Τι είναι ο κάναβος και πως σχεδιάζεται;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τι είναι ο κάναβος και πως σχεδιάζεται;"

Transcript

1 Τι είναι ο κάναβος και πως σχεδιάζεται; Ο προσδιορισμός του Σ πάνω στο σχέδιο μπορεί να γίνει ευκολότερα και με μεγαλύτερη ακρίβεια, αν έχουν σχεδιασθεί από πριν οι γραμμές που είναι παράλληλες προς τους άξονες ΟΧ και ΟΥ (παρακάτω εικόνες). Στην περίπτωση αυτή δε χρειάζεται να γίνουν οι μετρήσεις από την αρχή των αξόνων Ο. Το πλέγμα των γραμμών αυτών, που δημιουργεί ένα δίκτυο τετραγώνων, λέγεται κάναβος. Ο κάναβος χρησιμοποιείται απαραιτήτως στους χάρτες και στα τοπογραφικά διαγράμματα, όπου τα σημεία έχουν τοποθετηθεί με τις συντεταγμένες τους.

2 Στο τοπογραφικό σχέδιο, οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων γραμμών είναι συνήθως 10cm. Η διεύθυνση του βορρά ταυτίζεται με τη διεύθυνση του θετικού ημιάξονα ΟΥ, όταν χρησιμοποιείται το κρατικό σύστημα αναφοράς των συντεταγμένων. Τότε λέμε ότι ο κάναβος του τοπογραφικού σχεδίου είναι προσανατολισμένος. Οι γραμμές του κανάβου φροντίζουμε συνήθως να είναι περίπου παράλληλες προς τις πλευρές του χαρτιού σχεδίασης χωρίς όμως αυτό να είναι απαραίτητο. Παρακάτω αναφέρονται οι τρόποι χάραξης του κανάβου στο σχέδιο καθώς και οι μέθοδοι τοποθέτησης των χαρακτηριστικών σημείων στο τοπογραφικό σχέδιο με τη βοήθεια του κανάβου. Η χάραξη του κανάβου πάνω στο χαρτί σχεδίασης γίνεται με τρεις τρόπους. Με: α) γεωμετρική κατασκευή, β) ειδική πλάκα (καναβόπλακα) και γ) ειδικό όργανο (συντεταγμενογράφο). Α) Η γεωμετρική κατασκευή Στο χαρτί σχεδίασης χαράσσονται οι διαγώνιοι και ορίζεται το σημείο τομής τους Ο, παρακάτω σχήμα. Με το διαβήτη ορίζονται πάνω στις διαγώνιους τα σημεία Α, Β, Γ και Δ που απέχουν απόσταση ίση από το Ο (ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ). Τα σημεία Α, Β, Γ και Δ ορίζονται έτσι ώστε να απέχουν μερικά εκατοστά (3cm 4cm) από τις άκρες του χαρτιού, για να υπάρχει περιθώριο στο σχέδιο.

3 Πάνω στις απέναντι πλευρές του σχηματιζόμενου ορθογωνίου παραλληλογράμμου (ΑΒΓΔ) ΑΔ ΒΓ και ΑΒ ΓΔ ορίζονται υποδιαιρέσεις ανά 10cm. Ο κάναβος σχεδιάζεται, εάν ενωθούν τα αντίστοιχα απέναντι σημεία των υποδιαιρέσεων. Ο έλεγχος της ορθής σχεδίασης του κανάβου στην περίπτωση αυτή γίνεται με τη μέτρηση των διαστάσεων των τετραγώνων, οι οποίες μπορεί να αποκλίνουν από τα 10cm με σφάλμα που να μην υπερβαίνει το 0,1mm. Επίσης ελέγχεται η θέση των διαγωνίων κορυφών μιας ομάδας τετραγώνων με τη σχεδίαση των διαγωνίων ελέγχου ΕΖ και ΗΘ. Τέλος, είναι δυνατό να ελεγχθεί και η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές 30cm και 40cm (3 και 4 τετράγωνα κανάβου), η οποία πρέπει να είναι 50 cm. Το σφάλμα αυτής της διάστασης δεν επιτρέπεται, επίσης, να υπερβαίνει το 0,1mm. Η χάραξη του κανάβου με γεωμετρική κατασκευή εφαρμόζεται σε μικρές πινακίδες σχεδίασης (π.χ. διαστάσεων 35cm x 50cm) χωρίς απαιτήσεις υψηλής ακρίβειας. Στις περιπτώσεις που απαιτείται υψηλή ακρίβεια τότε χρησιμοποιούνται οι επόμενοι τρόποι.

4 Σχήμα 1 Β) Η ειδική μεταλλική πλάκα (καναβόπλακα) Η καναβόπλακα, έχει ορθογώνιο σχήμα με εξωτερικές διαστάσεις 75cm x 105cm (σχήμα 1). Είναι εύκαμπτη, κατασκευασμένη από ανθεκτικό κράμα (ντουραλουμίνιο) πάχους 1,2mm. Η πλάκα είναι απόλυτα επίπεδη και σε διαστήματα των 10cm (ή 5cm) έχει τρύπες διαμέτρου 3mm. Η πινακίδα (χαρτί) σχεδίασης κολλιέται στη μια πλευρά της καναβόπλακας, ενώ από την άλλη πλευρά, με τη βοήθεια ειδικού στελέχους (σχήμα 2) μέσα στο οποίο κινείται βελόνα, επισημαίνονται (με τρύπημα) οι κορυφές των τετραγώνων του κανάβου. Η καναβόπλακα καλύπτει πινακίδες σχεδίασης μέχρι 70cm x 100cm. Για την καλύτερη χάραξη του κανάβου η πινακίδα με την καναβόπλακα πρέπει να τοποθετείται σε επιφάνεια απόλυτα επίπεδη και λεία. Σχήμα 2 Η ακρίβεια προσδιορισμού των κορυφών του κανάβου, με την καναβόπλακα, φθάνει τα 0,02mm, ενώ η ταχύτητα χάραξης του κανάβου με τη μέθοδο αυτή είναι μεγάλη. Γ) Το ειδικό όργανο (συντεταγμενογράφος)

5 Το ειδικό όργανο με το οποίο χαράσσεται ο κάναβος λέγεται συντεταγμενογράφος. Αποτελείται από δύο βραχίονες, οι οποίοι σχηματίζουν ορθή γωνία, ο ένας από αυτούς είναι σταθερός και ο άλλος ολισθαίνει πάνω στο σταθερό (παρακάτω εικόνα). Ο συντεταγμενογράφος μπορεί να προσαρμοσθεί σε μόνιμο σχεδιαστήριο ή και σε φορητή πλάκα σχεδίασης. Με το συντεταγμενογράφο η ακρίβεια χάραξης του κανάβου μπορεί να φθάσει τα 0,001mm. Με οποιαδήποτε μέθοδο και αν γίνει η χάραξη του κανάβου, η σχεδίαση των αξόνων του πρέπει να γίνεται με πολύ λεπτές γραμμές με μολύβι (σκληρό 4Η) ή με μελάνι (πενάκι 0,1mm). Οι κορυφές του κανάβου σχεδιάζονται με διάφορους τρόπους μερικοί από τους οποίους παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.

6 Τι είναι το τοπογραφικό σχέδιο και ποια η χρήση του; Οι χάρτες είναι αναγκαίοι για πάρα πολλές εργασίες και δραστηριότητες. Εκτός από την ορθή απεικόνιση της θέσης των σημείων της Γης, παρέχουν και έναν αριθμό ποσοτικών καιποιοτικών πληροφοριών, ώστε να είναι χρήσιμοι σε διάφορους χρήστες, ανάλογα με τις ανάγκες τους. Υπάρχουν κατά συνέπεια, χάρτες τουριστικοί, γεωπολιτικοί και γεωφυσικοί για τη διδασκαλία της γεωγραφίας, στρατιωτικοί, ναυσιπλοΐας, οδικοί κλπ. Ο καθένας από αυτούς είναι σχεδιασμένος με τέτοιο τρόπο, δηλαδή περιέχει εκείνα τα στοιχεία της Φ.Γ.Ε. (Φυσικής Γήινης Επιφάνειας) και τις κατάλληλες πληροφορίες, ώστε να ανταποκρίνεται στις ανάγκες του χρήστη. Για το σχεδιασμό όμως και την κατασκευή ενός τεχνικού έργου, από μια μικρή οικοδομή μέχρι έναν μεγάλο αυτοκινητόδρομο, ή για την εξακρίβωση και τη διασφάλιση των ιδιοκτησιών χρειάζονται άλλου είδους χάρτες. Οι χάρτες αυτοί πρέπει να παρέχουν περισσότερες λεπτομέρειες για τη φυσική γήινη επιφάνεια (φυσικές ή τεχνητές). Πρέπει

7 ακόμα να είναι έτσι κατασκευασμένοι, ώστε να μπορούν να γίνουν πάνω σ αυτούς μετρήσεις, γιατί χρησιμοποιούνται ως βάση (υπόβαθρο) για να σχεδιαστεί το έργο με όλες του τις λεπτομέρειες. Επιπλέον, το τελικό προϊόν μιας μελέτης, που είναι ο χάρτης μαζί με το σχεδιασμένο έργο, χρησιμοποιείται για την τοποθέτηση (χάραξη) του έργου στο έδαφος, στις φυσικές διαστάσεις. Αυτού του είδους οι χάρτες λέγονται Τοπογραφικά Διαγράμματα(Σχέδια). Ένα ουσιώδες κριτήριο για το διαχωρισμό του χάρτη από το τοπογραφικό διάγραμμα είναι η κλίμακα σχεδίασης. Τα τοπογραφικά διαγράμματα σχεδιάζονται συνήθως σε κλίμακες από1:2000, που είναι η μικρότερη, ως 1:100, που είναι η μεγαλύτερη. Επειδή ακριβώς σχεδιάζονται σε μεγάλες κλίμακες, είναι δυνατή η λεπτομερέστερη παρουσίαση του εδάφους. Για παράδειγμα, ένα φρεάτιο αποχέτευσης σε δρόμο, διαστάσεων 50cm x 50cm, δεν μπορεί να φανεί σε χάρτη κλίμακας 1:5000 (παρουσιάζεται ως ένα σημείο). Αντίθετα, στο τοπογραφικό διάγραμμα κλίμακας 1:500, εμφανίζεται σαν ένα τετράγωνο με διαστάσεις 1mm x 1mm. Είναι λοιπόν φανερό, ότι το τοπογραφικό διάγραμμα είναι το κατάλληλο και απαραίτητο για τη μελέτη π.χ. της αποχέτευσης της περιοχής. Η παραγωγή, δηλαδή η σύνταξη, όπως λέγεται, των τοπογραφικών διαγραμμάτων και των χαρτών, είναι κατά κανόνα προϊόν του συνδυασμού μεθόδων της Τοπογραφίας, της Φωτογραμμετρίας και τηςχαρτογραφίας. Ο συνδυασμός π.χ. επίγειων μετρήσεων (Τοπογραφία) και μετρήσεων σε αεροφωτογραφίες (Φωτογραμμετρία) έχει ως αποτέλεσμα τον προσδιορισμό της θέσης των σημείων της φυσικής γήινης επιφάνειας για να

8 βρεθεί το σχήμα και το μέγεθος μικρών σχετικά τμημάτων της επιφάνειας της Γης, της τάξης των 100 τετραγωνικών χιλιομέτρων, τα οποία απεικονίζονται στα τοπογραφικά διαγράμματα. Η απεικόνιση των τμημάτων αυτών πάνω στο χαρτί γίνεται με τησχεδίαση τους υπό κλίμακα. Το προϊόν της σχεδίασης είναι τοτοπογραφικό σχέδιο. Το περιεχόμενο ενός τοπογραφικού διαγράμματος (σχεδίου) και ο τρόπος παρουσίας εξαρτάται από τις ανάγκες των χρηστών. Άλλος είναι π.χ. ο τρόπος παρουσίασης του τοπογραφικού σχεδίου ενός οικοπέδου το οποίο θα χρησιμοποιηθεί για μια συμβολαιογραφική πράξη και άλλος όταν πρόκειται για ρυμοτομικές εφαρμογές. Τα τοπογραφικά διαγράμματα είναι χρήσιμα σαν υπόβαθρα στις παρακάτω εργασίες (μελέτες ή κατασκευές): 1. Κτηματογραφήσεις για τη διενέργεια απαλλοτριώσεων σε περιπτώσεις κατασκευής οδών και άλλων έργων, στην περίπτωση αναδασμών κλπ. 2. Εφαρμογή ρυμοτομικών σχεδίων, στις επεκτάσεις πόλεων και οικισμών. 3. Μελέτες κτιριακών έργων. 4. Μελέτες και κατασκευές συγκοινωνιακών έργων, αυτοκινητοδρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, αεροδρομίων. 5. Μελέτες υδραυλικών έργων (ύδρευση, αποχέτευση, λιμενικά έργα, φράγματα κλπ). 6. Κτηματολόγιο. 7. Στα Σ.Γ.Π. (Συστήματα Γεωγραφικών Πληροφοριών ή Global Information System, G.I.S.).

9 Ποιες είναι οι κλίμακες σχεδιάσεως του τοπογραφικού σχεδίου; Ο χάρτης αποτελεί το αποτελεσματικότερο μέσο αρχειοθέτησης της πληροφορίας είτε στην πρωτογενή μορφή της (όπως συλλέγεται στο πεδίο), είτε μέσα στην επεξεργασία της στο γραφείο. Χαρακτηριστικό στοιχείο του χάρτη είναι η κλίμακα σχεδίασής του, που είναι το πηλίκο της διαίρεσης ενός γραμμικού μεγέθους επάνω στο χάρτη δια του αντίστοιχου μεγέθους επάνω στο έδαφος. Εκφράζεται σαν κλάσμα της μορφής 1:(n*1000), που σημαίνει ότι ένα πραγματικό γραμμικό μέγεθος επάνω στο έδαφος πρέπει να σμικρυνθεί n*1000 φορές για να απεικονιστεί επάνω στο χάρτη ή και αντίστροφα, ότι ένα γραμμικό μέγεθος που μετρείται επάνω στο χάρτη πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί n*1000 για να δώσει την πραγματική του τιμή στο έδαφος. Μια άλλη ερμηνεία της παραπάνω έκφρασης της κλίμακας είναι ότι το 1 χιλιοστό στο χάρτη αντιπροσωπεύει n μέτρα στο έδαφος. Οι τιμές που παίρνει το n είναι συνήθως υποπολλαπλάσια ή ακέραια πολλαπλάσια του 10. Έτσι οι περισσότερο συνηθισμένες κλίμακες είναι 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:10000, 1:20000, 1:50000 και 1: Σε ειδικές περιπτώσεις χρησιμοποιούνται και μεγαλύτερες κλίμακες, όπως η 1:500, η 1:200 ή και ακόμη μεγαλύτερες (αποτυπώσεις αστικών περιοχών με μεγάλη αξία Γης, αποτυπώσεις αρχιτεκτονικών μνημείων κλπ).

10 Ένας άλλος τρόπος, με τον οποίο υποδηλώνεται η κλίμακα ενός χάρτη, είναι η σχεδίαση στο περιθώριό του ενός ευθύγραμμου τμήματος με υποδιαιρέσεις αριθμητικές σε μονάδες πραγματικών αποστάσεων επάνω στο έδαφος (γραφική κλίμακα). Αυτός ο τρόπος έκφρασης της κλίμακας του χάρτη απαλλάσσει τις γραφικές μετρήσεις από σφάλματα που οφείλονται σε ενδεχόμενη ενιαία μεταβολή των διαστάσεων του χαρτιού με την πάροδο του χρόνου. Αυτονόητο είναι ότι η επιλογή της κλίμακας σχεδίασης έχει άμεση σχέση με το σκοπό και την ακρίβεια της αποτύπωσης. Στην Τοπογραφία οι κλίμακες διακρίνονται σε μεγάλες (1:50, 1:100, 1:200), μεσαίες (1:500, 1:1000, 1:2000) και μικρές (1:5000, 1:10000) κλίμακες. Στη Χαρτογραφία η ταξινόμηση των χαρτών με βάση την κλίμακά τους είναι διαφορετική. Συνήθως χαρακτηρίζονται σαν μεγάλες οι κλίμακες 1 :10000 και 1:20000, σαν μεσαίες οι κλίμακες 1:50000 και 1: και σαν μικρές οι κλίμακες που είναι μικρότερες του 1:

11 Τι είναι το αυτοσχέδιο (κροκί); Σε κάθε τοπογραφική αποτύπωση συντάσσεται κατά τη διάρκεια των εργασιών πεδίου το λεγόμενο κροκί, δηλαδή σκαρίφημα της περιοχής πάνω στο οποίο εμφανίζονται όλες οι λεπτομέρειες που αποτυπώνονται και περιγράφονται με τη βοήθεια σημείων που τις ορίζουν. Ορισμένοι αρχάριοι έχουν την τάση να θεωρούν το κροκί σαν ένα πρόχειρο σχεδίασμα χωρίς ιδιαίτερη αξία ίσως επειδή σχεδιάζεται με ελεύθερο χέρι. Αυτό είναι λάθος διότι το κροκί αποτελεί πράγματι τη σημαντικότερη και την πλέον ευαίσθητη εργασία που γίνεται στο πεδίο, δεδομένου ότι συνιστά το κυριότερο από τα στοιχεία εκείνα που είναι απαραίτητα για τη σωστή σχεδίαση της μορφής του εδάφους στο γραφείο. Για το λόγο αυτό το κροκί, που είναι τοπογραφική εργασία με την ετυμολογική έννοια του όρου, πρέπει να απεικονίζει πιστά τη μορφή του εδάφους, όπως παρατηρείται. Το χαρτί σχεδίασης του κροκί στερεώνεται επάνω σε μικρή πινακίδα και σε ορισμένες περιπτώσεις η πινακίδα φέρει μικρή πυξίδα για να διευκολύνεται ο προσανατολισμός της. Αφού προσανατολιστεί η πινακίδα, οι γραμμές χαράσσονται παράλληλα προς τις πραγματικές γραμμές του εδάφους και οι αποστάσεις, που εκτιμώνται με το μάτι, σχεδιάζονται υπό κλίμακα κατά εκτίμηση. Οι γωνίες πρέπει να διατηρούνται με ιδιαίτερη προσοχή και γενικά πρέπει να καταβάλλεται

12 προσπάθεια ώστε το κροκί να σχεδιάζεται υπό την ίδια κλίμακα. Συμβαίνει πολλές φορές σε κάποια περιοχή του εδάφους που αποτυπώνεται να εμφανίζονται πολλές λεπτομέρειες, γεγονός που οδηγεί σε υπερφόρτωση του κροκί με κίνδυνο να δημιουργηθούν ασάφειες και λανθασμένες ερμηνείες. Στις περιπτώσεις αυτές πρέπει να σχεδιάζεται σε χωριστό χαρτί η συγκεκριμένη περιοχή υπό μεγαλύτερη κλίμακα. Οι οριογραμμές των οριζοντιογραφικών λεπτομερειών απαρτίζονται από ευθείες, από κυκλικές καμπύλες και από ακανόνιστες καμπύλες. Για την αποτύπωση μιας ευθείας γραμμής χρησιμοποιούνται δύο τουλάχιστον σημεία. Ένα τρίτο σημείο είναι πολύ χρήσιμο για λόγους ελέγχου. Για την αποτύπωση μιας κυκλικής καμπύλης χρησιμοποιούνται τρία τουλάχιστον σημεία. Εάν η καμπύλη συνδέεται με ευθύγραμμα τμήματα, τότε αποτυπώνονται και τα σημεία επαφής. Ο αριθμός των σημείων που απαιτούνται για την αποτύπωση μιας ακανόνιστης καμπύλης ποικίλει ανάλογα με τη μορφή της καμπύλης και την κλίμακα του σχεδίου. Τέλος σε περίπτωση ευθείας, που παρουσιάζει σπασίματα, αποτυπώνονται όλα τα σημεία στα οποία παρατηρείται αλλαγή διεύθυνσης. Το κροκί πρέπει να περιέχει επίσης τα απαραίτητα στοιχεία για την υψομετρική απεικόνιση του εδάφους δηλαδή για τη χάραξη των ισοϋψών καμπυλών. Τέτοια στοιχεία είναι οι κορυφογραμμές που σημειώνονται με κόκκινο χρώμα, οι βαθύτερες γραμμές των χαραδρών, που σημειώνονται με μπλε χρώμα, η αρχή (φρύδι) και το τέλος (πόδι) ενός πρανούς κλπ. Κάθε σημείο του εδάφους που αποτυπώνεται σημειώνεται στο κροκί μαζί με τον κωδικό του αριθμό, ο οποίος χαρακτηρίζει το συγκεκριμένο σημείο μέχρι τέλους της εργασίας. Με βάση τον αριθμό αυτό καταχωρούνται στο καρνέ των μετρήσεων τα στοιχεία που μετρούνται στο πεδίο και το εν λόγω σημείο. Ο συντάκτης του κροκί δεν πρέπει να ξεχνάει ότι το έδαφος θα σχεδιαστεί όχι με βάση την πραγματική εικόνα, που δεν μπορεί να παρατηρηθεί από το γραφείο, αλλά με βάση το κροκί, το οποίο πρέπει να εμπεριέχει όλα τα στοιχεία που είναι

13 απαραίτητα για την πιστή αναπαράσταση του εδάφους. Εάν το κροκί είναι λανθασμένο ή ατελές θα αντιμετωπιστούν μεγάλες δυσκολίες κατά τη σχεδίαση με κίνδυνο να γίνουν τελικά σοβαρά λάθη, ιδιαίτερα όταν το σχέδιο γίνεται από κάποιο σχεδιαστή που δεν έχει αντικρύσει το έδαφος. Αντίθετα ένα καλό κροκί βοηθάει πολλές φορές στην αποκάλυψη λαθών που μοιραία γίνονται στο πεδίο.

14 Τι ονομάζεται ραπορτάρισμα σημείων με πολικές συντεταγμένες και πώς γίνεται; Τα τοπογραφικά διαγράμματα στα οποία τα χαρακτηριστικά σημεία τοποθετούνται με πολικές συντεταγμένες είναι κλίμακας 1:1000 ή και μικρότερης. Για να τοποθετηθούν τα σημεία αυτά με πολικές συντεταγμένες (D, a) στον κάναβο, πρέπει απαραίτητα να έχουν τοποθετηθεί πριν, με καρτεσιανές συντεταγμένες (Χ, Υ), οι πόλοι (στάση αποτύπωσης, στάση μηδενισμου) από τους οποίους αυτά έχουν προσδιορισθεί. Τα σημεία που τοποθετούνται με τη μέθοδο αυτή είναι τα ταχυμετρικά σημεία που έχουν προσδιοριστεί στο ύπαιθρο με την «ταχυμετρία». Σήμερα με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών οργάνων η ταχυμετρία, με την παλιά της μορφή, δεν είναι σε μεγάλη χρήση. Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος προσδιορισμού των ταχυμετρικών σημείων δίνεται το παρακάτω παράδειγμα. Παράδειγμα: Έστω, ότι έχουν προσδιοριστεί με καρτεσιανές συντεταγμένες Χ, Υ, οι πόλοι Α (στάση αποτύπωσης) και Β (στάση μηδενισμού), που έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση των πολικών συντεταγμένων των ταχυμετρικών σημείων. Ζητείται να προσδιορισθούν οι θέσεις των ταχυμετρικών σημείων Σ και Τ, σε κάναβο σχεδίασης κλίμακας 1:1000. Δίνονται οι πολικές αποστάσεις DΑΣ = 85,40m, DΑΤ = 98,60m και οι αντίστοιχες πολικές γωνίες τους, α1 = ΒÂΣ = 158,50g, α2 = ΒÂΤ = 346,50g.

15 Ραπορτάρονται τα σημεία Α, Β με τις καρτεσιανές συντεταγμένες τους με τη βοήθεια του κανάβου σχεδίασης. Χαράσσεται η διεύθυνση μηδενισμού των γωνιών ΑΒ. Στερεώνεται το κέντρο Ο του βαθμογνωμόνιου στη στάση αποτύπωσης Α με λεπτή βελόνα. Για τον προσδιορισμό του Σ, το βαθμογνωμόνιο στρέφεται δεξιόστροφα μέχρι να συμπέσει η ένδειξη 158,50g της πολικής γωνίας, με τη διεύθυνση μηδενισμού ΑΒ. Πάνω στο δεξιό υποδεκάμετρο, που είναι κοντά στην ένδειξη 0-200, μετριέται η πολική απόσταση 85,40m, δηλαδή d= 85,4mm. Για τον προσδιορισμό του Τ, στρέφεται το βαθμογνωμόνιο μέχρι να συμπέσει η ένδειξη της πολικής γωνίας 346,50g με τη διεύθυνση μηδενισμού ΑΒ. Πάνω στο αριστερό υποδεκάμετρο, που είναι κοντά στην ένδειξη , μετριέται, υπό κλίμακα, η πολική απόσταση 98,60m, δηλαδή d= 98,6mm. Είναι φανερό ότι η μέθοδος προσδιορισμού των ταχυμετρικών σημείων στο σχέδιο δεν είναι τόσο ακριβής, διότι: Α) Οι πολικές γωνίες προσδιορίζονται κατ εκτίμηση πάνω στις γωνιακές κλίμακες, όπου η ακρίβεια είναι 0,50g. Β) Κατά τη διάρκεια της εργασίας το βαθμογνωμόνιο μετατοπίζεται λόγω της χρήσης, με αποτέλεσμα οι πολικές αποστάσεις να προσδιορίζονται με μεγαλύτερο σφάλμα από εκείνο των καρτεσιανών συντεταγμένων. Για τους παραπάνω λόγους, σήμερα, η μέθοδος αυτή έχει αντικατασταθεί από την προηγούμενη.

16 Πως γίνεται το ραπορτάρισμα (τοποθέτηση) των σημείων στον κάναβο με ορθογωνικές συντεταγμένες; Η θέση των σημείων στο επίπεδο προσδιορίζεται με δύο τρόπους. Αυτοί είναι: Α) Καρτεσιανές συντεταγμένες Χ (τετμημένη), Υ (τεταγμένη) και Β) Πολικές συντεταγμένες D (πολική απόσταση) και α (πολική γωνία). Με τους ίδιους τρόπους τοποθετούνται-ραπορτάρονται (η λέξη προέρχεται από τη γαλλική: rapport) στον κάναβο σχεδίασης τα χαρακτηριστικά σημεία του εδάφους. Α) Καρτεσιανές συντεταγμένες Όπως αναφέρθηκε στον ορισμό του κανάβου, η χρήση του διευκολύνει την τοποθέτηση των σημείων, γιατί δε χρειάζεται να γίνεται η μέτρηση των συντεταγμένων του σημείου (υπό κλίμακα) από την αρχή των αξόνων. Με βάση τον κάναβο, αφού καθοριστεί το τετράγωνο μέσα στο οποίο βρίσκονται οι συντεταγμένες του σημείου, η θέση του σημείου προσδιορίζεται με μετρήσεις μέσα στο συγκεκριμένο τετράγωνο, όπως παρουσιάζεται στο παράδειγμα που δίνεται παρακάτω.

17 Παράδειγμα: Έστω ότι πρόκειται να ραπορταρισθεί το Α με καρτεσιανές συντεταγμένες Χ = +3982,38m και Y = +3764,43m, σε κάναβο σχεδίασης, κλίμακας 1:500 (παρακάτω σχήμα). Εντοπίζεται το τετράγωνο του κανάβου μέσα στο οποίο βρίσκεται το Α. Το Χ βρίσκεται μεταξύ των ακέραιων υποδιαιρέσεων 3950 και Το Υ βρίσκεται μεταξύ των υποδιαιρέσεων 3750 και Μετριέται η απόσταση D = 3982, = 32,38m, (που στην κλίμακα 1:500 είναι d = 65mm), πάνω στους άξονες των Χ και προσδιορίζονται τα σημεία Δ και Δ. Μετριέται η απόσταση D = 3764, = 14,43m, (που στην κλίμακα 1:500 είναι 29mm), πάνω στη ΔΔ με αρχή τον άξονα που αντιστοιχεί στην υποδιαίρεση 3750 και προσδιορίζεται η θέση του σημείου Α. Το ίδιο σημείο προσδιορίζεται αν μετρηθεί η απόσταση των 14,43m, υπό κλίμακα 1:500, πάνω στους δυο άξονες του κανάβου που αντιστοιχούν στις τιμές 3950 και 4000 των τετμημένων και προσδιορίζει το Α με βάση την απόσταση 32,28m, όπως και προηγουμένως. Για τις μετρήσεις των μηκών υπό κλίμακα κατάλληλα είναι τα μικρά υποδεκάμετρα των 10cm ή τρίγωνα τα οποία έχουν χαραγμένο κάναβο με πλευρά 1cm. Με αυτά μπορούν να σχεδιασθούν εύκολα κάθετες γραμμές και το ραπορτάρισμα του Α μπορεί να γίνει με δύο μόνο μετρήσεις. Μετριέται πρώτα η απόσταση 32,28m και ορίζεται το Δ στον άξονα των τετμημένων του τετραγώνου και κάθετα πάνω σε αυτό, στο σημείο Δ, μετριέται το μήκος 14,43m και ορίζεται η θέση του Α. Η μέθοδος, εφαρμοζόμενη με λίγη προσοχή, είναι της ίδιας ακρίβειας με την προηγούμενη, αλλά η ταχύτητά της είναι μεγαλύτερη. Στα σχήματα που ακολουθούν δίνεται ο τρόπος προσδιορισμού σημείου με Χ, Υ.

18

19 Ποια είναι η βοήθεια των συνθηματικών παραστάσεων που χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση του τοπογραφικού σχεδίου; Η ανάγνωση του χάρτη είναι, ίσως, ένα από τα πιο σημαντικά κεφάλαια στην τοπογραφία και με αυτή την ορολογία εννοούμε την ικανότητα κάποιου να μπορεί να χειρίζεται σωστά το χάρτη. Για ευκολία της ανάγνωσης, κάθε χάρτης διαθέτει, συνήθως, ορισμένες συνθηματικές παραστάσεις, γνωστές και σαν τοπογραφικά σημεία. Οι συνθηματικές παραστάσεις ή τοπογραφικά σημεία είναι σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο χάρτη και αντιπροσωπεύουν κάποιο αντικείμενο στο έδαφος. Ο λόγος που χρησιμοποιούνται, είναι διότι θα ήταν πρακτικά αδύνατο για πολλά αντικείμενα, να αποτυπωθούν στο χάρτη με την κλίμακα, που χρησιμοποιείται, δηλαδή θα πρέπει να σμικρύνουν κατά πολύ για να είναι αντιπροσωπευτικά της κλίμακας που χρησιμοποιείται, με αποτέλεσμα να καταστεί αδύνατη η ανάγνωση τους. Χρωματισμός χάρτη Τα χρώματα που χρησιμοποιούνται στους χάρτες, έχουν και αυτά την ιδιαίτερη σημασία τους, αφού συμβολικά αντιπροσωπεύουν και κάτι ξεχωριστό στο χάρτη. Τα χρώματα που συνήθως χρησιμοποιούνται είναι: Καφέ: για ότι έχει σχέση με την ορεινή περιοχή του χάρτη,

20 Κίτρινο: για ότι έχει σχέση με ελαφρά ορεινή και πεδινή περιοχή, Γαλάζιο: για ότι έχει σχέση με νερό (θάλασσα, λίμνες, ρυάκια, ποταμοί, πηγές), Πράσινο: για ότι έχει σχέση με τη βλάστηση (θάμνοι, δένδρα, καλλιέργειες, δάση κ.ά.), Κόκκινο: για ότι έχει σχέση με το οδικό δίκτυο, Βαθύ μπλε: με ότι έχει σχέση με τον τετραγωνισμό (άξονες τετραγωνισμού), Μαύρο: για ότι έχει σχέση με ονοματολογία (εκτός υδάτων που είναι γαλάζιο), τηλεφωνικές ή ηλεκτρικές γραμμές, όρια κρατών, επαρχιών κλπ.

21 Τι είναι ισοϋψείς καμπύλες; Ο χάρτης για να καλύπτει τις στοιχειώδεις απαιτήσεις πρέπει να είναι σε θέση (εκτός των άλλων λεπτομερειών), να δίνει πληροφορίες και για το ανάγλυφο του εδάφους που αναπαριστά Η απόδοση του ανάγλυφου επιτυγχάνεται με την εισαγωγή των ισοϋψών καμπυλών. Ισοϋψής καμπύλη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του εδάφους, τα οποία έχουν το ίδιο υψόμετρο. Για τις τρέχουσες τοπογραφικές εργασίες, οι ισοϋψής καμπύλες, προκύπτουν από την τομή της επιφάνειας του εδάφους με ισαπέχοντα οριζόντια επίπεδα.

22 Βασικά χαρακτηριστικά των ισοϋψών καμπυλών: Είναι κλειστές καμπύλες και κατά το δυνατόν ομαλές, Δεν τέμνονται μεταξύ τους, Δε διακλαδίζονται, Η πυκνότητά τους είναι ανάλογη με την κλίση του εδάφους, Έχουν την τάση να παραλληλίζονται με τις γειτονικές τους και Από τη μορφολογική τους εμφάνιση, μπορούμε να συμπεράνουμε τη μορφή του εδάφους (αντερείσματα, υδρορροές, κοιλάδες, χαράδρες κλπ).

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Γ. Καριώτου ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες:

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες: Το αντικείμενο του θέματος είναι η ταχυμετρική αποτύπωση σε κλίμακα 1:200 της περιοχής που ορίζεται από τo Σκαρίφημα Λιμνίου με Συντεταγμένες Σημείων το οποίο παραδόθηκε στο μάθημα και βρίσκεται στο eclass.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ, ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ι γ ις ε σ ώ ι ε μ η σ α το σχ ι δ έ ο ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γεωδαιτικό σύστημα Χάρτης Πυξίδα Χάραξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Γ. Καριώτου ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Γ. Καριώτου ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ ΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΕΣ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ ΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ ΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΕΣ Η ΠΥΞΙΔΑ Η πυξίδα είναι ένα όργανο προσανατολισμού που δείχνει τα σημεία του ορίζοντα και άλλες πληροφορίες προσανατολισμού ως προς τα σημεία του ορίζοντα, όπως το αζιμούθιο

Διαβάστε περισσότερα

σχεδιαστικά σχεδιαστικών όργανα οικοδόμοι και μαραγκοί χρησιμοποιούσαν διαστημόμετρα και διαβήτες. Στις κατασκευάζονται περισσότερο αιώνα όργανα,

σχεδιαστικά σχεδιαστικών όργανα οικοδόμοι και μαραγκοί χρησιμοποιούσαν διαστημόμετρα και διαβήτες. Στις κατασκευάζονται περισσότερο αιώνα όργανα, Διαφάνεια 1 Όργανα και υλικά σχεδίασης (1) Τα περισσότερα σχεδιαστικά όργανα που χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα φαίνεται ότι σε κάποια μορφή τους υπήρχαν και στα αρχαία χρόνια. Τα παλαιότερα όργανα σχεδίασης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Ένας χάρτης είναι ένας τρόπος αναπαράστασης της πραγματικής θέσης ενός αντικειμένου ή αντικειμένων σε μια τεχνητά δημιουργουμένη επιφάνεια δύο διαστάσεων Πολλοί χάρτες (π.χ. χάρτες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης Τσιούκας Βασίλειος, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμές. 4.1 Γενικά. 4.2 Είδη και πάχη γραμμών

Γραμμές. 4.1 Γενικά. 4.2 Είδη και πάχη γραμμών 4 Γραμμές 4.1 Γενικά Στα σχέδια, προκειμένου να απεικονίσουμε με σαφή και κατανοητό τρόπο το σχεδιαστικό μας αντικείμενο, χρησιμοποιούμε ποικίλες γραμμές, που καθεμιά έχει διαφορετική σημασία και διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 10: Εργαστηριακές ασκήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 10: Εργαστηριακές ασκήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 10: Εργαστηριακές ασκήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5η Χάραξη πύκνωση επέκταση ευθυγραµµίας. Ορθογώνιες Συντεταγµένες. Απαιτούµενα όργανα:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Υπολογισμός της κλίμακας και μέτρηση οριζόντιων αποστάσεων

Άσκηση 1 Υπολογισμός της κλίμακας και μέτρηση οριζόντιων αποστάσεων Άσκηση 1 Υπολογισμός της κλίμακας και μέτρηση οριζόντιων αποστάσεων ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ 1.1 Τρόποι έκφρασης της κλίμακας αεροφωτογραφιών Μια από τις σημαντικότερες παραμέτρους της αεροφωτογραφίας η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχανικός Επιστημονικο πεδιο Και Επαγγελματικη δραστηριοτητα

Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχανικός Επιστημονικο πεδιο Και Επαγγελματικη δραστηριοτητα Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχανικός Επιστημονικο πεδιο Και Επαγγελματικη δραστηριοτητα ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ ΑΤΜ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ & ΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ 2 Σχολές Αγρονόμων & Τοπογραφων Μηχανικων Αθηνα Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα)

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 20 1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 1.3.1 Ορισµός- Είδη - Χρήση Σκαρίφηµα καλείται η εικόνα ενός αντικειµένου ή εξαρτήµατος που µεταφέρεται σε χαρτί µε ελεύθερο χέρι (χωρίς όργανα σχεδίασης ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη θέση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά χαρακτηριστικά των χαρτών

Βασικά χαρακτηριστικά των χαρτών Ορισμοί του χάρτη Μια αναπαράσταση, συνήθως υπό κλίμακα και σε ένα επίπεδο μέσο, μιας συλλογής υλικών ή αφηρημένων στοιχείων πάνω ή σε σχέση με την επιφάνεια της γης ή άλλου ουράνιου σώματος (ICA, 1973)...

Διαβάστε περισσότερα

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του.

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του. 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια πλευρά ίση με 48 και το αντίστοιχο σε αυτή την πλευρά ύψος είναι 4,5 dm. Να βρείτε το εμβαδό του παραλληλογράμμου 2. Ένα παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό 72 2

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΩΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΟΔΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Άγγελος Βασιλάς, Σπουδαστής ΕΜΠ Κωνσταντίνος Αποστολέρης, Πολιτικός Μηχανικός, MSc Σοφία Βαρδάκη, Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Επιµέλεια: ηµάδη Αγόρω Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ: είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Τοπογραφικοί χάρτες Βασικό στοιχείο του χάρτη αποτελεί : το τοπογραφικό υπόβαθρο, που αναπαριστά µε τη βοήθεια γραµµών (ισοϋψών)

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής:

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Tοπογραφικά Σύμβολα Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Κεντρική Αρτηρία Ρέμα Δευτερεύουσα Αρτηρία Πηγάδι Χωματόδρομος Πηγή Μονοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1ο Γνωριμία με το σχέδιο 1.1 Ορισμός σχεδίου 1.2 Ελεύθερη σχεδίαση 1.2.1 Γνωριμία με το ελεύθερο σχέδιο 1.2.2 Ιστορική αναδρομή ελεύθερης σχεδίασης 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο μαθήματος - Τοπογραφία. Ονοματεπώνυμο ΑΜ. Ασκήσεις Εργαστηρίου τοπογραφίας

Εργαστήριο μαθήματος - Τοπογραφία. Ονοματεπώνυμο ΑΜ. Ασκήσεις Εργαστηρίου τοπογραφίας ΤΕΙ Σερρών, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ & Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Κατεύθυνση Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Χειμερινό Εξάμηνο Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε:

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε: 9 ο Γυμνάσιο Αθηνών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο 6: ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Φύλλο εργασίας Νο1 1 Ονοματεπώνυμο μαθητή : Ημερομηνία :.../.../20... Μαθηματικές έννοιες: Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε πολλές από τις εργαστηριακές ασκήσεις θα ζητηθεί στην έκθεσή σας να περιλάβετε μια ή περισσότερες γραφικές παραστάσεις. Οι γραφικές παραστάσεις μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΚΤΙΑΣ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2016 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑ Είμαστε όλοι ενήμεροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων:, Ιδιότητες ριζών:, ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ,,,, Ταυτότητες: αβ α 2αββ αβ 2αββ αβαβ α β αβ α 3α β3αβ β αβ α 3α β3αβ β ΠΡΟΣΟΧΗ!,,,,,, Όταν υψώνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Εφαρμογή Ρυμοτομικού Διαγράμματος

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Εφαρμογή Ρυμοτομικού Διαγράμματος Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Εφαρμογή Ρυμοτομικού Διαγράμματος Λάμπρου Ευαγγελία, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π., litsal@central.ntua.gr Πανταζής Γεώργιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π., gpanta@central.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με το αντίστοιχο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1. ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ Ο σκοπός της Τοπογραφίας επιτυγχάνεται με τη χρήση των Τοπογραφικών οργάνων. Για τη διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα