Γεωργιουδάκης Εμμανουήλ

Transcript

1 ΣΥΝΤΟΜΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ NASTRAN) Γεωργιουδάκης Εμμανουήλ ΕΜΠ Νοέμβριος 2004

2

3 Περιεχόμενα Περιεχόμενα... i Πρόλογος...iii Πρόβλημα προς επίλυση Αναγνώριση ειδών μη-γραμμικότητας στον εξεταζόμενο φορέα Προσομοίωση του φορέα Εισαγωγή γεωμετρίας [Geometry] Εισαγωγή ιδιοτήτων υλικού [Material Properties] Εισαγωγή τύπου στοιχείου διακριτοποίησης και ιδιοτήτων του [Element Properties] Διακριτοποίηση του φορέα [Mesh] Εισαγωγή φόρτισης [Load] Εισαγωγή συνοριακών συνθηκών [Constraints] Ορισμός παραμέτρων μη-γραμμικής ανάλυσης Μη-γραμμική ανάλυση του φορέα και εξαγωγή αποτελεσμάτων Συμπεράσματα Ανάλυση της δοκού Αποτελέσματα και εξαγωγή τους Σχολιασμός αποτελεσμάτων... 18

4 ii

5 iii Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει τις βασικές δυνατότητες του προγράμματος MSC/Nastran για την μη-γραμμική ανάλυση φορέων με πεπερασμένα στοιχεία. Στόχος του είναι να αποτελέσει συμπλήρωμα των εφαρμογών μέσα στα πλαίσια της επικουρικής διδασκαλίας του μαθήματος «Μη-Γραμμική Ανάλυση Φορέων με Πεπερασμένα Στοιχεία» του ΔΠΜΣ «Δομοστατικός Σχεδιασμός & Ανάλυση των Κατασκευών» της Σχολής Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ με διδάσκοντα των καθηγητή Μ. Παπαδρακάκη. Ειδικότερα, θα παρουσιαστεί η μη-γραμμική ανάλυση (μη-γραμμικότητα υλικού) αμφιέρειστης δοκού με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο. Η προσομοίωση του φορέα θα γίνει μέσα από το γραφικό περιβάλλον Femap του προγράμματος, ενώ η επίλυσή του θα γίνει με τον επιλύτη Nastran. Γεωργιουδάκης Εμμανουήλ Νοέμβριος 2004

6 iv

7 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 5 Πρόβλημα προς επίλυση Να σχεδιαστεί η καμπύλη q δ του Φορέα 1 για τις παρακάτω προσομοιώσεις: α/α Προσομοίωση με στοιχεία Δίκτυο 1α BEAM 10 x 1 1β 3D Solid 20 x 10 x 1 σ σ y Ιδιότητες Υλικού: Ε = 2100 kn/cm 2 ν = 0.3 σ y = 36 kn/cm 2 ε Παρατήρηση: Όλα τα μεγέθη της ανάλυση εισάγονται στο πρόγραμμα Msc/Nastran χωρίς διαστάσεις. Τα αποτελέσματα δηλαδή της ανάλυσης είναι συνεπή με τις διαστάσεις των εκάστοτε μεγεθών που έχει εισαγάγει ο χρήστης. Για την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος δουλεύουμε με τις εξής διαστάσεις: [F] = kn, [L] = m.

8 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 6 1. Αναγνώριση ειδών μη-γραμμικότητας στον εξεταζόμενο φορέα Πριν από οποιαδήποτε μη-γραμμική ανάλυση θα πρέπει να προηγηθεί μία γραμμική ανάλυση η οποία θα βοηθήσει να αποκαλυφθούν (ως ένα βαθμό) το είδος των μη γραμμικοτήτων που θα αναπτυχθούν κατά την φόρτιση και ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να αντιμετωπιστούν. Από την κλασική θεωρία δοκού μπορούμε να υπολογίσουμε το ομοιόμορφο φορτίο q y που προκαλεί την 1 η διαρροή στην δοκό. Η διατομή της δοκού που θα φθάσει πρώτη στη διαρροή είναι η διατομή που βρίσκεται στο μέσο της δοκού. Η ροπή που θα έχει αναπτυχθεί τη στιγμή της διαρροής στην εν λόγω διατομή είναι: M y ql y 8 2 = (1) Όμως από τη θεωρία δοκού γνωρίζουμε επίσης ότι: M y = σ W (2) y Για την ορθογωνική διατομή της δοκού η ροπή αντιστάσεως της είναι: W = bh = = m (3) Συνδυάζοντας τις (1), (2), (3) προκύπτεί ότι το ομοιόμορφο φορτίο πρώτης διαρροής της δοκού είναι: q 3 8σ W = = = 3000kN/m (4) L 2 y y 2 2 Το μέγιστο βέλος αμφιέρειστης δοκού με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο τη στιγμή της πρώτης διαρροής (της ακραίας ίνας της μεσαίας διατομής) δίνεται από την σχέση: δ q yl q yl = + = + = 384EI 8GA 384 ( ) max,y 7 κάμψη διάτμηση = = m (5)

9 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 7 Επομένως δεν θα εμφανιστούν φαινόμενα μη γραμμικότητας γεωμετρίας κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Η συμπεριφορά του φορέα θα καθοριστεί από την μη-γραμμικότητα του υλικού. Η κλασική θεωρία δοκού εκτός από το φορτίο διαρροής μπορεί να μας δώσει και το φορτίο κατάρρευσης της συγκεκριμένης δοκού. Ο συντελεστής σχήματος για ορθογωνική διατομή είναι α = 1.5. Επομένως Μ p = αμy qp = αqy qp = = 4500kN/m (όπου M p είναι η ροπή πλήρους πλαστικοποίησης της δοκού). 2. Προσομοίωση του φορέα 2.1 Εισαγωγή γεωμετρίας [Geometry] Στο σημείο αυτό θα ορίσουμε τον φορέα εισάγοντας αρχικά την γεωμετρία του. Στην αρχική οθόνη του προγράμματος (Εικόνα 1) επιλέγουμε Geometry Curve-Line Project Points. Στο παράθυρο διαλόγου (Locate-Enter first location for projected line) που εμφανίζεται συμπληρώνουμε Χ=0, Υ=0, Ζ=0 και επιλέγουμε OK. Στο παράθυρο (Locate-Enter second location for projected line) συμπληρώνουμε Χ=2, Υ=0, Ζ=0 και επιλέγουμε OK. Πατώντας Ctrl+A, κάνουμε ορατή στην οθόνη την ευθεία που ορίστηκε από τα δύο σημεία που δώσαμε προηγουμένως (Εικόνα 2). Έτσι έχουμε εισαγάγει την γεωμετρία του φορέα που χαρακτηρίζεται από το μήκος της ευθείας που δημιουργήσαμε. Εικόνα 1: Αρχική οθόνη προγράμματος

10 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 8 Εικόνα 2: Ευθεία που ορίζει το μήκος της δοκού 2.2 Εισαγωγή ιδιοτήτων υλικού [Material Properties] Από το μενού Model Material ορίζουμε το ισοτροπικό μη-γραμμικό υλικό της δοκού. Συμπληρώνουμε διαδοχικά τα εξής πεδία με τις ακόλουθες τιμές (εφόσον δώσουμε στο πεδίο Title ένα όνομα για το υλικό που δημιουργούμε π.χ. Yliko 1): Young s Modulus E = Shear Modulus G = Poisson s Ration nu = 0.3 Εικόνα 3: Ορισμός σταθερών ισοτροπικού μη-γραμμικού υλικού

11 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 9 Πατώντας το πλήκτρο Nonlinear>> (Εικόνα 3) ορίζουμε τις μη-γραμμικές ιδιότητες του υλικού μας συμπληρώνοντας τα ακόλουθα πεδία (στο πλαίσιο διαλόγου Define Nonlinear Material) με τις εξής τιμές: Nonlinearity Type = Elastoplastic (Bi-Linear) Initial Yield Stress = Εισαγωγή τύπου στοιχείου διακριτοποίησης και ιδιοτήτων του [Element Properties] Από το μενού Model Property ορίζουμε το ισοτροπικό μη-γραμμικό υλικό της δοκού. Επιλέγουμε (εφόσον δώσουμε στο πεδίο Title ένα όνομα για το υλικό που δημιουργούμε) στο πεδίο Material = Yliko 1 και στο πεδίο Elem/Property Type = Βeam όπως φαίνεται στην Εικόνα 4. Ορίζοντας την διατομή του στοιχείου δοκού πατώντας το πλήκτρο Shape... στο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται επιλέγουμε στο πεδίο Shape = Rectangular Bar και στο πεδίο Size (H = 0.5 και Width = 0.1). Το πρόγραμμα υπολογίζει αυτόματα τα διάφορα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διατομής και τα «επιστρέφει» στο αρχικό παράθυρο διαλόγου όπως φαίνεται στην Εικόνα 4. Εικόνα 4: Ορισμός ιδιοτήτων στοιχείων και των χαρακτηριστικών τους

12 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης Διακριτοποίηση του φορέα [Mesh] Από το μενού Mesh Mesh Control Size Along Curve και στο παράθυρο διαλόγου Entity Selection-Select Curve(s) to Set Mesh Size επιλέγουμε την ευθεία που δημιουργήσαμε στη 2.1. Στο πλαίσιο διαλόγου Εικόνα 5 συμπληρώνουμε στο πεδίο Number of Elements = 10. Μ αυτόν τον τρόπο «ελέγχουμε» το παραγόμενο δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων σε 10 ισομήκη στοιχεία δοκού. Εικόνα 5: Ορισμός ιδιοτήτων στοιχείων και των χαρακτηριστικών τους Στην συνέχεια από το μενού Mesh Geometry Curve και στο παράθυρο διαλόγου Entity Selection-Select Curve(s) to Set Mesh Size επιλέγουμε την ευθεία που δημιουργήσαμε στη 2.1. Στο πλαίσιο διαλόγου Εικόνα 6 επιλέγουμε στο πεδίο Property = Dokos 0.1x0.5 και πατώντας OK το πρόγραμμα μας ζητάει να εισάγουμε τον προσανατολισμό των στοιχείων με το εμφανιζόμενο παράθυρο διαλόγου Vector Locate-Define Element Orientation Vector. Συμπληρώνοντας στα πεδία Base (X=0, Y=0, Z=0) και Tip (X=0, Y=0, Z=1) προσανατολίζουμε τα 10 στοιχεία δοκού με οποία διακριτοποιήσαμε το φορέα μας όπως φαίνεται στην Εικόνα 7. Εικόνα 6: Ορισμός προσανατολισμού στοιχείου δοκού Z Y X Εικόνα 7: Προσανατολισμός στοιχείων δοκού (ισομετρική όψη)

13 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 11 Το πρόγραμμα δίνει στο χρήστη με το πλήκτρο Methods την δυνατότητα να επιλέξει διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους θα προσανατολιστεί το στοιχείο στο χώρο. 2.5 Εισαγωγή Φόρτισης [Load] Από το μενού Model Load Elemental αφού δημιουργήσουμε ένα σετ φόρτισης δίνοντας ένα όνομα (π.χ. Uniform) στο παράθυρο διαλόγου Create or Activate Load Set, στη συνέχεια μας ζητείται από το πρόγραμμα (μέσω του παράθυρο διαλόγου Entity Selection-Enter Element(s) to Select) να ορίσουμε ποια στοιχεία θα φορτίσουμε. Επιλέγουμε Select All και στο παράθυρο διαλόγου Create Loads on Elements επιλέγουμε Distributed Load και δίνουμε τιμές στα εξής πεδία: Load- End A = και Load-End Β = (Εικόνα 8). Στο τελευταίο παράθυρο Distributed Load Direction που εμφανίζεται επιλέγουμε Global Y για να προσανατολίσουμε το φορτίο κατά τη διεύθυνση του καθολικού άξονα Υ (το αρνητικό πρόσημο μπροστά από το φορτίο δηλώνει ότι έχει κατεύθυνση προς τα αρνητικά του άξονα). Εικόνα 8: Ορισμός φόρτισης και προσανατολισμός φορτίου Η τιμή 6000 αναφέρεται σε ομοιόμορφο φορτίο 6000 kn/m που φορτίζει το κάθε στοιχείο και επιλέγεται να είναι μεγαλύτερη από το φορτίο 1 ης διαρροής q y που υπολογίσαμε στη 1 έτσι ώστε ο φορέας να «εισέλθει» στην μηγραμμική περιοχή.

14 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης Εισαγωγή συνοριακών συνθηκών [Constraints] Από το μενού Model Constraint Nodal αφού δημιουργήσουμε ένα σετ δεσμεύσεων δίνοντας ένα όνομα (π.χ. Amfieristi) στο παράθυρο διαλόγου Create or Activate Load Set, στη συνέχεια μας ζητείται από το πρόγραμμα να επιλέξουμε τους κόμβους που θα δεσμεύσουμε. Στο μενού Entity Selection-Enter Node(s) to Select επιλέγουμε το κόμβο 1 και στο μενού Create Nodal Constraints/DOF «τσεκάρουμε» τους βαθμούς ελευθερίας Tx, Ty, Tz, Rx, Ry. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία για το κόμβο 11 (οι δεσμεύσεις του οποίου είναι Ty, Tz, Rx, Ry) (Εικόνα 9). Οι δεσμευμένοι βαθμοί ελευθερίας των κόμβων του φορέας φαίνονται στην Εικόνα 10. Εικόνα 9: Δεσμεύσεις βαθμών ελευθερίας επιλεγμένων κόμβων του δικτύου Εικόνα 10: Δεσμεύσεις βαθμών ελευθερίας των κόμβων 1, 11.

15 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης Ορισμός παραμέτρων μη-γραμμικής ανάλυσης Αφού δημιουργήσαμε το σετ φόρτισης με τίτλο Uniform (βλ. 2.4) από το μενού Model Load Nonlinear Analysis θα ορίσουμε τις παραμέτρους για την μη-γραμμική ανάλυση της δοκού. Ενδιαφερόμαστε για μη γραμμική στατική ανάλυση. Το πρώτο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται (Load Set Options for Nonliear Analysis) έχει απενεργοποιημένη τη μη-γραμμική ανάλυση, οπότε πατώντας το πλήκτρο Defaults (Εικόνα 11) ενεργοποιείται το μενού της στατικής μη-γραμμικής ανάλυσης με τις προεπιλεγμένες τιμές του προγράμματος στα διάφορα πεδία. Όλες οι τιμές των παραμέτρων της μη-γραμμικής ανάλυσης στα διάφορα πεδία καθορίζονται από τον χρήστη σε σχέση με την αναμενόμενη συμπεριφορά του φορέα. Παράμετροι arc-length Εικόνα 11: Παράμετροι μη-γραμμικής στατικής ανάλυσης

16 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 14 Το παράθυρο διαλόγου Load Set Options for Nonliear Analysis χωρίζεται σε 5 επιμέρους πεδία που αφορούν τις ρυθμίσεις για την μη-γραμμική στατική ανάλυση. Τα πεδία αυτά είναι: Basic: Για τον καθορισμό του αριθμού των επαυξητικών βημάτων της ανάλυσης (Number of increments) και τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων σε κάθε επαυξητικό βήμα της ανάλυσης μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση (Max iterations/step). Για την δοκό του παραδείγματός μας επιλέγουμε: Number of increments = 100 και Max iterations/step = 50 (Θα δούμε ότι αυτές οι τιμές αγνοούνται από την μέθοδο της ανάλυσης που θα επιλέξουμε παρακάτω). Stiffness Updates: Για τον καθορισμό της μεθόδου αναπροσαρμογής (Method) του μητρώου δυσκαμψίας του φορέα και το αριθμό των επαναλήψεων πριν την αναπροσαρμογή (Iterations before update). Το πεδίο αυτό παραμένει ως έχει με τις προεπιλεγμένες τιμές. Output Control: Για τον καθορισμό της αποθήκευσης ή μη των αποτελεσμάτων στα ενδιάμεσα στάδια της ανάλυσης. Eπιλέγουμε Intermediate = YES, έτσι ώστε κατά την διάρκεια της ανάλυσης να μας δίνει τα αποτελέσματα σε κάθε επανάληψη (κι όχι μόνο στα σημεία ισορροπίας - σύγκλισης). Convergence Tolerances: Για τον καθορισμό των ανοχών σύγκλισης. Μπορούμε να επιλέξουμε ανοχές συγκλίσεων για τα εξής μεγέθη της ανάλυσης: Μετατοπίσεις (Displacements), Φορτίo (Load), Έργο (Work). Το πεδίο αυτό παραμένει ως έχει με τις προεπιλεγμένες τιμές. Solution Strategy-Overrides: Για τον καθορισμό της μεθόδου μη-γραμμικής ανάλυσης με την οποία θέλουμε να επιλυθεί ο φορέας μας. Έχουμε την δυνατότητα να επιλέξουμε μεταξύ διαφόρων μεθόδων επίλυσης στηριζόμενες στην βασική μέθοδο Newton-Raphson (π.χ. Full N-R, Modified N-R, Line Search, Arc-Length). Ποια μέθοδος επίλυσης θα χρησιμοποιηθεί κάθε φορά εξαρτάται από τον φορέα και την αναμενόμενη συμπεριφορά του. Πώς όμως καθορίζονται οι επιμέρους παράμετροι της γραμμικής ανάλυσης; Η ερώτηση αυτή δεν έχει μονοσήμαντη απάντηση. Ο χρήστης πρέπει να εισέλθει σε μια διαδικασία δοκιμής και λάθους (trial & error) προκειμένου να «ξεπεράσει» τις δυσκολίες κατά την διάρκεια της μη-γραμμικής ανάλυσης του φορέα. Το πρόγραμμα μετά από τέλος της ανάλυσης επισημαίνει τα λάθη που υπήρχαν κατά την διάρκεια αυτής (τα λάθη έγκειται κυρίως σε σφάλματα σύγκλισης της μεθόδου). Έτσι, με την εμπειρία του ο χρήστης δοκιμάζει να επιλύσει εκ νέου τον φορέα τροποποιώντας τις εκάστοτε παραμέτρους λαμβάνοντας υπόψη τα λάθη της προηγούμενης επίλυσης.

17 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 15 Από τη δοκό του παραδείγματός μας αναμένουμε μια συμπεριφορά του τύπου όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. Αν επιλυθεί ο συγκεκριμένος φορέας με την μέθοδο Newton-Rapshon (Full, Modified) διαπιστώνεται ότι η συγκεκριμένη μέθοδος επίλυσης «χτυπάει» στο σημείο Α (το μητρώο δυσκαμψίας του φορέα στο σημείο αυτό είναι μη αντιστρέψιμο) με αποτέλεσμα να σταματήσει η ανάλυση χωρίς να έχουμε τον οριζόντιο κλάδο του σχήματος 1. Η υπέρβαση αυτή αντιμετωπίζεται επιλύοντας την δοκό με την μέθοδο ac-length. 4. Ανάλυση της δοκού και εξαγωγή αποτελεσμάτων - Συμπεράσματα 4.1 Επιλογή ανάλυσης Έχοντας ολοκληρώσει την διαδικασία προσομοίωσης του φορέα και τον καθορισμό όλων των επιμέρους παραμέτρων της ανάλυσης, από το μενού File Analyze και στο παράθυρο διαλόγου Nastran Analysis Control (Εικόνα 12), επιλέγουμε Analysis Type = Nonlinear Static, Output Types = Displacements Only (ενδιαφερόμαστε μόνο για μετατοπίσεις στους κόμβους του φορέα) και απενεργοποιούμε το πεδίο Large Disp (το οποίο είναι προεπιλεγμένο από το πρόγραμμα κατά την εμφάνιση του συγκεκριμένου παραθύρου διαλόγου). Εικόνα 12: Επιλογής τύπου ανάλυσης στον επιλύτη Nastran.

18 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης Αποτελέσματα και εξαγωγή τους Μετά το τέλος της ανάλυσης (κι εφόσον δεν υπάρχει σφάλμα στην ανάλυση μας), προκειμένου να παραστήσουμε σ ένα γράφημα την σχέση φορτίου-μετατόπισης επιλέγουμε με το πλήκτρο F5 στο Εικόνα 13: Επιλογή γραφικής παράστασης παράθυρο διαλόγου View Select το πεδίο XY vs Set Value (Εικόνα 13). Η συγκεκριμένη μη γραμμική ανάλυση δίνει 10 βήματα φόρτισης. Πατώντας το πλήκτρο XY Data καθορίζουμε τις επιπλέον παραμέτρους της γραφικής παράστασης που θέλουμε να δημιουργήσουμε. Έτσι επιλέγουμε στα αντίστοιχα πεδία τις εξής τιμές (Εικόνα 14) : Output Set = Case 10 Time , Output Vector = Τ2 Translation, Output Location (Node) = 6. Εικόνα 14: Επιλογή γραφικής παράστασης Η μετατόπιση αναφέρεται σε συγκεκριμένο κόμβο του δικτύου που χαρακτηρίζει την συμπεριφορά του φορέα. Στην περίπτωση της δοκού του παραδείγματος μας ο κόμβος αυτός είναι ο κόμβος 6 (βλ. Εικόνα 10) που βρίσκεται στο μέσο της δοκού.

19 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 17 Παρατηρείστε ότι ο φορτικός συντελεστής στο 10 ο βήμα φόρτισης είναι ίσος με δηλαδή ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο q = = 4407kN/m. Το πραγματικό φορτίο κατάρρευσης του φορέα είναι q ult = 4500 kn/m. Που οφείλεται η διαφορά; Για να εξάγουμε τις τιμές της γραφικής παράστασης σ ένα αρχείο.txt μορφής από το βασικό μενού επιλέγουμε List Destination (Εικόνα 15) και εν συνεχεία επιλέγουμε το όνομα και την θέση που θέλουμε να αποθηκεύσουμε το αρχείο στο σύστημά μας (πατώντας το πλήκτρο Select File. ). Επιλέγοντας εν συνεχεία (ενώ βρισκόμαστε στο XY vs Set Value), List Output XY Plot. Μ αυτό τον τρόπο μπορούμε να αξιοποιήσουμε τα ζεύγη τιμών που αποθήκευσε το πρόγραμμα στο αρχείο που δημιουργήσαμε ως προορισμό, δημιουργώντας την γραφική παράσταση του Σχήματος 1. Εικόνα 15: Εξαγωγή αποτελεσμάτων γραφικής παράστασης σε αρχείο.lst Οι τιμές που αποθηκεύονται στο αρχείο.lst που δημιουργήσαμε είναι οι εξής: Output Set 10 - Case 10 Time Output Vector 3 - T2 Translation vs. Set Value X Y ID φορτικός Μετατόπιση Κόμβος συντελεστής κατά τον Υ Το πρόγραμμα αποθηκεύει τα αποτελέσματα σε αρχεία μορφής.lst τα οποία είναι εύκολα αναγνώσιμα από έναν text editor (π.χ Notepad).

20 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 18 Καμπύλη Φορτίου - Μετατόπισης (P-δ) Φορτίο q [kn/m] Beam Elements Solid Elements (up) Solid Elements (mid) Μετατόπιση δ μεσαίου κόμβου [m] Σχήμα 1: Καμπύλη φορτίου μετατόπισης του φορέα 4.3 Σχολιασμός αποτελεσμάτων Στο σχήμα 1 φαίνονται οι δρόμοι ισορροπίας για επίλυση της δοκού με στοιχεία δοκού (Beam Elements) και με στοιχεία στερεού στο χώρο (Solid Elements). Ο κάθε δρόμος ισορροπίας έχει προκύψει από την εξής προσομοίωση της δοκού: Beam Elements: Προσομοίωση της δοκού με στοιχεία δοκού Solid Elements (Up): Προσομοίωση της δοκού με στοιχεία Solid (στο χώρο) και φόρτιση της δοκού με ομοιόμορφο φορτίο στην άνω παρειά της (δηλαδή στο επίπεδο Y=0.5m). Solid Elements (Mid): Προσομοίωση της δοκού με στοιχεία Solid (στο χώρο) και φόρτιση της δοκού με ομοιόμορφο φορτίο στο κεντροβαρικό άξονα της δοκού (δηλαδή στο επίπεδο Y=0.5m).

21 Σύντομο εγχειρίδιο μη-γραμμικής ανάλυσης 19 Ερωτήσεις Πού οφείλονται οι διαφορές στο φορτίο κατάρρευσης του φορέα από το πραγματικό φορτίο κατάρρευσης q = 4500kN/m. (Το φορτίο κατάρρευσης στη κάθε προσομοίωση είναι: 4407kN/m, 4626kN/m, 4585kN/m αντίστοιχα). Αν αυξηθεί το ύψος της δοκού (γίνουν δηλαδή έντονα τα φαινόμενα διάτμησης) κρατώντας σταθερή τη ροπή αδράνειας της διατομής, τι αναμένουμε να γίνει με το φορτίο κατάρρευσης; Για ποιό λόγο b/h της δοκού τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων αποκλίνουν μεταξύ τους;