y(ω) για κάθε ω [0, 1], δηλαδή για κάθε ενδεχόµενο η απόδοση του x είναι µεγαλύτερη ή ίση από την απόδοση του y. Επόµένως η διάταξη του των χώρων χρησιµεύει στη σύγκριση των διανυσ- µατικών αγαθών αλλά γενικά οι διατακτικές ιδιότητες του χώρου αγαθών είναι πολύ χρήσιµες και απολύτως συµβατές µε τη πραγµατικότητα που ϑέλουµε να µοντελοποιήσουµε. έτσι είναι πολύ ϕυσικό να υποθέσουµε επίσης οτι ο χώρος αγαθών E είναι µερικά διατεταγµένος χώρος. Το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E και συνήθως υποθέτουµε ότι συµπίπτει µε το ϑετικό κώνο E + του E, δηλαδή έχουµε X = E +. Το σύνολο κατανάλωσης X µε την επαγόµενη τοπολογία είναι µετρικός χώρος και d(x, y) = x y για κάθε x, y X. είναι η επαγόµενη µετρική στο X. Οπωσ και στη περίπτωση των πεπερασµένων οικονοµιών στις απειροδιάστατες οικονοµίες οι τιµές απαιτούµε να είναι γραµµικές και συνεχείς. Ετσι ως χώρος τιµών ϑεωρείται συνήθως ο τοπολογικός δυϊκός E του E, οπότε λέµε ότι το δυϊκό εύγος E, E, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Σηµειώνουµε επίσης ότι στη γενική περίπτωση, οποιοσδήποτε γραµµικός υπόχωρος του E µπορεί να ϑεω- ϱηθεί ως χώρος τιµών. Υπενθυµίζουµε οτι E είναι το σύνολο των γραµ- µικών και συνεχών απεικονίσεων p : E R. Αν υποθέσουµε οτι X = E +, όπου X είναι το σύνολο κατανάλωσης, και p E είναι διάνυσµα τιµών απαιτούµε συνήθως p(x) 0 για κάθε x X, δηλαδή υποθέτουµε οτι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Ετσι υποθέτουµε συνήθως οτι τα

11 1.1. Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών 11 διανύσµατα τιµών είναι στοιχεία του ϑετικού κώνου E+ του E. Αν υπο- ϑέσουµε επίσης οτι δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά απαιτούµε p(x) > 0 για κάθε x E + µε x 0, άρα οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά του E. Στο ϐιβλίο αυτό υποθέτουµε συνήθως ότι ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος E µε norm και το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E + που συνήθως συµπίπτει µε τον E +. Στη ϑεωρία γενικης ισορροπίας υποθέτουµε οτι ένα δυϊκό σύστηµα E, F, όπου συνήθως ο E είναι γραµµικός χώρος µε norm και ο F είναι κλειστός γραµµικός υπόχωρος του E, είναι το ευγάρι που εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών (comodity -price duality) Λήψη αποφασεων Οπως αναφέραµε παραπάνω, ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι υποσύνολο του ϑετικού κώνου E + του E. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε καταναλωτές (παίκτες, επενδυτές) και µελετούµε τη συµπεριφορά των καταναλωτών σε σχέση µε τις προτιµήσεις τους, τιµές και το συνολικό διαθέσιµο αγαθό. Ο τρόπος που ο τυχαίος καταναλωής συγκρίνει τα διάφορα αγαθά και λαµβάνει τις αποφάσεις του είναι ακριβώς µια διµελής σχέση που στα οικονοµικά αναφέρεται ως σχέση προτίµησης. Η µελέτη της συµπεριφοράς των καταναλωτών οδηγεί στη µελέτη των διµελών σχέσεων που είναι ένα από τα ϑεµελειώδη προβλήµατα των οικονοµικών. Ενδεικτικά αναφέρουµε ότι το πρόβληµα της αναπαράστασης συνεχών σχέσεων προτίµησης από συνεχείς συναρτήσεις όπως περιγράφεται στο Κεφάλαιο 6 λύθηκε από τον διάσηµο οικονοµολόγο-µαθηµατικό Gerard Debreu. Για τη µοντελοποίηση και µελέτη της συµπεριφοράς των καταναλωτών που περιγράφεται από τις προτιµήσες τους µε τις οποίες συγκρίνουν τα διαάφορα αγαθά Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής διαθέτει κάποιο αρχικό αγαθό και

12 12 Κεφάλαιο1. Εισαγωγή είναι εφοδιασµένος µε µια σχέση προτίµησης µε την οποία κάνει τις επιλογές του Κατανάλωση-ισορροπία Οπως αναφέραµε παραπάνω, ο χώρος αγαθών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι υποσύνολο του ϑετικού κώνου E + του E. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε καταναλωτές και µελετούµε τη συµπεριφορά των καταναλωτών σε σχέση µε τις προτιµήσεις τους, τις τιµές και το συνολικό διαθέσιµο αγαθό. Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής διαθέτει κάποιο αρχικό αγαθό και είναι εφοδιασµένος µε µια σχέση προτίµησης µε την οποία κάνει τις επιλογές του. Καθοριστικό ϱόλο στην οικονοµία ϑα παίξουν οι τιµές των αγαθών. Γενικά είναι άγνωστο τι ϑα συµβεί και στόχος µας είναι να µελετήσουµε τα διάφορα δυνατά ενδεχόµενα για τις διάφορες τιµές των αγαθών. Οι τιµές είναι ο µεγάλος άγνωστος και καθορίζουν τι πρόκειται να συµβεί και ϑέλουµε να µελετήσουµε πως επηρεάζεται η οικονοµία στη µεταβολή των τιµών. Αλλά κυρίως ϑέλουµε να µελετήσουµε αν υπάρχουν τιµές που κάνουν την προσφορά ίση µε τη ήτηση και επιφέρουν την ισορροπία στην αγορά.

13 Κεφάλαιο 2 Μετρικοί χώροι 2.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)(τριγωνική ιδιότητα). Τότε η d είναι µια µετρική στο X και το ευγάρι (X, d) ονοµάζεται µετρικός χώρος. Συχνά για λόγους απλότητας ϑα λέµε ο µετρικός χώρος X αντί του ακριβούς ο µετρικός χώρος (X, d). Εστω (X, d) µετρικός χώρος. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 ϑα συµβολίζουµε µε B(x, ρ) την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ, δηλαδή B(x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} και όταν γράφουµε B(x, ρ) ϑα εννοούµε πάντοτε ότι ρ R µε ρ > 0. Στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές τοπολογικές έννοιες και ιδιότητες των µετρικών χώρων. Υπενθυµίζουµε τις κυριότερες από αυτές που ϑα χρησιµοποιήσουµε στο ϐιβλίο. Εστω A X. Το A είναι ανοικτό αν για κάθε x A, B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστο ρ και το A 13

14 14 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι είναι κλειστό αν το συµπλήρωµα A c = X \ A του A στο X είναι ανοικτό. Αν x X το x είναι εσωτερικό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστον ρ, το x είναι συνοριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A και B(x, ρ) A c για κάθε ρ, το x είναι σηµείο συσσώρευσης του A αν B(x, ρ) (A \ {x}) για κάθε ρ και το x είναι οριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για κάθε ρ. Για κάθε A X συµβολίζουµε µε A το κλειστό περίβληµα του A, δηλαδή A είναι το σύνολο των οριακών σηµείων του A. Εστω ο µετρικός χώρος X και A X. Αν το κλειστό περίβληµα του A είναι ολόκληρο το X, δηλαδή A = X, λέµε ότι το A είναι πυκνό υποσύνολο του X ή ότι το A είναι πυκνό στον X. Αν υπάρχει αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο A του X, λέµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. ηλαδή ο X είναι διαχωρίσιµος αν υπάρχει ακολουθία {x n } του X πυκνή στον X. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία {x n } είναι πυκνή στον X αν για κάθε x X και κάθε ɛ > 0 η σφαίρα B(x, ɛ) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο της ακολουθίας ή ισοδύναµα για κάθε x X υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } που συγκλίνει στο x. Ο µετρικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν µπορεί να γραφεί σαν ενωση δυό ξένων και ανοικτών υποσυνόλων του. Ο µετρικός χώρος (E, d) είναι πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy του E συγκλίνει σε στοιχείο του E. Οπως αναφέραµε παραπάνω, στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές έννοιες της σύγκλισης ακολουθιών και της συνέχειας συναρτήσεων σε µετρικούς χώρους. 2.2 Η επαγόµενη τοπολογία Εστω (E, d) µετρικός χώρος και X E, X, τυχαίο υποσύνολο του E. Ο περιορισµός d X της µετρικής d στο X X είναι µετρική στον X που ονοµάζεται επαγόµενη µετρική του X. Ετσι για κάθε x, y X έχουµε d X (x, y) = d(x, y) και πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η d X είναι µετρική στον X. Επίσης για λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την µετρική d X του X πάλι µε d. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 συµβολίζουµε µε B X (x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ}

15 2.2. Η επαγόµενη τοπολογία 15 την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Για κάθε x X έχουµε : B X (x, ρ) = B(x, ρ) X, όπου B X (x, ρ) είναι η ανοικτή σφαίρα του E µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Η επαγόµενη µετρική του X ορίζει µια τοπολογία στο X που αναφέρεται ως η µετρική τοπολογία ή επαγόµενη τοπολογία του X. Επίσης όταν λέµε ο µετρικός χώρος X ϑα εννοούµε τον X εφοδιασµένο µε τη µετρική τοπολογία. Ετσι αν A X έχουµε ότι το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X ( ή στην επαγόµενη τοπολογία του X) αν για κάθε x A υπάρχει ρ > 0 ώστε B X (x, ρ) A. Οπως ϑα δούµε παρακάτω αν το A είναι ανοικτό υποσύνολο του X δεν έπεται κατανάγκη ότι είναι και ανοικτό υποσύνολο του E. Υποθέτουµε τώρα ότι (E, ) είναι χώρος µε norm και X E, X. Η επαγόµενη τοπολογία του X ορίζεται ως εξής : Για κάθε x, y X d(x, y) = x y, όπου η norm του E, οπότε η d είναι η επαγόµενη µετρική του X και το ευγάρι (X, d) είναι ο µετρικός χώρος X. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 B X (x, ρ) = {y X x y < ρ}, είναι η ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Θεώρηµα 2.1. Εστω E µετρικός χώρος και X E, X και έστω A X, τότε : (i) το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E ανοικτό ώστε A = B X, (ii) το A είναι κλειστό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E κλειστό ώστε A = B X. Απόδειξη. (i): Εστω A ανοικτό υποσύνολο του X. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B X (x, ρ x ) A. Τότε A = x A B X (x, ρ x ).

16 16 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι Αν B = x A B(x, ρ x ), τότε B ανοικτό υποσύνολο του E και A = B X = ( x A B(x, ρ x )) X = x A B X (x, ρ x ) = A. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι A = B X, όπου B E, ανοικτό. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) B, άρα B X (x, ρ x ) = B(x, ρ x ) X B X = A, εποµένως το A είναι ανοικτό. (ii): Εστω A κλειστό υποσύνολο του X. Τότε A c = X \ A ανοικτό υποσύνολο του X, εποµένως, από την (i), υπάρχει D E ανοικτό ώστε A c = D X, άρα A = X \ A c = X \ (D X) = X F, όπου F = E \ D κλειστό υποσύνολο του E. 2.3 Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Εστω X R m, X. Για κάθε x, y X, d(x, y) = x y, όπου η Ευκλείδια norm του R m, είναι η επαγόµενη ή η Ευκλείδια µετρική του X. Το ευγάρι (X, d) είναι Ευκλείδιος µετρικός χώρος που για συντοµία ϑα αναφέρεται και ως ο µετρικός χώρος X R m. Αν είναι norm του R m ισοδύναµη µε την ευκλείδια norm, δηλαδή υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α, ϐ > 0 ώστε : και X R m, η ϐ x x α x για κάθε x R m. d (x, y) = x y για κάθε x, y X, είναι µετρική στον X, ισοδύναµη µε την Ευκλείδια µετρική d του X. Σηµειώνουµε ότι στον R m κάθε norm είναι ισοδύναµη µε την Ευκλείδια norm.

17 2.3. Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι 17 Θεώρηµα 2.2. Εστω ο µετρικός X R m. Αν K X, έχουµε : Το σύνολο K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X αν και µόνο αν κάθε ακολουθία {x n } του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Απόδειξη. Εστω το K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του X και x n = (x n (1), x n (2),..., x n (m)), n N ακολουθία του K. Τότε η ακολου- ϑία των πρώτων συντεταγµένων {x n (1)} της {x n } είναι ϕραγµένη, άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία {x kn (1)}. Αν προχωρήσουµε στη δεύτερη συντεταγµένη της {x kn } έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία της {x kn } ώστε η πρώτη και η δεύτερη συντεταγµένη της υπακολουθίας να συγκλίνουν. Ετσι αν προχωρήσουµε εξαντλώντας τις συντεταγµένες προκύπτει υπακολουθία {y n } της {x n } ώστε y n (i) y(i) για κάθε i = 1, 2,..., m. Αν y = (y(1), y(2),..., y(m)) έχουµε ότι y n y. Πραγµατικά για κάθε ɛ > 0 υπάρχει n 0 ώστε y n (i) y(i) < ɛ για κάθε i = 1, 2,..., m και κάθε n n 0, άρα y n y < ɛ για κάθε n n 0, εποµένως y n y. Επειδή το K είναι κλειστό έχουµε ότι y K. Αντίστροφα αν κάθε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K τότε το K είναι προφανώς κλειστό. Αποδεικνύουµε ότι το K είναι ϕραγµένο ως εξής : Αν το K δεν είναι ϕραγµένο, υπάρχει ακολουθία y n K µε y n n για κάθε n N. Αν {y kn } είναι συγκλίνουσα υπακολουθία της {y n } τότε η {y kn } είναι ϕραγµένη, άτοπο γιατί y kn k n για κάθε n. Άρα το K είναι και ϕραγµένο. Θεώρηµα 2.3. Για κάθε X R m, ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη. Το σύνολο Q m, όπου Q είναι το σύνολο των ϱητών είναι αρι- ϑµήσιµο και πυκνό στον R m. Εστω Q m = {r i i N} µια αρίθµηση του συνόλου. Για κάθε x X και για κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1) n ή ισοδύναµα x B(r i, 1). Εποµένως B(r n i, 1 ) X. Εστω D = n {(i, n) N N B(r i, 1 ) X }. Για κάθε (i, n) D επιλέγουµε n x (i,n) B(r i, 1) X. Τότε η ακολουθία {x n (i,n)} είναι πυκνή στο X. Πραγ- µατικά για κάθε x X και κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1 ) οπότε n x (i,n) B(x, 1 ) X. Άρα d(x, x n (i,n)) < 2, εποµένως η {x n (i,n)} είναι πυκνή στον X.

18 18 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι 2.4 Συµπάγεια Οπως αποδείξαµε προηγουµένως σε Ευκλείδειους µετρικούς χώρους τα κλειστά και ϕραγµένα υποσύνολα K του χώρου έχουν την ιδιότητα : κά- ϑε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Η ιδιότητα αυτή του µετρικού χώρου K έχει πολύ σηµαντικές συνέπειες τόσο στη µαθηµατική ϑεωρία όσο και στις εφαρµογές. Χώροι µε αυτή την ιδιότητα απετέλεσαν αντικείµενο συστηµατικής µελέτης των µαθηµατικών και αναφέρονται ως συµπαγείς. Ετσι δίνουµε τον οισµό : ο µετρικός χώρος X ονοµάζεται συµπαγής αν κάθε ακολουθία του X έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του X. Επειδή ϑα αποδείξουµε παρακάτω ότι η συµπάγεια του X είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα ότι κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, αρχίζουµε τη µελέτη της συµπάγειας µε τους αντίστοιχους ορισµούς. Εστω µετρικός χώρος X. Λέµε ότι η οικογένεια (A i ) i I είναι κάλυψη του X αν A i X για κάθε i και i I A i = X. Αν επιπλέον κάθε A i είναι ανοικτό υποσύνολο του X η (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Αν (A i ) i I είναι κάλυψη του X και I I ώστε i I A i = X, λέµε ότι η (A i ) i I είναι υποκάλυψη του X που αντιστοιχεί στην (A i ) i I. Αν επιπλέον το I είναι πεπερασµένο (αριθµήσιµο) λέµε ότι η (A i ) i I είναι πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη του X ή ισοδύναµα ότι η κάλυψη (A i ) i I έχει πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη. Οταν χρειάζεται δηλώνουµε την κάλυψη στην οποία αντιστοιχεί η υποκάλυψη. Θεώρηµα 2.4. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Απόδειξη. (i) = (ii): Εστω (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Θα δείξουµε πρώτα ότι υπάρχει ρ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I ώστε B(x, ρ) A ix.

19 2.4. Συµπάγεια 19 Αν υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει, για κάθε ρ n = 1, n N υπάρχει n x n X ώστε B(x n, 1 n ) A i, για κάθε i I. Από την (i), υπάρχει υπακολουθία της {x n } που συµβολίζουµε πάλι µε {x n } που συγκλίνει σε σηµείο x X. Επειδή η (A i ) i I είναι κάλυψη του X έχουµε ότι x A i, για ένα τουλάχιστο i και επειδή A i ανοικτό υπάρχει r > 0 ώστε B(x, r) A i. Επειδή η x n συγκλίνει στο x, εχουµε ότι x n B(x, ɛ) για κάθε n n 0. Αν ɛ < r 2, τότε για κάθε n max{ 2, n r 0}, έχουµε B(x n, 1 ) B(x, r) A n i, άτοπο. Άρα υπάρχει ρ > 0 ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I µε B(x, ρ) A ix. Θα δείξουµε ότι για αυτό το ρ υπάρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n B(x i, ρ). i=1 Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η σχέση, τότε αρχίζοντας από κάποιο x 1 X µπορούµε να επιλέξουµε x 2 X \ B(x 1, ρ) και συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο παίρνουµε την ακολουθία {x n } του X ώστε x n+1 X \ n i=1 B(x i, ρ) για κάθε n N. Τότε d(x n, x m ) ρ για κάθε n m, άρα η x n δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, που είναι άτοπο. Άρα υπαρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n i=1 B(x i, ρ). Επειδή B(x i, ρ) A ixi, έχουµε X = n i=1 A i xi, άρα ισχύει η (ii). (ii) (i) : Υποθέτουµε ότι η ακολουθία {x n } του X δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Τότε για κάθε x X υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) περιέχει το πολύ πεπερασµένου πλήθους όρους της ακολουθίας. Η οικογένεια (B(x, ρ x )) x X είναι ανοικτή κάλυψη του X και από τη (ii) υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη του X. Επειδή κάθε σφαίρα περιέχει πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας η πεπερασµένη υποκάλυψη περιέχει και πεπερασµένο πλήθος στοιχείων της ακολουθίας, άτοπο. Άρα η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

20 20 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι Μια οικογένεια συνόλων έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν κάθε πεπερασµένη υποοικογένεια έχει µη κενή τοµή. Ετσι η οικογένεια {B i i I} υποσυνόλων του µετρικού χώρου X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν για κάθε J I πεπερασµένο, έχουµε i J B i. Θεώρηµα 2.5. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έχει µη κενή τοµή. Απόδειξη. (i) (ii) : Εστω η οικογένεια (F i ) i I κλειστών υποσυνόλων του X ώστε i A F i, για κάθε A I πεπερασµένο. Θα δείξουµε ότι i I F i. Υποθέτουµε ότι i I F i =. Τότε ( i I F i ) c = i I F c i = X. Επειδή (F c i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X, από το Θεώρηµα 2.4, υπάρχει A I πεπερασµένο ώστε i A F c i = X. Άρα έχουµε ( i A F c i )c = i A F i =, άτοπο γιατί η οικογένεια (F i ) i I έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, εποµένως i I F i. (ii) (i) : Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.4 αρκεί να δείξουµε ότι κά- ϑε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Τότε i I A i = X, άρα i I A c i =. Αν υποθέσουµε ότι i J A i X για κάθε J I πεπερασµένο έχουµε ότι i J A c i για κάθε J I πεπερασµένο, εποµένως i I A c i, άτοπο. Εποµένως υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη της (A i ) i I, άρα ο X είναι συµπαγής. Παρατήρηση 2.6. Η έννοια της συµπάγειας γενικεύεται και σε γενικούς τοπολογικούς χώρους όπου όµως δεν ισχύει πλέον η ισοδυναµία του Θεω- ϱήµατος 2.4: κάθε ακολουθία του X έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του X αν και µόνο αν κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασ- µένη υποκάλυψη. Ειδικότερα ισχύει αυτή η ισοδυναµία αν η έννοια της ακολουθίας αντικατασταθεί µε την έννοια του δικτύου. Ετσι στη σύγχονη µαθηµατική ϐιβλιογραφία σε οποιδήποτε τοπολογικό χώρο (µετρικό ή µη) ως ορισµός της συµπάγειας δίνεται συνήθως εκείνος µε τις ανοικτές καλύψεις.

21 2.4. Συµπάγεια 21 Θεώρηµα 2.7. Ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν για κάθε ανοικτή κάλυψη (A i ) i I του X υπάρχει αριθµήσιµη υποκάλυψη. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος και ότι {x n } είναι πυκνή ακολουθία στον X. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Για κάθε A i και για κάθε x A i υπάρχει m N ώστε B(x, 1 ) A m i γιατί το A i είναι ανοικτό. Επειδή η {x n } 1 είναι πυκνή στον X υπάρχει x n B(x, ), άρα έχουµε x B(x 1 2m n, ) και 2m 1 B(x n, ) B(x, 1 ) A 2m m i. Πραγµατικά για τη τελευταία σχέση έχουµε 1 ότι για κάθε z B(x n, ) έχουµε d(x, z) d(x, x 2m n) + d(x n, z) 1. Για m κάθε i ορίζουµε το σύνολο F i = {(n, m) N N B(x n, 1 m ) A i}, οπότε έχουµε : A i = (n,m) F i B(x n, 1 m ), γιατί κάθε x A i περιέχεται σε κάποιο B(x n, 1 ). Επειδή (A m i) i I κάλυψη του X έχουµε ότι X = B(x n, 1 m ), (n,m) F όπου F = F i N N. Για κάθε (n, m) F επιλέγω i = i(n, m) I ώστε B(x n, 1 m ) A i(n,m), οπότε έχουµε : X = (n,m) F A i(n,m), άρα (A i(n,m) ) (n,m) F είναι αριθµήσιµη υποκάλυψη του X. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι για κάθε ανοικτή κάλυψη του X υπάρχει αριθµήσιµη ( υποκάλυψη. Τότε για κάθε k N σταθερό, έχουµε ότι η οικογένεια B(x, 1)) είναι ανοικτή κάλυψη του X, άρα υπάρχει k x X αριθµήσιµη υποκάλυψη ( B(x k n, 1 k )) n N

22 22 Κεφάλαιο2. Μετρικοί χώροι του X. Το σύνολο {x k n n, k N}, είναι αριθµήσιµο και πυκνό στον X, άρα ο X είναι διαχωρίσιµος. 2.5 Συνέχεια συναρτήσεων Εστω X µετρικός χώρος και f : X R. Η f είναι συνεχής στο x X αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x f (x n ) f (x). Επειδή η f (x n ) συγκλίνει στο f (x) αν και µόνο αν limf (x n ) = limf (x n ) = f (x), η παραπάνω συνεπαγωγή γράφεται ως εξής x n x limf (x n ) f (x) και limf (x n ) f (x), όπου µε limf (x n ) και limf (x n ) συµβολίζουµε το ανώτερο και κατώτερο όριο της ακολουθίας {f (x n )}. Ετσι η συνέχεια της συνάρτησης διασπάται στις δυο παρακάτω συνθήκες και x n x limf (x n ) f (x) x n x limf (x n ) f (x). που όταν ισχύουν ταυτόχρονα εξασφαλίζουν τη συνέχεια. Οταν ισχύει µια από αυτές η συνάρτηση είναι άνω ή κάτω ηµισυνεχής στο x. Στη διεθνή ϐιβλιογραφία ορίζονται διάφορα είδη ηµισυνέχειας. Ειδικά για συναρτήσεις χρησιµοποιείται ο όρος semicontinious και για πλειότιµες απεικονίσεις οι όροι hemicontinious και demicontinious. Στό ϐιβλίο αυτό για συναρτήσεις ϑα χρησιµοποιήσουµε τον ελληνκό όρο ηµισυνέχεια και για πλειότιµες απεικονίσεις ϑα διατηρήσουµε την αγγλική ορολογία. Εστω f : X R και x X. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x),

23 2.5. Συνέχεια συναρτήσεων 23 ϑα λέµε ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής στο x. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε ότι η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο x. Αν η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής για κάθε x X ϑα λέµε ότι η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής στο X. Θεώρηµα 2.8. Αν X µετρικός χώρος και f : X R, έχουµε : (i) Η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R, (ii) Η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ((, a]) είναι κλειστό για κάθε a R. Απόδειξη. (i): Εστω ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Υποθέτουµε ότι x n f 1 ([a, + )) και ότι x n x. Θα δείξουµε ότι f (x) a, οπότε το f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Εστω ότι f (x) < a και έστω ϐ R µε f (x) < ϐ < a. Επειδή η f είναι άνω ηµισυνεχής έχουµε limf (x n ) f (x), άρα υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } µε f (x kn ) < ϐ για κάθε n, άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f (x n ) a για κάθε n. Άρα για κάθε a R, f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Για το αντίστροφο υπο- ϑέτουµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R. Αν η f δεν είναι άνω ηµισυνεχής υπάρχει x X και ακολουθία {x n } του X ώστε x n x και limf (x n ) > f (x) και έστω limf (x n ) ϐ > γ > f (x). Από τις υποθέσεις αυτές έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } ώστε f (x kn ) > γ > f (x) για κάθε n. Ετσι έχουµε x kn f 1 ([γ, + )), x kn x και x f 1 ([γ, + )), άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a. Άρα η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X. Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Θεώρηµα 2.9. Εστω X συµπαγής µετρικός χώρος και f : X R. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει µέγιστη τιµή στο X. Το σύνολο K των σηµείων που µεγιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1 2 Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γιωργος Λαλας Α.Μ: 331/2004026. Το Θεωρηµα Dvoretzky. Πτυχιακη Εργασια. AΠανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Στατιστικής

Γιωργος Λαλας Α.Μ: 331/2004026. Το Θεωρηµα Dvoretzky. Πτυχιακη Εργασια. AΠανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Στατιστικής Γιωργος Λαλας Α.Μ: 331/2004026 Το Θεωρηµα Dvoretzky Πτυχιακη Εργασια AΠανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Σάµος Ιουνιος 2011 Εισηγητής: Ταχτσής Ελευθέριος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Θεωρία Χρησιµότητας και Προτιµήσεων. Καταναλωτικές Προτιµήσεις: Βασικά Αξιώµατα. Συνολική και οριακή χρησιµότητα Καµπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καµπύλη χρησιµότητας. Ιστορική Αναδροµή

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sthn Majhmatik Anˆlush me efarmogèc stic Pijanìthtec kai thn Statistik. A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Eisagwg sthn Majhmatik Anˆlush me efarmogèc stic Pijanìthtec kai thn Statistik. A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisgwg sthn Mjhmtik Anˆlush me efrmogèc stic Pijnìthtec ki thn Sttistik A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA 2 OktwbrÐou 2015 2 I see it but I don t believe it Cntor on letter to Dedekind upon the discovery

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Νικόλαος Κατσίπης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2007 έκδοση

Διαβάστε περισσότερα