(β) Εύρεση του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με τη μέθοδο McCabe-Thiele

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(β) Εύρεση του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με τη μέθοδο McCabe-Thiele"

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 3 (β) Εύρεση του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με τη μέθοδο McCabe-Thiele Παρακάτω περιγράφουμε τα βήματα που ακολουθούμε με τη μέθοδο McCabe- Thiele για να καθορίσουμε τον αριθμό των βαθμίδων ισορροπίας (θεωρητικών) που απαιτούνται για να επιτύχουμε ένα απαιτούμενο διαχωρισμό ( D, R ) δεδομένου μίγματος. Υπενθυμίζουμε τις βασικές εξισώσεις λειτουργίας της στήλης υπό τις προυποθέσεις McCabe-Thiele (δηλαδή Υ.Σ.Γ.Π. και κορεσμένης αναρροής). Γραμμή εμπλουτισμού: L D = + D ή D + L D + L RD D = + (2.89) R + R + D D Γραμμή εξάντλησης: m L R = m R (2.90) L R L R Γραμμή τροφοδοσίας ή q-lie: q F = + q q (2.9) Συνήθως (μα όχι πάντα, εξαρτάται από τα δεδομένα) για την εφαρμογή της μεθόδου McCabe-Thiele ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία BHM : Κατασκευάζουμε (επί του διαγράμματος -) τη γραμμή τροφοδοσίας ή q-lie (εξίσωση 2.9). Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της: (α) διέρχεται από το σημείο ( F, F ) (β) έχει κλίση = q/( q). Οι δυνατές περιπτώσεις ανάλογα με τη θερμική κατάσταση, q, της τροφοδοσίας φαίνονται στο Σχήμα 2.2. Ήτοι, η γραμμή τροφοδοσίας μπορεί να κινηθεί σε τόξο 80 μοιρών με όρια την διαγώνιο του επιπέδου -, δηλαδή την ευθεία =.

2 32 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.2: Γραμμή τροφοδότησης (q-lie) και δυνατές περιπτώσεις τροφοδότησης. (α): q>, υπόψυκτο υγρό. (β): q=, κορεσμένο υγρό. (γ): 0<q<, υγρό-ατμός σε ισορροπία. (δ): q=0, κορεσμένος ατμός. (ε): q<0, υπέρθερμος ατμός. BHM 2: Κατασκευάζουμε τη γραμμή εμπλουτισμού (εξίσωση 2.89). Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της (Σχήμα 2.9 και 2.22): (α) διέρχεται από το σημείο ( D, D ). Αυτό αποδεικνύεται εύκολα εάν στην εξίσωση (2.89) θέσουμε = - = D (β) έχει αποτέμνουσα ίση με D /(R D +) BHM 3: Κατασκευάζουμε τη γραμμή εξάντλησης (εξίσωση 2.90). Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της (βλέπετε Σχήμα 2.22): (α) διέρχεται από το σημείο ( R, R ) (για επιβεβαίωση θέσατε στην εξίσωση 2.90 m = m- = R )

3 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 33 Σχήμα 2.22: Γραμμές λειτουργίας αποστακτικής στήλης κατά McCabe-Thiele ανάλυση. (β) διέρχεται από το σημείο τομής (Ι) των γραμμών τροφοδοσίας 2.9 και εμπλουτισμού 2.89, όπως έχουμε ήδη αποδείξει. Έχοντας ολοκληρώσει και το Βήμα 3, είναι πλέον στη διάθεσή μας μια τεθλασμένη γραμμή στο επίπεδο έναντι, ήτοι η γραμμή DIR, που την ονομάζουμε «περίγραμμα εμπλουτισμού-εξάντλησης». BHM 4: Προσδιορισμός αριθμού θεωρητικών βαθμίδων (δείτε Σχήμα 2.23). Ξεκινώντας από το σημείο D (ή και το R αν θέλουμε), με διαδοχικές οριζόντιες (μέχρι τομής της καμπύλης ισορροπίας) και κάθετες (μέχρι τομής του περιγράμματος εμπλουτισμού-εξάντλησης) βρίσκουμε τον αριθμό N των θεωρητικών βαθμίδων.

4 34 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.23: Γραφικός υπολογισμός του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με την μέθοδο McCabe-Thiele. (γ) Γενικές παρατηρήσεις επί της μεθόδου McCabe-Thiele Όσον αφορά τη μέθοδο McCabe-Thiele, μπορούμε να συγκεντρώσουμε τις παρακάτω χρήσιμες παρατηρήσεις. (i) (ii) H σειρά των βημάτων είναι άμεση συνάρτηση των δεδομένων που διαθέτουμε. Ανάλογα δηλαδή με τα δεδομένα του προβλήματος, έχουμε τη δυνατότητα εναλλαγής της σειράς σχεδιασμού των εξισώσεων που αφορούν τα βήματα 2 και 3, καθώς και την επιλογή του σημείου έναρξης (D ή R) υπολογισμού των βαθμίδων. Oι γραμμές εμπλουτισμού και εξάντλησης είναι ευθείες εξ αιτίας της Y.Σ.Γ.Π

5 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 35 (iii) Σημείο επί της καμπύλης ισορροπίας θα συνδέει συστάσεις (,) που βρίσκονται σε ισορροπία σε μια βαθμίδα. Άρα θα έχουν τον ίδιο δείκτη ( r, r ), όπου r ο αύξων αριθμός της βαθμίδας. (iv) Σημείο επί του «περιγράμματος εμπλουτισμού-εξάντλησης» θα συνδέει συστάσεις διερχόμενες «πλησίον-αλλήλων» σε μια βαθμίδα ( r, r- ), ό- που r ο αύξων αριθμός της βαθμίδας. (v) Η πρόβλεψη κλασματικού αριθμού θεωρητικών βαθμίδων (όπως πχ. στο Σχήμα 2.23) επιτρέπεται. Θα ακολουθήσει πρόβλεψη του αριθμού των πραγματικών βαθμίδων, σαν αυτών που παρουσιάστηκαν εικονικά στο Σχήμα 2.6, αφού ληφθεί υπόψη ο βαθμός απόδοσης των βαθμίδων. Η σχετική διαδικασία θα περιγραφεί σε επόμενη ενότητα. Είναι προφανές ότι ο αριθμός των πραγματικών βαθμίδων θα πρέπει να είναι ακέραιος. (vi) H βαθμίδα τροφοδότησης είναι αυτή που περικλείει το σημείο τομής Ι των εξισώσεων λειτουργίας της στήλης (εξισώσεις 2.89, 2.90 και 2.9) (Σχήμα 2.23). Δηλαδή, η εφαρμογή της μεθόδου McCabe-Thiele εκτός του υπολογισμού των βαθμίδων Ν που απαιτούνται για την επίτευξη του επιζητούμενου διαχωρισμού ( D, R ), μας υποδεικνύει και τη βαθμίδα στην οποία πρέπει να τοποθετηθεί η τροφοδοσία της στήλης. (vii) H τελευταία βαθμίδα αντιστοιχεί πάντα στο μερικό (συνήθη) αναβραστήρα. (viii) H πρώτη βαθμίδα του διαγράμματος McCabe-Thiele αντιστοιχεί στην πρώτη βαθμίδα της στήλης αν αναφερόμαστε σε ολικό συμπυκνωτήρα. Διαφορετικά, αν αναφερόμαστε σε μερικό συμπυκνωτήρα, αντιστοιχεί σε αυτόν, καθόσον θα υφίσταται μία επιπλέον ισορροπία στο εσωτερικό του αναβραστήρα. Συνηθίζουμε τότε να τη συμβολίζουμε με αύξοντα αριθμό μηδέν (0) στο διάγραμμα McCabe-Thiele. Ουσιαστικά είναι σαν να επωφελούμαστε με μια επιπλέον βαθμίδα με τη χρήση μερικού συμπυκνωτήρα. Όλα αυτά απεικονίζονται παραστατικά στο Σχήμα 2.24.

6 36 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Καμπύλη ισορροπίας =f e () (, ) ( = D, 0 = D ) V, ( 2, 2 ) 2 ( 2, ) V, L 0, 0 L 0, 0 = D, D = 3 ( 3, 2 ) Διαγώνιος, = 2 V 2, 2 L, Γραμμή εμπλουτισμού (α) Ολικός συμπυκνωτής Καμπύλη ισορροπίας =f e () ( 0, 0 ) 0 ( o = D, D ) 0 V, V, L 0, L 0, 0 D, D = 0 (, ) 2 ( 2, ) (, 0 ) Διαγώνιος = Βαθμίδα μερικού συμπυκνωτή 2 V 2, 2 L, Γραμμή εμπλουτισμού (β) Μερικός συμπυκνωτής Σχήμα 2.24: Ανάλυση ολικού (α) και μερικού (β) συμπυκνωτή κατά McCabe- Thiele. (δ) Ανάλυση ακραίων καταστάσεων λειτουργίας αποστακτικών στηλών με τη μέθοδο McCabe-Thiele Μπορούμε να θεωρήσουμε νοητά τη λειτουργία μιας αποστακτικής στήλης σε δύο ακραίες καταστάσεις λειτουργικών συνθηκών:

7 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 37 (i) Σε κατάσταση ολικής αναρροής (total reflu), περίπτωση κατά την ο- ποία θεωρούμε ότι όλο το προϊόν κορυφής της στήλης επανατροφοδοτείται σε αυτήν ως αναρροή (L=V), έτσι ώστε να μην παίρνουμε καθόλου απόσταγμα (D=0). (ii) Σε κατάσταση ελάχιστου λόγου αναρροής (miimum reflu), όπου δηλαδή διατηρούμε το λόγο αναρροής R D = L / D στην ελάχιστη δυνατή, και αποδεκτή από φυσική άποψη, τιμή (η οποία δεν είναι μηδέν). Οι δυο αυτές περιπτώσεις λειτουργίας είναι ιδεατές εφόσον στην πράξη δεν θα εφαρμοστούν. Η ανάλυσή τους όμως έχει διδακτική αξία, και επιπλέον, χρησιμοποιούνται ως καταστάσεις αναφοράς και σύγκρισης για την πραγματική κατάσταση λειτουργίας της στήλης, όπως θα φανεί από την ανάλυση που ακολουθεί. Oλική ναρροή - Eλάχιστος ριθμός Bαθμίδων (N mi ) Στην περίπτωση που R D, δηλαδή D 0, (ας σημειωθεί ότι κάτω από τέτοιες συνθήκες και για μόνιμη κατάσταση λειτουργίας της αποστακτικής στήλης θα πρέπει επιπλέον να θεωρήσουμε ότι: F 0 και R 0 άρα L V), τότε η γραμμή εμπλουτισμού τείνει να έχει: (α) κλίση L/V=, που σημαίνει ότι συμπίπτει με τη διαγώνιο στο διάγραμμα ισορροπίας έναντι. (β) αποτέμνουσα: D /(R D +) = 0 Εν ολίγοις, τόσο η γραμμή εμπλουτισμού όσο και η γραμμή εξάντλησης, συμπίπτουν με τη διαγώνιο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ο αριθμός των θεωρητικών βαθμίδων να είναι ο ελάχιστος δυνατός (N N mi ). Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το N mi μπορεί να υπολογιστεί γραφικά, μέσω της μεθόδου McCabe-Thiele, δια της γνωστής γραφικής κατασκευής των βαθμίδων μεταξύ της καμπύλης ισορροπίας και της διαγωνίου (=) του διαγράμματος ισορροπίας, η οποία στην προκειμένη περίπτωση αντιπροσωπεύει το περίγραμμα των γραμμών εμπλουτισμού εξάντλησης (δείτε Σχήμα 2.25).

8 38 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.25: Ολική αναρροή και ελάχιστος αριθμός βαθμίδων. Μπορούμε επίσης να προβούμε σε αναλυτική λύση του προβλήματος προσδιορισμού του ελάχιστου αριθμού θεωρητικών βαθμίδων για μια ειδική περίπτωση: Ιδανικά μίγματα με σχετική πτητικότητα α B ανεξάρτητη της T. Στην περίπτωση αυτή έχουμε. Εξ ορισμού, ολική αναρροή σημαίνει D 0, οπότε: V (2.92) = D + L V = D 0 L V (2.93) D 0 (2.92) = L + DD V = L = Από τον ορισμό της σχετικής πτητικότητας παίρνουμε: a B = B / / B = B B ( ) = ( ) = a B (2.94)

9 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 39 ή γενικότερα για τις συστάσεις, που είναι σε ισορροπία (εγκαταλείποντας το δείκτη Α που αναφέρεται ας υποθέσουμε στο πτητικό συστατικό): = a B, = a B (2.95) Εφαρμόζουμε τώρα την εξίσωση 2.95 για κάθε (από έως ). Εάν ο συμπυκνωτής είναι ολικός, στην πρώτη βαθμίδα (δηλ. =) θα έχουμε - = 0 = D και =. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: D ( = ): = ab D 2 ( = 2): = ab 2 + D : = ( ab ) D : : ( = ): = a B (2.96) Για να επιτύχουμε τον απαιτούμενο διαχωρισμό χρειαζόμαστε N βαθμίδες και τον αναβραστήρα, ήτοι =N+, οπότε η εξίσωση 2.96 δίνει: D D = ( a B ) N + R R (2.97) και λύνοντας την εξίσωση 2.97 ως προς Ν log[ D ( R ) / R ( D )] N N mi = (2.98) log a B Η τελευταία εξίσωση 2.98 είναι γνωστή ως εξίσωση των Feske-Uderwood, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ελάχιστου αριθμού θεωρητικών βαθμίδων (περίπτωση ολικής αναρροής) εάν είναι γνωστή η (στα-

10 40 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ θερή) τιμή της σχετικής πτητικότητας α B και ο επιζητούμενος βαθμός διαχωρισμού ( D, R ). Ελάχιστος Λόγος Αναρροής - Άπειρος Αριθμός Βαθμίδων Ελαττωμένου του λόγου αναρροής R D, ελαττώνεται η κλίση R D /(+R D ) της γραμμής εμπλουτισμού. Για δοθέντα διαχωρισμό, ο ελάχιστος λόγος αναρροής, αντιστοιχεί στην περίπτωση που η γραμμή εμπλουτισμού και τροφοδοσίας τέμνονται επί της καμπύλης ισορροπίας *. Στην περίπτωση ελάχιστου λόγου α- ναρροής απαιτείται άπειρος αριθμός θεωρητικών βαθμίδων, όπως φαίνεται στο Σχήμα Δεδομένου ότι το σημείο τομής Ι βρίσκεται επί της καμπύλης ισορροπίας, μπορούμε να υπολογίσουμε το R D,mi και από τη σχέση: R D,mi D ' = (2.99) ' ' όπου τα ' και ' είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής όλων των εξισώσεων λειτουργίας και της καμπύλης ισορροπίας (ονομάζεται και ως «pich poit»), όπως φαίνονται στο Σχήμα Αυτή η σχέση εξάγεται εύκολα και από την εξίσωση της γραμμής εμπλουτισμού με αντικατάσταση R D =R D,mi στις συνθήκες ', ' (Σχήμα 2.26). Στην περιοχή του σημείου επαφής (pich) η σύσταση του μίγματος παραμένει σταθερή και είναι αδύνατος ο διαχωρισμός με πεπερασμένο αριθμό βαθμίδων, εξ ου και η ονομασία αυτής της περιοχής ως «ζώνη αμεταβλητότητας». Για διμερή μίγματα η ζώνη αμεταβλητότητας συμπίπτει με την περιοχή εισαγωγής της τροφοδότησης. Για δοθέντα διαχωρισμό ( D, R ), η ελάχιστη και η ολική αναρροή αποτελούν οριακές καταστάσεις λειτουργίας μιας αποστακτικής στήλης, και όχι αποδεκτές από πρακτική άποψη περιπτώσεις λειτουργίας μιας στήλης. Στην πράξη οι χρησιμοποιούμενοι λόγοι αναρροής (R D ) βρίσκονται μεταξύ των ορίων R D,mi (που οδηγεί σε N ma ) και R D = (που οδηγεί σε N mi ). * Ας σημειωθεί ότι τομή των γραμμών εμπλουτισμού και τροφοδοσίας άνω της καμπύλης ισορροπίας οδηγεί σε καταστάσεις που δεν έχουν νόημα από φυσική άποψη. Πράγματι σε μια τέτοια περίπτωση είναι σαν να θεωρούμε ότι μέσα στη στήλη υπάρχουν καταστάσεις τέτοιες ώστε ο ατμός να έχει σύσταση μεγαλύτερη από αυτή που του επιτρέπει η θερμοδυναμική ισορροπία, πράγμα αδύνατον.

11 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 4 Σχήμα 2.26: Ελάχιστος λόγος αναρροής και άπειρος αριθμός βαθμίδων. Όπως δείχθηκε από οικονομικές αναλύσεις των Peters ad Timmerhaus [4] σε τυπικές αποστακτικές στήλες καθώς ο λόγος αναρροής (reflu ratio) αυξάνει από την ελάχιστη τιμή (R D,mi ) προς την κατάσταση ολικής αναρροής (R D = ), έπονται τα ακόλουθα που έχουν αντικρουόμενες επιδράσεις στον οικονομικό σχεδιασμό και στη λειτουργία μιας στήλης: (i) (ii) ελαττώνεται ο αριθμός (Ν) των απαιτούμενων βαθμίδων, αυξάνεται η απαιτούμενη διάμετρος της στήλης, (iii) η απαιτούμενη ποσότητα υδρατμού που θα χρησιμοποιηθεί στον αναβραστήρα αυξάνεται, καθώς και η απαιτούμενη ποσότητα ψυχρού νερού που θα χρησιμοποιηθεί στον συμπυκνωτήρα. Λαμβανομένων υπόψη όλων αυτών των παραγόντων και της οικονομικής βαρύτητας που αυτοί έχουν στο κόστος εγκατάστασης αλλά και το λειτουργικό κόστος μιας στήλης, οι αναλύσεις των Peters ad Timmerhaus έδειξαν ότι τυπικά ο βέλτιστος λόγος αναρροής στον οποίο θα πρέπει μια αποστακτική στήλη να λειτουργεί στην πράξη είναι:

12 42 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ 300 Ετήσιο κόστος (αυθαίρετες μονάδες) 200 Ολικό ετήσιο κόστος 00 Ετήσιο κόστος λειτουργίας (υδρατμού, κρύου νερού, κλπ) Κόστος εγκατάστασης/συντήρησης (απόσβεσης κεφαλαίου) 0 R D, mi Σχήμα 2.27: Βέλτιστος λόγος αναρροής για μια τυπική αποστακτική στήλη. R D = (. μέχρι.5) R D,mi (2.00) που οδηγεί σε Λόγος Αναρροής, R D Βέλτιστος Λόγος Αναρροής N = (.5 μέχρι 2) N mi (2.0). Η αναφερθείσα οικονομική ανάλυση, απεικονίζεται παραστατικά στο Σχήμα Πλάγια Προϊόντα. Πολλαπλές Τροφοδοσίες Εξετάζουμε την περίπτωση ενός πλαγίου προϊόντος (side stream) όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.28 (η μεθοδολογία μπορεί να γενικευτεί και για περισσότερα πλάγια προϊόντα). Έστω S (kmol/h) ο ρυθμός απομάκρυνσης του πλάγιου προϊόντος, με σύσταση S αν αυτό θεωρηθεί ως κορεσμένο υγρό. Φυσικά, το πλάγιο προϊόν μπορεί να εξέρχεται ως (i) κεκορεσμένο υγρό, (ii) μίγμα ατμώνυγρού σε ισορροπία (iii) κεκορεσμένος ατμός. (Ουδέποτε ως υπόψυκτο υγρό ή υπέρθερμος ατμός, εφόσον τέτοιες καταστάσεις δεν υφίστανται στο εσωτερικό

13 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 43 ΠEPIOXH : «κορυφής-πλαγίου προϊόντος» Άνω τμήμα εμπλουτισμού, χαρακτηριζόμενο από V και L V L L D (kmol/h), D ΠEPIOXH B: «πλαγίου προϊόντος-τροφοδοσίας» Kάτω τμήμα εμπλουτισμού, χαρακτηριζόμενο από V και L F (kmol/h), F V L S (kmol/h), S V L ΠEPIOXH C: «τροφοδοσίας-πυθμένος» Tμήμα εξάντλησης, χαρακτηριζόμενο από L καιv R (kmol/h), R Σχήμα 2.28: Αποστακτική στήλη με πλάγιο προϊόν. της αποστακτικής στήλης). Με άλλα λόγια η «θερμική» κατάσταση του πλαγίου προϊόντος, ας την συμβολίσουμε με q S και ας την ορίσουμε ως «το ποσοστό του S που εξέρχεται ως κορεσμένο υγρό», θα θεωρείται δεδομένη. Θεωρούμε την στήλη αποτελούμενη από τρία (στην περίπτωσή μας) υποτμήματα (περιοχές) όπως φαίνονται στο Σχήμα 2.28 και συζητιούνται παρακάτω. Περιοχή (Κορυφής-πλάγιου προϊόντος. Άνω τμήμα εμπλουτισμού): Στην περιοχή αυτή θα ισχύει, κατά τα γνωστά, η εξίσωση εμπλουτισμού 2.02 (αντιπροσωπεύει το ευθύγραμμο τμήμα DI στο Σχήμα 2.29) της οποίας η μέθοδος σχεδιασμού έχει αναλυθεί. L D = + D ή L + D L + D RD D = + (2.02) R + R + D D Περιοχή B (Πλάγιου προϊόντος-τροφοδοσίας. Κάτω τμήμα εμπλουτισμού): Στην περιοχή αυτή θα ισχύει η «γραμμή πλάγιου προϊόντος (ευθύγραμμο τμήμα II' στο Σχήμα 2.29) η οποία δίνεται από την παρακάτω εξίσωση 2.03 (βρί-

14 44 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.29: Διάγραμμα McCabe-Thiele για στήλη με πλάγιο προϊόν σκεται από πολύ απλά ισοζύγια μάζας στο σχετικό όγκο ελέγχου που ξεκινά από την κορυφή της στήλης και καταλήγει σε επίπεδο βαθμίδας εντός της περιοχής Β) L' SS + DD = + (2.03) V ' V ' Χαρακτηριστικά σχεδιασμού της γραμμής πλαγίου προϊόντος (εξίσωση 2.03) είναι τα ακόλουθα: (α) Τέμνει την διαγώνιο στο σημείο * SS DD S D = ( + )/( + ). Πράγματι, ένα ολικό ισοζύγιο μάζας στον κατάλληλο όγκο ελέγχου, δίνει: V L = S + D. Στο σημείο τομής της 2.03 με την διαγώνιο (δηλ., = - =*) παίρνουμε:

15 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 45 * * * = ( L V ) + ( Ss + DD) V ( L V ) = ( Ss + DD) V ( S + D ) ( V L ) = ( S + D ) ( S+ D) * * s D s D (β) Έχει κλίση L / V όπου L = L qss, V = V + ( qs ) S, όπως προκύπτει από τον ορισμό της θερμικής κατάστασης πλάγιου προϊόντος: q =ποσοστό του S που εξέρχεται σαν υγρό = ( L L )/ S. (γ) S Διέρχεται από το σημείο τομής I της γραμμής εμπλουτισμού 2.02 με την q S -lie του πλάγιου προϊόντος που θα δίδεται από την εξίσωση qs = q S S + q S (2.04) Η εξίσωση 2.04 εξάγεται ως ακολούθως: Oι εξισώσεις 2.02 και 2.03 για το ζεύγος, γράφονται ως: V = L + DD και V = L + SS + DD αντίστοιχα. Αφαιρώντας τις κατά μέλη: ( V V ) = ( L L ) SS [( V V )/ S] = [( L L )/ S] S = [ q /( q )] + /( q ) S S S S Χαρακτηριστικά σχεδιασμού της qs -lie (εξίσωση 2.04): (α) Διέρχεται από το σημείο ( S, S ) της διαγωνίου (αποδεικνύεται εύκολα από την 2.04 εάν θέσουμε = = ) (β) Έχει κλίση ίση με qs /( qs ) Περιοχή C (Τροφοδοσίας-πυθμένος. Τμήμα Εμπλουτισμού): Στην περιοχή αυτή θα ισχύει η γνωστή μας «γραμμή εξάντλησης»: S m L R = m R (2.05) V V

16 46 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της γραμμής εξάντλησης 2.05: (α) (β) Διέρχεται από το σημείο ( R, R ) και από το σημείο τομής (σημείο I' στο Σχήμα 2.29) της «γραμμής πλάγιου προϊόντος» (εξίσωση 2.03) με τη «γραμμή τροφοδοσίας (q-lie)», δηλαδή την q F = + q q (2.06) όπου q η θερμική κατάσταση της τροφοδοσίας. Παρόμοιες θεωρήσεις μπορούν να αναπτυχθούν για την αντιμετώπιση του προβλήματος πολλαπλών τροφοδοσιών. Η διαδικασία είναι όμοια, απλά πρέπει να προσεχθεί το γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για δύο ή περισσότερες ανάλογα q-lies και όχι για μια q-lie και μια q s -lie. Όντας δεδομένου του περιγράμματος εμπλουτισμού-πλάγιου προϊόντοςεξάντλησης (τεθλασμένη DII R στο Σχήμα 2.29) που προέκυψε από την προηγηθείσα ανάλυση, προχωρούμε στον υπολογισμό των βαθμίδων (N) κατά τη γνωστή μεθοδολογία οριζοντίων και καθέτων των McCabe-Thiele. Εκτός του αριθμού των απαιτούμενων θεωρητικών βαθμίδων που θα προκύψουν, η ανάλυση αυτή θα μας υποδείξει και τις θέσεις που πρέπει να τοποθετηθούν η τροφοδοσία και η έξοδος του πλάγιου προϊόντος έτσι ώστε να επιτευχθούν οι ζητούμενες συστάσεις R, S, D στις ανάλογες εξόδους της στήλης. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.29 οι απαντήσεις που προκύπτουν είναι οι ακόλουθες: Απαιτούμενος αριθμός θεωρητικών βαθμίδων: ~6.5 Θέση εξόδου πλαγίου προϊόντος: βαθμίδα 4 Θέση εισόδου τροφοδοσίας: βαθμίδα 6.

17 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 47 Παραδείγματα ισοζυγίων και εφαρμογής μεθόδου McCabe-Thiele ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.9 Μια τροφοδοσία που περιέχει 60% και 40% B διαχωρίζεται σε αποστακτική στήλη. Θέλουμε το απόσταγμα να περιέχει 95% από το και το υπόλειμμα 87% από το B. Εάν η τροφοδοσία είναι 00 mol/h βρείτε τις ποσότητες D και R στην κορυφή και στον πυθμένα της αποστακτικής στήλης. ΛYΣH Το ολικό ισοζύγιο μάζας για όλη τη στήλη γράφεται F=D+R Το ισοζύγιο μάζας του συστατικού : : F, F = D, D + R, R 0.6F = 0.95D + 0.3R Το ισοζύγιο μάζας του συστατικού B: B: F,B F = D,B D + R,B R 0.4F = 0.05D R Επίλυση του συστήματος των τριών παραπάνω εξισώσεων με βάση 00 mol/h τροφοδοσίας, θα δώσει D=57.3 mol/h και R=42.7 mol/h. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.0 Τροφοδοσία 00 mol/h μίγματος, 60% σε και 40% σε B, διαχωρίζεται σε αποστακτική στήλη. Εάν η επιθυμητή ανάκτηση του στο απόσταγμα είναι 90% και του B στο υπόλειμμα είναι 96% βρείτε τις ποσότητες D και R στην κορυφή και στον πυθμένα της στήλης. ΛYΣH Θέλουμε στο απόσταγμα (D) την ανάκτηση του 90% του Α που εισέρχεται στην τροφοδοσία. Έτσι η επιθυμητή ποσότητα του Α στο απόσταγμα (D ) θα είναι: D Α = 0.9 F F, = = 54 mol /h Στο υπόλειμμα επιθυμούμε ανάκτηση του 96% του Β της τροφοδοσίας, δηλαδή

18 48 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ R B = 0.96 F F,B = = 38.4 mol B/h Μπορούμε τώρα να γράψουμε τα παρακάτω ισοζύγια για το Α και το Β α- ντίστοιχα με αναφορά (ο.ε.) όλη τη στήλη: F Α = D + R 60 = 54 +R R = 6 mol /h F B = D B + R B 40 = D B D B =.6 mol B/h Συνολικά: D = D + D B = = 55.6 mol /h R = R + R B = = 44.4 mol B/h ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2. Χρησιμοποιώντας την ίδια τροφοδοσία όπως προηγουμένως, ο προς επίτευξη διαχωρισμός απαιτεί ένα προϊόν κορυφής με 95% σε συστατικό. Eπιπλέον, 90% από το που εισέρχεται στην τροφοδοσία ζητείται να ανακτηθεί στο προϊόν κορυφής (απόσταγμα). Υπολογίστε το D. ΛYΣH H ποσότητα του στο απόσταγμα θα είναι: D = = 54 mol/h H ολική ποσότητα αποστάγματος D, θα είναι: D = D D, = 54 mol/h D = 54/0.95 = 56.8 mol/h. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.2 Η τροφοδοσία που χρησιμοποιήθηκε στα παραπάνω παραδείγματα, πρόκειται τώρα να διαχωριστεί έτσι ώστε το προϊόν κορυφής να περιέχει 98% και 2% B. Για κάθε 00 mol/h τροφοδοσίας, 50 mol/h πρόκειται να λαμβάνονται σαν απόσταγμα. Υπολογίστε τα moles των και B στο απόσταγμα (προϊόν κορυφής). ΛYΣH D = = 49 mol /h, και D B = mol B/h.

19 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 49 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.3 Μίγμα αιθανόλης νερού διαχωρίζεται σε αποστακτική στήλη συνεχούς λειτουργίας με δίσκους. H στήλη λειτουργεί σε P=atm και ο συμπυκνωτής είναι ολικός. Εάν ο απαιτούμενος διαχωρισμός είναι ( D, R )=(0.8, 0.02) να βρεθούν: (i) Ο αριθμός των θεωρητικών βαθμίδων για ένα λόγο αναρροής R D =.66 R D,mi. Ποια η θέση της τροφοδότησης; (ii) O ελάχιστος αριθμός θεωρητικών βαθμίδων. Δίνονται: Tροφοδοσία: F =0.5, q=0.5 και το διάγραμμα «βρασμού» του μίγματος αιθανόλης-νερού (Σχήμα Π2.9). Σχήμα Π2.9: Διάγραμμα «βρασμού» αιθανόλης-νερού σε P=atm. ΛYΣH H μέθοδος McCabe-Thiele εφαρμόζεται σε διάγραμμα ισορροπίας -. Tο διάγραμμα αυτό προκύπτει εύκολα από το διάγραμμα βρασμού (Σχήμα Π2.9) ως ακολούθως:

20 50 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σαρώνοντας με κάποιο βήμα ΔT (έστω και μεταβλητό, αρκεί τα δεδομένα που θα πάρουμε να είναι ικανά για καλή σχεδίαση) το θερμοκρασιακό διάστημα o o ( TH, 2O T C2H5OH ) βρίσκουμε για κάθε T e τις τιμές e, e που είναι σε ισορροπία (τα και αναφέρονται στο πτητικότερο συστατικό του μίγματος που είναι η αιθανόλη). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, προκύπτει ο πίνακας: T e e e Από τις τιμές αυτές σχεδιάζουμε το διάγραμμα ισορροπίας - (Σχήμα Π2.0). Eφαρμογή Mεθόδου McCabe-Thiele (Σχήμα Π2.0): α) Tοποθετούμε στο διάγραμμα - τα σημεία R, D, F β) πό το σημείο της διαγωνίου ( R, R ) και κλίση = [q/( q)]= [0.5/( 0.5)] =, φέρνουμε την γραμμή τροφοδοσίας (ή q-lie). Τέμνει την καμπύλη ισορροπίας στο σημείο m. γ) Yπολογισμός του R D,mi : Φέρνουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο ( D, D ) της διαγωνίου και το m. υτή αποτελεί τη γραμμή ε- μπλουτισμού που αντιστοιχεί στον ελάχιστο λόγο αναμονής R D,mi. H τεταγμένη της επί την αρχή είναι D /(+R D,mi )=0.42 R D,mi =0.9. To R D,mi μπορεί να βρεθεί και από R = D m D, mi = = m m δ) Υπολογίζουμε την αποτέμνουσα που θα αντιστοιχεί στον λόγο αναρροής R D =.66 R D,mi που επιθυμούμε να λειτουργήσει η στήλη: [ D /(+R D )]=[ D /(+.66 R D,mi )]=0.32 ε) Φέρνουμε τη ζητούμενη γραμμή εμπλουτισμού DY που έχει ως αποτέμνουσα την παραπάνω τιμή 0.32 (βλέπετε Σχήμα Π2.0). 0.9

21 Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 5 Σχήμα Π2.0: Διάγραμμα ισορροπίας αιθανόλης-νερού. ζ) Φέρνουμε τη γραμμή εξάντλησης RM που ορίζεται από τα σημεία R: ( R, R ) και M: τομή της γραμμής εμπλουτισμού με την q-lie. η) Υπολογίζουμε τις θεωρητικές βαθμίδες με διαδοχικές οριζόντιες (μέχρι την καμπύλη ισορροπίας) και κάθετες (μέχρι το περίγραμμα εμπλουτισμού-εξάντλησης, τεθλασμένη DMR), αρχίζοντας από το σημείο D μέχρι να υπερβούμε το σημείο R. Oι βαθμίδες που προέκυψαν είναι: N=8(+ ο συνήθης αναβραστήρας). H βαθμίδα τροφοδοσίας είναι η F =6. Παρατήρηση: ν η κυρτότητα του διαγράμματος ισορροπίας ήταν μεγαλύτερη, έτσι ώστε η ευθεία Dm να έτεμνε την καμπύλη ισορροπίας, ο ελάχιστος λόγος αναρροής αντιστοιχεί στην ευθεία που φέρνουμε από το D και είναι εφαπτόμενη στην καμπύλη ισορροπίας, όπως φαίνεται στο επόμενο Σχήμα Π2..

22 52 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα Π2.: Ελάχιστος λόγος αναρροής σε πολύπλοκες καμπύλες ισορροπίας. Γραφική Μέθοδος Pocho-Savarit (α) Γενικές Παρατηρήσεις Η μέθοδος Pocho-Savarit εφαρμόζεται στις περιπτώσεις εκείνες που δεν ι- σχύει η βασική παραδοχή της μεθόδου McCabe-Thiele, δηλ. η Υπόθεση της Σταθερής Γραμμομοριακής Παροχής (Y.Σ.Γ.Π.), ήτοι στις περιπτώσεις μηιδανικών διαλυμάτων. Χρησιμοποιεί το διάγραμμα ενθαλπίας -συγκέντρωσης (Σχήμα 2.0). Υπενθυμίζεται ότι, σ αυτού του τύπου τα διαγράμματα παράστασης της ισορροπίας ατμών-υγρού, (i) ως βάση για τον υπολογισμό της ενθαλπίας λαμβάνονται οι καθαρές ουσίες στην υγρή τους φάση και θερμοκρασία 0 C, όπου θεωρούμε ότι έ- χουν γραμμομοριακή ενθαλπία ίση με το μηδέν. (Η ενθαλπία του κεκο-

1. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ (γενική περιγραφή και αναγκαιότητα) 17

1. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ (γενική περιγραφή και αναγκαιότητα) 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 1. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ (γενική περιγραφή και αναγκαιότητα) 17 1.1 Φυσικές Διεργασίες Διαχωρισμού 20 1.1.1 Μια γενική εποπτεία της παραγωγικής Χημικής Βιομηχανίας 21 1.1.2 Σύντομος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΚΤΙΚΗ ΣΤΗΛΗ : Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Σκεφθείτε και δικαιολογήσετε τη σωστή απάντηση κάθε φορά)

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΚΤΙΚΗ ΣΤΗΛΗ : Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Σκεφθείτε και δικαιολογήσετε τη σωστή απάντηση κάθε φορά) ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΚΤΙΚΗ ΣΤΗΛΗ : Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (Σηµείωση: Σκεφθείτε και δικαιολογήσετε τη σωστή απάντηση κάθε φορά) Η απόσταξη στηρίζεται στη διαφορά που υπάρχει στη σύσταση ισορροπίας των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ι & ΙΙ Εργαστηριακή Άσκηση 4: ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ι & ΙΙ Εργαστηριακή Άσκηση 4: ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Σχεδιασμού, Ανάλυσης & Ανάπτυξης Διεργασιών και Συστημάτων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Διευθυντής: Ι.

Διαβάστε περισσότερα

Απρίλιος Λύση: Σύνοψη των δεδομένων: P = 6at, V = 0.6F, L = 0.4F, F = 1 kmol/s. Ζητούμενα: x Fi, x Li

Απρίλιος Λύση: Σύνοψη των δεδομένων: P = 6at, V = 0.6F, L = 0.4F, F = 1 kmol/s. Ζητούμενα: x Fi, x Li Φυσικές Διεργασίες Προβλήματα στην απόσταξη που λύθηκαν στην τάξη Πηγή: Δ. Μαρίνος-Κουρής, Ε. Παρλιάρου-Τσάμη, Ασκήσεις Φυσικών Διεργασιών, Παπασωτηρίου, Αθήνα 1994 Απρίλιος 2008 Πρόβλημα 1 Διαχωριστήρας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΞΗΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΞΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΞΗΣ Παράδειγμα 1 Μια αποστακτική στήλη διαχωρίζει μια τροφοδοσία κορεσμένου ατμού με ρυθμό ροής 100 kmol/h και σύσταση 30 mol% αιθανόλη (E), 25 mol% i- προπανόλη (i-p), 35

Διαβάστε περισσότερα

Δ' Εξάμηνο ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ. Ερωτήσεις Επανάληψης

Δ' Εξάμηνο ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ. Ερωτήσεις Επανάληψης Δ' Εξάμηνο ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Ερωτήσεις Επανάληψης 1 0.8 0.6 x D = 0.95 y 0.4 x F = 0.45 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x B = 0.05 Σχήμα 1. Δεδομένα ισορροπίας y-x για δυαδικό μίγμα συστατικών Α και Β και οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΜΑΔ, 2013

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΜΑΔ, 2013 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΜΑΔ, 2013 1 Ισορροπία Φάσεων Ανάλογα με τη φύση των συστατικών του μίγματος (ή της ολικής πίεσης του συστήματος) οι τάσεις διαφυγής υπολογίζονται - ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ Μ. Κροκίδα ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓ. ΣΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Στόχος: Επεξεργασία συγκεκριμένης τροφοδοσίας (ροή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ Μ. Κροκίδα ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓ. ΣΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Βασικές αρχές Η διεργασία της απόσταξης στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2-1. Διαχωρισμός νερού- αιθανόλης

Παράδειγμα 2-1. Διαχωρισμός νερού- αιθανόλης Παράδειγμα 2-1. Διαχωρισμός νερού- αιθανόλης Μια αποστακτική στήλη που λειτουργεί σε πίεση 101,3 kpa, διαχωρίζει ένα μίγμα νερούαιθανόλης. Η σύσταση του μίγματος αποτελείται 40 mol% αιθανόλη και η τροφοδοσία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ Μ. Κροκίδα ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓ. ΣΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Διαφορική (batch) Rectifying column Stripping column

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΥΓΡΟΥ ΥΓΡΟΥ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΥΓΡΟΥ ΥΓΡΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΥΓΡΟΥ ΥΓΡΟΥ Παράδειγμα 1 Σε μονάδα εκχύλισης μιας μόνο βαθμίδας πραγματοποιείται εκχύλιση οξικού οξέος από νερό με χρήση βουτανόλης. Η τροφοδοσία παροχής F= 100 kg/h περιέχει οξικό

Διαβάστε περισσότερα

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΥΓΡΟΥ- ΥΓΡΟΥ Liquid- Liquid Extraction

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΥΓΡΟΥ- ΥΓΡΟΥ Liquid- Liquid Extraction Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΥΓΡΟΥ- ΥΓΡΟΥ Liquid- Liquid Extraction ΕΚΧΥΛΙΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΙΑ ΜΕΡΙΚΩΣ ΑΝΑΜΙΞΙΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τριγωνικές

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση Αερίων (2)

Απορρόφηση Αερίων (2) Απορρόφηση Αερίων (2) Λεπτομερής Ανάλυση Θεωρούμε έναν πύργο απορρόφησης που μπορεί να περιέχει δίσκους ή να είναι τύπου πληρωτικού υλικού ή άλλου τύπου. Τελικός σκοπός είναι να βρούμε το μέγεθος του πύργου.

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματη ρύθμιση αποστακτικών στηλών

Αυτόματη ρύθμιση αποστακτικών στηλών Αυτόματη ρύθμιση αποστακτικών στηλών Στόχοι-Αναγκαιότητα Παραγωγή προϊόντων επιθυμητών προδιαγραφών και ποσοτήτων Ασφάλεια εγκατάστασης (όρια πίεσης και θερμοκρασίας) Διατήρηση λειτουργικών συνθηκών (αποφυγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Equilibrium or Flash Distillation

ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Equilibrium or Flash Distillation Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Equilibrium or Flash Distillation ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΚΟΠΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Energy resources: Technologies & Management

Energy resources: Technologies & Management Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Energ resources: echnologies & Management Τεχνολογίες άνθρακα Σχεδιασμός Στηλών Απορρόφησης Αερίων Δρ. Γεώργιος Σκόδρας Αν. Καθηγητής Περιεχόμενα Η διάλεξη που ακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΦ - ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΑΚΤΙΚΩΝ ΣΤΗΛΩΝ ΜΑΔ, 2013

ΒΑΣΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΦ - ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΑΚΤΙΚΩΝ ΣΤΗΛΩΝ ΜΑΔ, 2013 ΒΑΣΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΦ - ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΑΚΤΙΚΩΝ ΣΤΗΛΩΝ ΜΑΔ, 2013 1 Βασικοί Υπολογισμοί Ισορροπίας Φάσεων Ατμών Υγρού Οι βασικοί υπολογισμοί που ενδιαέρουν τον χημικό μηχανικό είναι οι ακόλουθοι : σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κλασματική Απόσταξη

Κεφάλαιο 4 Κλασματική Απόσταξη Κεφάλαιο 4 Κλασματική Απόσταξη Σύνοψη Η κλασματική απόσταξη ή απλά απόσταξη αποτελεί τη διεργασία διαχωρισμού ενός πτητικού συστατικού από ένα λιγότερο πτητικό ή, γενικότερα, ενός μίγματος συστατικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υ/Υ ΕΚΧΥΛΙΣΗΣ Κ. Μάτης

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υ/Υ ΕΚΧΥΛΙΣΗΣ Κ. Μάτης ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υ/Υ ΕΚΧΥΛΙΣΗΣ Κ. Μάτης Πρόβληµα 36. Μια υγρή τροφοδοσία 3,5 kg/s, που περιέχει µια διαλυτή ουσία Β διαλυµένη σε συστατικό Α, πρόκειται να διεργαστεί µε ένα διαλύτη S σε µια µονάδα επαφής καθ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Παράγοντες που Επηρεάζουν Διεργασία Απορρόφησης Συνήθως δίνονται: Ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη στατικού προτύπου επίλυσης προβλημάτων αξιολόγησης αποστακτικών στηλών.

Ανάπτυξη στατικού προτύπου επίλυσης προβλημάτων αξιολόγησης αποστακτικών στηλών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Χημικών Μηχανικών Τομέας ΙΙ : Ανάλυσης, Σχεδιασμού και Ανάπτυξης Διεργασιών και Συστημάτων Ανάπτυξη στατικού προτύπου επίλυσης προβλημάτων αξιολόγησης αποστακτικών στηλών.

Διαβάστε περισσότερα

Ειδική Ενθαλπία, Ειδική Θερµότητα και Ειδικός Όγκος Υγρού Αέρα

Ειδική Ενθαλπία, Ειδική Θερµότητα και Ειδικός Όγκος Υγρού Αέρα θερµοκρασία που αντιπροσωπεύει την θερµοκρασία υγρού βολβού. Το ποσοστό κορεσµού υπολογίζεται από την καµπύλη του σταθερού ποσοστού κορεσµού που διέρχεται από το συγκεκριµένο σηµείο. Η απόλυτη υγρασία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι ΦΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι Ενότητα 6 η - Β ΜΕΡΟΣ ΔΙΑΛΜΑΤΑ Όνομα καθηγητή: ΕΑΓΓΕΛΙΟ ΒΑΣΙΛΙΚΗ Τμήμα: Επιστήμης Τροφίμων και Διατροφής του Ανθρώπου ΣΤΟΧΟΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχος (): Κατανόηση των εννοιών: υγρά διαλύματα,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4β. Συστοιχίες διαχωρισμών

Διάλεξη 4β. Συστοιχίες διαχωρισμών Διάλεξη 4β Συστοιχίες διαχωρισμών Διαχωρισμός σε απλή στήλη Απλή τροφοδοσία Δύο ρεύματα εξόδου Προσκείμενα κλειδιά διαχωρισμού Στήλη με απλό αναβραστήρα και συμπυκνωτήρα Φθίνουσα πτητικότητα E () Ελαφρύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Διεργασίες απόσταξης

Κεφάλαιο 5: Διεργασίες απόσταξης 92 Κεφάλαιο 5: Διεργασίες απόσταξης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό συνιστά την πρώτη ολοκληρωμένη ανάλυση μίας διεργασίας. Παρουσιάζονται στην αρχή οι απλές αποστάξεις και στη συνέχεια αναλύεται διεξοδικά η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3-ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή Τα διαγράμματα φάσεων δεν είναι εμπειρικά σχήματα αλλά είναι ουσιαστικής σημασίας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη ΙΦΥΥ δυαδικών μιγμάτων

Είδη ΙΦΥΥ δυαδικών μιγμάτων Είδη ΙΦΥΥ δυαδικών μιγμάτων T A X 1 X 1 ΙΦΥΥ τριαδικών μιγμάτων Τριγωνικά διαγράμματα C 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 P 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.6 0.7 0.8 0.9 κλάσμα βάρους του B κλάσμα βάρους του C

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρίβεια αποτελεσμάτων σχεδιασμού διεργασιών ΜΑΔ, 2013

Ακρίβεια αποτελεσμάτων σχεδιασμού διεργασιών ΜΑΔ, 2013 Ακρίβεια αποτελεσμάτων σχεδιασμού διεργασιών ΜΑΔ, 2013 1 ΣΚΟΠΟΣ και ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΧΜ Σκοπός της θερμοδυναμικής χημικής μηχανικής είναι η παροχή των κατάλληλων θεωρητικών γνώσεων και των απαραίτητων υπολογιστικών-μεθοδολογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 Θέμα 1 Επιλέγοντας το κατάλληλο διάγραμμα φάσεων για ένα πραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 03-4 Τοπικός διαγωνισμός στη Φυσική 07--03 Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: ) ) 3) Ιδανικά αέρια: o νόμος του Boyle Κεντρική ιδέα της άσκησης Στην άσκηση αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΥΓΡΗΣ ΕΚΧΥΛΙΣΗΣ Ελένη Παντελή, Υποψήφια Διδάκτορας Γεωργία Παππά, Δρ. Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική και Ανάπτυξη Διεργασιών 7ο Εξάμηνο, Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ ΥΓΡΗ ΕΚΧΥΛΙΣΗ

Μηχανική και Ανάπτυξη Διεργασιών 7ο Εξάμηνο, Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ ΥΓΡΗ ΕΚΧΥΛΙΣΗ Μηχανική και Ανάπτυξη Διεργασιών 7ο Εξάμηνο, Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ ΥΓΡΗ ΕΚΧΥΛΙΣΗ Η υγρή εκχύλιση βρίσκει εφαρμογή όταν. Η σχετική πτητικότητα των συστατικών του αρχικού διαλύματος είναι κοντά στη

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Κινητική Γενικές Υποδείξεις 1. Τάξη Αντίδρασης 2. Ενέργεια Ενεργοποίησης

Χημική Κινητική Γενικές Υποδείξεις 1. Τάξη Αντίδρασης 2. Ενέργεια Ενεργοποίησης Χημική Κινητική Γενικές Υποδείξεις 1. Τάξη Αντίδρασης Γενικά, όταν έχουμε δεδομένα συγκέντρωσης-χρόνου και θέλουμε να βρούμε την τάξη μιας αντίδρασης, προσπαθούμε να προσαρμόσουμε τα δεδομένα σε εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o Στις ασκήσεις Κινητικής υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να δουλέψουμε. Ένας από αυτούς είναι με τη σωστή χρήση των εξισώσεων θέσης (κίνησης) και ταχύτητας των σωμάτων που περιγράφονται. Τα βήματα που ακολουθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα εκχύλισης

Προβλήματα εκχύλισης Προβλήματα εκχύλισης Πηγή: Μαρίνου-Κουρή, Παρλιάρου-Τσάμη, Ασκήσεις Φυσικών Διεργασιών, εκδ. Παπασωτηρίου, Αθήνα, 1994 1. Εκχύλιση ακετόνης από νερό με χλωροβενζόλιο σε μονοβάθμιο εκχυλιστήρα. 100 kg διαλύματος

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες Μιγμάτων. Μερικές Μολαρικές Ιδιότητες

Ιδιότητες Μιγμάτων. Μερικές Μολαρικές Ιδιότητες Ιδιότητες Μιγμάτων Μερικές Μολαρικές Ιδιότητες ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΑΛΥΜΑ = ή διαιρεμένη διά του = x όπου όλα τα προσδιορίζονται στην ίδια T και P. = Όπου ή διαιρεμένη διά του : = x ορίζεται η μερική μολαρική ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζύγια (φορτίου και μάζας) Εισαγωγική Χημεία

Ισοζύγια (φορτίου και μάζας) Εισαγωγική Χημεία Ισοζύγια (φορτίου και μάζας) Εισαγωγική Χημεία 03-4 Κατά την διάλυση C moles/l άλατος ΜΑ, το οποίο διΐσταται πλήρως στο νερό: Ισοζύγια μάζας Ισοζύγιο φορτίου Ισοζύγιο πρωτονίων Να υπολογισθούν οι συγκεντρώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ Μ. Κροκίδα ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓ. ΣΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ορισμός Βασικές έννοιες Απόσταξη (Distillation) είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 Η ΣΕΙΡΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ - PC-LAB ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΑΣΚΗΣΗ 1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΟΝΑΔΑΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

3 Η ΣΕΙΡΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ - PC-LAB ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΑΣΚΗΣΗ 1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΟΝΑΔΑΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ 3 Η ΣΕΙΡΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ - PC-LAB ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 23.12.2015 ΑΣΚΗΣΗ 1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΟΝΑΔΑΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ Ένα τυπικό φυσικό αέριο έχει την ακόλουθη σύσταση σε % mol: 0.5% Ν 2,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ (γενική περιγραφή και αναγκαιότητα) 17

1. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ (γενική περιγραφή και αναγκαιότητα) 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 1. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ (γενική περιγραφή και αναγκαιότητα) 17 1.1 Φυσικές Διεργασίες Διαχωρισμού 20 1.1.1 Μια γενική εποπτεία της παραγωγικής Χημικής Βιομηχανίας 21 1.1.2 Σύντομος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοχημεία 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Φυσικοχημεία 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχημεία 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις Άσκηση 5: Διαγράμματα σημείων ζέσεως συνθέσεως Αθανάσιος Τσεκούρας Τμήμα Χημείας 1. Θεωρία... 3 2. Μετρήσεις... 4 3. Επεξεργασία Μετρήσεων... 5 Σελίδα 2 1. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικές Διεργασίες Πέμπτη Διάλεξη

Φυσικές Διεργασίες Πέμπτη Διάλεξη Φυσικές Διεργασίες Πέμπτη Διάλεξη Δευτέρα, 12 Μαΐου 2008 Απορρόφηση αερίων 1. Ορισμός Τι είναι απορρόφηση; Είναι μεταφορά μέσω της διεπιφάνειας αερίου-υγρού ενός συστατικού από αέριο μίγμα σε έναν υγρό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μία θερμική μηχανή λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών T h 400 Κ και T c με T c < T h Η μηχανή έχει απόδοση e 0,2 και αποβάλλει στη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας θερμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοχημεία 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Φυσικοχημεία 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχημεία 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις Άσκηση 6: Ισορροπία φάσεων συστήματος πολλών συστατικών αμοιβαία διαλυτότητα Βασιλική Χαβρεδάκη Τμήμα Χημείας 1. Θεωρία... 3 2. Μετρήσεις... 5 3. Επεξεργασία Μετρήσεων...

Διαβάστε περισσότερα

Το διάγραμμα Ρ - h ενός ψυκτικού ρευστού.

Το διάγραμμα Ρ - h ενός ψυκτικού ρευστού. Το διάγραμμα Ρ - h ενός ψυκτικού ρευστού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μηχανολογία (Ε.Ε.) Δημιουργός: ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΚΟΥΡΕΝΤΖΗΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Παράδειγμα Κύκλου με αναθέρμανση. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Παράδειγμα Κύκλου με αναθέρμανση. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ενότητα 6: Παράδειγμα Κύκλου με αναθέρμανση Γεώργιος Κ Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός MSc Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ

Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ Ασκηση 4.1 Η κινητική εξίσωση της αντίδρασης: βρέθηκε οτι είναι Αντιδράσεις πρώτης τάξης 2A = Προϊόντα r = k[a] Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζύγια Μάζας. 1. Eισαγωγή

Ισοζύγια Μάζας. 1. Eισαγωγή Ισοζύγια Μάζας 1. Eισαγωγή Οποιαδήποτε χηµική διεργασία όπου υπάρχουν αλληλεπιδράσεις µεταξύ δύο ή περισσότερων υλικών µπορεί να αναλυθεί µε βάση τα ισοζύγια υλικών. Γενικά, υπάρχουν δύο διαφορετικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι ΦΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι Ενότητα 6 η - Β ΜΕΡΟΣ ΔΙΑΛΜΑΤΑ Όνομα καθηγητή: ΕΑΓΓΕΛΙΟ ΒΑΣΙΛΙΚΗ Τμήμα: Επιστήμης Τροφίμων και Διατροφής του Ανθρώπου ΣΤΟΧΟΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχος (): Κατανόηση των εννοιών: υγρά διαλύματα,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότητα 10: Ισορροπίες φάσεων. Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότητα 10: Ισορροπίες φάσεων. Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι Ενότητα 0: Ισορροπίες φάσεων Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η παρουσίαση και η εξέταση της ισορροπίας ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

1 IΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ

1 IΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ 1 1 IΔΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Θα αρχίσουμε τη σειρά των μαθημάτων της Φυσικοχημείας με τη μελέτη της αέριας κατάστασης της ύλης. Η μελέτη της φύσης των αερίων αποτελεί ένα ιδανικό μέσο για την εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός & Πρόρρηση. Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων

Υπολογισμός & Πρόρρηση. Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων Υπολογισμός & Πρόρρηση Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων d du d Θερμοδυναμικές Ιδιότητες d dh d d d du d d dh U A H G d d da d d dg d du dq dq d / d du dq Θεμελιώδεις Συναρτήσεις περιέχουν όλες τις πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλαγή θερμότητας. Σχ. 4.1 (α) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καθ` ομορροή (πάνω) και αντίστοιχο θερμοκρασιακό προφίλ (κάτω)

Εναλλαγή θερμότητας. Σχ. 4.1 (α) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καθ` ομορροή (πάνω) και αντίστοιχο θερμοκρασιακό προφίλ (κάτω) Εναλλαγή θερμότητας Σχ. 4.1 (α) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καθ` ομορροή (πάνω) και αντίστοιχο θερμοκρασιακό προφίλ (κάτω) Σχ. 4.1 (β) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καντ` αντιρροή (πάνω) και αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα 4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευαστικό διαχωρισμό πολλών ουσιών με κατανομή μεταξύ των δύο διαλυτών.

Παρασκευαστικό διαχωρισμό πολλών ουσιών με κατανομή μεταξύ των δύο διαλυτών. 1. ΕΚΧΥΛΙΣΗ Η εκχύλιση είναι μία από τις πιο συνηθισμένες τεχνικές διαχωρισμού και βασίζεται στην ισορροπία κατανομής μιας ουσίας μεταξύ δύο φάσεων, που αναμιγνύονται ελάχιστα μεταξύ τους. Η ευρύτητα στη

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Σωλήνας U

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Σωλήνας U A A N A B P Y T A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Σωλήνας U Γ U= B Θ.Ι. B Κατακόρυφος ισοπαχής σωλήνας σχήματος U περιέχει ιδανικό υγρό, δηλαδή, υγρό που σε κάθε επιφάνεια ασκεί δυνάμεις κάθετες στην

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα