Μηχανική Ι - Στατική

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #6: Δικτυώματα (Μέθοδος Κόμβων) Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί Ενότητας Ο στόχος της 6ης Ενότητας είναι να κατανοήσουν οι σπουδαστές με τις παρακάτω έννοιες: Δικτυώματα Μέθοδος κόμβων Θεωρία δικτυωμάτων 4

5 Περιεχόμενα Ενότητας Ράβδος με αρθρώσεις στα άκρα της Δικτυώματα Μέθοδοι υπολογισμού των δυνάμεων των ράβδων ενός δικτυώματος Θεωρία δικτυωμάτων 5

6 Ράβδος με αρθρώσεις στα άκρα της 6

7 Συνθήκες Έστω Η Β = Ν, οποτε Η Α = -Ν Αν Ν> 0 τότε η ράβδος εφελκύεται Αν Ν<0 τότε η ράβδος θλίβεται 7

8 Τι είναι τα Δικτυώματα Δικτυώματα είναι μια κατασκευή, αποτελούμενη από ράβδους στα ακρα των οποίων υπάρχουν εσωτερικές αρθρώσεις Οι ράβδοι ενός δικτυώματος: 1.Είναι ενδιάμεσα αφόρτιστες 2.Είναι αβαρείς 3.Φέρουν στα άκρα τους αρθρώσεις, οι οποίες καλούνται κόμβοι. 8

9 Στήριξη δικτυώματος Το δικτύωμα στηρίζεται μόνο με αρθρώσεις ή κυλίσεις Τα φορτία που μπορεί να φέρει ένα δικτύωμα είναι δυνάμεις, οι οποίες και εφαρμόζονται μόνο στους κόμβους. 9

10 Μέθοδοι υπολογισμού των δυνάμεων των ράβδων ενός δικτυώματος Μέθοδος κόμβων Μέθοδος τομών (Ritter) Μέθοδος Cremona * Οι δυνάμεις των ράβδων αναφέρονται και ως τάσεις των ράβδων * Όταν οι δυνάμεις προκύπτουν θετικές, τότε οι ράβδοι εφελκύονται, ενώ αν είναι αρνητικές, σημαίνει ότι θλίβονται. 10

11 Θεωρία δικτυωμάτων Το δικτύωμα είναι ένα σύστημα ευθύγραμμων ράβδων, οι οποίες συνδέονται στα άκρα τους με αρθρώσεις, έτσι ώστε να αποτελούν ένα στερεό σώμα. Το σημείο στο οποίο συνδέονται δύο ή περισσότερες ράβδοι ονομάζεται κόμβος. Επίπεδο δικτύωμα, είναι ένα δικτύωμα στο οποίο οι άξονες των ράβδων και οι εξωτερικές δυνάμεις που το φορτίζουν, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Παράδειγμα επίπεδου δικτυώματος αποτελεί το δικτύωμα γέφυρας του σχήματος. 11

12 Φόρτιση επίπεδου δικτυώματος 12

13 Ανάλυση του δικτυώματος Όπως είναι ήδη γνωστό, κατά την εφαρμογή μιας δύναμης Ρ σε κάποιον από τους κόμβους, θα εμφανιστούν αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, καθώς και εσωτερικές αξονικές δυνάμεις στις ράβδους, οι οποίες ονομάζονται τάσεις. Ο καθορισμός των τάσεων αυτών, αποτελεί την λεγόμενη "ανάλυση του δικτυώματος". Για τα δικτυώματα, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί: α') Οι κόμβοι συμβολίζονται με γράμματα της αλφαβήτου κ.λ.π. β') Οι ράβδοι συμβολίζονται με αριθμούς 1,2,3,4 κ.λ.π. γ') Οι τάσεις συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα S ή N, το οποίο έχει σαν δείκτη τον αριθμό της ράβδου. Για παράδειγμα, η τάση της ράβδου 4 συμβολίζεται S4 και εδώ είναι θλιπτική. δ') Οι εξωτερικές δυνάμεις και οι αντιδράσεις συμβολίζονται (συνήθως) με λατινικά γράμματα. 13

14 Μέθοδοι ανάλυσης δικτυώματος Για την ανάλυση ενός δικτυώματος, γίνονται οι παρακάτω παραδοχές: 1) Οι ράβδοι συνδέονται μεταξύ τους με αρθρώσεις, χωρίς τριβές. 2) Όλα τα φορτία του συστήματος επενεργούν μόνο στους κόμβους 3) Οι κεντροβαρικοί άξονες των ράβδων, διέρχονται από το θεωρητικό σημείο του κόμβου. Τέλος υπάρχουν τρεις βασικές μέθοδοι ανάλυσης ενός δικτυώματος: α' ) Μέθοδος των κόμβων. β' ) Μέθοδος των τομών - Rίtter. γ' ) Μέθοδος Βοw - Cremona. 14

15 Μέθοδος ισορροπίας των κόμβων Η χρήση της μεθόδου αυτής είναι περιορισμένη και εφαρμόζεται κυρίως όταν οι γωνίες που σχηματίζουν μεταξύ των οι ράβδοι του δικτυώματος και τα εξωτερικά φορτία είναι τέτοιες που να δίνουν γνωστούς τριγωνομετρικούς αριθμούς (30, 45, 60 ). Μετά τον υπολογισμό των αντιδράσεων στις στηρίξεις του δικτυώματος, εξετάζουμε αναλυτικά την ισορροπία κάθε κόμβου του, ξεκινώντας και συνεχίζοντας σε κόμβο όπου υπάρχουν μέχρι δύο άγνωστες δυνάμεις ράβδων. Αυτό γίνεται επειδή οι εξισώσεις που διατίθενται για να εκφράσουμε την ισορροπία κάθε κόμβου, με το σύστημα των ορθογωνίων συντεταγμένων που εγκαθιστούμε νοητά σ' αυτόν, είναι δύο: ΣFx=0 και ΣFy=0 15

16 Παρατηρήσεις Η εξίσωση ΣM=0 δεν έχει νόημα αφού οι δυνάμεις είναι συντρέχουσες και ο κόμβος θεωρείται σαν άρθρωση. Κατά την εισαγωγή της άγνωστης δύναμης μιας ράβδου η φορά της ορίζεται αυθαίρετα. Το θετικό ή αρνητικό πρόσημο που προκύπτει από την επίλυση των εξισώσεων δηλώνει αντίστοιχα τη σωστή ή λανθασμένη επιλογή της φοράς. Παρατήρηση: Όταν σε κόμβο συντρέχουν: α) δύο ράβδοι ή δυνάμεις που κείνται επ' ευθείας β) μία τρίτη ράβδος λοξή ή κάθετη, τότε η δύναμη της τρίτης ράβδου είναι πάντα μηδενική ενώ οι άλλες δύο είναι ίσες και αντίθετες. Η όλη διαδικασία της μεθόδου φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. 16

17 Παράδειγμα Του εικονιζόμενου δικτυωτού φορέα να προσδιοριστούν με την αναλυτική μέθοδο ισορροπίας των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων του, καθώς και το είδος της κάθε μιας. 17

18 Λύση - Αντιδράσεις Αντιδράσεις: ΣΜΑ=0 => 4*α 1*α Β*3α = 0 => Β=1kΝ ΣFy=0 => Ay = 0 => Ay=3kN ΣFx=0 =>- Ax + 1 = 0 => Ax= 1kN Μετά τον υπολογισμό των αντιδράσεων και την κατασκευή του διαγράμματος ελευθέρου σώματος, ξεκινάμε, εξετάζοντας την ισορροπία του κόμβου Β, όπου συντρέχουν δύο μόνον άγνωστες δυνάμεις ράβδων. 18

19 Ισορροπία κόμβου Β Σχεδιάζουμε τον κόμβο Β με όλες τις γνωστές δυνάμεις που ασκούνται σ' αυτόν (εδώ γνωστή είναι μόνο η Β = 1 kn), εισάγοντας π.χ. την Si εφελκυστική και την S2 θλιπτική. 19

20 Συνέχεια ισορροπίας Β Ξεκινάμε από τη σχέση Σy = 0, για να αποφύγουμε την S2: ΣFy=0 => 1 S1ημ45º= 0 ή S1 = 1 / 0,707 = 1,41 kn ΣFx=0 => S2-1,41ημ45º= 0 ή S2 = 1,41*0,707 = 1 kn Επειδή τα πρόσημα που βρέθηκαν για τις δυνάμεις S 1 και S 2 είναι θετικά, σημαίνει ότι οι φορές που εκλέχτηκαν είναι σωστές. Τις σωστές αυτές φορές μεταφέρουμε στο Σχ. 7_3, δίπλα στον κόμβο που εξετάζουμε την ισορροπία του, και στη συνέχεια, σύμφωνα με την αρχή της δράσης - αντίδρασης, σημειώνουμε, σε κάθε ράβδο που υπολογίσαμε, τις αντίθετες φορές δίπλα στον απέναντι κόμβο της. Τώρα παρατηρούμε ότι η ράβδος 1 εφελκύει τον κόμβο Β, άρα και η ίδια εφελκύεται με δύναμη 1,41 kn, οπότε εφελκύει και τον απέναντι του Β κόμβο Δ, με την ίδια δύναμη. 20

21 Το εφελκυστικό αποτέλεσμα της δύναμης Καταγράφουμε λοιπόν στον πίνακα δυνάμεων των ράβδων (που ακολουθεί στο τέλος), το εφελκυστικό αποτέλεσμα της δύναμης για τη ράβδο 1, σαν + 1,41 (kn). Αντίθετα η ράβδος 2 θλίβει τον κόμβο Β, άρα και η ίδια θλίβεται με δύναμη 1 kn, οπότε θλίβει και τον απέναντι του Β κόμβο Ζ, με την ίδια δύναμη. Το νέο αυτό αποτέλεσμα καταγράφουμε στον πίνακα σαν - 1. Επειδή στον κόμβο Ζ συντρέχουν τρεις άγνωστες δυνάμεις, πηγαίνουμε υποχρεωτικά στον κόμβο Δ όπου υπάρχουν μόνο δύο και ακολουθούμε την ίδια πορεία. 21

22 Ισορροπία κόμβου Δ Εδώ εισάγουμε εφελκυστικές και τις δύο άγνωστες δυνάμεις S 3 και S 6, οπότε έχουμε: ΣFx =0 => - S6 + 1,41* ημ45º + 1 =0 => S6 = 2 kn ΣFy =0 => S3 + 1,41*συν45º=0 => S3 = -1kN Σχ.7_5 22

23 Ισορροπία κόμβου Δ συνέχεια Ενώ το θετικό πρόσημο της S6 σημαίνει τη σωστή εφελκυστική φορά της, το αρνητικό πρόσημο της S3 σημαίνει ότι η σωστή της φορά είναι αντίθετη της εφελκυστικής που εκλέχτηκε, δηλαδή ότι είναι θλιπτική. Μεταφέροντας τις σωστές φορές στο Σχ. 7_3 και τις αντίθετές τους στους απέναντι κόμβους, μετά τη διαπίστωση του εφελκυσμού στη ράβδο 6 και της θλίψης στη ράβδο 3, καταγράφουμε στον πίνακα τα αποτελέσματα σαν + 2 και - 1 αντίστοιχα. Παρατήρηση: Από την παραπάνω διεργασία γίνεται σαφές ότι, όταν αρχικά παίρνουμε μια άγνωστη δύναμη σαν εφελκυστική τότε το πρόσημο που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης εκφράζει κατ' ευθείαν την πραγματική εντατική κατάσταση της ράβδου. Το αντίθετο συμβαίνει αν αρχικά πάρουμε την άγνωστη δύναμη σαν θλιπτική. 23

24 Ισορροπία κόμβου Ζ ΣFy=0 => 1 S5*συν45º= 0 ή S5 =1,41 kn ΣFy=0 => - S4 1,41* ημ45º= 0 ή S4 = -2 kn 24

25 Ισορροπία κόμβου Ε Από το αντίστοιχο σχήμα έχουμε ΣFx=0 =. S9*ημ45º + 1,41*συν45º +2= 0 => S9=(1 +2)/0,707 = 4,24kN Επαλήθευση: Σy=0 => 4,24*συν45º ,41* συν45º=3-4+1=0 25

26 Ισορροπία κόμβου Α (Επαλήθευση) ΣFx=0 =>-1 + 4,24* συν45º - 2= =0 ΣFx=0 => 3-4,24* συν45º=3 3=0 26

27 Συμπέρασμα 1 Έτσι ολοκληρώθηκε η εικόνα που παρουσιάζει την εντατική κατάσταση κάθε ράβδου του δικτυώματος, με την παρατήρηση, ότι για κάθε ράβδο, η πραγματική της εντατική κατάσταση είναι αντίθετη από αυτή που φαίνεται εκ πρώτης όψεως. Για παράδειγμα η ράβδος 2, ενώ φαίνεται ότι εφελκύεται, ουσιαστικά θλίβεται, επειδή όπως αναφέραμε θλίβει τους κόμβους στα άκρα της. Η επαλήθευση που γίνεται στο τέλος δεν αποτελεί μέρος της επίλυσης του δικτυώματος και γι αυτό δεν είναι υποχρεωτική. Όμως όταν γίνεται και ισχύει, δείχνει ότι τόσο οι αντιδράσεις του δικτυώματος όσο και οι δυνάμεις των ράβδων του έχουν υπολογιστεί σωστά. Έτσι ο μελετητής αποκτά την απαραίτητη σιγουριά για τους υπολογισμούς που έκανε, ώστε να προχωρήσει μετά στο βασικό σκοπό,που είναι ο καθορισμός της διατομής κάθε ράβδου. 27

28 Συμπέρασμα 2 Οι εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για επαλήθευση, στην ουσία περίσσεψαν από τις διατιθέμενες εξισώσεις ισορροπίας των κόμβων του δικτυώματος, λόγω της χρήσης των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας, για τον υπολογισμό των αντιδράσεων. Πραγματικά, σε δικτύωμα k κόμβων, αν στον αριθμό 2k-3 των δυνάμεων των ράβδων που πρέπει να υπολογιστούν, προσθέσουμε τις 3 αντιδράσεις στήριξης που εμφανίζονται στους ισοστατικούς φορείς, προκύπτουν συνολικά 2k = 2k άγνωστες δυνάμεις, οι οποίες θα υπολογιστούν κανονικά από τις 2k εξισώσεις που θα προκύψουν λόγω της ισορροπίας των k κόμβων ( ΣFx = 0, ΣF y = 0 ). Ο λόγος για τον οποίο προσδιορίζουμε πρώτα τις αντιδράσεις ενός δικτυώματος είναι για να βρεθεί κόμβος που να συντρέχουν μόνο 2 άγνωστες δυνάμεις, αφού στον κόμβο της στήριξης η αντίδραση δεν παύει να είναι μια άγνωστη δύναμη. 28

29 Τέλος Ενότητας