ΧΙΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΙΙ Α. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στα όσα προηγήθηκαν, εξετάσαµε δύο "ακραία" καθεστώτα x1x

Transcript

1 ΧΙΙΙ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΙΙ Α ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στ όσ προηγήθηκν, εξετάσε δύο "κρί" κθεστώτ κθεστώτος προϋποθέτει την επιβίωση όλων των, (,, ( ( ( (η "επιβίωση" του κι το κθεστώς "λύετι" όλις πεθάνει ένς (οποιοσδήποτε πό τους (, (,, ( κι ( (γι την "επιβίωση" του κθεστώτος ρκεί η επιβίωση ενός όνον πό τους (, (,, ( κι το κθεστώς "λύετι" ότν πεθάνει κι ο τελευτίος Τ κθεστώτ υτά πορούν ν χρκτηρισθούν ντιστοίχως ως "κθεστώς πό κοινού επιβίωσης (όλων" κι ως "κθεστώς τελευτίου επιζώντος" Μετξύ των δύο κρίων υτών κτστάσεων πορούε ν ορίσουε κθεστώτ των οποίων η "επιβίωση" εξρτάτι πό το πλήθος r (r,,, των θνάτων ετξύ των, (,, ( κι, επιπλέον, ο ορισός πορεί ν γίνει κτά τρόπο που ν είνι ( συνεπής προς τους ορισούς των ( κι ( κι ν περιλβάνει τους δύο υτούς ορισούς ως ειδικές περιπτώσεις r Με το σύβολο ( δηλώνουε έν κθεστώς το οποίο "επιβιώνει" όσο ζουν τουλάχιστον r πό τους (, (,, ( κι "λύετι" ότν συβεί ο υπ' ριθ r+ θάντος ετξύ των, (,, ( Το γνωστό σύβολο είνι προφνώς ίσο ε ( ( ( (πρέπει ν ζουν όλοι, άρ "τουλάχιστον ", το δε σύβολο ( είνι προφνώς ίσο ε ( (πρέπει ν ζει "τουλάχιστον ένς" Εποένως, το κθεστώς r ( είνι κλώς ορισένο γι r,,, (όλες τις δυντές τιές του r κι ποτελεί γενίκευση των κι ( ( r Η πιθνότητ επιβίωσης του κθεστώτος (, r, πορεί ν γρφεί ως άθροισ των πιθνοτήτων [ ] επιβίωσης κριβώς ( r, r+,, πό τις ζωές (, (,, ( : r [ ] r Αν οι ζωές είνι οήλικες, είνι σφές ότι [ ] ( κι r ( Έχουε δηλδή ι διωνυική r τ Β ε πρέτρους κι κι τ [ ] κι r ντιστοιχούν στ Pr( B f ( κι Pr( B r FB ( r Ειδικότερ, [ ] κι B ( (

2 Το συνδυστικό σκεπτικό που οδηγεί στη λύση γι οήλικες ζωές πορεί, ε κτάλληλες τροποποιήσεις, ν οδηγήσει κι στη γενική λύση γι οποιεσδήποτε ζωές, (,, ( Αντί ( 4 ενός όρου όπως, πχ, ο 6, γι τέσσερες διφορετικές ζωές έχουε άθροισ 6 όρων (ο διωνυικός συντελεστής "πουσιάζει", 4 λλά το πλήθος των νόοιων όρων είνι! Ορώενοι πό υτή τη διπίστωση, ορίζουε το ως το άθροισ όλων των δυντών γινοένων που πορούν ν γρφούν επιλέγοντς Σ πό τις πιθνότητες,,, επιλεγένους πό τις τέσσερες πιθνότητες,,, (Πχ, οι 6 όροι που γράψε πρπάνω, + +, είνι το άθροισ Σ όλων των δυντών γινοένων ε δύο πράγοντες Με βάση τις προηγηθείσες πρτηρήσεις, φθάνουε (χωρίς πόδειξη! στ εξής ποτελέστ Η πιθνότητ [] r είνι ίση ε ( r Σ κι η πιθνότητ r είνι ίση ε r r r ( Σ Με βάση υτά τ ποτελέστ, κάθε πιθνότητ [] r ή r r r πορεί ν γρφεί ως άθροισ πιθνοτήτων επιβίωσης γι κθεστώτ πό κοινού επιβίωσης γι όλους τους δυντούς συνδυσούς r ζωών, r+ ζωών,, ζωών Β ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Είνι σφές ότι οι συνρτήσεις (ενιί σφάλιστρ ρντών είνι γρικές συνρτήσεις των πιθνοτήτων Εφόσον οι πιθνότητες κι είνι γρικές συνρτήσεις των, οι συνρτήσεις Α (ενιί σφάλιστρ σφλίσεων είνι επίσης γρικές συνρτήσεις των (Το συπέρσ υτό προκύπτει επίσης πό τη γρφή d&, όπου το & & είνι γρική συνάρτηση των! Είνι εποένως προφνές ότι κάθε σχέση που ισχύει γι πιθνότητες επιβίωσης οποιουδήποτε κθεστώτος, γι πιθνότητες οποισδήποτε σειράς θνάτων, κλπ ισχύει εξίσου ότν το σύβολο ντικτστθει ε ή ε Α Αν, πχ, ισχύει (όπως πράγτι ισχύει η +, ισχύουν κι οι + κι + Κτά τον ίδιο τρόπο, πό την + : ότι : συπερίνουε ότι +, κοκ, πό την Το πρπάνω σκεπτικό (της γρικότητς των κι Α δεν ισχύει φυσικά γι ετήσι σφάλιστρ κι (κτά συνέπει γι θητικά ποθέτ (χωρίς βέβι υτό ν ποκλείει τον υπολογισό υτών των εγεθών Εκείνο που πρέπει ν προσεχθεί ιδιίτερ, ότν υπάρχουν περισσότερες της ις ζωής κι περιορισοί ως προς τη σειρά των θνάτων, είνι η περίοδος πληρωής των ετήσιων σφλίστρων Τ σφάλιστρ δεν δικόπτοντι όνον ότν λήξει η σφάλιση εξιτίς πργτοποίησης του σφλισένου θνάτου "στη σωστή σειρά", δικόπτοντι κι ότν λήξει η σφάλιση χωρίς κτβολή κεφλίου εξιτίς η πργτοποίησης της πιτούενης σειράς των θνάτων! Απλά πρδείγτ υπολογισού ετήσιων σφλίστρων κι θητικών ποθεάτων δίδοντι στις Ασκήσεις

3 Γ ΚΑΘΕΣΤΩΤΑ ΜΕ ΒΕΒΑΙΕΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥΣ Τ κθεστώτ που εξετάσε έχρι στιγής περιλβάνουν όνον ζωές Μι κό γενίκευση προκύπτει ν συπεριλάβουε έσ σε έν κθεστώς κι βέβιες χρονικές περιόδους Έν πλό πράδειγ είνι το ενιίο σφάλιστρο & & προσωρινής ράντς που κτβάλλετι όσο : ζουν κι ο ( κι ο ( (εδώ πιτείτι η "επιβίωση" κι της χρονικής περιόδου πέρν της επιβίωσης των ( κι (! εν υπάρχει διφορά στον τρόπο χειρισού των βέβιων περιόδων, πχ, είνι + κι + + : : : : : Βέβιες όως περίοδοι πορεί ν τίθεντι κι ως πρόσθετες συνθήκες πέρν πό τη σειρά των θνάτων κι θ δώσουε τρί τέτοι πρδείγτ Η πιθνότητ ότι οι (, (, ( θ πεθάνουν ε τη σειρά που δίδοντι έσ σε χρόνι κι θ εσολβούν τουλάχιστον χρόνι νάεσ στους θνάτους των ( κι ( κι των ( κι ( είνι ( + ( d + : : : : : : (η στιγή θνάτου του ( νγκστικά περιορίζετι στο διάστη (, εξιτίς του ετούς περιορισού ετξύ διδοχικών θνάτων! Αφήνετι ως Άσκηση ν δειχθεί ότι η ζητούενη πιθνότητ είνι ίση ε ( ( : : + : + : + Η πιθνότητ οι (, (, ( ν πεθάνουν ε τη σειρά που νφέροντι, ο ( ν πεθάνει έσ σε χρόνι πό το θάντο του ( κι ο ( έσ σε χρόνι πό το θάντο του ( είνι ( + ( + d + ( + ( + d Είνι σφές, στ ολοκληρώτ υτά, ότι ο ( ζει τη στιγή του θνάτου του ( λλά δεν ζει χρόνι ργότερ κι ότι ο ( δε ζει τη στιγή του θνάτου του ( Το πρώτο ολοκλήρω ντιστοιχεί σε θάντο πρώτ του ( κι ετά του ( έσ στην πρώτη ετί, ενώ στο δεύτερο ολοκλήρω ο θάντος του ( συβίνει στο διάστη (, (ε τη στιγή του θνάτου του ( Αφήνετι ως Άσκηση ν δειχθεί ότι η ζητούενη πιθνότητ είνι ίση ε ( : + : + + ( : + : + + : + : + Η πιθνότητ ότι οι (, ( κι ( θ πεθάνουν ε υτή τη σειρά νάεσ σε ηλικίες 4 κι 8, ο ( έσ σε χρόνι πό το θάντο του ( κι ο ( τουλάχιστον χρόνι ετά το θάντο του ( είνι 4 ( + ( + d + + d ( ( + Κλείνουε ε δύο πρόοι πρδείγτ ε ενιί σφάλιστρ Γι σφάλιση πληρωτέ στο θάντο του ( ν πεθάνει πριν πό τον ( ή έσ σε χρόνι πό το θάντο του ( υπό τον όρο ότι ο ( εξκολουθεί ν ζει, το ενιίο σφάλιστρο είνι υ + d + υ υ + : : d + : E (τ πρώτ χρόνι η + : : + σφάλιση είνι νεξάρτητη πό το θάντο του (! Γι σφάλιση πληρωτέ στο θάντο του ( ν ο ( πεθάνει πρώτος κι ο ( δεύτερος κι τουλάχιστον χρόνι πριν πό τον (, το ενιίο σφάλιστρο είνι υ + + d E + :

4 ΚΛΗΡΟ ΟΤΙΚΕΣ ΡΑΝΤΕΣ Κληροδοτική ράντ (reverioar aui είνι ι ράντ ζωής στον ( της οποίς οι κτβολές ρχίζουν ν προηγηθεί ο θάντος ις άλλης ζωής ( Το ενιίο σφάλιστρο υτής της ράντς γράφετι ("ράντ στον ( ετά τον (" κι είνι ίσο ε υ d (ίσο ε την ξί ις ισόβις ράντς στον ( που όως δεν κτβάλλετι "όσο ο ( συνυπάρχει ε τον (" Ισοδύνες πρστάσεις γι το είνι υ + d d + υ d d + d υ d Από το προτελευτίο ολοκλήρω βλέπουε ότι + + είνι η ξί ις νβλλόενης ισόβις ράντς στον ( της οποίς η περίοδος νβολής είνι τυχί (συνδέετι ε τη στιγή θνάτου του ( Άλλες πρστάσεις γι ολοκλήρω το είνι υ d d υ d d (* Στο τελευτίο είνι το ενιίο σφάλιστρο γι ι άλλη ειδική κάλυψη γνωστή ως "οικογενεικό επίδο" (famil icome beefi Θ επνέλθουε στην ερηνεί της (* φού ελετήσουε το σφάλιστρο υ d F υ d + Το οικογενεικό επίδο είνι ι κάλυψη που, σε περίπτωση θνάτου του ( έσ στ επόεν χρόνι, πρέχει στους "οικείους" του ( εισόδη έχρι την εκπνοή της περιόδου των ετών Το ενιίο σφάλιστρο είνι F υ d : ( υ ( υ υ : : Από την F βλέπουε ότι το : δ δ F είνι η ξί ις ράντς όλ τ χρόνι όχι όως όσο ο ( βρίσκετι στη ζωή (άρ όνο στ χρόνι ετά το θάντο του ( κι έχρι τη λήξη της -ετίς Αξίζει κό ν σηειωθεί ότι υ είνι το ενιίο σφάλιστρο γι ι πρόσκιρη σφάλιση θνάτου διάρκεις που κτβάλλει το κεφάλιο θνάτου στο τέλος των ετών κι ότι στη σχέση υ + δ F πορεί ν + δοθεί ερηνεί νάλογη (ποι; ε την ερηνεί της + δ Τέλος, το F πορεί ν γρφεί + + d d υ d d υ + υ d, που δείχνει ότι το F είνι ενιίο σφάλιστρο γι ι πρόσκιρη σφάλιση θνάτου της οποίς το (τυχίο κεφάλιο είνι η ξί (τη στιγή του θνάτου του εισοδήτος που θ κτβληθεί ετά το θάντο Επνερχόενοι στο ενιίο σφάλιστρο της κληροδοτικής ράντς, βλέπουε ότι + F d, δηλδή ότι η κληροδοτική ράντ ισοδυνεί ε ι ράντ ετά το θάντο του (, της οποίς όως η διάρκει είνι τυχί (εξρτάτι πό τη στιγή του θνάτου του ( :

5 Κληροδοτικές ράντες ορίζοντι κι γι πιο πολύπλοκ κθεστώτ κι η σχέση ισχύει κι στην περίπτωση υτή Έτσι, πχ, : : : : : : : : : : + : Ε ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΡΑΝΤΕΣ ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΤΑΒΟΛΕΣ Πρόκειτι γι πό κοινού ράντες το ύψος των οποίων εξρτάτι πό το πλήθος των επιζώντων (Έν πλό πράδειγ : στο θάντο, σύντξη ύψους ετβιβάζετι στον ή στη σύζυγο, λλά το ύψος ειώνετι σε Ας υποθέσουε, πχ, ότι έχουε ι ράντ κτβλητέ σε 4 άτο (, (, (, ( κι ότι το ύψος των κτβολών ότν ζουν κριβώς κ πό τ άτο (κ,,, 4 είνι κ Γι ν βρούε το πιτούενο ενιίο σφάλιστρο, το γράφουε ως Σ + BΣ + ΓΣ + Σ 4, όπου Α, Β, Γ, στθερές κι Σ κ είνι το άθροισ όλων των δυντών πό κοινού ρντών γι κ πό τ 4 άτο Γι ν βρούε τις στθερές Α, Β, Γ,, σκεπτόστε ως εξής Αν ζει έν όνον άτοο, οι ράντες που περιέχοντι στ θροίστ Σ, Σ, Σ 4 είνι "άκυρες" (πιτούν την επιβίωση δύο, τριών ή τεσσάρων ζωών κι το ίδιο ισχύει γι τρεις πό τις τέσσερες τοικές ράντες στο Σ Εφόσον ότν κ κτβάλλετι ι ονάδ, το Α πρέπει ν είνι Ας πάε τώρ σε δύο ζωές Τ Σ κι Σ 4 "είνι έξω" κι πό τις 6 ράντες που πρτίζουν το Σ όνον ι είνι "ενεργή" (υτή που φορά στους δύο επιζώντες Στο Σ έχουε δύο ράντες που ντιστοιχούν στους δύο επιζώντες Πρέπει λοιπόν ν έχουε + Β, άρ Β Αν ζουν τρί άτο (κι δοθέντος ότι οι νά δύο ράντες πουσιάζουν (Β, + Γ, άρ Γ Ότν ζουν κι τ τέσσερ άτο, 4 + 4, άρ κι, κτά συνέπει, το ενιίο σφάλιστρο είνι πλά Έν δεύτερο πράδειγ : οι κτβολές είνι ότν ζουν τέσσερ άτο, 4 ότν ζουν τρί άτο, ότν ζουν δύο άτο κι ότν ζει έν άτοο Οι εξισώσεις είνι (ρχίζοντς υτή τη φορά πό ότν επιζούν όλοι 4Α + 6Β + 4Γ +, Α + Β + Γ 4, Α + Β, Α ε λύση Α, Β, Γ, Άρ το ζητούενο σφάλιστρο είνι ( ( ( Η επλήθευση είνι άεση Ότν ζουν όλοι, η κτβολή είνι ότν ζουν τρεις, η κτβολή είνι + 4 ότν ζουν δύο, η κτβολή είνι κι ότν ζει όνον ένς, η κτβολή είνι ΣΤ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (i Αν, ν δειχθεί ότι γι οήλικες ζωές 7 (ii Γι ποιο r είνι η πιθνότητ [] έγιστη κι ποιο το έγεθός της; (Απάντηση : κι 6 r 6

6 (i Ν δειχθεί ότι [ ] ( ( (ii Ν δειχθεί νεξάρτητ ότι [ ] κι ν δειχθεί ότι η πάντηση υτή είνι συνεπής προς το ποτέλεσ στο (i Ν δειχθεί ότι [ ] Σ 4 (i Ν δειχθεί ότι ( Σ (ii Εφόσον [ κ ], το είνι κ κ κ επίσης ίσο ε ( Σ ( Σ (iii Οι συντελεστές των Σ στο κ κ κ κ κ κ (i κι στο (ii πρέπει ν είνι ίδιοι, άρ ( ( (* Ν δειχθεί ότι η (* κ κ κ κ ισοδυνεί ε ( κι προκύπτει πό τη γνωστή ιδιότητ των κ κ ( κ κ διωνυικών συντελεστών Ν γενικευθεί η Άσκηση 4 στην περίπτωση οποιουδήποτε r κι ν δειχθεί ότι κ r ( κ r κ r 6 Με τι είνι ίσο το υ d ; (Υπόδειξη : ν γρφεί ως διπλό ολοκλήρω κι ν δειχθεί ότι είνι 7 (i Προφνώς + κι κτά συνέπει δ κθεστώς d Με ολοκλήρωση κτά πράγοντες ν δειχθεί ότι ( (ii Εφόσον ισχύει κι η δ + δ όπως πρέπει ν είνι + δ είνι η "θεελιώδης σχέση" γι το +, θροίζοντς πίρνουε 8 (i Ποιο το κτάλληλο σύβολο γι κθέν πό τ ολοκληρώτ υ d, υ d, υ d, υ d, υ, + 4 +, + + :: + :4 d + +, υ + + d ; (Απάντηση : :: + υ d,,,,, (ii Ν περιγρφεί λεκτικά κθειά πό τις σφλίσεις στο (i κι ν επισηνθούν οι συνθήκες κάτω πό τις οποίες η σφάλιση κυρώνετι (λήγει χωρίς κτβολή κεφλίου θνάτου

7 9 Ν υπολογισθεί κάθε έν πό τ σφάλιστρ της Άσκησης 8 γι ( e (Απάντηση :, ( + δ ( + δ ( + δ( + δ( + δ, ( + δ( + δ( + δ( 4 + δ ( + δ( + δ( 4 + δ, το ίδιο,, ( + δ( 4 + δ ( + δ( + δ( 4 + δ (i Ν δειχθεί ότι το ενιίο σφάλιστρο γι ισόβι σφάλιση στον ( υπό τον όρο ότι θ πεθάνει δεύτερος κι τουλάχιστον χρόνι ετά το θάντο του ( είνι E + (ii Ποι η ( τιή του σφλίστρου στο (i γι e ; (Απάντηση : ( + δ( + δ ( + δ e : Ν δειχθεί ότι το ενιίο σφάλιστρο γι ισόβι σφάλιση στον ( υπό τον όρο ότι θ πεθάνει δεύτερος κι έσ σε χρόνι πό το θάντο του ( είνι + E E : : + + : + (i Ποι πιθνότητ εκφράζει το τριπλό ολοκλήρω du d d ; (ii Ν δειχθεί ότι το τριπλό ολοκλήρω είνι ίσο ε δειχθεί ότι τ (i κι (ii δίνουν την ίδι τιή γι ( ( e ( e u + u + ( : + d, (iii Ν e (Απάντηση : η τιή είνι (i Ποι είνι η πιθνότητ ο ( ν πεθάνει σε ηλικί ικρότερη του (6, ο (4 ν πεθάνει σε ηλικί εγλύτερη του 8 κι οι δύο θάντοι ν πέχουν το πολύ χρόνι; (Απάντηση : (ii Ποι η πιθνότητ στο (i ν οι θάντοι : 7 πέχουν περισσότερο πό χρόνι; (Απάντηση : άθροισ των (i κι (ii κι γιτί; : 7 + (iii Ποιο το 4 Ν γρφούν τ ετήσι σφάλιστρ γι τις κληροδοτικές ράντες && (γιτί όχι && ;, &&, && :,, (Απάντηση : Το ετήσιο σφάλιστρο P είνι συνήθως ίσο ε & + + && && (δηλδή κτβάλλετι όσο ζει ένς πό τους σφλισένους Μπορεί όως ν συφωνηθεί ότι το σφάλιστρο θ κτβάλλετι έχρι το θάντο ενός (συγκεκριέν πό τους σφλισένους (το κεφάλιο βέβι κτβάλλετι στο δεύτερο θάντο νεξάρτητ πό τον τρόπο πληρωής των σφλίστρων Στην περίπτωση υτή το σφάλιστρο θ είνι P ή P (κι φυσικά διφορετικό πό το "κνονικό" Από κοινού κλύψεις είνι δυντόν ν οδηγήσουν σε ρνητικά θητικά ποθέτ κι γι το λόγο υτό συχνά τίθεντι περιορισοί στην περίοδο πληρωής των σφλίστρων

8 6 Προσοχή πιτεί κι ο ορισός των θητικών ποθεάτων Γι σφάλιση, πχ, στον τελευτίο επιζώντ ε "κνονικό" σφάλιστρο (Άσκηση, το πόθε είνι V P & ότν ζουν κι οι δύο σφλισένοι, + : + + : + V + P & + ν έχει πεθάνει ο ( κι V + P & + ν έχει πεθάνει ο ( Αν όως είχε συφωνηθεί το "ειδικό σφάλιστρο" P ~ ν κτβάλλετι όσο ζει ο (, τότε το θητικό πόθε είνι P ~ + & + ετά το θάντο του (, λλά ετά το θάντο του ( ( + 7 (i Ποι η τιή του γι e ; (Απάντηση : (Απάντηση : e δ δ (iv Ν επληθευθεί η τιή του ( + δ( + δ (ii Ποι η τιή του F; ( + δ e (iii Σε τι ντιστοιχούν οι δύο όροι της πάντησης στο (ii; + δ στο (i ε χρήση της τιής του F στο (ii 8 (i Ποι η τιή του του ω ω 4 γι ( γι l ω (κι επιτόκιο ηδέν; (Απάντηση : κι επιτόκιο ηδέν; (Απάντηση : (ii Ποι η τιή ω 7 9 (i Μι ράντ στους (, (, ( κι ( κτβάλλει το ποσό κ 4 ότν ζουν όλοι, το ποσό κ ότν ζουν τρεις, το ποσό ότν ζουν δύο κι το ποσό κ ότν ζει όνον ένς Αν η νλογιστική προύσ ξί της ράντς είνι ότι οι συντελεστές κ Σ Σ + Σ + 4 +, ν δειχθεί j, j,,, 4, είνι κ, κ κ, κ κ + κ, (ii Αν γενικεύσουε σε ζωές, ν δειχθεί ότι οι συντελεστές είνι 4 κ 4 4κ + 6κ 4κ j j i j j j i i i ( κ, j,,, Με τη βοήθει του ορισού Συνδυάζοντς το ποτέλεσ υτό ε τη σχέση γνωστό + δ + d, ν δειχθεί ότι + δ + δ (Άσκηση 7, έχουε το