Πώς απαριθμούμε; και επίσης να απαριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή του υποσυνόλου A = {Κ}

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πώς απαριθμούμε; και επίσης να απαριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή του υποσυνόλου A = {Κ}"

Transcript

1 Πώς πριθμούμε; Πριν υιοθετηθεί κι κθιερωθεί ως τρόπος τυτοποίησης το δκτυλικό ποτύπωμ, ο Γάλλος εγκλημτολόγος Alphonse Bertillon (853-94) είχε προτείνει μι μέθοδο τυτοποίησης που, μετξύ άλλων, βσιζότν σε έντεκ ντομικά χρκτηριστικά (ύψος, περίμετρος κεφλής, μήκος υτιού, κ.ά.). Σύμφων με το σύστημ Bertillon (έτσι ονομάζετι υτή η μέθοδος), η τιμή κάθε χρκτηριστικού κττάσσετι/ τξινομείτι σε μι πό τρεις κλάσεις τιμών, small (s), medium (m), large (l) κι έτσι σε κάθε άτομο ντιστοιχίζετι μι -άδ συμβόλων, s, m κι l. Σε κάθε θέση μις τέτοις -άδς, ντιστοιχεί έν ντομικό χρκτηριστικό. Γι πράδειγμ, θ μπορούσε στην η θέση ν ντιστοιχεί το ύψος, στη η η περίμετρος της κεφλής, στην 3 η το μήκος του υτιού, κ.ο.κ.. Συνεπώς, γι κάθε τέτοι -άδ συμβόλων, π.χ. s, s, m, s, l, m, s, l, m, s, s έχει σημσί όχι μόνο ποι σύμβολ κι πόσες φορές το κθέν εμφνίσθηκε λλά κι σε ποιες θέσεις υτά εμφνίσθηκν. Πρότι το σύστημ Bertillon εθεωρείτο ξιόπιστο σύστημ τυτοποίησης/νγνώρισης κι γι υτό υιοθετήθηκε κι χρησιμοποιήθηκε πό πολλές χώρες γι τουλάχιστον δύο δεκετίες, έν θέμ γι το οποίο είχε δεχθεί κριτική φορούσε το πόσο πιθνόν είνι ν βρεθούν δύο τουλάχιστον άνθρωποι με κοινά κι τ έντεκ υτά ντομικά χρκτηριστικά. Άργε, πόσες είνι οι διφορετικές -άδες συμβόλων που είνι δυντόν ν προκύψουν πό το σύστημ Bertillon κι επομένως πόσο πληθυσμό ρκεί ν έχει μι περιοχή ώστε ν είνι βέβιο ότι τουλάχιστον δύο άτομ πό υτή την περιοχή θ έχουν ίδι -άδ συμβόλων; Γι ν πντήσουμε στ προηγούμεν ερωτήμτ πρέπει προφνώς, ν μπορέσουμε με κάποιο τρόπο ν πριθμήσουμε όλες τις διφορετικές διτετγμένες -άδες, (,,..., ), που μπορούν ν δημιουργηθούν πό στοιχεί του συνόλου { s, m, l}. Πρτηρείστε ότι δεν ενδιφέρει κι δε ζητείτι ποιες είνι όλες υτές οι διτετγμένες -άδες λλά μόνο πόσες είνι. Στη συνέχει, ότν θ μάθουμε πώς ν υπολογίζουμε πιθνότητες, θ διπιστώσουμε ότι κτά την νάλυση πιθνοθεωρητικών προβλημάτων, συχνά εμφνίζοντι διάφορ προβλήμτ πρίθμησης που πρέπει ν ντιμετωπίσουμε. Σκεφθείτε το πολύ πλό πράδειγμ όπου κάποιος μς ρωτάει «ποι είνι η πιθνότητ ν έρθει κεφλή ν ρίξω έν μερόληπτο νόμισμ μι φορά». Αβίστ πντάμε ότι υτή η πιθνότητ είνι κι ουσιστικά υτό που κάνουμε (διισθητικά κι χωρίς ν πιτείτι ν έχουμε πρκολουθήσει κάποι μθήμτ πιθνοτήτων) είνι ν πριθμήσουμε πόσ είνι τ δυντά ποτελέσμτ κτά τη ρίψη ενός μερόληπτου νομίσμτος, δηλδή, ν πριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου 3 Ω = { Κ, Γ} κι επίσης ν πριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών ποτελεσμάτων, δηλδή του υποσυνόλου A = {Κ} του Ω. Ανάλογ σκεπτόμενοι, υπολογίζουμε ότι κτά τη ρίψη ενός μερόληπτου ζριού η πιθνότητ ν έρθει, γι πράδειγμ, 5 ή 6 είνι 6. Αυτό που πάλι χρειάσθηκε ν κάνουμε ήτν ν πριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων δύο συνόλων, του συνόλου Ω = {,, 3, 4, 5, 6} κι του υποσυνόλου του, A = {5, 6}. Έγινε στις ρχές του εικοστού ιών Η μέθοδος Bertillon είνι «τριπλή», δηλδή, το τελικό ποτέλεσμ προκύπτει πό τρεις συνιστώσες. Τ έντεκ ντομικά στοιχεί ποτελούν τη μι πό υτές. 3 Με «Κ» συμβολίζουμε το ποτέλεσμ «Κεφλή» κι με «Γ» το ποτέλεσμ «Γράμμτ». Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 5

2 Είνι επομένως χρήσιμο ν μάθουμε πώς ν πριθμούμε! Βέβι, θ μπορούσε κάποιος ν σκεφθεί ότι το πρόβλημ της πρίθμησης του πλήθους των στοιχείων ενός (πεπερσμένου) συνόλου είνι πολύ πλό φού θ μπορούσμε, με έν συστημτικό τρόπο, ν κτγράψουμε όλ τ στοιχεί του κι στη συνέχει ν μετρήσουμε πόσ είνι, δηλδή, ν κάνουμε υτό που κάνμε προηγουμένως στ πρδείγμτ με το νόμισμ κι το ζάρι. Όμως, υτός ο τρόπος προσέγγισης των προβλημάτων πρίθμησης θ ήτν πρκτικά εφικτός μόνο γι σύνολ που πρκτικά μπορεί ν γίνει πλήρης κτγρφή των στοιχείων τους δηλδή γι σύνολ με λίγ στοιχεί. Γι πράδειγμ, όπως θ δούμε στη συνέχει, η πάντηση στην ερώτηση «πόσες είνι οι διφορετικές -άδες συμβόλων που είνι δυντόν ν προκύψουν πό το σύστημ Bertillon», είνι Συμφωνείτε, νομίζω, ότι δεν κτγράφοντι εύκολ, κι σε λογικό χρόνο, όλες υτές οι -άδες! Τ προβλήμτ πρίθμησης πιτούν επομένως διφορετικές (πό την πλήρη κτγρφή) προσεγγίσεις. Γι το σκοπό υτό έχει νπτυχθεί μι ιδιιτέρως ενδιφέρουσ (κι γοητευτική) περιοχή των Μθημτικών, η Συνδυστική (Combinatorics) ή Συνδυστική Ανάλυση (Combinatorial Analysis) που ως κύριο ντικείμενο έχει υτό κριβώς, την νάπτυξη μεθόδων πρίθμησης (enumeration methods/counting rules), δηλδή, τεχνικών υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερσμένων συνόλων ή υποσυνόλων τους που έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες, χωρίς ν πιτείτι η πλήρης κτγρφή των στοιχείων τους. Στη συνέχει υτής της Ενότητς, θ γνωρίσουμε κάποι πολύ βσικά εργλεί κι ποτελέσμτ της Συνδυστικής που μς είνι πρίτητ γι ν κτνοήσουμε τ θέμτ Πιθνοτήτων που εξετάζουμε στην Ενότητ που κολουθεί (Η Έννοι κι Βσικές Ιδιότητες της Πιθνότητς). Ειδικότερ, θ μάθουμε πώς μπορούμε ν πριθμούμε εφρμόζοντς την πολλπλσιστική ρχή κι πώς μπορούμε ν νγνωρίζουμε κι ν πριθμούμε ειδικούς σχημτισμούς στοιχείων όπως, μετθέσεις, διτάξεις κι συνδυσμούς. Η Πολλπλσιστική Αρχή (Multiplication Principle) Πρόκειτι ν φυτέψετε σε μι σειρά μι ελιά (Ε), μι νερντζιά (Ν), μι πορτοκλιά (Π) κι μι λεμονιά (Λ) ώστε ν δημιουργήσετε μι δενδροστοιχί τεσσάρων δένδρων. Άργε, πόσες διφορετικές επιλογές έχετε γι τη δημιουργί της δενδροστοιχίς (γι ν ποφσίσετε, δηλδή, τη σειρά με την οποί θ φυτέψετε τ δένδρ). Ας σκεφτούμε πλά: γι την η θέση της δενδροστοιχίς έχουμε 4 διφορετικές επιλογές (μπορεί ν φυτευτεί οποιοδήποτε πό τ τέσσερ δένδρ, Ε, Ν, Π κι Λ). Οποιδήποτε κι ν είνι η επιλογή μς γι την η θέση, γι τη η έχουμε 3 διφορετικές επιλογές φού το έν πό τ τέσσερ δένδρ έχει ήδη φυτευτεί στην η θέση). Επομένως, γι τις δύο πρώτες θέσεις έχουμε 4 3 = διφορετικές επιλογές. Οποιδήποτε (πό τις ) κι ν είνι η επιλογή μς γι τις δύο πρώτες θέσεις, γι την 3 η θέση προφνώς έχουμε διφορετικές επιλογές, άρ γι τις τρεις πρώτες θέσεις έχουμε = 4 διφορετικές επιλογές. Τέλος, οποιδήποτε (πό τις 4) κι ν είνι η επιλογή μς γι τις τρεις πρώτες θέσεις, γι την 4 η θέση προφνώς έχουμε μόνο επιλογή, επομένως η δενδροστοιχί μπορεί ν δημιουργηθεί με 4 = 4 διφορετικούς τρόπους. Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 6

3 Οδηγηθήκμε στη σωστή πάντηση σκεπτόμενοι πλά κι με επίκληση της κοινής λογικής μόνο. Στην πργμτικότητ, εργζόμενοι με υτόν τον προφνή/πλό τρόπο, εφρμόσμε μι βσική ρχή της Συνδυστικής, την πολλπλσιστική ρχή! Αν κτά την πρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου, ) η διδικσί της πρίθμησης μπορεί ν χωρισθεί σε κ διφορετικά βήμτ τ οποί πρέπει ν εκτελεσθούν διδοχικά το έν μετά το άλλο κι β) το πλήθος των δυντών επιλογών σε κάθε βήμ είνι πλήρως κθορισμένο ότν είνι γνωστά τ ποτελέσμτ όλων των προηγούμενων βημάτων, τότε η πρίθμηση μπορεί ν γίνει με χρήση της πολλπλσιστικής ρχής η οποί διτυπώνετι ως εξής: «Αν το στοιχείο μπορεί ν επιλεγεί με ν διφορετικούς τρόπους κι γι κάθε επιλογή του, το στοιχείο μπορεί ν επιλεγεί με ν διφορετικούς τρόπους,, κι γι κάθε επιλογή των στοιχείων,,...,, το στοιχείο κ μπορεί ν επιλεγεί με ν κ διφορετικούς τρόπους, τότε όλ τ στοιχεί,,..., μπορούν ν επιλεγούν διδοχικά κι με υτή τη συγκεκριμένη σειρά, κτά ν ν... ν κ τρόπους.» Ας δούμε τώρ πώς, χρησιμοποιώντς την πολλπλσιστική ρχή, μπορούμε ν πντήσουμε στο εισγωγικό πρόβλημ (ριθμός -άδων που δημιουργούντι με το σύστημ τυτοποίησης Bertillon). Σκεπτόμστε κι πάλι πλά: γι την η θέση της διτετγμένης -άδς (,,..., ), δηλδή γι το στοιχείο, έχουμε 3 διφορετικές επιλογές (φού μπορεί ν είνι οποιοδήποτε πό τ στοιχεί του συνόλου { s, m, l} ). Γι κάθε επιλογή που κάνουμε γι το, προφνώς οι διφορετικές επιλογές γι τη η θέση, δηλδή γι το, είνι κι πάλι 3 (κι το ο στοιχείο μπορεί ν είνι οποιοδήποτε πό τ στοιχεί του συνόλου { s, m, l} ). Ομοίως σκεπτόμενοι, γι κάθε επιλογή των δύο πρώτων στοιχείων,,, υπάρχουν κι πάλι 3 διφορετικές επιλογές γι το 3, κ.ο.κ.. Επομένως, σύμφων με την πολλπλσιστική ρχή, όλες οι διφορετικές -άδες (,,..., ) που μπορούν ν δημιουργηθούν πό στοιχεί του συνόλου { s, m, l} είνι = 3, δηλδή, Άρ, ν μι περιοχή έχει 7748 κτοίκους είνι βέβιο ότι θ υπάρχουν τουλάχιστον δύο κάτοικοι με ίδιες -άδες συμβόλων s, m κι l του συστήμτος τυτοποίησης Bertillon. H πάντηση στο πρόβλημ που κολουθεί, είνι Σκεφθείτε γιτί. Γι ν ενεργοποιηθούν/πενεργοποιηθούν κάποιες ηλεκτρονικές συσκευές κι κάρτες (κινητά τηλέφων, συστήμτ συνγερμού, κάρτες ΑΤΜ τρπεζών, κ.ά.), πρέπει ν πληκτρολογηθεί ένς τετρψήφιος κωδικός, δηλδή, πρέπει ν πληκτρολογηθούν, με συγκεκριμένη σειρά, τέσσερ ψηφί. Πόσοι διφορετικοί τετρψήφιοι κωδικοί μπορούν ν σχημτισθούν πό τ δέκ ψηφί, 0,,,...,9; Σχόλιο: Στο πρόβλημ με τις δενδροστοιχίες θ μπορούσμε ν πντήσουμε κτγράφοντς (κι μετρώντς) όλες τις δυντές περιπτώσεις. Στο Σχήμ- φίνετι ένς τέτοιος συστημτικός τρόπος πλήρους κτγρφής. Μετρείστε στην τελευτί στήλη όλες τις δενδροστοιχίες. Είνι πράγμτι 4, όσες υπολογίσμε εφρμόζοντς την πολλπλσιστική ρχή. Βέβι, η πλήρης κτγρφή είνι πρκτικά εφικτή γιτί οι Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 7

4 διφορετικές δενδροστοιχίες είνι λίγες, μόλις 4. Σκεφθείτε ν έπρεπε ν κτγράψουμε τις διφορετικές δενδροστοιχίες που είνι δυντόν ν δημιουργηθούν πό 0 διφορετικά δένδρ, δηλδή, ν έπρεπε ν κτγράψουμε = δενδροστοιχίες!! Όσο συστημτικοί κι ν είμστε μάλλον θ δυσκολευόμστν ν τις κτγράψουμε όλες κι στη συνέχει ν τις κτμετρήσουμε. Εφρμόζοντς την πολλπλσιστική ρχή, υπολογίσμε πόσες είνι πολύ πιο εύκολ! Πρτηρείστε, τέλος, ότι ο τρόπος κτγρφής που φίνετι στο Σχήμ- (δενδροδιάγρμμ), ουσιστικά ποτελεί σχημτική νπράστση της πολλπλσιστικής ρχής! ο Δένδρο ο Δένδρο 3 ο Δένδρο 4 ο Δένδρο Δενδροστοιχί ΕΝΠΛ Σχήμ- ΕΝΛΠ ΕΠΝΛ ΕΠΛΝ ΕΛΝΠ ΕΛΠΝ ΝΕΠΛ ΝΕΛΠ ΝΠΕΛ ΝΠΛΕ ΝΛΕΠ ΝΛΠΕ ΠΝΕΛ ΠΝΛΕ ΠΕΝΛ ΠΕΛΝ ΠΛΝΕ ΠΛΕΝ ΛΝΠΕ ΛΝΕΠ ΛΠΝΕ ΛΠΕΝ ΛΕΝΠ ΛΕΠΝ Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 8

5 Επισημίνουμε ότι η πολλπλσιστική ρχή βρίσκει εφρμογή σε προβλήμτ πρίθμησης -άδων (,,..., ) που είνι διτετγμένες, ή λλιώς, στην πρίθμηση κολουθιών στοιχείων (ενεργειών, λειτουργιών, κτλ.),,,...,, που διτάσσοντι σε μι σειρά, ο, ο, 3 o,, o. Κι στ τρί πρδείγμτ που είδμε προηγουμένως, υτό κριβώς κάνμε. Διτετγμένες -άδες πριθμήσμε. Στο πρόβλημ με το σύστημ τυτοποίησης Bertillon, υπολογίσμε πόσες διφορετικές διτετγμένες -άδες (,,..., ) μπορούν ν δημιουργηθούν πό στοιχεί του συνόλου { s, m, l}, στο πρόβλημ με τις δενδροστοιχίες, πόσες διφορετικές διτετγμένες 4-άδες (,, 3, 4 ) πό στοιχεί του συνόλου { E, N, Π, Λ} κι στο πρόβλημ με τους τετρψήφιους κωδικούς ηλεκτρονικών συσκευών κι κρτών, πόσες διφορετικές διτετγμένες 4-άδες (,, 3, 4 ) πό στοιχεί του συνόλου { 0,,...,9}. Πρτηρείστε ότι στο πρόβλημ με τις -άδες τυτοποίησης Bertillon, γι τη δημιουργί μις -άδς, υπάρχει η δυντότητ οποιοδήποτε πό τ στοιχεί του συνόλου { s, m, l} ν μπορεί ν επιλεγεί περισσότερες πό μί φορές. Το ίδιο συμβίνει κι στο πρόβλημ με τους τετρψήφιους κωδικούς. Στο πρόβλημ με τις δενδροστοιχίες δεν υπάρχει υτή η δυντότητ. Γι τη δημιουργί μις διτετγμένης τετράδς (δενδροστοιχίς) υπάρχει ο περιορισμός ότι έν δένδρο που ήδη έχει επιλεγεί σε κάποιο βήμ, δε μπορεί ν επιλεγεί κι πάλι σε επόμενο βήμ. Διευκρινίζουμε, τέλος, ότι γι ν εφρμόσουμε την πολλπλσιστική ρχή, τ στοιχεί,,,...,, των διτετγμένων -άδων (,,..., ), δεν είνι πρίτητο ν επιλέγοντι πό το ίδιο σύνολο (με ή χωρίς περιορισμούς). Ας δούμε έν τέτοιο πράδειγμ. Γι ν δημιουργήσουμε έν κρυπτογρφημένο μήνυμ που ν ποτελείτι πό τρί γράμμτ του ελληνικού λφβήτου κι έν ψηφίο, ποφσίσμε στην πρώτη κι την τέτρτη θέση ν χρησιμοποιήσουμε σύμφων (όχι πριτήτως διφορετικά), στη δεύτερη θέση ψηφίο (εκτός πό το μηδέν) κι στην τρίτη φωνήεν. Δηλδή, το μήνυμ ν είνι της μορφής, (Σύμφωνο, Ψηφίο, Φωνήεν, Σύμφωνο). Γι πράδειγμ, Τ4ΕΠ. Πόσ διφορετικά μηνύμτ υτής της μορφής μπορούμε ν δημιουργήσουμε. Είνι προφνές ότι μς ζητείτι ν πριθμήσουμε 4-άδες κι μάλιστ διτετγμένες. Η διδικσί της πρίθμησης δικρίνετι σε 4 διφορετικά βήμτ. Στο ο βήμ, γι ν ποφσίσουμε ποιο σύμφωνο θ επιλέξουμε, έχουμε 7 διφορετικές επιλογές, όσ τ στοιχεί του συνόλου όλων των συμφώνων του ελληνικού λφβήτου, { Β, Γ,Δ,..., Χ, Ψ}. Στο ο βήμ έχουμε προφνώς 9 διφορετικές επιλογές, όσ τ στοιχεί του συνόλου {,,..., 9}, στο 3 ο βήμ έχουμε 7 διφορετικές επιλογές όσ τ στοιχεί του συνόλου όλων των φωνηέντων του ελληνικού λφβήτου, { Α, Ε, Η, Ι, Ο, Υ, Ω} κι στο 4 ο βήμ έχουμε κι πάλι 7 διφορετικές επιλογές. Άρ, εφρμόζοντς την πολλπλσιστική ρχή, συμπερίνουμε ότι τ διφορετικά μηνύμτ της μορφής (Σύμφωνο, Ψηφίο, Φωνήεν, Σύμφωνο) που μπορούμε ν δημιουργήσουμε είνι = 807, δηλδή, περισσότερ πό 8 χιλιάδες! Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 9

6 Στη συνέχει θ σχοληθούμε με την πρίθμηση σχημτισμών που δημιουργούντι με την επιλογή συγκεκριμένου ριθμού στοιχείων πό το ίδιο σύνολο με ή χωρίς κάποιους περιορισμούς. Οι σχημτισμοί υτοί τξινομούντι σε δύο γενικές κτηγορίες, στις διτάξεις κι τους συνδυσμούς. Απριθμώντς Διτάξεις (-permutations) κι Μετθέσεις (permutations) Ας δούμε πάλι το πρόβλημ με τις δενδροστοιχίες, με μι διφοροποίηση στο τελικό ερώτημ: πόσες διφορετικές επιλογές έχετε γι ν δημιουργήσετε μι δενδροστοιχί των δύο δένδρων που θ επιλέξετε πό έν σύνολο τεσσάρων δένδρων { E, N, Π, Λ} (πό μι ελιά (Ε), μι νερντζιά (Ν), μι πορτοκλιά (Π) κι μι λεμονιά (Λ)). Ζητείτι κι πάλι ν πριθμήσουμε διτετγμένες -άδες, ειδικότερ, ζητείτι ν πριθμήσουμε όλες τις διτετγμένες -άδες που μπορούν ν δημιουργηθούν πό διφορετικά στοιχεί του συνόλου { E, N, Π, Λ}. Δηλδή τις -άδες, ΕΝ, ΝΕ, ΕΠ, Κάθε τέτοιος σχημτισμός, δηλδή κάθε διτετγμένη -άδ που δημιουργείτι πό διφορετικά στοιχεί του συνόλου { E, N, Π, Λ}, ονομάζετι διάτξη των 4 νά. Η πρίθμηση μπορεί ν γίνει σε δικριτά διδοχικά βήμτ με κθορισμένο το πλήθος των επιλογών μς σε κάθε βήμ, επομένως, εφρμόζοντς την πολλπλσιστική ρχή, εύκολ προκύπτει ότι ο ριθμός των διφορετικών διτετγμένων -άδων που μπορούν ν δημιουργηθούν πό διφορετικά στοιχεί του συνόλου { E, N, Π, Λ} είνι 4 3 =. Πρτηρείστε ότι στο ο βήμ έχουμε 4 επιλογές ενώ στο ο έχουμε 4 = 3 επιλογές, φού το δένδρο (όποιο κι ν είνι) που επελέγη γι ν φυτευτεί στο ο βήμ, δε μπορεί ν επιλεγεί κι πάλι στο ο βήμ! Οι δώδεκ υτοί σχημτισμοί, δηλδή, όλες οι διφορετικές διτετγμένες -άδες που δημιουργούντι πό διφορετικά στοιχεί του συνόλου { E, N, Π, Λ}, ή λλιώς, όλες οι διτάξεις των 4 νά στοιχείων του συνόλου { E, N, Π, Λ}, φίνοντι στο Σχήμ-. Ορισμός: Έστω X έν πεπερσμένο σύνολο ν στοιχείων κι ένς θετικός κέριος ριθμός με ν. Διάτξη των ν στοιχείων του Χ νά ή πλούστερ, Διάτξη των ν νά, ονομάζετι κάθε διτετγμένη -άδ (,,..., ) που ποτελείτι πό διφορετικά μετξύ τους στοιχεί του X. Ότν = ν, οι διτάξεις των ν στοιχείων νά ν ονομάζοντι μετθέσεις ν στοιχείων. Θυμηθείτε το ρχικό πρόβλημ με τις δενδροστοιχίες των τεσσάρων δένδρων. Κάθε τέτοι δενδροστοιχί, ποτελεί μι μετάθεση των 4 στοιχείων του συνόλου { E, N, Π, Λ}. Ο ριθμός (to πλήθος) των διτάξεων των ν στοιχείων νά, διεθνώς συμβολίζετι n (συνήθως) με (ν ), ή με P ή με n P. Γι τη συνέχει επιλέξμε ν χρησιμοποιούμε το συμβολισμό, (ν. Εύκολ μπορεί ν ποδειχθεί ότι, ) ( ν ) = ν ( ν ) ( ν )... ( ν + ), ν Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 30

7 (Η πόδειξη προκύπτει άμεσ με εφρμογή της πολλπλσιστικής ρχής. Η πρίθμηση ολοκληρώνετι σε διφορετικά βήμτ, όπου, στο ο έχουμε ν διφορετικές επιλογές, στο ο ν διφορετικές επιλογές κι στο o έχουμε ν ( ) = ν + διφορετικές επιλογές.) Έτσι, γι τον ριθμό (το πλήθος) ( ν ) ν των διφορετικών μετθέσεων ν στοιχείων προφνώς ισχύει, ( ν ) ν = ν ( ν ) ( ν )... ( ν ν + ), ν ή ( ν ) ν =... ( ν ) ν = ν!, ν Σημείωση: Η ποσότητ ν! που ορίζετι ως το γινόμενο... ( ν ) ν, διβάζετι «ν πργοντικό». Χρκτηριστικό του ν! είνι ότι υξνομένου του ν, υξάνετι πολύ γρήγορ. Επληθεύστε, γι πράδειγμ, ότι ενώ το! είνι ίσο με, το 5! είνι ίσο με 0, το 6! ίσο με 70 κι το 0! ίσο με Κτά μι εκδοχή μάλιστ, το θυμστικό (!) επελέγη στο συμβολισμό του πργοντικού κριβώς γι ν δηλώνει την έκπληξη/θυμσμό γι υτή τη ργδί ύξηση. Σημειώνουμε, τέλος, ότι ως 0! ορίζετι η μονάδ, δηλδή, 0! =. Εύκολ μπορείτε ν επληθεύσετε ότι το πλήθος των διτάξεων των ν στοιχείων νά, μπορεί με χρήση πργοντικών ν γρφεί ως εξής: ν! ( ν ) =, ν ( ν )! ο Δένδρο ο Δένδρο Δενδροστοιχί ΕΝ ΕΠ ΕΛ ΝΕ ΝΠ ΝΛ ΠΝ ΠΕ ΠΛ ΛΝ ΛΠ Σχήμ- ΛΕ Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 3

8 Το πράδειγμ που κολουθεί, το επιλέξμε γι ν δούμε πώς μπορούμε ν ερμηνεύουμε κι ν ντιλμβνόμστε υπό έν ευρύτερο πρίσμ την έννοι της διάτξης ν στοιχείων νά κι γενικότερ την έννοι της διτετγμένης -άδς. Το πλήρωμ μις επνδρωμένης διστημικής ποστολής που προγρμμτίζετι ν πργμτοποιηθεί, θ ποτελείτι πό τον κυβερνήτη κι τον συγκυβερνήτη. Θεωρείστε ότι την εκπίδευση γι υτές τις δύο θέσεις την έχουν ολοκληρώσει με επιτυχί 9 άτομ. Από πόσες διφορετικές δυντές συνθέσεις πληρώμτος έχουν τη δυντότητ οι υπεύθυνοι ν επιλέξουν τη σύνθεση που πληρώμτος. Μς ζητείτι ν υπολογίσουμε με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούμε ν επιλέξουμε άτομ πό 9 ή μήπως μς ζητείτι ν υπολογίσουμε με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούμε ν επιλέξουμε άτομ πό 9 κι ν τ κτγράψουμε/ν τ τοποθετήσουμε/ν τ διτάξουμε σε μι σειρά; Η πάντηση είνι το δεύτερο. Γι πράδειγμ, άλλη σύνθεση πληρώμτος είνι υτή που φίνετι στο Σχημ-3 κι άλλη υτή που φίνετι στο Σχήμ-3 β, πρότι κι στις δύο περιπτώσεις έχουν επιλεγεί τ ίδι δύο άτομ πό τ 9. Δηλδή, κάθε σύνθεση του πληρώμτος ποτελεί μι διτετγμένη -άδ, με την έννοι ότι «ος στη σειρά» σημίνει κυβερνήτης κι «ος στη σειρά» σημίνει συγκυβερνήτης (θ μπορούσε κι ντίστροφ!). Σχήμ-3 Σχήμ-3 β Η πάντηση στο ερώτημ είνι πλέον πολύ πλή. Ζητάμε το πλήθος των διτάξεων των 9 νά, επομένως, οι ζητούμενες διφορετικές συνθέσεις είνι, ( 9) = 9 8 = 7. Ας δούμε έν κόμη πράδειγμ: Από διφορετικά μινοξέ, πόσες διφορετικές πολυπεπτιδικές λυσίδες, ποτελούμενες πό 5 διφορετικά μινοξέ η κάθε μι, είνι δυντόν ν δημιουργηθούν; Αν σκεφθούμε ότι τ μινοξέ που κάθε φορά συμμετέχουν στη δημιουργί της λυσίδς πρέπει ν είνι διφορετικά κι ότι έχει σημσί όχι μόνο ποι μινοξέ συμμετέχουν, λλά κι με ποι σειρά, είνι προφνές ότι η πάντηση είνι, ( ) 5 = = Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 3

9 Απριθμώντς Επνληπτικές Διτάξεις (-permutations with repetitions) Στον ορισμό των διτάξεων ν στοιχείων (ενός συνόλου Χ) νά, λλά κι στ σχετικά πρδείγμτ που δώσμε, επισημάνμε ότι στη δημιουργί μις διάτξης ν στοιχείων νά, δεν υπάρχει δυντότητ (δεν επιτρέπετι) ν επιλέξουμε κάποιο στοιχείο (του συνόλου Χ) περισσότερες πό μι φορές. Στην περίπτωση που υπάρχει υτή η δυντότητ, η διάτξη ν στοιχείων νά που δημιουργείτι ονομάζετι επνληπτική διάτξη των ν στοιχείων νά. Μπορούμε, έτσι, ν δημιουργήσουμε διτετγμένες -άδες πό τ στοιχεί ενός συνόλου που έχει λιγότερ πό στοιχεί φού οποιοδήποτε στοιχείο επιτρέπετι ν χρησιμοποιηθεί περισσότερες πό μί φορές. Αυτό, γι πράδειγμ, κάνουμε ότν συμπληρώνουμε έν δελτίο ΠΡΟΠΟ. Δημιουργούμε διτετγμένες 3-άδες πό τ στοιχεί του συνόλου, {, X, } τ οποί μπορούν ν επνληφθούν μέχρι κι 3 φορές το κθέν. Επομένως, με εφρμογή της πολλπλσιστικής ρχής, εύκολ 3 προκύπτει ότι μπορούν ν δημιουργηθούν = 3 = διφορετικές στήλες ΠΡΟΠΟ (των δεκτριών γώνων). Γενικά, εύκολ μπορεί ν ποδειχθεί ότι, Ο ριθμός (το πλήθος) των επνληπτικών διτάξεων των ν στοιχείων νά είνι, ν (Η πόδειξη προκύπτει άμεσ με εφρμογή της πολλπλσιστικής ρχής. Η πρίθμηση ολοκληρώνετι σε διφορετικά βήμτ, όπου, στο ο έχουμε ν διφορετικές επιλογές, στο ο έχουμε επίσης ν διφορετικές επιλογές κθώς κι σε κθέν πό τ επόμεν βήμτ (μέχρι κι το βήμ ) έχουμε ν επίσης επιλογές, φού όποιο στοιχείο έχει ήδη χρησιμοποιηθεί σε κάποιο βήμ μπορεί κι πάλι ν χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε επόμενο.) Τέτοιους σχημτισμούς, δηλδή, επνληπτικές διτάξεις των ν στοιχείων νά, έχουμε ήδη πριθμήσει (χωρίς ν τους ονομτίσουμε) ότν μιλήσμε γι την πολλπλσιστική ρχή. Δείτε πάλι το πρόβλημ με τις διτετγμένες -άδες του συστήμτος τυτοποίησης Bertillon που δημιουργούντι πό στοιχεί του συνόλου { s, m, l} κι θυμηθείτε ότι κθέν πό υτά τ στοιχεί επιτρέπετι ν επιλέγετι γι τη δημιουργί διτετγμένης -άδς περισσότερες πό μι φορές. Σκεφθείτε επίσης πάλι, το πρόβλημ με τους τετρψήφιους κωδικούς ηλεκτρονικών συσκευών κι κρτών που δημιουργούντι πό στοιχεί του συνόλου { 0,,,...,9}. Ας δούμε έν κόμη πράδειγμ: Πόσες διφορετικές τριπλέτες νουκλεοτιδίων είνι δυντόν ν δημιουργηθούν πό τις τέσσερις βάσεις Αδενίνη (Α), Κυτοσίνη (C), Γουνίνη (G) κι Θυμίνη (T); Ζητείτι ν πριθμήσουμε διτετγμένες 3-άδες που δημιουργούντι πό στοιχεί του συνόλου { A, C, G, T}, με τη δυντότητ, οποιοδήποτε πό υτά ν μπορεί ν χρησιμοποιηθεί περισσότερες πό μι φορές. Δηλδή, ν πριθμήσουμε διτετγμένες 3-άδες της μορφής, AAA, AAC, AAG, AAT, ACA, ACC, ACG, κτλ. Πρόκειτι επομένως γι επνληπτικές διτάξεις 4 στοιχείων νά 3, άρ είνι δυντόν ν δημιουργηθούν = 4 3 = 64 διφορετικές τέτοιες τριπλέτες νουκλεοτιδίων. 3 Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 33

10 Απριθμώντς Μετθέσεις των ειδών στοιχείων (permutations with Categories) Οι διφορετικές διτετγμένες 4-άδες που δημιουργούντι πό τ 4 γράμμτ Α, Λ, Λ κι Ο, της λέξης ΑΛΛΟ, δηλδή, οι διφορετικοί νγρμμτισμοί της, είνι οι εξής: ΑΛΛΟ, ΑΛΟΛ, ΛΑΛΟ, ΛΑΟΛ, ΟΑΛΛ, ΛΛΑΟ, ΛΛΟΑ, ΑΟΛΛ, ΛΟΑΛ, ΛΟΛΑ, ΟΛΛΑ, ΟΛΑΛ. Συνολικά δηλδή, είνι κι όχι όσες οι μετθέσεις 4 στοιχείων, 4! = 4, που ίσως περιμένμε. Πρτηρείστε ότι υτό συμβίνει γιτί τ 4 στοιχεί που χρησιμοποιούμε γι τη δημιουργί υτών των διτετγμένων 4-άδων δεν είνι όλ διφορετικά μετξύ τους, με συνέπει κάποιες 4-άδες (πό τις 4) ν είνι ίδιες. Συγκεκριμέν, ν ντιμετθέσουμε τ δύο ίδι στοιχεί οποισδήποτε 4-άδς, προφνώς, δεν προκύπτει κάτι κινούργιο (κάποι νέ-διφορετική 4-άδ) λλά νπράγετι η ίδι την οποί φυσικά δεν (πρέπει ν) κτμετράμε ως νέ. Αυτοί οι σχημτισμοί, φυσικά, δεν ονομάζοντι μετθέσεις των 4 στοιχείων (γιτί δεν είνι, φού οι μετθέσεις ν στοιχείων δημιουργούντι πό διφορετικά μετξύ τους στοιχεί) λλά ονομάζοντι μετθέσεις των 3 ειδών στοιχείων, με την έννοι ότι δημιουργούντι όχι πό διφορετικά στοιχεί λλά πό διφορετικά είδη στοιχείων, εν προκειμένω πό 3 είδη, το Α, το Λ κι το Ο, με τον περιορισμό ότι το Α χρησιμοποιείτι φορά, το Λ φορές κι το Ο φορά. Τέτοι προβλήμτ πρίθμησης συνντώντι ρκετά συχνά σε διάφορες πρκτικές εφρμογές (κάποιες, ενδεικτικά, θ δούμε στη συνέχει). Συμβίνει, δηλδή, ν ενδιφέρει η πρίθμηση των μετθέσεων ν στοιχείων που νήκουν σε διφορετικά είδη, κθέν πό τ οποί περιλμβάνει ένν ριθμό ίδιων στοιχείων (τουλάχιστον έν). Τέτοιοι σχημτισμοί, ονομάζοντι μετθέσεις των ειδών στοιχείων. Ας δούμε κι μι άλλη διτύπωση του ορισμού υτών των σχημτισμών: Ορισμός: Έστω έν πεπερσμένο σύνολο X = { x, x,..., x }, (διφορετικών) στοιχείων (με ). Κάθε διτετγμένη ν-άδ, που δημιουργείτι ν χρησιμοποιηθεί το στοιχείο x συνολικά n φορές το στοιχείο x συνολικά n φορές το στοιχείο x συνολικά n φορές όπου, ν = n + n , ονομάζετι μετάθεση των ειδών στοιχείων. n Ο ριθμός των διφορετικών μετθέσεων των ειδών στοιχείων, πό τ οποί, τ n είνι είδους, τ n είνι είδους,, τ n είνι είδους, συμβολίζετι με, ν n, n,..., n κι δίνετι πό τον τύπο: ν ν! n, n,..., n =, όπου, ν = n + n n. n! n!... n! Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 34

11 Σημείωση: Γι την πόδειξη, μπορούμε ν σκεφθούμε ως εξής: έστω x ο συνολικός ριθμός των μετθέσεων των ειδών στοιχείων που θέλουμε ν υπολογίσουμε. Από κάθε τέτοι μετάθεση, ν διφοροποιήσουμε με κάποιο τρόπο τ στοιχεί κάθε είδους (π.χ. ν τ ριθμήσουμε) πίρνουμε n! n!... n! μετθέσεις ν διφορετικών στοιχείων (σκεφτείτε γιτί). Αυτό σημίνει ότι το γινόμενο x ( n! n!... n!) εκφράζει τον ριθμό όλων των μετθέσεων ν (διφορετικών) στοιχείων. Όμως, ο ριθμός υτός είνι γνωστός κι ίσος με ν!. Δηλδή, x ( n! n!... n!) = v! άρ x = ν! n! n!... n!. Αν εφρμόσουμε υτόν τον τύπο γι ν υπολογίσουμε πόσοι είνι οι διφορετικοί 4! νγρμμτισμοί της λέξης ΑΛΛΟ, βρίσκουμε ότι πράγμτι είνι =,!!! δηλδή, όσοι κτγράψμε. Πρτήρηση: Προσέξτε ότι οι μετθέσεις των ειδών στοιχείων, όπως κι οι επνληπτικές διτάξεις των ν νά (που είδμε στ προηγούμεν), είνι διτετγμένοι σχημτισμοί στοιχείων κθέν πό τ οποί επιτρέπετι ν επνλμβάνετι. Όμως, στις μετθέσεις των ειδών στοιχείων υπάρχει περιορισμός στο μέγιστο ριθμό φορών που επνλμβάνετι κθέν στοιχείο κάτι το οποίο δε συμβίνει στις επνληπτικές διτάξεις των ν νά, όπου δεν υπάρχει κάποιος τέτοιος περιορισμός (εκτός, φυσικά, πό τον προφνή ότι ο μέγιστος ριθμός φορών δε μπορεί ν ξεπερνά το ). Ας δούμε κάποι πρδείγμτ πρίθμησης μετθέσεων των ειδών στοιχείων. Τμήμ λυσίδς του DNA: Έν τμήμ της λυσίδς του DNA πριστάνετι ως μι σειρά με στοιχεί A, C, G, T που συμβολίζουν τις 4 βάσεις Αδενίνη, Κυτοσίνη, Γουνίνη κι Θυμίνη ντίστοιχ. Ενδιφερόμστε ν υπολογίσουμε, πόσες διφορετικές συνθέσεις μπορούν ν προκύψουν γι έν τμήμ μήκους 4, ν σε υτό υπάρχουν 3 στοιχεί ίσ με Α, 4 στοιχεί ίσ με C, στοιχεί ίσ με G κι 5 ίσ με Τ. Ζητείτι ν πριθμήσουμε διτετγμένες (προφνώς) 4-άδες που δημιουργούντι πό τ στοιχεί του συνόλου { A, C, G, T}, κθέν πό τ οποί επιτρέπετι ν επνλμβάνετι, με τον περιορισμό όμως, ότι το A επνλμβάνετι 3 φορές, το C 4 φορές, το G φορές κι το T 5 φορές. Γι πράδειγμ, 4-άδες όπως, ΑCTΑΑCTCGCGTTT, CTΑCTCGGTATCAT, ΑΑΑTTTΤΤCCCCGG, κτλ. Πρόκειτι, επομένως, γι πρόβλημ πρίθμησης μετθέσεων 4 ειδών στοιχείων, πό τ οποί, τ n = 3 είνι είδους Α, τ n = 4 είνι είδους C, τ n 3 = είνι είδους G κι τ n = 5 είνι είδους Τ. Άρ, οι διφορετικές συνθέσεις μήκους 4 που μπορούν ν προκύψουν πό 3 στοιχεί ίσ με Α, 4 στοιχεί ίσ με C, στοιχεί ίσ 4! με G κι 5 ίσ με Τ είνι = !4!! 5! Έν κόμη ερώτημ: Σε πόσ πό υτά τ τμήμτ της λυσίδς του DNA τ στοιχεί που ντιστοιχούν σε κάθε μι πό τις 4 βάσεις είνι συγκεντρωμέν όλ μζί; Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 35

12 Από τ 550 διφορετικά τμήμτ DNA μήκους 4, που μπορούν ν προκύψουν πό 3 στοιχεί ίσ με Α, 4 στοιχεί ίσ με C, στοιχεί ίσ με G κι 5 ίσ με Τ, ζητείτι ν πριθμήσουμε εκείν που είνι της μορφής, ΑΑΑCCCCGGTTTTT, CCCCGGΑΑΑTTTTT, ΑΑΑGGTTTTTCCCC, κ.ο.κ. Αν συμβολίσουμε την ομάδ AAA με Α*, την ομάδ CCCC με C*, την ομάδ GG με G* κι τέλος, την ομάδ TTTTT με T*, είνι προφνές ότι ζητάμε τον ριθμό των μετθέσεων των τεσσάρων στοιχείων, Α*, C*, G* κι T*. Η πάντηση επομένως είνι, 4! = 4. Διδρομές σε κιγκλιδώμτ: Πόσες διφορετικές διδρομές υπάρχουν πό το σημείο Χ στο σημείο Ζ, ν σε κάθε μετκίνηση, επιτρέπετι έν βήμ ντολικά (δεξιά) ή έν βήμ 4 βόρι ( πάνω). Πρτηρείστε ότι, κάθε επιτρεπτή διδρομή πό το Χ στο Ζ ορίζετι πό μι διτετγμένη λληλουχί 6 «βημάτων» πό τ οποί τ 0 ντολικά (Α) (προς τ δεξιά) κι τ 6 βόρι (Β) (προς τ πάνω). Γι πράδειγμ, η διδρομή που έχει σημειωθεί στο σχήμ με δικεκομμέν βέλη ορίζετι πό τη διτετγμένη 6-άδ, B B A A A A A A A A B A A B B B ενώ η διδρομή που έχει σημειωθεί με μη δικεκομμέν βέλη ορίζετι πό τη διτετγμένη 6-άδ, A A B A A A B B A A B A A B B A. Πρτηρείστε ότι κι στις δύο 6-άδες, το σύμβολο Α εμφνίζετι 0 φορές κι το σύμβολο Β, 6 φορές. Η πάντηση πλέον είνι πλή. Πρόκειτι γι πρίθμηση των μετθέσεων ειδών στοιχείων πό τ οποί, τ n = 0 είνι είδους Α κι τ n = 6 είνι είδους Β. Άρ ν! 6! υπάρχουν = = 8008διφορετικές διδρομές! n! n! 0! 6! Ας δούμε μι κόμη πρλλγή του προβλήμτος με τις δενδροστοιχίες. Δενδροστοιχίες: Πόσες διφορετικές επιλογές έχετε γι ν δημιουργήσετε μι δενδροστοιχί που θ ποτελείτι πό 5 όμοιες ελιές (Ε), 3 όμοιες νερντζιές (Ν), 5 όμοιες πορτοκλιές (Π) κι 7 όμοιες 5 λεμονιές (Λ). 4 Ως βήμ ορίζετι έν οριζόντιο ή έν κτκόρυφο τμήμ μετξύ δύο διδοχικών σημείων 5 Δένδρ του ιδίου είδους τ θεωρούμε όμοι ότν έχουν ίδιο ύψος κι ίδι κόμη Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 36

13 Οι σχημτισμοί (δενδροστοιχίες) που μς ζητείτι ν πριθμήσουμε, ποτελούντι ο κθένς πό ν = 0 διτετγμέν (προφνώς) στοιχεί (δένδρ, εν προκειμένω), τ οποί δεν είνι όλ διφορετικά μετξύ τους, λλά n = 5 πό υτά είνι είδους Ε, n = 3 είνι είδους Ν, n 3 = 5 είνι είδους Π κι n = 4 7 είνι είδους Λ. Ένς τέτοιος σχημτισμός, είνι γι πράδειγμ, ο σχημτισμός, ΕΛΛΕΠΕΝΛΝΠΛΕΛΠΛΠΕΠΝΛ. Πρόκειτι, επομένως, γι πρίθμηση των μετθέσεων 4 ειδών στοιχείων πό τ οποί, n = 5 είνι είδους Ε, n = 3 είνι είδους Ν, n 3 = 5 είνι είδους Π κι n = 4 7 είνι είδους Λ. Άρ γι τη δημιουργί της δενδροστοιχίς, υπάρχουν ν! 0! = = διφορετικές επιλογές! n! n! n n! 5!3!5!7! 3 4 Πολυωνυμικοί συντελεστές (multinomial coefficients): Τ κλάσμτ της μορφής, ν!, n! n!... n! όπου, ν, n, n,..., n φυσικοί ριθμοί με ν = n + n n, ονομάζοντι πολυωνυμικοί συντελεστές γιτί εμφνίζοντι στον γενικό όρο, ν! n n n x x x, n! n!... n! ν του νπτύγμτος, του ( x + x x ). Δηλδή, ο ριθμός των μετθέσεων ειδών στοιχείων συνδέετι με έν πολυωνυμικό νάπτυγμ! Πρόκειτι γι πολύ ενδιφέρουσ σχέση, λλά δε θ επεκτθούμε. Διίρεση συνόλου: Ως μι τελευτί εφρμογή (μάλλον κτηγορί ν! εφρμογών) των πολυωνυμικών συντελεστών, με n! n!... n! ν = n + n n, νφέρουμε την εξής: Έν σύνολο ν διφορετικών στοιχείων μπορεί ν διιρεθεί/χωρισθεί σε δικριτά/ξέν νά δύο υποσύνολά του, A, A,..., A, μεγέθους, ν! n, n,..., n, ντίστοιχ, κτά τρόπους. n! n!... n! Σημειώνουμε ότι νφερόμστε σε διίρεση συνόλου σε υποσύνολ που εμφνίζοντι με συγκεκριμένη σειρά A, A,..., A, δηλδή, που είνι διτετγμέν, γι υτό κι ποφύγμε, όπως ίσως πρτηρήστε, τον όρο διμέριση συνόλου, όπου εκεί τ υποσύνολ δεν είνι διτετγμέν. Ως έν σχετικό πράδειγμ, δείτε το Πρόβλημ-3 στο τέλος της Ενότητς. Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 37

14 Απριθμώντς Συνδυσμούς (Combinations) Σε όλες τις περιπτώσεις σχημτισμών στοιχείων που μελετήσμε στ προηγούμεν, μς ενδιέφερε, όπως είδμε, η διάτξη των στοιχείων τους. Υπάρχουν όμως προβλήμτ πρίθμησης σχημτισμών όπου η διάτξη των στοιχείων τους δεν ενδιφέρει. Γι πράδειγμ, ς δούμε πάλι το πρόβλημ της επιλογής δένδρων πό έν σύνολο τεσσάρων δένδρων { E, N, Π, Λ} (μι ελιά (Ε), μι νερντζιά (Ν), μι πορτοκλιά (Π) κι μι λεμονιά (Λ)) που συζητήσμε ότν μιλήσμε γι την πρίθμηση διτάξεων. Θεωρείστε όμως τώρ, ότι θέλουμε ν επιλέξουμε δένδρ πό τ τέσσερ του συνόλου { E, N, Π, Λ}, όχι γι ν δημιουργήσουμε μι δενδροστοιχί των δένδρων, λλά γι ν τ χρησιμοποιήσουμε σε μι πρκτική άσκηση των φοιτητών στο θερμοκήπιο του πνεπιστημίου. Πρτηρείστε ότι πλέον δεν προκύπτει πό κάπου ότι γι τις -άδες των δένδρων που επιλέγουμε ενδιφέρει οποιουδήποτε είδους διάτξη. Αυτό θ συνέβινε όπως είδμε, ν γι πράδειγμ, επιλέγμε τ δύο δένδρ γι ν δημιουργήσουμε μι δενδροστοιχί ή γι ν χρησιμοποιούσμε το έν σε έν πείρμ (έστω Π) κι το άλλο σε έν άλλο πείρμ (έστω Π). Κάτι τέτοιο όμως δε φίνετι ν συμβίνει. Έτσι, ο σχημτισμός π.χ. ΕΝ δε διφοροποιείτι πό το σχημτισμό ΝΕ. Τέτοιες περιπτώσεις σχημτισμών στοιχείων, όπου δεν ενδιφέρει η διάτξη των στοιχείων τους ονομάζοντι συνδυσμοί. Ορισμός: Έστω X έν πεπερσμένο σύνολο ν στοιχείων κι ένς θετικός κέριος ριθμός με ν. Συνδυσμός των ν στοιχείων του Χ νά ή πλούστερ, Συνδυσμός των ν νά, ονομάζετι κάθε υποσύνολο του X που έχει στοιχεί, ή λλιώς, κάθε μη διτετγμένη συλλογή διφορετικών μετξύ τους στοιχείων του X. Οι σχημτισμοί του πρδείγμτός μς ονομάζοντι συνδυσμοί των 4 στοιχείων του συνόλου {Ε, Ν, Π, Λ} νά, ή συνδυσμοί των 4 νά. Το πρώτο ερώτημ που, φυσικά, γεννάτι, φορά τον ριθμό (το πλήθος) των συνδυσμών των ν νά. Ο ριθμός των συνδυσμών των ν στοιχείων νά, συμβολίζετι με κι δίνετι πό τον τύπο: ( ν ) =! ν! =, ν!( ν )! Ας δούμε την πόδειξη υτού του τύπου ως μι άσκηση (προυσιάζει ενδιφέρον): Στο πράδειγμά μς, εύκολ μπορούμε ν κτγράψουμε τους συνδυσμούς των 4 στοιχείων του συνόλου { E, N, Π, Λ} νά. Είνι προφνώς οι εξής έξι: ΕΝ, ΕΠ, ΕΛ, ΝΠ, ΝΛ, ΠΛ. Γι ν δούμε πώς μπορούμε ν υπολογίσουμε το πλήθος τους, 4, χωρίς ν χρεισθεί ν τους κτγράψουμε κι ν τους κτμετρήσουμε. Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 38

15 Ως πολύ κλά εξοικειωμένοι με την πολλπλσιστική ρχή (υτό ουσιστικά κάνμε μέχρι τώρ, δε μάθμε ν κάνουμε κάτι άλλο), ς τη χρησιμοποιήσουμε κι πάλι. Υπάρχουν 4 διφορετικές επιλογές γι το ο δένδρο κι γι κάθε μι πό υτές υπάρχουν 3 διφορετικές επιλογές γι το ο, επομένως, σύμφων με την πολλπλσιστική ρχή, μπορούν ν δημιουργηθούν 4 3 = διφορετικές -άδες, οι οποίες όμως είνι διτετγμένες. Αυτό σημίνει ότι η -άδ που δημιουργείτι π.χ. πό τ στοιχεί Ε κι Ν, έχει μετρηθεί (στις ) κι ως ΕΝ κι ως ΝΕ. Δηλδή, κάθε -άδ στοιχείων του συνόλου { E, N, Π, Λ}, έχει μετρηθεί φορές, όσες είνι οι μετθέσεις στοιχείων (! = = ). Άρ, το πλήθος των διφορετικών -άδων που δεν ενδιφέρει η σειρά κτγρφής των στοιχείων τους, δηλδή, το πλήθος των διφορετικών συνδυσμών των 4 νά, είνι, 4 3 (4) = = 6.! Είνι φνερό, ότι ο ριθμός των συνδυσμών συνδέετι με τον ριθμό των ντίστοιχων διτάξεων. Γι ν νιχνεύσουμε κλύτερ υτή τη σχέση ώστε ν την κτνοήσουμε κι κλύτερ, ς δούμε την πρπάνω διδικσί κι ντίστροφ. Πρτηρείστε στον πίνκ που κολουθεί πώς/με ποι διδικσί προκύπτουν οι διτάξεις πό τους συνδυσμούς. Οι Συνδυσμοί των 4 στοιχείων του συνόλου {Ε, Ν, Π, Λ} νά. {Ε, Ν} {Ε, Π} {Ε, Λ} {Ν, Π} {Ν, Λ} {Π, Λ} Οι Μετθέσεις που προκύπτουν πό κάθε συνδυσμό στοιχείων {Ε, Ν} {Ν, Ε} {Ε, Π} {Π, Ε} {Ε, Λ} {Λ, Ε} {Ν, Π} {Π, Ν} {Ν, Λ} {Λ. Ν} {Π, Λ} {Λ. Π} 6 Συνδυσμοί Μετθέσεις νά Συνδυσμό = Διτάξεις Οι Διτάξεις των 4 στοιχείων του συνόλου {Ε, Ν, Π, Λ} νά {Ε, Ν} {Ν, Ε} {Ε, Π} {Π, Ε} {Ε, Λ} {Λ, Ε} {Ν, Π} {Π, Ν} {Ν, Λ} {Λ. Ν} {Π, Λ} {Λ. Π} Είνι πλέον φνερό ότι: πό κάθε συνδυσμό ν νά, δημιουργούντι! μετθέσεις των στοιχείων του, που είνι διτάξεις των ν νά. Επομένως, ο ριθμός,, των συνδυσμών των ν νά, συνδέετι με τον ριθμό, (ν ), των διτάξεων των ν νά, με τη σχέση:! = ( ν ) ( ν ) Δηλδή, =. Κι επειδή, ο ριθμός (ν ) των διτάξεων ν νά μς είνι! γνωστός, έχουμε, ( ν ) ν ( ν )...( ν + ) ν! = = =.!!!( ν )! Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 39

16 ν Σημείωση: ) Επληθεύστε ότι, =, = ν κι ότι = ν κ ν β) Συμβτικά (γιτί συνδυστική ερμηνεί δεν έχει), ορίζουμε, 0 = ν γ) Μπορείτε ν ποδείξετε τη σχέση = με συλλογισμούς κ ν συνδυστικής κι μόνο, δηλδή, χωρίς πράξεις κι τύπους; Ας δούμε μερικά πρδείγμτ πρίθμησης συνδυσμών. Από 8 άτομ, θέλουμε ν επιλέξουμε τρί γι ν σχημτίσουμε μι τριμελή επιτροπή. Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορεί ν γίνει υτό; Εφόσον δεν προκύπτει πό κάπου ότι σε υτούς τους σχημτισμούς των 3 στοιχείων (τριμελείς επιτροπές) μς ενδιφέρει κάποιου είδους διάτξη, είνι προφνές ότι πρόκειτι γι πρίθμηση των συνδυσμών των 8 νά 3. Επομένως, η πάντηση 8 8! 8! είνι, = = = = 56. Δηλδή, έχουμε 56 διφορετικές επιλογές 3 3!(8 3)! 3! 5! 3! γι ν σχημτίσουμε μι τριμελή επιτροπή πό μι ομάδ 8 τόμων. Ερώτηση: Ας λλάξουμε, λίγο, τη διτύπωση στο προηγούμενο πράδειγμ: πό 8 άτομ, θέλουμε ν επιλέξουμε τρί γι ν σχημτίσουμε μι τριμελή επιτροπή στην οποί έν πό τ τρί άτομ ορίζετι πρόεδρος, έν ντιπρόεδρος κι έν γρμμτές. Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορεί ν γίνει υτό; Τώρ οι σχημτισμοί που μς ζητείτι ν πριθμήσουμε είνι διτετγμένοι φού με την πονομή διφορετικών «τίτλων» στ τρί άτομ, προφνώς προκύπτει μι σχέση διάτξης μετξύ τους (θυμηθείτε κι το πράδειγμ με το πλήρωμ της διστημικής ποστολής ότν μιλήσμε γι διτάξεις). Συνεπώς, η πάντηση τώρ είνι, ( 8) 3 = = 336. Η μικρή λλγή στη διτύπωση είχε σοβρές μάλλον συνέπειες Απλά, ορίσθηκε άλλο πρόβλημ!!! Στο πλίσιο ενός μετπτυχικού μθήμτος που πρκολουθείτε, ο κθηγητής σς δίνει 9 δημοσιευμένες εργσίες (papers) σχετικές με κάποιο θέμ που συζητήθηκε στο μάθημ κι σς νκοινώνει ότι πρέπει ν τις μελετήσετε κι ότι θ εξετσθείτε σε 5 πό υτές. Πόσες είνι οι δυντές 5- άδες εργσιών, σε μι πό τις οποίες θ εξετστείτε; Είνι προφνές, ότι υτό που ενδιφέρει είνι μόνο σε ποιες 5 πό τις 9 εργσίες θ εξετσθείτε κι όχι με ποι σειρά. Επομένως κάθε 5-άδ εργσιών πό τις 9 είνι ένς συνδυσμός των 9 νά 5, κι άρ η πάντηση στο ερώτημ είνι, 9 9! = = = = ! 4! 4! 4 Ένς κοινωνιολόγος ερευνητής, στο πλίσιο μις μελέτης, πρόκειτι ν επιλέξει, με βάση έν σχέδιο τυχίς δειγμτοληψίς, 6 άτομ πό μι ομάδ 0 τόμων, πό τ οποί τ 0 είνι άνδρες κι τ υπόλοιπ 0 γυνίκες. ) Πόσες ομάδες των 6 τόμων είνι δυντόν ν σχημτισθούν. β) Πόσες ομάδες των 6 τόμων που ποτελούντι i) μόνο πό άνδρες ii) Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 40

17 μόνο πό γυνίκες iii) πό 3 άνδρες κι 3 γυνίκες είνι δυντόν ν σχημτισθούν. ) Πρόκειτι προφνώς γι τον ριθμό (το πλήθος) των διφορετικών συνδυσμών των 0 νά 6, επομένως η πάντηση είνι, 0 0! = = = = ! 4! 6! 70 β i ) Η πάντηση είνι: με όσους τρόπους μπορούμε ν επιλέξουμε 6 άνδρες πό 0 0 κι δεν μς ενδιφέρει κάποιου είδους διάτξη, δηλδή, με =... = 0 τρόπους. 6 0 β ii ) Όπως στο (β i ) ερώτημ, με =... = 0 τρόπους. 6 β iii ) Σκεπτόμενοι όπως στ προηγούμεν ερωτήμτ, 3 άνδρες πό 0, μπορούν ν 0 επιλέγουν με =... = 0 τρόπους. Το ίδιο κι 3 γυνίκες πό 0, μπορούν ν 3 0 επιλεγούν με =... = 0 τρόπους. Επομένως (σκεφθείτε γιτί) τρεις άνδρες κι τρεις γυνίκες μπορούν ν επιλεγούν με = 0 0 = 4400 τρόπους. 3 3 Διωνυμικοί συντελεστές (Binomial coefficients): Οι ριθμοί ονομάζοντι διωνυμικοί συντελεστές, γιτί εμφνίζοντι ως συντελεστές στο νάπτυγμ της ν- οστής δύνμης του διωνύμου, ( x + y). Πιο, συγκεκριμέν, μπορεί ν ποδειχθεί ότι, ν ν ν ( x + y) = x y, όπου x, y R. = 0 Ο τύπος υτός είνι γνωστός ως τύπος του διωνύμου του Νεύτων, γιτί ποδείχθηκε γι πρώτη φορά πό τον Issac Newton. Πρτηρείστε, ότι μέσω του τύπου του Νεύτων, οι ριθμοί, που εκφράζουν το πλήθος των συνδυσμών των ν στοιχείων νά, εμφνίζοντι κι στο διωνυμικό νάπτυγμ! Ο τύπος του διωνύμου του Νεύτων ξιοποιείτι σε πολλά κι ποικίλ προβλήμτ κι εφρμογές. Όμως δε θ επεκτθούμε. Ως έν μόνο πράδειγμ, δείτε πώς, εφρμόζοντς τον τύπο του Νεύτων γι x = y =, μπορεί ν ποδειχθεί η σχέση, ν ν = = = 0 0 ν Ερώτηση: Ότν μιλήσμε γι τους πολυωνυμικούς συντελεστές, ν!, n! n!... n! νφέρμε, μετξύ άλλων, ότι: Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 4

18 Έν σύνολο ν διφορετικών στοιχείων μπορεί ν διιρεθεί/χωρισθεί σε δικριτά/ξέν νά δύο υποσύνολά του, A, A,..., A, μεγέθους, n, n,..., n, ν! ντίστοιχ, κτά τρόπους. n! n!... n! Τι λέτε, γι τους διωνυμικούς συντελεστές, ν! =,!( ν )! ισχύει κάτι νάλογο; Απριθμώντς Επνληπτικούς Συνδυσμούς (Combinations with repetition) Από τον ορισμό των συνδυσμών ν στοιχείων (ενός συνόλου Χ) νά, είνι φνερό ότι γι το σχημτισμό ενός συνδυσμού ν στοιχείων νά, δεν επιτρέπετι ν επιλέξουμε κάποιο στοιχείο (του συνόλου Χ) περισσότερες πό μι φορές. Στην περίπτωση που υπάρχει υτή η δυντότητ, ο συνδυσμός ν στοιχείων νά που δημιουργείτι λέγετι επνληπτικός συνδυσμός ν στοιχείων νά ή συνδυσμός με επνάληψη ν στοιχείων νά Μπορούμε, έτσι, ν δημιουργήσουμε συνδυσμούς στοιχείων πό τ στοιχεί ενός συνόλου που έχει λιγότερ πό στοιχεί, φού οποιοδήποτε στοιχείο επιτρέπετι ν χρησιμοποιηθεί περισσότερες πό μί φορές. Γι πράδειγμ, οι επνληπτικοί συνδυσμοί των στοιχείων του συνόλου {, β} νά 4, είνι οι εξής:, β, ββ, βββ, ββββ. Είνι προφνές, λλά το επισημίνουμε, ότι η σειρά κτγρφής των στοιχείων δεν ενδιφέρει (φού πρόκειτι γι συνδυσμούς), δηλδή, γι πράδειγμ, η επιλογή β είνι ίδι με την επιλογή β ή με την β, κ.ο.κ.. Κάθε επιλογή κθορίζετι μόνο πό το ποι στοιχεί κι πόσες φορές το κθέν εμφνίζοντι. Ορισμός: Έστω X έν πεπερσμένο σύνολο ν στοιχείων κι ένς θετικός κέριος ριθμός. Επνληπτικός συνδυσμός των ν στοιχείων του Χ νά ή Συνδυσμός των ν στοιχείων του Χ νά με επνάληψη ή πλούστερ, Επνληπτικός συνδυσμός των ν νά, ονομάζετι κάθε επιλογή στοιχείων του Χ, όπου επιτρέπετι κάποιο ή κάποι πό τ στοιχεί του ν χρησιμοποιηθούν περισσότερες πό μι φορές. Ο ριθμός (το πλήθος) των επνληπτικών συνδυσμών ν στοιχείων νά ν συμβολίζετι με κι δίνετι πό τον τύπο: ν + = = ( ν + )! ν ( ν + )... ( ν + ) =, ν,!( ν )!! Γι το πράδειγμά μς, ο τύπος υτός δίνει ότι ο ριθμός των επνληπτικών συνδυσμών των στοιχείων του συνόλου {, β} νά 4 είνι, = = 5 4 =, δηλδή, πράγμτι, όσοι κτγράψμε. 4 4 Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 4

19 Ας δούμε έν κόμη πράδειγμ: Το ζχροπλστείο της γειτονιάς σς, φτιάχνει σοκολτάκι γάλκτος, υγείς κι άσπρης σοκολάτς. Αν ζητήσετε πό τον υπάλληλο ν σς συσκευάσει σε έν σκουλάκι 5 σοκολτάκι, πόσες διφορετικές επιλογές έχετε γι ν του υποδείξετε πόσ πό το κάθε είδος ν βάλει στο σκουλάκι. Πρόκειτι γι πρίθμηση των επνληπτικών συνδυσμών των 3 στοιχείων του συνόλου {γάλκτος, υγείς, άσπρης} νά 5, φού δεν ενδιφέρει κάποιου είδους διάτξη κι η επνάληψη επιτρέπετι (επιβάλλετι, μάλλον). Η πάντηση επομένως είνι, = = 36 5 =. 5 5 Οι εφρμογές των επνληπτικών συνδυσμών είνι ποικίλες κι ενδιφέρουσες. Όμως, δε θ επεκτθούμε. Ανφέρουμε μόνο μι κόμη: το πρόβλημ με τις διδρομές σε κιγκλιδώμτ που συζητήσμε κι στ προηγούμεν. Διδρομές σε κιγκλιδώμτ: Ας θεωρήσουμε έν κιγκλίδωμ που ποτελείτι πό ν οριζόντι κι κάθετ σύρμτ. Πόσες διφορετικές διδρομές υπάρχουν πό το σημείο Χ στο σημείο Ζ, ν σε κάθε μετκίνηση, επιτρέπετι έν βήμ ντολικά (δεξιά) ή έν βήμ 6 βόρι ( πάνω). ν + Θ δείξουμε ότι, ο ριθμός των διδρομών είνι, =. Σκεπτόμστε ως εξής: τ κτκόρυφ σύρμτ ορίζουν τμήμτ επί των οριζόντιων διδρομών. Το σημείο κλειδί σε υτή την πόδειξη είνι ν πρτηρήσουμε ότι ο ριθμός των οριζόντιων τμημάτων κάθε δυντής διδρομής είνι κριβώς κι ότι η επιλογή υτών των οριζόντιων τμημάτων επί των ν οριζόντιων συρμάτων κθορίζει μονοσήμντ την κάθε διδρομή. Κθέν πό τ ν οριζόντι σύρμτ μπορεί ν επιλεγεί μέχρι κι φορές. Άρ, ο συνολικός ριθμός των δυντών διδρομών είνι όσοι οι επνληπτικοί συνδυσμοί των ν νά ν + +, δηλδή, = =. Έτσι, γι το κιγκλίδωμ που φίνετι πρπάνω, όπου ν = 7 κι =, οι δυντές επιτρεπτές διδρομές είνι, = = =. 0 6 Ως βήμ ορίζετι έν οριζόντιο ή έν κτκόρυφο τμήμ μετξύ δύο διδοχικών σημείων Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 43

20 Το ποτέλεσμ είνι πράγμτι υτό που περιμένμε, δηλδή, το ίδιο με υτό που προέκυψε ότν προσεγγίσμε το πρόβλημ χρησιμοποιώντς πολυωνυμικούς συντελεστές! Στον Πίνκ- που κολουθεί συνοψίζουμε, σε μορφή τυπολογίου (χρήσιμου πιστεύουμε), κάποιες βσικές πληροφορίες γι τους σχημτισμούς που προυσιάσμε. Στην τελευτί στήλη του πίνκ δίνουμε την ερμηνεί των ντίστοιχων σχημτισμών με όρους Δειγμτοληψίς. Επ υτού, σε υτό το σημείο, δε θ επεκτθούμε. Διευκρινίζουμε μόνο ότι δειγμτοληψί με επνάθεση σημίνει, έν στοιχείο που επιλέγετι, επντοποθετείτι στον πληθυσμό πριν την επιλογή του επόμενου κι έτσι υπάρχει η δυντότητ ν επιλεγεί κι πάλι ενώ δειγμτοληψί χωρίς επνάθεση σημίνει ότι έν στοιχείο που επιλέγετι δεν επντοποθετείτι στον πληθυσμό. Ενδιφέρει η σειρά κτγρφής; ΝΑΙ ΟΧΙ Κριτήρι Επιτρέπετι η χρήση ενός στοιχείου περισσότερες πό μι φορές; ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ Σχημτισμός Διάτξη των ν νά κ ( ν ) Επνληπτική Διάτξη των ν νά κ ( ν, ) Μετάθεση των ειδών στοιχείων με n i, i =,,..., στοιχεί πό κάθε είδος. Αριθμός (πλήθος) Σχημτισμών ( ν ) = = ν ( ν )...( ν + ) ν ν n, n,..., n = ν! = n! n!... n! Όπου, ν = n + n Συνδυσμός ν! των ν νά κ = ( ν )!( ν )! Επνληπτικός συνδυσμός των ν νά κ ( ν, ) n ν + = Ερμηνεί με όρους Δειγμτοληψίς Διτετγμέν δείγμτ μεγέθους σε δειγμτοληψί χωρίς επνάθεση Διτετγμέν δείγμτ μεγέθους σε δειγμτοληψί με επνάθεση Μη διτετγμέν δείγμτ μεγέθους σε δειγμτοληψί χωρίς επνάθεση Mη διτετγμέν δείγμτ μεγέθους σε δειγμτοληψί με επνάθεση Αν δεν υπάρχει περιορισμός στο μέγιστο ριθμό φορών που μπορεί ν χρησιμοποιηθεί το κάθε στοιχείο Αν υπάρχει περιορισμός στο μέγιστο ριθμό φορών που μπορεί ν χρησιμοποιηθεί το κάθε στοιχείο Πίνκς- Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 44

21 Ασκήσεις κι Προβλήμτ Απρίθμησης. Η πόλη Α συνδέετι με την πόλη Β μέσω τριών δρόμων, η πόλη Β συνδέετι με την πόλη Γ μέσω πέντε δρόμων κι, τέλος, η πόλη Γ συνδέετι με την πόλη Δ μέσω οκτώ δρόμων. Από πόσες διφορετικές διδρομές μπορεί ν επιλέξει κάποιος γι ν τξιδεύσει: ) πό την πόλη Α στην πόλη Γ β) πό την πόλη Β στην πόλη Δ γ) πό την πόλη Α στην πόλη Δ κι δ) πό την πόλη Α στην πόλη Δ κι στη συνέχει ν επιστρέψει στην πόλη Β.. Ένς γεωπόνος του Οργνισμού Ελληνικών Γεωργικών Ασφλίσεων (ΕΛ.Γ.Α.) πρέπει ν επισκεφθεί 6 περιοχές γι ν εκτιμήσει τις ζημιές που έγινν σε κλλιέργειες υτών των περιοχών πό πρόσφτη πλημμύρ. Η συνολική πόστση που πρέπει ν δινύσει (κι το συνολικό κόστος) εξρτάτι πό τη σειρά με την οποί θ επισκεφθεί τις 6 περιοχές. Πόσες διφορετικές επιλογές έχει ο γεωπόνος γι ν ποφσίσει τη σειρά με την οποί θ επισκεφθεί τις 6 περιοχές; 3. Ένς φοιτητής, στο πλίσιο της πτυχικής εργσίς του, ενδιφέρετι ν μελετήσει το ποτέλεσμ μις χημικής ντίδρσης σε διφορετικές (κι ελεγχόμενες) συνθήκες θερμοκρσίς, πίεσης κι συγκέντρωσης κτλύτη. Αν ενδιφέρετι ν διερευνήσει το ποτέλεσμ της χημικής ντίδρσης γι δύο (διφορετικές) τιμές θερμοκρσίς, τρεις (διφορετικές) τιμές πίεσης κι δύο (διφορετικά) επίπεδ συγκέντρωσης κτλύτη, άργε, πόσες φορές πρέπει ν εκτελέσει τη χημική ντίδρση ώστε ν κλύψει όλες τις διφορετικές περιπτώσεις θερμοκρσίς-πίεσης-κτλύτη κι μάλιστ πό τρεις φορές την κάθε μι; 4. Οι ριθμοί κυκλοφορίς των υτοκινήτων δημιουργούντι πό τρί γράμμτ κι έν τετρψήφιο ριθμό. Γι το πρώτο τμήμ του ριθμού χρησιμοποιούντι τ 4 γράμμτ του ελληνικού λφβήτου τ οποί συμπίπτουν με λτινικούς χρκτήρες (Α, Β, Ε, Ζ, Η, Ι, Κ, Μ, Ν, Ο, Ρ, Τ, Υ, Χ) ενώ στην πρώτη θέση του δεύτερου τμήμτος δε χρησιμοποιείτι ο ριθμός 0. ) Πόσοι διφορετικοί ριθμοί κυκλοφορίς μπορούν ν δημιουργηθούν. β) Πόσοι πό τους διφορετικούς ριθμούς που μπορούν ν δημιουργηθούν: i) έχουν κι τ τρί γράμμτ του πρώτου τμήμτος διφορετικά μετξύ τους ii) έχουν ως πρώτο γράμμ φωνήεν iii) έχουν στην πρώτη κι στην τρίτη θέση φωνήεντ κι iv) δεν περιέχουν στο δεύτερο τμήμ τους ίδι ψηφί. 5. Έν σύνολο ν στοιχείων, πόσ υποσύνολ έχει. 6. Μι τράπεζ διθέτει 3 διφορετικά τμεί. Αν στ τμεί υτά μπορούν ν εργσθούν 8 διφορετικοί υπάλληλοι της τράπεζς, με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν ν συμπληρωθούν τ 3 τμεί; Ποι θ ήτν η πάντηση ν η τράπεζ διέθετε 8 τμεί. 7. Πόσοι τετρψήφιοι ριθμοί με διφορετικά μετξύ τους ψηφί υπάρχουν. 8. Πόσοι τριψήφιοι ριθμοί υπάρχουν κι πόσοι πό υτούς δεν περιέχουν το Πόσοι άρτιοι τετρψήφιοι ριθμοί μπορούν ν σχημτισθούν πό τ ψηφί,, 5, 6, 8, 9. Πόσοι πό υτούς έχουν όλ τ ψηφί τους διφορετικά. 0. Πόσοι κέριοι με διφορετικά ψηφί μετξύ 3000 κι 4000 σχημτίζοντι πό τ ψηφί,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.. Κτηνίτρος πρόκειτι ν εξετάσει δέκ ζώ (το έν μετά το άλλο). Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορεί ν γίνει υτό.. Έν τμήμ της λυσίδς του DNA πριστάνετι ως μι σειρά με στοιχεί A, C, G, T που συμβολίζουν τις 4 βάσεις Αδενίνη, Κυτοσίνη, Γουνίνη κι Θυμίνη Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 45

22 ντίστοιχ. Πόσες διφορετικές συνθέσεις μπορούν ν προκύψουν γι έν τμήμ μήκους r ν σε υτό υπάρχουν r στοιχεί ίσ με Α, r στοιχεί ίσ G, r 3 στοιχεί ίσ με C κι r 4 ίσ με Τ (r = r + r + r 3 + r 4 ). Σε πόσ πό τ τμήμτ υτά, τ στοιχεί που ντιστοιχούν σε κάθε μι πό τις 4 βάσεις είνι συγκεντρωμέν όλ μζί (π.χ. ΑΑ..ΑCC CTT TGG G ή ΤΤ ΤΑΑ AGG GCC C). 3. Πόσοι διφορετικοί ριθμοί προκύπτουν πό όλες τις μετθέσεις των ψηφίων του ριθμού, ; 4. Αν σε ένν οργνισμό κάθε διπλοειδές κύττρο έχει 3 ζεύγη χρωμοσωμάτων (όπως, γι πράδειγμ, στον νθρώπινο), πόσοι διφορετικοί γμέτες είνι δυντόν ν δημιουργηθούν; (κάθε γμέτης σε υτό τον οργνισμό, έχει 3 χρωμοσώμτ, έν πό κάθε ζεύγος χρωμοσωμάτων του διπλοειδούς κυττάρου). 5. Χρησιμοποιώντς κι τ επτά ψηφί,,,, 3, 3, 4, πόσους ριθμούς μπορούμε ν σχημτίσουμε. 6. Χρησιμοποιώντς κι τ επτά ψηφί 0,,, 3, 3, 3, 4, πόσους ριθμούς μεγλύτερους του μπορούμε ν σχημτίσουμε. 7. Ότν δεν εκδίδοντν επιστημονικά περιοδικά (πριν τον 7 ο ιών), οι επιστήμονες ντιμετώπιζν προβλήμτ στην κτοχύρωση των επιστημονικών εργσιών τους. Έπρεπε, ή ν περιμένουν ν συγκεντρώσουν ρκετό υλικό γι ν το εκδώσουν σε βιβλίο ή ν στείλουν ντίγρφο της εργσίς σε κάποιο συνάδελφό τους, δικινδυνεύοντς όμως, ν τη διεκδικήσει ο συνάδελφός τους ως δική του. Έτσι, σν μι ενδιάμεση λύση, συνήθιζν ν ντλλάσσουν επιστολές με νγρμμτισμένες μι ή δύο προτάσεις στις οποίες συνόψιζν το βσικό ποτέλεσμ της εργσίς τους. Ότν ο Ολλνδός επιστήμονς (φυσικός, στρονόμος κι μθημτικός) Christiaan Huygens (69-695) νκάλυψε τον δκτύλιο γύρω πό τον Κρόνο, συνέτξε γι τη φράση, «Annulo cingitur tenui, plano, nusquam cohaerente, ad ecplicticam inclinato», τον εξής νγρμμτισμό: aaaaaaa, ccccc, d, eeeee, g, h, iiiiiii, llll, mm, nnnnnnnnn, oooo, pp, q, rr, s, ttttt, uuuuu. Τι λέτε, δικινδύνευσε ο Huygens ν ποκρυπτογρφηθεί ο νγρμμτισμός; 8. Έν δελτίο ΠΡΟΠΟ περιλμβάνει 3 γώνες κτχωρημένους σε μί στήλη κι δίπλ σε κάθε γών σημειώνετι, Χ ή. ) Πόσες διφορετικές στήλες μπορούν ν σχημτισθούν β) Αν γι 6 συγκεκριμένους γώνες χρησιμοποιήσουμε σύμβολο, γι 5 άλλους συγκεκριμένους γώνες σύμβολ κι γι τους υπόλοιπους γώνες 3 σύμβολ, πόσες διφορετικές στήλες θ προκύψουν. 9. Στις εκλογές γι την νάδειξη ενός Δ.Σ. έχουν θέσει υποψηφιότητ 5 άτομ γι το ξίωμ του προέδρου, 3 άτομ γι το ξίωμ του ντιπροέδρου κι 7 άτομ γι το ξίωμ του γενικού γρμμτέ. Πόσες διφορετικές συνθέσεις του Δ.Σ. μπορούν ν προκύψουν. 0. Σε 8 πολίτες πρόκειτι ν πονεμηθούν τρί (διφορετικά) βρβεί. Αν κάθε άτομο μπορεί ν πάρει το πολύ έν πό τ τρί βρβεί, πόσες διφορετικές κτνομές των τριών βρβείων είνι δυντόν ν υπάρξουν;. Γι το γεύμ σς στο φοιτητικό εστιτόριο έχετε τη δυντότητ ν επιλέξετε μι σλάτ πό 3 διφορετικές, έν κυρίως πιάτο πό 4 διφορετικά κι έν φρούτο πό διφορετικά. Άργε, πό πόσ διφορετικά γεύμτ ποφσίζετε ποιο θ επιλέξετε;. Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν ν ντλλάξουν χειρψίες 0 (διφορετικά) άτομ. 3. Σε μι Διεύθυνση της Περιφέρεις Θεσσλίς υπηρετούν 0 γεωπόνοι, οι οποίοι πρέπει ν κτνεμηθούν σε τρεις ομάδες. Αν γι την πρώτη ομάδ η οποί έχει Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 46

23 ντικείμενο εργσίς τις υτοψίες σε γροτικές κλλιέργειες πρέπει ν επιλεγούν 5 πό τους 0 γεωπόνους, γι τη δεύτερη η οποί έχει ντικείμενο τις υτοψίες σε μονάδες ζωικής πργωγής πρέπει ν επιλεγούν 3 πό τους 0 γεωπόνους κι γι την τρίτη που έχει ντικείμενο τη διεκπερίωση γρφειοκρτικών εργσιών στ γρφεί της Περιφέρεις πρέπει ν επιλεγούν πό τους 0 γεωπόνους, πόσες διφορετικές κτνομές των 0 γεωπόνων υτής της Διεύθυνσης στις τρεις ομάδες μπορούν ν υπάρξουν (με την προϋπόθεση ότι κάθε γεωπόνος μπορεί ν νήκει σε μι μόνο ομάδ). 4. Από τους 0 εργζόμενους μις μικρής επιχείρησης οι 5 είνι γυνίκες. Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν ν επιλεγούν γυνίκες κι 6 άνδρες έτσι ώστε ) ν συστθεί μι οκτμελής επιτροπή β) ν τοποθετηθούν στις 8 μειβόμενες με διφορετικούς μισθούς θέσεις μις ομάδς εργσίς. 5. Από οκτώ φοιτητές κι τέσσερις κθηγητές πόσες ομάδες των έξι τόμων στις οποίες συμμετέχει τουλάχιστον ένς κθηγητής μπορούν ν σχημτισθούν. 6. Μι επιτροπή ποτελείτι πό Γεωπόνους κι 3 Μηχνικούς που επιλέγοντι πό 5 Γεωπόνους κι 7 Μηχνικούς. Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορεί ν σχημτισθεί υτή η επιτροπή ) χωρίς άλλους περιορισμούς β) έτσι ώστε ένς συγκεκριμένους Μηχνικός ν συμμετέχει οπωσδήποτε γ) έτσι ώστε συγκεκριμένοι Γεωπόνοι ν μην συμμετέχουν. 7. Πόσες διφορετικές σλάτες μπορούν ν γίνουν ν έχουμε στη διάθεσή μς πέντε διφορετικά λχνικά. 8. Πέντε άτομ βρίσκοντι στο ισόγειο ενός πεντόροφου κτιρίου. Μπίνουν στο σνσέρ κι κτεβίνουν ένς σε κάθε όροφο. Κτά πόσους τρόπους μπορεί ν γίνει υτό. 9. Έν λεωφορείο ξεκινάει πό την φετηρί με κ άτομ. Μέχρι ν φθάσει στο τέρμ κάνει ν στάσεις (συμπεριλμβνομένου του τέρμτος). ) Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν τ κ άτομ ν κτέβουν στις ν στάσεις. β) Αν κ ν, με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν τ κ άτομ ν κτέβουν στις ν στάσεις έτσι ώστε σε κάθε στάση ν κτεβίνει το πολύ έν άτομο. γ) Αν είνι γνωστό ότι τουλάχιστον σε μι στάση κτέβηκν περισσότερ πό έν άτομ, με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν τ κ άτομ ν κτέβουν στις ν στάσεις. 30. Με πόσους διφορετικούς τρόπους μπορούν ν κθίσουν 8 φοιτήτριες κι 4 φοιτητές σε κθίσμτ ) χωρίς κνέν περιορισμό β) έτσι ώστε όλοι οι φοιτητές ν βρίσκοντι σε διδοχικές θέσεις γ) κνένς φοιτητής ν μην κάθετι δίπλ σε άλλο φοιτητή δ) τουλάχιστον ένς φοιτητής ν κάθετι δίπλ σε άλλο φοιτητή. 3. Ένς κθηγητής ζητάει πό τους κ φοιτητές που πρκολουθούν το μάθημά του, ν γράψουν σε ένν κτάλογο την ημερομηνί των γενεθλίων τους. ) Πόσοι διφορετικοί κτάλογοι μπορούν ν προκύψουν β) Πόσοι διφορετικοί κτάλογοι μπορούν ν προκύψουν ν είνι γνωστό ότι κνένς φοιτητής δεν έχει γενέθλι την ίδι ημέρ με κάποιον άλλο γ) Πόσοι διφορετικοί κτάλογοι μπορούν ν προκύψουν ν είνι γνωστό ότι τουλάχιστον δύο φοιτητές έχουν γενέθλι την ίδι ημέρ. 3. Το πλήρωμ μις επνδρωμένης διστημικής ποστολής που προγρμμτίζετι ν πργμτοποιηθεί, θ ποτελείτι πό τον κυβερνήτη, τον συγκυβερνήτη κι δύο γεωλόγους. Θεωρείστε ότι την εκπίδευση γι τις θέσεις του κυβερνήτη κι Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής/Γ. Ππδόπουλος ( 47

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Βιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ

Βιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝ ΓΟΝΙΔΙ Σημείωση: Τ συνδεδεμέν γονίδι νφέροντι στο ιλίο σε έγχρωμο πράθεμ στη σελίδ 80 του σχολικού ιλίου κι άσει του Φ.Ε.Κ. που νφέρει την εξετστέ ύλη, τ έγχρωμ πρθέμτ είνι εκτός εξετστές ύλης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποίηση εφαρμογής πολυμέσων

Υλοποίηση εφαρμογής πολυμέσων Ασκήσεις Πολυμέσων 47 8 η 9 η Διδκτική Ενότητ λοποίηση εφρμογής πολυμέσων Προλεπόμενες διδκτικές ώρες: 4 έξεις Κλειδιά Ασκήσεις νθεώρηση έργου εσωτερική ξιολόγηση ξιολόγηση τύπου "άλφ" κλείδωμ ξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: Διχείριση της Διδκτές-Εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι της Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχ. έτος 6-7 Μετά πό σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες, στήριξη από ICT.:

Οδηγίες, στήριξη από ICT.: Τίτλος: Ώσμωση Θέμτ: Όσμωση, γρμμομόρι, συλλογή δεδομένων κι γρφική πράστση. Διάρκει: 120λεπτά Ηλικί: 14-16 Διφοροποίηση: Διφορετικά επίπεδ βοήθεις κι διφορετικές δρστηριότητες. Οδηγίες, στήριξη πό ICT.:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµ ο Από τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή..κάθε µετφορικό trn :. συνδέετι µε έν συγκεκριµένο µινοξύ β. συνδέετι µε οποιοδήποτε µινοξύ γ. µπορεί ν µετφέρει πό έως 6 διφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) ΔΙΓΩΝΙΣΜ Θέµ 1 ο πό τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή. 1. Ηκυττρική διφοροποίηση συνίσττι. στην πύση της λειτουργίς όλων των γονιδίων β. στην εκλεκτική λειτουργί των γονιδίων γ. σε δυνµί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Εγχειρίδιο Φροντιστηρικών Ασκήσεων Ιωάννης Κργιάννης Ιούνιος 008 Το πρόν εγχειρίδιο περιέχει σκήσεις κι νοιχτά προβλήµτ σχετικά µε το ντικείµενο του µθήµτος Αλγόριθµοι Άµεσης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton

5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton Έχουμε δει ότι η χρήση ισοδύνμων κυκλωμάτων σε πολλές περιπτώσεις πλοποιεί την νάλυση ενός κυκλώμτος: Αντιστάσεις συνδεδεμένες με ειδικό τρόπο (σειρά, πράλληλ, σε στέρ ή τρίγωνο) μπορούν ν ντικτστθούν

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΜΑΡΤΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΜΑΡΤΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Ν πντήσετε στις ερωτήσεις πολλπλής επιλογής: 1. Η νευπλοειδί είνι είδος μετάλλξης που οφείλετι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ Άσκηση 1 Μί ετιρεί πσχολεί 30 υπλλήλους. Οι μηνιίες ποδοχές κάθε υπλλήλου κυμίνοντι πό 0 έως κι 3.000. Α. Ν γράψετε λγόριθμο που γι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

e-biologia.gr Το γονίδιο που είναι υπεύθυνο για την σύνθεση της α-πεπτιδικής αλυσίδας της αιμοσφιαρίνης εδράζεται στο 16 χρωμόσωμα.

e-biologia.gr Το γονίδιο που είναι υπεύθυνο για την σύνθεση της α-πεπτιδικής αλυσίδας της αιμοσφιαρίνης εδράζεται στο 16 χρωμόσωμα. Προτεινόμενο θέμ στη βιολογί προσντολισμού Εκφώνηση Το γονίδιο που είνι υπεύθυνο γι την σύνθεση της -πεπτιδικής λυσίδς της ιμοσφιρίνης εδράζετι στο 16 χρωμόσωμ. Α. Πόσ ντίγρφ του συγκεκριμένου γονιδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος . Διχείριση της διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών Προσντολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ γι το σχολικό έτος 7-8 Σύμφων με την ρ. πρωτ. 63573/Δ/--7 εγκύκλιο του ΥΠ.Π.Ε.Θ. Δημήτριος Σπθάρς Σχολικός Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα