Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα"

Transcript

1 Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: , Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: 1

2 Περιεχόμενα 1.Πληροφορίες και εκπαιδευτικό υλικό Ακαδημαϊκού Μαθήματος Πληροφορίες μαθήματος Πληροφορίες για τις θεματικές ενότητες ή ενότητες διαλέξεων Πληροφορίες για το πλαίσιο διάθεσης του μαθήματος Πλαίσιο Διάθεσης: Ίδρυμα Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης Πλαίσιο Διάθεσης: Πρόγραμμα Σπουδών

3 1.Πληροφορίες και εκπαιδευτικό υλικό Ακαδημαϊκού Μαθήματος 1.1 Πληροφορίες μαθήματος Όνομα διδάσκοντος/διδασκόντων (Instructor /s) Νικόλαος Καραμπετάκης Nicholas P. Karampetakis Τίτλος Μαθήματος (Course title) όπως αναφέρεται στο πρόγραμμα σπουδών (ΠΣ) Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Optimal Control Theory Δικτυακός τόπος μαθήματος Κωδικός Μαθήματος (Course Code) όπως αναφέρεται στο ΠΣ 0844 Επίπεδο μαθήματος/κύκλος σπουδών (Course level/cycle) Μεταπτυχιακό (Graduate)/Δεύτερος κύκλος σπουδών (Second cycle) Έτος σπουδών (Year of Study) Έτος: 1 Εξάμηνο (Semester) Εξάμηνο: 2 Τύπος μαθήματος (Type of course) Επιλογής (optional) Διδακτικές ώρες στο εξάμηνο: 39 Γλώσσα διδασκαλίας (Course language) 3

4 Ελληνική Ομάδα στόχος (Target Group) Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών. Πιστωτικές μονάδες (ECTS) Αριθμός μονάδων: 10 Περισσότερα για τον/τους διδάσκοντες (More about instructor) Ο Νικόλαος Καραμπετάκης είναι Αναπληρωτής Καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι πτυχιούχος ( ) και κάτοχος διδακτορικού διπλώματος ( ) του Μαθηματικού Τμήματος του Α.Π.Θ. Τα κύρια ερευνητικά του ενδιαφέροντα είναι: Αλγεβρικές Μέθοδοι για Ανάλυση, Σύνθεση και Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων, Θεωρία Πινάκων. Είναι μέλος των: a) IFAC Technical Committee on Linear Systems και b) Vice-Chair στο IEEE Action Group on Symbolic Methods for CACSD. Nicholas P. Karampetakis is Associate Professor at the Department of Mathematics of the Aristotle University of Thessaloniki. He received his B.Sc. in Mathematics, with excellence, ( ) and his Ph.D. in Mathematics, with excellence, ( ) from the Department of Mathematics of the Aristotle University of Thessaloniki. His basic research interests are: Developing algebraic-polynomial methods for the Analysis and Synthesis of linear, time-invariant, multivariable automatic control systems, Mathematical Systems Theory, Theory of matrices and Polynomial matrices. He is member of the: a) IFAC Technical Committee on Linear Systems and b) Vice-Chair of the IEEE Action Group on Symbolic Methods for CACSD. Φωτογραφία διδάσκοντος Περιγραφή μαθήματος (Course Overview / Description /Synopsis) Το πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου. Βασικές μαθηματικές έννοιες από το λογισμό μεταβολών. Ακρότατα συναρτησιακών. Εξίσωση Euler-Lagrange. Ακρότατα συναρτησιακών με περιορισμούς. Βέλτιστος έλεγχος αιτιοκρατικών συστημάτων με ή 4

5 και χωρίς φραγμό στο διάνυσμα ελέγχου. Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Το πρόβλημα γραμμικής τετραγωνικής ρύθμισης (LQ) και παρακολούθησης. Εξισώσεις Riccati. Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου. Θεωρία Hamilton-Jacobi-Bellman. Δυναμικός προγραμματισμός. Το πρόβλημα της γραμμικής τετραγωνικής Gaussian βελτιστοποίησης (LQG). Εφαρμογές στο MATLAB. The optimal control problem basic mathematical notion from the variational calculus - minimization of functionals - Euler-Lagrance equation - minimization of functional under constraints - optimal control of continuous or discrete time systems with or without state/input constraints - the minimum principle of Pontryagin - the linear quadratic (LQ) regulation and tracking problem - Riccati equation - bang-bang control - Hamilton- Jacobi-Bellman theory - dynamic programming - the linear quadratic Gaussian (LQG) problem - applications in Matlab. Περιεχόμενα μαθήματος (Course Contents) Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Ακρότατα συναρτησιακών μίας συνάρτησης. Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Εφαρμογές του Λογισμού Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο. Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο-αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Λέξεις κλειδιά (Keywords) Βέλτιστος έλεγχος, μεταβλητές, ακρότατα, συναρτήσεις, διανύσματα, γραμμικό τετραγωγικό πρόβλημα 5

6 Προτεινόμενη φωτογραφία για το μάθημα Ομάδα ανάπτυξης περιεχομένου (Content Development) Αναστασία Γρηγοριάδου Anastasia Grigoriadou Οργάνωση μαθήματος. Δομή και συχνότητα διδασκαλίας (Course Meeting Times / Course Structure). Ώρες γραφείου: Τρίτη 11:00-13:00, Τετάρτη 11:00-13:00μμ, Γραφείο 3'3 στο γυάλινο κτίριο. Διαλέξεις : 1 φορά την εβδομάδα (τρίωρη διάλεξη) για 13 εβδομάδες στο εργαστήριο υπολογιστών. (Course Meeting Times / Course Structure) Office Hours : Tuesday 11:00-13:00, Wednesday 11:00-13:00, Office 3'3, Left Wing, New Building Lectures: Once a week (3 hours lecture) for 13 weeks at the laboratory. Μέθοδος διδασκαλίας (teaching method) Παρακολούθηση Διαλέξεων στο Εργαστήριο. Attending Lectures at the Laboratory. 6

7 Μέθοδοι αξιολόγησης/ βαθμολόγησης (Assessment method and criteria). Εξετάσεις Μηνιαίες υποχρεωτικές εργασίες (30% του τελικού βαθμού) Exams Compulsory Written Assignment (30% of the final grade) Τύποι εκπαιδευτικού υλικού (course format) Διαφάνειες Σημειώσεις Προτεινόμενα συγγράμματα 1. Burl J.B. (1998). Linear Optimal Control: H2 and H Methods. Addison-Wesley. 2. Lewis F.L. (1995). Optimal Control. 2 nd edition. John Wiley and Sons; New York. 3. Donald E. Kirk (1970), Optimal Control Theory: An Introduction, Prentice Hall. 4. D. S. Naidu, (2003), Optimal Control Systems, CRC Press. 5. A.Shina, (2007), Linear systems: optimal and robust control, CRC Press. 6. V.M. Tikhomirov, (1999), Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα, Εκδόσεις Κάτοπτρο. 7. Καραμπετάκης Ν., (2009), Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη. 8. Κυβεντίδης Θ., (1994), Λογισμός μεταβολών, Εκδόσεις Ζήτη. Προαπαιτούμενα (Expected prior knowledge/prerequisites and preparation) Ανάλυση (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, Λογισμός Μεταβολών) Βασικές αρχές από την Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων. Analysis (Calculus) Mathematical System Theory 7

8 1.2 Πληροφορίες για τις θεματικές ενότητες ή ενότητες διαλέξεων Αριθμός Θεματικών Ενοτήτων 11 Τίτλοι Θεματικών Ενοτήτων Ενότητα 1. Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Ενότητα 2. Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Ενότητα 3. Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Ενότητα 4. Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Ενότητα 5. Ακρότατα συναρτησιακών μίας συνάρτησης. Ενότητα 6. Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Ενότητα 7. Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Ενότητα 8. Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Ενότητα 9. Εφαρμογές του Λογισμού Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο. Ενότητα 10. Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Ενότητα 11. Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο-αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Αναλυτική περιγραφή ενοτήτων Ενότητα 1 : Η πρώτη ενότητα αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος γίνεται μια αναφορά στο ιστορικό της γέννησης του σημαντικού κλάδου των Μαθηματικών, του Λογισμού των Μεταβολών. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζεται, ως άμεση εφαρμογή του Λογισμού των Μεταβολών, η ανάπτυξη της Θεωρίας του Βέλτιστου Ελέγχου, δίνοντας ταυτόχρονα αρκετές εφαρμογές από την καθημερινότητα. Ενότητα 2 : Στην δεύτερη ενότητα γίνεται μια επανάληψη σε έννοιες με τις οποίες πρέπει να είναι εξοικειωμένος όποιος θέλει να εντρυφήσει στον Λογισμό των Μεταβολών και στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Πιο συγκεκριμένα γίνεται αναφορά σε προβλήματα βελτιστοποίησης συναρτήσεων μιας ή και περισσοτέρων μεταβλητών καθώς και εννοιών από την μελέτη συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. Τέλος παρουσιάζεται μια σειρά από προβλήματα της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου τα οποία θα μελετήσουμε σε επόμενες ενότητες. Ενότητα 3 : Στην τρίτη ενότητα γίνεται μια επανάληψη στην βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας ή και περισσοτέρων μεταβλητών. Αποτελεί ουσιαστικά μια πιο αναλυτική παρουσίαση του αντίστοιχου αντικειμένου που παρουσιάστηκε στην ενότητα 2. Η όλη παρουσίαση είναι στα αγγλικά. Ενότητα 4 : Στην τέταρτη ενότητα γίνεται ένας παραλληλισμός μεταξύ της έννοιας της συνάρτησης και της έννοιας του συναρτησιακού (το πεδίο ορισμού, γραμμικότητα, νόρμα διανύσματος/συνάρτησης, η έννοια της απόστασης μεταξύ διανυσμάτων/ συναρτήσεων, συνέχεια, μεταβολή). Στο τέλος διατυπώνεται το Βασικό Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών, βάσει του οποίου διατυπώνεται μια αναγκαία συνθήκη 8

9 ύπαρξης ακροτάτου σε ένα συναρτησιακό. Ενότητα 5 : Στην πέμπτη ενότητα διατυπώνουμε ικανές (Legendre - Jacobi) και αναγκαίες (Euler - Lagrange) συνθήκες για την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού το οποίο εξαρτάται από μια συνάρτηση μιας μεταβλητής π.χ. J(t,x(t),x (t)). Δεδομένων των αρχικών συνθηκών της συνάρτησης x(t) παρουσιάζουμε την τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας που πρέπει να πληροί η συνάρτηση x(t) και εξετάζουμε όλες τις ειδικές περιπτώσεις που μπορεί να έχουμε. Τέλος εξετάζουμε την περίπτωση που δεν είναι γνωστές και οι αρχικές αλλά και οι τελικές συνθήκες της συνάρτησης x(t), διατυπώνοντας συνθήκες εγκαρσιότητας που πρέπει να ικανοποιούνται και από τις αρχικές αλλά και τις τελικές συνθήκες. Παρουσιάζονται μερικές κλασικές εφαρμογές όπως η επίλυση του βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem) καθώς και το πρόβλημα της αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). Ενότητα 6 : Στην έκτη ενότητα γενικεύονται όλα τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν στην Ενότητα 5 σε συναρτησιακά διανυσματικών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτησιακά που περιέχουν μια ή παραπάνω συναρτήσεις μιας μεταβλητής και τις παραγώγους τους. Ενότητα 7 : Ενώ στην ενότητα 6, μελετήσαμε την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού J(t,x(t),x (t)), το οποίο εξαρτάται από μια διανυσματική συνάρτηση x(t) και την συνεχή παράγωγο της, στην ενότητα αυτή μελετούμε την περίπτωση που η παράγωγος της διανυσματικής συνάρτησης x(t) έχει ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας. Πέρα των γνωστών συνθηκών που διατυπώσαμε σε προηγούμενες ενότητες, έχουμε να προσθέσουμε και συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η διανυσματική συνάρτηση x(t) και η παράγωγος της, στα σημεία ασυνέχειας της παραγώγου της x(t). Οι συνθήκες αυτές είναι γνωστές και ως συνθήκες Weierstrass- Erdmann. Ενότητα 8 : Στην όγδοη ενότητα μελετούμε το πρόβλημα της Ενότητας 6, δηλαδή την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού J(t,x(t),x (t)), το οποίο εξαρτάται από μια διανυσματική συνάρτηση x(t)=(x 1 (t),x 2 (t),,x n (t)) δεδομένου όμως ότι ικανοποιείται ένα πλήθος από m διαφορικές εξισώσεις της μορφής q i (t,x(t),x (t))=0, i=1,2,,m. Με άλλα λόγια, η διανυσματική συνάρτηση x(t) υπόκειται σε δεσμούς που ερμηνεύονται από ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων. Κάτι αντίστοιχο έχουμε συναντήσει όταν θέλαμε να υπολογίσουμε το τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, δεδομένου ότι οι μεταβλητές αυτές υπόκεινται σε κάποιους δεσμούς. Όπως τότε, έγινε χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange, έτσι και εδώ χρησιμοποιούμε πολλαπλασιαστές Lagrange που όμως τώρα δεν είναι σταθερές αλλά συναρτήσεις. Ενότητα 9 : Οι ενότητες 1-8 πραγματεύονται τον Λογισμό των Μεταβολών. Με την ένατη ενότητα μπαίνουμε στον Βέλτιστο Έλεγχο Συστημάτων. Ξεκινούμε με την επίλυση του προβλήματος Bolza. Ποιο συγκεκριμένα μελετούμε την ύπαρξη τοπικού ακρότατου του συναρτησιακού δεδομένου ότι το x t ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Στην ενότητα αυτή μελετούμε την περίπτωση που η είσοδος u(t) δεν είναι φραγμένη. Είναι ένα πρόβλημα με δεσμούς όπως αυτό που συναντήσαμε και στην ενότητα 8. Η διαφορά, έγκειται στο ότι ορίζουμε μια συνάρτηση γνωστή και ως Χαμιλτονιανή, μέσω της οποίας ορίσουμε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε το συναρτησιακό μας να παρουσιάζει ακρότατο. Επίσης όλες οι συνθήκες εγκαρσιότητας ορίζονται μέσω της Χαμιλτονιανής που έχουμε ορίσει. Ενότητα 10 : Στην δέκατη ενότητα μελετούμε μια ειδική κατηγορία του προβλήματος 9

10 που αναφέραμε στην Ενότητα 9 : το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα (Linear Quadratic Regulator problem (LQR)) ή πρόβλημα βέλτιστου ρυθμιστή με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα ή με άπειρο χρονικό ορίζοντα. Και στις δύο περιπτώσεις η λύση είναι ανάδραση κατάστασης. Για τον προσδιορισμό της ανάδρασης κατάστασης στο πρώτο πρόβλημα, που έχουμε πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti, ενώ στην περίπτωση που έχουμε άπειρο χρονικό ορίζοντα παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti ανάγεται σε αλγεβρική εξίσωση. Ενώ στην πρώτη περίπτωση (πεπερασμένος χρονικός ορίζοντας) υπάρχει πάντα λύση, στην δεύτερη περίπτωση (άπειρος χρονικός ορίζοντας) για να έχει το πρόβλημα μας λύση θα πρέπει οι μεταβλητές του χώρου κατάστασης που εμπλέκονται στο συναρτησιακό να είναι ελέγξιμες ή τουλάχιστο σταθεροποιήσιμες για να μην απειρίζεται η συνάρτηση κόστους. Τέλος λύνουμε μια γενίκευση του προβλήματος αυτού, που είναι το πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem). Ενότητα 11: Στην εντέκατη ενότητα μελετούμε το πρόβλημα της ενότητας 9, με την μόνη διαφορά ότι η είσοδος είναι φραγμένη. Στην περίπτωση αυτή μια από τις συνθήκες που είχαμε για την ύπαρξη ακρότατου αντικαθίσταται από την αρχή ελαχίστου (σε άλλα βιβλία μεγίστου, λόγω διαφοράς ορισμού της Χαμιλτονιανής) του Pontryagin. Βασιζόμενοι στην αρχή αυτή επιλύουμε τα προβλήματα : α) του ελαχίστου χρόνου, β) των ελαχίστων καυσίμων και γ) της ελάχιστης ενέργειας. Λέξεις κλειδιά ανά ενότητα Ενότητα 1. Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Το πρόβλημα της Διδούς Ισοπεριμετρικό πρόβλημα. Ισοεπιφανειακό πρόβλημα Το πρόβλημα της αλυσίδας. Ο νόμος της ανάκλασης. Ο νόμος της διάθλασης. Πρόβλημα αεροδυναμικής. Ταυτόχρονο πρόβλημα Κυκλοειδής καμπύλη Βραχυστόχρονο πρόβλημα. Λογισμός των Μεταβολών. Το πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου Ενότητα 2. Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. θετικά (αρνητικά) ορισμένοι πίνακες κλίση συνάρτησης πίνακας καμπυλότητας 10

11 στατική βελτιστοποίηση πολλαπλασιαστές Lagrange ελεγξιμότητα παρατηρησιμότητα κριτήριο απόδοσης πρόβλημα ελαχίστου χρόνου πρόβλημα ελέγχου τελικής τιμής πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας πρόβλημα παρακολούθησης πρόβλημα ρυθμιστή Ενότητα 3. Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. θετικά (αρνητικά) ορισμένοι πίνακες κλίση συνάρτησης Ιακωβιανή πίνακας καμπυλότητας στατική βελτιστοποίηση πολλαπλασιαστές Lagrange Ενότητα 4. Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Συναρτησιακό, Γραμμικό συναρτησιακό Νόρμα συνάρτησης Νορμικός χώρος Ισχυρή (ασθενής) νόρμα Συνέχεια συναρτησιακού Μεταβολή συναρτησιακού Πρώτη μεταβολή συναρτησιακού Διαφορικό Frechet Ισχυρό (ασθενές) τοπικό ακρότατο Ενότητα 5. Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Συνθήκες Euler Lagrange Συνθήκες Legendre Jacobi Τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας (tranversality conditions) Ενότητα 6. Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Συνθήκες Euler Lagrange 11

12 Συνθήκες Legendre Jacobi Τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας (tranversality conditions) Ενότητα 7. Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Συνθήκες Euler Lagrange Συνθήκες Legendre Jacobi Γωνιακές Συνθήκες Weierstrass-Erdmann Ενότητα 8. Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Συναρτησιακή εξάρτηση Πολλαπλασιαστές Lagrange Ισοπεριμετρικό πρόβλημα Ενότητα 9. Εφαρμογές του Λογισμού Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο. Πρόβλημα Bolza Χαμιλτονιανή συνάρτηση ελέγχου (συνάρτηση Pontryagin) Μεταβλητές στον χώρο των καταστάσεων (state space variables) Συζευγμένες μεταβλητές στον χώρο των καταστάσεων (costate variables) Εξίσωση σύζευξης (coupling equation) Συνθήκη στατικότητας (stationarity equation) Ενότητα 10. Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti Αλγεβρική εξίσωση πινάκων Riccatti Γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ή πρόβλημα βέλτιστου ρυθμιστή Linear Quadratic Regulator (LQR) πρόβλημα Ανιχνεύσιμο (detectable) Σταθεροποιήσιμο (stabilizable) Cholesky παραγοντοποίηση Πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem) Ενότητα 11. Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο-αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου (time optimal control problem) Bang-bang control Πρόβλημα ελαχίστων καυσίμων (fuel optimal control problem) Bang-off-bang control Πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας (energy optimal control problem) 12

13 Άδεια χρήσης Creative Commons (CC): Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές (CC BY-SA 4.0) 13

14 2. Πληροφορίες για το πλαίσιο διάθεσης του μαθήματος 2.1 Πλαίσιο Διάθεσης: Ίδρυμα Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης Ίδρυμα: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Aristotle University of Thessaloniki 2.2.Πλαίσιο Διάθεσης: Πρόγραμμα Σπουδών Τίτλος τμήματος: Γεωπονίας School of Agriculture Τομέας: Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας (Εργαστήριο Γεωργίας) Department of Field Crops and Ecology Τίτλος προγράμματος σπουδών Στην ελληνική γλώσσα. Υποχρεωτικό. Στην αγγλική γλώσσα. Υποχρεωτικό. Μαθησιακά αποτελέσματα (Key learning outcomes) Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα έχουν: 1) Γνώσεις σχετικά με τις αποφάσεις που θα πρέπει να ληφθούν κατά τον σχεδιασμό και την εγκατάσταση ενός πειράματος. 2) Γνώσεις σχετικά με τις επιλογές και δυνατότητες που έχουν σχετικά με τη στατιστική ανάλυση των δεδομένων. 3) Πρακτικές ικανότητες και δεξιότητες στην πραγματοποίηση των στατιστικών αναλύσεων. 14

15 4) Κριτική σκέψη σχετικά με τη βιολογική σημαντικότητα και ερμηνεία των αποτελεσμάτων της στατιστικής ανάλυσης. 5) Ικανότητα για παρουσίαση των αποτελεσμάτων του πειράματος σε μορφή κατάλληλη για τη διάχυση των αποτελεσμάτων στην επιστημονική κοινότητα. Επίπεδο Προγράμματος Σπουδών Μεταπτυχιακό (Graduate) / Δεύτερος κύκλος (Second cycle) Ομάδα στόχος Οι φοιτητές του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Γεωπονίας Graduate Students of School of Agriculture 15

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.0102, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.01, Απρίλιος 2013 Συντάκτης: Δρ. Παντελής Μπαλαούρας, Καθ. Λάζαρος Μεράκος Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Βέλτιστος Έλεγχος με φραγμένη είσοδο - Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.01, Απρίλιος 2013 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.01, Απρίλιος 2013 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://cw-prject.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.0102, Μάρτιος 2015 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάπτυξη της Πληροφορικής και οι εφαρμογές της σε όλες τις επιστήμες δεν ήταν δυνατόν να αφήσει έξω από αυτή την τάση την επιστήμη της Θεολογίας.

Η ανάπτυξη της Πληροφορικής και οι εφαρμογές της σε όλες τις επιστήμες δεν ήταν δυνατόν να αφήσει έξω από αυτή την τάση την επιστήμη της Θεολογίας. Αναστάσιος Γ. Μαράς Η ανάπτυξη της Πληροφορικής και οι εφαρμογές της σε όλες τις επιστήμες δεν ήταν δυνατόν να αφήσει έξω από αυτή την τάση την επιστήμη της Θεολογίας. Παρά τις όποιες «παραδοσιακές» αντιλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2102201 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μαθηματικά ΙΙ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18. Ασυμπτωτική ευστάθεια και σταθεροποιησιμότητα γραμμικών συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών... 1 1.2 Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου... 8

1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών... 1 1.2 Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου... 8 v Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό είναι αποτέλεσμα των παραδόσεων, των τελευταίων έξι χρόνων (2002-08), του μαθήματος Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου στο πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Αναστάσιος Γ. Μαράς, ρ Θ. ιδάσκων στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδηµία και το Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο

Αναστάσιος Γ. Μαράς, ρ Θ. ιδάσκων στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδηµία και το Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Αναστάσιος Γ. Μαράς, ρ Θ. ιδάσκων στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδηµία και το Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Η ανάπτυξη της Πληροφορικής και οι εφαρµογές της σε όλες τις επιστήµες δεν ήταν δυνατόν να αφήσει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Διακριτοποίηση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Ανάστροφο εκκρεμές (ανάδραση κατάστασης) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Συντάκτης: Γκόγκος Χρήστος, Επίκουρος Καθηγητής Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Μαθήματος. Ώρες Γραφείου : ΔΕΥ-ΠΑ 08:00-16:00 (εκτός ωρών μαθημάτων)

Περιγραφή Μαθήματος. Ώρες Γραφείου : ΔΕΥ-ΠΑ 08:00-16:00 (εκτός ωρών μαθημάτων) + Περιγραφή Μαθήματος Τίτλος - Κωδικός Αριθμός του Μαθήματος : ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Ι Επίπεδο - Τύπος του Μαθήματος : ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ - ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΟ Έτος Σπουδών - Εξάμηνο : 1 ο Β Αριθμός Ευρωπαϊκών Πιστωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1. Ελεγξιμότητα (μέρος 1ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Πραγματοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Επίλυση Διακριτών Γραμμικών Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΜΑΕ531) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ MAE531 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΜΑΕ531) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ MAE531 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΜΑΕ531) ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ MAE531 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.0102, Απρίλιος 2014 Συντάκτης: Δρ. Παντελής Μπαλαούρας, Καθ. Λάζαρος Μεράκος Πράξη «Κεντρικό Μητρώο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδόσεις 4. Μαθήματα Γενικής Υποδομής Υποχρεωτικά. Δεν υφίστανται απαιτήσεις. Ελληνική/Αγγλική ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

Παραδόσεις 4. Μαθήματα Γενικής Υποδομής Υποχρεωτικά. Δεν υφίστανται απαιτήσεις. Ελληνική/Αγγλική ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ DP1021 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Πρώτο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μαθηματικά ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ σε

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2101101 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 1 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μαθηματικά Ι ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ- ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ (ΣΤ3) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣT3 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ο

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ- ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ (ΣΤ3) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣT3 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ- ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ (ΣΤ3) ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣT3 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 22. Ανατροφοδότηση εξόδου Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 21. Επανατοποθέτηση πολών με ανάδραση εκτιμώμενης κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.01, Απρίλιος 2013 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Συνάρτηση Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (ΜΑΥ331) ΜΑY331 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 3 ο

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (ΜΑΥ331) ΜΑY331 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 3 ο ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (ΜΑΥ331) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑY331 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 3 ο Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 6: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα βέλτιστης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Συντάκτης: Δρ. Παντελής Μπαλαούρας, Καθ. Λάζαρος Μεράκος Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12. Παρατηρησιμότητα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

[1] Μπακιρτζής Α.Γ., Οικονομική Λειτουργία Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας, Εκδ. Ζήτη Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11321

[1] Μπακιρτζής Α.Γ., Οικονομική Λειτουργία Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας, Εκδ. Ζήτη Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11321 Timestamp = 15/Sep/2015 (17.59) ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ & ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Ηλεκτρική Οικονομία» (EHL179 - Θ εξάμηνο) κατανεμημένων σε δεκατρείς(13) εκπαιδευτικές εβδομάδες Ηλεκτρολογοι

Διαβάστε περισσότερα

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά. Κωδικός μαθήματος:

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά. Κωδικός μαθήματος: ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος μαθήματος: ΠΕΠΕΡΑΣΜΈΝΑ ΣΤΟΙΧΕΊΑ Κωδικός

Διαβάστε περισσότερα

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά. Κυματομηχανική Κωδικός

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά. Κυματομηχανική Κωδικός ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Κυματομηχανική Κωδικός CE0 μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Συντάκτης: Δρ. Παντελής Μπαλαούρας, Καθ. Λάζαρος Μεράκος Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Συντάκτης: Τόκη Ευγενία, Επίκουρος Καθηγήτρια Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.0102, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 711

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των. Μεταβολών ( )

Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των. Μεταβολών ( ) Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των ( ) Μεταβολών Εστω σύστημα!x ( t) = a x( t),u( t),t με t 0, x(t 0 ) καθορισμένα. Ζητείται η εύρεση κατάλληλης συνάρτησης ελέγχου u*(t) που, παράγοντας τη τροχιά x*(t)

Διαβάστε περισσότερα

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά

ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος μαθήματος: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ Κωδικός μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό στηρίζεται στην παρουσίαση «Προδιαγραφές Ανοικτών Μαθημάτων v.1» Δρ. Παντελής Μπαλαούρας, καθ. Λάζαρος Μεράκος (Κεντρικό

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7. Ισοδύναμες Περιγραφές Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΩΝ ΓΕΩΠΟΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ FGA540 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.02, Απρίλιος 2014 Συντάκτης: Δρ. Παντελής Μπαλαούρας, Καθ. Λάζαρος Μεράκος (ΕΚΠΑ) Προσαρμογή: Αν. Καθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ M126 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων. Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΤΜΗΜΑ Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕ0145 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 4ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εργαστήριο Προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ - Θεμελιώδεις έννοιες - Επισκόπηση ύλης - Χρήσιμες πληροφορίες ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα