Ανάλυση και σχεδίαση κεραιών ΜΙΜΟ με τη χρήση μοντελοποίησης καναλιού μέσω θεωρίας γραφημάτων

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών Διπλωματική εργασία Ανάλυση και σχεδίαση κεραιών ΜΙΜΟ με τη χρήση μοντελοποίησης καναλιού μέσω θεωρίας γραφημάτων Ζέρβας Ιωάννης Επιβλέπων Καθηγητής : Τραϊανός Β. Γιούλτσης Θεσσαλονίκη 2015

2

3 Ο κόσμος μόνο όταν τον μοιράζεσαι υπάρχει Τάσος Λειβαδίτης

4

5 Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω από καρδιάς όσους με στήριξαν στα χρόνια των σπουδών μου. Ιδιαιτέρως ευχαριστώ τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Τραϊανό Γιούλτση, για την καθοδήγηση και τη βοήθεια κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διπλωματικής μου εργασίας. Ευχαριστώ την Ίριδα. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά μου που ως φοιτητή με περιέβαλε με αγάπη και εμπιστοσύνη. Θεσσαλονίκη, 2015 Ζέρβας Ιωάννης

6

7 Περίληψη Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη, ανάλυση και προσομοίωση συστημάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων (ΜΙΜΟ), με την χρήση διαγραμμάτων διάδοσης για την μοντελοποίση του καναλιού. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία αναδρομή στην ιστορία των τηλεπικοινωνιών και παρουσιάζονται κάποιες βασικές αρχές των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Επίσης γίνεται αναφορά στο αντικείμενο της Θεωρίας Πληροφοριών, καθώς εκεί βασίζονται έννοιες οι οποίες μελετώνται στην συνέχεια την εργασίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο, περιγράφεται η λογική και η δομή των ΜΙΜΟ συστημάτων. Περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο τα συστήματα αυτά αξιοποιούν το φαινόμενο των πολλαπλών διαδρομών (multipath), έτσι ώστε να πετύχουν αύξηση της χωρητικότητας καναλιού. Ορίζεται επίσης ο πίνακας μεταφοράς του καναλιού στον οποίο περιέχονται στοιχεία που περιγράφουν τα χαρακτηριστικά του καναλιού. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται λεπτομερώς η μοντελοποίηση του καναλιού μέσω των διαγραμμάτων διάδοσης. Εισάγονται ακόμα τα χαρακτηριστικά των κεραιών και ο τρόπος με τον οποίο καθορίζουν αυτά την διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Περιγράφεται επίσης ο τρόπος με τον οποίο σκεδάζονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα σε σώματα με διαστάσεις συγκρίσιμες με το μήκος κύματος. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάται το φαινόμενο της σύζευξης, που οφείλεται στην γειτνίαση των κεραιών του πομπού και του δέκτη, και ο τρόπος με τον οποίο επηρεάζει τον συνολικό πίνακα καναλιού. Επιπρόσθετα προτείνεται η τοποθέτηση γραμμής μεταφοράς μεταξύ των κεραιών, έτσι ώστε να αντιμετωπιστεί η υποβάθμιση της απόδοσης του καναλιού που οφείλεται στη σύζευξης. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, σχολιάζονται οι προσομοιώσεις και οι παραδοχές που έγιναν στα πλαίσια αυτών. Παρουσιάζονται επίσης τα συγκριτικά αποτελέσματα, τα οποία αποδεικνύουν, την βελτίωση της χωρητικότητας του καναλιού με χρήση ΜΙΜΟ συστημάτων και συμπεράσματα που προκύπτουν από το σύνολο της εργασίας.

8

9 Πίνακας περιεχομένων 1 Εισαγωγή Αναδρομή στην Ιστορία των Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων Βασική Δομή Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Το Κανάλι στις Ασύρματες επικοινωνίες Θεωρία Πληροφοριών Περιγραφή συστημάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων Οι πρόδρομοι των ΜΙΜΟ συστημάτων Εισαγωγή στα ΜΙΜΟ συστήματα Περιγραφή ΜΙΜΟ συστήματος Χωρητικότητα MIMO συστήματος Χωρητικότητα χωρίς γνώση του καναλιού Χωρητικότητα με γνώση του καναλιού Μοντελοποίηση Καναλιού Εισαγωγικά Περιγραφή γενικών σχέσεων Μοντελοποίηση καναλιού με διαγράμματα διάδοσης Τελικές σχέσεις πίνακα καναλιού Χαρακτηριστικά κεραιών εκπομπής και λήψης Χαρακτηριστικά σκεδαστών Στοιχεία πίνακα γειτνίασης Πίνακα D... 41

10 3.7.2 Πίνακας Τ Πίνακας R Πίνακας Β Σύζευξη κεραιών Αμοιβαία σύνθετη αντίσταση διπόλων Πίνακας σύζευξης πομπού και δέκτη Πρόταση για βελτίωση της χωρητικότητας με χρήση γραμμής μεταφοράς Προσομοιώσεις και σχολιασμός αποτελεσμάτων Σύστημα ΜΙΜΟ χωρίς σύζευξη Χωρητικότητα χωρίς γνώση του καναλιού Χωρητικότητα με γνώση του καναλιού Χωρητικότητα με σύζευξη Χωρητικότητα με ύπαρξη γραμμής μεταφοράς Συμπεράσματα Προεκτάσεις Παράρτημα A Βιβλιογραφία... 76

11 1 Εισαγωγή 1.1 Αναδρομή στην Ιστορία των Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων Οι τηλεπικοινωνίες, με τη θεμελιώδη έννοια του όρου, την μεταφορά δηλαδή κάποιου είδους πληροφορίας από έναν αποστολέα σε τουλάχιστον έναν παραλήπτη, εμφανίζονται, ιστορικά, παράλληλα με τις περισσότερες προσπάθειες του ανθρώπου να δημιουργήσει ένα οργανωμένο κοινωνικό σύνολο. Ως εκ τούτου, έχουν καταγραφεί πολλές, διαφορετικές σε σύλληψη, προσπάθειες του ανθρώπου, να επινοήσει αξιόπιστα συστήματα, μέσω των οποίων να είναι δυνατόν η εκάστοτε πληροφορία να μεταδίδεται ταχύτερα από ό,τι μπορεί να κινηθεί ο άνθρωπος βάσει των σωματικών του δυνατοτήτων. Από τους φωτεινούς αναμεταδότες, φρυκτωρίες, και τον οπτικό τηλέγραφο στην Αρχαία Ελλάδα, μέχρι τα ταχυδρομικά περιστέρια, ο άνθρωπος εξάντλησε την δημιουργικότητά του, χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε μέσο διέθετε, την εκάστοτε εποχή. Ωστόσο, είναι αναμφισβήτητο ότι κανένα άλλο γεγονός δεν επηρέασε τόσο την εξέλιξη των τηλεπικοινωνιών, όσο η εμφάνιση του ηλεκτρισμού. H εφεύρεση του ηλεκτρικού στοιχείου το 1799 από τον Alessandro Volta ενέπνευσε πολλούς επιστήμονες. Το 1839 παρουσιάζεται ο ηλεκτρικός τηλέγραφος, ενώ μέχρι το 1850 εγκαταστάθηκαν τηλεγραφικές γραμμές σε Αμερική, Ευρώπη και Μέση Ανατολή. Εξέλιξη του τηλέγραφου αποτέλεσε το τηλέφωνο, καθώς, όταν διαπιστώθηκε η δυνατότητα ταυτόχρονης εκπομπής διαφόρων τόνων, ήταν πια κοντά η μετάδοση της ανθρώπινης φωνής. Η εξέλιξη του τηλεφώνου υπήρξε ραγδαία και μέχρι το 1880, στην Αμερική, λειτουργούσαν περίπου τηλεφωνικές συσκευές.

12 Εισαγωγή 2 Στα 1864, ο Βρετανός φυσικός James Clark Maxwell, βασιζόμενος σε εργασίες και μελέτες προγενέστερων επιστημόνων, προέβλεψε την ύπαρξη της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας και διατύπωσε τη βασική ηλεκτρομαγνητική θεωρία του, η οποία επαληθεύτηκε πειραματικά το 1887 από τον Hertz. O Maxwell ήταν αυτός που διατύπωσε με κομψό και σοβαρό τρόπο την αλληλεξάρτηση ηλεκτρισμού και μαγνητισμού και με αυτήν την έννοια ενοποίησε τον ηλεκτρομαγνητισμό, με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που ο Νεύτωνας είχε ενοποιήσει την μηχανική με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης. Είχαν πλέον ωριμάσει οι συνθήκες για την ανάπτυξη των ασύρματων επικοινωνιών. Η πρώτη ασύρματη συσκευή μετάδοσης πληροφορίας ήταν ο ασύρματος τηλέγραφος, ο οποίος παρουσιάστηκε από τον Guilielmo Marconi, ο οποίος, σε πρώτη φάση βέβαια, επανέλαβε τα πειράματα του Hertz. Ο Marconi ήταν ο πρώτος που κατάφερε την υπερατλαντική ασύρματη ζεύξη και γι αυτό τον λόγο κέρδισε τον διεθνή σεβασμό. Βέβαια, θα πρέπει να σημειωθεί ότι, πέρα από την επιστημονική του συνεισφορά, κατάφερε να γράψει το όνομά του στις πιο μαύρες σελίδες της ιστορίας της ανθρωπότητας, καθώς αργότερα στη ζωή του υπήρξε καθοδηγητικό στέλεχος του ιταλικού φασιστικού κόμματος. Αξίζει ακόμα να αναφερθεί η έρευνα του Harry Nyquist, ο οποίος στη διάρκεια της δεκαετίας του 1920 έθεσε τις βάσεις για την ανάπτυξη των ψηφιακών επικοινωνιών. Ο Nyquist παρουσίασε τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ του διαθέσιμου εύρους ζώνης καναλιού και του μέγιστου δυνατού ρυθμού μετάδοσης πληροφορίας, που εξασφαλίζει μηδενική παρεμβολή μεταξύ των μεταδιδόμενων παλμών. Η σχέση αυτή οδήγησε στο περίφημο Θεώρημα Δειγματοληψίας, το οποίο αποτέλεσε τη βάση για τη θεώρηση της πληροφορίας ως διαδικασίας διακριτού χρόνου. Την ίδια χρονική περίοδο, ο Ralph Hartley έθετε τις βάσεις για τη θεωρία πληροφοριών, διαπιστώνοντας: Το λαμβανόμενο σήμα πληροφορίας στον δέκτη συνδέεται άμεσα με την αβεβαιότητα που υπάρχει για το εκπεμπόμενο σήμα-μήνυμα και η ποσότητα της πληροφορίας που περιέχει αυτό, είναι ανάλογη του λογάριθμου του πλήθους των πιθανών σημάτων-μηνυμάτων που χρησιμοποιεί ο πομπός για την αποστολή πληροφορίας. Τα θεμέλια για την ανάπτυξη των τηλεπικοινωνιών, όπως τις ξέρουμε σήμερα, μπήκαν στην δεκαετία Σημαντικότερη ίσως συνεισφορά είχε ο Claude Elwood Shannon, ο οποίος, βασιζόμενος στις μελέτες των Nyquist και Hartley, απέδειξε τις βασικές θεωρήσεις τους, ανέπτυξε την έννοια της χωρητικότητας καναλιού και θεμελίωσε την Θεωρία Πληροφοριών. Χρονολογία σταθμός θεωρείται η χρονιά που ο Shannon δημοσίευσε την διάσημη εργασία

13 Εισαγωγή 3 του Μαθηματική Θεωρία των Επικοινωνιών (A Mathematical Theory of Communication), η οποία αποτελεί την πρώτη ολοκληρωμένη μαθηματική απόπειρα θεμελίωσης της Θεωρίας Πληροφορίων. Ο Shannon πίστευε ότι η πληροφορία δεν διαφέρει από οποιοδήποτε άλλο φυσικό μέγεθος, συνεπώς, είναι δυνατή η μέτρηση και o χειρισμός της από μηχανές. Στην προαναφερθείσα εργασία εισάγεται για πρώτη φορά μια μονάδα μέτρησης της πληροφορίας: το δυαδικό ψηφίο (binary digit), που αργότερα συντμήθηκε σε binit και στη συνέχεια στο γνωστό bit. Η σημαντικότερη συνεισφορά του Shannon είναι ότι παρείχε τα μαθηματικά εργαλεία που απαιτούνται, για την μέτρηση της απόδοσης ενός καναλιού επικοινωνίας, δηλαδή πόση πληροφορία μπορεί να ξεκινήσει από ένα σημείο και να φτάσει σε ένα άλλο, χωρίς σφάλματα. Η εφεύρεση του τρανζίστορ το 1947 αλλά και του ολοκληρωμένου κυκλώματος αργότερα, κατέστησαν δυνατή την υλοποίηση των περισσότερων θεωρητικών ανακαλύψεων, των προηγούμενων ετών. Υπό αυτή την έννοια, η δεκαετία του 1950 θεωρείται η απαρχή των ασύρματων επικοινωνιών, όπως τις ξέρουμε σήμερα. Τις δεκαετίες που ακολούθησαν, εμφανίστηκαν οι δορυφορικές επικοινωνίες, τα κυψελωτά συστήματα κινητής τηλεφωνίας, το Διαδίκτυο και τόσες ακόμα εφαρμογές και υπηρεσίες, οι οποίες άλλαξαν εκ βάθρων τη ζωή και την καθημερινότητα του ανθρώπου. Τις τελευταίες δεκαετίες οι χρήστες ασύρματων επικοινωνιών αυξάνονται με ασύλληπτους ρυθμούς, με παράλληλη ζήτηση για ολοένα ταχύτερη και πιο αξιόπιστη μετάδοση πληροφορίας, ενώ το διαθέσιμο φάσμα είναι πεπερασμένο και σχεδόν εξ ολοκλήρου κατειλημμένο. Ως εκ τούτου, αναζητήθηκαν καινοτόμες μέθοδοι και εφαρμογές, έτσι ώστε να καλυφθούν οι απαιτήσεις της εποχής. Σε αυτά τα πλαίσια εμφανίστηκε, εκτός των άλλων, η θεωρία των συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων-Εξόδων (Multiple Input Multiple Output), ή αλλιώς MIMO, όπως είναι η ονομασία που επικράτησε. Τέτοιου είδους συστήματα θα εξεταστούν στην συνέχεια της παρούσας διπλωματικής εργασίας. [1-3] 1.2 Βασική Δομή Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Οποιοδήποτε τηλεπικοινωνιακό σύστημα, ανεξάρτητα από την εφαρμογή που χρησιμοποιείται, αποτελείται από κάποιες βασικές δομικές μονάδες. Το γενικό δομικό διάγραμμα ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος δίνεται στην εικόνα 1.1. Όπως φαίνεται, ο πομπός (transmitter), το κανάλι (channel) και ο δέκτης (receiver) είναι αναπόσπαστα μέρη κάθε συστήματος. Ο πομπός παραλαμβάνει το σήμα πληροφορίας, το οποίο μπορεί να είναι σε

14 Εισαγωγή 4 αναλογική ή ψηφιακή μορφή, από την έξοδο της πηγής πληροφορίας. Το φασματικό περιεχόμενο του σήματος πληροφορίας είναι συγκεντρωμένο γύρω από τη μηδενική συχνότητα και, για τον λόγο αυτό, ονομάζεται σήμα βασική ζώνης (baseband). Επίσης, στον πομπό, συντελούνται δύο βασικές λειτουργίες: γίνεται η απαραίτητη επεξεργασία του σήματος, ούτως ώστε να αντιμετωπιστεί η φθορά που προκαλείται από το κανάλι και η μετατροπή του σήματος βασικής ζώνης σε ζωνοπερατό, η μεταφορά του δηλαδή σε κατάλληλη ζώνη συχνοτήτων, ανάλογα με το είδος του καναλιού. Εικόνα 1.1 Διάγραμμα δομής τηλεπικοινωνιακού συστήματος Το κανάλι είναι το μέσο μετάδοσης της πληροφορίας από τον πομπό στον δέκτη. Κατά την μετάδοση στο κανάλι, προκαλείται εξασθένηση και εισάγεται θόρυβος στο σήμα, γι αυτό ο δέκτης λαμβάνει ένα αλλοιωμένο αντίγραφο του εκπεμπόμενου σήματος. Οι αιτίες του θορύβου ποικίλουν και κάθε μία μπορεί να επιδρά με διαφορετικό τρόπο στην επικοινωνία. Τα κανάλια χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες, τα Hardwire και τα Softwire. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις της πρώτης κατηγορίας είναι τα χάλκινα καλώδια, το ομοαξονικό καλώδιο, οι οπτικές ίνες και οι κυματοδηγοί. Αντίστοιχα, softwire κανάλια είναι ο αέρας ή το κενό, στα οποία η πληροφορία μεταφέρεται σε ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως και το νερό, όπου συνήθως χρησιμοποιούνται ακουστικές συχνότητες. Τέλος, ο δέκτης συμβάλλει στην αξιόπιστη ανάκτηση του σήματος πληροφορίας. Μετατρέπει το λαμβανόμενο ζωνοπερατό σήμα σε σήμα βασικής ζώνης και πραγματοποιεί ανίχνευση του σήματος πληροφορίας. [3]

15 Εισαγωγή Το Κανάλι στις Ασύρματες επικοινωνίες Όπως έχει αναφερθεί προηγουμένως, στις ασύρματες επικοινωνίες το κανάλι, ως επί το πλείστον, είναι ο ελεύθερος χώρος, δηλαδή ο αέρας. Σε κάθε είδος καναλιού αξιώνουμε κάποια συγκεκριμένα χαρακτηριστικά λειτουργίας, έτσι ώστε να μην μειώνεται η αξιοπιστία της ζεύξης. Έτσι, και στο ασύρματο κανάλι επιδιώκεται υψηλή χωρητικότητα, μέγιστος ρυθμός μετάδοσης σε συνδυασμό με μικρή πιθανότητα σφάλμάτος (BER-Bit Error Rate), χαρακτηριστικά τα οποία αναλύονται στη συνέχεια. Για πολλές δεκαετίες, οι ζεύξεις στις ασύρματες επικοινωνίες ορίζονταν αμιγώς ανάμεσα σε κεραίες στις οποίες υπήρχε οπτική επαφή (line-of-sight propagation). Σε αυτήν την περίπτωση οι πιο σημαντικοί μηχανισμοί υποβάθμισης του σήματος είναι διάφορες πηγές θορύβου, όπως ο θερμικός θόρυβος, οι παρεμβολές (interference) μεταξύ διαφορετικών σημάτων λόγω της κοινής χρήσης του καναλιού από πολλούς χρήστες και οι απώλειες διάδοσης (propagation loss). Στις ραδιοζεύξεις ο βασικός μηχανισμός απωλειών οφείλεται στη διάδοση στον ελεύθερο χώρο, και η μείωση που προκαλείται στην λαμβανόμενη ισχύ είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης. Ωστόσο, η εξέλιξη των ασύρματων επικοινωνιών επέφερε αύξηση των χρηστών που βρίσκονται σε αστικό περιβάλλον, όπου η οπτική επαφή πομπού και δέκτη στις περισσότερες περιπτώσεις είναι αδύνατη και ονομάζεται μετάδοση χωρίς οπτική επαφή (Νοn- line-of-sight propagation). Ως εκ τούτου, το ασύρματο κανάλι επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από το περιβάλλον διάδοσης. Στη συνέχεια, αναφέρονται τα βασικότερα φαινόμενα που οφείλονται στην ύπαρξη διαφόρων εμποδίων που παρεμβαίνουν στην διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Ανάκλαση: ονομάζεται το φαινόμενο της αλλαγής διεύθυνσης διάδοσης ενός μετώπου κύματος, μέσα στο ίδιο μέσο, λόγω της πρόσπτωσης σε μια διαχωριστική επιφάνεια. Διάθλαση: πρόκειται για την εκτροπή της διεύθυνσης διάδοσης του κύματος, όταν διέρχεται από ένα μέσο σε ένα άλλο, με διαφορετικές ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες. Η αλλαγή αυτή οφείλεται στη μεταβολή της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. Περίθλαση: ονομάζεται το φαινόμενο της διάχυσης των κυμάτων προς όλες τις κατευθύνσεις, όταν αυτά συναντάνε ένα εμπόδιο ή μία οπή με διαστάσεις παραπλήσιες του μήκους κύματος. Σκέδαση: όταν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε αντικείμενα συγκρίσιμου μεγέθους με το μήκος κύματος, τότε το κύμα διαχέεται προς διαφορετικές διευθύνσεις. Ενδεικτικό

16 Εισαγωγή 6 είναι ότι η ονομασία του συγκεκριμένου φαινομένου προέρχεται από το αρχαίο ρήμα σκεδάννυμι, που σημαίνει διασκορπίζω. Το αποτέλεσμα των παραπάνω φαινομένων είναι ότι ο δέκτης τελικά λαμβάνει πολλά αντίγραφα του αρχικού σήματος, με μεταβαλλόμενο πλάτος και φάση, τα οποία προκύπτουν από την αλληλεπίδραση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος με τα διάφορα σώματα που βρίσκονται στο περιβάλλον διάδοσης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διάδοση πολλαπλών διαδρομών (multipath propagation), ενώ οι παραμορφώσεις που προκαλούνται στο σήμα ονομάζονται διαλείψεις (fading). Οι παραπάνω παράγοντες καθορίζουν την περίπλοκη, στοχαστική σχέση, μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του καναλιού. Όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια, το multipath και το fading ήταν και συνεχίζουν να είναι αντικείμενα μελέτης και έρευνας, λόγω της καθοριστικής σημασίας που έχουν στις επιδόσεις ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος. 1.4 Θεωρία Πληροφοριών Στην ενότητα αυτή, γίνεται μια σύντομη αναφορά στις θεμελιώδης αρχές της Θεωρίας Πληροφοριών, καθώς, στη συνέχεια της εργασίας, μελετώνται έννοιες και μεγέθη που ανήκουν στο συγκεκριμένο γνωστικό πεδίο. Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγική ενότητα, o Shannon είναι γνωστός ως ο πατέρας της Θεωρίας Πληροφοριών, λόγω των εργασιών που δημοσίευσε στο τέλος της δεκαετίες του 1940 και στις αρχές του Είναι χαρακτηριστικό ότι, πριν από την δημοσίευση της εργασίας A Mathematical Theory of Communication, κοινός τόπος μεταξύ των επιστημόνων ήταν ότι η αύξηση του ρυθμού μετάδοσης της πληροφορίας, μέσω του καναλιού, προκαλεί την de facto αύξηση της πιθανότητας σφάλματος. Σε αυτό το σημείο κρίνεται σκόπιμο να αναφερθούν κάποιες βασικές έννοιες. Στην καθημερινή χρήση, η λέξη πληροφορία μπορεί να χρησιμοποιείται με ποικίλες έννοιες, όμως για τα συστήματα επικοινωνιών ορίζεται με πιο αυστηρό τρόπο. Έστω ότι η πηγή πληροφορίας του συστήματος παράγει σύμβολα p 1,p 2,...,p K αντίστοιχα. Προφανώς ισχύει η σχέση m,m,...,m με πιθανότητες εμφάνισης 1 2 K K k1 p k 1 (1.1)

17 Εισαγωγή 7 Τα σύμβολα που εκπέμπονται μπορούν να θεωρηθούν στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους, συνεπώς η αντίστοιχη πηγή ονομάζεται διακριτή πηγή χωρίς μνήμη. Έστω ότι εκπέμπεται το σύμβολο m k, με πιθανότητα p k. Τότε ορίζεται ως ποσότητα πληροφορίας του συμβόλου η λογαριθμική συνάρτηση 1 Ik log pk (1.2) Από την παραπάνω σχέση μπορούν να ορισθούν κάποιες γενικές περιπτώσεις. Αν, για παράδειγμα, η πιθανότητα του συμβόλου είναι pk 1, τότε προφανώς δεν υπάρχει κέρδος πληροφορίας, καθώς μόνο ένα σύμβολο είναι δυνατόν να σταλεί, υπάρχει δηλαδή βεβαιότητα για το ενδεχόμενο του συμβάντος. Όταν για την πιθανότητα ενός συμβόλου ισχύει 0 1, όσο αυτή μειώνεται, η ποσότητα πληροφορίας αυξάνει μονότονα μέχρι το p k άπειρο. Αυτό σημαίνει ότι, όταν ο δέκτης ανιχνεύει σωστά ένα λιγότερο πιθανό σύμβολο, μεταφέρεται μεγαλύτερη ποσότητα πληροφορίας. Επιπλέον, από τις σχέσεις 1.1 και 1.2 προκύπτει ότι Ik 0 για οποιοδήποτε p k, κάτι το οποίο σημαίνει ότι δεν προβλέπεται απώλεια πληροφορίας. Στο διάγραμμα που ακολουθεί φαίνεται η πληροφορία συναρτήσει της πιθανότητας σφάλματος Εικόνα 1.2 Η πληροφορία συναρτήσει της πιθανότητας σφάλματος Στη σχέση 1.2, η βάση του λογάριθμου επιλέγεται αυθαίρετα. Βέβαια, έχει επικρατήσει να χρησιμοποιείται ο λογάριθμος με βάση το 2, γι αυτό η μονάδα μέτρησης της πληροφορίας

18 Εισαγωγή 8 είναι το bit. Σημειώνεται ότι η πληροφορία είναι εξ ορισμού αδιάστατος αριθμός, όμως η μονάδα χρησιμοποιείται ουσιαστικά ως υπενθύμιση για τη βάση του λογάριθμου. Στη συνέχεια, ορίζεται ένα διάστημα μετάδοσης συμβόλων, το οποίο είναι αυθαίρετα μεγάλο. Η ποσότητα πληροφορίας παίρνει τιμές p 1,p 2,...,p K. Η μέση τιμή του I k I 1,I 2,...,I K με πιθανότητες αντίστοιχα, στο συγκεκριμένο διάστημα, δίνεται από τη σχέση K pk log k1 p k H 2 1 (1.3) και πρόκειται για ένα σημαντικό μέγεθος που ονομάζεται εντροπία (entropy). Η εντροπία είναι το μέτρο του μέσου περιεχομένου πληροφορίας ανά σύμβολο και, όπως μαρτυρά η σχέση 1.3, εξαρτάται μόνο από τις πιθανότητες των συμβόλων. Για μια πιο εποπτική παρατήρηση, θεωρείται μία δυαδική πηγή για την οποία η πιθανότητα εμφάνισης του συμβόλου 0 είναι p 0 ενώ του συμβόλου 1 είναι p 1 p 1 0. Επιπλέον, θεωρούμε τα σύμβολά στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η εντροπία μιας τέτοιας πηγής φαίνεται στην εικόνα 1.3. Εικόνα 1.3 Εντροπία δυαδικής πηγής Παρατηρείται ότι όταν p0 0 και p0 1 η τιμή της εντροπίας είναι 0, τιμή η οποία είναι το κάτω όριο της εντροπίας και αντιστοιχεί στην απουσία αβεβαιότητας. Ακόμα, η μέγιστη τιμή της εντροπίας παρατηρείται για p0 p1 12, δηλαδή όταν τα σύμβολα είναι

19 Εισαγωγή 9 ισοπίθανα, κάτι που συνεπάγεται μέγιστη αβεβαιότητα. Οι παραπάνω παρατηρήσεις μπορούν εύκολα να γενικευτούν και για πηγές που δεν είναι δυαδικές. Ένα ακόμα μέγεθος που αναφέρθηκε χωρίς περαιτέρω εξήγηση και σχετίζεται άμεσα με την εντροπία είναι ο ρυθμός μετάδοσης πληροφορίας (bit-rate) R. Αν μία πηγή συμβόλων παράγει r σύμβολα το δευτερόλεπτο, τότε ο ρυθμός μετάδοσης δίνεται από τη σχέση: R rh (1.4) και μπορεί να περιγραφεί ως ο μέσος αριθμός bits πληροφορίας το δευτερόλεπτο. Μετά τον ορισμό του ρυθμού μετάδοσης, είναι η κατάλληλη στιγμή να γίνει μια πιο συγκεκριμένη αναφορά στο θεώρημα του Shannon. Σύμφωνα με τον Shannon και σε ρήξη με τα κεκτημένα της εποχής του, η αύξηση του ρυθμού μετάδοσης δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη την αύξηση της πιθανότητας σφάλματος ή αλλιώς τη μείωση της αξιοπιστίας (reliability) του συστήματος. Αντιθέτως, αποδεικνύεται ότι σε κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστημα είναι δυνατόν να μεταδίδεται πληροφορία, με μία αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος, όσο ο ρυθμός μετάδοσης R δεν υπερβαίνει ένα άνω όριο. Το όριο αυτό ονομάζεται χωρητικότητα καναλιού (channel capacity) και συμβολίζεται με C. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι για ένα σύστημα, ακόμα και το να προσεγγιστεί το όριο που θέτει η χωρητικότητα καναλιού, είναι μία πολύ σύνθετη διαδικασία η οποία ανήκει στον ευρύτερο τομέα της επιστήμης των τηλεπικοινωνιών και ονομάζεται κωδικοποίηση-αποκωδικοποίσηση (coding-decoding). Γίνεται εμφανές ότι η συνεισφορά του Shannon ήταν το ότι όρισε ένα νέο πεδίο έρευνας, η εξέλιξη και η προοπτική του οποίου είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την πολυπλοκότητα της κωδικοποίησης. Μια διαφορετική διατύπωση του θεωρήματος είναι η εξής: αν ο ρυθμός μετάδοσης R υπερβαίνει την προκαθορισμένη τιμή C, η πιθανότητα σφάλματος αυξάνει, τείνοντας στην μονάδα. Αν τώρα θεωρηθεί ότι στο κανάλι επικρατεί προσθετικός λευκός γκαουσιανός θόρυβος (AWGN), φασματική πυκνότητα ισχύος N 0 2, το εύρος ζώνης είναι Β[Hz] και P η μέση εκπεμπόμενη ισχύς, η χωρητικότητα δίνεται από τη σχέση C Blog 2 P 1 (1.5) NB 0 με μονάδα μέτρησης bit ανά δευτερόλεπτο. Η μεγάλη συνεισφορά της σχέση αυτής στα συστήματα επικοινωνιών εντοπίζεται στο γεγονός ότι συνδέει τρία βασικά μεγέθη, την εκπεμπόμενη ισχύ, το εύρος ζώνης και την φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου και

20 Εισαγωγή 10 δίνει το άνω όριο του ρυθμού μετάδοσης για αξιόπιστη επικοινωνία. Παρότι η σχέση 1.5 αναφέρεται σε Gaussian κανάλια, μπορεί να συμβάλλει στην εξαγωγή γενικών συμπερασμάτων, διότι, αφενός τα περισσότερα κανάλια πραγματικών συστημάτων μπορούν να προσεγγιστούν ως Gaussian, αφετέρου, διότι τα χαρακτηριστικά ενός τέτοιου καναλιού προσφέρουν μία εκτίμηση για το χαμηλότερο όριο απόδοσης οποιουδήποτε άλλου καναλιού. Στην παραπάνω σχέση μπορούμε να εισαγάγουμε την σηματοθορυβική σχέση (signal-to-noise ratio) SNR, η οποία ισούται P SNR NB 0 (1.6) Αν η σχέση κανονικοποιηθεί ως προς το εύρος ζώνης, προκύπτει η τελική σχέση της χωρητικότητας C log SNR 2 1 (1.7) με μονάδα μέτρησης bit/sec/hz ή αλλιώς bps/hz. Κατά αντιστοιχία με τη δυαδική πηγή που ορίστηκε προηγουμένως, υπάρχει η περίπτωση του δυαδικού συμμετρικού καναλιού χωρίς μνήμη. Το κανάλι έχει δύο σύμβολα εισόδου ( x 0 0,x 1 1), δύο σύμβολα εξόδου ( y0 0,y1 1) και λέγεται συμμετρικό, διότι η πιθανότητα λήψης του συμβόλου 1, όταν στάλθηκε το 0, είναι ίδια με την πιθανότητα λήψης του 0, όταν έχει σταλεί το 1. [2], [4-6] Στο διάγραμμα της εικόνας μου ακολουθεί φαίνονται τα παραπάνω

21 Εισαγωγή 11 Εικόνα 1.4 Χωρητικότητα δυαδικού καναλιού

22

23 2 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 2.1 Οι πρόδρομοι των ΜΙΜΟ συστημάτων Στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε αναφορά σε κάποιες βασικές έννοιες και παραμέτρους που περιγράφουν κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του 1990, τα συστήματα που αποτελούνταν από μία κεραία στον πομπό και μία στον δέκτη (Single Input Single Output-SISO), είχαν εδραιωθεί στις εφαρμογές αλλά και στην αντίληψη της επιστημονικής κοινότητας. Όπως περιγράφηκε όμως, για τέτοιου είδους συστήματα υπάρχουν συγκεκριμένα και ανυπέρβλητα όρια για τον ρυθμό μετάδοσης, με αξιόπιστο τρόπο (σχέση 1.7). Συγκεκριμένα, σε ένα SISO σύστημα και στην περιοχή των υψηλών SNR η συμπεριφορά την χωρητικότητας είναι σχεδόν γραμμική και αυξάνεται κατά 1 bps/hz, όταν το SNR αυξάνεται κατά 3 db. Η ραγδαία αύξηση των απαιτήσεων όμως, ανάγκασε τους ερευνητές να αναζητήσουν νέες δομές και αρχιτεκτονικές για καλύτερη απόδοση των συστημάτων επικοινωνίας. Σε αυτά τα πλαίσια προτάθηκαν τα συστήματα πολλαπλών εισόδων - πολλαπλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output MIMO), τα οποία αξιοποιούν το φαινόμενο της διάδοσης μέσω πολλαπλών διαδρομών με τέτοιο τρόπο, που επιτυγχάνεται η μετάδοση πολλών ροών δεδομένων (stream data) στο ίδιο κανάλι και με αυτόν τον τρόπο πετυχαίνουν πολλαπλασιασμό της χωρητικότητα της ζεύξης. Η υλοποίηση των MIMO συστημάτων βασίζεται στη χρήση περισσότερων από μία κεραιών στον πομπό ή/και στον δέκτη. Η χρήση πολλών κεραιών δεν ήταν καινούργια, αλλά βασίστηκε σε προηγούμενες μελέτες και τεχνικές, οι οποίες είχαν στόχο να καταπολεμήσουν το multipath, κάτι το οποίο αποτελεί και τη θεμελιώδη διαφορά με τα συστήματα πολλαπλών εισόδων - πολλαπλών εξόδων. Η ρίζα των ΜΙΜΟ ανάγεται στη δεκαετία του 1970, όταν κάποιες ερευνητικές εργασίες αναφέρονταν στα πολυκάναλα (multichannel) συστήματα ψηφιακής μετάδοσης και την παρεμβολή (crosstalk) μεταξύ των αγωγών ενός καλωδίου. [7][8][9]. Οι έρευνες αυτές δεν αναφέρονται στη μετάδοση πολλαπλών stream πληροφορίας, μέσω της αξιοποίησης του φαινομένου του multipath, ωστόσο κάποιες μαθηματικές μέθοδοι, σχετικές με την αμοιβαία παρεμβολή (mutual interference) αποδείχθηκαν χρήσιμες στην ανάπτυξη των MIMO. Κατά

24 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 14 τη δεκαετία του 1980, ο Jack Salz έδωσε ώθηση στην εν εξελίξει έρευνα, εξετάζοντας συστήματα πολλαπλών χρηστών τα οποία λειτουργούν με συζευγμένα γραμμικά δίκτυα με πηγές προσθετικού θορύβου. [10] Αργότερα, αναπτύχθηκαν μέθοδοι που στόχο είχαν την βελτίωση των κυψελωτών δικτύων, καθώς καθιστούσαν πιο αξιόπιστη την επαναχρησιμοποίηση του φάσματος, κάτι το οποίο έχει απασχολήσει τόσους επιστήμονες. Μία μέθοδος ήταν το Space-division Multiple Access - SDMA, όπου επιλέγονται κατευθυντικές ή έξυπνες κεραίες, για την χρησιμοποίηση της ίδιας συχνότητας από χρήστες που βρίσκονταν στην εμβέλεια του ίδιου σταθμού βάσης. Για παράδειγμα, περιγράφηκε μία μέθοδος η οποία αυξάνει τη χωρητικότητα, μέσω μιας στοιχεικοκεραίας στον σταθμό βάσης και πολλούς απομακρυσμένος χρήστες. Μία άλλη μέθοδος που εισηγήθηκαν οι Arogyaswami Paulraj και Thomas Kailath, βασισμένη στο SDMA, προτείνει τη διαίρεση ενός σήματος πληροφορίας με υψηλό ρυθμό μετάδοσης, σε περισσότερα σήματα μειωμένου ρυθμού. Τα σήματα αυτά εκπέμπονται μέσω πομπών χωρικά διαχωρισμένων και στη συνέχεια ανακτώνται από την στοιχειοκεραία του δέκτη, με κριτήριο τις διαφορές των διευθύνσεων άφιξης. Ωστόσο, καμία από τις δύο μεθόδους δεν διερευνά την περίπτωση πολλαπλών κεραίών και στις δύο μεριές της ζεύξης, με σκοπό την αξιοποίηση του multipath. 2.2 Εισαγωγή στα ΜΙΜΟ συστήματα Ο όρος σύστημα πολλαπλών κεραιών (multiantenna system) με την ευρεία έννοια, αναφέρεται σε οποιοδήποτε σύστημα που υλοποιείται με πολύθυρες κεραίες (multiport antenna - MPA). Κάθε θύρα του συστήματος μπορεί να αναφέρεται σε διακριτές, φυσικά διαχωρισμένες κεραίες, κεραίες με διαφορετική πόλωση, κεραίες με διαφορετικό διάγραμμα ακτινοβολίας είτε, κάλλιστα, σε έναν συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. Ως εκ τούτου, ορίζονται τρεις κύριες κατηγορίες πολύθυρων κεραιών: κεραίες πολλαπλών στοιχείων (multielement antenna - MEA) κεραίες πολλαπλής πόλωσης (multipolarized antenna - MPOA) κεραίες πολλαπλών ρυθμών (multimode antenna - MMA). Επίσης, τα MIMO συστήματα μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σύμφωνα με τις τεχνικές που χρησιμοποιούν. Δύο βασικές κατηγορίες είναι η χωρική πολυπλεξία (spatial multiplexing) και ο διαφορισμός κωδικοποίησης (diversity coding).

25 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 15 Κατά την χωρική πολυπλεξία, ένα σήμα υψηλού ρυθμού διαιρείται σε περισσότερα σήματα χαμηλότερου ρυθμού, τα οποία εκπέμπονται από διαφορετικές κεραίες, στην ίδια συχνότητα. Στη συνέχεια, υπό προϋποθέσεις, τα σήματα φτάνουν στον δέκτη σε σχεδόν παράλληλα κανάλια. Το multiplexing είναι μια αξιόλογη τεχνική που μπορεί να προσφέρει μεγάλη αύξηση της χωρητικότητας κυρίως για μεγάλα SNR. O μέγιστος αριθμός των παράλληλων καναλιών περιορίζεται από μικρότερο πλήθος κεραιών, του πομπού ή του δέκτη. Η συγκεκριμένη τεχνική μπορεί να υλοποιηθεί είτε ο πομπός συνδέεται με κάποιου είδους ανάδραση, έχει πληροφορίες δηλαδή για την κατάσταση του καναλιού (channel state information CSI) είτε όχι. Ο διαφορισμός κωδικοποίησης χρησιμοποιείται όταν ο πομπός δεν έχει κάποια πληροφορία για την κατάσταση του καναλιού. Σύμφωνα με αυτήν την τεχνική και σε αντίθεση με την χωρική πολυπλεξία, εκπέμπεται το ίδιο σήμα από κάθε κεραία, το οποίo όμως κωδικοποιείται σύμφωνα με τεχνικές που ονομάζονται κώδικες χώρου-χρόνου (spacetime code). Το πλεονέκτημα του diversity coding είναι ότι κάνει πιο αξιόπιστο το σύστημα, διασφαλίζει δηλαδή μειωμένη πιθανότητα σφάλματος. Οι δύο παραπάνω τεχνικές μπορούν υπό όρους να συνδυαστούν, κάτι το οποίο αποτελεί ξεχωριστό κομμάτι μελέτης και έρευνας. [11] [12] 2.3 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστήματος Στην ενότητα αυτή περιγράφεται η δομή ενός πολύθυρου τηλεπικοινωνιακού συστήματος [11], το οποίο αποτελείται από Μ κεραίες στον πομπό και Ν κεραίες στον δέκτη, το οποίο στο εξής θα αναφέρεται ως M N σύστημα. Η σχέση εισόδου-εξόδου του συστήματος αυτού δίνεται από τη σχέση y Hx n (2.1) όπου NM H είναι ο πίνακας καναλιού με στοιχεία τα οποία περιέχουν πληροφορίες για το πλάτος και τη φάση των διαδρομών διάδοσης (propagation path) μεταξύ των M θυρών εκπομπής και των N θυρών λήψης. Επίσης, τα στοιχεία του πίνακα Η εκφράζουν τον λόγο ανάμεσα στην τάση της κεραίας εκπομπής και την τάση που επάγεται στην κεραία λήψης. Οι διαφορετικές θύρες, όπως τονίστηκε σε προηγούμενή ενότητα, μπορεί να αντιστοιχούν σε διαφορετικές κεραίες (ΜΕΑ), διαφορετικές πολώσεις (MPA) ή σε διαφορετικά

26 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 16 διαγράμματα ακτινοβολίας (MMA). Ακόμα, οι θύρες μπορεί να αναφέρονται σε έναν συνδυασμό των παραπάνω. Στη συνέχεια της παρούσας εργασίας, θεωρείται ότι οι θύρες του ΜΙΜΟ συστήματος είναι στοιχεία κεραιών. Η σχέση 2.1, απεικονίζεται στην εικόνα 2.1 Εικόνα 2.1 Σχέση εισόδου-εξόδου του συστήματος Συνεχίζοντας την εξέταση της σχέσης 2.1, το διάνυσμα σύμβολα, το διάνυσμα y N1 x M1 περιέχει τα λαμβανόμενα σύμβολα ενώ το συνιστώσες του AWGN θορύβου. Ο πίνακας καναλιού είναι της μορφής περιέχει τα εκπεμπόμενα n N1 τις H H H 11 1M N1 H H NM (2.2) όπου το στοιχείο H ij, περιγράφει τους συντελεστές του καναλιού μεταξύ της j κεραίας εκπομπής και της i κεραίας λήψης, όπως φαίνεται στην εικόνα 2.2 Εικόνα 2.2 Παράδειγμα 2x2 MIMO και οι διάφορες διαδρομές

27 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων Χωρητικότητα MIMO συστήματος Θεωρείται ΜΙΜΟ σύστημα που έχει Μ κεραίες εκπομπής και Ν κεραίες λήψης, με τις παραδοχές που γίναν στα προηγούμενα κεφάλαια. Η γενική έκφραση που δίνει την χωρητικότητα ενός τέτοιου συστήματος είναι H det HRsH 2 R S,av s:tr( Rs) P det Rn C max log R n (2.3) όπου H MM s E R ss είναι η συνδιακύμανση των εκπεμπόμενων συμβόλων s H NN n E R nn είναι η συνδιακύμανση του θορύβου n P S,av είναι η μέση εκπεμπόμενη ισχύς H H είναι ο ερμιτιανός του πίνακα Η δηλαδή ο συζυγής και ανάστροφός του Αν ο θόρυβος θεωρηθεί AWGN, και έτσι τα στοιχεία του πίνακα n είναι τυχαίες και ανεξάρτητες μεταβλητές, ομοιόμορφα κατανεμημένες με ίδια διακύμανση N o, η σχέση 2.3 παίρνει την μορφή H HRsH C max log 2 det S,av I (2.4) Rs:Tr( Rs) P N o με I NN γραφεί ως να είναι μοναδιαίος πίνακα Ν διαστάσεων, ενώ η σχέση 2.4 μπορεί επίσης να min( M,N ) Λii S,av 2 Rs:Tr( Rs) P i o C max log 1 N (2.5) Ως Λ ii συμβολίζεται η ιδιοτιμή (eigenvalue) i που προκύπτει από την ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων (eigenvector decomposition - EVD) του πίνακα H Η HR H ξλξ. Επίσης ξ ονομάζεται ο πίνακας που περιέχει τα ιδιοδιανύσματα του HR H s s H. Μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι HR H s H είναι η συνδιακύμανση του λαμβανόμενου σήματος, απουσία θορύβου, ενώ η ιδιοτιμή Λii αντιπροσωπεύει την ισχύ του λαμβανόμενου σήματος

28 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 18 από το i ιδιοκανάλι. Αξίζει να σημειωθεί ότι το ιδιοκανάλι, ή αντίστοιχα ο ιδιορυθμός μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο με ένα συμβατικό μη συζευγμένο SISO κανάλι, μεταξύ του πομπού και του δέκτη. Μέσω της παραπάνω σχέσης υπονοείται ότι η συνολική χωρητικότητα του καναλιού είναι το άθροισμα των χωρητικοτήτων των ιδιοκαναλιών. Η ανάλυση ιδιοδιανυσμάτων προσφέρει μία εκτίμηση για την ποιότητα και τον αριθμό των ισοδύναμων συμβατικών, μη συζευγμένων, SISO καναλιών, που μπορούν τελικά να προκύψουν με την βοήθεια των τεχνικών κωδικοποίησης. Στη συνέχεια αναλύονται δύο εκδοχές ΜΙΜΟ συστημάτων: στην πρώτη περίπτωση ο πομπός δεν έχει κάποια πληροφορία για την κατάσταση του καναλιού ενώ στην δεύτερη εισάγεται κάποια ανάδραση προς τον πομπό.[13],[14] Χωρητικότητα χωρίς γνώση του καναλιού Σε αυτήν την περίπτωση θεωρείται ότι το κανάλι είναι άγνωστο στον πομπό ή αλλιώς ότι ο πομπός δεν έχει καμιά πληροφορία για τον πίνακα Η. Όταν ισχύει κάτι τέτοιο δεν υπάρχει άλλη επιλογή από το να ισοκατανεμηθεί η διαθέσιμη ισχύς στις κεραίες εκπομπής. Με βάση αυτό στην σχέση 2.5 γίνεται s S,av P M R (2.6) και η χωρητικότητα του καναλιού δίνεται πια από την σχέση ρ H C log 2 det I HH (2.7) M όπου S,av ρ P N o είναι η μέση τιμή του διαθέσιμου SNR στον πομπό. Η σχέση 2.7 δίνει μία πρώτη εκτίμηση για την χωρητικότητα, χωρίς όμως να λαμβάνεται υπόψιν στον υπολογισμό της χωρητικότητας τα ποιοτικά χαρακτηριστικά κάθε ιδιοκαναλιού Χωρητικότητα με γνώση του καναλιού Σε ένα ΜΙΜΟ σύστημα, αν ο πομπός έχει πληροφορίες για την κατάσταση του καναλιού (CSI), η τροφοσοδία όλων των κεραιών με την ίδια ισχύ είναι εν γένει αναντίστοιχη των δυνατοτήτων και της λογικής των συστημάτων αυτών. Ως εκ τούτου, έχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι με στόχο την καλύτερη τροφοδοσία την κεραίας εκπομπής, αλλά αυτή

29 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 19 που επικράτησε ευρέως είναι ο αλγόριθμος waterfilling, λόγω της πολύ μικρής πολυπλοκότητας σε σχέση με αντίστοιχες τεχνικές. O αλγόριθμος παρατίθεται στο Παράρτημα Α. Η βασική ιδέα του waterfilling βασίζεται στο γεγονός ότι κάθε τεχνητά διαχωρισμένο κανάλι συνεισφέρει με διαφορετικό τρόπο στην συνολική χωρητικότητα του καναλιού. Δηλαδή κάποια υποκανάλια εμφανίζουν μεγαλύτερο κέρδος. Έτσι ο αλγόριθμος αυτός κατανέμει την ισχύ στις κεραίες του δέκτη έτσι ώστε τα καλύτερα κανάλια να τροφοδοτούνται με περισσότερη ισχύ σε σχέση με τα πιο αδύναμα, τα οποία σε ορισμένες περιπτώσεις ουσιαστικά δεν χρησιμοποιούνται καθόλου. Στη συνέχεια περιγράφεται η βασική λογική του αλγορίθμου. Θεωρείται εκπεμπόμενο διάνυσμα s που δεν έχει υποστεί κωδικοποίηση. Τότε η ανάλυση ιδιάζουσων τιμών (singular value decomposition -SVD), του πίνακα Η, δίνεται από την σχέση H H USV (2.8) όπου U και Y είναι τα αριστερά και δεξιά ιδιάζοντα ιδιοδιανύσματα, αντίστοιχα, ενώ S είναι διαγώνιος πίνακας που περιέχει τις ιδιάζουσες τιμές του πίνακα H και δίνεται από την σχέση H S U HV (2.9) Στη συνέχεια, το διάνυσμα που πρόκειται να μεταδοθεί κωδικοποιείται και γράφεται s Vs '. Κάθε στοιχείο του s πολλαπλασιάζει την αντίστοιχη στήλη του V, κάτι το οποίο φανερώνει ότι κάθε στήλη του V, αποτελεί μια σειρά από στάθμες για κάθε ροή δεδομένων. Στον πομπό πραγματοποιείται η πράξη H r' U r (2.10) η οποία υποδεικνύει ότι κάθε του πίνακα H U αντιπροσωπεύει τις στάθμες για κάθε ροή δεδομένων. Οι πίνακες U και V είναι μοναδιαίοι και έτσι μέσω της σχέσης τάδε προκύπτει H r' U r Ss' n ' (2.11) όπου

30 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 20 n' H U n (2.12) Ο πίνακας S, που περιέχει τις ιδιάζουσες τιμές του πίνακα Η, είναι διαγώνιος, κάτι το οποίο φανερώνει ότι ο το διάνυσμα r είναι μια αλλοιωμένη εκδοχή του διανύσματος s, αποτέλεσμα του προσθετικού θορύβου. Τελικά, με την χρήση του αλγορίθμου watefilling και λαμβάνοντας υπόψιν τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Η, το MIMO σύστημα μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σύνολο ανεξάρτητων, παράλληλων, συμβατικών SISO καναλιών, σε ένα περιβάλλον πολλαπλών οδεύσεων. Η σχέση που δίνει την χωρητικότητα για το παραπάνω σύστημα είναι C max log 1 min( M,N ) ' 2 Rs S ii ii 2 S,av Rs:Tr( Rs) P i N o (2.13) όπου ' H H R E s' s' V R V, και βέλτιστη λύση για το s s R ' s ii να είναι ' N o R s v ii i 2 (2.14) S ii Τελικά, το ' sii R είναι η βέλτιστη ισχύς εκπομπής για το i ιδιοκανάλι, ενώ η έκφραση, δηλώνει ότι, αν η παράσταση εντός της παρένθεσης παίρνει αρνητικές τιμές, τότε η τιμή της έκφρασης γίνεται μηδέν. Επίσης, έχει αξία να αναφερθεί ότι στην ανάλυση που προηγήθηκε χρησιμοποιήθηκαν οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα Η. Υπάρχει και η δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα H HH, καθώς ισχύει η σχέση eig H svd HH H (2.15) Επομένως αν λ 1,... j οι ιδιοτιμές του παραπάνω πίνακα, όλες οι σχέσεις μπορούν να υπολογιστούν με την αντικατάσταση του τετραγώνου των ιδιάζουσων τιμών, όπως αυτό εμφανίζεται στις σχέσεις, με την αντίστοιχη ιδιοτιμή.[15] Η λογική του αλγόριθμου waterfilling μπορεί να γίνει κατανοητή και από την εικόνα 2.3.

31 Περιγραφή ΜΙΜΟ συστημάτων 21 Εικόνα 2.3 Waterfilling για τέσσερα ιδιοκανάλια Ως είσοδοι θεωρούνται η συνολική διαθέσιμη ισχύς, ο θόρυβος του κάθε ιδιοκαναλιού και μια αυθαίρετα μικρή σταθερά. Ο αλγόριθμος μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας καθορίζει το waterline που καθορίζει τελικά την βέλτιστη ισχύ τροφοδοσίας του κάθε ιδιοκαναλιού. Βασικό είναι ότι το άθροισμα των επιμέρους ισχύων δεν μπορεί να υπερβαίνει τη διαθέσιμη ισχύ και η διαφορά τους να είναι η σταθερά που εισήχθη στην αλγόριθμο. Στην περίπτωση του σχήματος της εικόνας 2.3, όπου πρόκειται για τυχαίο παράδειγμα, φαίνεται ότι χειρότερο είναι το ιδιοκανάλι 3, το οποίο είναι πάνω από την waterline και έτσι δεν θα τροφοδοτηθεί καθόλου. Αντιθέτως, το μεγαλύτερο ποσοστό της διαθέσιμης ισχύος θα πρέπει παρασχεθεί στην κεραία 2, καθώς, όπως φαίνεται, έχει την μικρότερη στάθμη θορύβου. Ένα παράδειγμα της καθημερινής ζωής που μπορεί να θεωρηθεί αντίστοιχο είναι μία κανάτα με νερό, όπου το νερό συμβολίζει τη διαθέσιμη ισχύ, και τέσσερα ποτήρια, όσα δηλαδή και τα κανάλια. Θεωρούμε ότι τα ποτήρια περιέχουν εξαρχής κάποιο υγρό, κατ αντιστοιχία με τις στάθμες του θορύβου. Είναι προφανές ότι όποιο ποτήρι είχε εξαρχής λιγότερο υγρό, θα είναι αυτό στο οποίο θα βάλουμε περισσότερο νερό ενώ, αν ένα ποτήρι ήταν εξαρχής γεμάτο, δεν θα συμπληρώσουμε καθόλου από το νερό της κανάτας.

32

33 3 Μοντελοποίηση Καναλιού 3.1 Εισαγωγικά Είναι σαφές ότι στον πίνακα Η εμπεριέχονται όλες οι πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο που επιδρά το κανάλι πάνω στα εκπεμπόμενα σύμβολα. Είναι πολύ σημαντική η επιλογή που γίνεται για την μοντελοποίηση του καναλιού. Ο σκοπός των θεωρητικών μελετών και των προσομοιώσεων που διεξάγονται, είναι να παρουσιάσουν κάποια χαρακτηριστικά της απόδοσης των συστημάτων, τα οποία προσεγγίζουν, όσο το δυνατόν, τις πραγματικές συνθήκες λειτουργίας. Σε πολλές περιπτώσεις, από τα πρώτα χρόνια της έρευνας πάνω στα MIMO, η μοντελοποίηση του καναλιού, δηλαδή η απόδοση τιμών στον πίνακα H, γίνεται με αμιγώς στοχαστικό τρόπο, σύμφωνα με κάποια κατανομή πιθανότητας. Για παράδειγμα, ένα πολύ διαδεδομένο μοντέλο είναι το μοντέλο καναλιού με διαλείψεις Rayleigh (Rayleigh fading), στο οποίο ο τρόπος που επιδρά κάθε διαδρομή διάδοσης στο εκπεμπόμενο σήμα ορίζεται ως μία τυχαία μεταβλητή, που ακολουθεί Rayleigh κατανομή [13],[15]. Επίσης, η επιλογή μοντέλου καναλιού θα πρέπει να προσαρμόζεται ανάλογα με το σύστημα που πρόκειται να μελετηθεί, απαιτείται δηλαδή να οριστεί τον αν ο πομπός και ο δέκτης είναι σε σταθερό σημείο ή αν είναι σε κίνηση. Στη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα γίνονται αρκετά σύνθετα και έτσι στην παρούσα εργασία γίνεται η παραδοχή ότι ο πομπός και ο δέκτης είναι σταθεροί (point-to-point transmission). Ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση όμως, το κανάλι δεν μπορεί να θεωρηθεί γενικά στατικό. Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός LAN δικτύου, στο περιβάλλον ενός γραφείου, όπου οι τοποθεσίες των χρηστών είναι σταθερές, ακόμα και μία μικρή κίνηση ανθρώπου ή κάποιου αντικειμένου μπορεί να μεταβάλει σε μεγάλο βαθμό τις διαδρομές διάδοσης. Για να αντιμετωπιστεί αυτή η κατάσταση, ορίζεται ένα αυθαίρετα μικρό χρονικό διάστημα (burst), κατά το οποίο το κανάλι θεωρείται αμετάβλητο, ενώ μπορεί να αλλάζει ανάμεσα σε 2 τέτοια διαστήματα. Στη συνέχεια γίνεται φανερό για ποιο λόγο γίνεται αυτή η παραδοχή.

34 Μοντελοποίηση Καναλιού Περιγραφή γενικών σχέσεων Για την μοντελοποίηση του καναλιού διάδοσης, επιλέγεται μία μέθοδος που λαμβάνει υπόψιν το πώς σχετίζονται οι συντελεστές του καναλιού με την διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος και τα χαρακτηριστικά των κεραιών αποστολής και λήψης. Επίσης, θεωρούμε επικοινωνία στενού εύρους ζώνης και ότι η απόκριση συχνότητας στο κανάλι είναι σταθερή. Έτσι, ο πίνακας Η αποτελείται από μιγαδικά βαθμωτά μεγέθη, τα οποία σχετίζονται με τις παραμέτρους των κεραιών και τα χαρακτηριστικά του multipath και της σκέδασης. Σύμφωνα με το μοντέλο που χρησιμοποιείται, κάθε διαδρομή διάδοσης p περιγράφεται από έναν πίνακα Γ p 22 ij που περιέχει πληροφορίες σχετικά με το κέρδος και τη φάση ανάμεσα στην j κεραία εκπομπής και την i κεραία λήψης. Ο πίνακας μεταφοράς δίνεται από τη σχέση Γ p p Γ p, Γ ij, ij ij p p Γ, Γ ij, ij (3.1) Στα στοιχεία του πίνακα p Γ ij, βρίσκονται πληροφορίες σχετικά με τις απώλειες λόγω της διάδοσης στον ελεύθερο χώρο, όπως επίσης για τις απώλειες που οφείλονται σε φαινόμενα της διάδοσης, όπως είναι η ανάκλαση, η περίθλαση και η σκέδαση σε αντικείμενα που βρίσκονται στο περιβάλλον του καναλιού. Τελικά, τα στοιχεία του πίνακα καναλιού δίνονται από τη σχέση 0,T R P j (Z i ) R p p T p ij 0,R T i i ij i j Z i (Z j ) p 1 H F ((, ) )) Γ F ((, ) ) (3.2) όπου 0,T 0,T j aj και Z 0,R 0,R i Za i, είναι οι χαρακτηριστικές σύνθετες αντιστάσεις της j κεραίας εκπομπής και της i κεραίας λήψης, αντίστοιχα, p (, ) j και p είναι οι (, ) i διευθύνσεις των διαδρομών διάδοσης που σχετίζονται με την j κεραίας εκπομπής και της i κεραίας λήψης, αντίστοιχα και, τέλος, P είναι ο αριθμός των διαδρομών. Ακόμα T j F ((, ) p j και R i p i F ((, ) είναι τα διαγράμματα ακτινοβολίας των κεραιών j και i, αντίστοιχα. Στη

35 Μοντελοποίηση Καναλιού 25 συνέχεια περιγράφεται με λεπτομερή τρόπο το μοντέλο καναλιού που χρησιμοποιείται, έτσι ώστε να βρεθούν τα στοιχεία του πίνακα H. [11] 3.3 Μοντελοποίηση καναλιού με διαγράμματα διάδοσης Όταν το περιβάλλον διάδοσης είναι πλούσιο σε σκεδαστές, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση των επικοινωνιών εσωτερικού χώρου (indoor communications), παρατηρείται χρονική διαφορά στις αφίξεις των συνιστωσών του σήματος στον δέκτη. Έτσι, οι συνιστώσες που λαμβάνονται μέσω διαφορετικών διαδρομών μπορούν να χωριστούν ως εξής: οι πιο ισχυρές συνιστώσες του σήματος είναι αυτές που φτάνουν πρώτες και είναι σαφώς διακριτές χρονικά. Ακολουθούν συνιστώσες που φθάνουν με συνεχώς αυξανόμενο ρυθμό και μικρότερη χρονική διαφορά μεταξύ τους (avalanche effect), έως ότου τελικά δεν μπορεί να υπάρξει σαφής διαχωρισμός ανάμεσα στις αφίξεις, η ισχύς των οποίων μειώνεται εκθετικά. Στην παρούσα εργασία γίνεται μια προσπάθεια για την παρουσίαση ενός μοντέλου το οποίo λαμβάνει υπόψιν και τις κυρίαρχες συνιστώσες του σήματος, αλλά και τις καθυστερημένες, λόγω των σκεδάσεων, συνιστώσες. Έτσι, το περιβάλλον διάδοσης προσομοιώνεται ως ένα διάγραμμα διάδοσης (propagation graph) [16],[17], όπου οι κόμβοι συμβολίζουν τις κεραίες εκπομπής, τις κεραίες λήψεις και τους σκεδαστές, ενώ οι ακμές συμβολίζουν τη διαδρομή διάδοσης ανάμεσα στους κόμβους. Στα διαγράμματα διάδοσης υπολογίζεται η διαδοχική σκέδαση που υφίστανται οι συνιστώσες του σήματος και δίνεται η δυνατότητα να εκφραστεί η συνάρτηση μεταφοράς του καναλιού σε μια κλειστή μορφή για μεγάλο αριθμό σκεδάσεων. Τα εν λόγω διαγράμματα μπορούν να οριστούν σύμφωνα με κάποιο συγκεκριμένο, πραγματικό περιβάλλον διάδοσης ή με στοχαστικό τρόπο. Ο λόγος που επιλέχθηκαν τα διαγράμματα διάδοσης είναι ότι μπορούν δώσουν μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα για τις σκεδάσεις των συνιστωσών του σήματος, κάτι που έχει μεγάλη σημασία στα MIMO συστήματα, όπως θα φανεί και στη συνέχεια. Σε ένα μοντέλο καναλιού που βασίζεται στο διάγραμμα διάδοσης, αποδεικνύεται ότι το επιμέρους διάγραμμα που σχηματίζεται από τους σκεδαστές (κόμβοι) και την μεταξύ τους διαδρομή διάδοσης (ακμές), είναι συμφασματικό με το διάγραμμα διάδοσης όλου του καναλιού. Αποδεικνύεται επίσης ότι ο τρόπος με τον οποίο σκεδάζεται το κύμα μεταξύ των σκεδαστών εμπεριέχει όλες τις ιδιότητες του διαγράμματος του καναλιού, ενώ σχεδόν όλα

36 Μοντελοποίηση Καναλιού 26 τα σταθμισμένα διαγράμματα είναι δυνατόν να ανακατασκευαστούν μέσω του φάσματός τους. Έτσι, τις περισσότερες φορές είναι εφικτό, αν είναι γνωστό μόνο το φάσμα του επιμέρους διαγράμματος που συνδέει τους σκεδαστές, να μπορούμε να ανακτήσουμε το συνολικό διάγραμμα διάδοσης, δηλαδή να γνωρίζουμε τα στοιχεία του πίνακα μεταφοράς του καναλιού. Για τη δημιουργία των διαγραμμάτων διάδοσης, έχουν υιοθετηθεί στοιχεία από τα κατευθυντικά διαγράμματα (directed graph - G), τα οποία ορίζονται ως ένα ζεύγος που αποτελείται από ένα σύνολο κόμβων και ένα σύνολο ακμών, ανεξάρτητα μεταξύ τους (V,E). Σύμφωνα με τα κατευθυντικά διαγράμματα, μία ακμή ee, με αρχή τον κόμβο init( e) και τέλος τον κόμβο term (e), λέγεται ότι εξέρχεται από τον κόμβο init(e) και εισέρχεται στον κόμβο term (e). Επιπλέον, δεν προβλέπονται παράλληλες ακμές, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρξουν δύο ακμές e και e, τέτοιες ώστε init( e) init( e' ) και term( e) term( e' ). Τελικά, λέμε ότι μία ακμή προσδιορίζεται από ένα ζεύγος κόμβων (init(e), term( e)) V2, και ότι E V V. Με βάση όσα προηγήθηκαν, ορίζουμε ότι το διάγραμμα διάδοσης, μέσω του οποίου μοντελοποιείται το κανάλι ενός MIMO συστήματος με πλήθος σκεδαστών K, M κεραίες εκπομπής και Ν κεραίες λήψης, αποτελείται συνολικά από Μ+K+Ν κόμβους. Το διάγραμμα σχηματίζεται από δύο βασικά σύνολα. Το πρώτο είναι το V που περιέχει του κόμβους και είναι η ένωση των εξής τριών ανεξάρτητων συνόλων T 1 M V {T,...,T } οι κεραίες εκπομπής V S {S 1,...,S K } οι σκεδαστές V R {R 1,...,R N } οι κεραίες λήψης και ισχύει ότι V VT VS VR. Οι κόμβοι του πομπού θεωρούνται πηγές και έχουν μόνο εξερχόμενες ακμές, ενώ αντίστοιχα οι κεραίες λήψεις έχουν μόνο εισερχόμενες. Το δεύτερο βασικό σύνολο είναι το Ε, το οποίο περιέχει τις ακμές και αποτελείται από τα εξής ανεξάρτητα υποσύνολα. ED E (VT V R ) οι ακμές που ενώνουν πομπό και δέκτη ER E (VS V R ) οι ακμές που ενώνουν τους σκεδαστές με τους δέκτες ES E (VS V S ) οι ακμές που ενώνουν τους σκεδαστές μεταξύ τους

37 Μοντελοποίηση Καναλιού 27 Κάθε κεραία του πομπού εκπέμπει ένα σήμα που διαδίδεται μέσω των ακμών που εξέρχονται από αυτόν. Το σήμα που λαμβάνει κάθε κόμβος αποτελείται από το άθροισμα όλων των εισερχόμενων ακμών. Οι σκεδαστές αθροίζουν τα σήματα που λαμβάνουν μέσω των εισερχόμενων ακμών και επανεκπέμπουν το άθροισμα μέσω των εξερχόμενων ακμών. Αν ο μηχανισμός διάδοσης θεωρηθεί γραμμικός και ανεξάρτητος από τον χρόνο, η επίδρασή του μπορεί να θεωρηθεί ως συνέλιξη με την κρουστική απόκριση ή πολλαπλασιασμός με την συνάρτηση μεταφοράς, στο πεδίο της συχνότητας. Ο τρόπος με τον οποίο συνδέονται οι κόμβοι του διαγράμματος διάδοσης, αποτυπώνεται στον πίνακα σχέση A ( MNK) ( MNK), όπως πολύ κομψά αποτυπώνεται στην παρακάτω A D 0 R T 0 B (3.3) ο οποίος ονομάζεται πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix) και αποτελείται από τους εξής πίνακες-στοιχεία: NM D που συνδέει τις Μ κεραίες εκπομπής με τις Ν κεραίες λήψης KM T που συνδέει τις Μ κεραίες εκπομπής με του Κ σκεδαστές NK R που συνδέει τους K σκεδαστές με τις Ν κεραίες λήψης KK B που συνδέει τους K σκεδαστές μεταξύ τους Η πρώτη σειρά του πίνακα Α αποτελείται από μηδενικούς πίνακες, καθώς δεν λαμβάνεται υπόψιν οτιδήποτε φθάνει στις κεραίες του πομπού, όπως επίσης μηδενικοί πίνακες είναι και τα στοιχεία της δεύτερης στήλης, καθώς δεν εκπέμπονται σήματα από τις κεραίες λήψης. Το στοιχείο κόμβο j. A του πίνακα είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διάδοσης από τον κόμβο i στον ij Η ιδέα των διαδρομών διάδοσης είναι ο ακρογωνιαίος λίθος της μοντελοποίησης της διάδοσης πολλαπλών διαδρομών. Συχνά εξετάζεται με βάση τις τελικές συνιστώσες του σήματος που φτάνουν στον δέκτη, όμως η μέθοδος αυτή έχει το μειονέκτημα ότι δύσκολα συσχετίζεται με το περιβάλλον διάδοσης. Η χρήση των διαγραμμάτων διάδοσης προσφέρει μία κατάλληλη εναλλακτική λύση. Σε ένα διάγραμμα G (V,E), μία μετάβαση l μήκους Ρ, ορίζεται ως μία ακολουθία l (u(1),u( 2),...,u(P 1) ) ακμών που ανήκουν στο σύνολο V, τέτοια

38 Μοντελοποίηση Καναλιού 28 ώστε (u(p),u(p 1) ) Eκαι p 1,...,P. Έτσι, l είναι μία μετάβαση από με πρώτο κόμβο το u (1) και τελευταίο το u(p 1), ενώ τα u (2),...,u(P) ονομάζονται εσωτερικοί κόμβοι της μετάβασης l. Μία διαδρομή διάδοσης του σήματος, ερμηνεύεται ως μία μετάβαση από μία κεραία εκπομπής σε μία κεραία λήψης στο διάγραμμα διάδοσης με όλους τους εσωτερικούς κόμβους της μετάβασης να αποτελούν τους σκεδαστές. Ένα σήμα που διαδίδεται μέσω μιας διαδρομής διάδοσης l, όπως ορίστηκε παραπάνω, διαβαίνει P+1 κόμβους, όχι απαραίτητα ίδιους, και υφίσταται Ρ αλληλεπιδράσεις. H διαδρομή l ονομάζεται διαδρομή Ρ αναπηδήσεων (bounce). Για παράδειγμα, η απευθείας διαδρομή από τον πομπό στον δέκτη (LOS) είναι διαδρομή χωρίς αναπηδήσεις. Σε ένα γράφημα G, ένα σύνολο διαδρομών διάδοσης, που έχουν ως αρχικό κόμβο την κεραία εκπομπής i και ως τελικό την κεραία λήψης j, συμβολίζεται με L ij. Το σήμα που προέρχεται από την κεραία i, και το λαμβάνει η κεραία j είναι η υπέρθεση όλων των συνιστωσών που διαδίδονται μέσω των διαδρομών που ανήκουν στο σύνολο L ij. Κατά αντιστοιχία, προκύπτει ότι το στοιχείο (i,j) του πίνακα Η δίνεται από τη σχέση H ij Hl (3.4) llij όπου H l είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διαδρομής l. Οι όροι του αθροίσματος είναι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου L ij και εξαρτάται από τη δομή του διαγράμματος, το αν είναι πεπερασμένοι ή μη πεπερασμένοι. Στην περίπτωση που οι διαδρομές είναι μη πεπερασμένες, κάτι το οποίο συμβαίνει όταν μία διαδρομή περιέχει μία μετάβαση από έναν εσωτερικό κόμβο σε άλλους και πάλι πίσω στον ίδιο, ο υπολογισμός του H ij γίνεται αδύνατος και γι αυτό σε μια τέτοια περίπτωση ορίζεται ένα προσεγγιστικό άθροισμα. Ένα μοντέλο καναλιού Ρ αναπηδήσεων αγνοεί οποιαδήποτε διαδρομή που έχει πέρα από Ρ interaction, με τη λογική ότι μετά από κάποιο σημείο ορισμένες συνιστώσες του σήματος εξασθενούν, σε τέτοιο βαθμό, που η συμβολή τους στο άθροισμα της σχέσης 3.4 είναι σχεδόν ανεπαίσθητη. Βέβαια, το κριτήριο με βάση το οποίο θα προκύψει το Ρ είναι σημαντικό και ουσιαστικά απαιτεί υπολογισμό όλου του αθροίσματος, μέχρι να αξιολογηθεί το αν κάποιοι όροι μπορούν να αγνοηθούν.

39 Μοντελοποίηση Καναλιού Τελικές σχέσεις πίνακα καναλιού Για να ξεπεραστεί ο σκόπελος που περιγράφεται στην προηγούμενη παράγραφο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία εναλλακτική μέθοδος, η οποία καταλήγει σε έναν κλειστό ορισμό για τον πίνακα μεταφοράς του καναλιού, συναρτήσει των στοιχείων του πίνακα γειτνίασης. Θεωρείται H p, πίνακας μεταφοράς των διαδρομών διάδοσης p αναπηδήσεων, ο οποίος συνδέεται με τον πίνακα Η ως εξής: H H p (3.5) p0 ενώ συνδέεται με τα στοιχεία του πίνακα γειτνίασης σύμφωνα με τις σχέσεις H D, p 0 RB T, p 0 p p1 (3.6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3.5 και 3.6, προκύπτει p1 H D R B T (3.7) p1 To άθροισμα στη παραπάνω σχέση είναι σειρά Neumann και συγκλίνει στο 1 I B, αν η φασματική ακτίνα του πίνακα Β είναι μικρότερη της μονάδας. Αντικαθιστώντας, προκύπτει η τελική σχέση που δίνει τον πίνακα του καναλιού: 1 H D R I B T (3.8) K Είναι εμφανές, από τις παραπάνω σχέσεις, ότι το μοντέλο που επιλέχθηκε για την μοντελοποίηση του καναλιού, λαμβάνει υπόψιν όλες τις διαδοχικές σκεδάσεις που υφίσταται το σήμα, κάτι το οποίο επιδιώχθηκε εξαρχής. Επιπλέον, το συγκεκριμένο μοντέλο υπολογίζει διαδρομές διάδοσης με οποιοδήποτε αριθμό αναπηδήσεων και είναι προτιμότερο από το μοντέλο το οποίο ορίζει με προσεγγιστικό τρόπο το πλήθος των όρων του αθροίσματος. Παρατηρώντας τη σχέση 3.8 φαίνεται ότι ο όρος D είναι η line-of-sight