Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα"

Transcript

1 Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί Ιδιότητες Θεώρημα Cayley-Hamlto Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου Απαντήσεις στις ασκήσεις αυτοαξιολόγησης του κεφαλαίου Ας θεωρήσουμε τη γραμμική απεικόνιση f : X X όπου X είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F (, ). Εάν υπάρχουν μη μηδενικά διανύσματα v X τα οποία έχουν την ιδιότητα f ( v) = λv, όπου λ K, τα διανύσματα αυτά ονομάζονται ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης f, ενώ οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση αυτή ονομάζονται ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης. Οι χώροι των διανυσμάτων v που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή λ αποτελούν διανυσματικούς υπόχωρους του X τους οποίους και θα ονομάσουμε ιδιόχωρους της συγκεκριμένης ιδιοτιμής. Βασικός στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι να διατυπώσει μια μεθοδολογία εύρεσης των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων μιας γραμμικής απεικόνισης μέσω του πίνακα της γραμμικής απεικόνισης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένες ιδιότητες των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων/γραμμικών απεικονίσεων, ενώ στο τέλος παρουσιάζουμε το Θεώρημα Cayley-Hamlto και εφαρμογές του στον υπολογισμό: α) του αντίστροφου ενός πίνακα, β) μαθηματικών παραστάσεων που εξαρτούνται από έναν πίνακα (όπως οι δυνάμεις ενός πίνακα), και γ) του ελάχιστου πολυωνύμου ενός πίνακα. Συγγραφέας : Ν. Καραμπετάκης

2 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 Έστω η γραμμική απεικόνιση f : 9. Ορισμοί x 4x 5x f = x x x Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 8.4 ότι ο πίνακας της παραπάνω γραμμικής T { } απεικόνισης, ως προς την συνήθη βάση ( 0 ) T,( 0 ) 4 5 = T Έστω επίσης το διάνυσμα x ( x x ) ( ) είναι ο = = 5. Παίρνοντας το γινόμενο του x διαπιστώνουμε ότι είναι ίσο με f = = = 4 5 f ( x) = x, x= και συνεπώς είναι πολλαπλάσιο του x. 4 T x x Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αν υπάρχουν επιπλέον διανύσματα με την ίδια ιδιότητα. Θα πρέπει τα διανύσματα αυτά να ικανοποιούν την ιδιότητα : x x 4x 5x x ( λ 4) x+ 5x = 0 f = λ = λ x x x x x x+ ( λ + ) x = 0 Προκειμένου να έχει λύση το παραπάνω ομογενές σύστημα θα πρέπει λ 4 5 det = 0 ( λ 4)( λ + ) ( ) 5 = 0 λ + ( )( ) λ λ = 0 λ λ+ = 0 λ = λ = Συνεπώς εκτός από λ = η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για λ =. Επιλύνοντας το παραπάνω σύστημα εξισώσεων για λ = θα έχουμε 5x+ 5x = 0 x = x x= x, x x x 0 + = Άρα θα έχουμε

3 9. Ορισμοί Σελίδα από f = = = ( ) f ( x) = ( ) x, x= 0.5 x H Lx - Η ιδιότητα αυτή των συγκεκριμένων διανυσμάτων x της γραμμικής απεικόνισης αλλά και των αριθμών λ που περιγράψαμε στο παραπάνω παράδειγμα περιγράφεται από τον παρακάτω ορισμό : 9.. Ορισμός Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα x X ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης εάν υπάρχει αριθμός λ F, τέτοιος ώστε f ( x) = λx Ο αριθμός λ F ονομάζεται ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης. Συνολικά οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά μεγέθη της γραμμικής απεικόνισης. Ο χώρος Vλ = { x: x X και f ( x) = λx} ονομάζεται ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Θεώρημα 9.. Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Τότε ο ιδιοχώρος V λ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ αποτελεί υποχώρο του V. Απόδειξη. Έστω uv,. Τότε θα ισχύει f ( u) V λ = λu και f ( v) ιδιοχώρος V λ υποχώρο του V θα πρέπει και το διάνυσμα au να ανήκει στον V λ. Έχουμε όμως = λv. Για να αποτελεί ο + bv όπου ab, ( ) ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) f au bv f au f bv af u bf v a u b v au bv και συνεπώς το διάνυσμα au + bv V λ. Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο όρος V ( λ ) αντί του V λ.

4 9. Ορισμοί Σελίδα 4 από 58 Όπως θα δείξουμε παρακάτω τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους γραμμικώς ανεξάρτητα. Θεώρημα 9.. Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Αν ( ) λ F ή, =,,..., είναι διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές της f και v, =,,..., είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, τότε τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Απόδειξη Θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή θα υποθέσουμε ότι συμβαίνει το αντίθετο, ότι δηλαδή τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα, και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια πρόταση που δεν αληθεύει. Έστω λοιπόν ότι τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Τότε θα υπάρχει τουλάχιστον μια σχέση εξάρτησης μεταξύ των διανυσμάτων v, =,,...,. Από τις σχέσεις αυτές επιλέγουμε αυτή με μικρότερο αριθμό διανυσμάτων vk, =,,..., m δηλ. υπάρχουν αριθμοί a F( ή ), =,,..., m τέτοιοι ώστε av k + av k + + a 0 mvk m = Μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι a 0, διαφορετικά θα καταλήγαμε σε μια σχέση εξάρτησης με λιγότερα διανύσματα v k πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση. Επειδή λοιπόν όλοι οι συντελεστές a 0 μπορούμε να λύσουμε την παραπάνω σχέση ως προς το ένα από τα διανύσματα, έστω το a a a m vk = vk + v k + + v km a a a Αν εφαρμόσουμε την γραμμική απεικόνιση f στην παραπάνω σχέση θα πάρουμε a a a m f ( vk ) = f vk f v k f v km a + a + + a a a a m λkv k = λ k v k + λ k v k + + λ k v m km a a a Αν πολλαπλασιάσουμε την προτελευταία ισότητα με λ k και την αφαιρέσουμε από την τελευταία ισότητα θα πάρουμε a 0 ( ) a a m = λk λ ( ) ( ) k v k + λk λ k v k + + λ k λ m k v km a a a Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι οι συντελεστές a ( λk λ ),,,..., k = m a στην παραπάνω ισότητα είναι διάφοροι του μηδέν επειδή οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους από την υπόθεση. Συνεπώς καταλήξαμε σε μια σχέση εξάρτησης μεταξύ m- διανυσμάτων, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση ότι το μέγιστο πλήθος διανυσμάτων στην σχέση εξάρτησης που επιλέξαμε είναι m. Εφόσον καταλήξαμε σε μια αντίφαση, στηριζόμενοι στο γεγονός ότι τα v k

5 9. Ορισμοί Σελίδα 5 από 58 διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα, συνεπώς η αρχική μας υπόθεση ήταν λάθος. Άρα τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του παραπάνω θεωρήματος είναι να υποθέσουμε ξανά ότι τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα και συνεπώς υπάρχει μια σχέση εξάρτησης της μορφής : av k + av k + + a 0 mvk m = Από την παραπάνω σχέση πολλαπλασιάζοντας συνεχώς με τον πίνακα θα έχουμε: a v + a v + + a v = 0 aλ v + a λ v + + a λ v = 0 k k m km k k k k m km km λk k λk k mλkm km λk k λk k mλkm km aλkv k + a λk v 0 k + + a mλk v m k = m a v + a v + + a v = 0 a v + a v + + a v = 0 ή ισοδύναμα aλ v + a λ v + + a λ v = 0 m m m k k k k m km km av k 0 λk λ k λ k av 0 m k = λ λ λ 0 m m m k k k av m m km P Όμως από το παράδειγμα.4, στη σελ. του τόμου της Γραμμικής Άλγεβρας έχουμε det P = λ 0 k λ k επειδή οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες κι συνεπώς η j ότι [ ] ( ) k> kj μόνη λύση στο παραπάνω ομογενές σύστημα είναι η μηδενική δηλ. av = 0, v 0 a = 0. k k 9..4 Παράδειγμα Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5 +,6 ) f x x x x x x Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f x, x = 5x + x,6x x = λ x, x ή ισοδύναμα την σχέση 5 x x = λ 6 x x ( ) ( ) ( ) όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως προς τη συνήθη βάση του (κεφ. 5.., τόμος ος ). Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ + 5 x 0 = 6 λ x + 0 και έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν x x

6 9. Ορισμοί Σελίδα 6 από 58 5 det λ + = 0 λ + 7λ 8 = 0 ( λ + 8)( λ ) = 0 λ = 8 λ = 6 λ + Συνεπώς οι ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f είναι λ = 8& λ =. Για λ = 8 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x 6 6 x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 8. Επίσης V 8 = k, k Η γραμμή y = x αποτελείται από σημεία της μορφής ( k, k), το καθένα από τα οποία αποτελεί ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 8, εκτός της περίπτωσης που k = 0, η οποία εξαιρείται. Η γραμμική απεικόνιση f έχει την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο της γραμμής y = x στον εαυτό της. Για λ = το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα 6 x 0 x x = x x x, x 6 x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =. Επίσης V = k, k Όμοια με παραπάνω η γραμμή y = x αποτελείται από σημεία της μορφής ( k,k ), το καθένα από τα οποία αποτελεί ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =, εκτός της περίπτωσης που k = 0, η οποία εξαιρείται. Η γραμμική απεικόνιση f έχει την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο της γραμμής y = x στον εαυτό της. Παρατήρηση. Τα ιδιοδιανύσματα γραμμικών μετασχηματισμών του επιπέδου αντιστοιχούν σε αναλλοίωτες ευθείες του μετασχηματισμού πρδ. α) το προηγούμενο παράδειγμα, β) ο άξονας μιας ανάκλασης δίνει ένα ιδιοδιάνυσμα (αποδείξτε το) Παράδειγμα Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση f ( x, x) = ( x, x) Η παραπάνω γραμμική απεικόνιση, απεικονίζει το διάνυσμα (, ) x x στο διάνυσμα που προκύπτει έπειτα από στροφή Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f ( x, x) = ( x, x) = λ ( x, x) ή ισοδύναμα την σχέση

7 9. Ορισμοί Σελίδα 7 από 58 0 x x = λ 0 x x x όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως προς τη συνήθη βάση του ( ). Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ x 0 = λ x 0 η οποία δεν έχει λύση στο πρδ. det λ = 0 λ + = 0 λ M δεν έχει ιδιοτιμές, αλλά ως στοιχείο Συνεπώς ο πίνακας ως στοιχείο του ( ) του M ( ) έχει ιδιοτιμές τις, ιδιοδιανύσματα τα (,) λ = (( λ )( λ ) λ και (,) x = + ) και αντίστοιχα. Συνεπώς η γραμμική απεικόνιση f :, f( x, y) = ( y, x) δεν έχει ιδιοτιμές ενώ η γραμμική απεικόνιση f :, f( x, y) = ( y, x) έχει ιδιοτιμές. Σημαντικό ρόλο λοιπόν παίζει αν ο διανυσματικός χώρος της γραμμικής απεικόνισης είναι ορισμένος πάνω στο ή πάνω στο. Ας υποθέσουμε ότι ο διανυσματικός χώρος Χ πάνω στο F ( ή ) πεπερασμένης διάστασης με βάση την B = { e e e }. Έστω επίσης :,,..., είναι f X X μια γραμμική απεικόνιση και = ( a j ) ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης για την βάση αυτή. Τότε θα έχουμε : 9..6 Πρόταση Ο αριθμός λ F ( ή ) αποτελεί ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης f : X X αν και μόνο αν det[ λi ] = 0 ενώ τα ιδιοδιανύσματα x = xe + xe + + xe της γραμμικής απεικόνισης f που T αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι τα διανύσματα y = ( x x x ) = [ x] ικανοποιούν την εξίσωση : Απόδειξη Από την υπόθεση έχουμε ότι ( a j ) προς την βάση { } e, e,..., e δηλ. ( ) ( ) ( ) ( λi ) y = 0 που = είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως f e = ae+ ae + + a e f e = a e + a e + + a e f e = a e + a e + + a e B

8 9. Ορισμοί Σελίδα 8 από 58 Ο αριθμός F ( ή ) λ αποτελεί ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης f : X X σύμφωνα με τον Ορισμό 9.. εάν και μόνο εάν f( x) = λx f ( xe + xe + + xe ) = λ( xe + xe + + xe ) xf ( e) + xf ( e) + + xf ( e) = λ ( xe + xe + + xe ) x ( ae + ae + + a e) + x ( ae + ae + + ae) x( a e+ ae + + ae) = λ ( xe + xe + + xe) ( ax + ax + + a x) e + ( ax + ax + + ax) e ( a x+ ax+ + ax) e = ( λx) e+ ( λx) e+ + ( λx) e a a a x λx x a a a x λx x = = λ a a a x λx x y = λy ( λi ) y = 0 Η παραπάνω εξίσωση έχει μη μηδενικές λύσεις εάν και μόνο εάν [ I ] που αποδεικνύει την πρόταση. y y det λ = 0 Λόγω της σύνδεσης αυτής μεταξύ : α) των ιδιοποσών (ιδιοτιμών / ιδιοδιανυσμάτων) μιας γραμμικής απεικόνισης και β) των χαρακτηριστικών στοιχείων του πίνακα της det λi / γραμμικής απεικόνισης (τιμές που μηδενίζουν το πολυώνυμο [ ] διανύσματα που αποτελούν λύση του ομογενούς συστήματος ( I ) x 0 δίνουμε τον παρακάτω ορισμό Ορισμός Ένα μη μηδενικό διάνυσμα ( ) τετράγωνου πίνακα M[ ]( M[ ]) λ = ) x ονομάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα ενός εάν υπάρχει αριθμός ( ) λ, τέτοιος ώστε x = λx Ο αριθμός λ ( ) ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα Α. Συνολικά οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά μεγέθη του πίνακα. Στην θεωρία που αναφέρεται παρακάτω, όταν αναφερόμαστε στα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α, θα εννοούμε τα δεξιά ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσματα x = ; x = 0 ; x = ; x4 = 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα

9 9. Ορισμοί Σελίδα 9 από = M 0 και σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα αυτό. [ ] Εύλογα ερωτήματα που γεννιούνται από τον ορισμό 9..7, είναι τα εξής :. υπάρχουν ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές για κάθε πίνακα Α ;. ποιο είναι το πλήθος των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετράγωνου πίνακα Α ;. με ποιον τρόπο υπολογίζω τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός τετράγωνου πίνακα Α ; Θα ξεκινήσουμε με την απάντηση στο τρίτο ερώτημα, δηλαδή τον τρόπο εύρεσης των x είναι ιδιοδιανυσμάτων/ιδιοτιμών του πίνακα Α. Από τον ορισμό, αν ( ) ιδιοδιάνυσμα του πίνακα M[ ] ( M[ ]), τότε θα υπάρχει ( ) ώστε : λ τέτοιο ( λ ) 0 x = λx I x = B (9..) Στην περίπτωση που ο πίνακας B = λi έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός τότε η μόνη λύση που έχει το σύστημα (9..) είναι η μηδενική ( x = 0, ). Σε περίπτωση που η ορίζουσα του πίνακα B = λi είναι μηδέν, τότε υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις x του συστήματος (9..). Συνεπώς το ιδιοδιάνυσμα x υπάρχει στην περίπτωση που m λ = det λi = 0 (9..) ( ) ( ) Σημείωση. Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν στην θέση του πίνακα λi παίρναμε τον πίνακα λi (γιατί;) Ορισμός Η εξίσωση (9..) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα M [ ], ενώ το πολυώνυμο p(λ), ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα M [ ]. Το σύνολο των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, οι οποίες και αποτελούν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, ονομάζεται φάσμα και συμβολίζεται με σ ( ). Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας το πλήθος των ριζών (και άρα των ιδιοτιμών λ ) του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι, όση δηλαδή και η διάσταση του πίνακα Α. m ( ) ( ) ( ) ( ) k λ = λ λ λ λ λ λk = k

10 9. Ορισμοί Σελίδα 0 από 58 Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας κάθε μη-σταθερό πολυώνυμο f x x έχει τουλάχιστο μια ρίζα στο σώμα και συνεπώς ένας πίνακας ( ) [ ] M [ ] έχει ιδιοτιμές, σε αντίθεση με έναν πίνακα M [ ] και να μην διαθέτει ιδιοτιμές (δες πρδ. 9..5). ο οποίος μπορεί 9..0 Ορισμός Ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται μια ιδιοτιμή στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα M [ ] ονομάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής π.χ. αν p ( λ) = ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ ) k k και λ λ j τότε η αλγεβρική πολλαπλότητα της λ είναι. 9.. Παράδειγμα 4 5 Δίνεται ο πίνακας = M [ ]. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α 0 0 καθώς και η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. Απάντηση Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α : λ 4 5 m ( λ) = det[ λi ] = det λ 0 0 = λ+ = λ + λ 4 5 = ( λ+ ) = ( λ+ ) ( λ 4)( λ+ ) ( ) 5 = ( λ+ ) ( λ ) λ + Από την μορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εύκολα συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα M [ ] είναι οι - και με αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Το φάσμα του πίνακα Α είναι ( ) {,, } σ =. Για να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα M[ ]( M[ ]) για κάθε ιδιοτιμή λ ( ) του πίνακα M[ ]( M[ ]) ομογενές σύστημα ( λι ) x = 0., θα πρέπει να λύσουμε το 9.. Ορισμός Το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων αποτελούν έναν διανυσματικό υπόχωρο του ( ) V λ που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή ( ) λ,, ο οποίος και ονομάζεται ιδιοχώρος της ιδιοτιμής λ ( ). Η διάσταση του ιδιοχώρου V λ ονομάζεται

11 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ( ) με V = rak( λ I ) dm λ λ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση. Η ταύτιση της γεωμετρικής και αλγεβρικής πολλαπλότητας για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα αποτελεί όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 0 έναν από τους δύο κύριους παράγοντες για την δυνατότητα της διαγωνιοποίησης ενός πίνακα κάτω από κατάλληλους μετασχηματισμούς ομοιότητας. 9.. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τον πίνακα του παραδείγματος 9... Να υπολογιστούν οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές - και, καθώς και η γεωμετρική πολλαπλότητα που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή. Απάντηση Γνωρίζουμε από το παράδειγμα 9.. ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι : ( ) = ( + ) ( ) m λ λ λ Για την ιδιοτιμή - θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση : 4 5 x x 4x 5x + x = x 5x 5x + x = 0 x = x x = ( ) x x x + x = x x x x 0 x x x + = = x x = x x Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : x V = x = x, x = x 0 0 και έχει διάσταση, δηλ. dmv =. Με το σύμβολο e ορίζουμε τον διανυσματικό χώρο που παράγεται από το διάνυσμα e. Συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής - είναι και είναι διαφορετική από την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι. Όμοια για την ιδιοτιμή θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση : 4 5 x x 4x 5x + x = x x 5x = 0 5 x = x x = x x x + x = x x 5x = x x x x x 0 x 0 = = = x Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : x 5 x 5 5 V = x = x, x = Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 7.5 ότι η διάσταση του χώρου λύσεων του ομογενούς συστήματος ( λ I ) x = 0 είναι ίση με rak ( λ I ).

12 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 και έχει διάσταση, δηλ. dmv =. Συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι, όσο δηλαδή και η αλγεβρική της πολλαπλότητα. Όταν μας ζητείται ο υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα M[ ] ( M[ ]), και όχι οι ιδιοχώροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές αυτές, αρκεί να επιλέξουμε μια βάση από κάθε υπόχωρο V λ. Για ευκολία στις πράξεις στην θεωρία που θα ακολουθήσει, συνήθως διαλέγουμε ιδιοδιανύσματα με ακέραιες τιμές όπου αυτό είναι δυνατό. Στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσαμε να ορίσουμε ότι 5 5 ο ιδιοχώρος V παράγεται από το διάνυσμα =. 0 0 Θεώρημα 9..4 Αν συμβολίσουμε με ισχύει η σχέση dmv. Απόδειξη Από τον ορισμό της ιδιοτιμής ( ) την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ( ) λ λ τότε λ θα υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα x V λ και συνεπώς V λ. Άρα dmv λ. Ας υποθέσουμε ότι dmv = λ m και έστω μια βάση του V λ είναι η εξής { e, e,..., e m}. Συνεπώς θα έχουμε f ( e) = λe, =,,..., m και άρα ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f ( x) x = ως προς την βάση { e, e,..., e, e,..., e } m m+ θα είναι ο εξής : λ I B m D = 0 C όπου B Mm, m[ ], C M m, m[ ]. Όπως θα δούμε, στην άσκηση από τις ασκήσεις του Κεφαλαίου 9., οι πίνακες D, ως όμοιοι θα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο m λ = det λi = det λi D = λ λ m det λi C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και συνεπώς θα πρέπει η αλγεβρική πολλαπλότητα του λ να είναι μεγαλύτερη από το m ή ισοδύναμα m= dmv. λ Μεθοδολογία υπολογισμού ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα M M. [ ]( [ ]) Βήμα. Εύρεση ιδιοτιμών του πίνακα M[ ]( M[ ]). α) Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου m λ = det λi = λ + a λ + + a. ( ) [ ] β) Υπολογισμός των ριζών { λ, λ,..., λ }, λ λ, λ ( ) εξίσωσης m ( λ ) = 0. k j 0 της χαρακτηριστικής

13 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 Βήμα. Εύρεση των ιδιοδιανυσμάτων ( ) x του πίνακα Α. Επίλυση της εξίσωσης x = λx για =,,..., Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας 4 = 4 4 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α λ 4 m ( λ) = det( λi ) = λ = λ 4 = λ 4 λ 4 = ( λ 4) ( ) + ( ) = λ 4 λ 4 λ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = λ 4 λ λ λ 4 = ( ) ( ) λ λ λ λ λ = + 6 = 8 Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0. ( λ ) ( λ 8) = 0 λ =, λ = 8 Επομένως λ = και λ = 8 είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνουμε για κάθε ένα από τα λ, το ομογενές σύστημα ( λι ) x= 0. Για λ =, 4 x x 4x+ x + x = x x+ x + x = 0 4 x = x x+ 4x + x = x x+ x + x = 0 x+ x + x = 0 4 x x x x 4x x x x x = + + = x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω x 0 0 V = x = x 0 + x, x, x = 0, x x Παρατηρούμε ότι dmv = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι.

14 9. Ορισμοί Σελίδα 4 από 58 Για λ = 8, 4 x x 4x+ x + x = 8x 4x+ x + x = 0 4 x = 8 x x+ 4x + x = 8x x 4x + x = 0 4 x x x x 4x 8x x x 4x = + = x x x + x x = x + x x = = x x + x 4x + x = 0 x + x = 0 x = x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 8 είναι ο παρακάτω x V8 = x = x, x = x Παρατηρούμε ότι dmv 8 = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 8 είναι. Συνεπώς και για τις δύο ιδιοτιμές ισχύει ότι η αλγεβρική τους πολλαπλότητα ταυτίζεται με την γεωμετρική πολλαπλότητα. Σε αντίθετη περίπτωση το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α θα ήταν μικρότερο από την διάσταση του πίνακα Α. Παρακάτω χρησιμοποιούμε το υπολογιστικό σύστημα άλγεβρας Mathematca για να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Ορισμός του πίνακα Α I[]:= a= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Out[]= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του πίνακα. I[]:= p = ad Out[]= + 6 s s + s Επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. I[]:= 0, sd Out[]= 88s <, 8s <, 8s 8<< Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α θα μπορούσε να υπολογιστεί και με την συνάρτηση CharacterstcPolyomal. I[4]:= sd Out[4]= 6 s + s s

15 9. Ορισμοί Σελίδα 5 από 58 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α θα μπορούσαν να υπολογιστούν επίσης με την συνάρτηση Egevalues. I[5]:= Out[5]= 88,, < Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή. I[6]:= Out[6]= 88, 0, <, 8,, 0<< Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 8. I[7]:= 8 Out[7]= 88,, << Τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α θα μπορούσαν να υπολογισθούν με την συνάρτηση Egevectors. I[8]:= Out[8]= 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<< Παρατηρούμε ότι το πρώτο ιδιοδιάνυσμα αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιοτιμή που μας έδωσε η συνάρτηση Egevalues, ενώ τα υπόλοιπα δύο αντιστοιχούν στην δεύτερητρίτη ιδιοτιμή που επέστρεψε η συνάρτηση Egevalues. Θα μπορούσαμε επίσης να πάρουμε και τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μας με την συνάρτηση Egesystem που μας δίνει τα ιδιοποσά του συστήματος. I[9]:= Out[9]= 888,, <, 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<<< Η παραπάνω συνάρτηση επιστρέφει μια λίστα με στοιχεία λίστες. Η πρώτη περιέχει τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, ενώ η δεύτερη τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές της πρώτης λίστας Παράδειγμα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 5 = M [ ] Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.

16 9. Ορισμοί Σελίδα 6 από λ 5 m ( λ) = det [ λi ] = det λ = = 0 λ + = λ λ+ + 5= λ + ( )( ) Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0 4. λ 0 λ, λ + = = = όπου ο φανταστικός αριθμός (δες κεφάλαιο, της Γραμμικής Άλγεβρας του Συνοδευτικού Έντυπου Υλικού). Επομένως λ = και λ = είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα η κάθε μια. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνούμε για κάθε ένα από τα λ, το ομογενές σύστημα ( λι ) x= 0. Για λ =, ( ) 5 x x x+ 5x = x x+ 5x = 0 = x = ( + ) x x x x x = x x ( + ) x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω ( + ) ( + ) V = x, x = Για λ =, ( ) 5 x x x+ 5x = x + x+ 5x = 0 = x = ( ) x x x x x = x x ( ) x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή - είναι ο παρακάτω ( ) ( ) V = x, x = 9..7 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα = M [ ] Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α. 4 Σε περίπτωση που μας ενδιέφεραν οι ιδιοτιμές στο τότε ο πίνακας μας δεν έχει ιδιοτιμές λόγω του ότι η εξίσωση m ( λ ) = 0 δεν έχει λύσεις στο.

17 9. Ορισμοί Σελίδα 7 από 58 0 λ m ( λ) = det [ λi ] = det λ = = 0 λ = + = ( λ )( λ ) ( λ ) Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0. ( λ ) = 0 λ =, λ = Επομένως λ = είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνουμε για λ=, το ομογενές σύστημα λι x=. ( ) 0 x x x x = x x x = 0 = x = x x x x+ x = x x+ x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω V x, x = = Παρατηρούμε ότι dmv = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι. Η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής που είναι, δεν ταυτίζεται με την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσπαθήστε να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : 0 0 = 0 ; B= 0 0 ; C = 0 0 Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιμών των πινάκων. Χρησιμοποιήστε το Mathematca για να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα σας. Ασκήσεις 9... Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5, + 5 ) f x x x x x x Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης.. Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσματα 0 x = ; x = 0 ; x = 0 ; x 4 = 0 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα

18 9. Ορισμοί Σελίδα 8 από = 0 M [ ] 0 και σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα αυτό.. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : = M[ ] ; = M[ ] 6 8 = M[ ] ; 4 = M[ ] Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. 4. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : 4 B = M[ ] ; B = M[ ] 0 6 B = 0 M[ ] ; B4 = M[ ] Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής.

19 9. Ορισμοί Σελίδα 9 από 58 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων Απάντηση. Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f x, x = 5 x x, x + 5 x = λ x, x ή ισοδύναμα την σχέση 5 x x = λ 5 x x ( ) ( ) ( ) x όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ 5 x 0 = λ 5 x 0 και έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν λ 5 det = 0 λ 0λ + 4 = 0 ( λ 4)( λ 6) = 0 λ = 4 λ = 6 λ 5 Συνεπώς οι ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f είναι λ = 4& λ = 6. Για λ = 4 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 4. Επίσης V4 = k, k Για λ = 6 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 6. Επίσης V6 = k, k. Τα x, x 4 είναι ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ=.. λ = 5 ; V5 = = λ = 0 ; V0 = λ = 5, λ = 0 έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα x

20 9. Ορισμοί Σελίδα 0 από 58 λ = ; V = = λ = ; V = λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα = λ = ; V = Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα. λ = 4 + ; V = = + λ = 4 ; V = λ = 4+, λ = 4 έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα 4. λ = ; V = 0 B = λ = 0 ; V0 = 4 Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = 0 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα.

21 9. Ορισμοί Σελίδα από λ ; V = + + = B = λ ; V = = λ = ; V = 0 Τα λ = +, λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. 0 B = 0 λ = ; V = Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα. 6 λ = 4 ; V 4 = 6 B4 = λ = ; V = Το λ = 4 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα.

22 9. Ιδιότητες Σελίδα από Ιδιότητες Στην ενότητα αυτή θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μερικές από τις σημαντικές ιδιότητες των ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων τετράγωνων πινάκων. 9.. Θεώρημα Έστω ο πίνακας M [ ] με ιδιοτιμή ( ) λ και το ιδιοδιάνυσμα x ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Τότε : k (α) Ο πίνακας θα έχει ως ιδιοτιμή το λ k ( ), k =,,... και ιδιοδιάνυσμα το x. (β) Ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, πρδ. rak ιδιοτιμή του πίνακα Α., αν και μόνο αν το 0 αποτελεί (γ) Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος (συνεπώς λ 0 ), ο πίνακας x. ιδιοτιμή το ( ) (δ) Ο πίνακας λ και ιδιοδιάνυσμα το ( ) T (ανάστροφος) θα έχει ως ιδιοτιμή το ( ) (ε) Έστω ο πίνακας [ ] B M ( ) με ιδιοτιμή ( ) λ. θα έχει ως μ και το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x με τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή μ. Τότε ο πίνακας + B θα έχει ως ιδιοτιμή την λ μ ( ) (στ) Έστω ο πίνακας B M [ ] με ιδιοτιμή ( ) ( ) x. + και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) μ και το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x με τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή μ. Τότε ο πίνακας B θα έχει ως ιδιοτιμή την ( ) x. λμ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) Απόδειξη (α) Θα δώσουμε την απόδειξη του (α) με επαγωγή. Έστω ο πίνακας M [ ] ( ) x, τότε : έχει ιδιοτιμή την ( ) λ και ιδιοδιάνυσμα το x = λx (9..) Πρώτα αποδεικνύουμε ότι το (α) ισχύει για k=, θα έχουμε Έστω ότι το (α) ισχύει για k= ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) λ λ λ λ λ x = x = x = x = x = x Θα δείξουμε ότι το (α) ισχύει για k=+ x λ = x (9..) ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) + x= x = λ x = λ x = λ λx = λ + x (β) ( ) Αν ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, τότε έχει έναν μη μηδενικό δεξιά μηδενικό χώρο, δηλαδή υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα x τέτοιο ώστε x = 0 το οποίο μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως x = 0x, και συνεπώς το 0 αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α. ( ) Αν το 0 αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α, θα έχουμε ότι

23 9. Ιδιότητες Σελίδα από 58 [ I ] [ ] ( ) [ ] [ ] det 0 = det = det = 0 det = 0 και συνεπώς ο πίνακας Α έχει τάξη μικρότερη από. (γ) Από την σχέση (9..) έχουμε ότι x λx x λx x λx = = = (9..) Από το 9..β με αντιθετοαντιστροφή 5 έχουμε ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν έχει μη μηδενικές ιδιοτιμές και συνεπώς μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την σχέση (9..) με λ και να πάρουμε x= λ x το οποίο αποδεικνύει το 9..γ. T (δ) Οι πίνακες, έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο όπως φαίνεται παρακάτω και συνεπώς θα έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές det[ λi ] det ( ) T det T T det T = λi = λi = λi (ε) Εύκολα φαίνεται από την παρακάτω σχέση + B x= x+ Bx= λx+ μx= λ+ μ x ( ) ( ) (στ) Αποδείξτε το με τον ίδιο τρόπο που αποδείχθηκε το (ε). Μπορούμε να αποδείξουμε από τον συνδυασμό των σχέσεων (α), (γ) στο θεώρημα 9.. ότι η σχέση (α) ισχύει για κάθε ακέραιο αριθμό και όχι μόνο για θετικούς ακέραιους αριθμούς. 9.. Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας = M Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι m λ = λ λ 5 [ ] ( ) ( ) και συνεπώς έχει ως ιδιοτιμές τις {0,5}. Επειδή μια από τις ιδιοτιμές είναι το 0, συμπεραίνουμε βάση του Θεωρήματος 9..β, ότι ο πίνακας δεν έχει πλήρη τάξη. Θεωρείστε τον πίνακα 0 0 = = 5 5 Ο παραπάνω πίνακας έχει ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο το m ( λ) = λ( λ 5) και συνεπώς έχει (Θεώρημα 9..α) ως ιδιοτιμές τις { 0 0,5 5} Έστω ο πίνακας + = + = 8 8 = =. 5 Αν η πρόταση p συνεπάγεται την πρόταση q, τότε η αντίθετη της πρότασης q θα συνεπάγεται την αντίθετη της πρότασης p.

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Διπλωματική Εργασία ΚΑΡΑΝΤΖΙΑ ΑΝΝΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Ψαρράκος

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A = 1 Ορίζουσες Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1, όπου x είναι τυχόν στοιχείο του σώματος R. Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος.

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα