Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα"

Transcript

1 Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί Ιδιότητες Θεώρημα Cayley-Hamlto Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου Απαντήσεις στις ασκήσεις αυτοαξιολόγησης του κεφαλαίου Ας θεωρήσουμε τη γραμμική απεικόνιση f : X X όπου X είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F (, ). Εάν υπάρχουν μη μηδενικά διανύσματα v X τα οποία έχουν την ιδιότητα f ( v) = λv, όπου λ K, τα διανύσματα αυτά ονομάζονται ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης f, ενώ οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση αυτή ονομάζονται ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης. Οι χώροι των διανυσμάτων v που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή λ αποτελούν διανυσματικούς υπόχωρους του X τους οποίους και θα ονομάσουμε ιδιόχωρους της συγκεκριμένης ιδιοτιμής. Βασικός στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι να διατυπώσει μια μεθοδολογία εύρεσης των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων μιας γραμμικής απεικόνισης μέσω του πίνακα της γραμμικής απεικόνισης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένες ιδιότητες των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων/γραμμικών απεικονίσεων, ενώ στο τέλος παρουσιάζουμε το Θεώρημα Cayley-Hamlto και εφαρμογές του στον υπολογισμό: α) του αντίστροφου ενός πίνακα, β) μαθηματικών παραστάσεων που εξαρτούνται από έναν πίνακα (όπως οι δυνάμεις ενός πίνακα), και γ) του ελάχιστου πολυωνύμου ενός πίνακα. Συγγραφέας : Ν. Καραμπετάκης

2 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 Έστω η γραμμική απεικόνιση f : 9. Ορισμοί x 4x 5x f = x x x Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 8.4 ότι ο πίνακας της παραπάνω γραμμικής T { } απεικόνισης, ως προς την συνήθη βάση ( 0 ) T,( 0 ) 4 5 = T Έστω επίσης το διάνυσμα x ( x x ) ( ) είναι ο = = 5. Παίρνοντας το γινόμενο του x διαπιστώνουμε ότι είναι ίσο με f = = = 4 5 f ( x) = x, x= και συνεπώς είναι πολλαπλάσιο του x. 4 T x x Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αν υπάρχουν επιπλέον διανύσματα με την ίδια ιδιότητα. Θα πρέπει τα διανύσματα αυτά να ικανοποιούν την ιδιότητα : x x 4x 5x x ( λ 4) x+ 5x = 0 f = λ = λ x x x x x x+ ( λ + ) x = 0 Προκειμένου να έχει λύση το παραπάνω ομογενές σύστημα θα πρέπει λ 4 5 det = 0 ( λ 4)( λ + ) ( ) 5 = 0 λ + ( )( ) λ λ = 0 λ λ+ = 0 λ = λ = Συνεπώς εκτός από λ = η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για λ =. Επιλύνοντας το παραπάνω σύστημα εξισώσεων για λ = θα έχουμε 5x+ 5x = 0 x = x x= x, x x x 0 + = Άρα θα έχουμε

3 9. Ορισμοί Σελίδα από f = = = ( ) f ( x) = ( ) x, x= 0.5 x H Lx - Η ιδιότητα αυτή των συγκεκριμένων διανυσμάτων x της γραμμικής απεικόνισης αλλά και των αριθμών λ που περιγράψαμε στο παραπάνω παράδειγμα περιγράφεται από τον παρακάτω ορισμό : 9.. Ορισμός Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα x X ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης εάν υπάρχει αριθμός λ F, τέτοιος ώστε f ( x) = λx Ο αριθμός λ F ονομάζεται ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης. Συνολικά οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά μεγέθη της γραμμικής απεικόνισης. Ο χώρος Vλ = { x: x X και f ( x) = λx} ονομάζεται ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Θεώρημα 9.. Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Τότε ο ιδιοχώρος V λ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ αποτελεί υποχώρο του V. Απόδειξη. Έστω uv,. Τότε θα ισχύει f ( u) V λ = λu και f ( v) ιδιοχώρος V λ υποχώρο του V θα πρέπει και το διάνυσμα au να ανήκει στον V λ. Έχουμε όμως = λv. Για να αποτελεί ο + bv όπου ab, ( ) ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) f au bv f au f bv af u bf v a u b v au bv και συνεπώς το διάνυσμα au + bv V λ. Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο όρος V ( λ ) αντί του V λ.

4 9. Ορισμοί Σελίδα 4 από 58 Όπως θα δείξουμε παρακάτω τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους γραμμικώς ανεξάρτητα. Θεώρημα 9.. Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Αν ( ) λ F ή, =,,..., είναι διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές της f και v, =,,..., είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, τότε τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Απόδειξη Θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή θα υποθέσουμε ότι συμβαίνει το αντίθετο, ότι δηλαδή τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα, και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια πρόταση που δεν αληθεύει. Έστω λοιπόν ότι τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Τότε θα υπάρχει τουλάχιστον μια σχέση εξάρτησης μεταξύ των διανυσμάτων v, =,,...,. Από τις σχέσεις αυτές επιλέγουμε αυτή με μικρότερο αριθμό διανυσμάτων vk, =,,..., m δηλ. υπάρχουν αριθμοί a F( ή ), =,,..., m τέτοιοι ώστε av k + av k + + a 0 mvk m = Μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι a 0, διαφορετικά θα καταλήγαμε σε μια σχέση εξάρτησης με λιγότερα διανύσματα v k πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση. Επειδή λοιπόν όλοι οι συντελεστές a 0 μπορούμε να λύσουμε την παραπάνω σχέση ως προς το ένα από τα διανύσματα, έστω το a a a m vk = vk + v k + + v km a a a Αν εφαρμόσουμε την γραμμική απεικόνιση f στην παραπάνω σχέση θα πάρουμε a a a m f ( vk ) = f vk f v k f v km a + a + + a a a a m λkv k = λ k v k + λ k v k + + λ k v m km a a a Αν πολλαπλασιάσουμε την προτελευταία ισότητα με λ k και την αφαιρέσουμε από την τελευταία ισότητα θα πάρουμε a 0 ( ) a a m = λk λ ( ) ( ) k v k + λk λ k v k + + λ k λ m k v km a a a Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι οι συντελεστές a ( λk λ ),,,..., k = m a στην παραπάνω ισότητα είναι διάφοροι του μηδέν επειδή οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους από την υπόθεση. Συνεπώς καταλήξαμε σε μια σχέση εξάρτησης μεταξύ m- διανυσμάτων, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση ότι το μέγιστο πλήθος διανυσμάτων στην σχέση εξάρτησης που επιλέξαμε είναι m. Εφόσον καταλήξαμε σε μια αντίφαση, στηριζόμενοι στο γεγονός ότι τα v k

5 9. Ορισμοί Σελίδα 5 από 58 διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα, συνεπώς η αρχική μας υπόθεση ήταν λάθος. Άρα τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του παραπάνω θεωρήματος είναι να υποθέσουμε ξανά ότι τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα και συνεπώς υπάρχει μια σχέση εξάρτησης της μορφής : av k + av k + + a 0 mvk m = Από την παραπάνω σχέση πολλαπλασιάζοντας συνεχώς με τον πίνακα θα έχουμε: a v + a v + + a v = 0 aλ v + a λ v + + a λ v = 0 k k m km k k k k m km km λk k λk k mλkm km λk k λk k mλkm km aλkv k + a λk v 0 k + + a mλk v m k = m a v + a v + + a v = 0 a v + a v + + a v = 0 ή ισοδύναμα aλ v + a λ v + + a λ v = 0 m m m k k k k m km km av k 0 λk λ k λ k av 0 m k = λ λ λ 0 m m m k k k av m m km P Όμως από το παράδειγμα.4, στη σελ. του τόμου της Γραμμικής Άλγεβρας έχουμε det P = λ 0 k λ k επειδή οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες κι συνεπώς η j ότι [ ] ( ) k> kj μόνη λύση στο παραπάνω ομογενές σύστημα είναι η μηδενική δηλ. av = 0, v 0 a = 0. k k 9..4 Παράδειγμα Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5 +,6 ) f x x x x x x Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f x, x = 5x + x,6x x = λ x, x ή ισοδύναμα την σχέση 5 x x = λ 6 x x ( ) ( ) ( ) όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως προς τη συνήθη βάση του (κεφ. 5.., τόμος ος ). Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ + 5 x 0 = 6 λ x + 0 και έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν x x

6 9. Ορισμοί Σελίδα 6 από 58 5 det λ + = 0 λ + 7λ 8 = 0 ( λ + 8)( λ ) = 0 λ = 8 λ = 6 λ + Συνεπώς οι ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f είναι λ = 8& λ =. Για λ = 8 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x 6 6 x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 8. Επίσης V 8 = k, k Η γραμμή y = x αποτελείται από σημεία της μορφής ( k, k), το καθένα από τα οποία αποτελεί ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 8, εκτός της περίπτωσης που k = 0, η οποία εξαιρείται. Η γραμμική απεικόνιση f έχει την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο της γραμμής y = x στον εαυτό της. Για λ = το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα 6 x 0 x x = x x x, x 6 x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =. Επίσης V = k, k Όμοια με παραπάνω η γραμμή y = x αποτελείται από σημεία της μορφής ( k,k ), το καθένα από τα οποία αποτελεί ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =, εκτός της περίπτωσης που k = 0, η οποία εξαιρείται. Η γραμμική απεικόνιση f έχει την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο της γραμμής y = x στον εαυτό της. Παρατήρηση. Τα ιδιοδιανύσματα γραμμικών μετασχηματισμών του επιπέδου αντιστοιχούν σε αναλλοίωτες ευθείες του μετασχηματισμού πρδ. α) το προηγούμενο παράδειγμα, β) ο άξονας μιας ανάκλασης δίνει ένα ιδιοδιάνυσμα (αποδείξτε το) Παράδειγμα Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση f ( x, x) = ( x, x) Η παραπάνω γραμμική απεικόνιση, απεικονίζει το διάνυσμα (, ) x x στο διάνυσμα που προκύπτει έπειτα από στροφή Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f ( x, x) = ( x, x) = λ ( x, x) ή ισοδύναμα την σχέση

7 9. Ορισμοί Σελίδα 7 από 58 0 x x = λ 0 x x x όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως προς τη συνήθη βάση του ( ). Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ x 0 = λ x 0 η οποία δεν έχει λύση στο πρδ. det λ = 0 λ + = 0 λ M δεν έχει ιδιοτιμές, αλλά ως στοιχείο Συνεπώς ο πίνακας ως στοιχείο του ( ) του M ( ) έχει ιδιοτιμές τις, ιδιοδιανύσματα τα (,) λ = (( λ )( λ ) λ και (,) x = + ) και αντίστοιχα. Συνεπώς η γραμμική απεικόνιση f :, f( x, y) = ( y, x) δεν έχει ιδιοτιμές ενώ η γραμμική απεικόνιση f :, f( x, y) = ( y, x) έχει ιδιοτιμές. Σημαντικό ρόλο λοιπόν παίζει αν ο διανυσματικός χώρος της γραμμικής απεικόνισης είναι ορισμένος πάνω στο ή πάνω στο. Ας υποθέσουμε ότι ο διανυσματικός χώρος Χ πάνω στο F ( ή ) πεπερασμένης διάστασης με βάση την B = { e e e }. Έστω επίσης :,,..., είναι f X X μια γραμμική απεικόνιση και = ( a j ) ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης για την βάση αυτή. Τότε θα έχουμε : 9..6 Πρόταση Ο αριθμός λ F ( ή ) αποτελεί ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης f : X X αν και μόνο αν det[ λi ] = 0 ενώ τα ιδιοδιανύσματα x = xe + xe + + xe της γραμμικής απεικόνισης f που T αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι τα διανύσματα y = ( x x x ) = [ x] ικανοποιούν την εξίσωση : Απόδειξη Από την υπόθεση έχουμε ότι ( a j ) προς την βάση { } e, e,..., e δηλ. ( ) ( ) ( ) ( λi ) y = 0 που = είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως f e = ae+ ae + + a e f e = a e + a e + + a e f e = a e + a e + + a e B

8 9. Ορισμοί Σελίδα 8 από 58 Ο αριθμός F ( ή ) λ αποτελεί ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης f : X X σύμφωνα με τον Ορισμό 9.. εάν και μόνο εάν f( x) = λx f ( xe + xe + + xe ) = λ( xe + xe + + xe ) xf ( e) + xf ( e) + + xf ( e) = λ ( xe + xe + + xe ) x ( ae + ae + + a e) + x ( ae + ae + + ae) x( a e+ ae + + ae) = λ ( xe + xe + + xe) ( ax + ax + + a x) e + ( ax + ax + + ax) e ( a x+ ax+ + ax) e = ( λx) e+ ( λx) e+ + ( λx) e a a a x λx x a a a x λx x = = λ a a a x λx x y = λy ( λi ) y = 0 Η παραπάνω εξίσωση έχει μη μηδενικές λύσεις εάν και μόνο εάν [ I ] που αποδεικνύει την πρόταση. y y det λ = 0 Λόγω της σύνδεσης αυτής μεταξύ : α) των ιδιοποσών (ιδιοτιμών / ιδιοδιανυσμάτων) μιας γραμμικής απεικόνισης και β) των χαρακτηριστικών στοιχείων του πίνακα της det λi / γραμμικής απεικόνισης (τιμές που μηδενίζουν το πολυώνυμο [ ] διανύσματα που αποτελούν λύση του ομογενούς συστήματος ( I ) x 0 δίνουμε τον παρακάτω ορισμό Ορισμός Ένα μη μηδενικό διάνυσμα ( ) τετράγωνου πίνακα M[ ]( M[ ]) λ = ) x ονομάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα ενός εάν υπάρχει αριθμός ( ) λ, τέτοιος ώστε x = λx Ο αριθμός λ ( ) ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα Α. Συνολικά οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά μεγέθη του πίνακα. Στην θεωρία που αναφέρεται παρακάτω, όταν αναφερόμαστε στα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α, θα εννοούμε τα δεξιά ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσματα x = ; x = 0 ; x = ; x4 = 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα

9 9. Ορισμοί Σελίδα 9 από = M 0 και σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα αυτό. [ ] Εύλογα ερωτήματα που γεννιούνται από τον ορισμό 9..7, είναι τα εξής :. υπάρχουν ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές για κάθε πίνακα Α ;. ποιο είναι το πλήθος των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετράγωνου πίνακα Α ;. με ποιον τρόπο υπολογίζω τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός τετράγωνου πίνακα Α ; Θα ξεκινήσουμε με την απάντηση στο τρίτο ερώτημα, δηλαδή τον τρόπο εύρεσης των x είναι ιδιοδιανυσμάτων/ιδιοτιμών του πίνακα Α. Από τον ορισμό, αν ( ) ιδιοδιάνυσμα του πίνακα M[ ] ( M[ ]), τότε θα υπάρχει ( ) ώστε : λ τέτοιο ( λ ) 0 x = λx I x = B (9..) Στην περίπτωση που ο πίνακας B = λi έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός τότε η μόνη λύση που έχει το σύστημα (9..) είναι η μηδενική ( x = 0, ). Σε περίπτωση που η ορίζουσα του πίνακα B = λi είναι μηδέν, τότε υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις x του συστήματος (9..). Συνεπώς το ιδιοδιάνυσμα x υπάρχει στην περίπτωση που m λ = det λi = 0 (9..) ( ) ( ) Σημείωση. Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν στην θέση του πίνακα λi παίρναμε τον πίνακα λi (γιατί;) Ορισμός Η εξίσωση (9..) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα M [ ], ενώ το πολυώνυμο p(λ), ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα M [ ]. Το σύνολο των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, οι οποίες και αποτελούν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, ονομάζεται φάσμα και συμβολίζεται με σ ( ). Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας το πλήθος των ριζών (και άρα των ιδιοτιμών λ ) του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι, όση δηλαδή και η διάσταση του πίνακα Α. m ( ) ( ) ( ) ( ) k λ = λ λ λ λ λ λk = k

10 9. Ορισμοί Σελίδα 0 από 58 Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας κάθε μη-σταθερό πολυώνυμο f x x έχει τουλάχιστο μια ρίζα στο σώμα και συνεπώς ένας πίνακας ( ) [ ] M [ ] έχει ιδιοτιμές, σε αντίθεση με έναν πίνακα M [ ] και να μην διαθέτει ιδιοτιμές (δες πρδ. 9..5). ο οποίος μπορεί 9..0 Ορισμός Ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται μια ιδιοτιμή στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα M [ ] ονομάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής π.χ. αν p ( λ) = ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ ) k k και λ λ j τότε η αλγεβρική πολλαπλότητα της λ είναι. 9.. Παράδειγμα 4 5 Δίνεται ο πίνακας = M [ ]. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α 0 0 καθώς και η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. Απάντηση Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α : λ 4 5 m ( λ) = det[ λi ] = det λ 0 0 = λ+ = λ + λ 4 5 = ( λ+ ) = ( λ+ ) ( λ 4)( λ+ ) ( ) 5 = ( λ+ ) ( λ ) λ + Από την μορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εύκολα συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα M [ ] είναι οι - και με αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Το φάσμα του πίνακα Α είναι ( ) {,, } σ =. Για να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα M[ ]( M[ ]) για κάθε ιδιοτιμή λ ( ) του πίνακα M[ ]( M[ ]) ομογενές σύστημα ( λι ) x = 0., θα πρέπει να λύσουμε το 9.. Ορισμός Το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων αποτελούν έναν διανυσματικό υπόχωρο του ( ) V λ που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή ( ) λ,, ο οποίος και ονομάζεται ιδιοχώρος της ιδιοτιμής λ ( ). Η διάσταση του ιδιοχώρου V λ ονομάζεται

11 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ( ) με V = rak( λ I ) dm λ λ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση. Η ταύτιση της γεωμετρικής και αλγεβρικής πολλαπλότητας για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα αποτελεί όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 0 έναν από τους δύο κύριους παράγοντες για την δυνατότητα της διαγωνιοποίησης ενός πίνακα κάτω από κατάλληλους μετασχηματισμούς ομοιότητας. 9.. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τον πίνακα του παραδείγματος 9... Να υπολογιστούν οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές - και, καθώς και η γεωμετρική πολλαπλότητα που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή. Απάντηση Γνωρίζουμε από το παράδειγμα 9.. ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι : ( ) = ( + ) ( ) m λ λ λ Για την ιδιοτιμή - θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση : 4 5 x x 4x 5x + x = x 5x 5x + x = 0 x = x x = ( ) x x x + x = x x x x 0 x x x + = = x x = x x Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : x V = x = x, x = x 0 0 και έχει διάσταση, δηλ. dmv =. Με το σύμβολο e ορίζουμε τον διανυσματικό χώρο που παράγεται από το διάνυσμα e. Συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής - είναι και είναι διαφορετική από την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι. Όμοια για την ιδιοτιμή θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση : 4 5 x x 4x 5x + x = x x 5x = 0 5 x = x x = x x x + x = x x 5x = x x x x x 0 x 0 = = = x Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : x 5 x 5 5 V = x = x, x = Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 7.5 ότι η διάσταση του χώρου λύσεων του ομογενούς συστήματος ( λ I ) x = 0 είναι ίση με rak ( λ I ).

12 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 και έχει διάσταση, δηλ. dmv =. Συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι, όσο δηλαδή και η αλγεβρική της πολλαπλότητα. Όταν μας ζητείται ο υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα M[ ] ( M[ ]), και όχι οι ιδιοχώροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές αυτές, αρκεί να επιλέξουμε μια βάση από κάθε υπόχωρο V λ. Για ευκολία στις πράξεις στην θεωρία που θα ακολουθήσει, συνήθως διαλέγουμε ιδιοδιανύσματα με ακέραιες τιμές όπου αυτό είναι δυνατό. Στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσαμε να ορίσουμε ότι 5 5 ο ιδιοχώρος V παράγεται από το διάνυσμα =. 0 0 Θεώρημα 9..4 Αν συμβολίσουμε με ισχύει η σχέση dmv. Απόδειξη Από τον ορισμό της ιδιοτιμής ( ) την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ( ) λ λ τότε λ θα υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα x V λ και συνεπώς V λ. Άρα dmv λ. Ας υποθέσουμε ότι dmv = λ m και έστω μια βάση του V λ είναι η εξής { e, e,..., e m}. Συνεπώς θα έχουμε f ( e) = λe, =,,..., m και άρα ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f ( x) x = ως προς την βάση { e, e,..., e, e,..., e } m m+ θα είναι ο εξής : λ I B m D = 0 C όπου B Mm, m[ ], C M m, m[ ]. Όπως θα δούμε, στην άσκηση από τις ασκήσεις του Κεφαλαίου 9., οι πίνακες D, ως όμοιοι θα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο m λ = det λi = det λi D = λ λ m det λi C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και συνεπώς θα πρέπει η αλγεβρική πολλαπλότητα του λ να είναι μεγαλύτερη από το m ή ισοδύναμα m= dmv. λ Μεθοδολογία υπολογισμού ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα M M. [ ]( [ ]) Βήμα. Εύρεση ιδιοτιμών του πίνακα M[ ]( M[ ]). α) Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου m λ = det λi = λ + a λ + + a. ( ) [ ] β) Υπολογισμός των ριζών { λ, λ,..., λ }, λ λ, λ ( ) εξίσωσης m ( λ ) = 0. k j 0 της χαρακτηριστικής

13 9. Ορισμοί Σελίδα από 58 Βήμα. Εύρεση των ιδιοδιανυσμάτων ( ) x του πίνακα Α. Επίλυση της εξίσωσης x = λx για =,,..., Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας 4 = 4 4 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α λ 4 m ( λ) = det( λi ) = λ = λ 4 = λ 4 λ 4 = ( λ 4) ( ) + ( ) = λ 4 λ 4 λ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = λ 4 λ λ λ 4 = ( ) ( ) λ λ λ λ λ = + 6 = 8 Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0. ( λ ) ( λ 8) = 0 λ =, λ = 8 Επομένως λ = και λ = 8 είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνουμε για κάθε ένα από τα λ, το ομογενές σύστημα ( λι ) x= 0. Για λ =, 4 x x 4x+ x + x = x x+ x + x = 0 4 x = x x+ 4x + x = x x+ x + x = 0 x+ x + x = 0 4 x x x x 4x x x x x = + + = x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω x 0 0 V = x = x 0 + x, x, x = 0, x x Παρατηρούμε ότι dmv = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι.

14 9. Ορισμοί Σελίδα 4 από 58 Για λ = 8, 4 x x 4x+ x + x = 8x 4x+ x + x = 0 4 x = 8 x x+ 4x + x = 8x x 4x + x = 0 4 x x x x 4x 8x x x 4x = + = x x x + x x = x + x x = = x x + x 4x + x = 0 x + x = 0 x = x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 8 είναι ο παρακάτω x V8 = x = x, x = x Παρατηρούμε ότι dmv 8 = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 8 είναι. Συνεπώς και για τις δύο ιδιοτιμές ισχύει ότι η αλγεβρική τους πολλαπλότητα ταυτίζεται με την γεωμετρική πολλαπλότητα. Σε αντίθετη περίπτωση το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α θα ήταν μικρότερο από την διάσταση του πίνακα Α. Παρακάτω χρησιμοποιούμε το υπολογιστικό σύστημα άλγεβρας Mathematca για να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Ορισμός του πίνακα Α I[]:= a= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Out[]= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του πίνακα. I[]:= p = ad Out[]= + 6 s s + s Επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. I[]:= 0, sd Out[]= 88s <, 8s <, 8s 8<< Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α θα μπορούσε να υπολογιστεί και με την συνάρτηση CharacterstcPolyomal. I[4]:= sd Out[4]= 6 s + s s

15 9. Ορισμοί Σελίδα 5 από 58 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α θα μπορούσαν να υπολογιστούν επίσης με την συνάρτηση Egevalues. I[5]:= Out[5]= 88,, < Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή. I[6]:= Out[6]= 88, 0, <, 8,, 0<< Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 8. I[7]:= 8 Out[7]= 88,, << Τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α θα μπορούσαν να υπολογισθούν με την συνάρτηση Egevectors. I[8]:= Out[8]= 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<< Παρατηρούμε ότι το πρώτο ιδιοδιάνυσμα αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιοτιμή που μας έδωσε η συνάρτηση Egevalues, ενώ τα υπόλοιπα δύο αντιστοιχούν στην δεύτερητρίτη ιδιοτιμή που επέστρεψε η συνάρτηση Egevalues. Θα μπορούσαμε επίσης να πάρουμε και τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μας με την συνάρτηση Egesystem που μας δίνει τα ιδιοποσά του συστήματος. I[9]:= Out[9]= 888,, <, 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<<< Η παραπάνω συνάρτηση επιστρέφει μια λίστα με στοιχεία λίστες. Η πρώτη περιέχει τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, ενώ η δεύτερη τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές της πρώτης λίστας Παράδειγμα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 5 = M [ ] Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.

16 9. Ορισμοί Σελίδα 6 από λ 5 m ( λ) = det [ λi ] = det λ = = 0 λ + = λ λ+ + 5= λ + ( )( ) Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0 4. λ 0 λ, λ + = = = όπου ο φανταστικός αριθμός (δες κεφάλαιο, της Γραμμικής Άλγεβρας του Συνοδευτικού Έντυπου Υλικού). Επομένως λ = και λ = είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα η κάθε μια. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνούμε για κάθε ένα από τα λ, το ομογενές σύστημα ( λι ) x= 0. Για λ =, ( ) 5 x x x+ 5x = x x+ 5x = 0 = x = ( + ) x x x x x = x x ( + ) x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω ( + ) ( + ) V = x, x = Για λ =, ( ) 5 x x x+ 5x = x + x+ 5x = 0 = x = ( ) x x x x x = x x ( ) x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή - είναι ο παρακάτω ( ) ( ) V = x, x = 9..7 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα = M [ ] Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α. 4 Σε περίπτωση που μας ενδιέφεραν οι ιδιοτιμές στο τότε ο πίνακας μας δεν έχει ιδιοτιμές λόγω του ότι η εξίσωση m ( λ ) = 0 δεν έχει λύσεις στο.

17 9. Ορισμοί Σελίδα 7 από 58 0 λ m ( λ) = det [ λi ] = det λ = = 0 λ = + = ( λ )( λ ) ( λ ) Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0. ( λ ) = 0 λ =, λ = Επομένως λ = είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνουμε για λ=, το ομογενές σύστημα λι x=. ( ) 0 x x x x = x x x = 0 = x = x x x x+ x = x x+ x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω V x, x = = Παρατηρούμε ότι dmv = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι. Η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής που είναι, δεν ταυτίζεται με την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσπαθήστε να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : 0 0 = 0 ; B= 0 0 ; C = 0 0 Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιμών των πινάκων. Χρησιμοποιήστε το Mathematca για να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα σας. Ασκήσεις 9... Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5, + 5 ) f x x x x x x Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης.. Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσματα 0 x = ; x = 0 ; x = 0 ; x 4 = 0 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα

18 9. Ορισμοί Σελίδα 8 από = 0 M [ ] 0 και σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα αυτό.. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : = M[ ] ; = M[ ] 6 8 = M[ ] ; 4 = M[ ] Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. 4. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : 4 B = M[ ] ; B = M[ ] 0 6 B = 0 M[ ] ; B4 = M[ ] Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής.

19 9. Ορισμοί Σελίδα 9 από 58 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων Απάντηση. Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f x, x = 5 x x, x + 5 x = λ x, x ή ισοδύναμα την σχέση 5 x x = λ 5 x x ( ) ( ) ( ) x όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ 5 x 0 = λ 5 x 0 και έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν λ 5 det = 0 λ 0λ + 4 = 0 ( λ 4)( λ 6) = 0 λ = 4 λ = 6 λ 5 Συνεπώς οι ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f είναι λ = 4& λ = 6. Για λ = 4 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 4. Επίσης V4 = k, k Για λ = 6 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 6. Επίσης V6 = k, k. Τα x, x 4 είναι ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ=.. λ = 5 ; V5 = = λ = 0 ; V0 = λ = 5, λ = 0 έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα x

20 9. Ορισμοί Σελίδα 0 από 58 λ = ; V = = λ = ; V = λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα = λ = ; V = Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα. λ = 4 + ; V = = + λ = 4 ; V = λ = 4+, λ = 4 έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα 4. λ = ; V = 0 B = λ = 0 ; V0 = 4 Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = 0 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα.

21 9. Ορισμοί Σελίδα από λ ; V = + + = B = λ ; V = = λ = ; V = 0 Τα λ = +, λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. 0 B = 0 λ = ; V = Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα. 6 λ = 4 ; V 4 = 6 B4 = λ = ; V = Το λ = 4 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα.

22 9. Ιδιότητες Σελίδα από Ιδιότητες Στην ενότητα αυτή θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μερικές από τις σημαντικές ιδιότητες των ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων τετράγωνων πινάκων. 9.. Θεώρημα Έστω ο πίνακας M [ ] με ιδιοτιμή ( ) λ και το ιδιοδιάνυσμα x ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Τότε : k (α) Ο πίνακας θα έχει ως ιδιοτιμή το λ k ( ), k =,,... και ιδιοδιάνυσμα το x. (β) Ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, πρδ. rak ιδιοτιμή του πίνακα Α., αν και μόνο αν το 0 αποτελεί (γ) Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος (συνεπώς λ 0 ), ο πίνακας x. ιδιοτιμή το ( ) (δ) Ο πίνακας λ και ιδιοδιάνυσμα το ( ) T (ανάστροφος) θα έχει ως ιδιοτιμή το ( ) (ε) Έστω ο πίνακας [ ] B M ( ) με ιδιοτιμή ( ) λ. θα έχει ως μ και το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x με τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή μ. Τότε ο πίνακας + B θα έχει ως ιδιοτιμή την λ μ ( ) (στ) Έστω ο πίνακας B M [ ] με ιδιοτιμή ( ) ( ) x. + και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) μ και το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x με τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή μ. Τότε ο πίνακας B θα έχει ως ιδιοτιμή την ( ) x. λμ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) Απόδειξη (α) Θα δώσουμε την απόδειξη του (α) με επαγωγή. Έστω ο πίνακας M [ ] ( ) x, τότε : έχει ιδιοτιμή την ( ) λ και ιδιοδιάνυσμα το x = λx (9..) Πρώτα αποδεικνύουμε ότι το (α) ισχύει για k=, θα έχουμε Έστω ότι το (α) ισχύει για k= ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) λ λ λ λ λ x = x = x = x = x = x Θα δείξουμε ότι το (α) ισχύει για k=+ x λ = x (9..) ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) + x= x = λ x = λ x = λ λx = λ + x (β) ( ) Αν ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, τότε έχει έναν μη μηδενικό δεξιά μηδενικό χώρο, δηλαδή υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα x τέτοιο ώστε x = 0 το οποίο μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως x = 0x, και συνεπώς το 0 αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α. ( ) Αν το 0 αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α, θα έχουμε ότι

23 9. Ιδιότητες Σελίδα από 58 [ I ] [ ] ( ) [ ] [ ] det 0 = det = det = 0 det = 0 και συνεπώς ο πίνακας Α έχει τάξη μικρότερη από. (γ) Από την σχέση (9..) έχουμε ότι x λx x λx x λx = = = (9..) Από το 9..β με αντιθετοαντιστροφή 5 έχουμε ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν έχει μη μηδενικές ιδιοτιμές και συνεπώς μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την σχέση (9..) με λ και να πάρουμε x= λ x το οποίο αποδεικνύει το 9..γ. T (δ) Οι πίνακες, έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο όπως φαίνεται παρακάτω και συνεπώς θα έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές det[ λi ] det ( ) T det T T det T = λi = λi = λi (ε) Εύκολα φαίνεται από την παρακάτω σχέση + B x= x+ Bx= λx+ μx= λ+ μ x ( ) ( ) (στ) Αποδείξτε το με τον ίδιο τρόπο που αποδείχθηκε το (ε). Μπορούμε να αποδείξουμε από τον συνδυασμό των σχέσεων (α), (γ) στο θεώρημα 9.. ότι η σχέση (α) ισχύει για κάθε ακέραιο αριθμό και όχι μόνο για θετικούς ακέραιους αριθμούς. 9.. Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας = M Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι m λ = λ λ 5 [ ] ( ) ( ) και συνεπώς έχει ως ιδιοτιμές τις {0,5}. Επειδή μια από τις ιδιοτιμές είναι το 0, συμπεραίνουμε βάση του Θεωρήματος 9..β, ότι ο πίνακας δεν έχει πλήρη τάξη. Θεωρείστε τον πίνακα 0 0 = = 5 5 Ο παραπάνω πίνακας έχει ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο το m ( λ) = λ( λ 5) και συνεπώς έχει (Θεώρημα 9..α) ως ιδιοτιμές τις { 0 0,5 5} Έστω ο πίνακας + = + = 8 8 = =. 5 Αν η πρόταση p συνεπάγεται την πρόταση q, τότε η αντίθετη της πρότασης q θα συνεπάγεται την αντίθετη της πρότασης p.

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα