ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 4: Η τραγωδία των κοινών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 4: Η τραγωδία των κοινών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής"

Transcript

1 Ενότητα 4: Η τραγωδία των κοινών Ρεφανίδης Ιωάννης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 The commons tragedy Η τραγωδία των κοινών 4

5 Γενικά Η έννοια της ισορροπίας Nash και η μελέτη ολιγοπωλιακών αγορών μπορεί να εφαρμοστεί στη μελέτη της τραγωδίας ή του προβλήματος των κοινών (the commons tragedy). Ως κοινά θεωρούνται οι πόροι ή τα αγαθά τα οποία: είναι προσβάσιμα σε όλους η διαθεσιμότητα τους (τωρινή ή/και μελλοντική) μειώνεται με τη χρήση. Το πρόβλημα έγκειται στην υπερβολική χρήση των κοινόχρηστων πόρων: Το όφελος από την υπερβολική χρήση κατευθύνεται σε λίγους. Το κόστος από την υπερβολική χρήση μοιράζεται σε όλους! 5

6 Παραδείγματα Κυνηγοί και θηράματα Φαινόμενο του θερμοκηπίου. Εταιρείες, έθνη κλπ δεν μειώνουν τις εκπομπές τους σε διοξείδιο του άνθρακα. Χρήση των modem του πανεπιστημίου. Διαφημίσεις (πινακίδες στους δρόμους, spam s κλπ). 6

7 Ένα απλό μοντέλο (1/5) Έστω δύο παίκτες, Α και Β, και ένας κοινόχρηστος πόρος μεγέθους y>0. Σε κάθε χρονική περίοδο (π.χ. κάθε μέρα) κάθε παίκτης μπορεί να καταναλώσει μια μη-αρνητική ποσότητα του πόρου, c A ή c B, έτσι ώστε c A +c B y. Εάν η συνολική ζήτηση είναι μεγαλύτερη από τη διαθέσιμη ποσότητα, αυτή μοιράζεται στους παίκτες, αλλιώς κάθε παίκτης λαμβάνει όσο ζήτησε. Για απλοποίηση θεωρούμε ότι το παιχνίδι διαρκεί δύο χρονικές περιόδους. 7

8 Ένα απλό μοντέλο (2/5) Έστω ότι το όφελος για κάθε παίκτη από την κατανάλωση ποσότητας c σε μια μέρα ισούται με: u(c)=log(c) 8

9 Ένα απλό μοντέλο (3/5) Έστω ότι την πρώτη περίοδο κάθε παίκτης κατανάλωσε c A και c B ποσότητες αντίστοιχα. Την δεύτερη (και τελευταία) περίοδο κάθε παίκτης θα προσπαθήσει να καταναλώσει το μέγιστο της υπόλοιπης ποσότητας, η οποία είναι y-c A -c B. Έτσι, τη δεύτερη περίοδο κάθε παίκτης θα καταναλώσει: y c c A B 2 Το ερώτημα λοιπόν είναι ποιες πρέπει να είναι οι ποσότητες c A και c B. 9

10 Ένα απλό μοντέλο (4/5) Θα υπολογίσουμε για τον παίκτη Α ποια είναι η καλύτερή του απάντηση για μια τυχαία κατανάλωση c B του παίκτη Β στον πρώτο γύρο. Έστω λοιπόν ότι ο παίκτης Α καταναλώνει c A στον πρώτο γύρο. Το αναμενόμενο συνολικό του όφελος (και για τους δύο γύρους) είναι: log c y + log ca 2 A Η παραπάνω ποσότητα μεγιστοποιείται για: c B c A = R A y cb ( cb ) = 2 10

11 Ένα απλό μοντέλο (5/5) Με παρόμοιο συλλογισμό βρίσκουμε ότι η καλύτερη επιλογή του παίκτη Β στον πρώτο γύρο είναι: c B = R B y ca ( ca) = 2 Ο συνδυασμός εκείνος, c A * και c B *, που αντιστοιχεί στο σημείο ισορροπίας Nash, καθώς και τα αντίστοιχα κέρδη είναι: c * * y A = cb = 3 * y π Α = π B = log + 3 log * y 6 11

12 Βέλτιστη λύση Η λύση που βρέθηκε με βάση το σημείο ισορροπίας Nash δεν είναι η βέλτιστη. Ας θεωρήσουμε ως βέλτιστη εκείνη τη λύση που μεγιστοποιεί το συνολικό όφελος για το σύνολο των παικτών και το σύνολο των περιόδων: = log c + log c π # B ολ A B η οποία μεγιστοποιείται για: c + 2 log # # y A = cb = 4 π # = 4 log y ολ 4 y ca 2 c 12

13 Παρατηρήσεις (1/2) Στο σημείο ισορροπίας Nash είδαμε ότι οι παίκτες υπερκαταναλώνουν στην πρώτη περίοδο, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει επαρκής ποσότητα στη δεύτερη. Κάθε παίκτης ξεχωριστά δεν διακινδυνεύει να καταναλώσει λιγότερο στον πρώτο γύρο, γιατί η ποσότητα που θα περισσέψει θα μοιραστεί στο δεύτερο γύρο και στους δύο παίκτες. Αντίθετα, η βέλτιστη λύση βασίζεται στη συμφωνία (τύπου "καρτέλ") όλων των εμπλεκόμενων μερών για λογική κατανάλωση ανά περίοδο. 13

14 Παρατηρήσεις (2/2) Τα αποτελέσματα που προέκυψαν οφείλονται κατά κύριο λόγο στη μορφή της συνάρτησης χρησιμότητας (utility function), η οποία ήταν κοίλη (concave). Τα ίδια αποτελέσματα θα προέκυπταν για οποιαδήποτε κοίλη συνάρτηση. Εάν η συνάρτηση ήταν γραμμική, δεν θα είχε σημασία σε ποια περίοδο γίνεται η κατανάλωση. Εάν τέλος η συνάρτηση ήταν κυρτή, τότε θα ήταν προτιμότερο όλη η κατανάλωση να γίνει σε μια περίοδο. 14

15 Πολλοί παίκτες (1/2) Εάν έχουμε περισσότερους παίκτες, έστω Ν, η κατάσταση χειροτερεύει: Εάν ένας παίκτης αφήσει μια μονάδα για επόμενη περίοδο, θα μπορέσει να διεκδικήσει μόνο το 1/Ν αυτής. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι στο σημείο ισορροπίας Nash κάθε παίκτης καταναλώνει στην πρώτη περίοδο: c 1 = c 2 =... = c N = N y c ολ = N +1 y N + 1 με συνολική κατανάλωση για την πρώτη περίοδο: 15

16 Πολλοί παίκτες (2/2) Το συνολικό όφελος σε αυτή την περίπτωση είναι: * π ολ = Ν log 2 y N( N + 1) 2 Αντίθετα, εάν υπολογιστούν τα ίδια μεγέθη με στόχο τη βελτιστοποίηση της συνολικής χρησιμότητας, προκύπτει: c # 1 = c # π ολ # 2 =... = = c # N = 2 2 y N log 4 N y N 2 16

17 Ιδιωτικοποίηση Μια πιθανή λύση στο πρόβλημα των κοινών είναι αυτό της ιδιωτικοποίησής τους. Για παράδειγμα, στις μέρες μας οι περισσότερες εκτάσεις γης είναι ιδιωτικές, οπότε δεν υπάρχει ανταγωνισμός για τη χρήση τους (π.χ. ως βοσκοτόπους). Ωστόσο η ιδιωτικοποίηση ακυρώνει εντελώς την έννοια των κοινών πόρων, αφού αυτοί παύουν πλέον να είναι κοινοί. Επιπλέον, δεν είναι εφαρμόσιμοι σε πόρους όπως η ατμόσφαιρα κλπ. 17

18 Επιβολή τελών και όριο χρηστών Μια δεύτερη προσέγγιση είναι η επιβολή τελών χρήσης στους κοινόχρηστους πόρους (π.χ. το νερό). Είναι η πιο συνηθισμένη προσέγγιση αντιμετώπισης του προβλήματος. Ζητούμενο είναι να βρεθεί εκείνο το τέλος χρήσης, ούτε πολύ χαμηλό, ούτε πολύ υψηλό, το οποίο θα οδηγήσει σε κανονική χρήση του πόρου. Ένας συνηθισμένος τρόπος χρέωσης προβλέπει μεταβολή του τέλους χρήσης ανάλογα με την ζήτηση (π.χ. ζήτηση νερού το χειμώνα και το καλοκαίρι). Εναλλακτικά μπορεί να τεθεί ένα άνω όριο στο πλήθος των ταυτόχρονων χρηστών του πόρου. 18

19 Utility and Expected Utility Χρησιμότητα και αναμενόμενη χρησιμότητα 19

20 Σχέσεις προτίμησης Μια σχέση προτίμησης (preference relation) είναι μια διμελής σχέση μεταξύ διαφόρων στρατηγικών, τέτοια ώστε: a b το αποτέλεσμα a είναι τουλάχιστον εξίσου καλό με το αποτέλεσμα b Η σχέση πρέπει να έχει τις παρακάτω ιδιότητες: Πληρότητα (completeness): Για κάθε ζεύγος αποτελεσμάτων a και b, θα πρέπει να ισχύει είτε a b ή b a. Μεταβατικότητα (transitivity): Εάν ισχύει a b και b c, τότε πρέπει να ισχύει και a c. Μπορούν να οριστούν οι παρακάτω σχέσεις: a b (a b) (b a) a b (a b) (b a) 20

21 Χρησιμότητα Θα θέλαμε να αντιστοιχούμε έναν αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα και απλά να συγκρίνουμε αριθμούς. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται χρησιμότητα (utility). Για παράδειγμα, έστω πέντε αποτελέσματα, (a,b,c,d,e), για τα οποία ισχύει: b d a c e Θα μπορούσαμε να κάνουμε την αντιστοίχηση: (a,b,c,d,e) (3,4,2,4,1) Η παραπάνω αντιστοίχηση χρησιμοτήτων είναι συνεπής (consistent) με τις προτιμήσεις μας. Προφανώς υπάρχουν άπειρες συνεπείς αντιστοιχήσεις χρησιμότητας. Κάθε μονότονη συνάρτηση της παραπάνω αντιστοίχησης. 21

22 Αποφάσεις υπό αβεβαιότητα (1/3) Υπάρχουν περιπτώσεις όπου το αποτέλεσμα μιας στρατηγικής είναι αβέβαιο. Εάν αποφασίσω να πάω κινηματογράφο, υπάρχει πιθανότητα.7 να βρω εισιτήριο και.3 να μην βρω. Εάν παρακολουθήσω το μεταπτυχιακό Α, υπάρχει πιθανότητα.8 να βρω δουλειά και.2 να μην βρω. Σε αυτές τις περιπτώσεις, για να αξιολογήσουμε το αποτέλεσμα των αποφάσεών μας, πρέπει αυτές να έχουν αντιστοιχηθεί σε χρησιμότητες. Μια κατανομή πιθανοτήτων επάνω σε ένα σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων ονομάζεται λοταρία (lottery). 22

23 Έστω δύο αποφάσεις: Αποφάσεις υπό αβεβαιότητα (2/3) Πάω κινηματογράφο (0.7 να βρω εισιτήριο) Πάω θέατρο (0.5 να βρω εισιτήριο) Έστω 10 η αξία που δίνω στην παρακολούθηση ενός έργου στον κινηματογράφο, 20 η αξία που δίνω στην παρακολούθηση ενός θεατρικού έργου και 0 η αξία του να μην παρακολουθήσω τίποτα. Θεωρώ ότι δεν λαμβάνω υπόψη την τιμή του εισιτηρίου. Πρέπει να βρω τρόπο να αντιστοιχήσω χρησιμότητες στα αποτελέσματα των δύο αποφάσεων. 23

24 Αποφάσεις υπό αβεβαιότητα (3/3) Θεώρημα αναμενόμενης χρησιμότητας (Expected Utility Theorem, von Neumann - Morgenstern): Μια συνάρτηση χρησιμότητας πάνω σε ένα σύνολο από λοταρίες μπορεί να γραφεί ως η αναμενόμενη χρησιμότητα των διαφόρων ενδεχομένων που συνθέτουν τη λοταρία. Όταν αρχίζουμε και συνδυάζουμε χρησιμότητες διαφορετικών αποτελεσμάτων για να υπολογίσουμε χρησιμότητες σύνθετων καταστάσεων, παίζει σημαντικό ρόλο ο τρόπος με τον οποίο έχουμε αποδώσει τις χρησιμότητες στα επιμέρους αποτελέσματα. 24

25 Έστω το εξής παιχνίδι: Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (1/3) "Ρίχνουμε" ένα κέρμα πολλές φορές. Έστω k η πρώτη φορά κατά την οποία το αποτέλεσμα είναι "γράμματα". Τότε κερδίζουμε 2 k. Ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος για αυτό το παιχνίδι; Πόσα θα ήμασταν διατεθειμένοι να ρισκάρουμε για να παίξουμε στο παιχνίδι αυτό; Το αναμενόμενο κέρδος είναι: k 2 = k k = 1 2 k = = Προφανώς κανείς δεν θα ρίσκαρε ένα μεγάλο ποσό για να παίξει σε αυτό το παιχνίδι! 25

26 Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (2/3) Το παράδοξο πρωτοαναφέρθηκε το 1725 στην ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης, από τον Nicollas Bernoulli. Ο πρώτος που ανέφερε μια "λύση" στο παράδοξο είναι ο Daniel Bernoulli, αδελφός του Nicollas. Η κεντρική ιδέα της λύσης είναι η εξής: Η χρησιμότητα ενός χρηματικού ποσού (γενικότερα ενός αγαθού) δεν είναι ανάλογη της ποσότητάς του. Με άλλα λόγια, διπλάσιο χρηματικό ποσό δεν μας δίνει διπλάσια χαρά. Το πρόβλημα λοιπόν έγκειται στην αντιστοίχηση της ποσότητας των υλικών αγαθών με τη χρησιμότητα που αυτά έχουν για μας. 26

27 Αποστροφή ρίσκου (1/4) Έστω δύο λοταρίες, Α και Β, στις οποίες ρίχνουμε ένα κέρμα και αναλόγως το αποτέλεσμα: Λοταρία Α: Εάν έρθουν γράμματα κερδίζουμε 1, εάν έρθει κορώνα χάνουμε 1. Λοταρία Β: Εάν έρθουν γράμματα κερδίζουμε 5, εάν έρθει κορώνα χάνουμε 5. Οι περισσότεροι άνθρωποι θα επέλεγαν να συμμετάσχουν στην Α αντί στην Β (ακόμη περισσότεροι επίσης θα επέλεγαν να μην "παίξουν" καθόλου!). Οι δύο λοταρίες έχουν την ίδια αναμενόμενη απόδοση, δηλαδή 0. Ωστόσο έχουν διαφορετικές αναμενόμενες χρησιμότητες. 27

28 Αποστροφή ρίσκου (2/4) Έστω u(-5), u(-1), u(1) και u(5) οι χρησιμότητες των διαφόρων αποτελεσμάτων. Το γεγονός ότι οι περισσότεροι άνθρωποι επιλέγουν την Α από την Β δηλώνει ότι: ½[u(1)+u(-1)]>½[u(5)+u(-5)] ή ισοδύναμα: u(5)-u(1)<u(-1)-u(-5) Κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί εάν η συνάρτηση χρησιμότητας έχει τη μορφή που φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια. 28

29 Αποστροφή ρίσκου (3/4) 29

30 Αποστροφή ρίσκου (4/4) Στην προηγούμενη διαφάνεια: Το σημείο Ν αντιστοιχεί στην αναμενόμενη χρησιμότητα του να μην παίξουμε καθόλου. Το σημείο Α αντιστοιχεί στην αναμενόμενη χρησιμότητα του να επιλέξουμε το παιχνίδι Α. Το σημείο Β αντιστοιχεί στην αναμενόμενη χρησιμότητα του να επιλέξουμε το παιχνίδι Β. Βλέπουμε ότι μεγαλύτερη χρησιμότητα αντιστοιχεί στο σημείο Ν, μετά στο Α και μετά στο Β. Τα παραπάνω αποτελέσματα προέκυψαν εξαιτίας της ειδικής μορφής της συνάρτησης χρησιμότητας, η οποία είναι κοίλη (concave). Ισχύουν για όλες τις κοίλες συναρτήσεις. 30

31 Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (3/3) Εάν στο παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης ορίσουμε μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας, π.χ. u(x)=log(x+c), τότε η αναμενόμενη χρησιμότητα από το παιχνίδι είναι: k = k log(2 k + c) < Άρα ο παίκτης πρέπει να βρει ποιο είναι το μέγιστο ποσό -K που θα διακινδύνευε να χάσει, έτσι ώστε η αναμενόμενη χρησιμότητα να είναι μεγαλύτερη του μηδέν. 31

32 Μη-κοίλες συναρτήσεις Σε περίπτωση που η συνάρτηση χρησιμότητας ήταν γραμμική, δηλαδή u(x)=a x, τότε λοταρίες σαν τις Α και Β είναι ίσης προτίμησης. Μικρά τμήματα μιας κοίλης συνάρτησης χρησιμότητας μπορούν να θεωρηθούν γραμμικά. Εφαρμογή σε τυχερά παιχνίδια Σε περίπτωση που η συνάρτηση χρησιμότητας ήταν κυρτή (convex), τότε θα προτιμούσαμε το παιχνίδι Β! 32

33 Mixed strategies Μικτές στρατηγικές 33

34 Γενικά Έστω η μάχη των φύλων. Κάθε παίκτης έχει δύο διαθέσιμες στρατηγικές, Γήπεδο ή Όπερα. Ωστόσο υπάρχει (τουλάχιστον) μια ακόμη στρατηγική: "Στρίβουμε" ένα κέρμα και αν έρθει "γράμματα" πάμε στο γήπεδο, εάν έρθει "κορώνα" πάμε στην όπερα. Η τελευταία στρατηγική ονομάζεται μικτή στρατηγική (mixed strategy) και μεταφράζεται σε 50% πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης το Γήπεδο και 50% πιθανότητα να επιλέξει την Όπερα. Υπάρχουν άπειρες μικτές στρατηγικές, ανάλογα με τις πιθανότητες που δίνουμε στις διάφορες επιλογές. 34

35 Ορισμός Έστω ότι ένας παίκτης έχει Μ καθαρές (pure) στρατηγικές, s 1, s 2,..., s M. Μια μικτή στρατηγική για αυτόν τον παίκτη είναι μια κατανομή πιθανότητας επί των καθαρών στρατηγικών του: (p 1, p 2,..., p M ), έτσι ώστε p 1 +p p M =1. Η αξιολόγηση της αναμενόμενης χρησιμότητας μιας μικτής στρατηγικής γίνεται αθροίζοντας τα γινόμενα των (αναμενόμενων) αποτελεσμάτων των επιμέρους στρατηγικών επί τις αντίστοιχες πιθανότητες. 35

36 Παράδειγμα Παρακάτω φαίνεται το παιχνίδι της μάχης των φύλων, με μια επιπλέον στρατηγική για κάθε παίκτη: Γ Α Γήπεδο Όπερα Γήπεδο 3,1 0,0 1.5, 0.5 Όπερα 0,0 1,3 0.5, , , 1.5 1, 1 36

37 Καλύτερη απάντηση με μικτές στρατηγικές (1/2) Έστω μια μικτή στρατηγική s m που αποτελείται από τρεις καθαρές στρατηγικές, s i1, s i2 και s i3, με πιθανότητες p 1, p 2 και p 3. Έστω ότι οι αντίπαλοι εφαρμόζουν συνολικά τη στρατηγική s -i. Τότε το όφελος για τον παίκτη i είναι: u(s m,s -i )=p 1 u(s i1,s -i )+ p 2 u(s i2,s -i )+ p 3 u(s i3,s -i ) Ας υποθέσουμε ότι u(s i1,s -i )>u(s i2,s -i )>u(s i3,s -i ). Τότε θα συνέφερε τον παίκτη i να παίξει την καθαρή στρατηγική s i1, αντί της μικτής στρατηγικής m! 37

38 Καλύτερη απάντηση με μικτές στρατηγικές (2/2) Για να είναι λοιπόν μια μικτή στρατηγική m η καλύτερη απάντηση σε έναν συνδυασμό στρατηγικών s -i των υπολοίπων παικτών, θα πρέπει κάθε επιμέρους καθαρή στρατηγική της μικτής στρατηγικής να είναι από μόνη της επίσης η καλύτερη απάντηση. Δηλαδή u(s m,s -i )=u(s i1,s -i )=u(s i2,s -i )=u(s i3,s -i ) Σε αυτή την περίπτωση, κάθε συνδυασμός (p 1 ',p 2 ',p 3 ') των επιμέρους στρατηγικών είναι καλύτερη απάντηση στο συνδυασμό στρατηγικών s -i. 38

39 Μικτές στρατηγικές και ισορροπία Nash (1/5) Έστω το παιχνίδι "μονά-ζυγά", στο οποίο δεν υπάρχει κανένα σημείο ισορροπίας Nash. Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Α επιλέγει να παίζει '0' με πιθανότητα p. Εάν ο παίκτης Β παίξει καθαρά '0', τότε το αναμενόμενο όφελός του είναι: Εu Β ('0')=p 0+(1-p) 1=1-p Παρόμοια, εάν ο παίκτης Β παίξει καθαρά '1', το αναμενόμενο όφελός του είναι: Εu Β ('1')=p 1+(1-p) 0=p Β Προφανώς ισχύει: Α 0 1 Εu Β ('0')>Εu Β ('1') (1-p)>p p< ½ 0 1,0 0,1 1 0,1 1,0 39

40 Μικτές στρατηγικές και ισορροπία Nash (2/5) Εάν p= ½, τότε ο παίκτης Β μπορεί να επιλέξει οποιαδήποτε στρατηγική, είτε την '0', είτε την 1, είτε ακόμη οποιαδήποτε μικτή στρατηγική από αυτές τις δύο. Άρα, μεταξύ άλλων, η μικτή στρατηγική (0.5, 0.5) για τον παίκτη Β, είναι καλύτερη απάντηση στην μικτή στρατηγική (0.5,0.5) του παίκτη Α. Με παρόμοιο συλλογισμό μπορεί να βρεθεί ότι ισχύει και το ακριβώς αντίστροφο για τους δύο παίκτες. Στο επόμενο διάγραμμα με q συμβολίζεται η πιθανότητα με την οποία ο παίκτης Β επιλέγει '0'. Β Α ,0 0,1 1 0,1 1,0 40

41 Μικτές στρατηγικές και ισορροπία Nash (3/5) Οι γραφικές παραστάσεις καλύτερης απάντησης για τους δύο παίκτες είναι οι εξής: q q=r B (p) 1 ½ Β Α ,0 0,1 1 0,1 1,0 p=r A (q) 0 ½ p 1 41

42 Β Μικτές στρατηγικές και ισορροπία Nash (4/5) Άρα το ζεύγος στρατηγικών (0.5, 0.5) (0.5, 0.5) αποτελεί σημείο ισορροπίας Nash, διότι: Κανένας παίκτης δεν έχει λόγο να ξεφύγει από το σημείο αυτό, γιατί δεν πρόκειται να κερδίσει άμεσα. Οποιοσδήποτε παίκτης ξεφύγει από αυτό το σημείο δίνει τη δυνατότητα στον άλλο παίκτη να το εκμεταλλευτεί. Για παράδειγμα, εάν στα "μονά-ζυγά" κάποιος παίκτης δείχνει για πολλή ώρα προτίμηση σε ένα από τα δύο νούμερα, δίνει τη δυνατότητα στον άλλο παίκτη να κερδίσει μερικούς "πόντους". Α ,0 0,1 1 0,1 1,0 42

43 Μικτές στρατηγικές και ισορροπία Nash (5/5) Όλα τα παιχνίδια έχουν τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας Nash στις μικτές στρατηγικές. Δεν έχουν ωστόσο όλα τα παιχνίδια σημείο ισορροπίας Nash στις καθαρές στρατηγικές, όπως είδαμε στο παιχνίδι "μονά-ζυγά". Το σημείο ισορροπίας Nash στις μικτές στρατηγικές έχει διαφορετική ερμηνεία: Ένας παίκτης δεν "φεύγει" από αυτό, γιατί: δεν θα κερδίσει άμεσα μπορεί να χάσει μελλοντικά Αντίθετα, στα σημεία καθαρής ισορροπίας, ένας παίκτης δεν φεύγει γιατί θα χάσει άμεσα. 43

44 Παράδειγμα: Τένις (1/5) Έστω δύο παίκτες που παίζουν τένις, Α και Β. Κάθε φορά που είναι η σειρά του Α να χτυπήσει την μπάλα, πρέπει να επιλέξει εάν θα σημαδέψει το εμπρός ή το πίσω μέρος του γηπέδου του Β. Αντίστοιχα, ο Β πρέπει να αποφασίσει αν θα τοποθετηθεί στο εμπρός ή στο πίσω μέρος του χώρου του. Η πιθανότητα για τον Α να έχει ένα επιτυχημένο χτύπημα αυξάνει όταν "ξεγελάσει" τον Β. Στον πίνακα που ακολουθεί θεωρούμε ως όφελος κάθε παίκτη την (εκατοστιαία) πιθανότητα να κερδίσει τον γύρο ανάλογα με τις επιλογές και των δύο παικτών. 44

45 Παράδειγμα: Τένις (2/5) Εάν ο παίκτης Α επιλέγει πάντα 'Εμπρός', τότε ο παίκτης Β μπορεί και αυτός με τη σειρά του να επιλέγει πάντα 'Εμπρός' κερδίζοντας στο 70% των περιπτώσεων. Έστω p και q οι πιθανότητες με τις οποίες ο Α και ο Β επιλέγουν 'Εμπρός' αντίστοιχα. Για να μειώσει τη δυνατότητα πρόβλεψης του Β, ο Α επιλέγει την πιθανότητα p με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ισοδύναμες για τον Β οι δύο αποφάσεις του: Eu B (Εμπρός)=p 70+(1-p) 30 Eu B (Πίσω)=p 20+(1-p) 60 Eu B (Εμπρός)=Eu B (Πίσω) p=0.375 Α Β (q) Εμπρός (1-q) Πίσω (p) Εμπρός 30,70 80, 20 (1-p) Πίσω 70, 30 40, 60 45

46 Παράδειγμα: Τένις (3/5) Παρόμοια, ο παίκτης Β επιλέγει την πιθανότητα q με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ισοδύναμες για τον A οι δύο αποφάσεις του: Eu A (Εμπρός)=q 30+(1-q) 80 Eu A (Πίσω)=q 70+(1-q) 40 Eu A (Εμπρός)=Eu B (Πίσω) q=0.5 Άρα το ζεύγος στρατηγικών (0.375, 0.625) για τον Α και (0.5, 0.5) για τον Β αποτελούν σημείο ισορροπίας Nash. Β (q) (1-q) Α Εμπρός Πίσω (p) Εμπρός 30,70 80,20 (1-p) Πίσω 70,30 40,60 46

47 Παράδειγμα: Τένις (4/5) Τα αναμενόμενα κέρδη των δύο παικτών στο σημείο αυτό είναι: Α Eu A =p Eu A (Εμπρός)+(1-p) Eu A (Πίσω) = =55 Eu B =q Eu B (Εμπρός)+(1-q) Eu B (Πίσω) = =45 Το ίδιο αποτέλεσμα (όσον αφορά τις τελευταίες πράξεις) προκύπτει και από τους τύπους που δίνουν είτε το Eu A (Εμπρός) ή το Eu A (Πίσω) για τον Α, και παρόμοια για τον Β. Αυτό οφείλεται στο ότι στο σημείο ισορροπίας η μικτή στρατηγική που ακολουθεί κάθε παίκτης έχει τα ίδια αναμενόμενα οφέλη με κάθε επιμέρους καθαρή στρατηγική, με την προϋπόθεση ότι ο αντίπαλος δεν θα αλλάξει τη δική του μικτή στρατηγική. Β (q) Εμπρός (1-q) Πίσω (p) Εμπρός 30,70 80,20 (1-p) Πίσω 70,30 40,60 47

48 Παράδειγμα: Τένις (5/5) Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης αλλάζει τη μικτή στρατηγική του, π.χ. ο Α επιλέγει p=0.5. Σε αυτή την περίπτωση ο Β μπορεί να τροποποιήσει τη δική του στρατηγική ώστε να μεγιστοποιήσει το δικό του όφελος. Πράγματι, για p=0.5, ισχύει για τον Β: Eu B (Εμπρός)= = 50 Eu B (Πίσω)= = 40 Ο Β λοιπόν επιλέγει να παίζει συνέχεια "Εμπρός", ανεβάζοντας το αναμενόμενο όφελός του σε 50 (και αντίστοιχα μειώνοντας το αναμενόμενο όφελος του Α). Α Β (q) Εμπρός (1-q) Πίσω (p) Εμπρός 30,70 80,20 (1-p) Πίσω 70,30 40,60 48

49 Παρατηρήσεις (1/2) Τα παραδείγματα που προηγήθηκαν είχαν ένα κοινό χαρακτηριστικό: Αφορούσαν παιχνίδια μηδενικού (ή σταθερού) αθροίσματος. Στα παιχνίδια αυτά όταν ο ένας παίκτης κερδίζει κάποιο ποσό τότε ο άλλος χάνει το ίδιο ποσό. Ανταγωνιστικά παιχνίδια (competitive games) Στα σημεία αυτά, το σημείο μικτής ισορροπίας Nash μοιάζει αρκετά με τα αντίστοιχα σημεία καθαρής ισορροπίας Nash, αφού οποιοσδήποτε παίκτης ξεφύγει από αυτό κινδυνεύει να χάσει. 49

50 Παρατηρήσεις (2/2) Ωστόσο, υπάρχουν παιχνίδια μη-σταθερού αθροίσματος, όπως η μάχη των δύο φύλων, στα οποία εάν ο ένας παίκτης αντιληφθεί τι προτίθεται να κάνει ο άλλος, μπορεί να το εκμεταλλευτεί για κοινό όφελος! Τέτοια παιχνίδια ονομάζονται συνεργατικά (cooperative). ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν είναι όλα τα παιχνίδια μη-σταθερού αθροίσματος συνεργατικά. Στα παιχνίδια αυτά ορίζεται και πάλι η έννοια της μικτής ισορροπίας Nash, ωστόσο έχει διαφορετική ερμηνεία. 50

51 Έστω το γνωστό παράδειγμα της μάχης των φύλων, το οποίο έχει δύο σημεία καθαρής ισορροπίας Nash. Θα ελέγξουμε εάν υπάρχουν σημεία μικτής ισορροπίας. Έστω ότι ο Α επιλέγει 'Γήπεδο' με πιθανότητα p και 'Όπερα' με πιθανότητα 1-p. Το αναμενόμενο όφελος της Γ για τις δύο καθαρές στρατηγικές της είναι: Εu Γ ('Γήπεδο')=p 1+(1-p) 0 = p Εu Γ ('Όπερα')=p 0+(1-p) 3 = 3-3 p Παράδειγμα: Η μάχη των φύλων (1/3) Γ Α Γήπεδο Όπερα Γήπεδο 3,1 0,0 Όπερα 0,0 1,3 51

52 Ισχύει: Άρα: Παράδειγμα: Η μάχη των φύλων (2/3) Εu Γ ('Γήπεδο') > Εu Γ ('Όπερα') p > 3-3p p > ¾. αν p > ¾ συμφέρει τη γυναίκα να επιλέγει πάντα 'Γήπεδο'. αν p < ¾ συμφέρει τη γυναίκα να επιλέγει πάντα 'Όπερα'. αν p = ¾ συμφέρει τη γυναίκα εξίσου να επιλέγει είτε 'Γήπεδο είτε 'Όπερα' είτε τέλος οποιονδήποτε συνδυασμό αυτών. Για p= ¾ το αναμενόμενο όφελος της Γ είναι Εu Γ =¾. Παρόμοια για τον άντρα, εάν η γυναίκα επιλέγει 'Όπερα' με πιθανότητα (1-q)=¾, τότε αυτός μπορεί να επιλέξει οποιαδήποτε στρατηγική (καθαρή ή μικτή) ως καλύτερη απάντηση. Γ Α Γήπεδο Όπερα Γήπεδο 3,1 0,0 Όπερα 0,0 1,3 52

53 Παράδειγμα: Η μάχη των φύλων (3/3) Άρα, ο συνδυασμός μικτών στρατηγικών (¾,¼)-(¼,¾) αποτελεί σημείο ισορροπίας Nash. Στο σημείο αυτό το αναμενόμενο όφελος κάθε παίκτη είναι ίσο με Εu A =Eu Γ =¾. Εάν οι παίκτες ξεφύγουν από το σημείο ισορροπίας Nash, το πιο πιθανό είναι να αυξηθεί το αναμενόμενο όφελος και για τους δύο! Για παράδειγμα, για p=q=1/2 έχουμε: Εu A = ½ ½ 3 + ½ ½ 0 + ½ ½ 0 + ½ ½ 1 = 1 Εu Γ = ½ ½ 1 + ½ ½ 0 + ½ ½ 0 + ½ ½ 3 = 1 Ωστόσο μπορεί και να μειωθεί (μηδενισθεί), εάν π.χ. επιλέξουν {p=1,q=0} ή {p=0,q=1}. Γ Α Γήπεδο Όπερα Γήπεδο 3,1 0,0 Όπερα 0,0 1,3 53

54 Παρατηρήσεις Το παιχνίδι της μάχης των δύο φύλων είναι συνεργατικό (και όχι ανταγωνιστικό). Σε τέτοια παιχνίδια μας ενδιαφέρει ο αντίπαλος να μάθει τη στρατηγική που πρόκειται να εφαρμόσουμε, γιατί μπορεί να την αξιοποιήσει για κοινό όφελος. Το σημείο μικτής ισορροπίας Nash είναι το σημείο απόλυτης έλλειψης πληροφόρησης για τις προθέσεις του αντιπάλου. Το σημείο μικτής ισορροπίας Nash μας εξασφαλίζει ένα ελάχιστο αναμενόμενο όφελος, ανεξάρτητα από το τι θα επιλέξει να κάνει ο αντίπαλος. Για παράδειγμα, εάν ο άντρας επέλεγε τη στρατηγική (1/2,1/2), τότε η γυναίκα μπορούσε να επιλέξει τη στρατηγική (0,1), με αναμενόμενο όφελος για τον άνδρα 0,5 και για τη γυναίκα 1,5. 54

55 Τέλος Ενότητας

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων. Γιάννης Ρεφανίδης. http://macedonia.uom.gr/~yrefanid/courses/gametheory/

Θεωρία Παιγνίων. Γιάννης Ρεφανίδης. http://macedonia.uom.gr/~yrefanid/courses/gametheory/ Θεωρία Παιγνίων Γιάννης Ρεφανίδης 1 Γενικά Web site: http://macedonia.uom.gr/~yrefanid/courses/gametheory/ Συγγράμματα: (Σ1) Μια εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων (μετάφραση), Martin J. Osborne, Κλειδάριθμoς,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 3: Δυοπώλιο Cournot. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 3: Δυοπώλιο Cournot. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 3: Δυοπώλιο Cournot Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το παράδοξο του St. Petersburg Η θεωρία του καταναλωτή σε περιβάλλον αβεβαιότητας που εξετάσαμε μπόρεσε να δώσει απάντηση σε κάποια ερωτήματα που πριν

Το παράδοξο του St. Petersburg Η θεωρία του καταναλωτή σε περιβάλλον αβεβαιότητας που εξετάσαμε μπόρεσε να δώσει απάντηση σε κάποια ερωτήματα που πριν Θεωρία Καταναλωτή: Μια κριτική ματιά Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 24 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Μια κριτική ματιά 24 Δεκεμβρίου 2012 1 / 14 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Χρησιμότητας (utility theory) Το κριτήριο της μέσης χρησιμότητας

Θεωρία Χρησιμότητας (utility theory) Το κριτήριο της μέσης χρησιμότητας Θεωρία Χρησιμότητας (utility theory) Το κριτήριο της μέσης χρησιμότητας Συνάρτηση χρησιμότητας Ο νέος τρόπος μοντελοποίησης των προτιμήσεων θα βασιστεί στην κατασκευή μιας συνάρτησης χρησιμότητας (utility

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 4: Θεωρία Χρησιμότητας και Καταναλωτική Συμπεριφορά. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 4: Θεωρία Χρησιμότητας και Καταναλωτική Συμπεριφορά. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 4: Θεωρία Χρησιμότητας και Καταναλωτική Συμπεριφορά Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 8: Παίγνια και ολιγοπωλιακές επιχειρήσεις

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 8: Παίγνια και ολιγοπωλιακές επιχειρήσεις ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Παίγνια και ολιγοπωλιακές επιχειρήσεις Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και ΜΜΕ Σχολή Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 8: Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 7β: Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική. Ενότητα 3: Ο καταναλωτής επιλέγει να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μικροοικονομική. Ενότητα 3: Ο καταναλωτής επιλέγει να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μικροοικονομική Ενότητα 3: Ο καταναλωτής επιλέγει να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Ενότητα 4: Ανάλυση ευαισθησίας και πιθανολογική ανάλυση Δ. Δαμίγος Μ. Μενεγάκη Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Διαδικασία Ιεραρχικής Ανάλυσης. Ρόκου Έλενα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ.

Εισαγωγή στη Διαδικασία Ιεραρχικής Ανάλυσης. Ρόκου Έλενα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Εισαγωγή στη Διαδικασία Ιεραρχικής Ανάλυσης Ρόκου Έλενα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ Παράδοση 7 ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συνεπής επιλογή σε συνθήκες βεβαιότητας Αν οι προτιμήσεις ικανοποιούν Πληρότητα Αντανακλαστικότητα (Aυτοπάθεια) Μεταβατικότητα Συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ενότητα 4: Αξιολόγηση Επενδύσεων (4/5). Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικά Δίκτυα Κοινωνική Επιλογή

Κοινωνικά Δίκτυα Κοινωνική Επιλογή Κοινωνικά Δίκτυα Κοινωνική Επιλογή Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr Ατομική Απόφαση Το πρόβλημα της απόφασης (decision problem) ορίζεται ως εξής: Υπάρχουν μια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 10: Απλές Αποφάσεις Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Απλές Αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Εργαλεία Κανονιστικής Ανάλυσης Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Θεωρία Παιγνίων Μαρκωβιανά Παιχνίδια Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Μερική αρατηρησιµότητα POMDPs

Διαβάστε περισσότερα

X i = Y = X 1 + X X N.

X i = Y = X 1 + X X N. Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 6: Εκτατική μορφή παίγνιων. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 6: Εκτατική μορφή παίγνιων. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 6: Εκτατική μορφή παίγνιων Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

10 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

10 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 0 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων Περιεχόμενα η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 4 3 η Άσκηση... 5 Χρηματοδότηση... 8 Σημείωμα Αναφοράς... 9 Σημείωμα Αδειοδότησης... 0 2 Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 0 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #06 Πιθανοτικό Μοντέλο 1 Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 2: Θεωρία Προσφοράς και Ζήτησης. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 2: Θεωρία Προσφοράς και Ζήτησης. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 2: Θεωρία Προσφοράς και Ζήτησης Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #8: Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 6: Τεχνικές επενδύσεων IV Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Λογικών Κυκλωμάτων

Μοντελοποίηση Λογικών Κυκλωμάτων Μοντελοποίηση Λογικών Κυκλωμάτων Ενότητα 7: Η γλώσσα VHDL, Μοντελοποίηση, διαχείριση χρόνου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού

Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού Ενότητα 1: Νικόλαος Χαριτάκης Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Περιεχόμενα Ορισμοί Ισορροπία Nash

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση 0/3/7 HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 8 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεταλλευτική Οικονομία

Μεταλλευτική Οικονομία Μεταλλευτική Οικονομία Ενότητα 6: Άριστη χρήση μη ανανεώσιμων πόρων Δ. Καλιαμπάκος - Δ. Δαμίγος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 4: Ισοδυναμία, διάταξη, άπειρα σύνολα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική. Ενότητα 5: Προσδιορισμός των Τιμών. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μικροοικονομική. Ενότητα 5: Προσδιορισμός των Τιμών. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μικροοικονομική Ενότητα 5: Προσδιορισμός των Τιμών Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Ελαστικότητα και εφαρμογές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

2 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 2 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων Περιεχόμενα η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 4 3 η Άσκηση... 5 4 η Άσκηση... 7 Χρηματοδότηση... 9 Σημείωμα Αναφοράς... 0 Σημείωμα Αδειοδότησης... 2 Ενδεικτικές λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 2 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 03: Ζήτηση και προσφορά αγαθών Πολυξένη Ράγκου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2 Θεωρία παιγνίων: Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία παιγνίων: 3 Δεκεμβρίου 2012 1 / 21 -best responses Κυνήγι ελαφιού: Δυο κυνηγοί ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα