4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

Transcript

1 . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα αντί να βρεθεί η συντομότερη διαδρομή ενός δικτύου, επιλέγονται οι ακμές του δικτύου, που έχουν το συντομότερο συνολικό μήκος και δίνουν μία διαδρομή για κάθε ζεύγος κόμβων. Για να γίνει αυτό οι ακμές θα πρέπει να επιλεχτούν με τέτοιο τρόπο, ώστε το δίκτυο που θα προκύψει να σχηματίζει ένα δένδρο (δηλαδή να υπάρχει μία διαδρομή που να συνδέει κάθε ζεύγος κόμβων και να μην δημιουργούνται κύκλοι) που ζευγνύει (δηλαδή συνδέει) όλους τους κόμβους. Με άλλα λόγια, το προβλημα είναι να βρεθεί το ζευγνύον δένδρο με το ελάχιστο συνολικό μήκος. Το πρόβλημα αυτό έχει ορισμένες πολύ σπουδαίες πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο στον προγραμματισμό δικτύων μεταφοράς, όπου πρέπει να βρεθεί κάποια διαδρομή, που να συνδέει όλους τους κόμβους με τον ποιο οικονομικό τρόπο. ι κόμβοι θα είναι σταθμοί, οι ακμές θα είναι λωρίδες μεταφοράς (αυτοκινητόδρομοι, αεροδιάδρομοι, κ.λ.π.) και οι αποστάσεις θα είναι το κόστος των λωρίδων μεταφοράς. Στα πλαίσια αυτά, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου είναι ο προσδιορισμός εκείνων των λωρίδων μεταφοράς, που εξυπηρετούν όλους τους σταθμούς με το ελάχιστο συνολικό κόστος. Άλλο παράδειγμα είναι ο προγραμματισμόςμεγάλων δικτύων επικοινωνίας. Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου μπορεί να λυθεί απ ευθείας, επειδή συμβαίνει να είναι ένα από τα λίγα προβλήματα της επιχειρησιακής έρευνας που αρχίζοντας από οποιαδήποτε κορυφή (κόμβο) θα οδηγηθούμε στο τέλος στην άριστη λύση. Έτσι, στο πρώτο στάδιο, αρχίζοντας από έναν οποιοδήποτε κόμβο, επιλέγουμε τη συντομότερη δυνατή ακμή με κάποιο άλλο κόμβο, χωρίς να ανησυχούμε για την επίδραση που μπορεί να έχει στις επόμενες αποφάσεις. Στο δεύτερο στάδιο προσδιορίζουμε τον μη συνδεδεμένο κόμβο, που είναι πλησιέστερα σε οποιοδήποτε από τους συνδεδεμένους κόμβους και μετά προσθέτουμε την αντίστοιχη ακμή στο δίκτυο. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται, μέχρι να συνδεθούν όλοι οι κόμβοι. Το δίκτυο που προκύπτει εξασφαλίζεται ότι είναι ένα ελάχιστο ζευγνύον δένδρο. Δηλαδή, ο αλγόριθμος του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου είναι ο εξής:. Επέλεξε έναν κόμβο αυθαίρετα και σύνδεσέ τον με τον πλησιέστερο κόμβο.. ρες μη συνδεδεμένο κόμβο που είναι πλησιέστερος σε έναν συνδεδεμένο κόμβο και σύνδεσε αυτούς τους κόμβους.. Επανάλαβε το βήμα μέχρι να συνδεθούν όλοι οι κόμβοι του δικτύου. Σημείωση: Ισοβαθμίες για τον πλησιέστερο κόμβο στο βήμα ή τον πλησιέστερο μη συνδεδεμένο κόμβο στο βήμα μπορούν να λυθούν αυθαίρετα και ο αλγόριθμος να δώσει την βέλτιστη λύση. Όμως, τέτοιες ισοβαθμίσεις είναι μια ένδειξη ότι μπορεί να υπάρχουν (αλλά όχι απαραίτητα) περισσότερες από μία βέλτιστες λύσεις. ς δούμε τώτα πως εφαρμόζεται ο αλγόριθμος του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου στην πράξη. Έστω ότι έχουμε το δίκτυο του σχήματος.6 0

2 06 Σχήμα.6 Επιλέγουμε ως πρώτο κόμβο του ελαχίστου ζευγνύον δένδρου τον κόμβο. πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στον κόμβο είναι ο. Άρα συνδέουμε τον κόμβο με τον κόμβο όπως φαίνεται στο σχήμα.. Σχήμα. πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στον κόμβο ή στον κόμβο είναι ο (πλησιέστερος στον ). Άρα συνδέουμε τον κόμβο με τον κόμβο όπως φαίνεται στο σχήμα.8.

3 0 Σχήμα.8 πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους κόμβους, ή είναι ο (πλησιέστερος στον ). Άρα συνδέουμε τον κόμβο με τον κόμβο όπως φαίνεται στο σχήμα.9. Σχήμα.9 πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους κόμβους,, ή είναι ο (πλησιέστερος στον ). Άρα συνδέουμε τον κόμβο με τον κόμβο όπως φαίνεται στο σχήμα.0.

4 08 Σχήμα.0 πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους κόμβους,,, O ή είναι ο (πλησιέστερος στον ). Άρα συνδέουμε τον κόμβο με τον κόμβο όπως φαίνεται στο σχήμα.. Σχήμα. πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους κόμβους,,, O, ή είναι ο (πλησιέστερος στον ). Άρα συνδέουμε τον κόμβο με τον κόμβο όπως φαίνεται στο σχήμα..

5 Σχήμα. Τώρα όλοι οι κόμβοι είναι συνδεδεμένοι και επομένως το δίκτυο των συνδεδεμένων κόμβων του σχήματος. ορίζει και το ελάχιστο ζευγνύον δένδρο του δικτύου του σχήματος.6. 09

6 . Το πρόβλημα της μέγιστης ροής Το πρόβλημα της μέγιστης ροής διατυπώνεται ως εξής: Δίνεται ένα δίκτυο κόμβων, το οποίο περιέχει μία ή περισσότερες πηγές και έναν ή περισσότερους δέκτες όπως αυτό του σχήματος.. Για κάθε τόξο (i, j) του δικτύου υπάρχει ανώτατο όριο στην ποσότητα που μπορεί να σταλεί από τον κόμβο i στον κόμβο j που ονομάζεται δυναμικότητα (capacity) του τόξου (i, j) και συμβολίζεται b ij Σχήμα. Ροή στο δίκτυο είναι ένα διάνυσμα x = {x ij : (i, j) τόξο του δικτύου} τα στοιχεία του οποίου ικανοποιούν τους περιορισμούς: i. 0 x ij b ij για κάθε τόξο (i, j) του δικτύου ii. x x = 0 για κάθε κόμβο i του δικτύου. ij ( i, j) ( j, i) ji Με τον περιορισμό (i) εκφράζεται η υπόθεση ότι η ροή κάθε τόξου (i, j) του δικτύου είναι μη αρνητικός αριθμός και μικρότερος ή ίσος της δυναμικότητας b ij και με τον περιορισμό (ii) ότι η ροή διατηρείται σε κάθε κόμβο i. υτό σημαίνει ότι σε κάθε κόμβο i η ποσότητα εκροής x ij είναι ίση με την ποσότητα εισροής x ji. Έτσι για τις πηγές η ολική εκροή είναι ίση ( i, j) ( j, i) με την εισροή στο δίκτυο, η οποία ονομάζεται τιμή της ροής, ενώ για τους δέκτες η ολική εισροή είναι ίση με την εκροή από το δίκτυο. Με άλλα λόγια επειδή η ροή διατηρείται σε κάθε κόμβο η εισροή στο δίκτυο θα πρέπει να είναι ίση με την εκροή από το δίκτυο. Με βάση τα παραπάνω δεδομένα το πρόβλημα της μέγιστης ροής σ ένα δίκτυο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Προσδιόρισε μια ροή με μέγιστη τιμή. Π.χ. για το δίκτυο του σχήματος. η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος της μέγιστης ροής θα είναι η ακόλουθη: 0

7 Έστω ότι το δίκτυο έχει δύο πηγές (0 και ) και δύο δέκτες (, 6) και η εισροή στο δίκτυο στις πηγές 0 και να είναι x S0 και x S ενώ η εκροή από το δίκτυο στους δέκτες και 6 είναι x και x 6 τότε θα έχουμε με τους περιορισμούς max z = x S0 + x S x S0 -x 0 = 0 x S -x = 0 x 0 -x -x -x +x = 0 x +x -x -x = 0 x +x -x -x -x 6 = 0 x +x -x = 0 x 6 +x 6 -x 6 = 0 x -x 6 -x = 0 και x 0, x 0, x 6, x, x 6, x, x 9, x, x, x 6 8, x 6 x 0, x, x, x, x, x, x, x, x, x 6, x 6 0.

8