ÊåöÜëáéï 6 ï. -Óýãêñéóç ãùíéþí -Åßäç ãùíéþí -ÌÝôñçóç ãùíéþí -ÅöåîÞò ãùíßåò -ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò -ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÊåöÜëáéï 6 ï. -Óýãêñéóç ãùíéþí -Åßäç ãùíéþí -ÌÝôñçóç ãùíéþí -ÅöåîÞò ãùíßåò -ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò -ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 6 ï Ïé ãùíßåò âéâëéïììüèçìá 2: -Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò -Óýãêñéóç ãùíéþí -Åßäç ãùíéþí -ÌÝôñçóç ãùíéþí -ÅöåîÞò ãùíßåò -ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò -ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò âéâëéïììüèçìá 21: -ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõ ôýìíïíôáé áðü åõèåßá - èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ

2

3 2 ÂéâëéïìÜèçìá Ç Ýííïéá ôçò ãùíßáò - Óýãêñéóç ãùíéþí Åßäç ãùíéþí - ÌÝôñçóç ãùíéþí ÅöåîÞò ãùíßåò - ÐáñáðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò ÊáôÜ êïñõöþí ãùíßåò Ποιά είναι η έννοια της γωνίας; ύο ηµιευθείες µε κοινή αρχή χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές, που καθεµία από αυτές ονοµάζεται γωνία. Οι ηµιευθείες αυτές ονοµάζονται πλευρές της γωνίας και η κοινή τους αρχή ονοµάζεται κορυφή της γωνίας. Για να δηλώσουµε ποια από τις δύο γωνίες εννοούµε γράφουµε µέσα στη γωνία ένα µικρό τόξο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. x Με ποιούς τρόπους συµβολίζουµε µια γωνία; O y x Μια γωνία συµβολίζεται µε τρεις τρόπους: α. Με τρια γράµµατα, προσέχοντας το µεσαίο γράµµα να είναι κορυφή της γωνίας. π.χ. ˆ xoy ή ˆ yox O ù y x β. Με ένα µικρό γράµµα. π.χ. ˆω γ. Με το γράµµα της κορυφής, εφόσον η γωνία δε χωρίζεται O y από άλλη ηµιευθεία σε περισσότερα µέρη. π.χ. ˆΟ Με ανάλογους τρόπους συµβολίζουµε τις γωνίες ενός πολυγώνου. π.χ. τριγώνου ή τετραπλεύρου.

4 242. Οι γωνίες Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Η γωνία ˆΑ (ή ΒΑΓ ˆ ) ονοµάζεται περιεχόµενη στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ. Οµοίως η ˆΒ είναι περιεχόµενη στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ, και η ˆΓ είναι περιεχόµενη στις πλευρές ΑΓ και ΓΒ. Οι γωνίες ˆΒ και ˆΓ ειναι προσκείµενες στην πλευρά ΒΓ. Οµοίως οι ˆΑ και ˆΒ προσκείµενες στην πλευρά ΑΒ και οι ˆΑ και ˆΓ προσκείµενες στην πλευρά ΑΓ. Η πλευρά ΒΓ είναι απέναντι από την γωνία ˆΑ, η ΑΓ απέναντι από τη γωνία ˆΒ και η ΑΒ απένταντι από τη γωνία ˆΓ. Πώς συγκρίνουµε δύο γωνίες; Για να συγκρίνουµε δύο γωνίες ΑΟΒ ˆ και ΓΚ ˆ χρησιµοποιούµε διαφανές χαρτί. Αποτυπώνουµε την ΑΟΒ ˆ στο διαφανές χαρτί και τοποθετούµε το αποτύπωµα πάνω στη γωνία ΓΚ ˆ, έτσι ώστε το Ο να συµπέσει µε το Κ και η πλευρά ΟΒ µε την Κ. ιακρίνουµε τρεις περιπτώσεις: α. Οι πλευρές ΟΑ και ΚΓ να συµπέσουν οπότε οι γωνίες είναι ίσες, και γράφουµε: ΑΟΒ ˆ = ΓΚ ˆ Ï Ê A Ã B Ä β. Η πλευρά ΚΓ να βρεθεί µέσα στη γωνία AOB ˆ οπότε η γωνία ΓΚ ˆ είναι µικρότερη από τη γωνία AOB ˆ, γράφου- µε: ΓΚ ˆ < ΑΟΒ ˆ Ï Ê Ã A B Ä γ. Η πλευρά ΚΓ να βρεθεί έξω από τη γωνία ΑΟΒ ˆ προς το µέρος της πλευράς ΟΑ οπότε η γωνία ΓΚ ˆ ειναι µεγαλύτερη από τη γωνία ΑΟΒ ˆ, και γράφουµε: ΓΚ ˆ > ΑΟΒ ˆ Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

5 Οι γωνίες 243. á. Πώς διακρίνονται τα τρίγωνα µε βάση τις πλευρές τους; â. ã. âáóç Τα τρίγωνα διακρίνονται µε βάση τις πλευρές τους σε: α. Σκαληνά, τα οποία έχουν τρεις άνισες πλευρές β. Ισοσκελή, τα οποία έχουν δύο ίσες πλευρές οι οποίες ονοµάζονται σκέλη. Η τρίτη πλευρά ονοµάζεται βάση του ισοσκελούς τριγώνου. Οι προσκείµενες στη βάση, ισοσκελούς τριγώνου, γωνίες είναι ίσες. γ. Ισόπλευρα, τα οποία έχουν τρεις ίσες πλευρές. Οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. Ποια είναι η µονάδα µέτρησης γωνιών; Τις γωνίες συνήθως τις µετράµε σε µοίρες. Μια µοίρα υποδιαιρείται σε 6 πρώτα λεπτά (6 ). Ένα λεπτό υποδιαιρείται σε 6 δευτερόλεπτα (6 ). ηλαδή: ,1' 6" ο = = = Ποια είναι τα είδη των γωνιών; α. Ορθή: Είναι η γωνία που οι πλευρές της είναι κάθετες. Κάθε ορθή γωνία είναι 9. Εποµένως όλες οι ορθές γωνίες είναι µεταξύ τους ίσες. β. Οξεία: Είναι µια γωνία µικρότερη της ορθής. Μια οξεία γωνία είναι µεγαλύτερη από και µικρότερη από 9. γ. Ευθεία: Είναι µια γωνία που οι πλευρές της είναι αντικεί- µενες ηµιευθείες. Μια ευθεία γωνία είναι 18. Όλες οι ευθείες γωνίες είναι µεταξύ τους ίσες. δ. Αµβλεία: Είναι µια γωνία µεγαλύτερη της ορθής και µικρότερη της ευθείας γωνίας. ηλαδή η αµβλεία γωνία είναι µεγαλύτερη από 9 και µικρότερη από 18. ε. Πλήρης: Είναι µια γωνία που οι πλευρές της συµπίπτουν και περιέχει όλο το επίπεδο. Μια πλήρης γωνία είναι 36. Όλες οι πλήρεις γωνίες είναι ίσες. Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

6 244. Οι γωνίες Τι ονοµάζεται διχοτόµος µιας γωνίας; Να σχεδιάσετε µια ορθή γωνία και να φέρετε τη διοχοτό- µο της. Πόσες µοίρες είναι καθεµία από τις γωνίες που σχηµατίζονται; ιχοτόµος µιας γωνίας είναι η ηµιευθεία που χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες. Στο διπλανό σχήµα η Οz είναι η διχοτόµος της γωνίας xoy ˆ και ισχύει ότι: xoy ˆ xoz ˆ = zoy ˆ = 2 Η Οz είναι διχοτόµος της ορθής ˆ xoy και ισχύει ότι: ˆ ˆ ˆ xoy 9 xoz = zoy = = = Ποιες γωνίες ονοµάζονται εφεξής; Ποιο το άθροισµα δύο εφεξής γωνιών; ύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, µια κοινή πλευρά και κανένα άλλο κοινό σηµείο ονοµάζονται εφεξής γωνίες, π.χ. Οι γωνίες xoy ˆ και yoz ˆ έχουν κοινή κορυφή το σηµείο Ο, κοινή πλευρά την Oy και κανένα άλλο κοινό ση- µείο. Αντίθετα οι γωνίες xoz ˆ και xoy ˆ έχουν κοινή κορυφή το σηµείο Ο, κοινή πλευρά την Οx αλλά έχουν κοινά σηµεία όλα τα σηµεία που περιέχονται στη xoy ˆ. Άρα δεν είναι εφεξής. Το άθροισµα των εφεξής γωνιών ˆ xoz. Στο διπλανό σχήµα είναι: ˆ xoy και ˆ xoz = ˆ yoz είναι η = 8 Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

7 Οι γωνίες 245. α. Ποιές γωνίες ονοµάζονται παραπληρωµατικές; Ποιά είναι η παραπληρωµατική της γωνία των 5, των 9, και των 12 ; β. Ποιές γωνίες ονοµάζονται συµπληρωµατικές; Ποιά ειναι η συµπληρωµατική της γωνία των 3 ; α. ύο γωνίες που έχουν άθροισµα 18 ονοµάζονται παραπληρωµατικές. Η παραπληρωµατική της ˆ xoz είναι η ˆ yoz και αντιστρόφως η παραπληρωµατική της yoz ˆ η xoz ˆ. Η παραπληρωµατική της γωνίας των 5 είναι 18 5 = 13, της γωνίας των 9 είναι η Η παραπληρωµατική µιας γωνίας ˆω συµβολίζεται ως ˆ 18 ω. Τρεις ή περισσότερες γωνίες µε άθροισµα 18 δεν είναι παραπληρωµατικές = 9 και των 12 είναι = 6. β. ύο γωνίες που έχουν άθροισµα 9 ονοµάζονται συ- µπληρωµατικές. Η συµπληρωµατική της ˆ zoy και αντιστρόφως, η συµπληρωµατική της ˆ xoz είναι η ˆ zoy είναι ˆ xoz. Η συµπληρωµατική της γωνίας των 3 είναι 9 3 = 6. Η συµπληρωµατική µιας γωνίας ˆω συµβολίζεται ως ˆ 9 ω. Ποιές γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν; Ποιά σχέση συνδέει δύο κατακορυφήν γωνίες; ύο γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν όταν οι πλευρές της µιας είναι αντικείµενες ηµιευθείες των πλευρών της άλλης. Οι γωνίες ˆα και ˆβ του διπλανού σχήµατος καθώς και η ˆγ και ˆδ είναι κατακορυφήν. ύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

8 246. Οι γωνίες Να ονοµασετε όλες τις γωνίες του σχήµατος: Στο παραπάνω σχήµα υπάρχουν οι γωνίες: i. ˆ xoy ή iii. ˆ yoz ή AOB ˆ ή ˆα, ii. xoz ˆ ή ˆ BOΓ ή ˆγ ˆ ΑOz ή ˆβ, Στο τρίγωνο ΠΡΣ να βρείτε: α. Ποιες γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΠΡ. β. Ποιά γωνία περιέχεται στις πλευρές ΠΡ και ΠΣ. γ. Ποιά γωνία βρίσκεται απέναντι από την πλευρά ΡΣ. α. Στην πλευρά ΠΡ προσκείµενες είναι οι γωνίες ˆ ΣΠΡ (ή ˆΠ ) και β. Στις πλευρές ΠΡ και ΠΣ περιέχεται η γωνία ΡΠΣ ˆ (ή ˆΠ ). γ. Απέναντι από την πλευρά ΡΣ βρίσκεται η γωνία ΡΠΣ ˆ (ή ˆΠ ). Να βρείτε πόσες µοίρες είναιη γωνία που είναι: ˆ ΠΡΣ (ή ˆΡ ) α. το 1 3 της ορθής β. τα 2 5 της ορθής γ. το 1 4 της ευθείας γωνίας Η γωνία που είναι: α. το 1 3 της ορθής είναι: 1 9 = 3 β. τα της ορθής είναι: = 5 γ. τα 1 4 της ευθείας γωνίας είναι: 1 18 = 45 4 Γενικά τα κ λ µιας γωνίας ˆω ειναι ίσα µε: κ ˆ ω λ Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

9 Οι γωνίες 247. Να κατασκευάσετε µια γωνία 33. Με το µοιρογνωµόνιο µπορούµε να κατασκευάσουµε γωνίες µέχρι 18. Η γωνία των 33 είναι µεγαλύτερη από 18, οπότε κάνουµε το εξής: αφαιρούµε τις 33 από τις 36, δηλαδή = 3, και κατασκευάζουµε γωνία 3, τη xoy ˆ. Με κορυφή το Ο και πλευρές την Οx και την Οy σχηµατίζονται δύο γωνίες µε άθροισµα 36, µια 3 και µια 33. Να φέρετε τη διχοτόµο της γωνίας Â στο διπλανό τρίγωνο: Με το µοιρογνωµόνιο µετράµε τη γωνία Â. Η γωνία Â = 7. Όπως γνωρίζουµε η διχοτόµος θα χωρίσει τη γωνία µας σε ˆ 7 δύο ίσες γωνίες που κάθε µια θα είναι Α = = Με πλευρά την ΑΒ και κορυφή το Α κατασκευάζουµε µια γωνία 35. Η πλευρά Α της γωνίας των 35 είναι η διχοτόµος της γωνίας Â. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆ ˆ Α=5,Β=7 και ΑΒ = 5cm. Σχεδιάζουµε πρώτα ένα ευθύγραµµο τµήµα 5cm και το ονοµάζουµε ΑΒ. Με το µοιρογνωµόνιο κατασκευάζουµε τη γωνία ˆ ABx = 7, και στη συνέχεια τη γωνία BAy ˆ = 5. Το σηµείο που τέµνονται οι ηµιευθείες Αy και Βx είναι η κορυφή ˆΓ, Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 2cm, AΓ =3cm και ˆ A=5. Κατασκευάζουµε µια γωνία xay ˆ = 5. Πάνω στην Αx παίρνουµε τµήµα ΑΓ ίσο µε 3cm και πάνω στην Ay τµήµα ΑΒ ίσο µε 2cm. Ενώνουµε τα Γ και Β και προκύπτει το ζητούµενο τρίγωνο ΑΒΓ. Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

10 248. Οι γωνίες Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: ˆ ÐáñáðëçñùìáôéêÞ ôçò ˆ 15 o 9 o 3 o Παρατηρούµε ότι όταν η ˆω είναι οξεία γωνία η παραπληρωµατική της είναι αµβλεία, όταν η ˆω είναι ορθή η παραπληρωµατική της είναι ορθή, και όταν η ˆω είναι αµβλεία η παραπληρωµατική της είναι οξεία. Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και παραπληρωµατικές που η µια να είναι 2. Κατασκευάζουµε µια γωνία xoy ˆ = 2. Φέρνουµε την αντικείµενη ηµιευθεία Οz της Οy. Η γωνία xoz ˆ είναι η παραπληρωµατική της xoy ˆ και είναι 18 2 = 16. Να σχεδιάσετε δύο γωνίες εφεξής και συµπληρωµατικές που η µια να είναι 2. Κατασκευάζουµε για γωνία xoy ˆ = 2. Φέρνουµε την κάθετη Οz στην Οy στο σηµείο Ο. Η xoz ˆ είναι συµπληρωµατική της xoy ˆ και είναι 9 2 = 7. Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

11 Οι γωνίες 249. ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι κατά 2 µικρότερη από την άλλη, να υπολογιστούν οι γωνίες. Έστω ˆx η µια γωνία οπότε η άλλη θα είναι ˆx 2. Επειδή είναι παραπληρωµατικές, το άθροισµα τους θα είναι 18. Έτσι έχουµε: xˆ + xˆ 2 = 18 2xˆ 2 = 18 2xˆ = xˆ = 2 ˆx = 1 Άρα η µία θα είναι 1 και η άλλη 1 2 = 8. ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι διπλάσια από την άλλη, να υπολογιστούν οι γωνίες. Αν ˆx η µία γωνία, η άλλη θα είναι 2x ˆ. Επειδή είναι παραπληρωµατικές το άθροισµα τους θα είναι 18. Έτσι έχουµε: xˆ + 2xˆ = 18 3xˆ = 18 ˆx = 18 :3 ˆx = 6 Άρα η µια θα είναι 6 και η άλλη 2 6 = 12 Να υπολογιστούν οι γωνίες α, ˆ β, ˆ φ ˆ και ˆω του διπλανού σχήµατος. Η ˆφ = 4 ως κατακορυφήν µε την γωνία των 4. Η ˆω= 35 ως κατακορυφήν µε την γωνία των 35. Η 4, η ˆω και η ˆβ σχηµατίζουν ευθεία γωνία και έτσι θα έχουν άθροισµα 18, δηλαδή: ˆ 4 +ω+β= ˆ 18 ˆ β= 18 ˆ 75 +β= 18 ˆ β= Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

12 25. Οι γωνίες ˆ 15 β= Επίσης η ˆα = 15 ως κατακορυφήν γωνία της ˆβ. Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆω και ˆφ του διπλανού σχή- µατος. Τι παρατηρείτε για την Κz; Η ˆφ = 8 ως κατακορυφήν γωνία της γωνίας των 8. Οι γωνίες 8, ˆω και 5 σχηµατίζουν ευθεία γωνία, άρα θα έχουν άθροισµα 18. ηλαδή: 8 +ω+ ˆ 5 = 18 ω+ ˆ 13 = 18 ω= ˆ ω= ˆ 5 Παρατηρούµε ότι η ˆω και η γωνία των 5 είναι ίσες. Άρα η Κz είναι διχοτόµος της γωνίας x Ky ˆ. Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

13 Οι γωνίες Να ονοµάσετε όλες τις γωνίες στα παρακάτω σχήµατα. 2. Να κατασκευάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο ΚΛΜ, και να βρείτε: α. Ποιά πλευρά είναι απέναντι από τη γωνία ˆΜ β. Ποιές γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΚΛ. γ. Ποιά γωνία είναι περιεχόµενη των πλευρών ΚΜ και ΛΜ. 3. Να βρείτε πόσες µοίρες είναι η γωνία που είναι: α. 1 ˆα = της ορθής β. 1 5 ˆβ = της ορθής γ. ˆγ = 3 ορθές Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ = 9 o, ΑΒ = 3cm και ΑΓ = 4cm. 5. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΒ 4 o =, ˆΓ= 6 o και ΒΓ = 4cm. 6. Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες: Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

14 252. Οι γωνίες 7. ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι εννιαπλάσια της άλλης, να υπολογιστούν οι γωνίες. 8. ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι κατά 1 µεγαλύτερη της άλλης, να υπολογιστούν οι γωνίες. 9. ύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Αν η µια είναι η συµπληρωµατική της γωνίας των 2, να βρεθεί η άλλη. 1. ύο γωνίες είναι συµπληρωµατικές. Αν η µία είναι η µισή της άλλης, να υπολογιστούν οι γωνίες. 11. ύο γωνίες είναι συµπληρωµατικές. Αν η µία είναι κατά 2 µικρότερη από την άλλη, να υπολογιστούν οι γωνίες. 12. Στο διπλανό σχήµα να γράψετε τα ζεύγη α. των εφεξής γωνιών β. των κατακορυφήν γωνιών 13. Στο διπλανό σχήµα η Οz είναι διχοτόµος της γωνίας xoy ˆ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του σχήµατος. 14. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστεί η γωνία ˆφ. Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

15 Οι γωνίες Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστεί η γωνία ˆω. 16. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστούν οι γωνίες ˆx,φ ˆ και ˆω. 17. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστούν οι γωνίες ˆx,ωˆ και ˆφ. 18. Στο διπλανό σχήµα να υπολογιστούν οι γωνίες ˆ ˆ ω,φ και ẑ Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

16 254. Οι γωνίες Ερώτηση 1 α. Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται τα τρίγωνα µε βάση τις πλευρές τους; β. Να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, τέτοιο ώστε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη βάση να είναι ορθή και κάθε µια από τις ίσες πλευρές του να είναι 3cm. Πόσες µοίρες είναι κάθε µια από τις ίσες γωνίες του; Ερώτηση 2 α. Ποιες γωνίες ονοµάζονται εφεξής; Να σχεδιάσετε δύο εφεξής και παραπληρω- µατικές γωνίες που η µία να είναι 72 ο. β. Ποιες γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν; Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες που η µία να είναι 28 ο. Πόσες µοίρες θα είναι η άλλη; Άσκηση 1 Στο διπλανό σχήµα η γωνία ˆα είναι ίση µε τα 2 5 της ορθής. Να υπολογιστούν οι γωνίες ω, ˆ y ˆ και ˆx. x á y ù Άσκηση 2 Στο διπλανό σχήµα η Οz είναι διχοτόµος της γωνίας x Οy, η Οy είναι διχοτόµος της γωνίας xοy, και η o γωνία xoy ˆ = 6. Να υπολογιστεί η γωνία zoy ˆ. Τι συ- µπεραίνετε για τις διχοτόµους των εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών ˆ x Οy και ˆ xοy. x z y Ï 6 y x Άσκηση 3 Στο διπλανό σχήµα η γωνία ˆα είναι συµπληρωµατική της γωνίας των 3 ο, και η ˆβ είναι διπλάσια από τη ˆγ. Να υπολογιστούν οι γωνίες που είναι σηµειωµένες στο σχήµα. æ å â ä á ã Η έννοια της γωνίας - Σύγκριση γωνιών - Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών - Εφεξής γωνίες - Παραπληρωµατικές γωνίες - Κατα κορυφήν γωνίες

17 21 ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõ ôýìíïíôáé áðü åõèåßá èñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ ÂéâëéïìÜèçìá Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία. â á ã ä Ê å å 1 Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε 1 είναι παράλληλες και τέµνονται από την ε. Από τις οκτώ γωνίες α,β, ˆ ˆ γ,δ,ε,ζ,η,θ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ τέσσερις έχουν κορυφή το Κ και τέσσερις κορυφή το Λ. Αν από τις πιο πάνω γωνίες πάρουµε ένα ζεύγος µε κορυφή το Κ ή ένα ζεύγος µε κορυφή το Λ παρατηρούµε οτι οι γωνίες του ζεύγους είναι ίσες µεταξύ τους ή παραπληρωµατικές αφού είναι κατακορυφήν ή εφεξής µε άθροισµα µια ευθεία γωνία. æ ç å è Ë å 2 Στο ίδιο σχήµα ποιούς χαρακτηρισµούς χρησιµοποιούµε για να ονοµάσουµε κάποια από τα ζεύγη γωνιών που αποτελούνται από µια γωνία µε κορυφή το Κ και µια γωνία µε κορυφή το Λ; α. Εντός εναλλάξ: είναι το ζεύγος των γωνιών που βρίσκονται µεταξύ (εντός) των παραλλήλων και εκατέρωθεν της τέµνουσας. Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. Στο σχήµα εντός εναλλάξ είναι τα ζεύγη: ˆγ,εˆ και ζ,δ ˆˆ β. Εντός, εκτός και επί τ αυτά: είναι το ζευγος των γωνιών που µια βρίσκεται µεταξύ (εντός) των παραλλήλων και η άλλη εκτός των παραλλήλων, ενώ και οι δύο βρίσκονται από την ίδια µεριά (επι τ αυτά) της τέµνουσας.

18 256. Οι γωνίες Οι εντός, εκτός και επί τ αυτά γωνίες είναι ίσες. Στο σχήµα εντός, εκτός και επί τ αυτά είναι τα ζεύγη: α,ε ˆ ˆ, δ,θ ˆ ˆ, ˆγ,η ˆ και β,ζ ˆˆ. γ. Οι εντός και επί τ αυτά: είναι το ζεύγος των γωνιών που και οι δύο βρίσκονται µεταξύ (εντός) των παραλλήλων και από την ίδια µεριά (επί τ αυτά) της τέµνουσας. Οι εντός και επί τ αυτά γωνίες είναι παραπληρωµατικές. Στο σχήµα εντός και επί τ αυτά είναι τα ζεύγη: ˆ ˆγ,ζ, και ˆ ˆ δ,ε Παρατηρούµε ότι, µερικά από τα ζεύγη γωνιών όπως τα ζεύγη β,ε ˆ ˆ και β,θ ˆ ˆ δεν µπορούµε να τα χαρακτηρίσουµε µε έναν από τους πιο πάνω τρόπους. Σε τέτοια περίπτωση αν αντικαταστήσουµε την µια εκ των δύο γωνιών του ζεύγους µε την κατακορυφήν της αναγόµαστε σε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις. Όταν δύο ευθείες τέµνονται από τρίτη και οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηµατίζονται είναι ίσες, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Ποιο είναι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου; Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ A=5 και Β = 6. Πόσες µοίρες είναι η γωνία ˆΓ ; B 6 A 5 à Το άθροισµα των γωνιών ενός οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο µε 18. Έτσι ˆ ˆ ˆ Α+Β+Γ= 18 ή Γ ˆ = 18 ή ˆ 11 +Γ= 18 ή ˆ Γ= ή ˆ Γ= 7 Πως διακρίνουµε τα τρίγωνα σύµφωνα µε το είδος των γωνιών τους; Τα τρίγωνα ανάλογα µε το είδος των γωνιών τους διακρίνονται σε: Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

19 Οι γωνίες 257. A α. Ορθογώνια. Είναι τα τρίγωνα που έχουν µία ορθή γωνία και δύο οξείες γωνίες. A B A Ã β. Οξυγώνια. Είναι τα τρίγωνα που έχουν τρεις γωνίες οξείες. B Ã γ. Αµβλυγώνια. Είναι τα τρίγωνα που έχουν µία γωνία αµβλεία και δύο οξείες γωνίες. B Ã Υπάρχει τρίγωνο µε δύο ορθές γωνίες; Υπάρχει τρίγωνο µε δύο αµβλείες γωνίες; Υπάρχει τρίγωνο µε µια ορθή και µια αµβλεία γωνία; B B A A Ã Ã Σε καµία από τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο, γιατί σε κάθε τρίγωνο το άθροισµα των γωνιών του είναι 18. Στην πρώτη περίπτωση, αν το τρίγωνο έχει δύο ορθές γωνίες τότε το άθροισµα των τριών γωνιών του θα ήταν µεγαλύτερο των 18. Στη δεύτερη περίπτωση επειδή κάθε αµβλεία είναι µεγαλύτερη από 9, το άθροισµα των δύο αµβλειών υ- περβαίνει τις 18. Στην τρίτη περίπτωση η ορθή είναι ίση µε 9, η αµβλεία πάνω από 9, άρα το άθροισµα του θα είναι µεγαλύτερο από 18. Πόσες µοίρες είναι κάθε γωνία ενός ισοπλεύρου τριγώνου; Πόσες µοίρες είναι κάθε µια από τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου; Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες, και επειδή το άθροισµά τους είναι 18, η καθεµία θα είναι: 18 : 3 = 6. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι το άθροισµα των γωνιών του είναι 18. Αφού η µία είναι ορθή το άθροισµα των δύο οξειών γωνιών θα είναι 18 9 = 9. Επειδή το τρίγωνο είναι και ισοσκελές, οι οξείες θα είναι ίσες. Έτσι καθεµία θα είναι 9 : 2 = 45. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

20 258. Οι γωνίες Στο διπλανό σχήµα οι ε 1 είναι παράλληλες, και τέµνονται από την ε. Να βρείτε όλα τα ζευγη: α. των εντός εναλλάξ γωνιών. β. των εντός, εκτός και επι τ αυτά γωνιών. γ. των εντός και επι τ αυτά γωνιών. Εντός εναλλάξ γωνίες: ẑ,β ˆ και α, ˆ ωˆ Εντός εκτός και επι τ αυτά γωνίες: Εντός και επι τ αυτά γωνίες: α,z ˆ ˆ και ˆ ˆx,α και ˆ ˆω,β. ˆ ŷ,β και ẑ,δ ˆ και ω, ˆ γ ˆ. Στο διπλανό σχήµα οι ε 1 είναι παράλληλες και τέµνονται από την ε. Αν α=55 ˆ να υπολογιστούν οι υπόλοιπες γωνίες του σχήµατος. Είναι ˆγ = 55 ως κατακορυφήν γωνία της ˆα. ˆβ = = 125 ως παραπληρωµατική της ˆα. ˆδ= 125 ως κατακορυφήν γωνία της ˆβ. ˆη= 55 ως εντός εναλλάξ γωνία µε τη ˆγ από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ε. ˆζ = 125 ως εντός εναλλάξ γωνία µε τη ˆδ από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ε. ˆθ = 55 ως εντός, εκτός και επι τ αυτά γωνία µε τη ˆγ από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ε. ˆι = 125 ως εντός, εκτός και επι τ αυτά γωνία µε τη ˆδ από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ε. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

21 Οι γωνίες 259. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ η γωνία ˆ Α=4. Να βρεθούν οι γωνίες ˆΒ και ˆΓ Όπως είναι γνωστό οι προσκείµενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες, δηλαδή Β=Γ. ˆ ˆ Επειδή ˆ ˆ ˆ Α+ Β+ Γ = 18 έχουµε: ˆ ˆ 4 + Β+ Β= 18 ˆ 4 + 2Β= 18 ˆ 2Β = 18 4 ˆ 2Β = 14 ˆΒ = 14 : 2 Έτσι είναι ˆΒ= 7 και ˆΓ = 7 Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η ˆ Α=3 και η ˆΒ είναι διπλάσια από τη ˆΓ. Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆΒ και ˆΓ. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει; Έστω ˆx η γωνία ˆΓ τότε ˆΒ= 2x. Επειδή ˆ ˆ ˆ Α+ Β+ Γ = 18 έχουµε 3 + 2xˆ + xˆ = xˆ = 18 3xˆ = xˆ = 15 ˆx = 15 :3 οπότε ˆx = 5 Άρα η ˆΓ = 5 οπότε η ˆΒ= 2 5 = 1. Από τα προϋγούµενα βλέπουµε ότι το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο µε αµβλεία τη ˆΒ. Σε ισοσκελές τριγώνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ, η γωνία ˆΑ είναι διπλάσια από τη ˆΒ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει; Αν x η γωνία ˆΒ τότε και η ˆΓ θα είναι ίση µε x, αφού είναι προσκείµενη µε τη ˆΒ στη βάση ισοσκελούς τριγώνου και η Â θα είναι 2x. Επειδή Αˆ + Βˆ + Γˆ = 18 έχουµε 2x+ x+ x = 18 4x = 18 Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

22 26. Οι γωνίες x = 18 :4 x = 45 Άρα η ˆΒ= 45, η ˆΓ= 45 και η ˆΑ = 2 45 = 9. Από τα προϋγούµενα συµπαιρένουµε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ορθογωνίο. Στο παρακάτω τρίγωνο η Β είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΒ και η ˆ Α=6. Να υπολογιστεί η γωνία ˆΓ. Η Β είναι διχοτόµος της ˆΒ, άρα ˆ ˆ ΓΒ = ΒΑ = 25. Έτσι η γωνία ΑΒΓ ˆ = Βˆ = 2 25 = 5. Επειδή Αˆ + Βˆ + Γˆ = 18 έχουµε ˆ Γ= 18 ˆ 11 + Γ = 18 ˆΓ = 18 11, άρα ˆΓ= 7. Στο σχήµα οι ε 1 είναι παράλληλες. Να υπολογιστεί η γωνία ˆα και η γωνία ˆω. Είναι ˆα= 7 ως εντός εναλλάξ γωνία µε τη ΒΑΓ ˆ από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ε 3. Στο τρίγωνο ΚΓ ισχύει: ˆ ˆ ˆ Κ + Γ + = 18 οπότε ˆΚ = 18 ˆΚ+ 13 = 18 ˆΚ = ˆΚ = 5 Επειδή η ˆω είναι παραπληρωµατική της γωνίας ˆΚ του τριγώνου ΚΓ θα ισχύει ˆω = 18 5 = 13 Στο παρακάτω σχήµα οι ε 1 είναι παράλληλες, και τέµνονται από τις ε 3, ε 4. Να υπολογιστούν οι γωνίες κ,λ,µ ˆ ˆ ˆ του τριγώνου. Είναι ˆλ = 5 ως κατακορυφήν µε γωνία 5 και ˆµ = 6 ως εντός εκτός και επι τ αυτά µε γωνία 6 από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ε 4. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

23 Οι γωνίες 261. Στο τρίγωνο που σχηµατίζεται θα ισχύει: κˆ + λ ˆ + µ ˆ = 18 ˆκ = 18 ˆκ+ 11 = 18 ˆκ = Άρα Στο διπλανό σχήµα οι ε 1,ε 2 και ε 3 είναι παράλληλες. Να υπολογιστεί η γωνία ˆ ABΓ. ˆκ = 7 Η ˆφ = 5 ως εντός και επί τ αυτά µε την 13 από τις παράλληλες ε 2 και ε 3 που τέµνονται από την ΒΓ. Η ˆω είναι εντός εναλλάξ µε την 11 (από τις παράλληλες ε 1 που τέµνονται από την ΑΒ) άρα ˆω= 11. Ισχύει ότι: ABΓ ˆ = φˆ + ωˆ είναι : ˆ ΑΒΓ = ˆ ΑΒΓ = Σ ένα τρίγωνο ΚΛΜ η ˆΚ είναι διπλάσια από τη ˆΛ και τη ˆΜ τριπλάσια από τη ˆΛ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΚΛΜ. Τί είδους είναι το τρίγωνο; 2. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η ˆΑ = 3 και η ˆΒ είναι ίση µε το µισό της ˆΓ. Να υπολογιστούν οι γωνίες ΑΒΓ. Τί είδους είναι το τρίγωνο; Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

24 262. Οι γωνίες 3. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ η ˆΒ είναι διπλάσια από την ˆΑ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει; 4. Σ ένα τρίγωνο ΠΡΣ η γωνία ˆΠ είναι ίση µε τα 2 3 της ορθής και η ˆΡ είναι διπλάσια της ˆΣ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΠΡΣ. 5. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστεί η γωνία ˆx σε κάθε περίπτωση. 6. Στο διπλανό σχήµα οι ε 1 είναι παράλληλες. Να υπολογιστεί η γωνία ˆφ. 7. Στο διπλανό σχήµα οι ΑΒ και Γ είναι παράλληλες. Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆφ και ˆα. 8. Στο διπλανό σχήµα είναι ε 1//ε 2 //ε 3. Να υπολογιστεί η γωνία ˆα. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

25 Οι γωνίες Στο διπλανό σχήµα είναι ε 1//ε 2 //ΛΖ. Αν η ΛΖ είναι η διχοτόµος της γωνίας ˆ ΚΛΜ, να βρεθεί η γωνία ˆω. 1. Στο διπλανό σχήµα αν ΚΛ = ΚΜ, να υπολογιστούν οι γωνίες των τριγώνων ΚΛΜ και ΜΝ. 11. Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο Β Γ είναι ισόπλευρο, ΑΒ // ΕΓ και ΑΕ // Β. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒ Ε. 12. Στο διπλανό σχήµα οι ΒΓ και Ε είναι πράλληλες. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΒΓΕ. 13. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΒΓ είναι ισοσκελές µε ΒΓ = Β, και οι ε 1 είναι παράλληλες. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΒΓ. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

26 264. Οι γωνίες Ερώτηση 1 α. Σε ποιές κατηγορίες διακρίνονται τα τρίγωνα σύµφωνα µε το είδος των γωνιών. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές αµβλυγώνιο και ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο. β. Να εξηγήσετε γιατί ένα τρίγωνο δε µπορεί να έχει δύο ορθές ή δύο αµβλείες γωνίες. Ερώτηση 2 Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε 1 είναι παράλληλες και τέµνονται από την ε 3. α. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εντός, εκτός και επι τ αυτά γωνιών που σχηµατίζονται. Ποιά σχέση συνδέει τις γωνίες. β. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εντός και επι τ αυτά γωνιών που σχηµατίζονται. Ποιά σχέση συνδέει τις γωνίες; γ. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εντός εναλλάξ γωνιών που σχηµατίζονται. Ποιά σχέση συνδέει τις γωνίες; Άσκηση 1 Στο διπλανό σχήµα είναι ε//ε 1 2 και ΑΒ // Ε. Η γωνία ˆα= 4 ο, και η ˆγ είναι τριπλάσια της ˆα. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

27 Οι γωνίες 265. Άσκηση 2 Στο διπλανό σχήµα ε//ε 1 2 και ΑΓ // ΒΕ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου Β Ε. Τι είδους τρίγωνο είναι το Β Ε; Ä Æ B A E Ã å 1 å 2 Άσκηση 3 Στο διπλανό σχήµα είναι ε//ε. 1 2 Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ = ΑΓ, και η γωνία ˆΑ είναι διπλάσια της γωνίας ˆΓ. Να υπολογιστεί η γωνία ˆω που είναι σηµειωµένη στο σχήµα. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από ευθεία - Άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου

28

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1 2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï ï Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις πρωταρχικές έννοιες της Γεωµετρίας (σηµείο,ευθεία, επίπεδο). Να γνωρίζει τα

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 4 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Σελίδα 19: Α Γυμνασίου, Μέρος Β,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 50. Ύλη: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Θέμα 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε κυκλικό δίσκο; (5 μον.)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 50. Ύλη: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Θέμα 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε κυκλικό δίσκο; (5 μον.) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 50 Ον/μο:.. Α Γυμνασίου Ύλη: Βασικές γεωμετρικές έννοιες 13-02-17 Θέμα 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε κυκλικό δίσκο; (5 μον.) Β. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις μιας ευθείας κι ενός κύκλου;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές - 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΓΩΝΙΩΝ

1.5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΓΩΝΙΩΝ 1 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΩΡΙ Μονάδα µέτρησης γωνιών : Είναι η 1 µοίρα που γράφεται 1 ο Υποδιαιρέσεις της 1 ο : 1 ο = 60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 ( δεύτερα λεπτά) 3. Μέτρο γωνίας : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ. 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Το σημείο το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Λέμε: το σημείο Α.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Το σημείο το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Λέμε: το σημείο Α. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΝΟΜΑΣΙΕΣ Σημείο Το σημείο το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Λέμε: το σημείο Α. Ευθύγραμμο τμήμα Το ευθύγραμμο τμήμα, το ονομάζουμε με δύο κεφαλαία γράμματα (των σημείων που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s

Διαβάστε περισσότερα

4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò

4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò 3 o ìüèçìá Ôñßãùíá Â Ï Á o 3 ÊåöÜëáéï 4 o ìüèçìá Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò O 3 Τρίγωνα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός - Κύρια στοιχεία τριγώνου Τρίγωνο ονοµάζεται ένα πολύγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Σημειώσεις στη Γεωμετρία Α Γυμνασίου

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Σημειώσεις στη Γεωμετρία Α Γυμνασίου 1. Γωνία Ο Δημήτρης ζωγράφισε ένα δέντρο στο δωμάτιο του. Το δέντρο απλώνει τα κλαδιά του στα δυο επίπεδα των τοίχων του δωματίου και στο επίπεδο της οροφής. Στη γωνία αυτή θα τοποθετήσει όλα τα παιχνίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία.

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. ΜΑΘΗΜΑ 2 Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. Κυρτή γωνία ή απλά γωνία λέγεται το σχήμα που συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ίου σεις Θεωρίας Ερωτήσ Επιµέλεια

ίου σεις Θεωρίας Ερωτήσ Επιµέλεια ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυµνασί ίου Ερωτήσ σεις ς Επιµέλεια Θ Ε Μ Ε Λ Η Σ Ε Υ Ρ Ι Π Ι Η Σ 1 ο Κεφάλαιο Φυσικοί Αριθµοί 1.1 Φυσικοί αριθµοί ιάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 1. Ποιοι φυσικοί αριθµοί ονοµάζονται άρτιοι

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ Προαγωγικές εξετάσεις στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 214-215 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο Α. ΘΕΩΡΙΑ Α. Να γράψετε με πιο σύντομο τρόπο τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

B τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009

B τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Αν ισχύει ότι 4x 5y = 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης Η

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Ορθογώνιο (version )

Ορθογώνιο (version ) Ορθογώνιο (version --06) Ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές (ως

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί

Διαβάστε περισσότερα