Αφιερώνεται στην οικογένειά μου.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αφιερώνεται στην οικογένειά μου."

Transcript

1

2 Αφιερώνεται στην οικογένειά μου. ii

3 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 1 Εισαγωγή... Κεφάλαιο 1 ο Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Η δύναμη Τύποι συστημάτων δυνάμεων Ροπή δύναμης ως προς σημείο και άξονα Συνισταμένη και συνιστώσες Σύνθεση και ανάλυση δύναμης Παραλληλόγραμμο δυνάμεων υναμοπολύγωνο Ζεύγος δυνάμεων ράση και αντίδραση Φορέας, ελεύθερος και πλήρης Εξωτερικές δυνάμεις Στηρίξεις Ελεύθερη έδραση ή κύλιση Άρθρωση Πάκτωση Ισοστατικοί και υπερστατικοί φορείς Κεφάλαιο ο υνάμεις στο επίπεδο. Γραφοστατική Σύνθεση συνεπιπέδων συντρεχουσών δυνάμεων Συνεπίπεδες τυχούσες δυνάμεις Παραδείγματα....4 Προσδιορισμός αντιδράσεων Παράδειγμα Σχοινοπολύγωνα της ίδιας ομάδας Σχοινοπολύγωνο δια τριών σημείων Παραδείγματα Συνθήκες ισορροπίας iii

4 Κεφάλαιο 3 ο Αναλυτικές μέθοδοι Συνεπίπεδες συντρέχουσες δυνάμεις Συνεπίπεδες τυχούσες δυνάμεις Παράδειγμα υνάμεις στο χώρο Γραφική σύνθεση δυνάμεων Αναλυτική σύνθεση δυνάμεων Παραδείγματα... 4 Κεφάλαιο 4 ο Κέντρα βάρους Κεντροειδές επιφανειών Παράδειγμα Θεώρημα των Πάππου Guldin Πρώτο Θεώρημα Παραδείγματα εύτερο Θεώρημα Παραδείγματα Πίνακας κεντροειδών μη ευθυγράμμων τμημάτων Κεφάλαιο 5 ο Ροπές αδράνειας Ροπή αδράνειας ως προς άξονα Ροπή αδράνειας ορθογωνίου παρ/μου Ροπή αδράνειας παραλληλογράμμου Ροπή αδράνειας τριγώνου Ροπή αδράνειας κύκλου Ακτίνα αδράνειας Θεώρημα του παράλληλου άξονα (Steiner) Παραδείγματα Πολική ροπή αδράνειας Παράδειγμα Φυγόκεντρη ροπή αδράνειας Φυσική σημασία των ροπών αδράνειας iv

5 Κεφάλαιο 6 ο Ισοστατικοί φορείς Η δοκός ως φορέας Οι στηρίξεις Εξωτερικά φορτία και αντιδράσεις Τα φορτία διατομής Σήμανση των φορτίων διατομής Παράδειγμα Βασικές σχέσεις μεταξύ των μεγεθών q, Q & Μ Κατασκευή των διαγραμμάτων Q και Μ Παραδείγματα Γενικές παρατηρήσεις υσμενείς φορτίσεις Κεφάλαιο 7 ο Επίπεδοι δικτυωτοί φορείς Η αναλυτική μέθοδος ισορροπίας των κόμβων Παράδειγμα Η γραφική μέθοδος Cremona Παράδειγμα Η αναλυτική μέθοδος των τομών (Ritter) Παραδείγματα...1 Κεφάλαιο 8 ο Τριαρθρωτοί φορείς Υπολογισμός των αντιδράσεων α) Γραφικά β) Αναλυτικά Υπολογισμός της έντασης Παράδειγμα Κεφάλαιο 9 ο Τριβή Γωνία τριβής , Τριβή κύλισης Προσδιορισμός της τριβής κύλισης ,4 Μέτρηση του συντελεστή τριβής κύλισης v

6 9.5 Παράδειγμα Κεφάλαιο 10 ο Αρχή των δυνατών έργων υνατές μετατοπίσεις υνατά έργα Η αρχή των δυνατών έργων Παραδείγματα Απόδοση απλών μηχανών Παραδείγματα Βιβλιογραφία vi

7 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί καρπό του προγράμματος «Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών» του ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ και προορίζεται να χρησιμοποιηθεί από τους σπουδαστές που παρακολουθούν το μάθημα της Στατικής, στο Β εξάμηνο σπουδών του Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής της Σχολής Τεχνολογικών Εφαρμογών του ΤΕΙ της Λάρισας. Τα βιβλία της Στατικής που κατά καιρούς είχαν εκδοθεί από τον ΟΕ Β του Υπουργείου Παιδείας γράφηκαν για να εξυπηρετήσουν τις τότε ανάγκες των ΚΑΤΕΕ. Έτσι ο εκάστοτε συγγραφέας καθόριζε ένα συγκεκριμένο περιεχόμενο διδακτέας ύλης του μαθήματος, το οποίο αντικατόπτριζε μάλλον τις προσωπικές του εκτιμήσεις. Σήμερα όμως, που η διδακτέα ύλη του μαθήματος διαμορφώνεται από τον υπεύθυνο καθηγητή του Τομέα Μαθημάτων μέσα στα πλαίσια του περιγράμματος σπουδών του ΥΠΕΠΘ, είναι φανερό ότι προκύπτει επιτακτικά η ανάγκη μιας υπεύθυνης συγγραφής ενός σπουδαστικού βοηθήματος για το κάθε διδασκόμενο μάθημα. Καταβλήθηκε ξεχωριστή προσπάθεια ώστε να καλύψει την εγκριθείσα από το Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής προβλεπόμενη διδακτέα ύλη, χωρίς να επεκτείνεται σε θέματα θεωρητικού ή εξεζητημένου χαρακτήρα. Για την καλύτερη κατανόηση του θεωρητικού μέρους, δόθηκαν εκλεκτικά αντίστοιχα παραδείγματα. Γενικότερη όμως επιδίωξη ήταν, τόσο η ανάπτυξη της θεωρίας όσο και η παράθεση των αντιστοίχων σχημάτων και παραδειγμάτων να γίνουν με απλότητα και σαφήνεια, ώστε να βοηθήσουν στην καλύτερη αφομοίωση του μαθήματος από τους σπουδαστές. Με την ελπίδα ότι οι παραπάνω στόχοι μου έχουν κατά ένα μεγάλο μέρος επιτευχθεί, παραδίδω το βιβλίο αυτό στους σπουδαστές αντιστοίχων τμημάτων των ΤΕΙ, δεχόμενος κάθε καλόπιστη κριτική που θα μπορούσα να τη χρησιμοποιήσω μελλοντικά. Λάρισα, Μάιος 004 ρ Φιλόθεος Γ. Λόκκας Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ Αντιπρόεδρος ΤΕΙ/Λάρισας

8 Εισαγωγή Μηχανική είναι η εφαρμοσμένη φυσική επιστήμη που ασχολείται με σώματα τα οποία βρίσκονται σε ηρεμία ή κίνηση κάτω από την επίδραση δυνάμεων. Ανάλογα με τη φυσική κατάσταση των σωμάτων που εξετάζει, διακρίνεται στη: α) Μηχανική των στερεών β) Μηχανική των υγρών και γ) Μηχανική των αερίων. Η Μηχανική των στερεών μελετά την ισορροπία, την εντατική κατάσταση και την κίνηση των φορέων, δηλαδή των σωμάτων που φορτίζονται. Ειδικότερα, ανάλογα με το αντικείμενο της μελέτης της, διακρίνουμε: Α. Τη Στατική που εξετάζει γενικά τις συνθήκες κάτω από τις οποίες ένας φορέας στέκεται, δηλαδή ισορροπεί. Σαν προέκταση της Στατικής θεωρείται η Αντοχή των Υλικών που μελετά ειδικότερα τις εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στους φορείς που καταπονούνται, πάντα σε συνδυασμό με τις παραμορφώσεις που προκαλούνται. Θεωρεί τα σώματα όπως πραγματικά είναι στη φυσική τους κατάσταση, δηλαδή ελαστικά και όχι απαραμόρφωτα όπως στη Στατική, καθορίζοντας ανώτατα επιτρεπόμενα όρια φορτίων παραμορφώσεων. Τα συμπεράσματα της ευρύτερης στατικής μελέτης εφαρμόζονται γενικά στις κατασκευές των τεχνικών έργων, όπου προσδιορίζονται οι διαστάσεις των διαφόρων μερών της μετά από υπολογισμό των δυνάμεων που τα επιβαρύνουν, έτσι ώστε οι κατασκευές να είναι ασφαλείς, οικονομικές και χωρίς απαράδεκτες παραμορφώσεις. Β. Τη υναμική που μελετά την κίνηση των σωμάτων καθώς και τις δυνάμεις που συσχετίζονται με τα κινούμενα σώματα. Έτσι διαιρούμε τη υναμική: 1) Στην Κινηματική που μελετά την κίνηση ενός σώματος χωρίς να εξετάζει τις δυνάμεις που την προκαλούν, οπότε οι σχέσεις που προκύπτουν είναι χωρο χρονικές. Όταν π.χ. βλέπουμε έναν τροχό να κυλίεται σε ευθύγραμμη τροχιά με σταθερή ταχύτητα, ο καθορισμός του σχήματος της τροχιάς που διαγράφει όπως κινείται ένα σημείο της στεφάνης του καθώς και Σελίδα Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

9 Εισαγωγή της θέσης του σημείου αυτού σε μια δοσμένη χρονική στιγμή, είναι προβλήματα της Κινηματικής. ) Στην Κινητική που μελετά την κίνηση ενός σώματος λαμβάνοντας υπόψη τις δυνάμεις που την προκαλούν. Η εύρεση π.χ. του σταθερού ζεύγους που πρέπει να ασκηθεί στον άξονα ενός ρότορα, έτσι ώστε σε μια δοσμένη χρονική στιγμή να έχει μια συγκεκριμένη γωνιακή ταχύτητα, είναι πρόβλημα της Κινητικής. Ενώ η συμβολή της Κλασσικής περιόδου στη Στατική είναι μεγάλη, η υναμική εδραιώθηκε σαν επιστήμη στο μεσαίωνα. Μεγάλη υπήρξε η συμβολή των Γαλιλαίου ( ), Νεύτωνα ( ), Huygens ( ), D Alebert ( ), Lagrange ( ), Hamilton ( ) και άλλων. Σε σχέση με τη Στατική, η υναμική σαν επιστήμη καθυστέρησε ν αναπτυχθεί. Η καθυστέρηση αυτή οφείλεται βασικά στη δυσκολία διεξαγωγής των αναγκαίων πειραμάτων. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 3

10 Κεφάλαιο 1 ο Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Η Μηχανική σαν επιστήμη στηρίζεται σε ορισμένες βασικές αρχές που θέτουμε εκ των προτέρων από τα δεδομένα της εμπειρίας και του πειράματος, πάνω στις οποίες, με μαθηματικές μεθόδους, θεμελιώνουμε στη συνέχεια το οικοδόμημά της. Οι αρχές αυτές απορρέουν από τις έννοιες του χρόνου, της μάζας και της δύναμης που θα περιγράψουμε πιο κάτω και αποκτούμε από την εμπειρία, αλλά και από την πειραματική μελέτη απλών κινήσεων. Είναι δηλαδή προτάσεις ή νόμοι, η ισχύς των οποίων δεν αποδεικνύεται αλλά διαπιστώνεται πειραματικά. Οι αρχές αυτές είναι τρεις: 1. Η αρχή της αδράνειας. Η αρχή της ανεξαρτησίας του αποτελέσματος δυνάμεων (αλλιώς αρχή της επαλληλίας) 3. Η αρχή της ισότητας δράσης και αντίδρασης. Από αυτές οι δύο πρώτες αρκούν για να οικοδομηθεί η Μηχανική του υλικού σημείου. Η αρχή της ισότητας δράσης αντίδρασης μας επιτρέπει να επεκταθούμε στη Μηχανική των υλικών Συστημάτων. Η αρχή της αδράνειας διατυπώθηκε στην αρχαιότητα από τον Αριστοτέλη, αργότερα από το Da Vinci, Γαλιλαίο και με την οριστική της μορφή από το Νεύτωνα ως εξής: «Κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ηρεμίας ή ευθύγραμμης ομαλής κίνησής του, εφ όσον δεν ενεργήσει σ αυτό καμία εξωτερική δύναμη». Η αρχή αυτή, στην οποία ο Νεύτων με την έννοια του σώματος θεωρεί το υλικό σημείο της σύγχρονης Μηχανικής, μπορεί να πάρει διαδοχικά τις παρακάτω διατυπώσεις: Σελίδα 4 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

11 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο 1 Αν υλικό σημείο του διαστήματος είναι μεμονωμένο (δε δρα καμία δύναμη), η ταχύτητά του ή είναι μηδέν, ή διατηρείται σταθερή κατά μέτρο διεύθυνση και φορά Αν υλικό σημείο του διαστήματος είναι μεμονωμένο, η επιτάχυνσή του είναι μηδέν Αν υλικό σημείο έχει επιτάχυνση, θα βρίσκεται αναγκαστικά στην περιοχή άλλων υλικών σημείων ή σωμάτων που δρουν πάνω σ αυτό. Άρα όταν ένα σώμα Α, επιδρώντας σε σώμα Β έχει σαν αποτέλεσμα να το επιταχύνει, θα λέμε στη Μηχανική ότι η δράση του Α πάνω στο Β είναι δύναμη που προέρχεται από το Α και εφαρμόζεται στο Β. Ορίζουμε επομένως τη δύναμη σαν αιτία της επιτάχυνσης. Όμως τίποτα δε γνωρίζουμε πάνω στο μηχανισμό κατά τον οποίο πραγματοποιείται η δράση του Α πάνω στην κίνηση του Β. Έτσι, ενώ λέμε π.χ. ότι ο ήλιος έλκει τη γη, τίποτα δε γνωρίζουμε για το μηχανισμό αυτής της έλξης. Συμπεραίνοντας καταλήγουμε ότι η φύση της δύναμης μας είναι άγνωστη και κάθε έρευνα στον τομέα αυτό ανήκει στη Μεταφυσική. Την έννοια της δύναμης αποκτούμε μόνο με τις αισθήσεις. Παρατηρούμε δηλαδή ότι για να αποκτήσει ένα υλικό σημείο επιτάχυνση, θα πρέπει να δράσει πάνω του κάποια αιτία. Την αιτία αυτή ονομάζουμε δύναμη. Προτού όμως εισέλθουμε στη μελέτη της Μηχανικής είναι σκόπιμο να υπενθυμίσουμε ορισμένες έννοιες της γενικής Φυσικής. Χρόνος είναι η ποσότητα μέτρησης της διάρκειας ή της διαδοχής δύο γεγονότων. Στη Νευτώνεια Μηχανική θεωρείται ποσότητα απόλυτη (θετική). Χώρος ή ιάστημα είναι ένα κενό που εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις. Ο καθορισμός ενός σημείου στο διάστημα είναι σχετικός και γίνεται με γραμμικές και γωνιακές μετρήσεις ως προς ένα σύστημα αναφοράς το οποίο θεωρείται ακίνητο. Ύλη είναι η ουσία που κατέχει κάποιο χώρο στο διάστημα. Αδράνεια είναι η ιδιότητα της ύλης να αντιστέκεται στην αλλαγή της κινητικής της κατάστασης. Μάζα είναι η ποσοτική μέτρηση της αδράνειας της ύλης. Σώμα είναι η ύλη που περικλείεται από κλειστή επιφάνεια. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 5

12 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Στερεό ή συμπαγές σώμα είναι ένα ιδεατό σώμα που δεν υφίσταται σχετικές παραμορφώσεις μεταξύ των μερών του. Επομένως διατηρεί το σχήμα του σταθερό. Υλικό σημείο ονομάζεται σώμα, όχι κατ ανάγκην μικρό, το οποίο όμως κατά την κίνησή του θεωρείται σαν μονάδα ύλης. Είναι αυτονόητο ότι το υλικό σημείο είναι καθαρά θεωρητική έννοια η οποία όμως εξυπηρετεί πολύ στη λύση πολλών προβλημάτων. Έτσι στην ουράνια Μηχανική, όπου οι αποστάσεις που εμφανίζονται είναι τεράστιες, η γη θεωρείται σαν υλικό σημείο με όλη τη μάζα συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Τροχιά είναι το σύνολο των διαδοχικών θέσεων που καταλαμβάνει ένα υλικό σημείο κατά την κίνησή του. Στο βιβλίο αυτό της Μηχανικής θα μας απασχολήσει αποκλειστικά η Στατική, δηλαδή το μέρος εκείνο της Μηχανικής που ασχολείται με την ισορροπία των σωμάτων και έχει ως αντικείμενο την αναζήτηση και διατύπωση των συνθηκών, κάτω από τις οποίες τα σώματα της φύσης, διατηρούν την ισορροπία τους κάτω από φόρτιση με οποιεσδήποτε εξωτερικές δυνάμεις. 1.1 Η δύναμη Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα, η δύναμη, μας είναι γνωστή μόνο σαν εξωτερική αιτία που πρέπει να επιδράσει σε ένα υλικό σημείο για να προκαλέσει σ αυτό επιτάχυνση. Μια τέτοια αιτία μπορεί να θεωρηθεί ως απαρχή των περισσοτέρων αλλά και σημαντικότερων μηχανικών φαινομένων πάνω στον πλανήτη μας. Τέτοια φαινόμενα είναι οι μαγνητικές και ηλεκτρικές δυνάμεις, η παγκόσμια έλξη, η δύναμη του ανέμου, η ατμοσφαιρική πίεση ή ειδικότερα οι ελκτικές δυνάμεις που οφείλονται στον ήλιο λόγω της μεγάλης του μάζας αλλά και στη σελήνη λόγω της μικρής της απόστασης από τη γη, προκαλώντας τις γνωστές παλίρροιες της θάλασσας και της ατμόσφαιρας. Σαν μονάδα μέτρησης των δυνάμεων έχει οριστεί στο τεχνικό σύστημα το κιλοπόν, που συμβολίζεται με kp και είναι το βάρος ενός λίτρου νερού, θερμοκρασίας 4 C, μέσου γεωγραφικού πλάτους και μηδενικού υψομέτρου. Στην πράξη χρησιμοποιούμε επίσης και το πολλαπλάσιο της μονάδας αυτής, το μεγαπόν ή τόνο, (1Μp 1000 kp 1 t). Για τον ακριβή καθορισμό μιας δύναμης θα πρέπει να γνωρίζουμε: 1. Το μέτρο της, π.χ. 8 kp Σελίδα 6 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

13 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο 1. Την ευθεία πάνω στην οποία ενεργεί, δηλαδή το φορέα της 3. Τη φορά της 4. Το σημείο εφαρμογής της. όπου: Μπορούμε τότε να παραστήσουμε τη δύναμη γραφικά με ένα διάνυσμα, το μήκος του διανύσματος, παριστάνει, με κάποια κλίμακα, π.χ. 1 cm 1 kp το μέτρο της δύναμης. το βέλος του ανύσματος δείχνει τη φορά της, ενώ η αρχή ή το τέλος της δύναμης είναι το σημείο εφαρμογής της. Για να καθοριστεί μια δύναμη στο επίπεδο τρία στοιχεία είναι απαραίτητα: α) Το μέτρο της β) Η κατεύθυνση, που ορίζεται από τη γωνία α που προκύπτει όταν ο θετικός άξονας χ στραφεί αριστερόστροφα, ώσπου να συμπέσει με τη δύναμη και γ) Οι συντεταγμένες του σημείου εφαρμογής της. Στη Μηχανική των Υλικών Συστημάτων τα σώματα θεωρούνται απόλυτα στερεά, δηλαδή επιτρέπεται να αγνοηθούν οι εσωτερικές τους δυνάμεις. Άρα λοιπόν κάθε δύναμη που ενεργεί σε απόλυτα στερεό σώμα, Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 7

14 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής επιτρέπεται να νοηθεί ότι ασκείται οπουδήποτε πάνω στο φορέα της, και ως εκ τούτου να θεωρηθεί ως ολισθαίνον διάνυσμα. Στα σχήματα των επομένων κεφαλαίων δε σχεδιάζεται πάντοτε το στερεό σώμα πάνω στο οποίο δρουν οι δυνάμεις, επειδή είναι αυτονόητο ότι όπου υπάρχουν και σχεδιάζονται δυνάμεις υπάρχει πάντοτε ένα σώμα πάνω στο οποίο ενεργούν. 1. Τύποι συστημάτων δυνάμεων Για τις μελέτες και κατασκευές διαφόρων τεχνικών έργων χρησιμοποιείται από παλιά το τεχνικό σύστημα μέτρησης. Όμως η διαστημική πρόοδος είχε σαν αποτέλεσμα την υιοθέτηση ενός ενιαίου συστήματος μέτρησης, αρχικά σ ολόκληρο τον πλανήτη και αργότερα στο σύμπαν, του λεγόμενου φυσικού συστήματος MKS, με την ονομασία SI (System Internationale). Το σύστημα αυτό χρησιμοποιεί σα θεμελιώδη μεγέθη το μέτρο (m) το χιλιόγραμμο μάζης (kg) και το δευτερόλεπτο (sec) Μονάδα δύναμης στο σύστημα SI είναι το Newton (N) το οποίο δεν είναι θεμελιώδης αλλά παράγωγη μονάδα με ισοδυναμία: 1 Ν 1 kg m sec - 0,10197 kp 0,1 kp. Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να μυήσει το σπουδαστή στον τρόπο λειτουργίας των διαφόρων ισοστατικών φορέων, των οποίων ο υπολογισμός και η κατασκευή αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης του. 1.3 Ροπή δύναμης ως προς σημείο και άξονα Θεωρούμε τη δύναμη Ρ η οποία κείται στο επίπεδο του σχήματος και σημείο Ο εκτός αυτής. Σελίδα 8 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

15 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο 1 Θα ονομάζουμε ροπή Μ της δύναμης Ρ ως προς το σημείο Ο το διάνυσμα που ορίζεται σα γινόμενο της δύναμης επί την επιβατική ακτίνα που ενώνει τυχόν σημείο του φορέα της (ή την αρχή Α) με το Ο. ηλαδή: Μ ΟΑ Ρ Όπως προκύπτει από τον ορισμό, το διάνυσμα της ροπής είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν η Ρ και το Ο, έχοντας μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης Ρ επί την απόσταση d του σημείου από το φορέα της Ρ. ηλαδή είναι Μ Ρ d. Η ροπή αυτή είναι θετική όταν η δύναμη που την προκαλεί τείνει να περιστραφεί δεξιόστροφα ως προς το Ο (κατά τη φορά των δεικτών του ωρολογίου) και αρνητική κατά την αντίθετη φορά. Η απόσταση d ονομάζεται μοχλοβραχίονας της δύναμης. Από τον ορισμό της, προκύπτει ότι η ροπή δύναμης ως προς σημείο: μηδενίζεται όταν το Ο βρίσκεται πάνω στο φορέα της δύναμης δεν μεταβάλλεται όταν η δύναμη ολισθήσει πάνω στο φορέα της, ή το σημείο Ο μετακινηθεί σ οποιαδήποτε θέση παράλληλα προς το φορέα της δύναμης. 1.4 Συνισταμένη και συνιστώσες Μια δύναμη που προκαλεί σε ένα σώμα τα ίδια μηχανικά αποτελέσματα μ εκείνα που προκαλούν συγχρόνως δύο ή περισσότερες δυνάμεις που δρουν στο ίδιο σώμα, ονομάζεται συνισταμένη των δυνάμεων αυτών. Αντίστοιχα ονομάζουμε συνιστώσες, τις δυνάμεις, των οποίων η δράση σε ένα σώμα έχει τα ίδια αποτελέσματα με τη συνισταμένη τους. 1.5 Σύνθεση και ανάλυση δύναμης Ονομάζουμε σύνθεση δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων τον προσδιορισμό της συνισταμένης τους. Ο προσδιορισμός αυτός μπορεί να γίνει με γραφικές ή αναλυτικές μεθόδους. Αντίστοιχα ονομάζουμε ανάλυση μιας δύναμης τον προσδιορισμό των συνιστωσών της. Η ανάλυση μιας δύναμης μπορεί να γίνει σε δύο, τρεις ή περισσότερες συνιστώσες κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, αρκεί να είναι γνωστοί οι φορείς των συνιστωσών. Σημειώνεται και εδώ ότι η διαδικασία που ακολουθείται συνήθως για την ανάλυση μιας δύναμης είναι γραφική, χωρίς να αποκλείεται και η χρησιμοποίηση αναλυτικών σχέσεων. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 9

16 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής 1.6 Παραλληλόγραμμο δυνάμεων Θεωρούμε τις δυνάμεις Ρ 1 και Ρ του σχήματος που ενεργούν στο σημείο Α. Πρώτος ο Stevin, το 1856, διατύπωσε την άποψη ότι η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με μη παράλληλες πλευρές τις δυνάμεις Ρ 1 και Ρ. Η αρχή αυτή, που δίνεται από τη σχέση R Ρ 1 + Ρ, γνωστή και σαν αρχή του παραλληλογράμμου, αποδεικνύεται και πειραματικά. 1.7 υναμοπολύγωνο Στο ίδιο αποτέλεσμα σύνθεσης των δυνάμεων Ρ 1 και Ρ μπορούμε να καταλήξουμε αν από τυχόν σημείο Α φέρουμε την Ρ 1 ίση και παράλληλη της Ρ 1 και από το τέλος της Ρ 1 την Ρ ίση και παράλληλη της Ρ. Ενώνοντας την αρχή της πρώτης δύναμης με το τέλος της τελευταίας, προκύπτει το διάνυσμα ΑΣ που αποτελεί τη συνισταμένη R. Η κατασκευή αυτή μπορεί να εφαρμοστεί και σε περισσότερες δυνάμεις. Η πολυγωνική γραμμή που προκύπτει συνολικά από τις διαδοχικές δυνάμεις με τη συνισταμένη τους, ονομάζεται δυναμοπολύγωνο των δυνάμεων και χρησιμοποιείται για την πρόσθεση ή αφαίρεση (χρήση αντίθετης φοράς) διανυσμάτων. Σελίδα 10 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

17 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο Ζεύγος δυνάμεων Θα λέμε ότι δύο δυνάμεις αποτελούν ζεύγος δυνάμεων ή απλά ζεύγος, όταν είναι παράλληλες, έχουν το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετες φορές. Η απόσταση d που ορίζεται μεταξύ των παραλλήλων αυτών δυνάμεων ονομάζεται μοχλοβραχίονας. Αν και η συνισταμένη ενός ζεύγους δυνάμεων είναι μηδέν, οι δυνάμεις δεν ισορροπούν, αλλά δημιουργούν ροπή όμοια μ εκείνη που προκαλεί μια δύναμη ως προς σημείο. Η ροπή αυτή του ζεύγους ισούται με το γινόμενο της μιας των ίσων δυνάμεων επί το μοχλοβραχίονα, και είναι: θετική όταν οι δυνάμεις τείνουν να περιστραφούν δεξιόστροφα, αρνητική όταν οι δυνάμεις τείνουν να περιστραφούν αριστερόστροφα. ύο ζεύγη δυνάμεων ονομάζονται ισοδύναμα ή ίσα όταν α) βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα β) έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα) γ) έχουν την ίδια ροπή, ή όπως θα λέγαμε, τα εμβαδά των παραλληλογράμμων που σχηματίζονται από τις παράλληλες δυνάμεις του κάθε ζεύγους είναι ισοδύναμα. Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων είναι ελεύθερο διάνυσμα που μπορεί να εφαρμοστεί κάθετα σ οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου των δυνάμεών του. Γι αυτό και είναι μέγεθος ανεξάρτητο της θέσης του σημείου προς το οποίο λαμβάνονται υπόψη οι ροπές άλλων ενδεχομένως δυνάμεων. Περισσότερα ζεύγη δυνάμεων συντίθενται σε ένα συνιστάμενο ζεύγος, του οποίου η ροπή ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών τους. Η ροπή εκφράζεται σε tm, kpm, kpcm, Nm κλπ. 1.9 ράση και αντίδραση Θεωρούμε τα σώματα Α και Β τα οποία εφάπτονται στο σημείο Γ και ηρεμούν. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 11

18 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Αν Ρ 1 είναι η δύναμη την οποία ασκεί το σώμα Α πάνω στο Β, τότε τα δύο σώματα θα παραμένουν σε ισορροπία μόνον όταν και το σώμα Β ασκεί στο Α μια ίση και αντίθετη δύναμη Ρ, η οποία έχει κοινό φορέα με την Ρ 1. Η δύναμη Ρ 1 ονομάζεται δράση και η Ρ αντίδραση. Επομένως όπου υπάρχει δράση, εκεί εμφανίζεται ταυτόχρονα και μια αντίδραση. Τονίζεται ότι η δράση και η αντίδραση δεν ανήκουν στο ίδιο σώμα. Η μια εξασκείται στο ένα σώμα και η άλλη στο άλλο Φορέας, ελεύθερος και πλήρης Η έννοια του φορέα είναι συνυφασμένη με κάθε κατασκευή που προορίζεται να αναλάβει με ασφάλεια εξωτερικές δυνάμεις και να τις μεταφέρει με την ίδια ασφάλεια στο σώμα που τη στηρίζει. Έτσι ο σκελετός μιας πολυκατοικίας π.χ. από οπλισμένο σκυρόδεμα αποτελεί το φορέα της. Κάθε πλήρης φορέας αποτελείται από τον ελεύθερο φορέα και τη στήριξη. Ελεύθερος φορέας είναι το τμήμα εκείνο της κατασκευής που δέχεται τα εξωτερικά φορτία, ενώ Στήριξη είναι μόνο το τμήμα εκείνο που μεταβιβάζει τις δυνάμεις από τον ελεύθερο φορέα στο έδαφος. Έτσι, στην περίπτωση π.χ. των πολυκατοικιών, η μεταβίβαση των δυνάμεων από τον ελεύθερο φορέα στο έδαφος, γίνεται μέσω των πέδιλων θεμελίωσης των υποστυλωμάτων. Μορφολογικά, τα κατασκευαστικά στοιχεία κάθε ελεύθερου φορέα διακρίνονται σε πέντε κατηγορίες: α. Ράβδος Στη ράβδο η διάσταση που κυριαρχεί είναι μόνο κατά τη διεύθυνση του άξονά της, ενώ οι άλλες διαστάσεις της διατομής που είναι κάθετες στον άξονα είναι μικρές σε σχέση με την αξονική. Έτσι η ράβδος αναλαμβάνει μόνο εφελκυστικές ή θλιπτικές δυνάμεις κατά τη διεύθυνση του άξονά της. Σελίδα 1 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

19 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο 1 β. οκός Σε αντίθεση με την απλή ράβδο, η δοκός ή ράβδος σύνθετης αντοχής όπως αλλιώς λέγεται, αναλαμβάνει και δυνάμεις που είναι κάθετες στον άξονά της. Συνεπώς εντείνεται όχι μόνο αξονικά, αλλά τμητικά, στρεπτικά κλπ. δηλαδή σύνθετα. γ. ίσκος δ. Πλάκα Σαν κατασκευαστικά στοιχεία ελεύθερων φορέων ο δίσκος και η πλάκα είναι γεωμετρικά όμοια, επειδή έχουν μεγάλη επίπεδη επιφάνεια με μικρό σχετικά πάχος. Επομένως οι διαστάσεις που κυριαρχούν στους δίσκους και στις πλάκες είναι δύο αντί της μιας των ραβδωτών φορέων, γι αυτό και υπάγονται στην κατηγορία των επιφανειακών φορέων. Η διαφορά μεταξύ πλακών και δίσκων βρίσκεται στον τρόπο έντασής των. Οι δίσκοι αναλαμβάνουν δυνάμεις που βρίσκονται στο μέσο επίπεδό τους, ενώ οι πλάκες αναλαμβάνουν δυνάμεις που ενεργούν κάθετα στο επίπεδό τους. ε. Κέλυφος Σαν κελύφη χαρακτηρίζονται οι καμπύλοι επιφανειακοί φορείς που έχουν μικρό πάχος σε σχέση με την επιφάνειά τους. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 13

20 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Η καμπύλωση της μέσης επιφάνειας δυσκολεύει βέβαια τον υπολογισμό, όμως συμβάλλει ουσιαστικά στην ομαλή και αβίαστη μεταβίβαση των εξωτερικών φορτίων στις στηρίξεις, χωρίς να παράγονται απαράδεκτα μεγάλες εντάσεις ή παραμορφώσεις παρά το μικρό πάχος της επιφάνειας. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη σημαντική οικονομία στο κόστος της κατασκευής. Ιδιαίτερη σημασία έχουν τα κελύφη με μέση επιφάνεια εκ περιστροφής που συναντάμε σε ολοένα αυξανόμενο βαθμό στις κατασκευές (κτίρια εκθέσεων, βιομηχανικά υπόστεγα, στάδια, υπόστεγα αεροπλάνων κλπ.) 1.11 Εξωτερικές δυνάμεις Οι εξωτερικές δυνάμεις διακρίνονται σε δυο κατηγορίες. α. Φορτία Είναι όλες οι δυνάμεις που ενεργούν άμεσα στον ελεύθερο φορέα. Τέτοιες δυνάμεις είναι όλες οι εξωτερικές δράσεις, όπως το ωφέλιμο φορτίο, η ανεμοπίεση, το ίδιο βάρος, οι σεισμικές δυνάμεις κλπ. Τα φορτία είναι δυνατόν να είναι συγκεντρωμένα ή κατανεμημένα (ομοιόμορφα ή όχι). Στα συγκεντρωμένα φορτία υπάγονται όλες οι δυνάμεις που γνωρίσαμε ως τώρα και οι ροπές (ζεύγη κλπ). Κατανεμημένα ή συνεχή είναι τα φορτία που δρουν σε ορισμένο τμήμα του φορέα συνεχώς. Ο νόμος, σύμφωνα με τον οποίο κατανέμεται το συνεχές φορτίο εκφράζει και το είδος του. Έτσι προκύπτει π.χ. το ομοιόμορφο φορτίο, που χαρακτηρίζεται από σταθερή ένταση σε όλο το μήκος δράσης (φορτίο χιονιού) το τριγωνικό ή γραμμικά μεταβαλλόμενο, με γραμμική μεταβολή της έντασης (φορτίο υδροστατικής πίεσης) κλπ το τραπεζοειδές, που είναι επαλληλία ομοιόμορφου και τριγωνικού φορτίου το παραβολικό κλπ. β. Αντιδράσεις Με τον όρο αυτό χαρακτηρίζουμε τις συγκεντρωμένες δυνάμεις ή ροπές που ασκούνται στη στήριξη ή στις στηρίξεις του ελεύθερου φορέα (συνήθως από το έδαφος), και είναι ικανές να εξισορροπήσουν όλα τα φορτία. Σελίδα 14 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

21 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο Στηρίξεις Τις στηρίξεις των επιπέδων φορέων διακρίνουμε σε τρία είδη: 1. Ελεύθερη έδραση ή κύλιση. Είναι η στήριξη που αποκλείει μια ελευθερία κίνησης (την κάθετη στο επίπεδο κύλισης), ενώ επιτρέπει τις άλλες δύο, που είναι η μετακίνηση στο επίπεδο κύλισης και η στροφή. Άρα αναπτύσσεται μόνο μια αντίδραση που είναι κάθετη στο επίπεδο κύλισης.. Άρθρωση Είναι η στήριξη που αποκλείει δύο ελευθερίες κίνησης (την οριζόντια και την κατακόρυφη), ενώ επιτρέπει μόνο την περιστροφή γύρω από την άρθρωση. Άρα αναπτύσσεται μόνο οριζόντια και κατακόρυφη αντίδραση. 3. Πάκτωση Το είδος αυτό της στήριξης, δεν επιτρέπει καμιά κίνηση. Εφ όσον λοιπόν αποκλείει κάθε ελευθερία κίνησης, έπεται ότι θα αναπτύσσονται σαν αντιδράσεις μια οριζόντια και μια κατακόρυφη δύναμη, καθώς και μια ροπή. Γενικά παρατηρούμε ότι κάθε συνιστώσα αντίδρασης προκύπτει από την κατάργηση της ελευθερίας στην αντίστοιχη διεύθυνση. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 15

22 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής 1.13 Ισοστατικοί και υπερστατικοί φορείς ιακρίνουμε δύο μεγάλες κατηγορίες φορέων. Τους ισοστατικούς και τους υπερστατικούς. Τα κριτήρια κατάταξης ενός φορέα σε κάθε μια από τις κατηγορίες αυτές δεν είναι δυνατόν να καθοριστούν με τις μέχρι τώρα λιγοστές έννοιες. Χονδρικά ωστόσο θα μπορούσαμε να πούμε, ότι με τυχούσα επίπεδη φόρτιση, ένας ισοστατικός φορέας παρουσιάζει συνολικά 3 άγνωστες αντιδράσεις, ενώ ένας υπερστατικός παρουσιάζει περισσότερες των τριών. Στο βιβλίο αυτό θα ασχοληθούμε μόνο με τους ισοστατικούς φορείς. Οι υπερστατικοί φορείς, που κατά κανόνα συναντάμε στην πράξη, αποτελούν αντικείμενο της προχωρημένης στατικής. Άλλωστε η επίλυσή τους προϋποθέτει τη γνώση των μεθόδων επίλυσης των ισοστατικών ή στατικά ορισμένων φορέων. Στα χαρακτηριστικά παραδείγματα ισοστατικών φορέων που παρουσιάζονται στην επόμενη σελίδα, παρατηρούμε ότι το τριαρθρωτό τόξο και η δοκός Gerber, παρουσιάζουν περισσότερες από 3 αντιδράσεις. Ωστόσο κατατάσσονται στην κατηγορία των ισοστατικών φορέων, επειδή, όπως θα φανεί αργότερα σε αντίστοιχο κεφάλαιο που περιγράφει τους φορείς αυτούς, είναι δυνατή, λόγω της άρθρωσης που μεσολαβεί, η εξεύρεση των υπολοίπων απαιτουμένων εξισώσεων, για τον προσδιορισμό όλων των αντιδράσεων. Σελίδα 16 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

23 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Κεφάλαιο 1 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 17

24 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής Σελίδα 18 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

25 Κεφάλαιο ο υνάμεις στο επίπεδο - Γραφοστατική Η Γραφοστατική είναι το τμήμα εκείνο της Στατικής που έχει σαν αντικείμενο τη μελέτη των συνθηκών ισορροπίας των σωμάτων με γραφικές μόνο μεθόδους. Αναχωρεί από τη διαπίστωση ότι σε κάθε σώμα που ισορροπεί δρουν δυνάμεις, η κάθε μια από τις οποίες αν ενεργούσε μόνη της, θα το έθετε σε κίνηση. Και ασχολείται, όπως άλλωστε και η στατική γενικότερα, με το ερώτημα πότε, των δυνάμεων αυτών αλληλοαναιρουμένων, διατηρεί το σώμα την κατάσταση της ηρεμίας..1 Σύνθεση συνεπιπέδων συντρεχουσών δυνάμεων Θεωρούμε απόλυτα στερεό σώμα, σε σημείο Α του οποίου ασκούνται οι συντρέχουσες δυνάμεις Ρ 1, Ρ και Ρ 3. Αν R είναι η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών, είναι φανερό ότι ο φορέας της θα περνάει από το σημείο Α, αφού οι δυνάμεις είναι συντρέχουσες. Η διεύθυνση, η φορά και το μέτρο της μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά κατασκευάζοντας διαδοχικά το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων Ρ 1, Ρ και, συνθέτοντας στη συνέχεια τη συνισταμένη R 1, (διαγώνιο του παραλληλογράμμου), με τη δύναμη Ρ 3, προκύπτει τελικά η συνισταμένη R των δυνάμεων. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε κατασκευάζοντας το αντίστοιχο δυναμοπολύγωνο, ξεκινώντας δηλαδή από τυχόν σημείο του επιπέδου, να φέρουμε το διάνυσμα Ρ 1, ίσο και παράλληλο προς την Ρ 1, στη συνέχεια από το άκρο του Ρ 1 διάνυσμα Ρ ίσο και παράλληλο της Ρ εξαντλώντας κατά τον ίδιο τρόπο όλες τις δυνάμεις, ανεξάρτητα από τη σειρά τους. Τότε η συνισταμένη R θα είναι το διάνυσμα που ενώνει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του τελευταίου. Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 19

26 Κεφάλαιο Δυνάμεις στο επίπεδο - Γραφοστατική Το δυναμοπολύγωνο και γενικά το διάγραμμα που προκύπτει από τη σχεδίαση των δυνάμεων υπό κλίμακα (δεξιό σχήμα) ονομάζεται διάγραμμα δυνάμεων.. Συνεπίπεδες τυχούσες δυνάμεις Θεωρούμε επίπεδο σύστημα δυνάμεων Ρ 1, Ρ, Ρ 3 οι οποίες δεν τέμνονται στο ίδιο σημείο και ενεργούν σε απόλυτα στερεό σώμα. Το μέτρο, η διεύθυνση και η φορά της συνισταμένης R των δυνάμεων μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν με την κατασκευή ενός δυναμοπολυγώνου όπως προηγουμένως. Παίρνοντας δηλαδή με κάποια κλίμακα δυνάμεων, (π.χ. 1 cm λ ton), διάνυσμα α ο α 1 Ρ 1, α 1 α Ρ κλπ. Έτσι προκύπτει το διάνυσμα α ο α 3 το οποίο εκφράζει τη συνισταμένη των δυνάμεων κατά διεύθυνση, φορά και ένταση. R Ρ 1 + Ρ + Ρ 3 Απομένει να προσδιοριστεί ο φορέας της R στο διάγραμμα θέσης (αριστερό σχήμα). Σελίδα 0 Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής

27 Δυνάμεις στο επίπεδο - Γραφοστατική Κεφάλαιο Παρατηρούμε ότι αν στο σύστημα των δεδομένων δυνάμεων προσθέσουμε τις αλληλοαναιρούμενες δυνάμεις S o και S ο που ενεργούν σε τυχαίο άξονα, και συνθέσουμε την S o και την Ρ 1 ώστε να προκύψει η συνισταμένη S 1, όπως φαίνεται στο διάγραμμα δυνάμεων του δεξιού τμήματος S ο + Ρ 1 S 1, στη συνέχεια την S 1 με την Ρ για να προκύψει η συνισταμένη S, S 1 + Ρ S ο + Ρ 1 + Ρ S, όμοια την S με την Ρ 3 στη συνισταμένη S 3 κοκ. S + Ρ 3 S ο + Ρ 1 + Ρ + Ρ 3 S 3, προκύπτει τελικά αντικατάσταση του συστήματος των αρχικών δυνάμεων με τις αλληλοαναιρούμενες, σε δύο μόνον απομένουσες δυνάμεις: την S 3 με την -S o. Άρα η τομή της S 3 με την S ο θα μου δώσει το σημείο ν, το οποίο είναι φανερό ότι ανήκει στον άξονα ενέργειας (φορέα) της συνισταμένης R. Πρακτικά μετά την κατασκευή του δυναμοπολυγώνου, εκλέγεται ένα τυχαίο σημείο Ο που ονομάζεται πόλος του δυναμοπολυγώνου. Η εκλογή του πόλου γίνεται έτσι, ώστε να μη βρίσκεται σε κανέναν από τους φορείς των δυνάμεων, οι δε πολικές ακτίνες (δυνάμεις), που φέρονται από το Ο προς τα σημεία α ο, α 1, να είναι κατά το δυνατόν πιο διακεκριμένες. Στη συνέχεια, μεταβαίνοντας στο διάγραμμα θέσης, από τυχόν σημείο φέρνουμε το διάνυσμα S o παράλληλο του διανύσματος Οα ο, το οποίο τέμνει την Ρ 1, που εμφανίζεται πρώτη στο διάγραμμα δυνάμεων, στο σημείο ν 1. Από το ν 1 φέρνουμε το διάνυσμα S 1 παράλληλο του διανύσματος Οα 1, το οποίο τέμνει την Ρ, δεύτερη στο διάγραμμα δυνάμεων, στο σημείο ν. Από το ν φέρνουμε το διάνυσμα S παράλληλο του διανύσματος Οα, το οποίο τέμνει την Ρ 3 στο σημείο ν 3. Τελικά από το ν 3 φέρνουμε το διάνυσμα S 3 παράλληλο του διανύσματος Οα 3, το οποίο τέμνει την S ο στο σημείο ν. Η πολυγωνική γραμμή των δυνάμεων S o, S 1, S, S 3, στο διάγραμμα θέσης ονομάζεται σχοινοπολύγωνο, ενώ η κάθε δύναμη χωριστά ορίζει τη λεγόμενη πλευρά του σχοινοπολυγώνου. Κάθε πλευρά του σχοινοπολυγώνου που αντιστοιχεί στις παραπάνω δυνάμεις S 1, S, S 3, είναι φορέας: της αυθαίρετης πλευράς S o, που πήραμε αρχικά, και Φιλοθέου Γ. Λόκκα Εγχειρίδιο Στατικής Σελίδα 1

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη 2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #2: Δυνάμεις στο Επίπεδο Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2 Ισοστατικός (ή στατικά ορισμένος) λέγεται ο φορέας που ο προσδιορισμός της εντατικής του κατάστασης είναι δυνατός βάσει μόνο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισο-στατικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ροπή Δύναμης Θα έχετε παρατηρήσει πως κλείνετε ευκολότερα μια πόρτα, αν την σπρώξετε σε μια θέση που βρίσκεται σχετικά μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής της (τους μεντεσέδες

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #6: Δικτυώματα (Μέθοδος Κόμβων) Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Δυναμική σε μια διάσταση

Κεφάλαιο 2 ο Δυναμική σε μια διάσταση 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την δύναμη, μάζα και αδράνεια. Λέξεις κλειδιά Δύναμη, αδράνεια, μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στην Τεχνική Μηχανική Ι μελετώνται επίπεδα δικτυώματα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες ράβδους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1η. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 3 :Η έννοια της δ ύναμ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1η. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 3 :Η έννοια της δ ύναμ ης Σκοπός 1 Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την δύναμη, μάζα και αδράνεια. Λέξεις κλειδιά Δύναμη, αδράνεια, μάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ - ΤΡΙΒΗ 1ος νόμος του Νεύτωνα ή νόμος της αδράνειας της ύλης. «Σε κάθε σώμα στο οποίο δεν ενεργούν δυνάμεις ή αν ενεργούν έχουν συνισταμένη μηδέν δεν μεταβάλλεται η κινητική του κατάσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων 2 1. Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 3 1.1 Εισαγωγή Για να γίνει ο υπολογισμός μιας κατασκευής, θα πρέπει ο μελετητής μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Μέθοδοι των Μετακινήσεων Μέθοδοι των Μετακινήσεων Εισαγωγή Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-2 Στη Μέθοδο των Δυνάμεων (ή Ευκαμψίας), που έχουμε ήδη μελετήσει, επιλέγουμε ως άγνωστα υπερστατικά μεγέθη αντιδράσεις ή εσωτερικές δράσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων.

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Κλασσική Μηχανική Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Χωρίζεται σε: (α) Κινηματική: το μέρος της μηχανικής που ασχολείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή δράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜ 1 Ο : )Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. 1. Για ένα ζεύγος δυνάμεων Η ροπή του, εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1 Οι δυνάμεις μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες: Σε δυνάμεις επαφής, που ασκούνται μόνο ανάμεσα σε σώματα που βρίσκονται σε επαφή, και σε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/0/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός F 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://www.teiath.gr/stef/tio/medisp/gr_downloads.htm E-mail: gloudos@teiath.gr Ροπή Η τάση για περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη:

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: α. F 1 β. F 2 γ. F 3 δ. F 4 3. 2 Ένα σώμα δέχεται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Τότε: α. οι ροπές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 159 Εισαγωγή: Μηχανική ονομάζεται το τμήμα της Φυσικής, το οποίο εξετάζει την κίνηση και την ισορροπία των σωμάτων. Επειδή η σημασία της είναι μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 1ο: ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις ηµιτελείς παρακάτω προτάσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1 Όπως είναι γνωστό, όταν σε κάποιο σώμα ενεργούν δυνάμεις, ένα από τα αποτελέσματά τους μπορεί να είναι να αλλάξει η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία. Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία. Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια Φ. Καραντώνη Τεχνική Μηχανική 1 φορείς Κάθε κατασκευή που μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

A F B A F B. α. Τα σώµατα Α και Β έλκονται β. Τα σώµατα Α και Β απωθούνται. Σχήµα 1. Η δύναµη ασκείται πάντα µεταξύ δύο σωµάτων

A F B A F B. α. Τα σώµατα Α και Β έλκονται β. Τα σώµατα Α και Β απωθούνται. Σχήµα 1. Η δύναµη ασκείται πάντα µεταξύ δύο σωµάτων 1. ύναµη 1.1. Ορισµοί ύναµη είναι το αίτιο που προκαλεί µεταβολή στην κινητική κατάσταση ενός σώµατος ή την παραµόρφωσή του. Σύµφωνα µε τη θεωρία του Νεύτωνα (αξίωµα δράσης αντίδρασης) για να εµφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΝΟΜΟΣ COULOMB Πριν την ανάπτυξη της μεθοδογίας κρίνεται σκόπιμο να τονίσουμε τον τρόπο γραφής της δύναμης Coulomb που ασκείται μεταξύ δύο φορτίων. Συγκεκριμένα για αποφυγή των λαθών των μαθητών στις δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Διάγραμμα s - Ευθύγραμμη Κίνηση (m) Μέση αριθμητική ταχύτητα (μονόμετρο) Μέση διανυσματική ταχύτητα Μέση επιτάχυνση 1 4 Διάγραμμα u - (sec) Απόσταση (x) ονομάζουμε την ευθεία που ενώνει την αρχική και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα