Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις"

Transcript

1 Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =, θ V maϕ = Fϕ =. sin θ ϕ Εφόσον το πεδίο δυνάμεων είναι κεντρικό, θα πρέπει προφανώς να ισχύει: V θ = 0 V, = 0. Επομένως, F= dv ϕ d. Οι Νόμοι της Διατήρησης: Εφόσον το πεδίο είναι διατηρητικό πεδίο δυνάμεων έχουμε δύο νόμους διατήρησης: ή: m V =E=σταθερό, και m = =σταθερό. m + θ ( ) + V( ) = E m θ = Όπως και στην μονοδιάστατη περίπτωση μπορούμε να πάρουμε χρήσιμες πληροφορίες από τους νόμους διατήρησης. Απαλείφοντας το θ από τις παραπάνω εξισώσεις, βρίσκουμε : m + + V( ) = E m U()=ενεργή δυναμική ενέργεια Συνεπώς, η κίνηση περιορίζεται στην περιοχή τιμών του, όπου U ( ) E.

2 4. Ισότροπος αρμονικός ταλαντωτής Σωμάτιο κινείται στο πεδίο κεντρικών δυνάμεων: Η εξίσωση κίνησης γράφεται: F= k. m x + kx = 0 m k =0 m + k = 0 m z + kz = 0 k Θέτοντας ω =, η γενική λύση δίνεται από: m x = c cosωt + d sin ωt x x = c cosωt + d sin ωt = c cos ωt d sin ωt. (4..) z = c cosωt + d sin ωt z z Οι σταθερές c και d καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες: c= 0, d= υ 0 ω. Η τροχιά του ταλαντωτή είναι η συντεταγμένη δύο ταλαντώσεων πάνω στους άξονες c και d οι οποίοι δεν είναι απαραίτητα κάθετοι μεταξύ τους. Για να περιγράψουμε την κίνηση σε ορθογώνιους άξονες, γράφουμε: = a cos ωt θ b sin ωt θ (4..) όπου, c= a cosθ b sinθ a= c cosθ d sinθ d= a sinθ b cosθ b= csinθ d cosθ (4..3) Επιλέγουμε τώρα το θ έτσι ώστε a b=0, a b= c d sinθ cosθ c d cos θ sin θ =0 tanθ= c d c d, (διότι tan tan A = ). tan A A Επιλέγουμε, τώρα, άξονες x,, έτσι ώστε x a και b. Τότε, από την (4..) έχουμε: x = a cos(ωt θ) = bsin(ωs- θ) z = 0 z = 0 x + a b =

3 3 που είναι η εξίσωση έλλειψης πάνω στο επίπεδο x, με αρχή το (0,0) και ημιάξονες a και b. Τα a και b μπορούν να προσδιοριστούν εύκολα από τις (4..3), από τις οποίες προκύπτει ότι: a b =c d, a b= c d. Αν, φ, η γωνία μεταξύ των c και d, τότε φθάνουμε στην εξίσωση δευτέρου βαθμού για τα a ή b : a 4 ( c + d ) a + c d sin ϕ = 0 4. Ο νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου k Θεωρούμε μία δύναμη της μορφής F = ˆ, άρα η αντίστοιχη συνάρτηση δυναμικής k ενέργειας είναι V ( ) =, και η ακτινική κινητική ενέργεια είναι ίση με: k m + + V( ) = E, ενώ η U ( ) = + είναι η ενεργός συνάρτηση δυναμικής m m ενέργειας. Περίπτωση : Απωστική δύναμη k > 0 Π.χ. ηλεκτροστατική δύναμη, k = qq, με τα 4πε q, q ομόσημα. o Στην περίπτωση αυτή η U() μειώνεται μονότονα από το + στο =0, μέχρι το 0 όταν. Δηλαδή η U() δεν έχει ελάχιστα και η κυκλική κίνηση είναι προφανώς αδύνατη. Για κάθε θετική τιμή του Ε, υπάρχει μια ελάχιστη τιμή του,, η οποία είναι η μοναδική θετική ρίζα της εξίσωσης U()=E. Μέγιστη τιμή του δεν υπάρχει. Η τροχιά που ακολουθεί το σωμάτιο σε αυτή την περίπτωση είναι μία υπερβολή (θα δειχθεί αργότερα). Παράδειγμα: Σκέδαση ομόσημων φορτίων Περίπτωση : Ελκτική δύναμη k < 0 Π.χ. ) Ηλεκτροστατική δύναμη, k = qq, με τα 4πε q, q ετερόσημα o ) Βαρυτική δύναμη k = Gm m Για λόγους που θα γίνουν αμέσως προφανείς, ορίζουμε ένα μέγεθος l, με διαστάσεις l μήκους, από την l. Οπότε, U ( ) = ( ). Προφανώς, U ( l ) = 0 και m k U ( l) = = U ( ) min. Τώρα θα εξετάσουμε τι γίνεται για διάφορες τιμές της Ε: l Το ένα από τα δύο φορτία υποθέτουμε ότι είναι στην αρχή των αξόνων.

4 4 (i) E = = U ( ) min m = 0 = l = σταθ. η τροχιά είναι κύκλος με ακτίνα l. l Από την διατήρηση της ενέργειας έχουμε: T = E V = ( ) = = V l l l mυ = υ = l ml (ii) < E < 0 < <. l Για να βρούμε τα, λύνουμε την εξίσωση U ( ) = E m + k + E m = < E = E E + = 0, άρα: m k + E m διότι Ε<0. = > 0, E + Η τροχιά, όπως θα δούμε, είναι ελλειπτική με ημιμέγιστο άξονα a = =. E l (iii) E = 0 < <. Σ' αυτή την περίπτωση έχουμε παραβολική τροχιά. l (iv) E > 0 < <, με <. Σ' αυτή την περίπτωση έχουμε υπερβολική τροχιά. Εύρεση Τροχιών με την μέθοδο της ενέργειας. Ισχύoυν: T + V = E m θ = m ( + θ ) = E Η λύση είναι:. Ζητάμε το = (θ ). [ecos(θ-θ 0 )-]=l, στην περίπτωση της άπωσης, και [ecos(θ-θ 0 )+]=l, στην περίπτωση της έλξης (θ 0 είναι μία αυθαίρετη σταθερά). Κατάταξη τροχιών: e = 0, mk E = = l κύκλος 0 < e <, mk < E < 0, έλλειψη e =, E = 0, παραβολή e >, E > 0, υπερβολή

5 5 4.3 Ελλειπτικές τροχιές Νόμοι του Keple ος Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις. mk Ισχύει για δέσμια συστήματα, δηλ. όταν: < E < 0. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η εξίσωση της έλλειψης (που την βρήκαμε πιο πάνω σε πολικές συντεταγμένες) γράφεται: ( x + ae) l + =, όπου a = =, b = al = a b e E m E Δηλ. η εστιακή απόσταση της έλλειψης είναι ίση με ae (όπου e η εκκεντρότητα), το εστιακό ημιπλάτος είναι ίσο με l, και εξαρτάται από την στροφορμή, ενώ ο μεγάλος ημιάξονας a, καθορίζεται από την ολική ενέργεια Ε. ος Η επιβατική ακτίνα, που συνδέει τον πλανήτη με τον ήλιο διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Γεωμετρικά: το ακτινικό διάνυσμα διαγράφει εμβαδόν da= ( dθ ) = dθ da = θ = = σταθ. dt m 3 ος Τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής των πλανητών γύρω από τον ήλιο, είναι ανάλογα των κύβων των μεγάλων ημιαξόνων των ελλειπτικών τροχιών τους. Α ελλειψης πab πmab T a b a a ( e ) 4 E m 3 T = = = = m = m = ma = a dα π k dt m όπου χρησιμοποιήσαμε E =. a 4.4 Υπερβολικές τροχιές Εξίσωση της υπερβολής (που την βρήκαμε πιο πάνω σε πολικές συντεταγμένες) γράφεται: ( x ae) l =, όπου a = =, b = al = a b e E me Ο θετικός κλάδος της υπερβολής αντιστοιχεί σε έλξη, ενώ ο αρνητικός σε άπωση. Άπωση: το, όταν θ = ± cos ( ) e Έλξη: το, όταν θ = π ± cos ( ) e Γωνία απόκλισης του σωματίου (γωνία σκέδασης): Θ = π cos ( ) e και στις δυο περιπτώσεις. Συναρτήσει της οριακής ταχύτητας υ, και της παραμέτρου πρόσκρουσης b (που ταυτίζεται με τον μικρό ημιάξονα της υπερβολής), το b = cot Θ mυ

6 6 (όπου χρησιμοποιήσαμε το ότι E = mυ, a = ). mυ 4.5 Σκέδαση σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων Ας θεωρήσουμε τη σκέδαση φορτισμένων σωματίων από ομόσημα φορτισμένα σωμάτια. Έστω, Ι, η ένταση των σωματίων της προσπίπτουσας δέσμης (σωμάτια ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στην δέσμη, ανά μονάδα χρόνου). Η ενεργός διατομή για σκέδαση στην κατεύθυνση nˆ, ή η διαφορική ενεργός διατομή dσ ( ˆ) n dν ορίζεται ως =, όπου dn, ο αριθμός σωματίων που σκεδάζονται σε στερεά I dσ ( ˆ) n γωνία στην μονάδα του χρόνου, ή dn = I. Η ενεργός διατομή έχει διαστάσεις επιφάνειας. Για κεντρικά πεδία δυνάμεων, όμως, η διεύθυνση της προσπίπτουσας δέσμης αποτελεί άξονα συμμετρίας. Έτσι, έχουμε το παρακάτω σχήμα: Η στερεά γωνία,, γράφεται ds πr sin θrdθ d Ω = = = π sin ΘdΘ, R R

7 7 όπου Θ, είναι η γωνία μεταξύ της προσπίπτουσας και της σκεδαζόμενης δέσμης και λέγεται γωνία σκέδασης. Τα σωματίδια της προσπίπτουσας δέσμης έχουν στροφορμή,, ανάλογη προς την παράμετρο κρούσης b. Έτσι, = mυ b. Αλλά, ο Ε mυ ο = Ε υο = mυ ο = me = b me m Για δεδομένες τιμές των Ε και b, η γωνία σκέδασης προσδιορίζεται μονοσήμαντα (στην κλασική μηχανική). Έτσι, ο αριθμός των σωματίων που σκεδάζονται στην στερεά γωνία (δηλ. μεταξύ Θ και Θ + d Θ ) είναι ίσος προς τον αριθμό των σωματίων με dσ ( ˆ) n παράμετρο κρούσης μεταξύ b και b+db, δηλαδή, πibdb = I π sin ΘdΘ (το μείον δείχνει ότι αύξηση του db συνεπάγεται μείωση του dθ). Επομένως, dσ ( ˆ) n b db =. sin Θ dθ Είδαμε, ήδη, στην παράγραφο 4.4, ότι k Θ b = cot Θ, με b = cot Θ = cot, όπου k = qq (φορτία ομόσημα). mυ mυ E 4πε o dσ ( ˆ) n k = Συνεπώς, 4 E 4 Θ, sin που είναι η διαφορική ενεργός διατομή Ruthefod (σκέδαση σωματίων, α, από πυρήνες ατόμων). Κβαντομηχανικά, αλλά στο μη σχετικιστικό όριο, η διαφορική ενεργός διατομή είναι ακριβώς η ίδια (αλλά εκεί μιλάμε για πιθανότητα σκέδασης μεταξύ των γωνιών Θ και Θ+dΘ). Αν θεωρήσουμε τώρα σκέδαση προς όλες τις κατευθύνσεις, δηλ. αν ολοκληρώσουμε την διαφορική ενεργό διατομή ως προς όλες τις στερεές γωνίες, παίρνουμε την ολική ενεργό διατομή σκέδασης: σ= 4π dσ ( ˆ) n = π 0 dσ π sin ΘdΘ = Αυτό οφείλεται στο ότι το πεδίο Coulomb πέφτει σαν, και έτσι μικρή σκέδαση παθαίνουν τα σωμάτια ακόμη και αν περάσουν πολύ μακριά από το κέντρο σκέδασης. Ο αριθμός των σωματίων που σκεδάζονται σε οποιαδήποτε γωνία μεγαλύτερη από κάποιο κατώτερο όριο, Θ ο, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Πρόκειται για τα σωμάτια Θo που έχουν παραμέτρους πρόσκρουσης b μικρότερες από b o = a cot. Η αντίστοιχη ενεργός διατομή είναι: σ(θ>θ ο )= π b = a cot o π. Πεδία που πέφτουν γρηγορότερα από το, δίνουν πεπερασμένη ολική ενεργό διατομή σκέδασης. Θ

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί).! Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 05 06 06 ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νόμος της Βαρύτητας Βαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Μηχανική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Κλασική Μηχανική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κλασική Μηχανική 1 Διδάσκων: Κώστας Τάσσης, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1: Νόμοι Νεύτωνα 1.1: Θεμελίωση θεωρίας Νόμοι Νεύτωνα V1.1.1 Ορισμός και όρια της Κλασικής Μηχανικής V1.1.2

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ Οι σηµαντικότερες αντιπρόσποι της κατηγορίας αυτής τν δυνάµεν είναι οι δυνάµεις βαρύτητος και οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις, που είναι ανάλογες του αντιστρόφου τετραγώνου της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 1 Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα q Χρησιµοποιήσαµε τις εκφράσεις F() =! GMm που ισχύουν για σηµειακές µάζες Μ και m. 2 και V () =! GMm q Ένα χαρακτηριστικό γεγονός, που κάνει τους υπολογισµούς

Διαβάστε περισσότερα

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, 9 Μαΐου 01 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία bonus ερωτήματα Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-2015

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-2015 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές

( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές Παράδειγµα 1 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 Θεωρήστε την κίνηση ενός σώματος,μάζας m σε ελκτικό δυναμικό: V r ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές (α) Σχεδιάστε το για μικρές και μεγάλες τιμές της στροφορμής,, και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

O y. (t) x = 2 cos t. ax2 + bx + c b 2ax b + arcsin. a 2( a) mk.

O y. (t) x = 2 cos t. ax2 + bx + c b 2ax b + arcsin. a 2( a) mk. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, 3 Ιανουαρίου 018 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Σκέδαση Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler q Τρεις οι νόµοι του Kepler: Ø Oι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές µε τον ήλιο σε µια εστία τους. Ø Η επιβατική ακτίνα ενός πλανήτη διαγράφει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2

mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2 Ονοματεπώνυμο: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βλαχάκη, 6 Σεπτεμβρίου 6 Διάρκεια εξέτασης ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 11 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F! που περιγράφεται από την σχέση:! F = f(r)! r

Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F! που περιγράφεται από την σχέση:! F = f(r)! r Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F που περιγράφεται από την σχέση: F fr) r όπου fr) µια συνάρτηση, η οποία δεν ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης r

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 017 Πρόβλημα Α Ένα σημειακό σωματίδιο μάζας m βάλλεται υπό γωνία ϕ και με αρχική ταχύτητα μέτρου v 0 από το έδαφος Η κίνηση εκτελείται στο ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 Καλή σας επιτυχία. Σύνολο πόντων 130. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Πρόβλημα Α 1. Να γραφεί το διάνυσμα της έντασης του βαρυτικού πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : AΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : AΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : AΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ο J.J. Thomson πρότεινε στο ομώνυμο πρότυπο του πυρήνα ότι τα ηλεκτρόνια κινούνται μηχανικά σε σταθερές τροχιές με ισοδύναμο θετικό φορτίο κατανεμημένο ομογενώς στη μάζα του

Διαβάστε περισσότερα

Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη.

Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη. Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R

Διαβάστε περισσότερα

4. Ορµή και στροφορµή

4. Ορµή και στροφορµή 4 Ορµή και στροφορµή Βιβλιογραφία C Kittel, W D Kight, A Rudema, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998 Κεφ 6, 8 R Spiegel, Θεωρητική Μηχανική Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 985 Κεφ,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,.

Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,. Φροντιστήριο 4 ο : Πεδίο βαρύτητος, Θερµότης,. Νόµοι του Keple: Οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, τη µία εστία των οποίων καταλαµβάνει ο Ήλιος Η επιβατική ακτίνα κάθε πλανήτη µε αρχή αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t

Διαβάστε περισσότερα

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό κατά dθ dw F ds = F R dθ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3. Νίκος Κανδεράκης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3. Νίκος Κανδεράκης ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3 Νίκος Κανδεράκης Νόμος της βαρύτητας ή της παγκόσμιας έλξης Δύο σώματα αλληλεπιδρούν με βαρυτικές δυνάμεις Η δύναμη στο καθένα από αυτά: Είναι ανάλογη με τη μάζα του m Είναι ανάλογη με τη μάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Στις παρενθέσεις δίνονται τα μόρια του κάθε ερωτήματος. Σε ένα σωματίδιο που κινείται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό

Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 1 q Έστω ένα σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης Ø Δύναμη παράλληλη στο 0 F q Υποθέτουμε ότι η δύναμη είναι συντηρητική: F = V( ) m Ø V

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι. ΡΙΖΟΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 9 ΘΕΜΑ.4 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 15-16 Ν. Βλαχάκης 1. Σημειακό σώμα μάζας m είναι δεμένο σε αβαρές και μη εκτατό νήμα ακτίνας R και κινείται κάτω από την επίδραση του βάρους του mgẑ και της τάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες. Μία δεδομένη συντεταγμένη, q k. , μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση.

, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες. Μία δεδομένη συντεταγμένη, q k. , μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση. Ενότητα 10 Γενικευμένες συντεταγμένες Εξισώσεις Lagrage 91 Γενικευμένες συντεταγμένες Βαθμοί ελευθερίας Έστω,, o ελάχιστος αριθμός συντεταγμένων που απαιτείται για να καθορίσει ένα σύστημα Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα q Κίνηση σωμάτων σε κεντρικό δυναμικό Ø Το πρόβλημα ανάγεται σε κίνηση με 1 DoF: µ r = l µr + F( r) 3 q Είδαμε ποιοτική συμπεριφορά Ø Μη φραγμένες, φραγμένες και κυκλικές

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 4 Mέγεθος πυρήνα

Μάθημα 4 Mέγεθος πυρήνα Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 4 Mέγεθος πυρήνα Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πυρηνική

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 5 α) Μέγεθος του πυρήνα β) Μάζα πυρήνα, ενέργεια σύνδεσης, έλλειμα μάζας γ) Ασκήσεις σετ #2 - εκφωνήσεις

Μάθημα 5 α) Μέγεθος του πυρήνα β) Μάζα πυρήνα, ενέργεια σύνδεσης, έλλειμα μάζας γ) Ασκήσεις σετ #2 - εκφωνήσεις Σοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων 5ο εξάμηνο 2018-19 Τμήμα T3: Χ. Πετρίδου Μάθημα 5 α) Μέγεθος του πυρήνα β) Μάζα πυρήνα, ενέργεια σύνδεσης, έλλειμα μάζας γ) Ασκήσεις σετ #2 - εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια.

Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια. Έργο - Ενέργεια Βασική έννοια. Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική, Χημική, Θερμική, Πυρηνική, κ.α. Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη. Μηχανική ενέργεια. Λύση προβλημάτων μηχανικής. α) ος νόμος Νεύτωνα,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!

Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F! Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνιακή Μετατόπιση & Ταχύτητα Περιστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή Αδράνειας Υπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών Σωμάτων Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και

Διαβάστε περισσότερα