6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας"

Transcript

1 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν πολλά χαρακτηριτικά των οποίων η µεταβλητότητα έχει ηµαία. Οι φυικές διατάεις, οι χρόνοι επεξεργαίας, οι χρόνοι µεταξύ βλαβών και οι χρόνοι επιδιόρθωης µηχανών, η ποιότητα, οι θερµοκραίες, η κληρότητα υλικών, οι χρόνοι προετοιµαίας, κοκ είναι παραδείγµατα χαρακτηριτικών που υπόκεινται ε µη οµοιοµορφία. Η µεταβλητότητα έχει τενή χέη (αλλά δεν είναι ίδια) µε την τυχαιότητα (ndomnss). Έτι, για να κατανοήουµε τις αιτίες και τις υνέπειες της µεταβλητότητας, πρέπει να κατανοήουµε την έννοια της τυχαιότητας και το χετιζόµενο αντικείµενο των πιθανοτήτων. Στην υνέχεια θα αναπτύξουµε τις απαραίτητες ιδέες που αφορούν την τυχαιότητα επικεντρώνοντας την προοχή µας περιότερο την διαίθηη παρά τον µαθηµατικό φορµαλιµό. Παρ όλα αυτά, χάριν της ακρίβειας πρέπει να επικαλετούµε την υµβατική γλώα των πιθανοτήτων. Πιο υγκεκριµένα, µας είναι απαραίτητη η έννοια µίας τυχαίας µεταβλητής και ο χαρακτηριµός της µέω της µέης τιµής (mn) της και της τυπικής απόκλιής (sndd dviion) της. 6. Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα Είναι ηµαντικό να κάνουµε την διάκριη µεταξύ δύο τύπων µεταβλητότητας. Η ελεγχόµενη µεταβλητότητα είναι αποτέλεµα αποφάεων. Για παράδειγµα, αν ε ένα εργοτάιο κατακευάζονται διαφορετικά προϊόντα, θα υπάρχει µεταβλητότητα τα χαρακτηριτικά τους (φυικές διατάεις, χρόνος κατακευής, κτλ). Παρόµοια, αν τα υλικά µεταφέρονται ε παρτίδες από την µια διαδικαία την επόµενη, το πρώτο τεµάχιο ε µία παρτίδα θα περιµένει περιότερο να µεταφερθεί από ότι το τελευταίο, και υνεπώς οι χρόνοι αναµονής των τεµαχίων θα είναι µεταβλητοί. Αντίθετα, η τυχαία µεταβλητότητα είναι αποτέλεµα υµβάντων πέρα από τον έλεγχό µας. Για παράδειγµα, η βλάβη µίας µηχανής θα επιβαρύνει τον πραγµατικό χρόνο επεξεργαίας µίας εργαίας, γιατί η εργαία θα πρέπει να περιµένει την επιδιόρθωη της µηχανής για να ολοκληρωθεί η επεξεργαία της. Εφόον τέτοια απρόοπτα γεγονότα δεν µπορούν να Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής προβλεφθούν ή να ελεγχθούν (τουλάχιτον άµεα), οι βλάβες µηχανών αυξάνουν την µεταβλητότητα του πραγµατικού χρόνου επεξεργαίας µε έναν τυχαίο τρόπο. Επειδή η επίδραη της τυχαίας µεταβλητότητας είναι πιο λεπτή και απαιτεί πιο πολύπλοκα εργαλεία για να περιγραφεί, ε αυτό το κεφάλαιο θα επικεντρωθούµε την τυχαία µεταβλητότητα Οι Πηγές της Τυχαιότητας Μία ερµηνεία της τυχαιότητας είναι ότι επειδή έχουµε ατελείς (ή ελλιπείς) πληροφορίες, τα υτήµατα µπορεί να φαίνονται ότι υµπεριφέρονται τυχαία. Η βάη του υλλογιµού αυτού είναι ότι αν γνωρίζαµε όλους τους νόµους της φύης και είχαµε µια πλήρη περιγραφή του ύµπαντος ε µια δεδοµένη χρονική τιγµή, θεωρητικά θα µπορούαµε να προβλέψουµε κάθε λεπτοµέρεια της έκτοτε εξέλιξής του µε βεβαιότητα. Μια δεύτερη ερµηνεία της τυχαιότητας είναι ότι το ύµπαν πράγµατι υµπεριφέρεται τυχαία. Με άλλα λόγια, έχοντας µια πλήρη περιγραφή του ύµπαντος και των νόµων της φυικής δεν είναι αρκετά για να προβλέψουµε το µέλλον. Στην καλύτερη περίπτωη, αυτά µπορούν να παράχουν τατιτικές εκτιµήτριες του τι πρόκειται να υµβεί. Ακόµα, οι ίδιες αρχικές υνθήκες µπορεί να µην οδηγήουν ε ίδιες µελλοντικές κατατάεις. Πάντως, ανεξάρτητα από το αν η τυχαιότητα είναι εγγενής ή οφείλεται την έλλειψη πληροφοριών, οι υνέπειες είναι οι ίδιες: πολλές όψεις της ζωής, υµπεριλαµβανόµενης της διοίκηης παραγωγής, είναι απρόβλεπτες. Αυτό ηµαίνει ότι δεν µπορούµε να είµατε ποτέ ίγουροι για τα αποτελέµατα των διοικητικών αποφάεων. Πράγµατι, ξεκινώντας µε τις ίδιες υνθήκες και χρηιµοποιώντας την ίδια πολιτική ελέγχου ε δύο διαφορετικές ηµέρες µπορεί να οδηγήει ε διαφορετικά αποτελέµατα. Αυτό δεν ηµαίνει ότι πρέπει να παραιτηθούµε από την διοίκηη εργοταίων, αλλά ότι το κύριο µέληµά µας πρέπει να είναι η αναζήτηη εύρωτων πολιτικών για την αποτελεµατική αντιµετώπιη της τυχαιότητας. Μία εύρωτη (obus) πολιτική είναι µια πολιτική που δουλεύει καλά τις περιότερες φορές. Αυτό διαφέρει από την βέλτιτη πολιτική που είναι η καλύτερη δυνατή πολιτική για µια υγκεκριµένη οµάδα υνθηκών. Το ιχυρότερο εργαλείο που µπορεί να έχει ένας µάνατζερ για να αναγνωρίζει αποτελεµατικές και εύρωτες πολιτικές την όψη της τυχαιότητας είναι Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 3 η καλή πιθανολογική διαίθηη. υτυχώς, µια τέτοια διαίθηη φαίνεται να είναι πάνια. Έτι, το υπόλοιπο του κεφαλαίου καταπιάνεται µε την ανάπτυξη αυτής της κρίιµης δεξιότητας. 6.. Πιθανολογική ιαίθηη Η διαίθηη παίζει ηµαντικό ρόλο την καθηµερινή µας ζωή. Σε πολλές περιπτώεις, η διαίθηή µας είναι αρκετά καλή όον αναφορά επιδράεις πρώτης τάξης. Για παράδειγµα, αν αυξήουµε την µέη ταχύτητα του αργότερου ταθµού εργαίας ε µια γραµµή παραγωγής, χωρίς να αλλάξουµε τίποτα άλλο, θα περιµέναµε να αυξηθεί η παραγωγικότητα της γραµµής. Αυτού του είδους η διαίθηη προκύπτει µε το να προποιούµατε ότι ο κόµος είναι καθοριτικός (dminsiic), δηλαδή, χωρίς τυχαιότητα. Στην γλώα των πιθανοτήτων και της τατιτικής, ο υλλογιµός αυτός βαίζεται την προέγγιη των εµπλεκόµενων τυχαίων µεταβλητών µε την πρώτη ροπή (fis momn) ή την µέη τιµή. Όο η µεταβολή της µέης ποότητας είναι µεγάλη ε χέη µε την τυχαιότητα, η διαίθηη πρώτης τάξης δουλεύει καλά. Η διαίθηή µας τείνει να είναι πολύ λιγότερο αναπτυγµένη όον αφορά δεύτερες ροπές, δηλαδή ποότητες που εµπλέκουν την διακύµανη τυχαίων µεταβλητών. Για παράδειγµα, ποιο είναι πιο µεταβλητό, ο χρόνος επεξεργαίας ενός τεµαχίου ή µίας παρτίδας τεµαχίων; Ποιο επιφέρει µεγαλύτερη ανατάτωη, υχνές βλάβες µικρής διάρκειας, ή αραιές βλάβες µεγάλης διάρκειας; Ποιο επιφέρει µεγαλύτερη βελτίωη την απόδοη µιας γραµµής παραγωγής, η µείωη της µεταβλητότητας των χρόνων επεξεργαίας ε ταθµούς την αρχή ή το τέλος της γραµµής; Αυτές και άλλες ερωτήεις χετικές µε την µεταβλητότητα που αφορούν την υµπεριφορά των εργοταίων απαιτούν πολύ λεπτότερη διαίθηη από αυτήν που απαιτείται για να δει κανείς ότι αυξάνοντας την µέη ταχύτητα του αργότερου ταθµού ε µια γραµµή παραγωγής, θα αυξηθεί η παροχή παραγωγής. Επειδή οι άνθρωποι υχνά δεν έχουν καλά αναπτυγµένη διαίθηη όον αφορά δεύτερες ροπές, πολλές φορές παρερµηνεύουν τυχαία φαινόµενα και νοµίζουν ότι εξαιτίας δικών τους ενεργειών το κακό γίνεται καλύτερο και το καλό χειρότερο, ενώ η πραγµατική αιτία είναι η τυχαιότητα. Για παράδειγµα, µετά από µια ιδιαίτερα αργή περίοδο παραγωγής, ο διευθυντής παραγωγής µπορεί να αντιδράει παίρνοντας κληρά µέτρα. Με βεβαιότητα, η παραγωγή θα αυξηθεί. Παρόµοια, µετά από µια περίοδο Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 4 εξαιρετικής απόδοης, η παραγωγή πέφτει καθαρή ένδειξη ότι οι εργάτες επαναπαύθηκαν τις δάφνες τους. Βέβαια, η ίδια ακριβώς υµπεριφορά το καλύτερο να έπεται του χειρότερου και το χειρότερο να έπεται του καλύτερου είναι πιθανό να υµβεί ακόµα και αν δεν έχει γίνει καµία αλλαγή, οποτεδήποτε υπάρχει τυχαιότητα. 6.3 Κλάεις Μεταβλητότητας Η διακύµανη (vinc), που υχνά υµβολίζεται ως, καθώς και η τυπική απόκλιη,, είναι µέτρα απόλυτης µεταβλητότητας. Συχνά, όµως, η απόλυτη µεταβλητότητα είναι λιγότερο ηµαντική από την χετική µεταβλητότητα. Για παράδειγµα, µια τυπική απόκλιη 1 µικρών θα υποδείκνυε ελάχιτη µεταβλητότητα την παραγωγή βιδών µε ονοµατικό µήκος 4 εκατοτών, αλλά θα ήµαινε τεράτια µεταβλητότητα το πλάτος των γραµµών ε ένα ολοκληρωµένο µικροκύκλωµα όπου το µέο πλάτος γραµµών είναι 5 µικρά. Ένα λογικό µέτρο της χετικής µεταβλητότητας µιας τυχαίας µεταβλητής είναι η τυπική απόκλιη δια του µέου όρου, που ονοµάζεται υντελετής µεταβλητότητας (cofficin of viion ή CV). Έτι, αν είναι η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη, ο υντελετής µεταβλητότητας είναι Σε πολλές περιπτώεις είναι πιο βολικό να χρηιµοποιούµε τον τετραγωνικό υντελετή µεταβλητότητας (squd cofficin of viion ή SCV), Ταξινόµηη Αξιοπιτίας Η µέη τιµή, η διακύµανη και ο υντελετής µεταβλητότητας είναι βαικά µέτρα χαρακτηριµού τυχαίων µεταβλητών. Όµως, για να κατανοήουµε καλύτερα τις επιδράεις της µεταβλητότητας ε υτήµατα παραγωγής, χρειαζόµατε επιπλέον εργαλεία. Μια ηµαντική προέγγιη για την ταξινόµηη των τυχαίων µεταβλητών προέρχεται από την περιοχή της θεωρίας αξιοπιτίας (libiliy). Θα αναπτύξουµε αυτές τις ιδέες τα πλαίια της αξιοπιτίας και την υνέχεια θα ερµηνεύουµε την ηµαία τους τα υτήµατα παραγωγής.

2 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 5 Συνάρτηη Ρυθµού Βλάβης. Στην θεωρία αξιοπιτίας η βαική τυχαία µεταβλητή που ενδιαφέρει είναι ο χρόνος µέχρι την επόµενη βλάβη (im o filu) ενός εξαρτήµατος ή ενός υτήµατος. Όπως όλες οι τυχαίες µεταβλητές, ο χρόνος µέχρι την επόµενη βλάβη περιγράφεται από µια υνάρτηη κατανοµής, F. Επιπλέον, είναι χρήιµο ο χρόνος µέχρι την επόµενη βλάβη να περιγραφεί µε τους όρους µιας υνάρτηης ρυθµού βλάβης, h. Ο ρυθµός βλάβης ορίζεται ως η πυκνότητα πιθανότητας να υπάρξει µια βλάβη τον χρόνο x δεδοµένου ότι το ύτηµα έχει επιβιώει έως τον χρόνο x. Έτω X ο χρόνος µέχρι την επόµενη βλάβη µε κατανοµή F και πυκνότητα f. Χρηιµοποιώντας οριµένες βαικές χέεις από τις πιθανότητες υπό υνθήκη, µπορούµε να γράψουµε τον ρυθµό βλάβης ως εξής: h(x) x P{το ύτηµα να πάθει βλάβη µέχρι τον χρόνο x + x δεδοµένου ότι δεν έχει πάθει βλάβη µέχρι τον χρόνο x}. Χρηιµοποιώντας τον υµβολιµό των πιθανοτήτων, το παραπάνω µπορεί να γραφεί ως hx ( ) x Px { X x+ x X> x} P{( x X x+ x}) ( X > x)} PX { > x} f( x) x 1 Fx ( ) Συνεπώς, hx ( ) f () x, 1 Fx ( ) που είναι και ο κλαικός οριµός της υνάρτηης ρυθµού βλάβης. Τυχαίες µεταβλητές IFR, DFR και CFR. Η υνάρτηη ρυθµού βλάβης χρηιµοποιείται την θεωρία αξιοπιτίας για να χωρίει τους χρόνους µέχρι την επόµενη βλάβη ε δύο κλάεις, αυτές που έχουν αύξοντα ρυθµό βλάβης (incsing filu ή IFR) και αυτές που έχουν φθίνοντα ρυθµό βλάβης (dcsing filu ή DFR). Τυχαίες µεταβλητές που είναι IFR και DFR λέµε ότι έχουν ταθερό ρυθµό βλάβης (consn filu ή CFR). Κατ αρχήν ας ηµειωθεί ότι όο περιότερο λειτουργεί ένα ύτηµα, τόο αυξάνεται η πιθανότητα να έχει πάθει βλάβη. Αυτήν η αθροιτική Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 6 πιθανότητα βλάβης µετριέται από την υνάρτηη κατανοµής F και όχι από την υνάρτηη ρυθµού βλάβης h(x). Αντίθετα, η υνάρτηη ρυθµού βλάβης χαρακτηρίζει την υπό υνθήκη πιθανότητα βλάβης δεδοµένου ότι το ύτηµα έχει επιβιώει έως τον χρόνο x. Τυχαίες µεταβλητές που είναι IFR είναι εκείνες για τις οποίες η υνάρτηη h(x) είναι µη φθίνουα, ενώ τυχαίες µεταβλητές που είναι DFR είναι εκείνες για τις οποίες η υνάρτηη h(x) είναι µη αύξουα. Το όριο µεταξύ αυτών των δύο κλάεων είναι η κλάη CFR που περιλαµβάνει τυχαίες µεταβλητές για τις οποίες η υνάρτηη h(x) είναι ταθερή το x. Μπορεί να δειχθεί ότι υπάρχει µόνον ένας τύπος κατανοµής ε αυτήν την κλάη, η εκθετική κατανοµή. Στο Κεφάλαιο 5 ηµειώαµε ότι η εκθετική κατανοµή έχει την ιδιότητα να είναι χωρίς µνήµη. Εφόον η πιθανότητα ένα ύτηµα CFR να πάθει βλάβη την επόµενη τιγµή δεν εξαρτάται από τον χρόνο λειτουργίας του (δηλαδή, δεν έχει µνήµη), οι όροι CFR και χωρίς µνήµη είναι ουιατικά υνώνυµοι. Για να γίνει πιο αφής ο διαχωριµός µεταξύ των τριών αυτών υµπεριφορών, ας θεωρήουµε µια τυχαία µεταβλητή που ορίζεται ως ο αριθµός των ωρών οδήγηης πριν κάει ένα υγκεκριµένο λάτιχο αυτοκινήτου. Εξετάζουµε τρία ενάρια. Στο πρώτο ενάριο, το λάτιχο ξεκινάει ε καλή κατάταη αλλά η οδήγηή του γίνεται την πόλη κάτω από κακές υνθήκες. Η αιτία καίµατός του λάτιχου θα είναι χεδόν ίγουρα το τρύπηµά του από κάποιο αιχµηρό αντικείµενο. Κάτω από αυτές τις υνθήκες, ο χρόνος µέχρι να κάει το λάτιχο θα είναι CFR επειδή η πιθανότητα το λάτιχο να προκρούει πάνω ε ένα αιχµηρό αντικείµενο την επόµενη τιγµή, δεδοµένου ότι δεν έχει ακόµα προκρούει ε ένα τέτοιο αντικείµενο δεν εξαρτάται από τον αριθµό των ωρών οδήγηης. Στο δεύτερο ενάριο, το λάτιχο ξεκινάει ε καλή κατάταη και η οδήγηή του γίνεται τον αυτοκινητόδροµο κάτω από καλές υνθήκες. Η αιτία καίµατος του λάτιχου θα είναι χεδόν ίγουρα η φθορά του. Εφόον η φθορά αυξάνεται µε τον χρόνο οδήγηης, ο χρόνος µέχρι να κάει το λάτιχο θα είναι IFR. Στο τρίτο ενάριο, το λάτιχο έχει µόλις κάει και επιδιορθωθεί από έναν καθηγητή πανεπιτηµίου. Επειδή οι καθηγητές πανεπιτηµίου είναι κακοί επιδιορθωτές λάτιχων, υπάρχει µεγάλη πιθανότητα το λάτιχο να ξανακάει αµέως. Όο περιότερο επιβιώνει το λάτιχο χωρίς να ξανακάει, τόο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα το λάτιχο να έχει Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 7 επιδιορθωθεί ωτά και άρα να επιζήει περιότερο. Συνεπώς, ο χρόνος µέχρι να κάει το λάτιχο θα είναι DFR, τουλάχιτον για κάποιο χρονικό διάτηµα. Εφόον το λάτιχο έχει επιβιώει για αρκετό διάτηµα ένδειξη ότι η επιδιόρθωή του έγινε ωτά η ζωή του το εξής θα είναι είτε CFR είτε IFR, ανάλογα µε πιο από τα δύο προηγούµενα ενάρια προκύπτει από τις υνθήκες του δρόµου. Ο τελευταίος τύπος υµπεριφοράς, όπου ένα ύτηµα εµφανίζει διαφορετικούς τύπους ρυθµού βλάβης, είναι πολύ υνηθιµένος. Πολλά υτήµατα τείνουν να έχουν χρόνους ζωής που είναι αρχικά DFR, εξαιτίας της υψηλής πιθανότητας ύπαρξης ενός αρχικού ελαττώµατος, την υνέχεια CFR, όταν εξωτερικοί παράγοντες ευθύνονται για τις βλάβες, και τέλος IFR, όταν το ύτηµα έχει παλιώει τόο ώτε οι περιότερες βλάβες να οφείλονται ε φθορά. Εφαρµογές Αξιοπιτίας ε Συτήµατα Παραγωγής. Σε πολλά εργοτάια, οι βλάβες των µηχανών είναι µια από τις µεγαλύτερες και πιο αποδιοργανωτικές πηγές µεταβλητότητας. Στην πράξη, οι µηχανές µπορούν να εµφανίουν όλους τους τύπους υµπεριφοράς αξιοπιτίας που περιγράψαµε παραπάνω. Γενικά, θα περίµενε κανείς να απαντήει υµπεριφορά DFR ε εξαρτήµατα που έχουν αγοραθεί ή επιδιορθωθεί πρόφατα και είναι πιθανό να πάθουν βλάβη εξαιτίας κάποιου αρχικού ελαττώµατος. Πέρα από την αρχική περίοδο δοκιµαίας θα περίµενε κανείς τα περιότερα µηχανολογικά εξαρτήµατα να εµφανίζουν υµπεριφορά IFR εξαιτίας της φθοράς τους. Τέλος, αν και θα περίµενε κανείς ότι η υµπεριφορά CFR (χωρίς µνήµη) θα ήταν πάνια ε µηχανολογικό εξοπλιµό παραγωγής, υπάρχει µια ηµαντική περίπτωη όπου είναι αρκετά υχνή. Πρόκειται για τον χρόνο ζωής πολύπλοκων µηχανηµάτων που αποτελούνται από πολλά εξαρτήµατα. Οποτεδήποτε υµβαίνει µια βλάβη, αντικαθίτανται τα εξαρτήµατα που επηρεάτηκαν από την βλάβη και όχι όλο το ύτηµα. Ύτερα από λίγο, ο εξοπλιµός είναι πια ένα µίγµα από παλιά και νέα εξαρτήµατα µε ένα µεγάλο εύρος προδοκώµενων διαρκειών ζωής. Σε αυτήν την περίπτωη, το πόο χρονικό διάτηµα έχει παρέλθει από την τελευταία βλάβη δεν έχει ηµαία όον αφορά την πρόγνωη µελλοντικών βλαβών. Έτι, ο προδοκώµενος χρόνος µέχρι την επόµενη βλάβη γίνεται ανεξάρτητος από τον χρόνο που έχει παρέλθει από την τελευταία βλάβη. Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 8 Από µια πρώτη µατιά φαίνεται ότι οι χρόνοι ζωής DFR είναι καλύτεροι από τους χρόνους ζωής IFR για τον απλό λόγο ότι όο περιότερο λειτουργεί µια µηχανή µε χρόνο ζωής DFR τόο µειώνεται η πιθανότητα να πάθει βλάβη την επόµενη ώρα. Το µειονέκτηµα αυτής της φαινοµενικά καλής ιδιότητας είναι ότι καθώς περνάει ο χρόνος υπάρχει όλο και λιγότερη πληροφόρηη για το πότε τελικά θα πάθει βλάβη η µηχανή. Γι αυτόν τον λόγο υτήµατα που είναι DFR (ή ακόµα και CFR) είναι ουιατικά απρόβλεπτα ως προς τους χρόνους ζωής τους. Έτι, αν υγκρίνουµε ένα ύτηµα DFR και ένα ύτηµα IFR µε ίδιους µέους χρόνους ζωής, η διαχείριη του υτήµατος IFR (π.χ. ο προγραµµατιµός της προληπτικής υντήρηης) είναι πιο εύκολη από αυτήν του υτήµατος DFR. Η βαθύτερη αιτία γι αυτό είναι ότι δεδοµένης της ίδιας µέης τιµής, οι χρόνοι ζωής DFR τείνουν να έχουν µεγαλύτερη διακύµανη από τους χρόνους ζωής CFR και ακόµα µεγαλύτερη διακύµανη από τους χρόνους ζωής IFR. Έτι, ονοµάζουµε τις τυχαίες µεταβλητές IFR χαµηλής µεταβλητότητας (ΧΜ), τις τυχαίες µεταβλητές CFR µέης µεταβλητότητας (ΜΜ) και τις τυχαίες µεταβλητές DFR υψηλής µεταβλητότητας (ΥΜ) Ταξινόµηη Χρόνων Επεξεργαίας Αν οι χρόνοι βλαβών των µηχανών είναι ηµαντικές τυχαίες µεταβλητές των υτηµάτων παραγωγής, οι χρόνοι επεξεργαίας εργαιών έχουν ακόµα µεγαλύτερη ηµαία. Άλλωτε, η παροχή, ο χρόνος κύκλου και το WIP καθορίζονται από αυτούς τους χρόνους επεξεργαίας. Έτι, την φυική των εργοταίων η βαική τυχαία µεταβλητή που ενδιαφέρει είναι ο χρόνος επεξεργαίας (pocssing im) µιας εργαίας ε µία µηχανή. Μπορούµε να ταξινοµήουµε τους χρόνους επεξεργαίας ε τρεις κατηγορίες ανάλογα µε την µεταβλητότητά τους, όπως αυτή µετριέται από τον υντελετή µεταβλητότητας c. Έτι, χρόνοι επεξεργαίας µε c αρκετά µικρότερο της µονάδας (ας πούµε, c,75) λέµε ότι είναι ΧΜ, χρόνοι επεξεργαίας µε c της τάξης της µονάδας (ας πούµε,,75 < c 1,33) λέµε ότι είναι ΜΜ και χρόνοι επεξεργαίας µε c αρκετά µεγαλύτερο της µονάδας (ας πούµε, c > 1,33) λέµε ότι είναι ΥΜ. Οι περιότεροι πραγµατικοί (cul) ή φυικοί χρόνοι επεξεργαίας είναι XM επειδή υµπεριφέρονται όπως οι χρόνοι ζωής IFR µε την έννοια ότι όο περιότερο έχει δουλευτεί ένα εξάρτηµα ε µια µηχανή, τόο µεγαλώνει η πιθανότητα να τελειώει η κατεργαία του. Εκείνο όµως που έχει περιότερη ηµαία από τους πραγµατικούς χρόνους επεξεργαίας

3 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 9 είναι οι επιδρώντες (ffciv) χρόνοι επεξεργαίας. Ο επιδρών χρόνος επεξεργαίας είναι ο χρόνος που βλέπει µια εργαία από την τιγµή που ξεκινάει µέχρι να τελειώει η επεξεργαία της και περιλαµβάνει τον πραγµατικό χρόνο επεξεργαίας την µηχανή υν οποιονδήποτε παρεµβαλλόµενο χρόνο βλάβης, προετοιµαίας, κτλ της µηχανής κατά την διάρκεια του οποίου παύεται η επεξεργαία. Έτι, παρ ότι ο πραγµατικός χρόνος επεξεργαίας µπορεί να είναι ΧΜ, ο επιδρών χρόνος επεξεργαίας είναι δυνατόν να είναι ΧΜ, ΜΜ ή ΥΜ, ανάλογα µε την µεταβλητότητα αυτού του παρεµβαλλόµενου µη παραγωγικού χρόνου. Τέλος, είναι ηµαντικό να ηµειωθεί ότι τα παραπάνω µέτρα απόδοης χετίζονται µε την καλύτερη, χειρότερη και πρακτικά χειρότερη περίπτωη που υζητήθηκαν το Κεφάλαιο 5. Η πρακτικά χειρότερη περίπτωη αντιτοιχεί ε µια εξιορροπηµένη γραµµή παραγωγής µε ταθµούς εργαίας µίας µηχανής µε χρόνους επεξεργαίας ΜΜ (εκθετικούς). Αν οι µέοι χρόνοι επεξεργαίας κρατηθούν ταθεροί και µειωθεί η διακύµανή τους έτι ώτε c,75 (οι χρόνοι επεξεργαίας γίνονται ΧΜ), τότε η υµπεριφορά της γραµµής βελτιώνεται και πληιάζει αυτήν της καλύτερης περίπτωης. Αν οι µέοι χρόνοι επεξεργαίας κρατηθούν ταθεροί και αυξηθεί η διακύµανή τους έτι ώτε c > 1,33 (οι χρόνοι επεξεργαίας γίνονται ΥΜ), τότε η υµπεριφορά της γραµµής χειροτερεύει και πληιάζει αυτήν της χειρότερης περίπτωης. 6.4 Μεταβλητότητα Χρόνου Επεξεργαίας Οι ηµαντικότερες πηγές µεταβλητότητας τους χρόνους επεξεργαίας είναι οι παρακάτω: Φυική µεταβλητότητα που οφείλεται την διαφορετικότητα των χειριτών, των µηχανών και των υλικών Τυχαίες βλάβες µηχανών Ρυθµίεις (προετοιµαία) µηχανών ιαθειµότητα χειριτών Ανακύκλωη (επανάληψη) επεξεργαίας για ποιοτικούς λόγους Κάθε µια από τις παραπάνω πηγές αναλύονται ξεχωριτά παρακάτω. Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής Φυική Μεταβλητότητα Η φυική µεταβλητότητα είναι η µεταβλητότητα που είναι έµφυτη τον φυικό χρόνο επεξεργαίας και οφείλεται την διαφορετικότητα των χειριτών, των µηχανών και των υλικών. Έτω µέη τιµή του φυικού χρόνου επεξεργαίας διακύµανη του φυικού χρόνου επεξεργαίας Το SCV του φυικού χρόνου επεξεργαίας είναι Στα περιότερα υτήµατα οι φυικοί χρόνοι επεξεργαίας είναι ΧΜ (δηλαδή, η πιθανότητα να τελειώει µια επεξεργαία την επόµενη τιγµή αυξάνεται µε τον χρόνο επεξεργαίας) και έτι c < 1. Συχνά, οι φυικοί χρόνοι επεξεργαίας απαρτίζονται από ξεχωριτά τάδια (π.χ. χρόνος φόρτωης την µηχανή, χρόνος κατεργαίας, χρόνος εκφόρτωης από την µηχανή και χρόνος µεταφοράς ε έναν χώρο προωρινής αποθήκευης). Το πώς οι χρόνοι επεξεργαίας διαιρούνται τα υτατικά τους τµήµατα µπορεί να έχει επιπτώεις τον CV, όπως θα δούµε παρακάτω. Ας υποθέουµε ότι ένας χειριτής χρειάζεται κατά µέο όρο µια ώρα για να εκτελέει µια χειρονακτική εργαία. Εναλλακτικά, η ίδια εργαία θα µπορούε να καταµεριθεί ε 1 υποεργαίες όπου η κάθε υποεργαία µπορεί να εκτελετεί από διαφορετικό χειριτή ο οποίος χρειάζεται κατά µέο όρο 1 λεπτά για να την εκτελέει. Ας υποθέουµε ότι οι υποεργαίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και ότι ο SCV είναι,5 και για την µεγάλη εργαία και για τις ξεχωριτές υποεργαίες. Έτι, για την µεγάλη εργαία έχουµε 6 min, c,5,, min. Για κάθε υποεργαία έχουµε 6 min, c,5,, min. Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 11 Εφόον η διακύµανη του αθροίµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών είναι ίη µε το άθροιµα των διακυµάνεων, η διακύµανη του αθροίµατος των χρόνων επεξεργαίας των 1 υποεργαίων είναι min. Συνεπώς ο SCV του αθροίµατος των χρόνων επεξεργαίας των 1 υποεργαίων είναι 18/6,5, δηλαδή 1 φορές µικρότερος από αυτόν του χρόνου επεξεργαίας της µεγάλης εργαίας. ηλαδή, ο υνολικός φυικός χρόνος επεξεργαίας παρουιάζει µικρότερη µεταβλητότητα όταν εκτελείται ως 1 διαφορικές υποεργαίες από ότι όταν εκτελείται ως µία εργαία. ιαιθητικά, αυτό υµβαίνει διότι την περίπτωη όπου η εργαία εκτελείται ενιαία, για να τύχει ένας υπερβολικά µεγάλος χρόνος επεξεργαίας πρέπει να είµατε άτυχοι µια φορά. Αντίθετα, την περίπτωη όπου η εργαία εκτελείται ως 1 διαφορικές υποεργαίες, για να τύχει ο ίδιος υπερβολικά µεγάλος χρόνος επεξεργαίας πρέπει να είµατε άτυχοι 1 φορές. Βέβαια, το υµπέραµα ότι ο καταµεριµός µιας εργαίας ε υποεργαίας µειώνει την µεταβλητότητά της βαίζεται ε οριµένες κρίιµες υποθέεις, ότι δηλαδή (1) οι υποεργαίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, () ο υνολικός µέος χρόνος επεξεργαίας είναι ίδιος είτε η εργαία εκτελείται ως µια είτε ως ξεχωριτές υποεργαίες και (3) ο CV είναι ίδιος και για την εργαία και για τις υποεργαίες. Όµως η υπόθεη της ανεξαρτηίας µπορεί να µην ιχύει αν υπάρχει µεταβλητότητα που οφείλεται ε κοινή αιτία (π.χ. όλες οι υποεργαίες απαιτούν µεγάλο χρόνο επεξεργαίας όταν καταφθάνει µια κακή εργαία ). Ακόµα, οι υποθέεις ταθερού µέου όρου και CV των χρόνων επεξεργαίας µπορεί να µην ιχύουν όταν ο καταµεριµός της εργαίας ε υποεργαίες προκαλεί ανία τους εργαζοµένους µε αποτέλεµα είτε να δουλεύουν πιο αργά είτε πιο ακανόνιτα. Σε τέτοιες περιπτώεις, τα οφέλη από την µείωη την µεταβλητότητας του χρόνου επεξεργαίας µιας εργαίας όταν αυτή καταµερίζεται ε µικρότερες υποεργαίες µπορεί να ξεπερνιούνται από τα αρνητικά αποτελέµατα της απώλειας παραγωγικής ικανότητας και των προβληµάτων ποιότητας. Παρόλα αυτά, είναι ενδιαφέρον να ηµειώουµε ότι ο καταµεριµός µιας εργαίας ε επακριβώς καθοριµένα και κανονικά υτατικά µπορεί να έχει αν αποτέλεµα να κάνει το ύτηµα πιο κανονικό. Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής Μεταβλητότητα Λόγω Βλαβών Σε πολλά υτήµατα παραγωγής, ο παράγοντας που υνειφέρει περιότερο την µεταβλητότητα των επιδρώντων χρόνων επεξεργαίας είναι οι απρογραµµάτιτοι χρόνοι βλάβης των µηχανών. Πράγµατι, όταν οι βλάβες είναι µεγάλες ε χέη µε τους πραγµατικούς χρόνους επεξεργαίας, δεν είναι αύνηθες οι επιδρώντες χρόνοι επεξεργαίας να παρουιάζουν υµπεριφορά ΥΜ. Για να δούµε πώς οι βλάβες των µηχανών προκαλούν µεταβλητότητα, ας υγκρίνουµε δύο ταθµούς εργαίας µε τον ίδιο µέο φυικό χρόνο επεξεργαίας 1 min και τυπική απόκλιη min. Και οι δύο ταθµοί υπόκεινται ε βλάβες και έχουν την ίδια µακροχρόνια διαθειµότητα, δηλαδή το ίδιο ποοτό χρόνου λειτουργίας. Όµως, ο ταθµός 1 έχει αραιές αλλά µεγάλης διάρκειας βλάβες, ενώ ο ταθµός έχει υχνές αλλά µικρής διάρκειας βλάβες. Πιο υγκεκριµένα, για κάθε ταθµό, έτω m µέος χρόνος µέχρι την επόµενη βλάβη (mn im o filu ή f MTTF) m µέος χρόνος επιδιόρθωης (mn im o pi ή MTTR) Ο ταθµός 1 έχει m 5 ώρες ή 54 min και m 1 ώρες ή 6 min. f Ο ταθµός έχει m 54 min και m 6 min. f Τα περιότερα εργαλεία προγραµµατιµού παραγωγικής ικανότητας την βιοµηχανία λαµβάνουν υπόψη τις τυχαίες βλάβες όταν υπολογίζουν την µέη παραγωγική ικανότητα. Αυτό γίνεται υπολογίζοντας την διαθειµότητα (vilbiliy) η οποία δίνεται ως υνάρτηη των m και f m από το m f A mf + m Στο παράδειγµα, και οι δύο ταθµοί έχουν την ίδια διαθειµότητα που είναι A,

4 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 13 Προαρµόζοντας τον φυικό χρόνο επεξεργαίας έτι ώτε να λαµβάνεται υπόψη το ποοτό του χρόνου που η µηχανή δεν είναι διαθέιµη, καταλήγουµε ε έναν µέο επιδρόντα χρόνο επεξεργαίας,, που δίνεται από το A Ας θυµηθούµε ότι το Κεφάλαιο 5 ορίαµε την παραγωγική ικανότητα ενός ταθµού ως τον αριθµό πανοµοιότυπων µηχανών, m, δια του µέου επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας. Έτι, αν είναι η φυική παραγωγική ικανότητα (ρυθµός), τότε η επιδρούα παραγωγική ικανότητα (ffciv cpciy),, είναι m m A A Συνεπώς, η επιδρούα παραγωγική ικανότητα των ταθµών 1 και είναι η ίδια. Αφού χεδόν όλα τα υτήµατα που χρηιµοποιούνται την βιοµηχανία για την ανάλυη των βλαβών επικεντρώνονται µόνο τις επιδράεις των βλαβών την διαθειµότητα και την παραγωγική ικανότητα, οι δύο ταθµοί γενικά θα θεωρούνταν ως παρεµφερείς. Όµως, όταν υµπεριλάβουµε τις επιδράεις της µεταβλητότητας, οι ταθµοί δεν είναι ίδιοι. Συγκεκριµένα, µπορεί να δειχθεί ότι η διακύµανη,, και ο SCV, c, του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας δίνονται από τις παρακάτω εκφράεις + m(1 A) A A m c + A(1 A) c Από τις παραπάνω εκφράεις προκύπτει ότι ενώ ο µέος επιδρών χρόνος επεξεργαίας εξαρτάται µόνο από τον µέο φυικό χρόνο επεξεργαίας και την διαθειµότητα, η διακύµανη του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας εξαρτάται από την διακύµανη του φυικού χρόνου επεξεργαίας, την διαθειµότητα, αλλά και τον µέο χρόνο επιδιόρθωης, m. Αυτό φαίνεται καθαρότερα από τον τύπο του SCV του Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 14 επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας, ο οποίος έχει έναν θετικό, γραµµικό ως προς m όρο που προτίθεται τον φυικό SCV. Εφόον η υµφόρηη αυξάνεται καθώς αυξάνεται ο CV, υνεπάγεται ότι η υµφόρηη αυξάνεται καθώς αυξάνεται το m, δεδοµένης της διαθειµότητας. Αν αντικατατήουµε µε αριθµούς τις παραµέτρους τις παραπάνω εκφράεις προκύπτει ότι ο µέος επιδρών χρόνος επεξεργαίας είναι ίδιος για τους δύο ταθµούς και ίος µε λεπτά,9 Όµως, ενώ ο SCV του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας για τον ταθµό 1 είναι ()(6)(,9)(1,9),4+ 1,84 1 που είναι την περιοχή ΥΜ, ο SCV του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας για τον ταθµό είναι ()(6)(,9)(1,9),4+ 1,1 1 που είναι την περιοχή ΜΜ. Έτι, µία γραµµή παραγωγής µε τον ταθµό 1 θα παρουιάει ηµαντικά περιότερη υµφόρηη από ότι µε τον ταθµό εργαίας. Για να το δούµε αυτό καλύτερα, ας υποθέουµε ότι µια γραµµή παραγωγής λειτουργεί µε τον ταθµό 1 και ότι αυτός παθαίνει βλάβη που διαρκεί 1 ώρες (η µέη διάρκεια επικευής του). Τότε ο επόµενος ταθµός πρέπει να έχει µπροτά του WIP διάρκειας 1 ωρών για να µην τερηθεί τεµαχίων προς επεξεργαία. Αντίθετα, αν η γραµµή λειτουργεί µε τον ταθµό και αυτός πάθει βλάβη διάρκειας 1 ώρας (η µέη διάρκεια επικευής του), τότε ο επόµενος ταθµός πρέπει να έχει µπροτά του WIP διάρκειας µόνον 1 ώρας για να µην τερηθεί τεµαχίων προς επεξεργαία. Εφόον οι βλάβες είναι από την φύη τους τυχαίες, πρέπει να διατηρείται WIP τον προωρινό χώρο αποθήκευης τα κατάντη οποιουδήποτε ταθµού εργαίας για προταία απέναντι την απώλεια παροχής. Είναι φανερό ότι η γραµµή µε τον ταθµό µπορεί να πετύχει το ίδιο επίπεδο προταίας, και υνεπώς το ίδιο επίπεδο παροχής, µε λιγότερο WIP τον προωρινό χώρο αποθήκευης από ότι η γραµµή µε Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 15 τον ταθµό 1. Το υνολικό αποτέλεµα είναι ότι η γραµµή µε τον ταθµό 1 θα είναι λιγότερο αποδοτική (δηλαδή θα επιτυγχάνει χαµηλότερη παροχή για δεδοµένο επίπεδο WIP, ή θα έχει υψηλότερο WIP και χρόνο κύκλου για δεδοµένη παροχή) από ότι η γραµµή µε τον ταθµό. Το υµπέραµα είναι ότι µια µηχανή µε υχνές αλλά µικρής διάρκειας βλάβες είναι προτιµότερη από µία µηχανή µε αραιές αλλά µεγάλης διάρκειας βλάβες, όταν κατά τα άλλα οι δύο µηχανές είναι ίδιες. Αυτό µπορεί να είναι κάπως αντίθετο µε την µη πιθανολογική διαίθηή µας, που θα µπορούε να υπαινιχθεί ότι θα ήµαταν καλύτερα µε έναν µεγάλο πονοκέφαλο µια φορά τον µήνα παρά µε µικρές ενοχλήεις κάθε ηµέρα. Αυτή είναι µια εν δυνάµει πολύτιµη ενόραη, αφού την πράξη ίως να µπορούµε να µετατρέψουµε µεγάλης διάρκειας, αραιές βλάβες ε µικρότερης διάρκειας, υχνότερες βλάβες, π.χ. µέω διαδικαιών προληπτικής υντήρηης. Όµως, για να µην χάνουµε τον προανατολιµό µας, εδώ πρέπει να τονίουµε ότι ακόµα καλύτερο και από µικρής διάρκειας, υχνές βλάβες είναι να µην υπάρχουν καθόλου βλάβες. Τίποτα δεν θα έπρεπε να εκτρέψει την προοχή µας από τον τόχο της διαχείριης ολικής ποιότητας για ολική βελτίωη της αξιοπιτίας Μεταβλητότητα Λόγω Ρυθµίεων (Προετοιµαιών) Οι τυχαίες βλάβες είναι ένα παράδειγµα προκαταλαµβανόντων διακοπών (pmpiv ougs), δηλαδή που προκαταλαµβάνουν τις µηχανές χωρίς προειδοποίηη ε οποιαδήποτε τιγµή την µέη µιας εργαίας. Άλλες πιθανές πηγές απροειδοποίητων διακοπών είναι οι διακοπές ηλεκτρικής ενέργειας, η κλήη χειριτών για την αντιµετώπιη επειγόντων περιτατικών και η εξάντληη αναλωίµων (π.χ. λιπαντικού). Εφόον όλες αυτές οι διακοπές έχουν παρεµφερείς επιδράεις την υµπεριφορά γραµµών παραγωγής, είναι λογικό να τις υνδυάουµε και να τις µεταχειριτούµε αν βλάβες µηχανών, µε τον τρόπο που περιγράψαµε. Όµως, υπάρχουν άλλες διακοπές που δεν προκαταλαµβάνουν τις µηχανές την µέη εργαιών. Για παράδειγµα, οι ρυθµίεις (προετοιµαία), η προληπτική υντήρηη και οι υναντήεις χειριτών υµβαίνουν µεταξύ αντί κατά την διάρκεια εργαιών. Αυτές οι µη-προκαταλαµβάνουες διακοπές (nonpmpiv ougs) απαιτούν µια κάπως διαφορετική µεταχείριη από ότι οι προκαταλαµβάνουες διακοπές. Εφόον οι πιο κοινές µη-προκαταλαµβάνουες διακοπές είναι οι ρυθµίεις (προετοιµαία) µηχανών, θα πλαιιώουµε την περιγραφή µας µε αυτούς Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 16 τους όρους. Όµως, η ανάλυή µας είναι εφαρµόιµη ε οποιοδήποτε τύπο µη-προκαταλαµβάνουας διακοπής, όπως και η ανάλυή µας των βλαβών είναι εφαρµόιµη ε οποιοδήποτε τύπο προκαταλαµβάνουας διακοπής. Όπως είδαµε το Κεφάλαιο 3, οι προετοιµαία των µηχανών έχει λάβει µεγάλη προοχή την βιβλιογραφία χετικά µε το JIT. Επειδή το JIT υνηγορεί υπέρ της παραγωγής ε µικρές παρτίδες, η µείωη των χρόνων προετοιµαίας είναι κρίιµη για την διατήρηη επαρκούς παραγωγικής ικανότητας. Αλλά, όπως η διαθειµότητα δεν περιγράφει πλήρως τις επιδράεις των βλαβών, έτι και ο υπολογιµός της παραγωγικής ικανότητας δεν αναλύει πλήρως τις επιδράεις των προετοιµαιών. Η ανάλυη της µέης παραγωγικής ικανότητας µας λεει µόνο ότι οι ύντοµες προετοιµαίες είναι καλύτερες από τις µακροχρόνιες προετοιµαίες. εν µπορεί να αποτιµήει τις διαφορές µεταξύ µιας αργής µηχανής µε ύντοµους χρόνους προετοιµαίας από µια γρήγορη µηχανή µε µακρούς χρόνους προετοιµαίας που έχουν την ίδια επιδρούα παραγωγική ικανότητα. Για παράδειγµα, ας εξετάουµε την απόφαη αν πρέπει να αντικατατήουµε µια χετικά γρήγορη µηχανή, την µηχανή 1, που απαιτεί ρυθµίεις περιοδικά µε µια πιο αργή, ευέλικτη µηχανή, την µηχανή, που δεν απαιτεί καµία ρύθµιη. Ας υποθέουµε ότι ο φυικός χρόνος επεξεργαίας την µηχανή 1 έχει µέη τιµή 1 ώρα ανά τεµάχιο και τυπική απόκλιη,5 ώρα. Ακόµα, ας υποθέουµε ότι η µηχανή 1 επεξεργάζεται κατά µέο όρο N s 1 τεµάχια µεταξύ διαδοχικών ρυθµίεων, ότι οι χρόνοι ρύθµιης έχουν µέη τιµή s ώρες και τυπική απόκλιη s,5 ώρα, και ότι η πιθανότητα να γίνει ρύθµιη µετά από οποιοδήποτε τεµάχιο είναι ίδια, δηλαδή 1/Ν s 1/1. Κάτω από αυτές τις υποθέεις, ο µέος επιδρών χρόνος επεξεργαίας της µηχανής 1,, είναι + s Ns Συνεπώς, η επιδρούα παραγωγική ικανότητα για την µηχανή 1 είναι N s s Αντικαθιτώντας µε αριθµούς τις παραµέτρους τις παραπάνω εκφράεις για την µηχανή 1, έχουµε

5 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής , ώρες 1 1,833 τεµάχια/ώρα 1, Η µηχανή, η ευέλικτη µηχανή, δεν απαιτεί καµία ρύθµιη, αλλά είναι πιο αργή και χρειάζεται κατά µέο όρο 1, ώρα ανά τεµάχιο µε τυπική απόκλιη,6 ώρα. Εφόον η µηχανή δεν απαιτεί καµία ρύθµιη, ο µέος επιδρών χρόνος επεξεργαίας της είναι ίος µε τον µέο φυικό χρόνο επεξεργαίας της δηλαδή Η επιδρούα παραγωγική ικανότητα για την µηχανή είναι Αντικαθιτώντας µε αριθµούς τις παραµέτρους τις παραπάνω εκφράεις για την µηχανή, έχουµε 1 1 1, ώρες 1,833 τεµάχια/ώρα 1, Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι µηχανές 1 και έχουν την ίδια επιδρούα παραγωγική ικανότητα. Η παραδοιακή ανάλυη παραγωγικής ικανότητας, που ετιάζεται µόνον την µέη παραγωγική ικανότητα, θα έβλεπε τις δύο µηχανές ως ιοδύναµες και υνεπώς δεν θα υποτήριζε την αντικατάταη της µηχανής 1 από την µηχανή. Όµως, όπως και την περίπτωη των βλαβών, έτι και την περίπτωη των προετοιµαιών ή ρυθµίεων, η µεταβλητότητα των χρόνων επεξεργαίας παίζει ηµαντικό ρόλο την απόδοη του υτήµατος. Στο παράδειγµά µας, η µηχανή θα έχει λιγότερο µεταβλητούς επιδρώντες χρόνους επεξεργαίας από την µηχανή 1 επειδή κάθε δέκατη κατά µέο όρο εργαία την µηχανή 1 θα υµπεριλαµβάνει έναν µακρύ χρόνο ρύθµιης τον επιδρόντα χρόνο επεξεργαίας της. Συγκεκριµένα, µπορεί να δειχθεί ότι η διακύµανη του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας της µηχανής 1,, δίνεται από την παρακάτω έκφραη Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 18 s Ns s Ns Ns Αντικαθιτώντας µε αριθµούς τις παραµέτρους την παραπάνω έκφραη για την µηχανή 1, έχουµε (,5) 1 1 (,5) + + (),4475 ώρες 1 (1) Κατά υνέπεια, ο SCV του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας της µηχανής 1 είναι,4475,31 (1,) Όο αφορά την µηχανή, εφόον αυτή δεν απαιτεί καµία ρύθµιη, η τυπική απόκλιη του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας της είναι ίη µε αυτήν του φυικού χρόνου επεξεργαίας της δηλαδή,36 Κατά υνέπεια, ο SCV του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας της µηχανής είναι,36,5 (1,) Άρα, η µηχανή, που είναι η πιο µεταβλητή µηχανή αφού έχει SCV του φυικού χρόνου επεξεργαίας της c,5, έχει µικρότερη υνολική µεταβλητότητα ( c,5) από την µηχανή 1, που είναι η λιγότερο µεταβλητή µηχανή αφού έχει SCV του φυικού χρόνου επεξεργαίας της c,65, αλλά έχει υνολική µεταβλητότητα c,31. Βέβαια, το παραπάνω υµπέραµα είναι υνέπεια των υγκεκριµένων αριθµών που χρηιµοποιήθηκαν το παράδειγµα. Οι ευέλικτες µηχανές δεν έχουν πάντα µικρότερη µεταβλητότητα. Για παράδειγµα, αν η µηχανή 1 είχε υντοµότερη ρύθµιη ( s 1 ώρα), µετά από N s 5 τεµάχια κατά µέο όρο, η επιδρούα παραγωγική ικανότητα θα παράµενε η ίδια. Όµως, η επιδρούα µεταβλητότητα για την µηχανή 1 θα ήταν ηµαντικά Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 19 µικρότερη, µε c,16. Σε αυτήν την περίπτωη, η µηχανή µε τις ρυθµίεις θα ήταν καλύτερη επιλογή. Όµως, αν οι φυικοί χρόνοι επεξεργαίας τις δύο µηχανές είχαν τον ίδιο SCV, η µηχανή θα είχε πάντα επιδρόντα χρόνο επεξεργαίας µε λιγότερη µεταβλητότητα αφού κάθε (N s ) η εργαία θα υµπεριλάµβανε τον χρόνο ρύθµιης τον χρόνο επεξεργαίας της Μεταβλητότητα Λόγω Ανακύκλωης Τα προβλήµατα ποιότητας είναι µια άλλη βαική πηγή µεταβλητότητας ε υτήµατα παραγωγής. Η απλούτερη περίπτωη προς ανάλυη είναι αυτή της επανάληψης µιας εργαίας ε έναν ταθµό εργαίας. Αυτό υµβαίνει όταν ένας ταθµός εργαίας εκτελεί µια εργαία και την υνέχεια εξετάζει να δει αν η εργαία έγινε ωτά. Αν όχι, τότε η εργαία επαναλαµβάνεται. Αν θεωρήουµε τον επιπλέον χρόνο επεξεργαίας που ξοδεύεται για να γίνει η εργαία ωτά ως µια διακοπή, είναι εύκολο να δούµε ότι περίπτωη αυτή είναι ανάλογη της περίπτωης µηπροκαταλαµβάνουας διακοπής. Έτι, η επανάληψη µιας εργαίας έχει επιδράεις ανάλογες µε αυτές της προετοιµαίας. Συγκεκριµένα, µειώνει την παραγωγική ικανότητα και υνειφέρει την αύξηη των επιδρώντων χρόνων επεξεργαίας. Όπως και τις περιπτώεις των βλαβών και των προετοιµαιών, ο παραδοιακός λόγος που µας θέλει να επιδιώκουµε την µείωη της επανάληψης εργαιών είναι να αποτραπεί η απώλεια της επιδρούης παραγωγικής ικανότητας (δηλαδή, για να µειωθεί η πατάλη). Βέβαια, όπως και µε την παραδοιακή ανάλυη των βλαβών και των προετοιµαιών, αυτή η προοπτική θα θεωρούε δύο µηχανές µε την ίδια επιδρούα παραγωγική ικανότητα αλλά διαφορετικά κλάµατα επαναλαµβανόµενων εργαιών, ως ιοδύναµες. Όµως, µια ανάλυη όποια αυτή που προηγήθηκε για τις προετοιµαίες θα έδειχνε ότι το CV των επιδρώντων χρόνων επεξεργαίας αυξάνεται καθώς αυξάνεται το κλάµα των επαναλαµβανόµενων εργαιών. Συνεπώς, περιότερες επαναλαµβανόµενες εργαίας ηµαίνει περιότερη µεταβλητότητα και άρα περιότερη υµφόρηη, WIP και χρόνος κύκλου. 6.5 Μεταβλητότητα Ροής Όλη η µέχρι τώρα υζήτηη επικεντρώθηκε µόνο την µεταβλητότητα του χρόνου επεξεργαίας ε µεµονωµένους ταθµούς επεξεργαίας. Όµως, η µεταβλητότητα ε έναν ταθµό µπορεί να επηρεάει την Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής υµπεριφορά ε άλλους ταθµούς ε µια γραµµή µέω ενός άλλου είδους µεταβλητότητας, που ονοµάζουµε µεταβλητότητα ροής. Η ροή αναφέρεται την µετακίνηη εργαιών ή τεµαχίων από έναν ταθµό το άλλο. Είναι αφές ότι αν ένας ταθµός εργαίας τα ανάντη (upsm) έχει πολύ µεταβλητούς χρόνους επεξεργαίας, η ροή µε την οποία τροφοδοτεί ταθµούς εργαίας τα κατάντη (downsm) θα είναι επίης πολύ µεταβλητή. Συνεπώς, για να χαρακτηρίουµε την επίδραη της µεταβλητότητας την γραµµή, πρέπει να χαρακτηρίουµε την µεταβλητότητα ροής Χαρακτηριµός της Μεταβλητότητας Ροής Το ηµείο εκκίνηης για την µελέτη της ροής είναι οι αφίξεις εργαιών ε έναν ταθµό εργαίας. Οι αναχωρήεις από αυτόν τον ταθµό θα είναι µε την ειρά τους οι αφίξεις ε άλλους ταθµούς. Έτι, µόλις έχουµε περιγράψει την µεταβλητότητα των αφίξεων ε έναν ταθµό και έχουµε καθορίει πώς αυτή επηρεάζει την µεταβλητότητα των αναχωρήεων από τον ταθµό, θα έχουµε χαρακτηρίει την µεταβλητότητα ε όλη την γραµµή. Η ηµαντικότερη παράµετρος για την περιγραφή των αφίξεων ε έναν ταθµό εργαίας είναι ο ρυθµός άφιξης (ivl ),, που µετριέται ε εργαίες ανά µονάδα χρόνου, και το αντίτροφό του, ο µέος χρόνος µεταξύ αφίξεων (mn im bwn ivls),, που µετριέται ε µονάδες χρόνου, δηλαδή 1 Για να µπορεί ο ταθµός να ικανοποιήει όλες τις αφίξεις µακροπρόθεµα, είναι απαραίτητο η παραγωγική ικανότητα να ξεπερνάει τον ρυθµό άφιξης, δηλαδή > Μία δεύτερη ηµαντικότατη επίης παράµετρος για την περιγραφή των αφίξεων ε έναν ταθµό εργαίας είναι η µεταβλητότητα των χρόνων µεταξύ αφίξεων. Ένα λογικό µέτρο για την µεταβλητότητα αυτή είναι ο τετραγωνικός υντελετής µεταβλητότητας των χρόνων µεταξύ αφίξεων, c, που δίνεται όπως πάντα ως υνάρτηη της διακύµανης των χρόνων µεταξύ αφίξεων,, ως

6 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 Στην πράξη, µια χαµηλή τιµή του c ηµαίνει κανονικές αφίξεις ή αφίξεις που απέχουν µεταξύ τους κατά ία περίπου διατήµατα, ενώ µια υψηλή τιµή του c ηµαίνει αφίξεις που ξαφνικά έρχονται όλες µαζί ή που απέχουν µεταξύ τους κατά άνια διατήµατα. Το επόµενο βήµα είναι να χαρακτηρίουµε τις αναχωρήεις από έναν ταθµό εργαίας. Μπορούµε να χρηιµοποιήουµε παραµέτρους ανάλογες µε αυτές που χρηιµοποιήαµε για να περιγράψουµε τις αφίξεις, δηλαδή τον µέο χρόνο µεταξύ αναχωρήεων, d, τον ρυθµό αναχωρήεων, d 1/ d, και τον τετραγωνικό υντελετή µεταβλητότητας (SCV), c /, όπου είναι η διακύµανη του χρόνου µεταξύ d d d d αναχωρήεων. Σε µια ειριακή γραµµή παραγωγής, όπου όλο τα εξαγόµενα από τον ταθµό εργαίας i γίνονται ειαγόµενα τον ταθµό εργαίας i+1, ο ρυθµός αναχώρηης από τον i πρέπει να ιούται µε τον ρυθµό άφιξης τον i+1, δηλαδή ( i + 1) ( i ) d Πράγµατι, ε µια ειριακή γραµµή παραγωγής χωρίς απώλειες παραγωγής ή επανάληψη εργαιών, ο ρυθµός άφιξης ε κάθε ταθµό εργαίας ιούται µε την παροχή, TH. Επίης, ε µια ειριακή γραµµή όπου οι αναχωρήεις από τον ταθµό εργαίας i γίνονται οι αφίξεις τον ταθµό εργαίας i+1, c ( i + 1) c ( i ) d Οι χέεις αυτές φαίνονται την παρακάτω εικόνα (i) (i) d(i) (i+1) (i+1) d (i+1) i Το ένα ζήτηµα που παραµένει να επιλυθεί είναι πώς να χαρακτηρίουµε την µεταβλητότητα των αναχωρήεων από έναν ταθµό εργαίας ως i+1 c (i) c (i) c (i+1) c d (i+1) c d (i) c (i+1) Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής υνάρτηη της µεταβλητότητας των αφίξεων και των χρόνων επεξεργαίας. Η µεταβλητότητα, λοιπόν, των αναχωρήεων από έναν ταθµό εργαίας εξαρτάται από (1) την µεταβλητότητα των αφίξεων και () την µεταβλητότητα των χρόνων επεξεργαίας. Η χετική υνειφορά αυτών των δύο παραγόντων εξαρτάται από την απαχόληη (uilizion) του ταθµού. Ας θυµηθούµε ότι η απαχόληη ενός ταθµού εργαίας, u, είναι το ποοτό του χρόνου που ο ταθµός είναι απαχοληµένος µακροχρόνια, και για έναν ταθµό µε m πανοµοιότυπες µηχανές ορίζεται ως m u Ας ηµειωθεί ότι το u αυξάνεται και µε τον µέο ρυθµό άφιξης και µε τον µέο επιδρόντα χρόνο επεξεργαίας. Ένα φανερό ανώτατο όριο για τη απαχόληη είναι η µονάδα (δηλαδή το 1%), που ηµαίνει ότι ο επιδρών χρόνος επεξεργαίας πρέπει να ικανοποιεί < m Αν το u είναι κοντά την µονάδα, τότε ο ταθµός χεδόν ποτέ δεν περιµένει εργαίες για να επεξεργατεί. Έτι, κάτω από αυτές τις υνθήκες, οι χρόνοι ανάµεα ε διαδοχικές αναχωρήεις από τον ταθµό θα είναι ουιατικά πανοµοιότυποι µε τους χρόνους επεξεργαίας. Έτι, θα περιµέναµε το SCV των χρόνων µεταξύ αναχωρήεων να είναι ίδιος µε το SCV των χρόνων επεξεργαίας (δηλαδή, c c). d Στο άλλο άκρο, όταν το u είναι κοντά το µηδέν, τότε ο ταθµός είναι φορτωµένος πολύ ελαφρά. Σχεδόν κάθε φορά που τελειώνει µια εργαία, ο ταθµός πρέπει να περιµένει ένα µεγάλο χρονικό διάτηµα για µία άλλη άφιξη για να εργαθεί. Επειδή οι χρόνοι επεξεργαίας είναι ένα µικρό κλάµα των χρόνων µεταξύ αναχωρήεων, οι χρόνοι µεταξύ αναχωρήεων θα είναι χεδόν πανοµοιότυποι µε τους χρόνους µεταξύ αφίξεων. Έτι, κάτω από αυτές τις υνθήκες θα περιµέναµε το SCV των χρόνων µεταξύ αναχωρήεων να είναι ίδιος µε το SCV των χρόνων µεταξύ αφίξεων (δηλαδή, c c). d Μια καλή απλή µέθοδος παρεµβολής µεταξύ αυτών των δύο άκρων είναι να χρηιµοποιήουµε το τετράγωνο της απαχόληης ως εξής Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 3 d Όταν υπάρχουν περιότερες από µια µηχανές ε έναν ταθµό (δηλαδή, m > 1) µια λογική εκτιµήτρια του c είναι η εξής d uc + (1 u) c u c u c c d 1 + (1 )( 1) + ( 1) m Το αποτέλεµα όλων αυτών είναι ότι η µεταβλητότητα ροής, όπως και η µεταβλητότητα των χρόνων επεξεργαίας µπορεί να ποικίλει πολύ την πράξη. Για παράδειγµα, αναχωρήεις από έναν βαριά φορτωµένο ταθµό ΧΜ θα τείνει να είναι ΧΜ, ενώ αναχωρήεις από έναν βαριά φορτωµένο ταθµό ΥΜ θα τείνει να είναι ΥΜ. Σταθµοί εργαίας ΜΜ τροφοδοτούµενοι από αφίξεις ΜΜ θα παράγουν αναχωρήεις ΜΜ. Όλες αυτές οι αναχωρήεις µε την ειρά τους γίνονται αφίξεις ε άλλους ταθµούς, υνεπώς όλοι οι τύποι αφίξεων µπορούν να υµβούν την πράξη. Ένας άλλος τρόπος που µπορούν να υµβούν αφίξεις ΜΜ την πράξη είναι όταν ένας ταθµός εργαίας τροφοδοτείται από πολλές πηγές. Σε αυτήν την περίπτωη, ο χρόνος που παρήλθε από την τελευταία άφιξη δεν παρέχει πολλές πληροφορίες για τον χρόνο της επόµενης άφιξης γιατί αυτή θα µπορούε να έλθει από πολλά µέρη. Έτι, οι χρόνοι µεταξύ αφίξεων θα τείνουν να είναι χωρίς µνήµη (δηλαδή, εκθετικοί) και άρα το c θα είναι κοντά την µονάδα. Ακόµα και όταν οι αφίξεις από οποιαδήποτε πηγή είναι αρκετά τρωτές (δηλαδή, ΧΜ), η επαλληλία όλων των αφίξεων µπορεί να είναι ΜΜ Αφίξεις και Αναχωρήεις ε Παρτίδες Μια ηµαντική αιτία της µεταβλητότητας ροής είναι οι αφίξεις ε παρτίδες (bch ivls). Αυτές υµβαίνουν οποτεδήποτε εργαίες οµαδοποιούνται ε παρτίδες για µεταφορά ε έναν ταθµό. Για παράδειγµα, ας υποθέουµε ότι ένα κλάρκ φέρνει 16 εργαίες ανά βάρδια (8 ώρες) ε ένα ταθµό. Εφόον οι αφίξεις πάντοτε υµβαίνουν κατά αυτόν τον τρόπο χωρίς καµία τυχαιότητα, κάποιος θα µπορούε να θεωρήει ότι η µεταβλητότητα και το SCV είναι µηδέν. Όµως, µια διαφορετική εικόνα προκύπτει αν ετιάουµε την προοχή µας τους χρόνους µεταξύ διαδοχικών αφίξεων των εργαιών την παρτίδα από την κοπιά κάθε µιας εργαίας ξεχωριτά. Ο χρόνος µεταξύ των Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 4 αφίξεων των πρώτων εργαιών ε διαδοχικές παρτίδες είναι 8 ώρες. Για τις επόµενες 15 εργαίες είναι µηδέν. Συνεπώς, ο µέος χρόνος µεταξύ διαδοχικών αφίξεων,, είναι 8/16,5 ώρες και η διακύµανη αυτών των χρόνων είναι 16 Έτι, το SVC των χρόνων µεταξύ αναχωρήεων είναι 1 8 3,75 3,75 15 (,5) Γενικά, αν έχουµε µέγεθος παρτίδας k, η ανάλυη αυτή θα δώει k 1. Ποιο από τα δύο, λοιπόν, είναι ωτό, c 15 ή c ; Η απάντηη είναι ότι το ύτηµα θα υµπεριφερθεί κάπου ανάµεα. Ο λόγος είναι ότι η οµαδοποίηη εργαιών ε παρτίδες υγχέει δυο διαφορετικές επιδράεις. Η πρώτη επίδραη οφείλεται από την ίδια την οµαδοποίηη ε παρτίδες. εν πρόκειται για θέµα τυχαιότητας αλλά µάλλον για θέµα κακού ελέγχου, όπως αυτό της χειρότερης περίπτωης που υζητήαµε το Κεφάλαιο 5. Η δεύτερη επίδραη είναι η µεταβλητότητα τις ίδιες τις αφίξεις των παρτίδων (δηλαδή, που χαρακτηρίζεται από το SVC των χρόνων µεταξύ διαδοχικών αφίξεων παρτίδων). 6.6 Αλληλεπιδράεις Μεταβλητότητας Ουρές Αναµονής Τα παραπάνω αποτελέµατα για την µεταβλητότητα του χρόνου επεξεργαίας και την µεταβλητότητα ροής είναι οικοδοµικοί λίθοι για τον χαρακτηριµό των επιδράεων της µεταβλητότητας ε ολόκληρη την γραµµή παραγωγής. Στην υνέχεια επικεντρωνόµατε την αποτίµηη της επίδραης αυτών των τύπων µεταβλητότητας τα ηµαντικότερα µέτρα απόδοης µιας γραµµής παραγωγής το WIP, ο χρόνος κύκλου και η παροχή. Ας ηµειωθεί, πρώτα, ότι ο επιδρών χρόνος επεξεργαίας (υµπεριλαµβανοµένων των χρόνων προετοιµαίας, βλαβών κτλ) υνήθως αντιπροωπεύει µόνον ένα µικρό ποοτό (5% - 1%) του υνολικού χρόνου κύκλου το εργοτάιο. Το µεγαλύτερο ποοτό του επιπλέον χρόνου ξοδεύεται αναµένοντας διάφορους πόρους (ταθµούς εργαίας, υκευές µεταφοράς, χρήτες µηχανών, κτλ). Έτι, ένα

7 Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 5 θεµελιώδες θέµα είναι η κατανόηη των αιτιών που προκαλούν όλη αυτή την αναµονή. Η επιτήµη που µελετάει την αναµονή ονοµάζεται θεωρία ουράς αναµονής (quuing hoy). Ένα ύτηµα ουράς (quuing sysm) υνδυάζει τα υτατικά που έχουν υζητηθεί έως τώρα: µια διαδικαία αφίξεων, µια διαδικαία παραγωγής (επεξεργαίας) και µια ουρά αναµονής. Οι αφίξεις µπορεί να αποτελούνται από ξεχωριτές εργαίες ή από παρτίδες. Οι εργαίες µπορεί να έχουν πανοµοιότυπα ή διαφορετικά χαρακτηριτικά. Οι χρόνοι µεταξύ αφίξεων µπορεί να είναι ταθεροί ή τυχαίοι. Ο ταθµός εργαίας µπορεί να έχει µια µηχανή ή πολλές παράλληλες µηχανές, κάθε µια από τις οποίες µπορεί να έχει ταθερούς ή τυχαίους χρόνους επεξεργαίας. Η πειθαρχία της ουράς µπορεί να είναι εξυπηρέτηη ύµφωνα µε την ειρά άφιξης (fis-com(in)-fissvd(ou) ή FCFS (FIFO)), εξυπηρέτηη αντίτροφα µε την ειρά άφιξης (ls-com(in)-fis-svd(ou) ή LCFS (LIFO)), εξυπηρέτηη ύµφωνα µε την ηµεροµηνία παράδοης (lis du d ή EDD), εξυπηρέτηη κατά αύξοντα χρόνο επεξεργαίας (shos pocssing im ή SPT), κτλ. Ο χώρος ουράς αναµονής µπορεί να είναι απεριόριτος ή περιοριµένος. Η ποικιλία των υτηµάτων ουράς είναι χεδόν ατελείωτη. Όποιο κι αν είναι το ύτηµα ουράς, το αντικείµενο της θεωρίας ουράς αναµονής είναι να χαρακτηριτούν τα µέτρα απόδοης υναρτήει των παραµέτρων Ορολογία και Μέτρα Απόδοης Ουράς Για να χρηιµοποιήουµε την θεωρία ουράς για να περιγράψουµε έναν ταθµό επεξεργαίας, θεωρούµε ότι γνωρίζουµε τις παρακάτω παραµέτρους: Ρυθµός άφιξης τον ταθµό ε εργαίες ανά χρονική µονάδα. Σε µια ειριακή γραµµή χωρίς απώλειες απόδοης και επανάληψη επεξεργαίας, ΤΗ ε κάθε ταθµό εργαίας. 1/ Μέος χρόνος µεταξύ αφίξεων. c SVC των αφίξεων. m Αριθµός µηχανών. Μέος επιδρών χρόνος επεξεργαίας. Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 6 c SCV του επιδρόντος χρόνου επεξεργαίας. Τα µέτρα απόδοης τα οποία θα επικεντρωθούµε είναι τα παρακάτω: p Πιθανότητα να υπάρχουν n εργαίες τον ταθµό. n q Προδοκώµενος χρόνος αναµονής την ουρά. Προδοκώµενος χρόνος παραµονής τον ταθµό (δηλαδή, χρόνος την ουρά υν χρόνος επεξεργαίας). WIP q Προδοκώµενο WIP (ε εργαίες) την ουρά. WIP Προδοκώµενο WIP (ε εργαίες) την ουρά. Εκτός από τις παραπάνω παραµέτρους, ένα ύτηµα ουράς χαρακτηρίζεται από ένα πλήθος υγκεκριµένων υποθέεων που υµπεριλαµβάνουν τους τύπους κατανοµής των χρόνων άφιξης και εξυπηρέτηης, τον αριθµό των µηχανών, την πειθαρχία της ουράς, µαζικές αφίξεις ή εξυπηρετήεις, αν πρόκειται για δίκτυο ουρών ή όχι, αν υπάρχει µια ή περιότερες κλάεις εργαιών, και πολλά άλλα. Μια µερική ταξινόµηη υτηµάτων ουράς µε έναν ταθµό και µια κλάη εργαιών δίνεται µε το υµβολιµό του Kndll, που χαρακτηρίζει έναν ταθµό ουράς από τις παραµέτρους του, A/B/m Όπου το Α περιγράφει την κατανοµή των χρόνων µεταξύ αφίξεων, το Β περιγράφει την κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτηης και το m είναι ο αριθµός των µηχανών τον ταθµό. Τυπικές τιµές των Α και Β µαζί µε την ερµηνεία τους είναι: D: ταθερή καθοριτική (dminisic) κατανοµή M: εκθετική ή Μαρκοβιανή κατανοµή G: τελείως γενική (gnl) κατανοµή (π.χ. κανονική, οµοιόµορφη, κτλ) Για παράδειγµα, το ύτηµα M/G/3 αναφέρεται ε ένα ταθµό εργαίας µε τρεις µηχανές, µε εκθετικά κατανεµηµένους χρόνους µεταξύ αφίξεων και γενικά κατανεµηµένους χρόνους επεξεργαίας Θεµελιώδεις Σχέεις Υπάρχουν οριµένες θεµελιώδεις χέεις που ιχύουν για όλα τα υτήµατα ουράς ενός ταθµού όποιες κι αν είναι οι υποθέεις για τις κατανοµές των χρόνων µεταξύ αφίξεων και εξυπηρέτηης, τον αριθµό των Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 7 µηχανών κτλ. Η πρώτη είναι η έκφραη για την απαχόληη u (δηλαδή, την πιθανότητα ο ταθµός να είναι απαχοληµένος) που µπορεί να γραφεί ως u m Η δεύτερη είναι η χέη µεταξύ του µέου υνολικού χρόνου παραµονής µιας εργαίας τον ταθµό,, και του µέου χρόνου αναµονής µιας εργαίας την ουρά, q. Εφόον οι µέοι όροι προτίθενται, q + Η τρίτη και η τέταρτη χέη προκύπτουν από την εφαρµογή του Νόµου του Lil τον ταθµό και την ουρά και υνδέουν, η µία το WIP, το και τον ρυθµό άφιξης, και η άλλη µία το WIP q, το q και τον ρυθµό άφιξης, ως εξής WIP WIP q q Χρηιµοποιώντας τις παραπάνω χέεις και γνωρίζοντας ένα από τα τέερα παραπάνω µέτρα απόδοης (, q, WIP ή WIP q ), µπορούµε να υπολογίουµε τα άλλα τρία. Τυπικά, είναι ευκολότερο να υπολογίουµε ή να προεγγίουµε το q και να το χρηιµοποιήουµε για να υπολογίουµε τα υπόλοιπα Η Ουρά M/M/1 Ένα από τις απλούτερα υτήµατα ουράς για ανάλυη είναι το ύτηµα M/M/1. Το πρότυπο αυτό υποθέτει εκθετικούς χρόνους µεταξύ αφίξεων, µια µηχανή µε εκθετικούς χρόνους επεξεργαίας, πρωτόκολλο εξυπηρέτηης κατά ειρά άφιξης (FCFS), και απεριόριτο χώρο για τις εργαίες που αναµένουν την ουρά. Αν και δεν είναι µια ακριβής αναπαράταη των περιότερων ταθµών εργαίας ε ένα περιβάλλον παραγωγής, η ουρά Μ/Μ/1 είναι αναλυτικά επιλύιµη και προφέρει χρήιµη ενόραη για πιο πολύπλοκα και ρεαλιτικά υτήµατα. Το κλειδί για την ανάλυη της ουράς Μ/Μ/1 είναι η ιδιότητα της εκθετικής κατανοµής ότι δεν έχει µνήµη. Βάη αυτής της ιδιότητας οι µόνες πληροφορίες που χρειαζόµατε για να χαρακτηρίουµε την µελλοντική (πιθανολογική) εξέλιξη του υτήµατος είναι οι µέες τιµές Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 8 των χρόνων µεταξύ των αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτηης (επειδή η τυπική απόκλιη είναι ίη µε ην µέη τιµή για την εκθετική κατανοµή),, και, αντίτοιχα, και η τρέχουα κατάταη του υτήµατος που είναι ο αριθµός των εργαιών που βρίκονται το ύτηµα, n (επειδή οι κατανοµές των χρόνων µεταξύ των αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτηης δεν έχουν µνήµη, ο χρόνος που έχει παρέλθει από την τελευταία άφιξη και την τελευταία έναρξη επεξεργαίας δεν παίζουν κανέναν ρόλο την µελλοντική υµπεριφορά του υτήµατος). Μοντελοποιώντας την ουρά Μ/Μ/1 ως µια Μαρκοβιανή διαδικαία γεννήεων-θανάτων, µπορούµε να υπολογίουµε τις πιθανότητες µόνιµης κατάταης του υτήµατος, δηλαδή το ποοτό του χρόνου που το ύτηµα ξοδεύει ε κάθε µία κατάταη µακροχρόνια. Συγκεκριµένα, η πιθανότητα µόνιµης κατάταης της κατάταης n (δηλαδή της κατάταης όπου υπάρχουν n εργαίες το ύτηµα (ουρά υν ταθµός επεξεργαίας)), p n, δίνεται από το n pn u (1 u), n, 1,, όπου u / / είναι η απαχόληη του ταθµού, δηλαδή το µακροχρόνιο ποοτό του χρόνου που ο ταθµός είναι απαχοληµένος. Οι παραπάνω πιθανότητες ιχύουν µόνον όταν η απαχόληη u είναι αυτηρά µικρότερη της µονάδας, ειδάλλως το ύτηµα δεν είναι ευταθές. Γνωρίζοντας τις πιθανότητες µόνιµης κατάταης, µπορούµε εύκολα να υπολογίουµε τα µέτρα απόδοης µόνιµης κατάταης, WIP,, q, και WIP q ως εξής u WIP(M/M/1) npn n 1 u WIP(M/M/1) (M/M/1) 1 u u q(m/m/1) (M/M/1) - 1 u u WIP q(m/m/1) q(m/m/1) 1 u Ας παρατηρηθεί ότι τα WIP,, q, και WIP q είναι όλα αύξουες υναρτήεις του u. εν αποτελεί έκπληξη ότι υτήµατα µε µεγάλη απαχόληη παρουιάζουν µεγαλύτερη υµφόρηη από υτήµατα µε

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άκηη ιαθέτουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

Νόµος των Wiedemann-Franz

Νόµος των Wiedemann-Franz Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 7.2 Παράμετροι Σχεδιασμού Ορισμοί

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 7.2 Παράμετροι Σχεδιασμού Ορισμοί 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 7.1 Μέθοδοι Κατακευής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρεία της µαγνητοαντίστασης

Θεωρεία της µαγνητοαντίστασης Θεωρεία της µαγνητοαντίταης Το 1856 ο Lord Klvin παρατήρηε µία αύξηη κατά 0,% της αντίταης R του ιδήρου όταν αυτόν επιβαλλόταν µαγνητικό πεδίο κατά την διεύθυνη του ρεύµατος και µία µείωη κατά 0,4% όταν

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΟΓΚΑΣ ιατριβή υποβληθεία προς µερική εκπλήρωη των απαραιτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα