ΚΔΦΑΛΑΗΟ 2: O ΜΔΣΑΥΖΜΑΣΗΜΟ FOURIER

Transcript

1 ΚΔΦΑΛΑΗΟ 2: O ΜΔΣΑΥΖΜΑΣΗΜΟ FOURIER 2.1 Οξηζκόο θαη ηδηόηεηεο 2.1α Οξηζκόο Α. ΖΜΑΣΑ ΤΝΔΥΟΤ ΥΡΟΝΟΤ Δίπακε ζην πξνεγνύκελν Κεθάιαην όηη, γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηνπ θάζκαηνο ελόο πξαγκαηηθνύ κε πεξηνδηθνύ ζήκαηνο x(t), ρξεηαδόκαζηε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier απηνύ X(f). Απηόο ζπκβνιίδεηαη κε F{x(t)}, είλαη ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f θαη δίλεηαη από ηε ζρέζε: j2 ft X ( f ) F{ x( t)} x( t) e dt (2.1) αο ζπκίδνπκε όηη είλαη e j2πft =ζπλ2πft+jεκ2πft θαη e j2πft =ζπλ2πft jεκ2πft. Σν πώο από ην αλάπηπγκα ελόο πεξηνδηθνύ ζήκαηνο ζε κηγαδηθή ζεηξά Fourier κεηαβαίλνπκε ζηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier ελόο κε πεξηνδηθνύ ζήκαηνο ην αλαπηύζζνπκε ζην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα Γ. Μεηάβαζε από ηηο κηγαδηθέο ζεηξέο Fourier πεξηνδηθώλ ζεκάησλ ζηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier κε πεξηνδηθώλ ζεκάησλ», ζην ηέινο ηνπ βηβιίνπ. Από ηνλ παξαπάλσ ηύπν (2.1) θαίλεηαη ακέζσο όηη, ελώ ην ζήκα x(t) είλαη πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier απηνύ Υ(f) είλαη κηγαδηθή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f, ε νπνία ππεηζέξρεηαη σο παξάκεηξνο ζην νινθιήξσκα. Ζ ζπρλόηεηα f παίξλεη ζεηηθέο θαη αξλεηηθέο ηηκέο. Δλώ γηα ηνλ ρξόλν t είλαη εύθνιν λα δερηνύκε αξλεηηθέο ηηκέο, γηα ηε ζπρλόηεηα f είλαη πην δύζθνιν. Π. ρ. ηη θπζηθό λόεκα έρεη ε ζπρλόηεηα 5 Hz; Πξνο ην παξόλ, θξαηάκε ηελ f σο κηα καζεκαηηθή κεηαβιεηή, ε νπνία παίξλεη ζεηηθέο θαη αξλεηηθέο ηηκέο. Αξγόηεξα, ζα πεξηνξηζηνύκε κόλν ζηηο ζεηηθέο ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο. Ο παξαπάλσ νξηζκόο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ηζρύεη θαη γηα κηγαδηθά ζήκαηα. Σέηνηα ζήκαηα ρξεζηκνπνηνύληαη ζπρλά ζηηο Σειεπηθνηλσλίεο θαη αιινύ. Δκείο, εδώ, ζα ηνλ εθαξκόδνπκε κόλν ζε πξαγκαηηθά ζήκαηα θαη ζα ην ηνλίδνπκε απηό, γηαηί κεξηθέο από ηηο ηδηόηεηεο πνπ ζα παξνπζηάζνπκε ζηε ζπλέρεηα δελ ηζρύνπλ γηα κηγαδηθά ζήκαηα. Πνιύ ζπρλά, αληί ηεο ζπρλόηεηαο f ρξεζηκνπνηνύκε ηελ θπθιηθή ζπρλόηεηα σ. Σόηε είλαη Υ(σ)=. Καη γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο έρνπκε ρξεζηκνπνηήζεη ην ίδην ζύκβνιν Υ( ), αιιά απηό δελ καο κπεξδεύεη. Φπζηθά, ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ Υ(σ) ιακβάλεηαη από ηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ Υ(f) αλ ζε απηήλ βάινπκε σ/(2π) αληί γηα f θαη ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ Υ(f) ιακβάλεηαη από ηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ Υ(σ) αλ ζε απηήλ βάινπκε 2πf αληί γηα σ. Δκείο κέλνπκε κε ηελ έθθξαζε X(f). 2.1

2 Αλ ην πξαγκαηηθό ζήκα x(t) είλαη ζήκα ηάζεο θαη ην εθαξκόζνπκε ζε κηα αληίζηαζε R=1Χ, ε ζηηγκηαία ηζρύο πνπ απνδίδεηαη ζηελ αληίζηαζε είλαη ίζε κε x 2 (t)/r=x 2 (t)/(1χ), ε νπνία, αλ αγλνήζνπκε ην δήηεκα ησλ κνλάδσλ, είλαη ίζε κε x 2 (t). Όπσο έρνπκε πεη ζηελ Δλόηεηα 1.2 ηνπ Κεθαιαίνπ 1, απηήλ νλνκάδνπκε ζηηγκηαία ηζρύ ηνπ ζήκαηνο x(t). Δπνκέλσο, ζε ρξνληθό δηάζηεκα [t 1, t 2 ] ε ελέξγεηα πνπ ην ζήκα x(t) παξέρεη ζηελ αληίζηαζε είλαη ίζε κε Ε= ζήκα x(t), δει. ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο x(t), είλαη ίζε κε t2 t1 x 2 () t dt. Ζ νιηθή ελέξγεηα πνπ παξέρεη ην E x 2 () t dt. Σα ζήκαηα γηα ηα νπνία ην παξαπάλσ νινθιήξσκα από έσο έρεη πεπεξαζκέλε ηηκή νλνκάδνληαη ελεξγεηαθά ζήκαηα. Τπάξρεη όκσο ελδερόκελν απηό ην νινθιήξσκα λα έρεη άπεηξε ηηκή, νπόηε ην αληίζηνηρν ζήκα νλνκάδεηαη κε ελεξγεηαθό. Παξάδεηγκα ελεξγεηαθνύ ζήκαηνο είλαη ν νξζνγσληθόο παικόο, δει. ην ζήκα πνπ, γηα θάπνην ρξνληθό δηάζηεκα (Σ 1, Σ 2 ), έρεη ηηκή Α θαη, γηα ηηο ππόινηπεο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, έρεη ηηκή 0. Πξνθαλώο, γηα απηό ην ζήκα, έρνπκε Δ νι =Α 2 (Σ 2 Σ 1 ). Γεληθά, θάζε ζήκα πνπ έρεη πεπεξαζκέλε δηάξθεηα θαη νη ηηκέο πνπ παίξλεη είλαη πεπεξαζκέλεο, δει. δελ απεηξίδνληαη, είλαη ελεξγεηαθό ζήκα. Τπάξρνπλ θαη ελεξγεηαθά ζήκαηα άπεηξεο δηάξθεηαο. Παξάδεηγκα είλαη ν εθζεηηθόο παικόο e at u(t), κε a>0, δει. ην ζήκα πνπ, γηα t<0, έρεη ηηκή 0 θαη, γηα t 0, έρεη ηηκή e at. Ζ νιηθή ελέξγεηα απηνύ ηνπ ζήκαηνο είλαη ίζε κε 1/(2a). Αληίζεηα, θάζε πεξηνδηθό ζήκα είλαη κε ελεξγεηαθό. Απηό γηαηί ζε θάζε πεξίνδό ηνπ ην ζήκα έρεη πεπεξαζκέλε ελέξγεηα (ίζε κε ην νινθιήξσκα ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ ζε κηα πεξίνδν). Απηή, όκσο, πνιιαπιαζηαδόκελε επί ηηο άπεηξεο πεξηόδνπο πνπ δηαξθεί ην πεξηνδηθό ζήκα, δίλεη άπεηξε ελέξγεηα. Σν ζήκα x(t) πνπ έρεη ηηκή 0, γηα t<1, θαη ηηκή 1/t, γηα t 1, είλαη ελεξγεηαθό, ελώ ην ζήκα πνπ έρεη ηηκή 0, γηα t<1, θαη ηηκή 1/ t, γηα t 1, είλαη κε ελεξγεηαθό. Σν ζήκα y(t), ην νπνίν, γηα t<0 θαη γηα t>1, είλαη ίζν κε 0 θαη, γηα 0<t<1, είλαη ίζν κε 1/t έρεη πεπεξαζκέλε δηάξθεηα αιιά ζε θάπνην ζεκείν (ην t=0) απεηξίδεηαη. Δίλαη κε ελεξγεηαθό ζήκα. Αληίζεηα, ην ζήκα z (t) πνπ, γηα t<0 θαη γηα t>1, είλαη ίζν κε 0 θαη, γηα 3 0<t<1, είλαη ίζν κε 1/ t έρεη θαη απηό πεπεξαζκέλε δηάξθεηα, γηα t=0 απεηξίδεηαη, αιιά είλαη ελεξγεηαθό ζήκα. Απνδείμηε όια ηα παξαπάλσ. Ηθαλή ζπλζήθε γηα λα ππάξρεη ην νινθιήξσκα (2.1), δει. γηα λα έρεη έλα ζήκα x(t) κεηαζρεκαηηζκό Fourier θαη απηόο λα κελ απεηξίδεηαη, είλαη ην ζήκα x(t) λα είλαη ελεξγεηαθό. Γει. ηα ελεξγεηαθά ζήκαηα έρνπλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier, ππό ηελ απζηεξή καζεκαηηθή έλλνηα. 2.2

3 Έλα ζήκα νλνκάδεηαη απόιπηα νινθιεξώζηκν, αλ ην πεπεξαζκέλε ηηκή. Αλ απηό ην νινθιήξσκα έρεη ηηκή, ην ζήκα νλνκάδεηαη κε απόιπηα νινθιεξώζηκν. Έλα ζήκα πνπ έρεη πεπεξαζκέλε ρξνληθή δηάξθεηα θαη νη ηηκέο ηνπ δελ απεηξίδνληαη, πξνθαλώο είλαη απόιπηα νινθιεξώζηκν. Έλα ζήκα πνπ έρεη άπεηξε δηάξθεηα, κπνξεί λα είλαη κπνξεί θαη λα κελ είλαη απόιπηα νινθιεξώζηκν. Δπίζεο, έλα ζήκα πνπ γηα θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή ή θάπνηεο ρξνληθέο ζηηγκέο απεηξίδεηαη, κπνξεί λα είλαη κπνξεί θαη λα κελ είλαη απόιπηα νινθιεξώζηκν, είηε απηό έρεη πεπεξαζκέλε δηάξθεηα είηε έρεη άπεηξε δηάξθεηα. Απνδεηθλύεηαη όηη, γηα έλα ζήκα πνπ είλαη απόιπηα νινθιεξώζηκν θαη γηα ην νπνίν ηθαλνπνηνύληαη δύν άιιεο επί κέξνπο ζπλζήθεο, νη νπνίεο έρνπλ λα θάλνπλ κε ην πιήζνο ησλ αζπλερεηώλ θαη ην πιήζνο ησλ κεδεληζκώλ πνπ εκθαλίδεη ην ζήκα, ην νινθιήξσκα νξηζκνύ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier απηνύ ηνπ ζήκαηνο ζπγθιίλεη, δει. ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier απηνύ ππάξρεη. Απηέο νη ζπλζήθεο νλνκάδνληαη ζπλζήθεο Dirichlet θαη είλαη ηθαλέο ζπλζήθεο γηα ηελ ύπαξμε κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ελόο ζήκαηνο. ηε βηβιηνγξαθία, αληί ηεο ηθαλήο ζπλζήθεο ην ζήκα λα είλαη απόιπηα νινθιεξώζηκν, ζπρλά αλαθέξεηαη ε ζπλζήθε ην ζήκα λα είλαη ελεξγεηαθό. Σνλίδνπκε όηη απηέο νη ζπλζήθεο είλαη ηθαλέο, γηα λα έρεη έλα ζήκα κεηαζρεκαηηζκό Fourier. Τπάξρνπλ ζήκαηα γηα ηα νπνία ππάξρεη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ρσξίο απηά λα είλαη ελεξγεηαθά ή απόιπηα νινθιεξώζηκα ζήκαηα. Έλα ηέηνην ζήκα είλαη ην έρεη. ε ιίγν ζα ππνινγίζνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier απηνύ, αλ θαη απηό ην ζήκα δελ είλαη απόιπηα νινθιεξώζηκν. Δπίζεο, ππάξρνπλ ζήκαηα, ηα νπνία δελ έρνπλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier, δει. γηα ηα νπνία ην δελ ππάξρεη ή έρεη άπεηξε ηηκή. Παξάδεηγκα ηέηνηνπ ζήκαηνο είλαη ην ζήκα e t ή ην ζήκα e t ζπλt u(t). Δκείο, εξγαδόκελνη πεξηζζόηεξν ή ιηγόηεξν απζηεξά, ζα βξνύκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier θαη νξηζκέλσλ κε ελεξγεηαθώλ ή κε απόιπηα νινθιεξώζηκσλ ζεκάησλ. Σώξα, αο πάκε πίζσ ζηνλ νξηζκό ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Αληηθαζηζηώληαο ζηε ζρέζε (2.1) ην e j2πft κε ην ίζν ηνπ ζπλ2πft jεκ2πft, γηα πξαγκαηηθό ζήκα x(t), έρνπκε X ( f ) x( t) 2 ftdt j x( t) 2 ftdt. Θέηνληαο R( f ) x( t) 2 ftdt θαη I( f ) x( t) 2 ftdt (2.2) παίξλνπκε X(f)=R(f)+jI(f). Σν R(f) είλαη ην πξαγκαηηθό κέξνο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier X(f) ηνπ ζήκαηνο x(t) θαη ην Η(f) είλαη ην θαληαζηηθό κέξνο απηνύ. ηεξηδόκελνη 2.3

4 ζηηο γλσζηέο ηαπηόηεηεο ζπλ( ζ)=ζπλζ θαη εκ( ζ)= εκζ, από ηηο ζρέζεηο (2.2) απνδεηθλύνπκε ακέζσο όηη ηζρύνπλ νη ζρέζεηο R( f)=r(f) θαη I( f)= I(f). Κάληε ην. Δπνκέλσο, ην R(f) είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f θαη ην I(f) είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f. Θπκόκαζηε όηη ην γηλόκελν δύν άξηησλ ή δύν πεξηηηώλ ζεκάησλ είλαη άξηην ζήκα, όηη ην γηλόκελν ελόο άξηηνπ επί έλα πεξηηηό ζήκα είλαη πεξηηηό ζήκα θαη όηη γηα έλα άξηην ζήκα y(t) έρνπκε a a y( t) dt 2 y( t) dt (ην ρσξίν πνπ νξίδεηαη από ηε γξαθηθή a 0 παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) θαη ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ απνηειείηαη από δύν ρσξία πνπ είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ, άξα έρνπλ ίζα εκβαδά), ελώ γηα a έλα πεξηηηό ζήκα y(t) έρνπκε y( t) dt 0 (ην ρσξίν πνπ νξίδεηαη από ηε γξαθηθή a παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) θαη ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ απνηειείηαη από δύν ρσξία πνπ είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, άξα έρνπλ αληίζεηα εκβαδά). Αλ ην ζήκα x(t) είλαη άξηην, ην ζήκα x(t)ζπλ2πft είλαη άξηην θαη ην ζήκα x(t)εκ2πft είλαη πεξηηηό. Έηζη, έρνπκε I(f)= =0. Δπνκέλσο, o κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ελόο άξηηνπ πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο είλαη ίζνο κε X(f)=R(f), ήηνη είλαη πξαγκαηηθή θαη, θπζηθά, άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f. Μάιηζηα, δίλεηαη θαη από ηνλ ηύπν X ( f ) R( f ) 2 x( t) 2 ftdt. Δπίζεο, αλ ην ζήκα x(t) είλαη πεξηηηό, ην ζήκα x(t)ζπλ2πft είλαη πεξηηηό θαη ην ζήκα x(t)εκ2πft είλαη άξηην. Έηζη, έρνπκε R(f)= 0. Δπνκέλσο, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ελόο πεξηηηνύ ζήκαηνο είλαη ίζνο κε X(f)=jI(f), ήηνη είλαη θαληαζηηθή θαη, θπζηθά, πεξηηηή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f. Μάιηζηα, δίλεηαη θαη από ηνλ ηύπν X ( f ) 2 j x( t) 2 ftdt. 0 Γηα έλα νπνηνδήπνηε πξαγκαηηθό ζήκα x(t), ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ Υ(f) (κέηξνπ ηνπ X(f)) είλαη ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο x(t) θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ Αrg{X(f)} (νξίζκαηνο ηνπ X(f)) είλαη ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο x(t). Όπσο έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο z, πνπ έρεη κέηξν r θαη όξηζκα ζ, γξάθεηαη θαη σο z=re jζ, έηζη θαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier X(f) ελόο ζήκαηνο x(t) γξάθεηαη θαη σο X(f)= Υ(f) e jarg{x(f)}. Σν θάζκα πιάηνπο Υ(f) παίξλεη πάληα ζεηηθέο ηηκέο. Δθηόο από εμεδεηεκέλα ζήκαηα, ην θάζκα πιάηνπο ελόο ζήκαηνο ηείλεη ζην 0, θαζώο ε ζπρλόηεηα f ηείλεη ζην ή ζην. Απνδεηθλύεηαη όηη, από ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier X(f) ελόο ζήκαηνο, πνπ απνηειεί ηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο, κπνξνύκε λα 0 2.4

5 βξνύκε ηε καζεκαηηθή έθθξαζε x(t) ηνπ ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, κέζσ ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier F 1 {X(f)}, ν νπνίνο δίλεηαη από ηε ζρέζε: 1 2 ( ) { ( )} ( ) j ft x t F X f X f e df (2.3) Αλ αληί γηα ηε ζπρλόηεηα f ρξεζηκνπνηνύκε ηελ θπθιηθή ζπρλόηεηα σ, ν αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ Υ(σ) δίλεηαη από ηνλ ηύπν. Oη ζρέζεηο (2.3) θαη (2.2), γηα ηα κε πεξηνδηθά ζήκαηα, απνξξένπλ κε θάπνην ηξόπν από ηηο ζρέζεηο (1.2) θαη (1.5)-(1.7), αληίζηνηρα, πνπ ηζρύνπλ γηα ηα πεξηνδηθά ζήκαηα. Όπσο είπακε, απηό ην δείρλνπκε ζην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα Γ. Μεηάβαζε από ηηο κηγαδηθέο ζεηξέο Fourier πεξηνδηθώλ ζεκάησλ ζηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier κε πεξηνδηθώλ ζεκάησλ», ζην ηέινο ηνπ βηβιίνπ. πλερίδνπκε, εθζέηνληαο κεξηθέο ηδηόηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Οη απνδείμεηο όισλ απηώλ ησλ ηδηνηήησλ κπνξνύλ, ζε πξώηε αλάγλσζε, λα παξαιεηθζνύλ. Γηα απηό ην ιόγν, δίλνληαη ζην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα Δ. Απόδεημε ησλ ηδηνηήησλ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier», ζην ηέινο ηνπ βηβιίνπ. 2.1β Ηδηόηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier Πξώηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ελόο πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο x(t) είλαη ε X( f)=. Γει., γηα αληίζεηεο ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο f, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο x(t) παίξλεη ζπδπγείο ηηκέο. Από απηή ηε ζρέζε πξνθύπηνπλ νη ζρέζεηο θαη Arg{ }=Arg{ }= Arg{ }. Όπσο είπακε πξνεγνπκέλσο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ κέηξνπ ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ηνπ ζήκαηνο x(t) ζπληζηά ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ νξίζκαηνο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ηνπ ζήκαηνο x(t) ζπληζηά ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο. Δπνκέλσο, ην θάζκα πιάηνπο ελόο πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε απηήο. Γλσξίδνληαο ην θάζκα πιάηνπο θαη ην θάζκα θάζεο ελόο πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο γηα ζεηηθά f, ηα βξίζθνπκε θαη γηα αξλεηηθά f. Σν κελ θάζκα πιάηνπο ην βξίζθνπκε κε ζπκκεηξία σο πξνο άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ (άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ), ην δε θάζκα θάζεο ην βξίζθνπκε κε ζπκκεηξία σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Έηζη, δελ ρξεηάδεηαη νη αξλεηηθέο ζπρλόηεηεο λα καο απαζρνινύλ θαη, από ηώξα θαη ζην εμήο, όζν κπνξνύκε, ζα ηηο απνθεύγνπκε. Ζ εηθόλα ελόο ηππηθνύ θάζκαηνο πιάηνπο θαη ε εηθόλα ελόο ηππηθνύ θάζκαηνο θάζεο πξαγκαηηθνύ κε πεξηνδηθνύ ζήκαηνο x(t) δίλνληαη ζην επόκελν ζρήκα

6 Υ(f) Arg{Υ(f)} 0 f 0 f (α) (β) ρ 2.1. Σππηθά θάζκαηα (α) πιάηνπο θαη (β) θάζεο ελόο πξαγκαηηθνύ κε πεξηνδηθνύ ζήκαηνο x(t). Γεύηεξε ηδηόηεηα: πκβνιίδνληαο κε xt () ηελ παξάγσγν ηνπ ζήκαηνο x(t) σο πξνο t, ηζρύεη ε ζρέζε F{ xt ()}=j2πfx(f), δει. ε παξαγώγηζε ελόο ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ηζνδπλακεί κε πνιιαπιαζηαζκό ηνπ επί j2πf ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. Σξίηε ηδηόηεηα: Δίλαη: F{ x() t dt }=X(f)/(j2πf), δει. ε νινθιήξσζε ελόο ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ηζνδπλακεί κε δηαίξεζή ηνπ δηα j2πf ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. πρλά, αληί ηνπ ανξίζηνπ νινθιεξώκαηνο x() t dt, γξάθνπκε ην νινθιήξσκα ηνπ ζήκαηνο x(t) από κέρξη t, δει. γξάθνπκε ην ηδηόηεηα γξάθεηαη θαη σο t t X( f) F{ x( ) d }. j2 f - t - x( ) d, νπόηε ε παξνύζα Μηα καζεκαηηθά απζηεξόηεξε δηαηύπσζε απηήο ηεο ηδηόηεηαο είλαη ε F{ x( ) d }=Υ(f)/(j2πf)+Υ(0)δ(f)/2. To X(0) είλαη ε ηηκή ηνπ X(f) ζηε ζπρλόηεηα f=0 θαη δ(f) είλαη ε θξνπζηηθή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο ζην ζεκείν f=0. Ηζρύεη θαη ε ζρέζε Υ(0)= x() t dt, ε νπνία είλαη πξνθαλήο από ηνλ νξηζκό ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Σν νινθιήξσκα x() t dt είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ ππάξρεη αλάκεζα ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) θαη ζηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ θαη δείρλεη ην ζπλερέο κέξνο ηνπ ζήκαηνο x(t). Μεγάινο αξηζκόο από ηα ζήκαηα πνπ ρεηξηδόκαζηε έρνπλ κεδεληθό ζπλερέο κέξνο, δει. ην ρσξίν θάησ από ηε γξαθηθή παξάζηαζή ηνπο απνηειείηαη από ζεηηθά θαη αξλεηηθά εκβαδά ίζνπ κεγέζνπο. Έηζη, γηα 2.6

7 ηέηνηνπ είδνπο ζήκαηα, έρνπκε X(0)=0, νπόηε ηόηε είλαη έηζη θη αιιηώο, ζα κείλνπκε κε ηε δηαηύπσζε t - t F{ x( ) d } - X( f) F{ x( ) d }. j2 f X( f). Δκείο, j2 f Σέηαξηε ηδηόηεηα είλαη ε γξακκηθόηεηα, πνπ ιέεη όηη, αλ νη κεηαζρεκαηηζκνί Fourier δύν νπνησλδήπνηε ζεκάησλ x(t) θαη y(t) είλαη Υ(f) θαη Y(f), αληίζηνηρα, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο z(t)=ax(t)+by(t) είλαη ίζνο κε Z(f)=aX(f)+bY(f), γηα όιεο ηηο ηηκέο ησλ ζηαζεξώλ a θαη b. Πέκπηε ηδηόηεηα (θιηκάθσζε ζηνλ ρξόλν): Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο x(αt) είλαη ίζνο κε X(f/α)/ α. Έθηε ηδηόηεηα (θιηκάθσζε ζηε ζπρλόηεηα): Ο αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο Υ(αf) είλαη ίζνο κε x(t/α)/ α. Έβδνκε ηδηόηεηα: Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο x(t η) είλαη ίζνο κε X(f)e j2πfη. j2 f0t Όγδνε ηδηόηεηα: Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ κηγαδηθνύ ζήκαηνο e x() t j2 f0t είλαη X(f f 0 ). Δδώ, ην ζήκα e x() t είλαη κηγαδηθό, αιιά απηό δελ καο ελνριεί. Όκσο, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ελόο κε πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο, δει. ελόο κηγαδηθνύ ζήκαηνο, δελ έρεη ηελ ηδηόηεηα X ( f ) X ( f ), νπόηε ην θάζκα πιάηνπο ηνπ δελ είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, νύηε ην θάζκα θάζεο ηνπ είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο. Απηό είλαη πξνθαλέο εδώ: Ο X(f f 0 ) ιακβάλεηαη κε κεηαθίλεζε ηνπ X(f) πξνο ηα δεμηά θαηά f 0. Με απηή ηε κεηαθίλεζε, ράλνληαη νη όπνηεο ζπκκεηξίεο έρνπλ ην θάζκα πιάηνπο θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο x(t) σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ θαη ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, αληίζηνηρα. Έλαηε ηδηόηεηα: Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο ζπλέιημεο δύν ζεκάησλ ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier ησλ δύν ζεκάησλ. ην πξνεγνύκελν Κεθάιαην κάζακε όηη ε ζπλέιημε δύν ζεκάησλ x(t) θαη y(t) ζπκβνιίδεηαη κε θαη νξίδεηαη σο: x( t) y( t) x( t ) y( ) d x( ) y( t ) d (2.4) Ζ παξνύζα ηδηόηεηα ιέεη όηη είλαη F{x(t) y(t)}=x(f) Y(f). Γέθαηε ηδηόηεηα: Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ γηλνκέλνπ δύν ζεκάησλ ηζνύηαη κε ηε ζπλέιημε ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Fourier ησλ ζεκάησλ. Ζ ζπλέιημε ησλ X(f) θαη Τ(f) νξίδεηαη σο (2.5) 2.7

8 Ζ παξνύζα ηδηόηεηα ιέεη όηη είλαη F{x(t) y(t)}=x(f) Y(f). Δλδέθαηε ηδηόηεηα: Γηα έλα ζήκα x(t) πνπ έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier X(f), βάδνπκε t ζηε ζέζε ηνπ f θαη πξνθύπηεη κηα άιιε (κηγαδηθή ελ γέλεη) ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t, ε X(t). Ζ παξνύζα ηδηόηεηα ιέεη όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier απηήο ηεο ζπλάξηεζεο X(t) πξνθύπηεη από ηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηεο ζπλάξηεζεο x(t), αλ ζε απηήλ βάινπκε όπνπ t ην f. Γει. είλαη F{X(t)}=x( f). Παξάδεηγκα: O κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο e at u(t), κε a>0, δει. ηνπ ζήκαηνο πνπ είλαη ίζν κε 0, γηα αξλεηηθά t, θαη ίζν κε e at, γηα ζεηηθά t, είλαη ίζνο κε 1/(a+j2πf). Ζ απόδεημε απηνύ ζα γίλεη αξγόηεξα. H παξαπάλσ ηδηόηεηα καο ιέεη όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο 1/(a+j2πt), κε a>0, είλαη ε ζπλάξηεζε e a( f) u( f)= e af u( f), ε νπνία έρεη ηηκή 0, γηα f<0 f>0, θαη ηηκή e af, γηα f>0 f<0. Ζ παξαπάλσ ηδηόηεηα νλνκάδεηαη δπαδηθόηεηα κεηαμύ ηνπ επζένο θαη ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Γσδέθαηε ηδηόηεηα: Δίλαη παξόκνηα κε ηε δεύηεξε ηδηόηεηα. Λέεη όηη ν dx ( f ) κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο j2πtx(t) είλαη ίζνο κε. Mε άιια ιόγηα, df ιέεη όηη ε παξαγώγηζε ελόο ζήκαηνο ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο ηζνδπλακεί κε πνιιαπιαζηαζκό ηνπ ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ επί ηνλ παξάγνληα j2πt. H παξαπάλσ ηδηόηεηα κπνξεί λα δηαηππσζεί θαη σο εμήο: Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο tx(t) είλαη ίζνο κε. Γεληθεύεηαη ζηελ ηδηόηεηα όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο t n x(t) είλαη ίζνο κε παξηζηάλνπκε ηε n-ζηή παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο X(f).. Με 2.1γ Παξαηεξήζεηο - Δθαξκνγέο Ξεθηλάκε θάλνληαο κεξηθέο παξαηεξήζεηο πάλσ ζηελ ηέηαξηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier, δει. ζηε γξακκηθόηεηα. Απηή, κε b=0, καο ιέεη όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο z(t)=ax(t) είλαη Z(f)=aX(f), από ηελ νπνία πξνθύπηεη όηη είλαη Ε(f) = ax(f) = a X(f). Δπνκέλσο, ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο ax(t) ηζνύηαη κε ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο x(t) πνιιαπιαζηαζκέλν επί a. Aο δνύκε θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο z(t)=ax(t). Έρνπκε: Arg{Z(f)}= =Arg{aX(f)}=Arg(a)+Arg{X(f)}. Γηα ζεηηθό a, είλαη Arg(a)=0, νπόηε έρνπκε Arg(Z(f)}= =Arg(X(f)}, δει. ηα ζήκαηα x(t) θαη ax(t) έρνπλ ίδην θάζκα θάζεο. Γηα αξλεηηθό a, είλαη Arg(a)=π, νπόηε έρνπκε Arg{Z(f)}=Arg{X(f)}+π, δει. ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο ax(t) ηζνύηαη κε ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο x(t) «αλεβαζκέλν» θαηά π. Όζα ηκήκαηα ηνπ Arg(X(f)}+π, πηζαλόλ, πέθηνπλ πάλσ από ηελ νξηδόληηα γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζε 2.8

9 ύςνο π, ηα «θαηεβάδνπκε» θαηά 2π γηα λα πέζνπλ ζηε δώλε ( π, π], ηελ νπνία έρνπκε νξίζεη σο πεδίν ηηκώλ ησλ θάζεσλ. Θπκόκαζηε όηη κεηαβνιή ηνπ νξίζκαηνο ελόο κηγαδηθνύ αξηζκνύ θαηά 2π, 4π θ.ν.θ. δελ έρεη θακηά επίπησζε ζηελ ηηκή απηνύ ηνπ αξηζκνύ. ην παξαθάησ ζρήκα 2.2 δείρλνπκε πώο απηή ε ηδηόηεηα εθαξκόδεηαη γηα a= 2, δει. ηη θάζκαηα πιάηνπο θαη θάζεο έρεη ην ζήκα z(t)= 2x(t). ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο z(t) ν θιάδνο κε δηαθεθνκκέλε γξακκή έρεη «θαηέβεη» θαηά 2π, γηα λα πέζεη ζηε δώλε ( π, π]. 0,8 Υ(f) π Arg{Υ(f)} 0 f 0 f π (α) (β) 1.6 Ε(f) Arg{Ε(f)} π 2π 0 f 0 f (γ) ρ Σα θάζκαηα (α) πιάηνπο θαη (β) θάζεο ζήκαηνο x(t) θαη ηα θάζκαηα (γ) πιάηνπο θαη (δ) θάζεο ηνπ ζήκαηνο z(t)= 2x(t). Γηα αξλεηηθό a, κπνξνύκε λα γξάςνπκε θαη Arg(a)= π, νπόηε έρνπκε Arg{Z(f)}=Arg{X(f)} π, δει. ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο ax(t) ηζνύηαη κε ην θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο x(t) «θαηεβαζκέλν» θαηά π. Όζα ηκήκαηα ηνπ Arg(X(f)} π, πηζαλόλ, πέθηνπλ θάησ από ηελ νξηδόληηα γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζε ύςνο π, ηα «αλεβάδνπκε» θαηά 2π γηα λα πέζνπλ ζηε δώλε ( π, π]. π (δ) 2.9

10 πλερίδνπκε κε παξαηεξήζεηο πάλσ ζηελ πέκπηε ηδηόηεηα. Με a= 1, απηή καο ιέεη όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο x( t) είλαη ίζνο κε X ( f ) X ( f ). Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x( t) πξνθύπηεη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t), αλ ηελ αλαζηξέςνπκε γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ (ελαιιαθηηθά, αλ θξαηήζνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε αθίλεηε θαη αιιάμνπκε ηε θνξά ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ). Δπνκέλσο, ην λα πάξνπκε ηνλ ζπδπγή ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ελόο πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο είλαη ζαλ λα αλαζηξέθνπκε ην ζήκα ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ, δει. ζαλ λα αιιάδνπκε ηε θνξά ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ. Δπίζεο, κπνξνύκε λα πνύκε όηη ν X( f) πξνθύπηεη από ηνλ X(f) κε αλαζηξνθή ηεο θνξάο ηνπ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ f. Ώζηε, αλαζηξνθή ηεο θνξάο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t ηζνδπλακεί κε αλαζηξνθή ηεο θνξάο ηνπ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ f. Σώξα, αο έιζνπκε ζηε ζρέζε ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ ζεκάησλ y(t)=x(at) θαη x(t), κε a>1. Έρνπκε κάζεη όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) πξνθύπηεη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(at), κε ζπζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ t κε ζπληειεζηή a (ππό θιίκαθα a). Αο μαλαζπκεζνύκε γηαηί: Απηά ηα δύν ζήκαηα παίξλνπλ ίδηεο ηηκέο, κόλν πνπ ηηο παίξλνπλ ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. Αθνύ είλαη ( t t y ) x( a ) x( t), ηε ρξνληθή ζηηγκή t/a ην ζήκα y(t) παίξλεη σο ηηκή ηελ a a ηηκή πνπ παίξλεη ην ζήκα x(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t. Απηό ζπκβαίλεη γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ t. Γεδνκέλνπ όηη είλαη (t/a)<t, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε ζπζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηή a. Έλα παξάδεηγκα δίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα 2.3. x(t) x(3t) A A t 0 2/3 2 t (α) ήκα x(t) (β) ήκα y(t)=x(3t) ρ πζηνιή ζήκαηνο θαηά ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε ζπληειεζηή 3. Οκνίσο, ζπκόκαζηε όηη ην ζήκα z(t)=x(t/a), κε a>1, παίξλεη ίδηεο ηηκέο κε ην ζήκα x(t), αιιά ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. Αθνύ είλαη z(at)=x(t), ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο at ην ζήκα z(t) παίξλεη σο ηηκέο ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ην ζήκα x(t) ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t. Δπνκέλσο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή 2.10

11 παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε δηαζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηή a (ππό θιίκαθα a), κηαο θαη είλαη at>t. Αλ ζην ζήκα x(at) είλαη 0<a<1, απηό ην ζήκα ην γξάθνπκε θαη σο x(at)=x[t/(1/a)]. Σν ζήκα x[t/(1/a)] πξνθύπηεη από ην ζήκα x(t) κε δηαζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε παξάγνληα 1/a>1. Οκνίσο, αλ ζην ζήκα x(t/a) είλαη 0<a<1, απηό ην ζήκα ην «βιέπνπκε» σο x[(1/a)t], πνπ πξνθύπηεη από ην ζήκα x(t) κε ζπζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε παξάγνληα 1/a>1. Γλσξίδνπκε όηη, κε a>0, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο x(at) είλαη ίζνο κε X(f/a)/a, νπόηε ην κέηξν ηνπ ηζνύηαη κε X(f/a) /a. Έηζη, από ηελ πέκπηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier πξνθύπηεη όηη ζπζηνιή ηνπ ζήκαηνο x(t) θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηή a (ζήκα x(at)) ηζνδπλακεί κε δηαζηνιή ηνπ θάζκαηνο πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο x(t) θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ f κε ηνλ ίδην 1 f ζπληειεζηή θαη κείσζή ηνπ κε ζπληειεζηή a (κεηαζρεκαηηζκόο Fourier X ( ) a a ). Άκεζε ζπλέπεηα απηνύ είλαη όηη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ αλάκεζα ζην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο θαη ζηνλ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ παξακέλεη ακεηάβιεην πξηλ θαη κεηά ηε δηαζηνιή ηνπ θάζκαηνο πιάηνπο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ. Αληίζηνηρα, πάιη κε a>0, αθνύ ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο x(t/a) ηζνύηαη κε ax(af), αλ ην ζήκα x(t) δηαζηαιεί θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θάπνηνλ ζπληειεζηή a (ζήκα x(t/a)), ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζπζηέιιεηαη κε ηνλ ίδην ζπληειεζηή θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ θαη, ηαπηόρξνλα, πνιιαπιαζηάδεηαη επί ηνλ ίδην ζπληειεζηή a (κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ax(af)). Έηζη, πάιη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ αλάκεζα ζην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο θαη ζηνλ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ είλαη ην ίδην πξηλ θαη κεηά ηε ζπζηνιή ηνπ θάζκαηνο πιάηνπο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ. Αθνύ, κε a>0, ην όξηζκα ηνπ X(f/a)/a είλαη ίζν κε ην όξηζκα ηνπ X(f/a) (γηαηί;), γηα ηα θάζκαηα θάζεο ηζρύνπλ νη παξαπάλσ ζπζηνινδηαζηνιέο θαηά κήθνο ησλ αμόλσλ, ρσξίο όκσο κείσζε ή αύμεζε ηεο ηηκήο ηνπ θάζκαηνο θάζεο θαηά θάπνηνλ παξάγνληα. Γηα αξλεηηθό a, ηζρύεη ε ζρέζε a= a, νπόηε έρνπκε ζπλδπαζκό αλαζηξνθήο ηεο θνξάο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ θαη ζπζηνινδηαζηνιώλ θαηά κήθνο ησλ αμόλσλ κε ζπληειεζηή a. Μηα πξνζεθηηθή εμέηαζε ηεο έθηεο ηδηόηεηαο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier δείρλεη όηη απηή ιέεη ηα ίδηα πξάγκαηα κε ηελ πέκπηε ηδηόηεηα. Γλσξίδνπκε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο e jθ =1 e jθ έρεη κέηξν 1 θαη όξηζκα θ. Έηζη, από ηελ έβδνκε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier πξνθύπηεη όηη ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο x(t η), πνπ είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ X(f)e j2πfη = X(f) e j2πfη = Υ(f), 2.11

12 είλαη ίδην κε ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο x(t). Απηό είλαη αλακελόκελν, γηαηί ε θαηαλνκή ηνπ θαζκαηηθνύ πεξηερνκέλνπ ελόο ζήκαηνο ζηηο δηάθνξεο ζπρλόηεηεο δελ έρεη λα θάλεη κε ην ζε πνην ρξνληθό ζεκείν ηνπνζεηνύκε εκείο ηελ αξρή κέηξεζεο ησλ ρξόλσλ t, αιιά κόλν κε ηε κνξθή ηνπ ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ. Αληίζεηα, ε έλλνηα ηεο θάζεο έρεη άκεζε ζρέζε κε ην πνύ είλαη ηνπνζεηεκέλε ε αξρή ησλ ρξόλσλ. Ξαλαζπκεζείηε όηη ζπρλά κηιάκε γηα θαζπζηέξεζε θάζεο θαη γηα πξνήγεζε θάζεο. Σν θάζκα θάζεο ηνπ ζήκαηνο x(t η) είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ Arg{X(f)e j2πfη }=Arg{X(f)}+Arg(e j2πfη )=Αrg{Υ(f)} 2πfη. Γει., ε επηβνιή ρξνληθήο θαζπζηέξεζεο η ζε έλα ζήκα πξνζζέηεη ζην θάζκα θάζεο ηνπ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ γξακκηθνύ σο πξνο f όξνπ 2πfη, ε νπνία είλαη επζεία γξακκή δηεξρόκελε από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Όπσο είδακε, ε επηβνιή ρξνληθήο θαζπζηέξεζεο αθήλεη ακεηάβιεην ην θάζκα πιάηνπο ηνπ. Κάηη αθόκα ζρεηηθό: Δίπακε ζην Κεθάιαην 1 όηη, αλ νδεγήζνπκε έλα ζήκα x(t) ζηελ είζνδν ελόο ζπζηήκαηνο (θίιηξνπ) πνπ έρεη απόθξηζε ζπρλόηεηαο H(f), ην ζήκα εμόδνπ y(t) ηνπ ζπζηήκαηνο ζρεηίδεηαη κε ην ζήκα εηζόδνπ x(t) κε ηε ζεκειηώδε ζρέζε Τ(f)=H(f)X(f) Απηή νδεγεί ζηε ζρέζε y(t)=h(t) x(t), όπνπ h(t)=f 1 {H(f)} είλαη ε θξνπζηηθή απόθξηζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Αο ππνζέζνπκε όηη ζηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο H(f) ηνπ θίιηξνπ βάδνπκε κία επί πιένλ θάζε, ε νπνία είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε (αλάινγε) ηεο f, δει. κηα θάζε ηελ νπνία αο γξάςνπκε σο 2πt 0 f= 2πft 0. Έηζη, ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ j2 ft0 θίιηξνπ γίλεηαη H( f ) e. Tώξα, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ j2 ft0 j2 ft0 z(t) ηνπ θίιηξνπ γίλεηαη ίζνο κε Z( f ) H( f ) e X ( f ) = [ H( f ) X ( f )] e = Y( f ) e j2 ft0 z(t)=y(t t 0 ). Δπνκέλσο, ε παξνπζία ζηελ απόθξηζε ζπρλόηεηαο ελόο θίιηξνπ κηαο γξακκηθήο σο πξνο f θάζεο πξνθαιεί κηα απιή ρξνληθή θαζπζηέξεζε ζην ζήκα πνπ ζα εκθαλίδνληαλ ζηελ έμνδν ηνπ θίιηξνπ αλ δελ ππήξρε απηή ε γξακκηθή σο πξνο f θάζε. Με άιια ιόγηα, αλ έλα θίιηξν, αληί λα έρεη κεδεληθή απόθξηζε θάζεο, έρεη γξακκηθή σο πξνο f απόθξηζε θάζεο, δελ ζπκβαίλεη θακηά δεκηά παξά κόλν κηα ρξνληθή κεηαηόπηζε ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ. Αλ έλα θίιηξν ή ζύζηεκα έρεη Ζ(f)=Α, κε Α>0, απηό νδεγεί ην ζήκα εηζόδνπ ζηελ έμνδν άζηθην, δει. ρσξίο λα επεξεάζεη ηε κνξθή ηνπ, αθνύ είλαη Y(f)=AX(f) y(t)=ax(t). Αλ ην ίδην ζύζηεκα έρεη θαη γξακκηθή σο πξνο f j2 ft0 απόθξηζε θάζεο, αληί κεδεληθήο πνπ έρεη ηώξα, δει. αλ είλαη H( f ) Ae, ε έμνδνο ηνπ θίιηξνπ ζα είλαη ίζε κε Αx(t t 0 ). Γει., νπζηαζηηθά, πάιη ην ζήκα x(t) πεξλάεη άζηθην ζηελ έμνδν ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ όγδνε ηδηόηεηα καο ιέεη όηη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηνπ ζήκαηνο x(t) επί ηε 2 0 ζπλάξηεζε j f t e, ε νπνία νλνκάδεηαη κηγαδηθό εκίηνλν ζπρλόηεηαο f 0, ζπλεπάγεηαη κεηαηόπηζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier Υ(f) απηνύ δεμηά θαηά ηε ζπρλόηεηα f 0. Χο 2.12

13 j2 f0t j2 f0t άκεζε ζπλέπεηα απηνύ θαη ηνπ γεγνλόηνο όηη είλαη 2 2 f t e e, πξνθύπηεη όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο 2x(t)ζπλ2πf 0 t= ( ) j f t x t e x( t) e j f t είλαη ίζνο κε Υ(f f 0 )+Υ(f+f 0 ). Απηή είλαη κηα ηδηόηεηα πνιύ ρξήζηκε ζηηο Σειεπηθνηλσλίεο. Ολνκάδεηαη θαη ηδηόηεηα ηεο δηακόξθσζεο ελόο εκηηνληθνύ θέξνληνο ζήκαηνο 2ζπλ2πf 0 t από έλα ζήκα κελύκαηνο x(t). Πξηλ θιείζνπκε ηελ παξνύζα Δλόηεηα, αο επαλέιζνπκε ζηελ ελέξγεηα ελόο κε πεξηνδηθνύ πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο x(t). Δίπακε όηη ε ζηηγκηαία ηζρύο απηνύ ηνπ ζήκαηνο είλαη ίζε κε x 2 (t) θαη ε νιηθή ελέξγεηά ηνπ είλαη ίζε κε Δ= 0 x 2 () t dt. Σν t2 x 2 () t dt δίλεη ηελ ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο ζην ρξνληθό δηάζηεκα (t 1, t 2 ). Δπίζεο, είπακε όηη ηα ζήκαηα, γηα ηα νπνία ην νινθιήξσκα ελεξγεηαθά ζήκαηα. H πνζόηεηα x 2 () t dt έρεη πεπεξαζκέλε ηηκή, ηα νλνκάδνπκε 2 X( f ) δίλεη ηελ ππθλόηεηα ελέξγεηαο ηνπ ζήκαηνο x(t) σο πξνο ηε ζπρλόηεηα f. To κέξνο ηεο ελέξγεηαο ηνπ ζήκαηνο πνπ είλαη θαηαλεκεκέλν ζην δηάζηεκα ζπρλνηήησλ από f 1 κέρξη f 2 (ρξεζηκνπνηώληαο κόλν ζεηηθέο ζπρλόηεηεο) είλαη ίζν κε f 2 2 X ( f ) f 1 2 df. Έηζη, ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο x(t) πνπ, όπσο είπακε, είλαη ίζε κε Δ= x 2 () t dt δίλεηαη θαη από ηε καζεκαηηθή έθθξαζε: 2 Δ= 2 X ( f ) df (2.6) 0 Ζ παξαπάλσ είλαη ε έθθξαζε ηνπ Θεσξήκαηνο Parseval γηα ελεξγεηαθά κε πεξηνδηθά ζήκαηα. Δίλαη αλάινγε ηεο ζρέζεο (1.15) πνπ γλσξίζακε ζηα πεξηνδηθά ζήκαηα. Γεδνκέλνπ όηη γηα έλα πξαγκαηηθό ζήκα x(t) ηζρύεη ε ζρέζε X ( f ) X ( f ), αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη ηηο αξλεηηθέο ζπρλόηεηεο, ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο x(t) γξάθεηαη θαη σο 2 E X ( f ) df, πνπ είλαη ζρέζε αλάινγε ηεο ζρέζεο (1.16) γηα ηα πεξηνδηθά ζήκαηα. Έηζη, ην Θεώξεκα Parseval γηα έλα ελεξγεηαθό πξαγκαηηθό κε πεξηνδηθό ζήκα x(t) εθθξάδεηαη θαη από ηε ζρέζε: Δ= x 2 () t dt 2 X ( f ) df = νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζήκαηνο x(t) (2.7) Σελ απόδεημε ηεο παξαπάλσ ζρέζεο ηε δίλνπκε ζην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα Γ. Μεηάβαζε από ηηο ζεηξέο Fourier ζηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier», ην ηέινο ηνπ βηβιίνπ. Όηαλ ρξεζηκνπνηνύκε θαη αξλεηηθέο ζπρλόηεηεο, ε ελέξγεηα πνπ έρεη έλα t1 2.13

14 πξαγκαηηθό ζήκα από κηα ζπρλόηεηα, αο πνύκε f 1 =5 khz κέρξη κηα άιιε ζπρλόηεηα, αο πνύκε f 2 =7 khz, είλαη θαηαλεκεκέλε ζην δηάζηεκα (5kHz, 7kHz) θαη ζην δηάζηεκα ( 7kHz, 5kHz). Γει. ε ελ ιόγσ ελέξγεηα είλαη ίζε κε θπζηθά, γηα πξαγκαηηθά ζήκαηα, είλαη ίζε κε f f 2 2 X ( f ) df + f f X ( f ) 2 df. Απηή, f f X ( f ) df + X ( f ) df =2 f f f 2 2 X ( f ) df, όπσο είπακε θαη πξνεγνπκέλσο, κηαο θαη ην ( ) f 1 ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο. 1 X f είλαη άξηηα 2.14

15 2.2 Μεξηθά ζήκαηα θαη νη κεηαζρεκαηηζκνί Fourier απηώλ ηε ζπλέρεηα δίλνπκε, ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ θαη ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο, κεξηθά ζήκαηα πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζπρλά. Γελ καο ελνριεί ε ρξήζε αξλεηηθώλ ζπρλνηήησλ, ηηο νπνίεο κπνξνύκε θαη λα παξαιείςνπκε, αθνύ γλσξίδνπκε όηη ην θάζκα πιάηνπο ελόο πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο. α) Ζ θξνπζηηθή ζπλάξηεζε δ(t): Όπσο έρνπκε πεη, απηή είλαη κηα «ζπλάξηεζε» πνπ, γηα θάζε t 0, έρεη ηηκή 0 θαη, γηα t=0, έρεη άπεηξε ηηκή. Παξηζηάλεηαη γξαθηθά κε έλα βέινο πξνο ηα πάλσ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0. Σν εκβαδόλ ηνπ «ρσξίνπ» πνπ δεκηνπξγεί ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε κε ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ ηζνύηαη κε 1. Γει. είλαη 0 ( t) dt ( t) dt 1. Σώξα, έρνπκε: j2 ft j2 ft j2 f 0 F{ ( t)} ( t) e dt ( t) e dt ( t) e dt ( t) 1dt ηελ παξαπάλσ απόδεημε, ρξεζηκνπνηήζακε ην γεγνλόο όηη, γηα t ζην δηάζηεκα (0, 0 + ), ην t είλαη ίζν κε 0, νπόηε ε ζπλάξηεζε e j2πft έρεη ηηκή e j2πf0 =1. Ζ ζρέζε F{ ( t)} 1 =ζεηηθόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο, δείρλεη όηη ην ζήκα δ(t) έρεη θάζκα πιάηνπο παληνύ ίζν κε 1 θαη θάζκα θάζεο παληνύ ίζν κε 0. Σν ζήκα δ(t) θαη ην θάζκα πιάηνπο ηνπ θαίλνληαη ζην επόκελν ζρήκα 2.5. F{δ(t)} δ(t) 1 0 t 0 f (α) ρ. 2.5 (α) Σν ζήκα δ(t) θαη (β) ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ πνπ είλαη ίζνο κε ην κέηξν απηνύ. Φάζε κεδεληθή. (β) Σν όηη ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο δ(t) δελ ηείλεη πξνο ην 0, όπσο ζα πεξηκέλακε, όηαλ ε ζπρλόηεηα f ηείλεη ζην + ή ζην, νθείιεηαη ζην όηη ην ζήκα δ(t) 2.15

16 είλαη έλα από ηα πνιύ «εμεδεηεκέλα» ή «αλώκαια» ζήκαηα. Φπζηθά, ηέηνην ζήκα δελ ππάξρεη ζηελ πξάμε. Καη αλαινγία κε ηα παξαπάλσ, ε ζπλάξηεζε δ(f) είλαη έλαο θξνπζηηθόο παικόο, ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο, ζηε ζέζε f=0. Έρεη ηηκή 0, γηα όια ηα f 0, θαη άπεηξε ηηκή, γηα f=0. Έρνπκε: j2 ft j2 ft j2 0t F f f e df f e df f e df f df { ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Ηζνδύλακα, ηζρύεη ε ζρέζε F{1} ( f) ην ίδην ζπκπέξαζκα θαηαιήγνπκε θαη αλ εθαξκόζνπκε ηελ ελδέθαηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ζην ζήκα δ(t) θαη ζηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ πνπ είλαη ίζνο κε 1. Αο ην θάλνπκε: ύκθσλα κε ηελ πξναλαθεξζείζα ηδηόηεηα, ην ζήκα πνπ ηώξα ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ t είλαη ίζν κε 1, δει. ην ζήκα x(t)=1, έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier Υ(f) ίζνλ κε δ( f)=δ(f). Απνδείρηεθε. Δπεηδή ηζρύεη ε ηζόηεηα a=a 1, o κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζηαζεξνύ ζήκαηνο a είλαη ίζνο κε aδ(f). Σν θάζκα πιάηνπο ηνπ είλαη κηα ζπλάξηεζε δ ζηε ζπρλόηεηα 0, πνιιαπιαζηαζκέλε επί a, θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ είλαη παληνύ κεδεληθό, αλ είλαη a>0, ή παληνύ ίζν κε π (ή π), αλ είλαη a<0. Όκσο, ζην πξνεγνύκελν Κεθάιαην είπακε όηη εκείο, σο θάζκα πιάηνπο ηνπ ζηαζεξνύ ζήκαηνο a, ζα ζρεδηάδνπκε ζηε ζπρλόηεηα 0, όρη κηα ζπλάξηεζε a δ(f) αιιά έλα επζύγξακκν ηκήκα ύςνπο a, αθνύ ην ζηαζεξό ζήκα a είλαη εκηηνληθό ζήκα πιάηνπο a θαη ζπρλόηεηαο 0. Απηό ην θάλνπκε γηα δηθή καο δηεπθόιπλζε θαη εηο βάξνο ηεο απζηεξόηεηαο ηεο αλάιπζεο. Όκσο, δελ πεηξάδεη πνιύ. To θάζκα θάζεο ηνπ ζηαζεξνύ ζήκαηνο a είλαη παληνύ ίζν κε 0 ή παληνύ ίζν κε π, όπσο είπακε πξνεγνπκέλσο. ην Δδάθην 1.1β είδακε όηη ηζρύεη ε ζρέζε x( t) ( t t0) dt x( t0). Αο απνδείμνπκε απηήλ ηελ ηδηόηεηα θαη ιίγν δηαθνξεηηθά: Θπκόκαζηε όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο θξνπζηηθήο ζπλάξηεζεο δ(t) είλαη ίζνο κε 1. Γηα ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier X(f) ηνπ ζήκαηνο x(t) έρνπκε X(f)=X(f) 1=X(f) F{δ(t)}, από ηελ νπνία πξνθύπηεη ε ζρέζε x( t) x( t) ( t) x( ) ( t ) d. Απηή ε ζρέζε καο ιέεη όηη ε ζπλέιημε ελόο ζήκαηνο x(t) κε ηελ θξνπζηηθή ζπλάξηεζε-ζήκα δ(t) καο δίλεη ην ίδην ην ζήκα x(t). Γξάθνληαο ζηελ παξαπάλσ ζρέζε t 0 αληί γηα t, παίξλνπκε:, αθνύ ε θξνπζηηθή x( t ) x( ) ( t ) d x( ) ( t ) d x( t) ( t t ) dt ζπλάξηεζε δ(t) είλαη άξηην ζήκα. 2.16

17 β) Ζ βεκαηηθή ζπλάξηεζε u(t): Γλσξίδνπκε όηη απηή ε ζπλάξηεζε έρεη ηηκή 0, γηα t<0, θαη ηηκή 1, γηα t>0. Σν ζεκείν t=0 είλαη ζεκείν αζπλέρεηαο ηεο ζπλάξηεζεο (ε ζπλάξηεζε θάλεη άικα ηηκήο θαηά 1). Γηα t=0, νη πεξηζζόηεξνη δίλνπλ ζηε βεκαηηθή ζπλάξηεζε ηηκή 1, ελώ κεξηθνί ηεο δίλνπλ ηηκή 1/2. Γηα t 0, ε βεκαηηθή ζπλάξηεζε έρεη παξάγσγν ίζε κε 0, ελώ, γηα t=0, κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη ε θιίζε ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο έρεη ηηκή +, δει. όηη ε «παξάγσγόο» ηεο, ζηε ζέζε t=0, έρεη άπεηξε ηηκή. Βέβαηα, ε ζπλάξηεζε u(t), σο αζπλερήο ζην ζεκείν 0, είλαη κε παξαγσγίζηκε ζε απηό ην ζεκείν, ππό ηελ απζηεξή καζεκαηηθή έλλνηα. Όπσο είδακε ιίγν θαιύηεξα ζην Κεθάιαην 1, εκείο κπνξνύκε λα ζεσξνύκε όηη ε παξάγσγνο ηεο βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο είλαη ίζε κε δ(t), δει. ηππηθά κπνξνύκε λα γξάθνπκε ( t) u ( t) du( t) / dt. Παίξλνληαο ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier ησλ δύν κειώλ απηήο ηεο ηζόηεηαο πξνθύπηεη ε ζρέζε F{δ(t)}=F{ ut ()}=j2πff{u(t)}, ήηνη 1=j2πfU(f). Δπνκέλσο, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier U(f) ηεο βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο u(t) δίλεηαη από ηε ζρέζε U(f)=1/(j2πf). γξάθεηαη σο Έρνπκε U(f) = U(f) = 1 1, ε νπνία, γηα ζεηηθέο ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο f, j2 f j2 f 1 2 f. Δπίζεο, έρνπκε Arg{U(f)}=Arg{1/(j2πf)}=Arg(1) Arg(j2πf)=0 Arg(j2πf)= Arg(j2πf). Γηα ζεηηθέο ζπρλόηεηεο έρνπκε Arg{U(f)}= π/2. Καζώο ε ζπρλόηεηα f κεγαιώλεη από ην 0 πξνο ηα πάλσ, ην θάζκα πιάηνπο ηεο u(t) πέθηεη πξνο ην 0 κε ξπζκό 1/f. Σν θάζκα θάζεο ηεο έρεη, γηα όια ηα ζεηηθά f, ηηκή ίζε κε π/2. ην ζρήκα 2.7 δείρλνπκε ηε βεκαηηθή ζπλάξηεζε θαη ηα θάζκαηά ηεο επεθηεηακέλα θαηά ηνλ γλσζηό ηξόπν (ζπκκεηξίεο σο πξνο άμνλα θαη σο πξνο θέληξν) θαη γηα αξλεηηθέο ζπρλόηεηεο. u(t) U(f) Arg{U(f)} 1 π/2 0 t 0 f 0 f π/2 (α) (β) (γ) ρ (α) Ζ βεκαηηθή ζπλάξηεζε u(t), (β) ην θάζκα πιάηνπο ηεο θαη (γ) ην θάζκα θάζεο ηεο. 2.17

18 εκείσζε: Μηα καζεκαηηθά απζηεξόηεξε αλαδήηεζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ηεο βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο νδεγεί ζηνλ ηύπν F{u(t)}=1/(j2πf)+δ(f)/2. Αο δνύκε θάηη ζρεηηθό: ην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα Σ. Δύξεζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ» δίλνπκε ηνλ νξηζκό θαη ηεο ζπλάξηεζεο (ζήκαηνο) πξνζήκνπ sgn(t). Απηή έρεη ηηκή +1, αλ είλαη t>0, ηηκή 1, αλ είλαη t<0, θαη αδηάθνξε ηηκή (ζπλήζσο 0), αλ είλαη t=0. ην ελ ιόγσ Παξάξηεκα δείρλνπκε επίζεο όηη ην ζήκα sgn(t) έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier ίζνλ κε 1/(jπf). Δίλαη πνιύ εύθνιν λα δνύκε όηη ηζρύεη ε ζρέζε u(t)=(1/2)sgn(t)+1/2, νπόηε ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier U(f) ηεο βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο u(t) είλαη ίζνο κε + =. Δπνκέλσο, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο u(t) είλαη ίζνο κε θαη όρη απιώο ίζνο κε πνπ βξήθακε πξνεγνπκέλσο, βαζηδόκελνη ζηε ζρέζε (t) =. Σα παξαπάλσ δείρλνπλ όηη έρνπκε θάπσο παξαβηάζεη ηε καζεκαηηθή απζηεξόηεηα κε ην λα γξάθνπκε άθξηηα (t)= θαη λα εθαξκόδνπκε ζε απηή ηε ζρέζε ηηο ηδηόηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Απαηηείηαη απμεκέλε πξνζνρή. Αο πξνζπαζήζνπκε λα βξνύκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier U(f) ηεο βεκαηηθήο ζπλάξηεζεο u(t) κε απιή εθαξκνγή ηνπ νξηζκνύ. Έρνπκε: U(f)= =. Όκσο, ηα ζήκαηα εκ2πft θαη ζπλ2πft «παίδνπλ» ζπλερώο κεηαμύ ησλ ηηκώλ +1 θαη 1, θαζώο ην Σ ηείλεη ζην +. Δπνκέλσο, ηα παξαπάλσ όξηα δελ ππάξρνπλ. Γει., βιέπνπκε όηη ε απ επζείαο εθαξκνγή ηνπ νξηζκνύ καο νδήγεζε ζην ζπκπέξαζκα όηη ε βεκαηηθή ζπλάξηεζε u(t) δελ έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier. Καη όκσο, ν έκκεζνο ηξόπνο ππνινγηζκνύ ηνπ U(f) πνπ αθνινπζήζακε πξνεγνπκέλσο καο νδήγεζε ζην ζπκπέξαζκα 2.18

19 όηη ε βεκαηηή ζπλάξηεζε u(t) έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier U(f)= ή, θαιύηεξα, U(f)=. γ) Ο νξζνγσληθόο παικόο p(t) δηάξθεηαο η: ε απηόλ ηνλ παικό, ν νπνίνο θαίλεηαη ζην ζρήκα 2.8α, γηα t< η/2 ή t>η/2, είλαη p(t)=0, ελώ, γηα η/2 t η/2, είλαη p(t)=1. Οη ζέζεηο t= η/2 θαη t=η/2 είλαη ζέζεηο αζπλέρεηαο ηνπ παικνύ. Όπσο έρνπκε πάξεη ηελ αξρή ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ, ν παικόο p(t) είλαη άξηην ζήκα. Γηα λα βξνύκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier απηνύ ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ, κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ηνλ νξηζκό θαη λα θάλνπκε κηα απιή νινθιήξσζε (θάληε ηελ). Μάιηζηα, ζα εθκεηαιιεπηνύκε ην γεγνλόο όηη ν παικόο p(t) είλαη άξηην ζήκα, νπόηε ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier απηνύ P(f) είλαη πξαγκαηηθή (θαη άξηηα) ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f. Έηζη, έρνπκε = Δλαιιαθηηθά, κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην γεγνλόο όηη είλαη F{u(t)}=1/(j2πf), αθνύ πξώηα παξαηεξήζνπκε όηη ηζρύεη ε ζρέζε p(t)=u(t+η/2) u(t η/2). Από απηή ηε ζρέζε, κε εθαξκνγή ηεο έβδνκεο ηδηόηεηαο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier, πξνθύπηεη: P(f)=F{p(t)}=[1/(j2πf)]e j2πf( η/2) [1/(j2πf)]e j2πfη/2 =(e jπfη e jπfη )/(j2πf)=[ζπλπft+jεκπfη (ζπλπft jεκπft)]/(j2πf)=2jεκ(πfη)/(j2πf)=εκ(πfη)/(πf)=ηεκ(πfη)/(πfη)=ηsinc(f η). Δπνκέλσο, έρνπκε P(f)=ηsinc(f η). Ζ P(f) είλαη πξαγκαηηθή θαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f, όπσο πεξηκέλακε. Σε ζπλάξηεζε sinc(x) ηε κειεηήζακε ζην πξνεγνύκελν Κεθάιαην, όπνπ είδακε όηη κεδελίδεηαη ζηηο ζέζεηο x=±1, ±2, ±3, θαη παίξλεη κέγηζηε ηηκή, ίζε κε 1, ζηε ζέζε x=0. Έηζη, ν P(f) κεδελίδεηαη ζηηο ζέζεηο όπνπ είλαη f η=±1, ±2, ±3,, δει. ζηηο ζπρλόηεηεο ±1/η, ±2/η, ±3/η,. Αλ ζπκβνιίζνπκε ην 1/η κε f η, ν P(f) απνθηά ηε καζεκαηηθή έθθξαζε P(f)=ηsinc(f/f η ) θαη νη κεδεληζκνί ηνπ ζπκβαίλνπλ ζηηο ζπρλόηεηεο ±f η, ±2f η, ±3f η θ.ν.θ. ην ζρήκα 2.8 έρνπκε ζρεδηάζεη ηνλ νξζνγσληθό παικό p(t) ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier P(f) απηνύ, ην θάζκα πιάηνπο ηνπ, πνπ είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ P(f), θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ, πνπ είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ Arg{P(f)}. ρεηηθά κε ην θάζκα θάζεο ηνπ παικνύ p(t), αθνύ ν P(f) είλαη πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f, ε θάζε απηνύ ζα είλαη ίζε κε 0 ή π. Θα είλαη ίζε κε 0, ζηηο ζπρλόηεηεο γηα ηηο νπνίεο είλαη P(f)>0, θαη ίζε κε π (ηζνδπλακεί θαη κε π), ζηηο ζπρλόηεηεο γηα ηηο νπνίεο είλαη P(f)<0. ην θάζκα θάζεο πνπ δίλνπκε ζην ζρήκα 2.8δ, νη 2.19

20 θάζεηο έρνπλ επηιεγεί λα έρνπλ ηηκή π ή π ζε ηξόπν ώζηε απηό λα εκθαλίδεηαη σο πεξηηηή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f. 1 p(t) η/2 0 η/2 t (α) Ο νξζνγσληθόο παικόο (β) Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ 2.20

21 (γ) Σν θάζκα πιάηνπο ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ Arg{P(f)} π 4f η 3f η 2f η f η 0 f η 2f η 3f η 4f η f π (δ) Σν θάζκα θάζεο ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ ρ Οξζνγσληθόο παικόο δηάξθεηαο η, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier απηνύ θαη ηα θάζκαηα πιάηνπο θαη θάζεο απηνύ. Έρνπκε πεη ζην Κεθάιαην 1 όηη, αλ είλαη η=1, o παξαπάλσ νξζνγσληθόο παικόο νλνκάδεηαη κνλαδηαίνο (ή ηππνπνηεκέλνο) νξζνγσληθόο παικόο θαη ζπκβνιίδεηαη κε Π(t). Γει. είλαη Π(t)=1, γηα 1/2 t 1/2, θαη Π(t)=0, γηα t< 1/2 ή t>1/2. Πξνθαλώο, ν 2.21

22 νξζνγσληθόο παικόο p(t) ιακβάλεηαη από ηνλ παικό Π(t) κε δηαζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε θιίκαθα η, δει. είλαη p(t)=π(t/η). Πξηλ πξνρσξήζνπκε παξαθάησ, αο ζπκεζνύκε όηη ζην πξνεγνύκελν Κεθάιαην βξήθακε πσο ε ζπλέιημε ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ p(t) ηνπ ζρήκαηνο 2.8(α) κε ηνλ εαπηό ηνπ είλαη έλαο άξηηνο ηξηγσληθόο παικόο πνπ μεθηλά ηε ρξνληθή ζηηγκή η θαη ηειεηώλεη ηε ρξνληθή ζηηγκή η θαη έρεη ύςνο 1 2 η=η. Αλ ην ύςνο ηνπ παικνύ p(t) ήηαλ Α, ην ύςνο ηνπ ηξηγσληθνύ παικνύ-ζπλέιημεο ζα ήηαλ Α 2 η, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα 1.15 θαη πνπ επαλαιακβάλνπκε εδώ ζην ζρήκα 2.9. y(t) A 2 η η 0 η t ρ To ζήκα y(t)=αp(t) Ap(t), όπνπ p(t) είλαη ν νξζνγσληθόο παικόο ηνπ ζρήκαηνο 2.8α. Αλ είλαη η=1 θαη Α=1, o παξαπάλσ ηξηγσληθόο παικόο νλνκάδεηαη κνλαδηαίνο (ή ηππνπνηεκέλνο) ηξηγσληθόο παικόο θαη ζπκβνιίδεηαη κε Λ(t). Γει. είλαη Λ(t)=1+t, γηα 1/2 t 0, Λ(t)=1 t, γηα 0 t 1/2, θαη Λ(t)=0, γηα t 1/2 ή t 1/2. Πξνθαλώο, κε Α=1, ν ηξηγσληθόο παικόο καο y(t) ιακβάλεηαη από ηνλ παικό Λ(t) κε δηαζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε θιίκαθα η, δει. είλαη y(t)=λ(t/η). ύκθσλα κε ηελ έλαηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ηξηγσληθνύ ζήκαηνο y(t)=x(t) x(t), κε x(t)=ap(t), είλαη Y(f)=X(f) X(f)=ΑP(f) AP(f)=(Aη) 2 sinc 2 (f η), ε νπνία είλαη πξαγκαηηθή θαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f θαη παίξλεη κε αξλεηηθέο ηηκέο. H γξαθηθή ηεο παξάζηαζε αθνινπζεί: 2.22

23 Y(f)/(Aη) 2 1 f η =1/η f η 2f η f η 0 f η 2f η 3f η ρ Ο κεηaζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ηξηγσληθνύ ζήκαηνο y(t) ηνπ ζρήκαηνο 2.9. Παξαηήξεζε: Αο ζεσξήζνπκε όηη ν νξζνγσληθόο παικόο ηνπ ζρ. 2.8(α) δελ έρεη ύςνο 1 αιιά 1/η, νπόηε ην εκβαδόλ ηνπ είλαη ίζν κε η(1/η)=1. Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ είλαη ηώξα ίζνο κε P(f)=(1/η)ηsinc(fη)=sinc(fη) θαη ε κέγηζηε ηηκή ηνπ, πνπ ηελ παίξλεη γηα f=0, είλαη 1 αληί γηα η. Αλ αθήζνπκε ην η λα ηείλεη ζην 0, ην ύςνο 1/η ηνπ παικνύ p(t) ηείλεη ζην άπεηξν θαη ν παικόο πξνζεγγίδεη ηελ θξνπζηηθή ζπλάξηεζε δ(t). Παξάιιεια, ε πξώηε ζέζε κεδεληζκνύ ηνπ P(f), πνπ είλαη ε f η =1/η, απνκαθξύλεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη νδεύεη πξνο ην. Έηζη, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier P(f) ηνπ παικνύ ηείλεη λα γίλεη επζεία γξακκή, παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα ησλ ζπρλνηήησλ f ζε ύςνο 1. Γει. νξηαθά θζάλνπκε ζην ζπκπέξαζκα όηη ην ζήκα δ(t) έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier ίζνλ κε 1 (ην μέξακε ήδε). Αλαθέξακε ζην πξνεγνύκελν Κεθάιαην όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ Y(f) ελόο θίιηξνπ ζπλδέεηαη κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ X(f) απηνύ κε ηε ζρέζε Y(f)=H(f)X(f), όπνπ H(f) είλαη ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο ηνπ θίιηξνπ. Αλ βάινπκε σο είζνδν ζην θίιηξν ηελ θξνπζηηθή ζπλάξηεζε δ(t), ην ζήκα εμόδνπ ηνπ θίιηξνπ νλνκάδεηαη θξνπζηηθή απόθξηζε απηνύ θαη ζπκβνιίδεηαη κε h(t). Αθνύ ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ δ(t) ηνπ θίιηξνπ ηζνύηαη κε 1, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο θξνπζηηθήο ηνπ απόθξηζεο ηζνύηαη κε H(f) 1=H(f). Έηζη, έρνπκε F{h(t)}=H(f), νπόηε είλαη h(t)=f 1 {H(f)}, δει. ε θξνπζηηθή 2.23

24 απόθξηζε ελόο θίιηξνπ ηζνύηαη κε ηνλ αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηεο απόθξηζεο ζπρλόηεηάο ηνπ ή, αληίζηξνθα, ε απόθξηζε ζπρλόηεηαο ελόο θίιηξνπ ηζνύηαη κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηεο θξνπζηηθήο απόθξηζεο απηνύ. Βέβαηα, ηώξα πνπ κηιάκε γηα κεηαζρεκαηηζκό Fourier, ζεσξνύκε όηη ε ζπρλόηεηα f παίξλεη θαη αξλεηηθέο ηηκέο. Δπνκέλσο, θαη ζηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηεο H(f), πνπ είλαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηεο θξνπζηηθήο απόθξηζεο h(t) ηνπ θίιηξνπ, ε κεηαβιεηή f παίξλεη θαη αξλεηηθέο ηηκέο. Έηζη, ηόζν ε απόθξηζε πιάηνπο H(f) όζν θαη ε απόθξηζε θάζεο Arg{H(f)} ηνπ θίιηξνπ ζρεδηάδνληαη θαη γηα αξλεηηθά f. Απηό είλαη εύθνιν λα γίλεη, αθνύ ε H(f) είλαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f θαη ε Arg{H(f)} είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε απηήο. ε απηό ην πιαίζην, ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ απνθξίζεσλ πιάηνπο θαη θάζεο ηνπ θπθιώκαηνο ηνπ ζρ ζρεδηάδνληαη σο εμήο: H(f) f c 1 2 RC Arg{H(f)} π/2 π/4 f c 0 f c f f c 0 π/4 f c f π/2 (α) (β) ρ Οη απνθξίζεηο (α) πιάηνπο θαη (β) θάζεο ηνπ θπθιώκαηνο ηνπ ζρ ζρεδηαζκέλεο κε ηε ρξήζε θαη αξλεηηθώλ ζπρλνηήησλ. Σέινο, αθνύ ηζρύεη ε ζρέζε Y(f)=H(f)X(f), ε έλαηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier καο ιέεη όηη, γηα ζήκα εηζόδνπ x(t), ην ζήκα εμόδνπ (ε απόθξηζε) y(t) ηνπ θίιηξνπ είλαη ίζε κε ηε ζπλέιημε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε ηελ θξνπζηηθή απόθξηζε h(t) ηνπ θίιηξνπ, ήηνη είλαη y( t) h( t) x( t) h( t ) x( ) d. ην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα ΗΓ. Απόδεημε ηεο ζρέζεο εηζόδνπ-εμόδνπ γξακκηθνύ ρξνληθά ακεηάβιεηνπ ζπζηήκαηνο», ζην ηέινο ηνπ βηβιίνπ, απνδεηθλύνπκε απηή ηε ζρέζε ρσξίο λα θάλνπκε αλαθνξά θαη ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Από απηή ηε ζρέζε θαη κε εθαξκνγή ηεο έλαηεο ηδηόηεηαο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier πξνθύπηεη ε ζρέζε Y(f)=H(f)X(f), ηελ νπνία ζην Κεθάιαην 1 δώζακε ρσξίο απόδεημε. Πξηλ θιείζνπκε ηελ παξνύζα Παξάγξαθν, αο θάλνπκε κεξηθέο επηζεκάλζεηο: Ζ ρνλδξηθή κνξθή ελόο ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ θαζνξίδεηαη από ην θάζκα απηνύ 2.24

25 ζηηο ρακειέο ζπρλόηεηεο. Αληίζεηα, ην θαζκαηηθό πεξηερόκελν ελόο ζήκαηνο ζηηο ςειέο ζπρλόηεηεο θαζνξίδεη ηηο ιεπηνκέξεηεο (αθκέο, γσλίεο θ.ιπ.) ηνπ ζήκαηνο ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ. Απηό ζπκβαίλεη δηόηη ηα εκηηνληθά ζήκαηα ρακειώλ ζπρλνηήησλ αιιάδνπλ αξγά κε ηνλ ρξόλν θαη δελ κπνξνύλ λα αθνινπζήζνπλ θαη λα πξνζεγγίζνπλ ηηο γξήγνξεο κεηαβνιέο πνπ απαηηνύλ νη αθκέο ή νη γσλίεο θάπνηνπ ζήκαηνο x(t). Μπνξνύλ λα αθνινπζήζνπλ κόλν ηηο γεληθέο / ρνλδξηθέο κεηαβνιέο ηνπ ζήκαηνο x(t). Αλ πεξάζνπκε έλα ζήκα από έλα βαζππεξαηό θίιηξν, δει. αλ «ςαιηδίζνπκε» ην θάζκα ηνπ από κηα ζπρλόηεηα θαη πάλσ, ην ζήκα ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζα παξακέλεη αλαγλσξίζηκν κελ, αιιά ζα έρεη «ζηξνγγπιεπκέλεο» ηηο γσλίεο ηνπ θαη θάπνηεο «θπκαηώζεηο» ζηε κνξθή ηνπ. Αληίζεηα, αλ πεξάζνπκε ην ζήκα από έλα πςηπεξαηό θίιηξν, ην ζήκα ζα πάςεη λα είλαη αλαγλσξίζηκν ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, γηαηί ράλεηαη ε ρνλδξηθή κεηαβνιή ηνπ, νπόηε νη ιεπηνκέξεηεο ηνπ ζήκαηνο, πνπ θαζνξίδνληαη από ην θαζκαηηθό πεξηερόκελν ζηηο ςειέο ζπρλόηεηεο θαη ην νπνίν πεξλάεη από ην πςηπεξαηό θίιηξν, δελ έρνπλ πνύ λα «παηήζνπλ» γηα λα εκθαληζηνύλ. Δληειώο αλάινγα, αλ «ςαιηδίζνπκε» ην ζήκα ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, δει. αλ κεδελίζνπκε ην ζήκα γηα πνιύ κεγάια t (δει. ζεηηθά t κε κεγάιεο απόιπηεο ηηκέο) θαη γηα πνιύ κηθξά t (δει. αξλεηηθά t κε κεγάιεο απόιπηεο ηηκέο), ηόηε «ζηξνγγπιεύνπκε» ην θάζκα πιάηνπο ηνπ θαη εηζάγνπκε ζε απηό «θπκαηώζεηο». πλερίδνπκε βξίζθνληαο ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ: δ) Δθζεηηθόο παικόο: Απηόο νξίδεηαη σο ην ζήκα ε(t)=e αt u(t), κε α>0. Γει., γηα t<0, ν εθζεηηθόο παικόο έρεη ηηκή 0 θαη, γηα t 0, έρεη ηηκή e αt. Σε ρξνληθή ζηηγκή t=0 απηόο θάλεη άικα ηηκήο από 0 ζε 1 θαη από εθεί θαη πέξα θζίλεη εθζεηηθά, ηείλνληαο αζπκπησηηθά ζην 0. Έρνπκε: ( j2 f ) t t j2 ft ( j2 f ) t e. at E( f ) F{ ( t)} F{ e u( t)} e e dt e dt ( a j2 f ) Γηα t=0, ε ζπλάξηεζε πνπ βξίζθεηαη κέζα ζηελ αγθύιε έρεη ηηκή 1/(α+j2πf). Θα βξνύκε ην όξην ηεο ίδηαο ζπλάξηεζεο, όηαλ ην t ηείλεη ζην +. O αξηζκεηήο κπνξεί λα γξαθεί θαη σο e αt e j2πft. Απηόο είλαη έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο πνπ έρεη κέηξν e αt θαη όξηζκα 2πft. Αθνύ ην κέηξν ηνπ e αt ηείλεη ζην 0, θαζώο ην t ηείλεη ζην +, ν κηγαδηθόο αξηζκόο ηείλεη ζην 0. Γει., ην όξην ην νπνίν δεηάκε είλαη ίζν κε 0. Δπνκέλσο, έρνπκε: at 1 1 F{ e u( t)} 0 ( a j2 f ) a j2 f Σν κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ 1/(α+j2πf) είλαη ίζν κε 1/(α 2 +4π 2 f 2 ) 1/2 θαη ην όξηζκά ηνπ είλαη ίζν κε Arg(1) Arg(α+j2πf)=0 Arg(α+j2πf)= Arg(α+j2πf). Δπεηδή ην πξαγκαηηθό κέξνο α ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ α+j2πf είλαη ζεηηθό, ην όξηζκά ηνπ βξίζθεηαη ζην πξώην ή ζην ηέηαξην ηεηαξηεκόξην, νπόηε απηό είλαη ίζν κε ηνμεθ(2πf/α). Δπνκέλσο, ην όξηζκα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ 1/(α+j2πf) είλαη ίζν κε ηνμεθ(2πf/α). Οη γξαθηθέο 2.25

26 παξαζηάζεηο ησλ Δ(f) θαη Arg{E(f)}, πνπ ζπληζηνύλ ηα θάζκαηα πιάηνπο θαη θάζεο, αληίζηνηρα, ηνπ εθζεηηθνύ παικνύ, δίλνληαη ζην επόκελν ζρήκα 2.12 κε ρξήζε θαη αξλεηηθώλ ζπρλνηήησλ: 1 ε(t) e αt 1/α E(f) 0,707/α 0 t (α) Arg{Δ(f)} π/2 α/2π 0 α/2π f (β) α/2π 0 π/4 π/2 π/4 α/2π f (γ) ρ (α) Ο εθζεηηθόο παικόο ε(t)=e αt u(t), κε α>0, (β) ην θάζκα πιάηνπο ηνπ θαη (γ) ην θάζκα θάζεο ηνπ. ε) Ζκηηνληθόο παικόο ζπρλόηεηαο f c θαη δηάξθεηαο η: Δίλαη έλα ζήκα s(t) πνπ, ζην δηάζηεκα ( η/2, η/2), έρεη ηηκή ζπλ2πf c t θαη, έμσ από απηό, έρεη ηηκή 0. Δίλαη πξνθαλέο όηη απηό ην ζήκα κπνξεί λα γξαθεί θαη σο s(t)=p(t)ζπλ2πf c t, όπνπ p(t) είλαη ν νξζνγσληθόο παικόο δηάξθεηαο η πνπ γλσξίζακε πξνεγνπκέλσο ζην (γ). ύκθσλα κε όζα είπακε ζην ηέινο ηεο ππνελόηεηαο 2.1γ, σο εθαξκνγή ηεο όγδνεο ηδηόηεηαο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο p(t)ζπλ2πf c t ηζνύηαη κε S(f)=[P(f f c )+P(f+f c )]/2, όπνπ P(f)=ηsinc(f η) είλαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο p(t). αο ζπκίδνπκε όηη ν P(f) είλαη πξαγκαηηθή θαη άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο f θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε έρεη δνζεί ζην ζρήκα 2.8β. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ P(f f c )/2 ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ P(f)/2 κε κεηαθίλεζή ηεο δεμηά θαηά f c θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ P(f+f c )/2 ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ P(f)/2 κε κεηαθίλεζή ηεο αξηζηεξά θαηά f c. H επαιιειία (πξόζζεζε) απηώλ ησλ δύν κεηαθηλεκέλσλ αληηγξάθσλ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ 2.26

27 P(f)/2 παξέρεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier S(f) ηνπ εκηηνληθνύ παικνύ ζπρλόηεηαο f c θαη δηάξθεηαο η. Τπελζπκίδνπκε εδώ όηη ε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier θαη ησλ ηδηνηήησλ ηνπ πξνϋπνζέηνπλ ρξήζε θαη ησλ αξλεηηθώλ ζπρλνηήησλ γηα ηνπο P(f), P(f f c ) θαη P(f+f c ). Αλ, σο ζπλήζσο, είλαη f c >>f η (=1/η), θαζέλαο από ηνπο P(f f c )/2 θαη P(f+f c )/2 εκπιέθεηαη κε ηνλ άιινλ κόλν κε κηα «νπξά» ηνπ πνπ έρεη αζήκαλην πιάηνο (αζήκαληεο ηηκέο). ηε γεληθή πεξίπησζε, ε ηειηθή κνξθή ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ S(f) εμαξηάηαη πνιύ από ηε ζρέζε ησλ ζπρλνηήησλ f c θαη f η. ην ζρήκα 2.13 δίλνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ S(f) γηα f c =1,8f η. Πξνθαλώο, ηώξα, ε ζπρλόηεηα f c δελ είλαη πνιύ κεγαιύηεξε από ηε ζπρλόηεηα f η. S(f)=[P(f f c )+ P(f+f c )]/2 P(f+f c )/2 P(f f c )/2 f f c 0 f c ρ Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier S(f) ελόο εκηηνληθνύ παικνύ s(t) ζπρλόηεηαο f c θαη δηάξθεηαο η, γηα f c =1,8/η. ηε ζπλέρεηα, κπνξνύκε εύθνια λα ζρεδηάζνπκε ην θάζκα πιάηνπο θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ εκηηνληθνύ παικνύ s(t). Κάληε ην. Δκείο εδώ ζα δώζνπκε απιά θαη ηε 2.27

28 καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ S(f) πνπ είλαη S(f)=[P(f f c )+P(f+f c )]/2={ηsinc[(f f c )η]+ηsinc[(f+f c )η]}/2=(1/2){εκ[π(f f c )η]/[π(f f c )]+εκ[π(f+f c )η]/[π(f+f c )]}. ζη) Ζκηηνληθό ζήκα ζπρλόηεηαο f c θαη άπεηξεο δηάξθεηαο: Θα βξνύκε ηα θάζκαηα ηνπ εκηηνληθνύ ζήκαηνο ζπλ2πf c t. Έρνπκε ζπλ2πf c t=1 ζπλ2πf c t θαη F{1}=δ(f). Δθαξκόδνληαο ηελ ίδηα (όγδνε) ηδηόηεηα πνπ εθαξκόζακε παξαπάλσ ζην (ε) παίξλνπκε: F{ζπλ2πf c t}=[δ(f f c )+δ(f+f c )]/2. Δπνκέλσο, ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο ζπλ2πf c t απνηειείηαη από κηα ζπλάξηεζε δ ζηε ζπρλόηεηα f c θαη κηα ζπλάξηεζε δ ζηε ζπρλόηεηα f c. Καη νη δύν είλαη πνιιαπιαζηαζκέλεο επί ηνλ ζπληειεζηή 1/2. Σν θάζκα πιάηνπο απηνύ ηνπ εκηηνληθνύ ζήκαηνο απνηειείηαη από απηέο ηηο δύν θξνπζηηθέο ζπλαξηήζεηο θαη ην θάζκα θάζεο ηνπ είλαη παληνύ ίζν κε 0. Δπαιεζεύνπκε δειαδή απηό πνπ είπακε ζηελ Δηζαγσγή, όηαλ νξίζακε ην θάζκα πιάηνπο ελόο εκηηνληθνύ ζήκαηνο ζπρλόηεηαο f 0 : Όηη, κε ηελ απζηεξή έλλνηα, ηα θάζκα απηό δελ είλαη έλα επζύγξακκν ηκήκα ζηε ζπρλόηεηα ηνπ ζήκαηνο αιιά κηα ζπλάξηεζε δ ζε απηή ηε ζπρλόηεηα. Ζ παξνπζία ηνπ ζπληειεζηή 1/2 νθείιεηαη ζηε ρξήζε θαη αξλεηηθώλ ζπρλνηήησλ. Δζείο ρξεζηκνπνηήζηε ηελ ηαπηόηεηα εκζ=(e jζ e jζ )/(2j) θαη απνδείμηε όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ζήκαηνο εκ2πf c t είλαη ίζνο κε [δ(f f c ) δ(f+f c )]/(2j), νπόηε ην θάζκα πιάηνπο ηνπ ζήκαηνο απνηειείηαη από κηα ζπλάξηεζε δ ζηε ζπρλόηεηα f c θαη κηα ζπλάξηεζε δ ζηε ζπρλόηεηα f c (θαη ηηο δύν πνιιαπιαζηαζκέλεο επί 1/2) θαη ην θάζκα θάζεο απηνύ έρεη ηηκή π/2 ζηε ζπρλόηεηα f c θαη ηηκή π/2 ζηε ζπρλόηεηα f c, όπσο πεξηκέλνπκε, αθνύ ηζρύεη ε ζρέζε εκ2πf c t=ζπλ(2πf c t π/2). Σώξα ζα δνύκε απζηεξά, κε ηε βνήζεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier, γηαηί, αλ νδεγήζνπκε ην εκηηνληθό ζήκα x(t)=αζπλ(2πf 0 t+ζ) ζε ζύζηεκα (θίιηξν) πνπ έρεη απόθξηζε ζπρλόηεηαο H(f), ην ζήκα εμόδνπ ηνπ θίιηξνπ ζα είλαη y(t)= ζπλ[2πf 0 t+ζ+ ]. Σν ζήκα x(t) γξάθεηαη σο x(t)= Fourier Υ(f)= θαη έρεη κεηαζρεκαηηζκό. To ζήκα εμόδνπ ηνπ θίιηξνπ έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier Y(f)=X(f)H(f)=. Τ(f)= Δπεηδή ε ζπλάξηεζε έρεη κεδεληθή ηηκή, γηα f f 0, θαη ε ζπλάξηεζε έρεη κεδεληθή ηηκή, γηα f f 0, ε παξαπάλσ έθθξαζε γξάθεηαη σο. O αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ όξνπ είλαη ίζνο κε θαη ηνπ όξνπ είλαη ίζνο κε. Δπνκέλσο, είλαη y(t)=f 1 {Y(f)}=. Γλσξίδνπκε όηη γηα ην ζύζηεκα (θίιηξν) καο ηζρύεη ε ζρέζε. Δπνκέλσο, νη δύν πξνζζεηένη ζηελ έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) είλαη ζπδπγείο κεηαμύ ηνπο, νπόηε ην ζήκα y(t) είλαη ίζν κε ην δηπιάζην ηνπ πξαγκαηηθνύ κέξνπο θαζελόο από απηνύο. Ο πξώηνο όξνο είλαη ίζνο κε 2.28