ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ & Η/Υ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ρ. Α. ΜΑΓΟΥΛΑΣ Επικ. Καθηγητης Σ.Ν.. 13

2 I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Συστήατα συντεταγένων Καρτεσιανό Κυλινδρικό Σφαιρικό Σχέσεις ετατροπής εταξύ των συντεταγένων των τριών συστηάτων 3 1. ιανύσατα Ορισός διανύσατος Ορισός τανυστή Πράξεις διανυσάτων ιανυσατική συνάρτηση τριών εταβλητών Επικαπύλιο ολοκλήρωα διανυσατικής συναρτήσεως Ορισός επικαπυλίου ολοκληρώατος Τρόπος υπολογισού του επικαπυλίου ολοκληρώατος σε καρτεσιανές 8 συντεταγένες 1.4 Επιφανειακό ολοκλήρωα διανυσατικής συναρτήσεως ιανυσατικό πεδίο 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ.1 Γενικά για την επιστήη της Ηλεκτρολογίας 13. Οι πηγές του Ηλεκτροαγνητικού Πέδίου Το ηλεκτρικό φορτίο 14.. Κατανοές ηλεκτρικού φορτίου Το ηλεκτρικό ρεύα ένταση ρεύατος Πυκνότητα ρεύατος Σχέσεις πυκνοτήτων ρεύατος και φορτίου.3 Νόος διατήρησης του φορτίου.4 Βασικά εγέθη του Ηλεκτροαγνητικού πεδίου Η έθοδος του πεδίου 3.4. Ηλεκτροαγνητική δύναη Loentz. Ορισός πεδίων E και B 5.5 Συντακτικές σχέσεις των πεδίων 8.6 Ηλεκτρική τάση Ηλεκτρεγερτική δύναη Ηλεκτρική τάση Ηλεκτρεγερτική δύναη 35.7 Νόος των Biot avat 37.8 Ασκήσεις Κεφαλαίου 38

3 II KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΗΣ LORENTZ 3.1 ύναη που ασκείται σε ευθύγραο αγωγό ήκους L εντός πεδίου ε αγνητική επαγωγή B Όργανο κινητού πηνίου Κίνηση φορτίου q σε οογενές αγνητοστατικό πεδίο ε αγνητική επαγωγή B Αρχή λειτουργίας ηλεκτρικής γεννήτριας Λειτουργία χωρίς φορτίο Λειτουργία ε φορτίο Ισοζύγιο ισχύος της γεννήτριας Αρχή λειτουργίας ηλεκτρικού κινητήρα Εισαγωγικά Ισοζύγιο ισχύος του ηλεκτρικού κινητήρα Αρχή λειτουργίας ηλεκτρικής πέδης Φαινόενο Hall 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ MOΡΦΗ 4.1 Εισαγωγή Επιφάνειες και καπύλες στον χώρο ιατύπωση των εξισώσεων Maxwell Εισαγωγικά Νόος Faaday Νόος Apee- Maxwell Νόος Gauss ( για το ηλεκτρικό πεδίο) Νόος Gauss ( για το αγνητικό πεδίο) Αλληλοεξάρτηση των εξισώσεων Maxwell Εξειδίκευση των εξισώσεων Maxwell σε στατικά πεδία Ασκήσεις Κεφαλαίου 4 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΑΓΝΗΤΙΚA ΥΛΙΚΑ 5.1 Εισαγωγικά Μαγνητική ροπή Μαγνήτιση Συπεριφορά των υλικών στο Μαγνητικό πεδίο ιααγνητικά υλικά Παρααγνητικά υλικά Σιδηροαγνητικά υλικά Εξήγηση του φαινοένου του σιδηροαγνητισού Καπύλη αγνήτισης των σιδηροαγνητικών υλικών 88

4 III 5.6 Βρόχος υστέρησης των σιδηροαγνητικών υλικών Το αγνητικό πεδίο της Γης Ασκήσεις Κεφαλαίου 5 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΑΓΝΗΤΙΚA ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 5.1 Εισαγωγικά Ορισός αγνητικού κυκλώατος Παραδείγατα αγνητικών κυκλωάτων Επίλυση αγνητικών κυκλωάτων ιεγέρσεις και αποκρίσεις σε αγνητικό κύκλωα Βασικές παραδοχές επίλυσης αγνητικών κυκλωάτων Νόοι επίλυσης αγνητικών κυκλωάτων Εισαγωγικό παράδειγα αγνητικού κυκλώατος Αρχική πορεία επίλυσης Σκέδαση των δυναικών γραών Συντελεστής πλήρωσης Αντιστοιχίες εγεθών εταξύ ηλεκτρικών και αγνητικών κυκλωάτων 6.5 Επίλυση αγνητικού κυκλώατος έσω του αντίστοιχου 16 ισοδύναου ηλεκτρικού κυκλώατος 6.6 Μη γραικό αγνητικό κύκλωα Ασκήσεις Κεφαλαίου 6 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7.1 Εισαγωγικά ιατύπωση του Νόου της Επαγωγής Ανάπτυξή Ηλεκτρεγερτικής ύναης εξ Επαγωγής Κανόνας του Lenz Παραδείγατα Ηλεκτροαγνητικής Επαγωγής Kiνούενο ορθογώνιο πλαίσιο σε οογενές στατικό πεδίο B Κινούενο ορθογώνιο πλαίσιο σε η οογενές στατικό πεδίο B Ακίνητος βρόχος σε χρονικά εταβαλλόενο πεδίο B Ανοικτός βρόχος Αυτεπαγωγή Γενικά για το φαινόενο της αυτεπαγωγής Σπειροειδής αγωγός Πηνίο Ν σπειρών Αοιβαία επαγωγή Εφαρογές της ηλεκτροαγνητικής επαγωγής Επιδερικό φαινόενο Ασκήσεις Κεφαλαίου 7 13

5 IV ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 8.1 Γενικά Οι 4 βασικές προτάσεις για την ενέργεια και τις απώλειες στο 136 Ηλεκτροαγνητικό πεδίο 8..1 Πυκνότητα αποθηκευένης ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου Πυκνότητα αποθηκευένης ενέργειας αγνητικού πεδίου Ειδική ισχύς απωλειών Joule Πυκνότητα διαδιδόενης ισχύος Απώλειες υστερήσεως σιδηροαγνητικού υλικού Απώλειες δινορρευάτων Ασκήσεις Κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 EΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΕ ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 9.1 Γενικά Εξισώσεις Απόκλισης Εξισώσεις Περιστροφής Οριακές συνθήκες Κάθετες συνιστώσες Εφαπτοενικές συνιστώσες Εξειδίκευση των εξισώσεων Maxwell σε στατικά πεδία 156 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑ 159

6 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. 1 ) Συστήατα συντεταγένων Για τον καθορισό της θέσης ενός σηείου στον τρισδιάστατο χώρο, υπάρχουν, στα Μαθηατικά, αρκετά συστήατα συντεταγένων. Από αυτά τα τρία πλέον χρησιοποιούενα είναι το Καρτεσιανό, το Κυλινδρικό και το Σφαιρικό σύστηα. Κάθε σύστηα διαθέτει τρία γραικά ανεξάρτητα οναδιαία διανύσατα. Για οποιοδήποτε σηείο P στον χώρο, αντιστοιχεί, σε κάθε σύστηα, ια τριάδα αριθών ( οι τρεις συντεταγένες του σηείου ). Ανάλογα ε την ορφή και τα γεωετρικά χαρακτηριστικά ( συετρίες κ.λ.π.) του εκάστοτε αθηατικού προβλήατος που ελετάται, η χρήση του καταλληλότερου συστήατος συντεταγένων πορεί να απλοποιήσει σηαντικά την ανάλυση. Παρακάτω θα εξετάσουε τα τρία συστήατα συντεταγένων ) Καρτεσιανό ( x, y, z ) z z xˆ ẑ ŷ P ( x, y, z ) y y x x Σχ. 1.1 Τα 3 οναδιαία διανύσατα είναι τα xˆ, ŷ, ẑ και στο τυχόν σηείο P στο χώρο, αντιστοιχούν οι συντεταγένες ( x, y, z ) Τα διαφορικά ( απειροστά ) ήκη είναι: d x, d y, d z

7 1. 1. ) Κυλινδρικό ( ρ, φ, z ) z z ρ P ( ρ, ϕ, z ẑ ) ρˆ ϕˆ y ϕ x Σχ. 1. Τα 3 οναδιαία διανύσατα είναι τα ρ ˆ, ϕˆ, ẑ και στο τυχόν σηείο P στο χώρο, αντιστοιχούν οι συντεταγένες ( ρ, φ, z ) Τα διαφορικά ( απειροστά ) ήκη είναι: d ρ, ρ d φ, d z ) Σφαιρικό (, ϑ, φ ) z ϑ ˆ ϕˆ ϑˆ P (, ϑ, ϕ ) y ϕ Τα 3 οναδιαία διανύσατα είναι τα x Σχ. 1.3 ˆ, ϑˆ, ϕˆ και στο τυχόν σηείο P στο χώρο, αντιστοιχούν οι συντεταγένες (, ϑ, φ ) Τα διαφορικά ( απειροστά ) ήκη είναι: d, d ϑ, sinϑd φ

8 ) Σχέσεις ετατροπής εταξύ των συντεταγένων των τριών συστηάτων α) από καρτεσιανό ( x, y, z ) σε κυλινδρικό: ρ y tan 1, z z x x + y, φ σε σφαιρικό: x + y + z, ϑ tan 1 x + y z y, φ tan 1 x β) από κυλινδρικό ( ρ, φ, z ) σε καρτεσιανό: x ρ cosφ, y ρ sinφ, z z σε σφαιρικό: ρ tan 1, φ φ z ρ + z, ϑ γ) από σφαιρικό (, ϑ, φ ) σε καρτεσιανό: x sinϑ cosφ, y sinϑsinφ, z cosφ σε κυλινδρικό: ρ sinϑ, φ φ, z cosϑ

9 4 1. ) ιανύσατα Τα διάφορα φυσικά εγέθη διακρίνονται ως γνωστόν σε βαθωτά και διανυσατικά. Για την παράσταση ενός βαθωτού εγέθους αρκεί ένας πραγατικός αριθός. Για την παράσταση ενός διανυσατικού εγέθους χρειάζονται ένας θετικός πραγατικός αριθός και ία κατεύθυνση στον χώρο ή ισοδύναα τρεις πραγατικοί αριθοί. Μπορούε να διατυπώσουε έτσι τον ακόλουθο ορισό του διανύσατος: ) Ορισός διανύσατος - Ένα διάνυσα συνδέει έναν αριθό ε ια κατεύθυνση του χώρου. Ο αριθός αυτός είναι το έτρο της προβολής του διανύσατος στην δεδοένη κατεύθυνση. Όπως προαναφέραε ένα διάνυσα, στο χώρο των τριών διαστάσεων, απαιτεί 3 αριθούς για την παράστασή του. Σε καρτεσιανές συντεταγένες το διάνυσα A θα γράφεται: z A z ẑ xˆ ŷ A A y y A A x xˆ + A yŷ+ A και το έτρο του θα είναι: x y z ẑ A A + A + A z x A x Σχ ) Ορισός τανυστή Ο προηγούενος ορισός του διανύσατος πορεί να γενικευτεί και έτσι να έννοια του τανυστή εισαχθεί η Ένας τανυστής C ) συνδέει ένα διάνυσα A ε ια κατεύθυνση e του χώρου έσω της σχέσης: όπου ) A C e e ένα διάνυσα που εκφράζει την δεδοένη κατεύθυνση του χώρου και C ) ένας τετραγωνικός πίνακας 3 3 ( ο τανυστής ).

10 5 Ο τανυστής C ) πορεί να γράφεί: C ) C C C xx yx zx C C C xy yy zy C C C xz yz zz και το διάνυσα e e e e e x y z Το διάνυσα A προκύπτει από τον πολλαπλασιασό C ) επί e. Προφανώς ο τανυστής, απαιτεί 9 αριθούς για την παράστασή του σε χώρο τριών διαστάσεων. Αναφέρουε τέλος ότι στη φύση εκτός από βαθωτά και διανυσατικά εγέθη υπάρχουν και τανυστικά εγέθη ) Πράξεις διανυσάτων Έστω δύο διανύσατα: A A x xˆ + A yŷ+ A z ẑ και B Bx xˆ + Byŷ+ B z ẑ Η πρόσθεση και η αφαίρεση διανυσάτων ανάγεται ώς γνωστόν σε πρόσθεση και αφαίρεση των αντιστοίχων συνιστωσών τους: A ± B ( A x ± Bx ) xˆ + ( A y ± By ) ŷ+ ( Az ± B z ) ẑ Η πρόσθεση και ή αφαίρεση διανυσάτων δεν παρουσιάζουν κανένα πρόβληα στην κατανόηση τους και προκύπτουν ως προφανείς συνέπειες του ορισού του διανύσατος Ο πολλαπλασιασός διανυσάτων προέκυψε από την προσπάθεια αθηατικής διατύπωσης φυσικών νόων, στους οποίους επλέκοταν διανυσατικά εγέθη Συγκεκριένα έχουε δύο είδη γινοένων διανυσάτων:

11 6 α) Εσωτερικό γινόενο A B ϑ A B Σχ. 1.5 A B A B cosϑ A B + A B + A x x y y z B z Το εσωτερικό γινόενο δύο διανυσάτων είναι βαθωτό έγεθος β) Εξωτερικό γινόενο C A B Το εξωτερικό γινόενο είναι διανυσατικό έγεθος C ϑ A B Σχ. 1.6 το διάνυσα C έχει έτρο C A B sinϑ και είναι κάθετο στο επίπεδο των ( A, B ). Η φορά του είναι τέτοια ώστε όταν το A ( πρώτο διάνυσα ) στρεφόενο, πλησιάζει το B ( δεύτερο διάνυσα ) ακολουθώντας την ικρότερη γωνία η φορά του C να προκύπτει από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, ( βλ. και Σχ. 1.7 ) Σχ. 1.7 Προφανώς για το εξωτερικό γινόενο ισχύει: A B B A Υπενθυίζεται και ο ακόλουθος τύπος υπολογισού του εξωτερικού γινοένου σε καρτεσιανές συντεταγένες:

12 7 A B xˆ A B x x ŷ A B y y ẑ A B z z ) ιανυσατική συνάρτηση τριών εταβλητών Μια διανυσατική συνάρτηση 3 εταβλητών F ( x, y, z ) θα γράφεται: F ( x, y, z ) F ( x, y, z ) xˆ + F ( x, y, z ) ŷ F ( x, y, z ) ẑ x y + Μπορεί να ορίζεται σε ια περιοχή του τρισδιάστατου χώρου R 3 ή και σε όλο τον χώρο αυτό. Πιο γενικά πορούε να εισάγουε και ως 4 η εταβλητή τον χρόνο t και έτσι να έχουε: F ( x, y, z, t ) Στην θεωρία των ηλεκτροαγνητικών πεδίων χρησιοποιούνται πάρα πολύ τέτοιες διανυσατικές συναρτήσεις z 1. 3 ) Επικαπύλιο ολοκλήρωα διανυσατικής συναρτήσεως ) Ορισός επικαπυλίου ολοκληρώατος Έστω ια «λεία» καπύλη C στον τρισδιάστατο χώρο («λεία» καπύλη σηαίνει ότι δεν σχηατίζει γωνίες ), και έστω επίσης ια διανυσατική συνάρτηση F ( x, y, z ) που παίρνει τιές σε κάθε σηείο του τήατος (a-b) της καπύλης C ( βλ. Σχ. 1.8) l k b F ( x1, y1, z1 ) l k F ( x, y, z k k k ) a C l 1 l 1 Σχ. 1.8 Χωρίζουε τo τήα (a-b) της καπύλης σε Ν στοιχειώδη τήατα l, l 1 l... l k... και σε κάθε τέτοιο στοιχειώδες τήα θεωρούε το αντίστοιχο εφαπτοενικό διάνυσα στην καπύλη, l1, l... l... ln k Σχηατίζουε το ακόλουθο άθροισα εσωτερικών γινοένων: N k 1 F ( x, y, z ) k k k l k N

13 8 όπου ( x k, yk, zk ) οι συντεταγένες του κέντρου του στοιχειώδους τήατος l k όταν ο αριθός Ν των στοιχειωδών τηάτων τείνει στο ολοκλήρωα: li N N k 1 F ( x k, yk, zk ) lk l k τείνει στο άπειρο τότε το άθροισα b a F d l b Το F d l a ονοάζεται επικαπύλιο ολοκλήρωα της διανυσατικής συναρτήσεως F ( x, y, z ) στο τήα (a-b) της καπύλης C. Προφανώς ισχύει: b a F dl a b F d l Αν καπύλη επί της οποίας υπολογίζεται το επικαπύλιο ολοκλήρωα είναι κλειστή ( δηλαδή η αρχή και το τέλος της συπίπτουν ) τότε χρησιοποιείται το σύβολο: F d l ( επικαπύλιο ολοκλήρωα σε κλειστή καπύλη ) ) Τρόπος υπολογισού του επικαπυλίου ολοκληρώατος σε καρτεσιανές συντεταγένες Μια καπύλη στον τρισδιάστατο χώρο πορεί να περιγραφεί από ία παράετρο s έσω των τριών παραετρικών εξισώσεων: x x ( s ), y y ( s ), z z ( s ) όπου η παράετρος s παίρνει τιές από ένα διάστηα [ a, b ] Το πέρας του διανύσατος ( s ) x ( s ) xˆ + y ( s ) ŷ+ z ( s ) ẑ, καθώς το s εταβάλλεται στο διάστηα [ a, b ], διαγράφει όλα τα σηεία της καπύλης. Αποδεικνύεται εύκολα ότι το εφαπτοενικό διάνυσα l ( s ) καπύλης δίδεται από την σχέση: σε κάθε σηείο ( s ) της l d ( s ) d x ( s ) d y ( s ) ( s ) xˆ + ŷ+ d s d s d s d z ( s d s ) ẑ

14 9 b και το επικαπύλιο ολοκλήρωα F d l ιας διανυσατικής συναρτήσεως F ( x, y, z ) στο τήα [ a, b ] της καπύλης υπολογίζεται από την σχέση: a b a F dl b a F x d x( s ) d s b ( x(s), y(s), z(s) ) d s + F ( x(s), y(s), z(s) ) d s + + b a F z ( x(s), y(s), z(s) ) d s a y d z( s ) d s d y( s ) d s δηλαδή ανάγεται στον υπολογισό τριών απλών ολοκληρωάτων. Παράδειγα: ίνεται η διανυσατική συνάρτηση: F ( x, y, z ) ( 3x 6yz ) xˆ + ( y+ 3xz ) ŷ+ ( 1 4xyz ) ẑ και η καπύλη C ε παραετρικές εξισώσεις: x ( s ) s y ( s ) s z ( s ) s 3 Να υπολογιστεί το επικαπύλιο ολοκλήρωα της F ( x, y, z ) επί της καπύλης C όταν η παράετρος s εταβάλλεται από το έως το 1 Λύση: Το εφαπτοενικό διάνυσα l ( s ) σε κάθε σηείο της καπύλης C θα δίνεται από την σχέση: l ( s ) d x ( s ) d s xˆ d y ( s ) + d s ŷ+ d z ( s d s ) ẑ xˆ + s ŷ+ 3s ẑ Παρατηρούε ότι όταν s τότε ( x, y, z ) (,, ) αρχικό σηείο a όταν s 1 τότε ( x, y, z ) ( 1, 1, 1 ) τελικό σηείο b Άρα b F d 1 l [ ( 3s 6s ) + ( s + 3s ) s+ (1 4s ) 3s ] ds a [ 6s + 4s 1s ] ds

15 ) Επιφανειακό ολοκλήρωα διανυσατικής συναρτήσεως Έστω ια «λεία» επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Με τον όρο «λεία» εννοούε ότι η επιφάνεια δεν έχει ακές ή αιχές. ( η ακριβέστερα η κάθετος στην επιφάνεια είναι συνεχής ) Έστω επίσης ια διανυσατική συνάρτηση F ( x, y, z ) που παίρνει τιές σε κάθε σηείο του της επιφάνειας ( βλ. Σχ. 1.9) k F ( x, y, z ) k k k F ( x, y, ) 1 1 z1 1 1 k Σχ. 1.9 Χωρίζουε την επιφάνεια σε Ν στοιχειώδη τήατα ε εβαδόν 1,... k... N Σε κάθε τέτοιο στοιχειώδες τήα, που θεωρείται επίπεδο, υπάρχει το αντίστοιχο κάθετο διάνυσα nˆ. 1, nˆ... nˆ k... nˆ N Ορίζουε σε κάθε τήα κάθετο στην επιφάνεια k ένα διάνυσα k και έχει έτρο ίσο ε το εβαδόν Σχηατίζουε το ακόλουθο άθροισα εσωτερικών γινοένων: N k 1 F ( x, y, z ) k k k k k ( δηλ. το διάνυσα k k nˆ k k ) όπου ( x k, yk, zk ) οι συντεταγένες του κέντρου του στοιχειώδους τήατος k όταν ο αριθός Ν των στοιχειωδών τηάτων τείνει στο ολοκλήρωα: Το F d li N N k 1 F ( x k, yk, zk ) k είναι k τείνει στο άπειρο τότε το άθροισα F d ονοάζεται επιφανειακό ολοκλήρωα της διανυσατικής συναρτήσεως F ( x, y, z ) στην επιφάνεια.

16 ) ιανυσατικό πεδίο Με τον όρο «πεδίο» εννοούε ια περιοχή του χώρου έσα στην οποία ένα φυσικό έγεθος ( βαθωτό ή διανυσατικό ή τανυστικό ) λαβάνει τιές. Στην ηλεκτροαγνητική θεωρία ιδιαίτερα ενδιαφέρουν τα διανυσατικά πεδία. Ένα διανυσατικό πεδίο πορεί να παρασταθεί γραφικά από τις δυναικές γραές του. Οι δυναικές γραές είναι καπύλες γραές στις οποίες έχει σηειωθεί κάποια φορά Το διανυσατικό έγεθος F του πεδίου είναι εφαπτοενικό σε κάθε σηείο των δυναικών γραών. Η πυκνότητα των δυναικών γραών είναι ανάλογη ε το έτρο του F ( βλ. και Σχ. 1.1 ) F 1 F 5 F 6 F 7 F 3 F 4 F Σχ. 1.1

17 1

18 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. 1 ) Γενικά για την επιστήη της Ηλεκτρολογίας Σκοπός της Ηλεκτρολογίας είναι η ελέτη των ηλεκτρικών και αγνητικών φαινοένων και η χρησιοποίησή τους σε τεχνικές εφαρογές, οι οποίες στη σηερινή ας εποχή είναι πλέον αναρίθητες. Τα ηλεκτροαγνητικά φαινόενα κυβερνώνται από τις ηλεκτροαγνητικές δυνάεις, οι οποίες ανήκουν σε ία από τις διάφορες κατηγορίες δυνάεων που υπάρχουν στην φύση. Άλλες κατηγορίες δυνάεων είναι οι βαρυτικές δυνάεις, οι πυρηνικές δυνάεις κλπ. Οι ηλεκτροαγνητικές δυνάεις και τα φαινόενα που προκαλούν εξετάζονται από την ηλεκτροαγνητική θεωρία ή θεωρία των ηλεκτροαγνητικών πεδίων. Μπορούε να πούε ότι η θεωρία των ηλεκτροαγνητικών πεδίων αποτελεί την βάση της Επιστήης της Ηλεκτρολογίας και όλα τα επί έρους αντικείενα που εξετάζει η Επιστήη αυτή προκύπτουν ως ειδικές περιπτώσεις της θεωρίας αυτής. H / M ΘΕΩΡΙΑ ΠΕ ΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ κ.λ. π. Σχ..1

19 14. ) Οι πηγές του Ηλεκτροαγνητικού Πέδίου Το ηλεκτροαγνητικό ( Η / Μ ) πεδίο συνίσταται, όπως είναι γνωστό, από δύο διαφορετικά πεδία: το ηλεκτρικό πεδίο E και το αγνητικό πεδίο H. Τον ακριβή ορισό των πεδίων αυτών θα τον διατυπώσουε σε επόενη παράγραφο. Στο σηείο αυτό θα αναφέρουε τις πηγές του ηλεκτροαγνητικού πεδίου, δηλαδή τα φυσικά εγέθη που δηιουργούν το πεδίο. Οι πηγές του Η/Μ πεδίου είναι οι ακόλουθες δύο: - Τα ηλεκτρικά φορτία - Τα ηλεκτρικά ρεύατα (δηλαδή τα φορτία σε κίνηση).. 1 ) Το ηλεκτρικό φορτίο Το ηλεκτρικό φορτίο q ( ή η «ποσότητα ηλεκτρισού» ) είναι ένα φυσικό έγεθος το οποίο δεν έχει υλική υπόσταση, δηλαδή δεν πορεί να υπάρξει φορτίο χωρίς την ύπαρξη άζας η οποία να το «φέρει». Αντίθετα είναι δυνατή η ύπαρξη άζας χωρίς φορτίο. Για το φορτίο γίνονται δεκτές οι ακόλουθες τέσσερις παραδοχές. α) Υπάρχουν δύο διαφορετικά «είδη» φορτίου τα οποία ονοάζουε «θετικό» και «αρνητικό» φορτίο. β) Το φορτίο είναι κβαντισένο έγεθος, δηλαδή οποιαδήποτε τιή φορτίου στη φύση είναι ακέραιο πολλαπλάσιο ιας στοιχειώδους ποσότητας η οποία είναι ίση ε την απόλυτο τιή του φορτίου που φέρει ένα ηλεκτρόνιο. Η τιή αυτή είναι: q e Cb όπου 1 Coulob ( 1 Cb ) η ονάδα φορτίου στο σύστηα I. γ) Το φορτίο διατηρείται, δηλαδή το συνολικό φορτίο Q που υπάρχει έσα σε ια κλειστή περιοχή του χώρου παραένει πάντοτε σταθερό. Εποένως δεν είναι δυνατή η εξαφάνιση φορτίου ούτε και η παραγωγή φορτίου από το πουθενά. δ) Το φορτίο είναι ανεξάρτητο από την ταχύτητα του φορέα του ( Αυτό, ως γνωστόν, δεν ισχύει για την άζα, σύφωνα ε την θεωρία της σχετικότητας )

20 15.. ) Κατανοές ηλεκτρικού φορτίου Σε ακροσκοπικό επίπεδο ( δηλαδή όχι σε επίπεδο ατοικών σωατιδίων) το ηλεκτρικό φορτίο κατανέεται σε όγκους, σε επιφάνειες, και σε γραές. Αναφέρουε εδώ ότι τα «σηειακά φορτία» δεν υπάρχουν στον ακρόκοσο και απλώς εισάγονται για απλοποιήση αθηατικών περιγραφών διαφόρων φαινοένων. Για κάθε περίπτωση κατανοής φορτίου ορίζεται και ια αντίστοιχη πυκνότητα φορτίου. Εξετάζουε παρακάτω τις κατανοές αυτές. α ) Κατανοή φορτίου σε όγκο ( χωρική κατανοή ) Άν είναι dv ο στοιχειώδης όγκος, έσα στον οποίο περιέχεται φορτίο dq, τότε ορίζεται η χωρική πυκνότητα φορτίου ρ V dv d q ρ d V Cb 3 Σχ.. β ) Κατανοή φορτίου σε επιφάνεια ( επιφανειακή κατανοή ) Άν είναι d η στοιχειώδης επιφάνεια, στην οποία περιέχεται φορτίο dq, τότε ορίζεται η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ d q σ d Cb d Σχ..3

21 16 γ ) Κατανοή φορτίου σε γραή ( γραική κατανοή ) l dl Άν είναι d l το στοιχειώδες ήκος τόξου, στο οποίο περιέχεται φορτίο dq, τότε ορίζεται η γραική πυκνότητα φορτίου λ Σχ..4 d q λ d l Cb Αναφέρουε εδώ ότι η επιφανειακή και η γραική πυκνότητα φορτίου είναι αθηατικές εξιδανικεύσεις και στην πράξη υπάρχουν όνον χωρικές κατανοές φορτίου... 3 ) Το ηλεκτρικό ρεύα ένταση ρεύατος Η έννοια του ηλεκτρικού ρεύατος θεωρείται γενικά γνωστή. Λέγοντας ηλεκτρικό ρεύα εννοούε την προσανατολισένη κίνηση ηλεκτρικών φορτίων (θετικών ή αρνητικών). Ως συβατική φορά ρεύατος λαβάνεται η φορά κίνησης των θετικών φορτίων. Το φαινόενο του ηλεκτρικού ρεύατος περιγράφεται ποσοτικά από το φυσικό έγεθος ένταση ηλεκτρικού ρεύατος i, το οποίο και πολύ συχνά αποκαλούε απλώς ηλεκτρικό ρεύα. Ένταση ηλεκτρικού ρεύατος είναι ο ρυθός ροής των ηλεκτρικών φορτίων διαέσου κάποιας επιφάνειας. Σχ..5 u i Σε κάθε σηείο της διατοής τα βέλη παριστάνουν τα διανύσατα ταχύτητας των φορέων φορτίου. Τα διανύσατα αυτά δεν είναι απαραίτητα κάθετα στην επιφάνεια και επίσης δεν έχουν παντού το ίδιο έτρο και την ίδια διεύθυνση. Η ένταση i του ηλεκτρικού ρεύατος ορίζεται ως : d q i d t 1 1 C b Apee 1 sec

22 ) Πυκνότητα ρεύατος Στην θεωρία των Η/Μ πεδίων, εκτός από την ένταση ρεύατος χρησιοποιείται και το διανυσατικό έγεθος πυκνότητα ρεύατος. ιακρίνουε δύο είδη πυκνοτήτων ρεύατος, ανάλογα ε τον τρόπο ροής. α) Χωρική πυκνότητα ρεύατος Όταν το ηλεκτρικό ρεύα ρέει σε έσα σε όγκο τότε η χωρική πυκνότητα ρεύατος J ορίζεται ως εξής: Θεωρούε ια διατοή δια της οποίας διέρχονται οι φορείς φορτίου ( βλ. Σχ..6) u p n J α Σχ..6 Η φορά του διανύσατος J, σε κάθε σηείο της επιφάνειας, είναι η ίδια ε αυτήν του διανύσατος u της ταχύτητας των φορέων στο ίδιο σηείο. Το έτρο του J θα είναι: J i n A όπου i η στοιχειώδης ένταση ρεύατος που διέρχεται από την στοιχειώδη επίπεδη επιφάνεια ε εβαδόν n, η οποία είναι κάθετη στο διάνυσα J ( ή στο u ). Για κάθε σηείο p της ( όχι επίπεδης) επιφάνειας θα έχουε:

23 18 n : διάνυσα κάθετο στη στοιχειώδη επίπεδη επιφάνεια ε εβαδόν n, και ε έτρο n Η στοιχειώδης αυτή επιφάνεια είναι, όπως προαναφέραε, κάθετη στο J. Άρα τα διανύσατα n και J ( ή u ) είναι συγγραικά. : διάνυσα κάθετο στην επιφάνεια, στο σηείο p, και ε έτρο το εβαδόν της στοιχειώδους επίπεδης επιφάνειας γύρω από το σηείο p. Γενικά τα διανύσατα n και σχηατίζουν εταξύ τους ια γωνία α διότι δεν είναι απαραίτητο η ροή του ρεύατος να γίνεται κάθετα στην επιφάνεια. Εποένως θα ισχύει: i J n J cosα i J ηλαδή η στοιχειώδης ένταση ρεύατος i σε κάθε σηείο p της επιφάνειας ορίζεται ως το εσωτερικό γινόενο των διανυσάτων J και Άρα για το ολικό ρεύα i που διέρχεται από την πορούε να γράψουε: i li N N k 1 i k li N N k 1 J k k J d ηλαδή η ένταση του ηλεκτρικού ρεύατος i που ρέει δια της επιφάνειας είναι ίση ε το επιφανειακό ολοκλήρωα της πυκνότητας ρεύατος J στην επιφάνεια. β) Επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος Θεωρητικά είναι δυνατή η περίπτωση ροής ρεύατος σε επιφάνεια. Στην περίπτωση αυτή ορίζεται η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος J. Θεωρούε ία καπύλη α-β επάνω στην επιφάνεια ( βλ. σχ..7)

24 19 β l p α J l Σχ..7 Το διάνυσα J, σε κάθε σηείο p της καπύλης α-β, θα έχει φορά ίδια ε αυτήν του διανύσατος u της ταχύτητας των φορέων στο ίδιο σηείο. Το έτρο του J θα είναι: J i l n A όπου i η στοιχειώδης ένταση ρεύατος που διέρχεται από τo στοιχειώδες ευθύγραο τήα ε ήκος l n, το οποίο είναι κάθετο στο διάνυσα J ( ή στο u ). Σε αντιστοιχία ε την χωρική πυκνότητα ρεύατος, η στοιχειώδης ένταση ρεύατος σε κάθε σηείο της καπύλης α-β ορίζεται και εδώ ως ένα εσωτερικό γινόενο και γράψουε: όπου i J l πορούε να l : διάνυσα κάθετο στην καπύλη α-β, στο σηείο p, και ε έτρο το ήκος του στοιχειώδους ευθύγραου τήατος και l γύρω από το σηείο p. Προφανώς τα τήατα l n δεν είναι απαραίτητα συγγραικά διότι η ροή δεν γίνεται κάθετα σε κάθε σηείο της καπύλης α-β Αντίστοιχα το ολικό ρεύα i θα δίνεται από την σχέση: i β α J ηλαδή η ένταση του ηλεκτρικού ρεύατος i που ρέει διασχίζοντας την καπύλη α-β, είναι ίση ε το επικαπύλιο ολοκλήρωα της επιφανειακής πυκνότητας ρεύατος J d l l

25 στην καπύλη α-β. ( Προσοχή όως! Το διάνυσα l d δεν είναι εφαπτοενικό αλλά κάθετο στην καπύλη ).. 5 ) Σχέσεις πυκνοτήτων ρεύατος και φορτίου Παρακάτω θα θεωρήσουε περιπτώσεις ηλεκτρικών ρευάτων που ρέουν έσα σε όγκους, σε επιφάνειες ή σε γραές και εποένως θα έχουε τις αντίστοιχες πυκνότητες ρευάτων. Σε κάθε περίπτωση θα διατυπώσουε τις σχέσεις εταξύ των πυκνοτήτων ρεύατος και πυκνοτήτων φορτίου. Θεωρούε αρχικά την περίπτωση χωρικής κατανοής κινούενου φορτίου ε χωρική πυκνότητα ρ και πυκνότητα ρεύατος J. ρ n u h Σχ..8 Για απλότητα στους υπολογισούς θεωρούε την γεωετρία του σχήατος.8. Στο πρίσα ορθογωνικού σχήατος, ε ήκος h εβαδόν διατοής n, υπάρχει κατανεηένο ηλεκτρικό φορτίο ε χωρική πυκνότητα ρ. Θεωρούε ότι το φορτίο αυτό κινείται ε σταθερή ταχύτητα u σύφωνα ε την ε φορά του σχήατος. Αυτή η παραδοχή χρειάζεται ια εξήγηση που θα δοθεί αργότερα. Το συνολικό φορτίο q που περιέχεται στον όγκο του πρίσατος θα είναι: q ρ h n Εφ όσον το φορτίο αυτό κινείται ε σταθερή ταχύτητα ε έτρο u, τότε θα διασχίζει την διατοή n σε χρόνο t όπου: u h t άρα πορούε να γράψουε: qρ u t n

26 1 Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύατος θα είναι: και η πυκνότητα ρεύατος J θα έχει έτρο i q t ρ u n J i n ρ u Η σχέση αυτή γενικεύεται διανυσατικά και έτσι πορούε να γράψουε την ακόλουθη βασική σχέση: J ρ ηλαδή, σε κάθε σηείο, το διάνυσα της χωρικής πυκνότητας ρεύατος J είναι συγγραικό ε το διάνυσα u της ταχύτητας φορέων στο σηείο αυτό, και έχει έτρο ίσο ε το έτρο της ταχύτητας u πολλαπλασιασένο επί την χωρική πυκνότητα φορτίου ρ. u Για την περίπτωση επιφανειακής κατανοής κινούενου φορτίου η τελευταία σχέση παίρνει την ορφή: J σ u όπου J η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος και σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου. Τέλος για την περίπτωση γραικής κατανοής κινούενου φορτίου θα έχουε: i λ u όπου i η ένταση του ρεύατος και λ η γραική πυκνότητα φορτίου

27 . 3 ) Νόος διατήρησης του φορτίου Παρακάτω θα διατυπώσουε ια αθηατική σχέση η οποία εκφράζει τον νόο της διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Έστω ια κλειστή περιοχή του χώρου, ε τη ορφή «παλονιού» ε όγκο V. Το συνολικό εβαδόν επιφάνειας που περιβάλλει τον όγκο αυτό είναι. Μέσα στην περιοχή αυτή περικλείεται συνολικό φορτίο q εσ, ε χωρική πυκνότητα φορτίου ρ. d J V q εσωτ Σχ..9 Το συνολικό φορτίο q εσ έσα στον όγκο V πορεί να γραφεί: q εσ ρ V Αν από τον όγκο V εξέρχεται ηλεκτρικό φορτίο ε τη ορφή ηλεκτρικού ρεύατος ε χωρική d V πυκνότητα J τότε θα ισχύει: και επίσης: i J d d q i d t εσ γιατί το συνολικό φορτίο έσα στον όγκο V θα ειώνεται ( η συνάρτηση q εσ ( t ) είναι φθίνουσα ) Συνδυάζοντας τις τρεις αυτές σχέσεις θα πάρουε: J d d d t Η σχέση αυτή εκφράζει την αρχή διατήρησης του φορτίου V ρ d V

28 3. 4 ) Βασικά εγέθη του Ηλεκτροαγνητικού πεδίου ) Η έθοδος του πεδίου Για την ελέτη των ηλεκτροαγνητικών φαινοένων, που όπως προαναφέραε κυβερνώνται από τις ηλεκτροαγνητικές δυνάεις, πορούν να χρησιοποιηθούν δύο έθοδοι: α) Η έθοδος των δυνάεων από απόσταση, που εφαρόστηκε στα πρώτα χρόνια της ελέτης του ηλεκτροαγνητισού, ε την ανακάλυψη του νόου του Coulob κ.λ.π. β) Η έθοδος του πεδίου, η οποία οφείλεται κυρίως στον Faaday, και είναι αυτή που χρησιοποιείται σήερα. Η έθοδος αυτή έδωσε ουσιαστική ώθηση στην αθηατική επεξεργασία της ελέτης των ηλεκτροαγνητικών φαινοένων. Για παράδειγα ας εξετάσουε τον γνωστό νόο του Coulob: Η δύναη Q ˆ Σχ..1 F e που ασκείται στο φορτίο q θα είναι: F e παρατηρούε ότι πορούε να γράψουε: C Q q ˆ q (όπου C ια σταθερά ) Q F e q E όπου: E C ˆ το διανυσατικό έγεθος E το αποκαλούε ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και έσω αυτού πορούε να υπολογίσουε την ηλεκτρική δύναη. Αναφέρουε ότι το έγεθος E άεσα δεν υπάρχει αλλά έεσα το παρατηρούε από τα αποτελέσατά του ( εξάσκηση δυνάεων σε φορτία ). Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E πορεί να βρεθεί από τις πηγές του πεδίου. Υπάρχουν όως πολλές περιπτώσεις στις οποίες οι πηγές του πεδίου δεν είναι ακριβώς γνωστές.

29 4 Για παράδειγα αν ένα θετικό σηειακό φορτίο q τοποθετηθεί κοντά σε ια τέλεια αγώγιη σφαίρα θα προκαλέσει την εφάνιση αρνητικών φορτίων κατανεηένων στην επιφάνεια της σφαίρας και οι δυναικές γραές του πεδίου θα έχουν τη ορφή που φαίνεται στο σχ q E σ Σχ..11 Η επιφανειακή κατανοή ε πυκνότητα σ ας είναι άγνωστη, δηλαδη ουσιαστικά οι πηγές του πεδίου δεν είναι πλήρως γνωστές. Μπορούν όως να χρησιοποιηθούν κάποιες άλλες ιδιότητες για την εύρεση του πεδίου E. εν θα εξηγήσουε εδώ τον τρόπο χρήσης αυτών των ιδιοτήτων, απλώς θα αναφέρουε ότι πρόκειται για ένα αθηατικό πρόβληα οριακών συνθηκών. Το πεδίο λοιπόν πορεί να βρεθεί ακόα και όταν δεν είναι γνωστές οι πηγές του, και αυτό είναι το εγάλο πλεονέκτηα της εθόδου του πεδίου. Συνοπτικά η εφαρογή της εθόδου του πεδίου φαίνεται στο σχ..1 ΠΗΓΕΣ Η/Μ ΠΕ ΙΟΥ ( ηλεκτρικά φορτία και ηλεκτρικά ρεύατα ) H / M ΠΕ ΙΟ (υπολογισός) Η / Μ ΥΝΑΜΕΙΣ Σχ..1

30 5. 4. ) Ηλεκτροαγνητική δύναη Loentz. Ορισός πεδίων E και B Θεωρούε ένα θετικό σηειακό ηλεκτρικό φορτίο q το οποίο κινείται ε ταχύτητα u έσα σε ένα χώρο όπου είναι εγκατεστηένο ένα ηλεκτροαγνητικό πεδίο. Από πειραατικές ετρήσεις προκύπτει ότι στο φορτίο αυτό ασκούνται δύο δυνάεις: - Η ηλεκτρική δύναη: F e q E q u B - Η αγνητική δύναη: ( ) F Το έγεθος E ονοάζεται ένταση ηλεκτρικού πεδίου και η ονάδα ετρήσεώς του είναι το Nt Cb ή ισοδύναα το V Το έγεθος B ονοάζεται αγνητική επαγωγή ή πυκνότητα αγνητικής ροής και η ονάδα ετρήσεώς του είναι το V ( /sec) V sec το οποίο αποκαλείται και Tesla Τα εγέθη E και B είναι τα δύο πεδία έσω των οποίων εκφράζεται η ηλεκτροαγνητική δύναη F e Fe Fe + F q( E+ u B ) Παρατηρούε ότι η αγνητική δύναη είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα. Αναφέρουε όως εδώ το εξής σηαντικό: Η αγνητική επαγωγή B σχετίζεται άεσα, όπως θα δούε, ε το πεδίο H, το αποκαλούενο αγνητικό πεδίο και τελικά πορούε να γράψουε ότι τα δύο πεδία της Ηλεκτροαγνητικής Θεωρίας. είναι: - το ηλεκτρικό πεδίο E - το αγνητικό πεδίο H Η έκφραση της δύναης Loentz για ένα σηειακό φορτίο έχει πρακτική αξία όνο για ελέτη στο ικροκόσο ( σωατίδια ). Άν θέλουε να εκφράσουε τη δύναη αυτή ακροσκοπικά τότε θα πρέπει να κάνουε χρήση κατανεηένων φορτίων και πυκνοτήτων ρεύατος.

31 6 Θα εξετάσουε παρακάτω αυτές τις περιπτώσεις. α) Χωρική πυκνότητα φορτίου δύναη ανα ονάδα όγκου Έστω ότι έσα σε ένα χώρο που είναι εγκατεστηένο ένα ηλεκτροαγνητικό πεδίο υπάρχει ια χωρική κατανοή φορτίου ε πυκνότητα ρ. Θεωρούε ένα στοιχειώδη όγκο dv στον οποίο υπάρχει φορτίο dq ρ dv και ο στοιχειώδης αυτός όγκος κινείται ε ταχύτητα u. dq ρ dv ρ dv u Σχ..13 Η στοιχειώδης ηλεκτροαγνητική δύναη d F e στον όγκο dv θα γράφεται: d F e d q ( E+ u B ) ρ d V( E+ u B ) ( ρ E+ρ u B ) dv αλλά όπως δείξαε στα προηγούενα : u ρ J άρα: F ( ρ E+ J B ) dv d e και η δύναη ανά ονάδα όγκου θα είναι: d F e d V d F αν δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο τότε d V ρ E+ J B J B η τελευταία σχέση χρησιοποιείται πολύ συχνά στην ελέτη των ηλεκτρικών ηχανών.

32 7 β) Επιφανειακή πυκνότητα φορτίου δύναη ανα ονάδα επιφάνειας Κάνοντας αντίστοιχους συλλογισούς προκύπτει η ακόλουθη σχέση, για την ηλεκτροαγνητική δύναη ανα ονάδα επιφάνειας, στην περίπτωση φορτίων κατανεηένων σε επιφάνειες: d F d e σ E+ J s B γ) Γραική πυκνότητα φορτίου δύναη ανα ονάδα ήκους Έστω ότι έσα σε ένα χώρο που είναι εγκατεστηένο ένα ηλεκτροαγνητικό πεδίο υπάρχει ένας καπυλόγραος αγωγός, ε απειροστά ικρή διατοή, ο οποίος διαρρέεται από ρεύα i. Στον αγωγό υπάρχει κατανεηένο φορτίο ε γραική πυκνότητα λ. Το φορτίο αυτό κινείται ε ταχύτητα u και ακριβώς η κίνηση αυτή δηιουργεί το ηλεκτρικό ρεύα i ( βλ. σχ..14 ) dq λ dl lˆ u o i dl Σε ένα στοιχειώδες ήκος i Σχ..14 d l του αγωγού, ε φορτίο dq λ dl θα ασκείται η στοιχειώδης δύναη: ( E+ u B ) λ dl ( E+ u B ) λ E dl+ ( λ u B ) dl d F e d q παρατηρούε ότι η διανυσατική ποσότητα λ u ϕορτιο ηκος ηκος χρονος πορεί να γραφεί ως ϕορτιο lˆ χρονος ένταση ρεύατος lˆ. ηλαδή τελικά λ u ilˆ Το lˆ είναι ένα οναδιαίο διάνυσα εφαπτοενικό στην καπύλη, αρά συγγραικό ε την ταχύτητα u των φορτίων, σε κάθε σηείο της καπύλης.

33 8 Συνεπώς πορούε να γράψουε: d F E dl i ˆ e λ + l B και επειδή η έκφραση διάνυσα, τελικά θα έχουε: ( ) dl d ll ˆ πορεί να γραφεί και ως d llˆ d l όπου d l απειροστό d F e λ E dl+ i και στην περίπτωση που δέν έχουε ηλεκτρικό πεδίο: F i d l B d ( ) ( d l B ) όπου d F η στοιχειώδης αγνητική δύναη που ασκείται στο στοιχειώδες τήα dlτου αγωγού που διαρρέεται από ρεύα i. Η φορά του διανύσατος d l είναι ίδια ε την φορά του ρεύατος. Η τελευταία αυτή σχέση έχει σηαντικότατη αξία στις εφαρογές.. 5 ) Συντακτικές σχέσεις των πεδίων Όπως προαναφέρθηκε, δύο είναι τα πεδία που εξετάζει η Ηλεκτροαγνητική Θεωρία - το ηλεκτρικό πεδίο E - το αγνητικό πεδίο H Επειδή η παρατήρηση των ηλεκτρικών και αγνητικών δράσεων ξεκίνησε ( αρχές 19 ου αιώνα) ε εφαρογές συνεχών ρευάτων, που λαβάνονταν από συσσωρευτές, αλλά και για άλλους λόγους οι οποίοι θα εξηγηθούν στα επόενα, έχει δοθεί ια ιδιαίτερη σηασία στην ελέτη της ροής του συνεχούς ( χρονικά σταθερού ή όνιου ) ρεύατος έσα σε αγωγούς, και των αποτελεσάτων που αυτή προκαλεί. Μπορούε λοιπόν να θεωρήσουε εδώ, σαν ιδιαίτερη κατηγορία ελέτης, το λεγόενο πεδίο ροής ( συνεχούς) ηλεκτρικού ρεύατος έσα σε αγωγούς. Άρα λοιπόν έχουε, από πλευράς ελέτης, τα 3 είδη πεδίων ηλεκτρικό πεδίο αγνητικό πεδίο πεδίο ροής συνεχούς ηλεκτρικού ρεύατος έσα σε αγωγούς

34 9 Τα δύο βασικά πεδία είναι βέβαια το ηλεκτρικό και το αγνητικό. Το πεδίο ροής συνεχούς ρεύατος έχει γενεσιουργό αιτία το ηλεκτρικό πεδίο. Αναφερόενοι στα δύο αυτά πεδία E και H έχουε τις ακόλουθες παρατηρήσεις: Τα πεδία E και H θεωρείται ότι αναπτύσσονται στο απόλυτο κενό. Όταν έχουε ανάπτυξη πεδίων έσα σε υλικά σώατα, τότε για την αθηατική περιγραφή χρησιοποιούνται διαφορετικά εγέθη από τα E και H. Συγκεκριένα για το ηλεκτρικό πεδίο χρησιοποιείται το έγεθος D το οποίο ονοάζεται πυκνότητα ηλεκτρικής ροής ή αλλιώς διηλεκτρική ετατόπιση, ενώ για το αγνητικό πεδίο το έγεθος πυκνότητα αγνητικής ροής ή αγνητική επαγωγή. B, το οποίο αντίστοιχα ονοάζεται Μέσω των εγεθών D και B περιγράφεται η επίδραση της ύλης στο ηλεκτρικό και στο αγνητικό πεδίο αντίστοιχα. Μπορούε να πούε ότι τα εγέθη E και H αποτελούν τα αίτια και αντίστοιχα τα D και B είναι τα αποτελέσατα. Παρατηρούε επίσης ότι τα εγέθη D και B φέρουν και το όνοα πυκνότητα ροής δηλαδή ροή ανά ονάδα επιφάνειας. Αυτό σηαίνει ότι αν ληφθούν τα επιφανειακά ολοκληρώατα των εγεθών D και B σε κάποια επιφάνεια το αποτέλεσα θα είναι η ηλεκτρική και η αγνητική ροή αντίστοιχα δια έσου της επιφάνειας αυτής.. Η σηασία των εγεθών της ηλεκτρικής και της αγνητικής ροής είναι σηαντικότατη για την διατύπωση των βασικών εξισώσεων του Ηλεκτροαγνητισού (εξισώσεις Maxwell ) όπως θα δούε σε επόενο κεφάλαιο. Συνοψίζοντας λοιπόν, κάθε πεδίο έχει 3 βασικά χαρακτηριστικά εγέθη: - Ενταση - Ροή - Πυκνότητα ροής Οι σχέσεις που συνδέουν την ένταση κάθε πεδίου ε την αντίστοιχη πυκνότητα ροής ονοάζονται συντακτικές σχέσεις. Παρακάτω θα εξετάσουε τις συντακτικές σχέσεις για κάθε πεδίο ξεχωριστά:

35 3 Ένταση ηλεκτρικού πεδίου: α) Ηλεκτρικό πεδίο E ( V / ) ή ( Nt / Cb) Πυκνότητα ηλεκτρικής ροής : D ( A sec / ή Cb / ) ( ή διηλεκτρική ετατόπιση) Ηλεκτρική Ροή: Συντακτική σχέση: ψ e D ε D E d ( Α sec ή Cb ) όπου: ε ε ε ε ( + ) ε διηλεκτρική σταθερά του έσου ( Faad / ) 1 χe ε απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού, ε τιή ε (F / ) ε 1 + χ e σχετική διηλεκτρική σταθερά του έσου ( αδιάστατη) χ e ηλεκτρική επιδεκτικότητα του έσου (αδιάστατη) Τα διανύσατα E και D είναι συγγραικά εφ όσον το έγεθος ε είναι ένας απλός αριθός. Υπάρχουν όως και υλικά, στα οποία το ε έχει την ορφή τανυστή και τότε τα E και D δεν είναι συγγραικά. Τα υλικά αυτά λέγονται ανισότροπα. 1 β) Μαγνητικό πεδίο Ένταση αγνητικού πεδίου: H ( Α / ) Πυκνότητα αγνητικής ροής: B ( V sec / ή Tesla ) ( ή αγνητική επαγωγή) Μαγνητική Ροή: Συντακτική σχέση: ψ B B H d ( V sec ή Webe ) όπου: ( + ) 1 χ

36 31 αγνητική διαπερατότητα του έσου ( Heny / ) απόλυτη αγνητική διαπερατότητα του κενού, ε τιή 4π 1 ( H / ) 1 + χ σχετική αγνητική διαπερατότητα του έσου ( αδιάστατη) χ αγνητική επιδεκτικότητα του έσου (αδιάστατη) Τα διανύσατα H και B είναι συγγραικά εφ όσον το έγεθος είναι ένας απλός αριθός. Υπάρχουν όως και υλικά, στα οποία το έχει την ορφή τανυστή και τότε τα H και B δεν είναι συγγραικά. Τα υλικά αυτά λέγονται ανισότροπα. 7 γ) Πεδίο ροής συνεχούς ηλεκτρικού ρεύατος έσα σε αγωγούς Όπως είναι γνωστό για να δηιουργηθεί ηλεκτρικό ρεύα, πρέπει να ικανοποιούνται οι δύο ακόλουθες συνθήκες: - να υπάρχει διαφορά δυναικού ( ηλεκτρική τάση ) εταξύ δύο σηείων - να υπάρχουν ελεύθεροι φορείς φορτίου ε δυνατότητα κίνησης ώστε να δηιουργηθεί ένας αγώγιος δρόος Η ηλεκτρική τάση εταξύ δύο σηείων, σε ένα υλικό έσο, δηιουργείται άεσα ε την εγκατάσταση ενός ηλεκτρικού πεδίου στο έσο αυτό. Αν το έσο διαθέτει και ελεύθερα κινούενους φορείς φορτίου τότε έχουε ροή ηλεκτρικού ρεύατος. Στην περίπτωση που το επιβαλλόενο ηλεκτρικό πεδίο είναι χρονικά αετάβλητο τότε, αποδεικνύεται πειραατικά, ότι οι φορείς φορτίου κινούνται ε σταθερή ταχύτητα και το ηλεκτρικό ρεύα θα έχει σταθερή τιή ή όπως λέγεται, θα είναι συνεχές ρεύα. Στο σηείο αυτό όως κάνουε την ακόλουθη παρατήρηση: - Για να συντηρηθεί η ροή του ηλεκτρικού ρεύατος σε έναν αγωγό θα πρέπει να δρουν συνεχώς ( στην περιοχή των πηγών! ) οι λεγόενες «ηλεκτροδιαχωριστικές» δυνάεις ( βλ. παραγρ.6. ) οι οποίες και διατηρούν την διαφορά δυναικού στον αγωγό. Σε αντιστοιχία ε το ηλεκτρικό πεδίο όπου η συντακτική σχέση γράφεται D ε E, όπου E το αίτιο και D το αποτέλεσα, στην περίπτωση του πεδίου ροής συνεχούς ρεύατος όπου έχουε: - αίτιο η ένταση ηλεκτρικού πεδίου E - αποτέλεσα το ηλεκτρικό ρεύα, που εδώ θα περιγραφεί έσω της χωρικής πυκνότητας ρεύατος J ( πυκνότητα ροής ρεύατος )

37 3 θα πρέπει να ισχύει ια συντακτική σχέση της ορφής: ( *) J γ E όπου γ ένας συντελεστής που θα χαρακτηρίζει το υλικό έσα στο οποίο γίνεται η ροή του ρεύατος. Η ανωτέρω σχέση είναι γνωστή και σαν Νόος του Oh (εδώ σε πεδιακή ορφή ) Ο συντελεστής γ ονοάζεται ειδική αγωγιότητα του υλικού ε ονάδες ( Ω ) 1 Σε υλικά στα οποία το γ έχει πολύ εγάλη τιή ( καλοί αγωγοί ), η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου λαβάνει πολύ ικρές τιές. Στην ( θεωρητική ) περίπτωση άπειρης αγωγιότητας, ή τέλειου αγωγού όπως λέγεται, ( γ ) για πεπερασένο J, θα πρέπει η ένταση E να πάρει ηδενική τιή. Μπορεί να δειχθεί τότε, ότι στην περίπτωση αυτή η αγωγή του ρεύατος γίνεται όνον στην επιφάνεια του αγωγού, έσω επιφανειακής πυκνότητας ρεύατος J (*) Για ια πιο λεπτοερή ανάλυση του θέατος βλ. ΑΣΚ. -1 Ο ακόλουθος πίνακας συνοψίζει όλες τις συντακτικές σχέσεις για τα τρία είδη πεδίων που προαναφέρθηκαν : Πεδίο Αίτιο: Ένταση πεδίου Αποτέλεσα: Πυκνότητα ροής Συντακτική Σχέση πυκνότητα ροής ένταση πεδίου επί έναν συντελεστή Ηλεκτρικό E ( V / ) D (A sec / ) D ε E Ροή του πεδίου επιφανειακό ολοκλήρωα της πυκνότητας ροής ψ D Μαγνητικό H ( Α / ) B ( V sec / ) B H ψ B d e d Πεδίο ροής συνεχούς ηλεκτρικού ρεύατος E ( V / ) J ( A / ) J γ E i J d

38 33. 6 ) Ηλεκτρική τάση Ηλεκτρεγερτική δύναη Οι έννοιες της ηλεκτρικής τάσης και της ηλεκτρεγερτικής δύναης είναι πολύ σηαντικές στην θεωρία των ηλεκτρικών πεδίων, αλλά βέβαια και στην θεωρία των κυκλωάτων ) Ηλεκτρική τάση Αναφέρουε αρχικά ότι για να οριστεί η ηλεκτρική τάση, εταξύ δύο σηείων έσα σε ένα χώρο όπου επικρατεί ένα ηλεκτρικό πεδίο θα πρέπει το πεδίο αυτό να είναι στατικό, δηλαδή ανεξάρτητο του χρόνου. Αυτό είναι απαραίτητη προϋπόθεση για τον αυστηρό ορισό της τάσης. Παρ όλα αυτά όως είναι δυνατόν, υπό ορισένες συνθήκες, να χρησιοποιηθεί η έννοια της τάσης και για χρονικά εταβαλλόενα πεδία. Θα διατυπώσουε παρακάτω τον ορισό της ηλεκτρικής τάσης Έστω ότι σε ία περιοχή του χώρου επικρατεί ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο ε ένταση E. Είναι γνωστό ότι για να εγκατασταθεί ένα πεδίο απαιτείται προσφορά ενέργειας η οποία αποθηκεύεται ως δυναική ενέργεια του πεδίου. Αν εισάγουε ένα φορτίο q έσα στο πεδίο αυτό, τότε στο φορτίο θα ασκούνται δύο δυνάεις - η ηλεκτρική δύναη F e - η εξωτερική δύναη F εξ W A o A F εξ q dl Σχ..15 q E Σε κάθε ετακίνηση του φορτίου έσα στο πεδίο, από ένα σηείο Α σε ένα σηείο Β, ε σταθερή ταχύτητα ( άρα χωρίς εταβολή της κινητικής ενέργειας) θα έχουε παραγωγή ή κατανάλωση έργου από τις δύο αυτές δυνάεις και προφανώς όταν η ία παράγει έργο ή άλλη θα καταναλώνει έργο. Παράλληλα θα έχουε αύξηση ή είωση της δυναικής ενέργειας του πεδίου F e o W B B

39 34 Θεωρούε λοιπόν ότι οι δύο δυνάεις θα ισχύει: F eκαι F e F εξ ισορροπούν ( κίνηση χωρίς επιτάχυνση) και F Αν κατά την κίνηση του φορτίου, από το σηείο Α στο σηείο Β,ελαττώνεται η δυναική ενέργεια του φορτίου αυτού ( δηλαδή ουσιαστικά ελαττώνεται η δυναική ενέργεια του πεδίου) τότε αυτό σηαίνει ότι η ηλεκτρική δύναη του πεδίου F e παράγει έργο, το οποίο καταναλώνει η εξωτερική δύναη F εξ. Μπορούε να πούε, ε άλλα λόγια, ότι το ηλεκτρικό πεδίο προσφέρει ενέργεια στον εξωτερικό κόσο ε ισόποση είωση της αποθηκευένης δυναικής του ενέργειας. Αν το φορτίο q στο σηείο Α έχει δυναική ενέργεια W A, και στο σηείο Β έχει δυναική ενέργεια W Β, και ισχύει W A > W Β, τότε το παραγόενο έργο από την ηλεκτρική δύναη κατά την ετακίνηση από το Α στο Β, ισούται ε την διαφορά W A - W Β Μπορούε λοιπόν να γράψουε: W A W B B A e εξ F dl q B A E d l Ορίζεται ως ηλεκτρική τάση V AB εταξύ των σηείων Α και Β το έγεθος: F e, V AB W A W q B B E d l A 1 Volt 1 Joule 1 Cb ηλαδή η ηλεκτρική τάση V AB εταξύ δύο σηείων Α Β, έσα σε ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο, ισούται ε το επικαπύλιο ολοκλήρωα της έντασης E του πεδίου, κατά ήκος ιας καπύλης που συνδέει τα σηεία Α και Β ( ε φορά από το Α προς το Β ). Προφανώς όταν V AB > τότε W A > W Β και όταν V AB < τότε W A < W Β Όπως προαναφέραε ο ανωτέρω ορισός της ηλεκτρικής τάσης ισχύει αυστηρά όνον σε στατικά ηλεκτρικά πεδία. Μπορεί όως να χρησιοποιηθεί και σε χρονικά εταβαλλόενα πεδία αρκεί αυτά να έχουν «βραδεία» χρονική εταβολή. Η ποσοτική έκφραση της «βραδείας εταβολής» διατυπώνεται ως εξής: Αν το ηλεκτρικό πεδίο εταβάλλεται ε ια συχνότητα f, τότε στη συχνότητα αυτή αντιστοιχεί ένα ήκος κύατος λ c / f, όπου c η ταχύτητα του φωτός. Με δεδοένο το ήκος κύατος λ,

40 35 συγκρίνεται το ήκος της διαδροής Α- Β ε το ήκος λ. Αν το ήκος κύατος λ είναι κατά πολύ εγαλύτερο του ήκους της διαδροής Α- Β, τότε ο ορισός της ηλεκτρικής τάσης που προαναφέρθηκε πορεί να χρησιοποιηθεί ε ένα πολύ ικρό ( πρακτικά αελητέο ) σφάλα. Αν όως το ήκος κύατος λ, είναι συγκρίσιο ε το ήκος της διαδροής Α- Β τότε δεν πορεί να οριστεί η ηλεκτρική τάση εταξύ των σηείων Α και Β. ηλαδή στην περίπτωση αυτή δεν έχει έννοια η ηλεκτρική τάση V AB. Για παράδειγα αναφέρουε π.χ.ένα ηλεκτρικό πεδίο που έχει ηιτονοειδή χρονική εταβολή ε συχνότητα 5 Hz. Το αντίστοιχο ήκος κύατος είναι λ 6 k. Είναι προφανές ότι για διαδροές Α Β της τάξεως ακόα και ερικών εκατοντάδων έτρων πορεί άνετα να χρησιοποιηθεί ο ορισός της ηλεκτρικής τάσης.. 6. ) Ηλεκτρεγερτική δύναη Η ηλεκτρική τάση, όπως είδαε, έχει ως αίτιο δηιουργίας της την ηλεκτρική δύναη ή συνεπακόλουθα την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Η ηλεκτρεγερτική δύναη, αντίθετα, έχει ως αίτιο δηιουργίας της δυνάεις οι οποίες αναπτύσσονται έσα στις πηγές της ηλεκτρικής ενέργειας. Οι δυνάεις αυτές οφείλουν την ύπαρξή τους σε χηικές, ηχανικές, αγνητικές κ.λ.π. δράσεις. και προσδίδουν δυναική ενέργεια στα ηλεκτρικά φορτία διαχωρίζοντας τα θετικά από τα αρνητικά φορτία. Για τον λόγο αυτό οι δυνάεις αυτές ονοάζονται και ηλεκτροδιαχωριστικές δυνάεις και τις συβολίζουε ε το σύβολο F. Σε αντιστοιχία ε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E ορίζουε την ηλεκτρεγερτική πεδιακή ένταση E ως εξής: E F q και σε αντιστοιχία ε την ηλεκτρική τάση εξής: e BA A B F V AB ορίζουε την ηλεκτρεγερτική δύναη e BA ως q dl A B E d l

41 36 ηλαδή η ηλεκτρεγερτική δύναη e BA εταξύ δύο σηείων Β - Α, ισούται ε το επικαπύλιο ολοκλήρωα της ηλεκτρεγερτικής πεδιακής έντασης E του πεδίου, κατά ήκος ιας καπύλης που συνδέει τα σηεία Β και Α ( ε φορά από το Β προς το Α). Αναφέρουε εδώ ότι ο όρος ηλεκτρεγερτική «δύναη» ίσως δεν είναι απόλυτα επιτυχηένος διότι το έγεθος Όταν e BA > τότε η δύναη e BA δεν έχει καία σχέση ε «ηχανική δύναη» F παράγει έργο το οποίο προσδίδεται στο ηλεκτρικό πεδίο ε την ορφή αύξησης της δυναικής του ενέργειας. Άρα λοιπόν όταν e BA > τότε το σηείο Α θα έχει εγαλύτερη δυναική ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου από το σηείο Β. ηλαδή: e BA > σηαίνει: W A > W Β και e BA < σηαίνει W A < W Β Για παράδειγα σε ια ιδανική πηγή τάσεως συνδεδεένη ε αντίσταση R θα έχουε: eba + A B R VAB V AB e BA ή VAB eab ηλαδή το έργο που παράγει η ηλεκτροδιαχωριστική δύναη F έσα στην πηγή είναι ίσο ε το έργο που παράγει η ηλεκτρική δύναη F e έσα στον Σχ..16 καταναλωτή R ( και γίνεται τελικά θερότητα) Αναφέραε στα προηγούενα ότι η ηλεκτρεγερτική δύναη οφείλει την ύπαρξή της σε δράσεις ( δυνάεις) η ηλεκτρικές. Υπάρχει όως, όπως θα δούε, και ία περίπτωση εφάνισης ηλεκτρεγερτικής δύναης ε αίτιο ένα αναπτυσσόενο ηλεκτρικό πεδίο. Πρόκειται για την περίπτωση της ηλεκτρεγερτικής δύναης εξ επαγωγής που περιγράφεται από τον νόο του Faaday. Σε επόενο κεφάλαιο θα ελετηθεί πλήρως η περίπτωση αυτή.

42 37. 7 ) Νόος των Biot - avat Ο νόος αυτός διατυπώθηκε αφού είχε προηγηθεί το γνωστό ιστορικό πείραα του Oested το 18 ( απόκλιση αγνητικής βελόνης όταν αυτή βρίσκεται κοντά σε ρευατοφόρο αγωγό). Ο νόος αυτός «εντάχθηκε» αργότερα έσα σε ια πιο γενικευένη διατύπωση που ονοάστηκε νόος του Apee. Παρ όλα αυτά η αρχική διατύπωση του νόου είναι ιδιαίτερα χρήσιη σε πολλές περιπτώσεις. Ο νόος των Biot - avat δίνει ια αθηατική έκφραση για το αγνητικό πεδίο που δηιουργεί το συνεχές (σταθερό ) ρεύα και διατυπώνεται ως εξής: - Έστω ένας απειροστά λεπτός αγωγός ( νηατοειδής αγωγός) καπυλόγραου γενικά σχήατος. Ο αγωγός διαρρέεται από συνεχές ρεύα i. Το στοιχειώδες ήκος d l του αγωγού (που διαρρέεται από ρεύα i ) δηιουργεί σε ένα σηείο P σε απόσταση από τον αγωγό, στοιχειώδες αγνητικό πεδίο ε αγνητική επαγωγή db (βλ. σχ..17 ) Η τιή του db δίδεται από την σχέση: lˆ dl ˆ i P d B όπου: lˆ : i db 4π ( ˆl ˆ ) dl οναδιαίο διάνυσα εφαπτοενικό στον αγωγό στην περιοχή του d l ˆ : οναδιαίο διάνυσα ε κατεύθυνση αυτήν της ευθείας που ενώνει d l και P, και φορά από το d l προς το P Σχ..17 : η απόσταση εταξύ d l και P

43 38 Το συνολικό πεδίο B που οφείλεται σε ολόκληρο τον αγωγό υπολογίζεται από το κλειστό επικαπύλιο ολοκλήρωα : ( ˆl ˆ ) i B dl 4π γιατί ολόκληρος ο αγωγός σχηατίζει πάντοτε κλειστό βρόχο. Αν ας ενδιαφέρει η συνεισφορά όνον ενός τήατος Α-Β του αγωγού τότε θα έχουε το ολοκλήρωα: i B 4π ˆl ˆ B d A l. 8 ) Ασκήσεις Κεφαλαίου ΑΣΚ.1 ) Να ελετηθεί η σχέση εταξύ χωρικής πυκνότητας ρεύατος J και έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E στο εσωτερικό ενός εταλλικού αγωγού. Σε ένα ηλεκτρικά αγώγιο υλικό ισχύει η σχέση: J ρ u όπου J η χωρική πυκνότητα ρεύατος, ρ η χωρική πυκνότητα κινουένου φορτίου και u η ταχύτητα των κινούενων φορτίων. Για να βρούε τη σχέση εταξύ της χωρικής πυκνότητας ρεύατος J και της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E, που αναπτύσσεται έσα στο αγώγιο υλικό και οφείλεται σε εξωτερικά αίτια, σκεπτόαστε ώς εξής: Οι φορείς φορτίου κινούνται, όπως προαναφέρθηκε, ε σταθερή ταχύτητα άρα χωρίς επιτάχυνση. Εποένως η ηλεκτρική δύναη F e που ασκείται σε ένα ελεύθερο φορέα φορτίου

44 39 θα πρέπει να εξισορροπείται από ια δύναη τριβής F τρ η οποία «στατιστικά» αναπτύσσεται λόγω των συνεχών κρούσεων των φορέων στο κρυσταλλικό πλέγα του αγωγού. Θα θεωρήσουε ότι αυτή η δύναη τριβής είναι ανάλογη της ταχύτητας των φορέων και έχει βέβαια αντίθετη φορά. Έτσι πορούε να γράψουε: v F k u τρ όπου k ια σταθερά ε φυσικές διαστάσεις [ kg/sec ] F τρ q e e u F q e e E Σχ..18 q e, e το φορτίο και η άζα του ελεύθερου φορέα φορτίου αντίστοιχα Όπως φαίνεται και από το σχήα.18 θα ισχύει F e F + τρ άρα q e E k u η τελευταία σχέση δίνει η σχέση αυτή συνδυαζόενη ε την qe u E k J ρ u θα δώσει τελικά: J qe ρ k E όπου το έγεθος γ q ρ e k γράψουε την τελική έκφραση είναι η ειδική αγωγιότητα του αγωγού και έτσι πορούε να J γ E η οποία εκφράζει τον Νόο του Oh σε πεδιακή ορφή.

45 4 ΑΣΚ. ) Να ελετηθεί η σχέση εταξύ χωρικής πυκνότητας ρεύατος J και έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E στο εσωτερικό ιας ηλεκτρικής πηγής Όπως είναι γνωστό έσα σε ια ηλεκτρική πηγή υπάρχει η ηλεκτροδιαχωριστική πεδιακή ένταση E s η οποία δηιουργεί την ηλεκτροδιαχωριστική δύναη F s. Επίσης, λόγω του διαχωρισού των φορτίων αναπτύσσεται, έσα στην πηγή, και ένα ηλεκτρικό πεδίο E ε την αντίστοιχη ηλεκτρική δύναη F e. Τέλος, εφ όσον έχουε κινούενα φορτία, υπάρχει και εδώ v η δύναη τριβής Fτρ k u ( βλ. σχ..19 ) α E s E J F s F F τρ γ s β Σχ..19 V αβ Η συνολική δύναη που ασκείται σε ένα ελεύθερο φορτίο θα είναι προφανώς ηδενική άρα θα ισχύει: v Fs + Fe + Fτρ και επειδή v Fs Es qe, Fe E qe, F τρ k u θα πάρουε τελικά: v q v e qe ( E+ Es ) k u u ( E+ Es k ) και επειδή J ρ u θα προκύψει η σχέση: q e J ρ ( E+ Es k )

46 41 ή ) E E ( J s s + γ όπου γ s η ειδική αγωγιότητα του υλικού της ηλεκτρικής πηγής. Παρατηρήσεις α) Όταν η πηγή δεν διαρέεται από ρεύα ( ανοικτοκυκλωένη) θα ισχύει J, άρα και ) E E ( s + δηλ. s E E, η ηλεκτρική πεδιακή ένταση εξουδετερώνει την ηλεκτροδιαχωριστική πεδιακή ένταση και έχουε κατάσταση ισορροπίας. β) Όταν η πηγή διαρρέεται από ρεύα, δηλ. έχουε J, τότε και ) E E ( s + Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρικό πεδίο E εξασθενεί σε κάποιο βαθό λόγω ακριβώς της ροής φορτίων έξω από την πηγή και έτσι το πεδίο s E υπερισχύει του E. Από την σχέση ) E E ( J s s + γ προκύπτει: s s E J E γ Αν θέλουε να υπολογίσουε την διαφορά δυναικού V αβ εταξύ των δύο πόλων της πηγής θα πάρουε: l l d E J d E V s s γ β α β α αβ l l l d / i e d J d E s s s α β βα α β α β γ γ όπου στο τελευταίο ολοκλήρωα τέθηκε η απλοποιηένη έκφραση J i / για την πυκνότητα ρεύατος ( η γεωετρική διατοή του «υλικού» της πηγής ) Είναι προφανές ότι το ολοκλήρωα l d / i s α β γ κατά το γεωετρικό ήκος της πηγής και εφ όσον θεωρείται οοιόορφη κατανοή ρεύατος θα δώσει σαν αποτέλεσα: dl / i s α β γ s s R i L 1 i γ

47 4 όπου L το γεωετρικό ήκος της πηγής και βέβαια R s η εσωτερική αντίσταση της πηγής Παρατηρούε λοιπόν ότι η έκφραση για την τάση V αβ στα άκρα της πηγής, παίρνει τη γνωστή ορφή από τη θεωρία κυκλωάτων: V αβ e βα i R s Όπου e βα η ηλεκτρεγερτική δύναη της πηγής. Όταν η εσωτερική αντίσταση της πηγής R s είναι ηδενική ( ιδανική κατάσταση ) τότε προφανώς ισχύει : V αβ e βα ΑΣΚ. 3 ) Ρεύα ε ένταση i 4 Ap ρέει σε χάλκινο αγωγό ε διατοή 4. Να υπολογιστεί η έση ταχύτητα u των ελευθέρων ηλεκτρονίων. Υποθέστε ότι ένα όριο χαλκού δίνει ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο. ίδονται επίσης: πυκνότητα άζας χαλκού n Cu kg / 3 οριακή άζα χαλκού Cu g / ol Αριθός Avogado N Av όρια / ol Θα χρησιοποιήσουε τη σχέση J ρ u και παίρνοντας όνο τα έτρα των διανυσάτων η πυκνότητα ρεύατος εύκολα υπολογίζεται i 4 Ap J u J ρ 7 Ap / Πρέπει να υπολογίσουε και την πυκνότητα ελευθέρων φορτίων Αέσως φαίνεται ότι: ρ Cu ( Cb / 3 ) στο χαλκό. σε 1 3 χαλκού που έχει άζα kg περιέχονται Ν oles Cu kg kg / ol oles ( γραοόρια ) χαλκού

48 43 και δεδοένου ότι έχουε όρια / ol και το κάθε όριο δίνει 1 ελεύθερο ηλεκτρόνιο ε φορτίο q e Cb, το συνολικό ελέυθερο ηλεκτρικό φορτίο που υπάρχει σε 1 3 χαλκού θα είναι: 3 qελευϑ oles ορια/ ol Cb ή τελικά q ελευϑ Cb άρα η πυκνότητα ελευθέρων φορτίων ρ Cu ( Cb / 3 ) στο χαλκό θα είναι: 1 ρ Cb / 3 Cu και η έση ταχύτητα των φορέων ( ηλεκτρονίων ) θα είναι: 7 J 1 Ap/ 4 u / sec.7333 /sec 1 3 ρ Cb / ΑΣΚ. 4 ) Στο σχ.. δίδεται ένα απλό οντέλο για το άτοο του Υδρογόνου Ηλεκτρονικό νέφος Πρωτόνιο Σχ.. Στο κέντρο του ατόου υπάρχει ένα πρωτόνιο ε φορτίο q e Cb. Το ηλεκτρονικό νέφος που το περιβάλλει εκτείνεται έχρι το άπειρο και έχει σφαιρική συετρία. Η χωρική πυκνότητα φορτίου του νέφους είναι: 19 ρ e k e α Cb / 3 όπου k ια σταθερά και α , η ακτίνα του Boh Ζητείται να υπολογιστεί η τιή της σταθεράς k

49 44 ίδεται το αόριστο ολοκλήρωα b x b x x x x e dx e + 3 b b b Όπως είναι προφανές η χωρική πυκνότητα φορτίου εξαρτάται όνον από την ακτινική απόσταση. Το συνολικό φορτίο ενός ατόου πρέπει να είναι ηδενικό άρα θα πρέπει: ρ ολος οχωρος d V + q e e ή ρ e ολος οχωρος d V q e Το τριπλό ολοκλήρωα πορεί να υπολογιστεί σχετικά εύκολα λόγω της συετρίας που παρουσιάζει η συνάρτηση ρ e ( ). Για να υπολογίσουε τον στοιχειώδη όγκο dv σκεπτόαστε ως εξής: d Σχ..1 Ένα σφαιρικό κέλυφος ε πάχος d και έση ακτίνα θα έχει στοιχειώδη όγκο άρα το ολοκλήρωα ολος οχωρος ρe d V d V 4 π d γράφεται dv ρ e ολος οχωρος d V k e α 4π d και χρησιποιώντας το δεδοένο ολοκλήρωα έχουε: k e α 4π d 3 α α α 4 π k e α π k 3 α 8 και επειδή πρέπει να ισχύει