Κεφάλαιο 8 H ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 H ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 H ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ -Δεν υπάρχει συμφωνία μεταξύ των σεισμολόγων για τον όρο «σεισμική δράση». -Μία ποιοτική εικόνα της σεισμικής δράσης μπορούμε να αποκτήσουμε με την χαρτογράφηση πάνω σε χάρτη των επικέντρων των σεισμών με διαφορετικά σύμβολα όσον αφορά τα μεγέθη και τα εστιακά τους βάθη. -Κάποιοι επιστήμονες χρησιμοποιούν σαν μέτρο σεισμικής δράσης την ενέργεια Ε* που εκλύεται στη μονάδα του χρόνου και της επιφάνειας (ή του όγκου). -Η χαρτογράφηση της ποσότητας E χρησιμοποιείται για την γεωγραφική κατανομή της τεκτονικής δράσης σε μια περιοχή της Γης.

2 Σεισμικότητα Δεν υπάρχει ακόμα ένας συγκεκριμένος ορισμός της σεισμικότητας. Μπορούμε όμως να την φανταστούμε σαν μία αύξουσα συνάρτηση τόσο των μεγεθών όσο και της συχνότητας αυτών σε μία περιοχή κατά την διάρκεια μίας ορισμένης χρονικής περιόδου. Εξαρτάται όμως και από το διάστημα των μεγεθών για το οποίο εξετάζεται. T Π2 M= Π1 M

3 Κατάταξη της Ελλάδας με βάση τη σεισμικότητά της. Βρίσκεται στην 6η θέση που διακρίνεται με την εστιγμμένη γραμμή (Τσάπανος 1988)

4 ΜΕΤΡΑ ΣΕΙΣΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Τα χρησιμοποιούμενα ευρέως μέτρα είναι: ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΜΕΓΕΘΟΣ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΩΝ ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥΝ ΣΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΟ Μmax Η ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Ο ΜΕΣΟΣ ΕΤΗΣΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΩΝ ΠΟΥ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΣΕ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΧΗ ΚΑΙ ΕΧΟΥΝ ΜΕΓΕΘΟΣ Μ η ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΟ ΣΥΧΝΟΤΕΡΑ ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕΝΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΕ t ΕΤΗ

5 Η σεισμικότητα μπορεί να είναι: ΠΟΙΟΤΙΚΗ (χάρτες επικέντρων, κτλ.) ΠΟΣΟΤΙΚΗ (μέτρα σεισμικότητας) Για μία μελέτη σεισμικότητας τα δεδομένα μας πρέπει να έχουν: ακρίβεια (δίνονται κατάλογοι από κέντρα) ομοιογένεια (ίδια κλίμακα μεγεθών) πληρότητα (να υπάρχουν όλοι οι σεισμοί πάνω από ορισμένο όριο μεγέθους)

6 Οι Gutenberg and Richter βρήκαν για διάφορες περιοχές της Γης σχέση μεταξύ των μεγεθών των σεισμών και του ρυθμού εμφάνισής τους βm (1) Τα μέτρα σεισμικότητας που χρησιμοποιούνται σήμερα βασίζονται στο νόμο της κατανομής των μεγεθών των Gutenberg and Richter (1944). Ο νόμος αυτός μας λέει ότι ο αριθμός των σεισμών είναι γραμμική συνάρτηση του μεγέθους των σεισμών. όπου α και b παράμετροι. v = ae log n = a' bm Αντί όμως για την απλή συχνότητα n χρησιμοποιούμε την αθροιστική συχνότητα Ν και έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται (2)

7 LogN = a bm (3) m όπου Ν είναι ο αριθμός των σεισμών που έχουν μέγεθος μεγαλύτερο ήίσοτουμ. a m εξαρτάται από την σεισμικότητα της περιοχής από την έκταση που καλύπτουν τα επίκεντρα από το χρονικό διάστημα για το οποίο έχουμε σεισμούς b εξαρτάται από την ομοιογένεια του υλικού της εστίας, από την ηλικία των πετρωμάτων της περιοχής, από την τεκτονική της, και από τις τάσεις στη περιοχή ΜΙΚΡΟ b ΜΕΓΑΛΕΣ ΤΑΣΕΙΣ

8 ΣΥΝΗΘΩΣ Η ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ a m ΑΝΑΓΕΤΑΙ ΣΕ 1 ΕΤΟΣ ΑΠΌ ΤΗ ΣΧΕΣΗ a=a m Logm (4) όπου m ο χρόνοςσεέτη Έτσι η προηγούμενη σχέση γίνεται: LogN=a-bM (5) όταν υπολογιστούν το a και το b υπολογίζονται εύκολα τα άλλα μέτρα σεισμικότητας π.χ. η μέση περίοδος επανάληψης Τm T m bm = (6) a

9 ogn = a m bm (7) όπου Ν είναι ό αριθμός των σεισμών που έχουν μέγεθος μεγαλύτερο ήίσοτουμ. am εξαρτάται από την σεισμικότητα της περιοχής από την έκταση που καλύπτουν τα επίκεντρα από το χρονικό διάστημα για το οποίο έχουμε σεισμούς b εξαρταται από την ομοιογένεια του υλικού της εστίας, από την ηλικία των πετρωματων της περιοχής, από την τεκτονική της, και απο τις τάσεις στη περιοχή ΜΙΚΡΟ b ΜΕΓΑΛΕΣ ΤΑΣΕΙΣ-ΜΙΚΡΟ b ΜΕΓΑΛΟ ΡΗΓΜΑ

10 κατανομή μεγεθών στη Δ. Μακεδονία σεισμικότητα LogN Μέγεθος

11 ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΤΡΑ ΣΕΙΣΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Για την ποσοτική εκτίμηση της σεισμικότητας μίας περιοχής χρησιμοποιούνται διάφορα μέτρα σεισμικότητας. Τέτοια είναι: Η μέση περίοδος επανάληψης Τ m (σε έτη) των σεισμών που έχουν μέγεθος Μη μεγαλύτερο και δίνεται από την σχέση (6). Η πιθανότητα, P t, να γίνει σεισμός μεγέθους Μ ή μεγαλύτερου κατά το χρονικό διάστημα t, υποθέτοντας χρονική κατανομή Poisson δίνεται από την σχέση: P t = 1 e ( 10 ( a bm ) Το πιθανότερο μέγιστο μέγεθος σεισμού, Μ t, σε χρόνο t, ετών δίνεται από την σχέση: M t = a b Η πιθανότητα P ώστε η περίοδος επανάληψης των σεισμών με μέγεθος Μ ή μεγαλύτερου, να είναι μεγαλύτερη από ορισμένη τιμή Τ δίνεται από την σχέση: ) ogt + b t (8) (9) P T exp T = m (10)

12 Εφαρμογή μέτρων σεισμικότητας στη Δ. Μακεδονία με χρήση των σχέσεων (6, 8 και 9) Μέγεθος Περίοδος Επανάληψης σε έτη Έτη Μέγεθος P 500 Mέγεθος P 1 P 10 P 25 P 50 P 75 P 100 P

13 Κατανομή των μεγεθών των σεισμών της Γης και της νότιας Καλιφόρνιας

14 Aσυμπτωτικές κατανομές των ακραίων τιμών (Gumbel) Μία ιδιαίτερη κατηγορία επίλυσης του προβλήματος της σεισμικότητας που σχετίζεται με την εύρεση πιθανοτήτων τυχαίων μεταβλητών είναι αυτή που σχετίζεται με τις ακραίες τιμές (extreme values). Αν και η θεωρία των ακραίων τιμών αναφέρεται τόσο στις μέγιστες όσο και στις ελάχιστες τιμές στη σεισμολογία ενδιαφερόμαστε πρωτίστως για τις μέγιστες τιμές. Αποδείχτηκε ότι οι ακραίες μέγιστες τιμές τείνουν προς κάποιο συγκεκριμένο όριο με ασυμπτωτική συμπεριφορά. Η θεωρία περιέχει 3 κατανομές ακραίων τιμών. Στη σεισμολογία δεν ενδιαφερόμαστε για την 2 η που παρουσιάζει μόνο κάτω όριο, αλλά για την πρώτη και την τρίτη.

15 Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις 3 ασύμπτωτες κατανομές των ακραίων τιμών είναι: Και στις 3 κατανομές η G(x) είναι η πιθανότητα να είναι η μεταβλητή χ το μέγιστο ετήσιο π.χ. μέγεθος, εφόσον εφαρμόζουμε την μέθοδο στην σεισμολογία, που σημαίνει ότι η G(x) είναι η ετήσια πιθανότητα να μην γίνει υπέρβαση της τιμής του χ. Η παράμετρος u και στις 3 κατανομές είναι η χαρακτηριστική τιμή της μεταβλητής χ να έχει πιθανότητα G(u)=1/e=0.36 να είναι το μέγιστο ετήσιο μέγεθος. ω ω ω ω η γ γ γ γ η η < > = > > = > = u x k u x x G u x k x u x G a u x a x G k III k II I, 0,, exp ) ( 3 0, 0,, exp ) ( 2 0 ))), ( exp( exp( ) ( 1

16 Η κατανομή της 1 ης ασύμπτωτης δεν έχει άνω και κάτω όριο. Η κατανομή της 2 ης ασύμπτωτης έχει μόνο κάτω όριο (χ>γ) και δεν μας ενδιαφέρει στη σεισμολογία. Η κατανομή της 3 ης ασύμπτωτης έχει «άνω όριο» μεγέθους (χ<ω). Η παράμετρος ω είναι χαρακτηριστική κάθε περιοχής. Οι σεισμοί που συμβαίνουν σε μία περιοχή σε καμία περίπτωση δεν μπορούν να υπερβούν την παράμετρο αυτή δηλ. το «άνω όριο» είναι δε G(ω)=1.

17 1 η ασυμπτωτική κατανομή Ο Gumbel διατύπωσε την θεωρία της 1 ης ασυμπτωτικής κατανομής θέτοντας ως προϋπόθεση ότι το μέγεθος χ ενός σεισμού μπορεί να θεωρηθεί ως μία τυχαία μεταβλητή που έχει συσωρευτική συνάρτηση συχνότητας της μορφής: F(x)=1- e -x, x>0 (11) Η συσωρευτική συνάρτηση συχνότητας G(M j ) του μέγιστου μεγέθους όπως προκύπτει από την θεωρία των πιθανοτήτων, είναι της μορφής: βm j G( M ) = exp( ae ), M j j 0 (12)

18 Από έρευνες που έκαναν οι Epstein and Lomnitz (1966) πρόσθεσαν μία δεύτερη προϋπόθεση στην αρχική του Gumbel. Σύμφωνα με αυτήν ο αριθμός των σεισμών που συμβαίνουν σε ένα έτος είναι μεταβλητή με κατανομή Poisson που έχει μέση τιμή α. Προκύπτει όπως προαναφέρθηκε ότι η συσωρευτική συνάρτηση συχνότητας G(M j ) του μέγιστου ετήσιου μεγέθους δίνεται από τη σχέση (12), όπου το G(M j ) είναι η πιθανότητα το μέγεθος του σεισμού να έχει τιμή Μ j ή μικρότερη σε 1 έτος. e βm j α Η ποσότητα εκφράζει τον αναμενόμενο αριθμό σεισμών Ν(Μ j ) σε δεδομένο χρονικό διάστημα (π.χ. σε 1 έτος) που έχουν μέγεθος μεγαλύτερο του Μ j

19 Ησχέση(2) μπορεί να γραφεί και σε λογαριθμική μορφή: n [ ng M )] = nα βm (13) που είναι της ίδιας μορφής με την σχέση των Gutenberg and Richter. Οι παράμετροι a και b της σχέσης (2 - Gutenberg and Richter) συνδέονται με τις αντίστοιχες α και β της σχέσης (1) όπως φαίνεται παρακάτω με τις σχέσεις: a=lnα/ln10 και b=β/ln10 ( j j οπότε η σχέση (1) μπορεί να γραφεί σε λογαριθμική μορφή: og [ ng M )] = a bm (14) ( j j Η σχέση αυτή εκφράζει μαθηματικά την 1 η ασύμπτωτη του Gumbel

20 Ηπαράμετροςβ έχει φυσική σημασία καθότι η ποσότητα 1/β αντιπροσωπεύει το μέσο μέγεθος όλων των σεισμών που έχουν μέγεθος μεγαλύτερο από Μ j. Στην περίπτωση που έχουμε σεισμούς πάνω από ορισμένο μέγεθος m, τότε m+1/β είναιτομέσομέγεθοςτωνσεισμώνπουβρίσκονταιστοεύρος των τιμών που μελετάμε. ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΙΣ 2 ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΟΥ ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΊΑ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ.

21 Διαδικασία της μεθοδολογίας Κατά την εφαρμογή της μεθόδου το ολικό χρονικό διάστημα για το οποίο έχουμε δεδομένα διαιρείται σε ίσα μέρη των 2, 3, 4, κτλ. ετών. Αυτό γίνεται όταν δεν έχουμε δεδομένα για κάθε χρόνο. Στη συνέχεια κατατάσσουμε αυτά κατά αύξουσα σειρά, λαμβάνοντας το μέγιστο μέγεθος του σεισμού που συνέβει σε ένα από τα προκαθορισμένα χρονικά διαστήματα. Κατόπιν υπολογίζεται η πιθανότητα G(M j )=1/n+1, κάποια τιμή j να είναι η μεγαλύτερη στο εξεταζόμενο χρονικό διάστημα. Στη συνέχεια με τη σχέση (14) υπολογίζουμε της παραμέτρους α και b αφού χαρτογραφήσουμε την ποσότητα log(-lng) σε συνάρτηση με το μέγεθος του σεισμού. Πρέπει να έχουμε υπόψηότιησχέση(14) όπως είναι εδώ διατυπωμένη ισχύει στην περίπτωση που έχουμε 1 μέγιστοσεισμόανάέτος. Αλλιώς για το α υπολογίζουμε την ποσότητα α κ, όπου κ ο αριθμός των ετών κάθε ενός από τα ίσα διαστήματα στα οποία χωρίστηκε η συνολική χρονική περίοδος που μελετάται.

22 Εδώ πρέπει επίσης να αναφέρουμε τη συνήθη περίπτωση, όπου κάποια από τα ίσα χρονικά μέρη στα οποία χωρίζεται το συνολικό χρονικό διάστημα δεν έχει σεισμούς. Τα διαστήματα αυτά ονομάζονται «κενά χρονικά διαστήματα» ή όπως διεθνώς αναφέρονται σαν «missing years». Ο Burton (1979) ανέφερε ότι για να πάρουμε αξιόπιστα αποτελέσματα πρέπει τα «κενά χρονικά διαστήματα» να είναι στην ακραία περίπτωση το 25% του συνολικού αριθμού των ίσων χρονικών διαστημάτων.

23 3 η ασυμπτωτική κατανομή Αν στη εξίσωση της 3 ης ασυμπτωτικής κατανομής αντικαταστήσουμε την μεταβλητή χ με το Μ j τότε η κατανομή των ακραίων τιμών δίνεται από τη σχέση: κ ( ω M ) III j G ( M j ) = exp (15) ( ) ω u όπου G(M j ) είναι η πιθανότητα ένα μέγεθος Μ j να έχει ακραία τιμή ω, όπου ω είναι (όπως προαναφέραμε) το ανώτατο όριο μεγέθους. Κανένας σεισμός σε μία περιοχή που μελετάμε δεν μπορεί να υπερβεί το ω. Επίσης έχουμε προαναφέρει για την χαρακτηριστική παράμετρο u και για την ιδιότητά της. Η παράμετρος κ=1/λ ονομάζεται «παράμετρος μορφής» και είναι σημαντική για τον καθορισμό της σεισμικότητας μίας περιοχής. Η παράμετρος αυτή σχετίζεται άμεσα με την καμπυλότητα της κατανομής των μεγεθών. Μας δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο η κατανομή πλησιάζει το άνω όριο ω.

24 Όσοητιμήτης1/λ αυξάνειτόσοηκατανομήπλησιάζειτην κατανομή της 1 ης ασύμπτωτης των ακραίων τιμών.

25 Κατά την εφαρμογή της μεθόδου λαμβάνουμε υπόψη μας ότι ισχύουν 2 βασικές προϋποθέσεις: 1) Τα μεγάλα μεγέθη των σεισμών να εμφανίζονται ως τυχαία και να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και 2) Η συμπεριφορά της σεισμικότητας μίας περιοχής στο μέλλον, πρέπει να είναι παρόμοια με αυτήν του παρόντος ή του παρελθόντος. Για την πρώτη προϋπόθεση ο Lomnitz (1964) απέδειξε ότι οι σεισμοί είναι τυχαία και ανεξάρτητα γεγονότα. Επομένως ισχύει η πρώτη προϋπόθεση. Όσον αφορά την δεύτερη προϋπόθεση, αν λάβουμε υπόψη ότιοιγεωτεκτονικέςιδιότητες(από τις οποίες εξαρτάται η σεισμικότητα) μιας περιοχής μεταβάλλονται ασήμαντα σχεδόν, σε σχέση με την μέση περίοδο επανάληψης των μεγάλων σεισμών, τότε θεωρούμε ότι ισχύει και η δεύτερη προϋπόθεση.

26 Ηύπαρξητου«άνω ορίου» μεγέθους στη κατανομή της 3 ης ασύμπτωτης φανερώνει ότι αυτή εκφράζει καλύτερα την φυσική διεργασία των σεισμών. Η στατιστική συμπεριφορά των μεγάλων σεισμών εκφράζεται καλύτερα με αυτήν. Η θεωρητική καμπύλη που περνάειαπόόλατασημείαεκφράζεταιαπότηνσχέση(15). Στην πράξη όμως για κάθε τριάδα (ω, u, 1/λ) η καμπύλη απέχει σε μικρότερο ή σε μεγαλύτερο βαθμό από κάθε σημείο παρατήρησης και εκφράζεται από την σχέση: M j = ω ( ω u) [ ] / ng( M ) 1 λ (16) j για j=1,2,3,,ν

27 Εφαρμογή της GIII σε περιοχές της νότιας Αμερικής- Τιμές ω και λ ω=9.6, λ=0.29 ω=7.7, λ=0.67 ω=8.4, λ=0.51 ω=8.2, λ=0.81

28 Τα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω ισχύουν όταν έχουμε δεδομένα σε ετήσια βάση. Όταν όμως ό αριθμός των ετών από τα οποία αποτελούνται τα ίσα χρονικά διαστήματα που διαιρούν την ολική εξεταζόμενη χρονική περίοδο, είναι μεγαλύτερος του ενός έτους τότε οι τιμές G m ανάγονται σύμφωνα με τον Burton (1977) σε ένα έτος με βάση την σχέση: G 1 = Gm (17) Η πιθανότητα υπέρβασης, δηλαδή ένα μέγεθος σεισμού να μην είναι το μέγιστο ετήσιο αλλά μεγαλύτερο είναι 1-G(M j ) καιημέσηπερίοδος επανάληψης είναι: T ( M j 1 ) = 1 G( M j ) (18)

29 Το πιθανότερο μέγιστο μέγεθος, Μ t των επόμενων t ετών (mode) δίνεται από τη σχέση: M t = ω (1 λ) t ( ω u) (19) λ Η παράμετρος Μ t της σχέση (19) χρησιμοποιήθηκε από τους Tsapanos and Burton (1991) για να καταταχθούν κατά αύξουσα σειρά σεισμικότητας οι 50 περισσότερο σεισμογενείς περιοχές. Με βάση την μελέτη αυτή η χώρα μας καταλαμβάνει την 6 η θέση από άποψη σεισμικότητας στο παγκόσμιο χώρο.

30 Σεισμικές Ακολουθίες Σεισμική ακολουθία ονομάζεται το σύνολο των σεισμών που γεννιούνται σε ένα τόπο κατά την διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος και η συχνότητά τους είναι αυξημένη σε σχέση με την συνήθη σεισμικότητα της περιοχής. Στην περίπτωση των ακολουθιών αν ένας σεισμός έχει μέγεθος σαφώς μεγαλύτερο από κάθε άλλο της ακολουθίας αυτός λέγεται ΚΥΡΙΟΣ ΣΕΙΣΜΟΣ. Οι σεισμοί που προηγούνται από αυτόν με μικρότερα μεγέθη λέγονται ΠΡΟΣΕΙΣΜΟΙ ΟΙ σεισμοί που έπονται του κύριου σεισμού με μικρότερα μεγέθη λέγονται ΜΕΤΑΣΕΙΣΜΟΙ Γενικά ο αριθμός των μετασεισμών μίας σεισμικής ακολουθίας είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των προσεισμών οι οποίοι μπορεί και να ελλείπουν από μία σεισμική ακολουθία.

31 Όταν υπάρχει μία σεισμική ακολουθία που τα μεγέθη της είναι κοντά στις τιμές τους, δηλ. δεν ξεχωρίζει κανένας σεισμός τότε λέμε ότι έχουμε σμήνος σεισμών ή ότι έχουμε σμηνοσειρά.

32 Οι μετασεισμοί συμβαίνουν πάνω στο ενεργό ρήγμα

33 Καταγραφή: προσεισμού-κύριου σεισμού-μετασεισμού

34 Καταγραφή σμηνοσειράς

35 Χρονική Μεταβολή Μετασεισμικής Ακολουθίας ΓΙΑ ΠΟΣΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΔΙΑΡΚΕΙ ΜΙΑ ΜΕΤΑΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ: Η διάρκεια μίας μετασεισμικής ακολουθίας εξαρτάται από το μέγεθος του κύριου σεισμού και ακολουθεί φθίνουσα πορεία. Για παράδειγμα σε έναν κύριο σεισμό με Μ=6.0 η μετασεισμική του ακολουθία διαρκεί περίπου 100 μέρες. Η μετασεισμικές ακολουθίες υπακούν στον νόμο του Omori n ( t ) όπου K είναι μέτρο της μετασεισμικής δράσης (αριθμός σεισμών ανά χρονική μονάδα και c παράμετρος με τιμή περίπου 0.03 μέρες. = c K + t

36 Η φθίνουσα πορεία των μετασεισμών ακολουθούν τον μετασχηματισμένο τύπο του Omori n( t) = ( c K + t) p όπου p είναι ο δείκτης του ρυθμού ελάττωσης της μετασεισμικής ακολουθίας, εξαρτάται από τις ιδιότητας του σεισμογόνου χώρου και έχει τιμές μεταξύ με μέση τιμή την μονάδα. Η τιμή της παραμέτρου b των Gutenberg and Richter έχει μικρότερες τιμές για τους προσεισμούς και μεγαλύτερες για τους μετασεισμούς. Οι διαστάσεις του μετασεισμικού χώρου, εκεί δηλ. που βρίσκονται τα επίκεντρα των μετασεισμών ονομάζεται μετασεισμικός χώρος

37 Η φθίνουσα πορεία μετασεισμικής ακολουθίας

38 Η διαφορά μεταξύ του μεγέθους του μεγαλύτερου προσεισμού και του κύριου σεισμού είναι μεγαλύτερη και πιθανότερο είναι να έχει τιμή 2 μονάδων μεγέθους. Ο Bath διατύπωσε την άποψη ότι η διαφορά μεταξύ του κύριου σεισμού και του μεγαλύτερου μετασεισμού έχουν στατιστικά διαφορά Μ Μ 1 =1.2 ΗσχέσηαυτήείναιγνωστήσανΝόμος του Bath και έχει γίνει αντικείμενο πολλών συζητήσεων μεταξύ των επιστημόνων γιατί ο Bath απλώς διατύπωσε την άποψη και ούτε καν δημοσίευσε κάποια εργασία που να την αποδεικνύει.

39 Ο Tsapanos (1990) μελέτησε 145 σεισμικές ακολουθίες επιφανειακών σεισμών από όλο τον κόσμο που είχαν μέγεθος κύριου σεισμού Μ>7.0. Βρήκε ότι η διαφορά μεταξύ του κύριου σεισμού και του μεγαλύτερου μετασεισμού κυμαίνονται από 0.1 μέχρι 2.6. Ο μέσος όρος τους ήταν 1.4 μονάδες μεγέθους. Βρήκε επίσης ότι η διαφορά αυτή δεν είναι μονοσήμαντη σε μία τιμή αλλά έχει δύο τιμές. Η μία ανήκει στις μικρές διαφορές ( ) και έχει επικρατούσα τιμή 1.2 (όσο δηλαδή αυτή που διατύπωσε και ο Bath) και η άλλη ανήκει στις μεγάλες διαφορές ( ) με επικρατούσα τιμή 1.8. Οι διαφορές αυτές πιστοποιήθηκαν με διάφορα στατιστικά tests. Στη συνέχεια ερμήνευσε τις διαφορές αυτές χρησιμοποιώντας την θεωρία των λιθοσφαρικών πλακών.

40

41 Μελετώντας μετασεισμικές ακολουθίες από όλη τη Γη ο Tsapanos και οι συνεργάτες του (1988) βρήκαν ότι η πιθανότητα να εκδηλωθεί ο μεγαλύτερος μετασεισμός μέσα στις επόμενες 24 ώρες μετά τον κύριο σεισμό είναι 50%. Η ίδια επίσης πιθανότητα βρέθηκε να εκδηλωθεί ο κύριος σεισμός μέσα στις επόμενες 24 ώρες μετά τον μεγαλύτερο μετασεισμό. Ο Papazachos (1974) βρήκε πιθανότητα 53% να γίνει ο μεγαλύτερος μετασεισμός τις επόμενες 24 ώρες μετά τον κύριο σεισμό, μελετώντας τις σεισμικές ακολουθίες της χώρας μας. Με νεώτερα στοιχεία από την Ελλάδα ο Κουρουζίδης (2003) βρήκε πιθανότητα 47% εκδήλωσης του μεγαλύτερου μετασεισμόυ μετά τον κύριοι σεισμό ενώ το ποσοστό αυτό ανεβαίνει στο 65% για την εκδήλωσή του μία εβδομάδα μετά τον κύριο σεισμό.

42 Φυσική Ερμηνεία για τον Τρόπο Γένεσης των σεισμικών ακολουθιών Για το θέμα αυτό έχουν διατυπωθεί βασικά 3 απόψεις. Ο Benioff (1951) διατύπωσε ότι οι μετασεισμοί οφείλονται σε ερπυσμό (creeping) του υλικού του σεισμικού χώρου μετά την γένεση του κυρίως σεισμού.

43 Σύμφωνα με τον Mogi (1962) προσεισμοί συμβαίνουν σε ανώμαλα σημεία ανομοιογενούς μέσου όπου συμβαίνουν τοπικές αυξήσεις τάσεων. Ο κύριος σεισμός δεν εκλύει όλη την σεισμική ενέργεια και η υπόλοιπη ενέργεια εκλύεται με μορφή μετασεισμών. Ο αριθμός των μετασεισμών είναι μεγαλύτερος γιατί ο κύριος σεισμός προκαλεί νέες ρωγμές δηλ. νέες εστίες μετασεισμών. Όταν το υλικό του σεισμικού χώρου είναι ομογενές δε συμβαίνουν προσεισμοί αλλά μόνο μετασεισμοί. Όταν το υλικό είναι ανομοιογενές συμβαίνουν και προσεισμοί. Όταν το υλικό παρουσιάζει μεγάλη ανομοιγένεια συμβαίνουν σμηνοσεισμοί. Η τρίτη άποψη που διατυπώθηκε τελευταία, λέει ότι η ανομοιογενής κατανομή των τάσεων στο σεισμογόνο ρήγμα είναι η βασική αιτία γένεσης προσεισμών και μετασεισμών, Αυτό σχετίζεται με την διαδικασία της διάρρηξης στον σεισμογόνο χώρο.

συνάρτηση κατανομής πιθανότητας

συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Στατιστική των σεισμών Κεφ.13 Θ.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Τμήμα Γεωλογίας Η στατιστική των σεισμών ασχολείται λί με τη μελέτη της κατανομής των σεισμών λαμβάνοντας υπ όψη σαν κύρια παράμετρο το σεισμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμική Επικινδυνότητα Κεφ.21

Σεισμική Επικινδυνότητα Κεφ.21 Σεισμική Επικινδυνότητα Κεφ.21 Αθήνα, 1999 Ε. Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Τμήμα Γεωλογίας Σεισμική επικινδυνότητα Ορισμοί Μεθοδολογίες Μοντέλα περιγραφής σεισμικότητας Εξασθένιση σεισμικής κίνησης Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμική Πρόγνωση Κεφάλαιο 15. Σώκος Ευθύμιος Λέκτορας

Σεισμική Πρόγνωση Κεφάλαιο 15. Σώκος Ευθύμιος Λέκτορας Σεισμική Πρόγνωση Κεφάλαιο 15 Σώκος Ευθύμιος Λέκτορας Σεισμική Πρόγνωση Από πολύ παλιά ο άνθρωπος προσπάθησε να προβλέψει τους σεισμούς Μετεωρολογικά φαινόμενα Ο Παυσανίας κατέγραψε «πρόδρομα» φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ

ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ 1 ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ 2 ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ 3 ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ ΙΕΡΑ ΜΟΝΗ ΣΤΑΥΡΟΝΙΚΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕΙΣΜΩΝ

Κεφάλαιο 7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕΙΣΜΩΝ Κεφάλαιο 7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕΙΣΜΩΝ Κατά την γένεση ενός σεισμού υπάρχει έκλυση ενέργειας λόγω παραμόρφωσης και μετατροπή της σε κυματική ενέργεια που είναι τα σεισμικά κύματα. ΜΕΓΕΘΟΣ Μ, ενός σεισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΟΤΗΤΑΣ R=H*V

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΟΤΗΤΑΣ R=H*V Εισαγωγή - Ορισµοί R=H*V Ο σεισµικός κίνδυνος (R-seismic risk) αποτελεί εκτιµήσεις της πιθανότητας να συµβούν απώλειες που σχετίζονται µε παράγοντες της σεισµικής επικινδυνότητας (ανθρώπινες, κοινωνικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

Εξήγηση του νόμου του Båth με τη βοήθεια του φυσικού χρόνου

Εξήγηση του νόμου του Båth με τη βοήθεια του φυσικού χρόνου Εξήγηση του νόμου του Båth με τη βοήθεια του φυσικού χρόνου Παπαδοπούλου Κωνσταντίνα Α.Μ. : 045 Τριμελής επιτροπή: Βαρώτσος Παναγιώτης Σαρλής Νικόλαος Σκορδάς Ευθύμιος (κύριος επιβλέπων) ΝΟΜΟΣ Båth M max

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΟΝΙΑΣ 26/01/2014

ΣΕΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΟΝΙΑΣ 26/01/2014 ΣΕΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΟΝΙΑΣ 26/01/2014 Στις 13:55 UTC (15:55 ώρα Ελλάδας) της 26/1/2014 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M W =6.1 βαθμών στις δυτικές ακτές της Κεφαλονιάς. Την δόνηση ακολούθησε μετασεισμική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 Στις 20:14 UTC (23:14 ώρα Ελλάδας) της 15/10/2016 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M W =5.3 βαθμών Βορειοδυτικά της πόλης των Ιωαννίνων. Την δόνηση ακολούθησε μετασεισμική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ΤΡΟΠΟΙ ΚΑΙ ΑΙΤΙΑ ΓΕΝΕΣΗΣ ΣΕΙΣΜΩΝ

Κεφάλαιο 9 ΤΡΟΠΟΙ ΚΑΙ ΑΙΤΙΑ ΓΕΝΕΣΗΣ ΣΕΙΣΜΩΝ Κεφάλαιο 9 ΤΡΟΠΟΙ ΚΑΙ ΑΙΤΙΑ ΓΕΝΕΣΗΣ ΣΕΙΣΜΩΝ Οι δυνάμεις που ασκούνται στη πάνω στη Γη εξαιτίας των φυσικών αιτίων που βρίσκονται στο εσωτερικό της Γης είναι τεράστιες. Σαν αποτέλεσμα των δυνάμεων αυτών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ ΛΕΥΚΑΔΑΣ 17/11/2015

ΣΕΙΣΜΟΣ ΛΕΥΚΑΔΑΣ 17/11/2015 ΣΕΙΣΜΟΣ ΛΕΥΚΑΔΑΣ 17/11/2015 Στις 07:10 UTC (09:10 ώρα Ελλάδας) της 17/11/2015 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M W =6.4 βαθμών Νοτιοδυτικά της πόλης της Λευκάδας. Την δόνηση ακολούθησε μετασεισμική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 9ο. Πρόγνωση των Σεισμών

Μάθημα 9ο. Πρόγνωση των Σεισμών Μάθημα 9ο Πρόγνωση των Σεισμών Μακροπρόθεσμη Πρόγνωση των Σεισμών Μεσοπρόθεσμη Πρόγνωση των Σεισμών Βραχυπρόθεσμη Πρόγνωση των Σεισμών 1 1. Εισαγωγή Τα αποτελέσματα της έρευνας για την πρόγνωση συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 Στις 20:14 UTC (23:14 ώρα Ελλάδας) της 15/10/2016 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M W =5.3 βαθμών Βορειοδυτικά της πόλης των Ιωαννίνων. Την δόνηση ακολούθησε μετασεισμική

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ Ν. ΤΗΣ ΛΕΣΒΟΥ (Μ w =6.3, 12/06/2017)

ΣΕΙΣΜΟΣ Ν. ΤΗΣ ΛΕΣΒΟΥ (Μ w =6.3, 12/06/2017) ΣΕΙΣΜΟΣ Ν. ΤΗΣ ΛΕΣΒΟΥ (Μ w =6.3, 12/06/2017) Στις 12:28 UTC (15:28 ώρα Ελλάδας) της 12/06/2017 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M w =6.3 μεταξύ Λέσβου και Χίου, ~15χλμ Ν-ΝΔ των νότιων ακτών της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ Ν. ΤΗΣ ΛΕΣΒΟΥ (Μ w =6.3, 12/06/2017)

ΣΕΙΣΜΟΣ Ν. ΤΗΣ ΛΕΣΒΟΥ (Μ w =6.3, 12/06/2017) ΣΕΙΣΜΟΣ Ν. ΤΗΣ ΛΕΣΒΟΥ (Μ w =6.3, 12/06/2017) Στις 12:28 UTC (15:28 ώρα Ελλάδας) της 12/06/2017 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M w =6.3 μεταξύ Λέσβου και Χίου, ~15χλμ Ν-ΝΔ των νότιων ακτών της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 Στις 20:14 UTC (23:14 ώρα Ελλάδας) της 15/10/2016 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους MW=5.3 βαθμών Βορειοδυτικά της πόλης των Ιωαννίνων. Την δόνηση ακολούθησε μετασεισμική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 8 ο. Η Γένεση των Σεισμών και η Χωροχρονική Κατανομή τους. Τρόπος Γένεσης των Επιφανειακών και των Πλουτωνίων Σεισμών

Μάθημα 8 ο. Η Γένεση των Σεισμών και η Χωροχρονική Κατανομή τους. Τρόπος Γένεσης των Επιφανειακών και των Πλουτωνίων Σεισμών Μάθημα 8 ο Η Γένεση των Σεισμών και η Χωροχρονική Κατανομή τους Τρόπος Γένεσης των Επιφανειακών και των Πλουτωνίων Σεισμών Χωρική Κατανομή των Σεισμών Λιθοσφαιρικές Πλάκες Χρονική Κατανομή των Σεισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016

ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 ΣΕΙΣΜΟΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 15/10/2016 Στις 20:14 UTC (23:14 ώρα Ελλάδας) της 15/10/2016 εκδηλώθηκε ισχυρή σεισμική δόνηση μεγέθους M W =5.3 βαθμών Βορειοδυτικά της πόλης των Ιωαννίνων. Την δόνηση ακολούθησε μετασεισμική

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργά ρήγµατα. Ειδικότερα θέµατα: Ο σεισµός ως φυσικό φαινόµενο. Ενεργά ρήγµατα στον Ελλαδικό χώρο και παρακολούθηση σεισµικής δραστηριότητας.

Ενεργά ρήγµατα. Ειδικότερα θέµατα: Ο σεισµός ως φυσικό φαινόµενο. Ενεργά ρήγµατα στον Ελλαδικό χώρο και παρακολούθηση σεισµικής δραστηριότητας. Ενεργά ρήγµατα. Ειδικότερα θέµατα: Ο σεισµός ως φυσικό φαινόµενο. Ενεργά ρήγµατα στον Ελλαδικό χώρο και παρακολούθηση σεισµικής δραστηριότητας. Σκοποί του προγράµµατος είναι η εξοικείωση µε το φαινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 2: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 ο. Μέγεθος Σεισμών

Μάθημα 7 ο. Μέγεθος Σεισμών Μάθημα 7 ο Μέγεθος Σεισμών Μέγεθος Σεισμού Σεισμική Ροπή Ενέργεια Σεισμού ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθημα 6ο: Σεισμομετρία ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 1 Μέγεθος Σεισμού Ορισμός Το μέγεθος, Μ, ενός σεισμού,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΦΑΙΣΤΕΙΑΚΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ. Παπαχαραλάμπου Χρύσα Σβήγκας Νίκος

ΗΦΑΙΣΤΕΙΑΚΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ. Παπαχαραλάμπου Χρύσα Σβήγκας Νίκος ΗΦΑΙΣΤΕΙΑΚΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Παπαχαραλάμπου Χρύσα Σβήγκας Νίκος Τι είναι ; o Μελετά τα σεισμικά κύματα που προέρχονται από ηφαιστειακή δραστηριότητα o Το αντικείμενο της βασίζεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εισαγωγή: Η σεισμικότητα μιας περιοχής χρησιμοποιείται συχνά για την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικών με τις τεκτονικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα εκεί. Από τα τέλη του

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Φαινόµενα ρευστοποίησης εδαφών στον Ελληνικό χώρο Κεφάλαιο 1

Φαινόµενα ρευστοποίησης εδαφών στον Ελληνικό χώρο Κεφάλαιο 1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Εισαγωγικό σηµείωµα Η προκαλούµενη, κατά τη διάδοση των σεισµικών κυµάτων, εφαρµογή κυκλικών διατµητικών τάσεων οδηγεί τους κορεσµένους χαλαρούς αµµώδεις σχηµατισµούς σε συµπύκνωση.

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμικές παράμετροι. Κεφάλαιο 12

Σεισμικές παράμετροι. Κεφάλαιο 12 Σεισμικές παράμετροι Κεφάλαιο 12 Σεισμικές παράμετροι Σεισμικό μέγεθος Σεισμική ενέργεια Σεισμική ροπή Σεισμική πτώση τάσης Σεισμικό μέγεθος Προέκυψε από την προσπάθεια εκτίμησης της εκλυόμενης ενέργειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής Τάση συγκέντρωσης Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης Τάση διασποράς Μέτρα Διασποράς Σχήμα Σχήμα της κατανομής Αριθμητικός Μέσος Γεωμετρικός Μέσος Μέτρα Κεντρικής Τάσης Αρμονικός Μέσος Διάμεσος ή Κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 1. Τι είναι σεισμός; Σεισμός είναι η δόνηση του εδάφους που οφείλεται στη θραύση (σπάσιμο) των πετρωμάτων. 2. Πως δημιουργείται ο σεισμός; Ο σεισμός στον πλανήτη μας συνήθως προκαλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρώτο Δίκτυο Σεισμολογικών Σταθμών στη Σελήνη. Ιδιότητες των Σεισμικών Αναγραφών στη Σελήνη. Μηχανισμός και Αίτια Γένεσης των Σεισμών της Σελήνης

Το Πρώτο Δίκτυο Σεισμολογικών Σταθμών στη Σελήνη. Ιδιότητες των Σεισμικών Αναγραφών στη Σελήνη. Μηχανισμός και Αίτια Γένεσης των Σεισμών της Σελήνης Μάθημα 12ο Σεισμολογία της Σελήνης Το Πρώτο Δίκτυο Σεισμολογικών Σταθμών στη Σελήνη Ιδιότητες των Σεισμικών Αναγραφών στη Σελήνη Μέθοδοι Διάκρισης των Δονήσεων της Σελήνης Σεισμικότητα της Σελήνης Μηχανισμός

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών www.othisi.gr 2 Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΜΗΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΜΗΝΟΣΕΙΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΡΙΑ Δ. ΜΕΣΗΜΕΡΗ Πτυχιούχος Γεωλόγος ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΜΗΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. Γεωμετρικής Κατανομής με p=0, Αριθμός επιτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία

σ.π.π. Γεωμετρικής Κατανομής με p=0, Αριθμός επιτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία Ν(n) 2.11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν αντί της ερώτησης "πόσες επιτυχίες σημειώνονται σε n δοκιμές Bernoulli;" ενδιαφέρει η ερώτηση "πόσες δοκιμές απαιτούνται μέχρι να σημειωθεί η πρώτη επιτυχία;", οδηγούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Εξάρτηση της σεισμικής κίνησης από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες

Εξάρτηση της σεισμικής κίνησης από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες Εξάρτηση της σεισμικής κίνησης από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες Μηχανικές ιδιότητες του εδάφους θεμελίωσης Πάχος και δυσκαμψία του επιφανειακού ιζηματογενούς στρώματος Κλίση των στρωμάτων και τοπογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη 14/4/2006

Θεσσαλονίκη 14/4/2006 Θεσσαλονίκη 14/4/2006 ΘΕΜΑ: Καταγραφές δικτύου επιταχυνσιογράφων του ΙΤΣΑΚ από τη πρόσφατη δράση στη περιοχή της Ζακύνθου. Στις 01:05 (ώρα Ελλάδας) της 5 ης Απριλίου 2006 συνέβη στο θαλάσσιο χώρο της Ζακύνθου

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων.

Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 24 ΜΑΡΤΙΟΥ 207 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γεωλογείν περί Σεισμών...3. 2. Λιθοσφαιρικές πλάκες στον Ελληνικό χώρο... 15. 3. Κλάδοι της Γεωλογίας των σεισμών...

ΜΕΡΟΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γεωλογείν περί Σεισμών...3. 2. Λιθοσφαιρικές πλάκες στον Ελληνικό χώρο... 15. 3. Κλάδοι της Γεωλογίας των σεισμών... ΜΕΡΟΣ 1 1. Γεωλογείν περί Σεισμών....................................3 1.1. Σεισμοί και Γεωλογία....................................................3 1.2. Γιατί μελετάμε τους σεισμούς...........................................

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ. Σκορδύλης Καθηγητής Σεισμολογίας Τομέας Γεωφυσικής, Α.Π.Θ.

Ε.Μ. Σκορδύλης Καθηγητής Σεισμολογίας Τομέας Γεωφυσικής, Α.Π.Θ. Ε.Μ. Σκορδύλης Καθηγητής Σεισμολογίας Τομέας Γεωφυσικής, Α.Π.Θ. 223 Μa 200 Μa 135 Μa 35 Μa Present 2 Σχετικές Κινήσεις Λιθοσφαιρικών Πλακών 1. Απόκλισεις λιθοσφαιρικών πλακών (μεσο-ωκεάνιες ράχες) 2. Εφαπτομενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΒΟΛΗ ΣΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΒΡΑΦΤΠΡΟΘΕΜΗ ΠΡΟΚΛΗΗ ΕΙΜΙΚΟΣΗΣΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΙΦΤΡΟΤ ΕΙΜΟΤ

ΤΜΒΟΛΗ ΣΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΒΡΑΦΤΠΡΟΘΕΜΗ ΠΡΟΚΛΗΗ ΕΙΜΙΚΟΣΗΣΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΙΦΤΡΟΤ ΕΙΜΟΤ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΘΕΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΣΟΜΕΑ ΓΕΩΥΤΙΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ Κ. ΑΔΑΜΑΚΗ ΤΜΒΟΛΗ ΣΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΒΡΑΦΤΠΡΟΘΕΜΗ ΠΡΟΚΛΗΗ ΕΙΜΙΚΟΣΗΣΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΙΦΤΡΟΤ ΕΙΜΟΤ ΔΙΑΣΡΙΒΗ ΕΙΔΙΚΕΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα