Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής"

Transcript

1 Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα. Τα κύρια σημεία που θα εξετάσουμε είναι: εκτίμηση της μέσης τιμής μ, της τυπικής απόκλισης σ και της κατανομής πιθανότητας Ρ ενός πληθυσμού, τα διαστήματα εμπιστοσύνης για την κατανομή. διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή, Η έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης θα εξηγηθεί αναλυτικά στη συνέχεια με παραδείγματα, αλλά μπορούμε να πούμε από τώρα ότι αφορά ένα διάστημα τιμών όπου μπορούμε να πούμε ότι βρίσκεται η τιμή μιας παραμέτρου με συγκεκριμένο βαθμό βεβαιότητας. Π.χ. η μέση τιμή ενός πληθυσμού βρίσκεται στο διάστημα (0.99, 1.01) με βεβαιότητα (πιθανότητα) 95%. Γενικά, ο σκοπός μας σε αυτή την ενότητα είναι να προσδιορίζουμε διαστήματα τιμών για μια παράμετρο, τα οποία συνδέουμε με συγκεκριμένη βεβαιότητα ή εμπιστοσύνη. Ως βάση της εκτίμησης χρησιμοποιούμε τα στατιστικά. Αυτά δεν ταυτίζονται με τις παραμέτρους αλλά είναι οι καλύτερες εκτιμήσεις των παραμέτρων που μπορούμε να κάνουμε. Υπενθυμίζεται ότι στη μέση τιμή μ αντιστοιχεί ο αριθμητικός μέσος και στην τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού, η αντίστοιχη s του δείγματος. Διαστήματα Εμπιστοσύνης Έχουμε δει μέχρι τώρα ότι οι μετρήσεις μας έχουν πάντα μια διασπορά που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του πειράματος, δηλαδή τους τυχαίους παράγοντες (π.χ. σφάλματα) που υπεισέρχονται και από τον τρόπο που έχει σχεδιαστεί (π.χ. κατά τη ρίψη δυο ζαριών έχουμε αποφασίσει να καταγράφουμε το άθροισμα των τιμών στην πάνω πλευρά τους, τη ζαριά ). Η εξάπλωση των τιμών σε συγκεκριμένα διαστήματα τιμών εκφράζεται μέσα από την κατανομή πιθανότητας. Αυτή η κατανομή δεν είναι πάντα εκ των προτέρων γνωστή αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε εκ των υστέρων (a posteriori), εμπειρικές, πιθανότητες. Επίσης, μπορούμε να βρούμε μέσες τιμές και διασπορές των επιμέρους δειγμάτων και να τις χρησιμοποιήσουμε για να ανακαλύψουμε τα βασικά χαρακτηριστικά του πληθυσμού μέσω του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος που συνδέει αυτά με τα χαρακτηριστικά της δειγματοληψίας. Το πρόβλημα είναι ότι τα στατιστικά που προσδιορίζονται μέσω της κατανομής δειγματοληψίας είναι και αυτά αποτελέσματα παρατηρήσεων που έχουν με τη σειρά τους διασπορά και έτσι δε μπορούμε ποτέ να πούμε ότι μια τιμή που προβλέπουμε για τα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού είναι απόλυτα σωστή και βέβαιη. Όπως για τις μετρήσεις μας έτσι και για τα στατιστικά της κατανομής τους, μπορούμε να εκφράσουμε ποσοτικά την αβεβαιότητα που χαρακτηρίζει την εκτίμησή μας με τη μορφή, συνήθως, κάποιας τυπικής απόκλισης. Π.χ. για τη μέση τιμή, αυτό γίνεται λέγοντας ότι είναι από Α μέχρι Β με Χ% εμπιστοσύνη Όσο πιο μεγάλο το Χ (πιο κοντά στο 100%) τόσο πιο μεγάλο το διάστημα (Α,Β). Όσο πιο στενό

2 το διάστημα γύρω από μια προβλεπόμενη τιμή, τόσο πιο μικρό το Χ. Αν θυμηθούμε το σχήμα της κανονικής κατανομής αυτό γίνεται πιο κατανοητό. Η εκτίμησή μας για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού βάσει των δειγμάτων που παίρνουμε, ακολουθεί την κανονική κατανομή σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Όσο πιο στενή η κορυφή της κατανομής τόσο πιο βέβαιοι είμαστε για το πού βρίσκεται η πραγματική μέση τιμή. Αν είναι σχετικά πλατειά, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να βρίσκεται πιο μακριά από την κορυφή της καμπύλης. Τα όρια Α, Β του διαστήματος εμπιστοσύνης προκύπτουν προσθέτοντας και αφαιρώντας από την προβλεπόμενη τιμή, μια τιμή που δείχνει το εύρος της αβεβαιότητάς μας. Τα πιο συνήθη στην πράξη, ποσοστά εμπιστοσύνης είναι 95%, 98, 99 ή 99.5% Όπως έχουμε πει, η τυπική κανονική κατανομή ορίζεται αν κάνουμε ένα μετασχηματισμό της τυχαίας μεταβλητής σύμφωνα με z = (x -μ) /σ. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι μετατοπίζουμε την κατανομή κατά μ και μετράμε τη μεταβλητή σε μονάδες σ. Αφού όλες οι κανονικές κατανομές μπορούν να αναχθούν στην τυπική κανονική κατανομή, οι τιμές αυτής δίνονται σε πίνακες και δεδομένων των σ και μ, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η μεταβλητή μας, x, να κυμαίνεται σε ορισμένα όρια. Πράγματι, αν ανατρέξουμε στον πίνακα τιμών της τυπικής κατανομής (και συγκεκριμένα στους πίνακες που δίνουν το εμβαδόν κάτω από τμήματα της καμπύλης) θα δούμε μια πιθανότητα p από 0 έως 0.5 να αντιστοιχίζεται σε συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές, z0. Αυτή, είναι η πιθανότητα η μετασχηματισμένη μεταβλητή z να βρίσκεται στο διάστημα [0, z 0). Λόγω της συμμετρίας της καμπύλης, δε χρειάζεται να ξέρουμε τις τιμές για διαστήματα που περιλαμβάνουν αρνητικές τιμές. Αυτός είναι ο λόγος που δε δίνονται πιθανότητες πάνω από Έτσι, αν p η πιθανότητα να ισχύει 0 < z < z 0, τότε 2p θα είναι η αντίστοιχη πιθανότητα να ισχύει -z 0 < z < z 0. Επίσης, λόγω της συμμετρίας, η πιθανότητα να ισχύει 0 < z < z 0 θα είναι ίση με αυτή κατά την οποία θα ισχύει -z 0 < z < 0. Άρα, αν έχουμε p 1 πιθανότητα να ισχύει 0 < z < z 1 και p 2 πιθανότητα να ισχύει 0 < z < z 2, τότε θα ισχύει τόσο -z 1 < z < +z 2 όσο και -z 2 < z < +z1 με πιθανότητα p1+p2. Έχοντας καθορίσει ένα τέτοιο διάστημα για τη μετασχηματισμένη μεταβλητή z και γνωρίζοντας τα μ και σ (ή τα αντίστοιχα στατιστικά), μπορούμε να ορίσουμε το αντίστοιχα διάστημα για την αρχική μεταβλητή x. Έτσι, αναφορικά με το προηγούμενο παράδειγμα, θα ισχύει μ-z2 σ < x < μ+z1 σ με πιθανότητα p1+p2. Συνήθως μας ενδιαφέρουν συμμετρικά διαστήματα της μορφής -z0 < z < z0, με πλάτος 2z0 γιατί έτσι καθορίζουμε τα λεγόμενα διαστήματα εμπιστοσύνης δηλαδή διαστήματα για τα οποία γνωρίζουμε την πιθανότητα να περιλαμβάνουν την πραγματική τιμή της θεωρούμενης μεταβλητής. Για δεδομένο διάστημα εμπιστοσύνης μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα που αντιστοιχεί σε αυτό, αλλά πιο συχνά ακολουθούμε την αντίστροφη διαδικασία: ορίζομε ένα βαθμό εμπιστοσύνης ως πιθανότητα π.χ ή 99% και βρίσκουμε σε ποιο διάστημα αντιστοιχεί. Αυτό είναι το πιο σύνηθες γιατί μας ενδιαφέρει να είμαστε βέβαιοι σε ικανοποιητικό βαθμό για τα αποτελέσματα που λαμβάνουμε. Επίπεδο σημαντικότητας Όταν το επίπεδο εμπιστοσύνης αναφέρεται στη διαφορά μιας παραμέτρου ή μιας κατανομής αποτελεσμάτων από κάποια τιμή ή σύνολο τιμών αναφοράς, λέγεται σημαντικότητα. Η σημαντικότητα μας δείχνει αν η διαφορά είναι υπαρκτή και πρέπει να ληφθεί υπ' όψιν ως τέτοια ή θα μπορούσε να προκύψει π.χ. κατά τύχη ή από άλλες αιτίες που μας είναι γνωστές αλλά δε μας ενδιαφέρουν. Μέθοδοι ελέγχου Το πιο σύνηθες πρόβλημα είναι η αξιολόγηση της ακρίβειας των μέσων τιμών ή διασπορών μιας 1 Αν και άλλες εκδόσεις δίνουν τις τιμές από 0.5 ως 1. Ουσιαστικά, πρόκειται για την ίδια λογική: παραλείπεται το μισό κομμάτι της καμπύλης επειδή είναι εύκολο να προκύψει από το άλλο μισό λόγω συμμετρίας.

3 στατιστικής κατανομής. Υπάρχουν τουλάχιστον 4 κριτήρια ή τρόποι ελέγχου για το σκοπό αυτό, οι οποίες είναι: ο έλεγχος βάσει του z, όπου z είναι η μεταβλητή της τυπικής κατανομής στην οποία μετασχηματίζουμε τη μεταβλητή x η οποία εκφράζει τις παρατηρήσεις μας, με τη γνωστή σχέση z = (x-μ)/σ ο έλεγχος βάσει του t κατά Student όπου t είναι η μεταβλητής της κατανομής του Student και ορίζεται με παρόμοιο τρόπο όπως και το z ο έλεγχος βάσει του F για τη σύγκριση διασπορών από διαφορετικά δείγματα ο έλεγχος με το χ 2 για δεδομένα που δεν είναι αριθμητικά και δεν αποτελούν κατανομές Σε επόμενες ενότητες θα αναφερθούμε αναλυτικά στους τρόπους εφαρμογής αυτών των κριτηρίων. Η περιοχή εφαρμογής κάθε μεθόδου και οι αντίστοιχες προϋποθέσεις συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: Διαφορές ανάμεσα σε... δύο μέσες τιμές πάνω από δύο μέσες τιμές πολλαπλούς ελέγχους δύο διασπορές Μέθοδος (α) z, αν το σ είναι γνωστό (β) t ή z, αν το σ είναι κατ' εκτίμηση γνωστό (γ) F βάσει διασποράς δύο αναλογίες (ποσοστά εμφάνισης) z ή χ 2 δύο κατανομές συχνοτήτων χ 2 Βαθμοί ελευθερίας Η κατανομή z (τυπική κανονική κατανομή) θα μας χρησιμεύσει σε μεγάλο βαθμό για τον προσδιορισμό και τη χρήση των διαστημάτων εμπιστοσύνης. Στη συνέχεια, για τον προσδιορισμό της σημαντικότητας θα χρησιμοποιήσουμε τις κατανομές z, t (κατά Student), κατανομή του λόγου F και κατανομή του χ 2. Αυτές δίνονται σε πίνακες, αλλά υπάρχουν και στα διάφορα προγράμματα λογιστικών φύλλων (Microsoft Excel, OpenOffice Calc κλπ) ως ενσωματωμένες συναρτήσεις. Εξετάζοντας τις κατανομές t, F και χ 2 θα δούμε ότι στους πίνακες ή τα απαιτούμενα ορίσματα των ενσωματωμένων συναρτήσεων περιλαμβάνονται και οι λεγόμενοι βαθμοί ελευθερίας. Η έννοια του βαθμού ελευθερίας (degree of freedom) είναι πολύ γενική και απαντάται στη φυσική, τη θερμοδυναμική, τη χημική τεχνολογία κλπ. Ουσιαστικά, αναφέρεται στο ελάχιστο σύνολο μεταβλητών που απαιτούνται για τον προσδιορισμό της κατάστασης ενός συστήματος ή στοιχείων που απαιτούνται για την αναπαραγωγή της πληροφορίας που περιέχεται σε ένα σύνολο. Επίσης, με τον ίδιο όρο αναφερόμαστε και στον αριθμό αυτών των ελάχιστων απαιτούμενων μεταβλητών. Οι βαθμοί ελευθερίας εξαρτώνται από τους περιορισμούς που επιβάλλουμε και συγκεκριμένα ελαττώνονται όσο περισσότερους περιορισμούς επιβάλλουμε γιατί σε αυτούς μεταφέρεται ένα μέρος της συνολικής πληροφορίας. Η έννοια του βαθμού ελευθερίας στη Στατιστική γίνεται κατανοητή με το ακόλουθο γενικό παράδειγμα: έστω ένα σύνολο Ν αριθμών {x1, x2,... xn}. Κατ' αρχήν, η πληροφορία του συνόλου περιέχεται σε αυτούς τους αριθμούς, άρα έχουμε Ν βαθμούς ελευθερίας (df=n). Αν όμως αποφασίσουμε ότι ο μέσος του συνόλου έχει μία σταθερή τιμή μ0, τότε αρκεί να προσδιορίσουμε οποιουσδήποτε Ν-1 αριθμούς για να προσδιοριστεί αυτόματα και αυτός που απομένει, π.χ. F F F

4 N x 1 =N μ 0 x i i=2 Τότε, έχουμε Ν-1 βαθμούς ελευθερίας, df=n-1. Αν περιορίζαμε και τη διασπορά του συνόλου, τότε, εύκολα βρίσκουμε ότι θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε δύο από τους αριθμούς λύνοντας το ακόλουθο σύστημα: N x 1 x 2 =N μ 0 i=2 N x i και x 1 μ 0 2 x 2 μ 0 2 = N 1 σ 2 x i μ 0 2 i=2 οπότε έχουμε N-2 βαθμούς ελευθερίας, df = N-2. Δεν είναι απαραίτητο οι βαθμοί ελευθερίας να αφορούν τις τιμές κάποιου στατιστικού. Θα μπορούσε π.χ. να ισχύει, λόγω της φύσης του προβλήματος, ο περιορισμός x1 + x2 = σταθερά. Ωστόσο, εδώ θα ασχοληθούμε μόνο με τους περιορισμούς που απορρέουν από την απόδοση συγκεκριμένων τιμών στα στατιστικά. Οι περιορισμοί τότε, απορρέουν από τη σύγκριση του εξεταζόμενου δείγματος με κάποιο υποθετικό πρότυπο δείγμα το οποίο έχει ίδια με το αρχικό, ένα ή περισσότερα εξεταζόμενα στατιστικά. Ακρίβεια μέσης τιμής βάσει δείγματος Όσο αυξάνουμε το επίπεδο εμπιστοσύνης τόσο αυξάνεται και το εύρος του διαστήματος όπου είναι πιθανό με τη δεδομένη εμπιστοσύνη, να κυμαίνεται το εξεταζόμενο στατιστικό. Πρακτικά, είναι πιο δύσκολο και απίθανο να πετύχουμε υψηλή ακρίβεια. Μόνο με χαμηλή ακρίβεια, δηλαδή μεγάλη διασπορά, της μέτρησης μπορούμε να διαβεβαιώσουμε για το εύρος στο οποίο διακυμαίνεται μια τιμή. Για παράδειγμα, έστω δείγμα 144 στοιχείων που έδωσε μέση τιμή 60 και τυπική απόκλιση 9. Τότε, η τυπική απόκλιση της κατανομής δειγματοληψίας εκτιμάται ως ίση με s x = s n 1/2 = /2= 9 12 =0.75 Ζητείται η ακρίβεια του υπολογισμένου μέσου με επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και 99%. Από τους πίνακες της τυπικής κατανομής βρίσκουμε ότι για 95% το z 0 έχει τιμή 1.96 ενώ για 99% είναι ίσο με 2.58 *. Αν μεταφράσουμε τις πιθανότητες σε ποσοστό συχνοτήτων, τότε για 95% συνεπάγεται ότι το 95% των δειγμάτων που θα παίρναμε θα είχε μέση τιμή σε ένα εύρος ±1.96 τυπικές αποκλίσεις από τη δεδομένη τιμή των 60. Αντίστοιχα, για 99% εμπιστοσύνη οι μέσες τιμές θα βρίσκονται σε διάστημα εύρους ±2.58 τυπικές αποκλίσεις. Το διάστημα εμπιστοσύνης 95%, τότε, είναι Το διάστημα εμπιστοσύνης 99% είναι 60 ±1.96 Χ 0.75 = 60 ± 1.47 = έως ±2.58 Χ 0.75 = 60 ± 1.94 = έως Παράδειγμα 1: Μία μηχανή παράγει κυλινδρικές μεταλλικές ράβδους με συγκεκριμένο επιθυμητό μήκος, π.χ. 100 εκατοστά. Δίνεται ότι η τυπική απόκλιση του μήκους των παραγόμενων ράβδων είναι 0.1 εκατοστά. Κάνουμε δειγματοληψία ανά 36 (ο αριθμός επελέγη ως το τετράγωνο του 6 για να απλοποιηθούν οι πράξεις και ως μεγαλύτερος του 30 για να θεωρηθεί ακριβής η εκτίμηση) και σχηματίζουμε την κατανομή δειγματοληψίας. * Επειδή οι σχετικοί πίνακες δίνουν το μισό της καμπύλης για την τυπική κατανομή, λόγω συμμετρίας, διαιρούμε τα ζητούμενα ποσοστά διά 2 και αναζητούμε στον πίνακα τις αντίστοιχες τιμές, δηλαδή και 0.495

5 x = =100, x = n = = Από πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής ή συναρτήσεις λογιστικών φύλλων μπορούμε να δούμε ότι, βάσει του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος, η πιθανότητα να είναι το x μεγαλύτερο ή μικρότερο από 1 μέτρο κατά σ= εκατοστά, θα είναι = Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να εμφανιστεί μια δεδομένη τιμή σύμφωνα με την κανονική τιμή, μετασχηματίζουμε σε τιμές τυπικής κανονικής κατ ανομής (που υπάρχει σε πίνακες) βρίσκοντας την ποσότητα z0 = ( -μ)/σ (δηλαδή με κέντρο το μ, ανάγουμε την εκτίμηση της μέσης τιμής, σε μονάδες σ). Οι πίνακες δίνουν την πιθανότητα να εμφανιστεί μία τιμή μεταξύ 0 και του υπολογισμένου z0. Επειδή η κανονική κατανομή είναι συμμετρική, η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει, δηλαδή, η πιθανότητα -z0 < z < z0 θα είναι η διπλάσια. Άρα, η πιθανότητα η μέση τιμή της κατανομής να απέχει κατά σ = από τον υπολογισμένο αριθμητικό μέσο, θα βρεθεί υπολογίζοντας z 0 = ((μ+σ)-μ)/σ = 1 και βρίσκοντας από τον πίνακα την αντίστοιχη τιμή που είναι , οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι, όπως είπαμε, ή 68,26%. Σημαντικό: το παραπάνω διάστημα εμπιστοσύνης ισχύει ακόμη και αν το μ είναι άγνωστο. Θα βρούμε μία μέση τιμή μ' από το δείγμα και η πιθανότητα να είναι στα όρια μ' και μ' είναι 68%. Εδώ, ορίσαμε πρώτα το διάστημα εμπιστοσύνης ( -σ, +σ) εύρους 2σ και ζητήσαμε να βρούμε την πιθανότητα η μέση τιμή να βρίσκεται σε αυτό. Συνήθως όμως γίνεται το αντίστροφο: ορίζουμε ένα επίπεδο εμπιστοσύνης, π.χ. 95%, και θέλουμε να δούμε για ποιο διάστημα ισχύει αυτό. Καταλαβαίνουμε και πάλι ότι όσο πιο μεγάλη εμπιστοσύνη ζητάμε τόσο πιο μεγάλο πρέπει να είναι και το διάστημα. Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε θεωρώντας την ακραία περίπτωση απόλυτης εμπιστοσύνης ή βεβαιότητας 100%: μόνο αν η εκτιμώμενη παράμετρος επιτραπεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ - και + μπορεί να επιτευχθεί απόλυτη βεβαιότητα. Όσο θα πλησιάζουμε προς την απόλυτη βεβαιότητα ότι η τιμή θα βρίσκεται στο διάστημα εμπιστοσύνης, τόσο θα μεγαλώνει το εύρος αυτού. Η εκτίμηση του διαστήματος εμπιστοσύνης με βάση την προκαθορισμένη βεβαιότητα είναι αυτό που αφορά το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η μέση τιμή των παραγόμενων ράβδων με 95% εμπιστοσύνη, αν η μέση τιμή του δείγματος είναι 0.5 μέτρα. Ακολουθούμε τα εξής βήματα: διαιρούμε την επιθυμητή εμπιστοσύνη διά 2 ώστε να βρούμε το μέρος του εμβαδού που είναι κάτω από την καμπύλη της τυπικής κανονικής κατανομής στο ένα μισό. Η καμπύλη είναι συμμετρική. Βρίσκουμε 47.5% Βρίσκουμε από πίνακες ή συναρτήσεις λογιστικών φύλλων την τιμή z 0 της τυπικής κανονικής κατανομής που αντιστοιχεί σε αυτό. υπολογίζουμε το εύρος γύρω από τη μέση τιμή ως z 0 επί τυπική απόκλιση κατανομής δειγματοληψίας (βλ. ΚΟΘ) βρίσκουμε το άνω και κάτω όριο προσθαφαιρώντας αυτό που βρήκαμε από τη μέση τιμή Συγκεκριμένα: 95% / 2 = 47,5% = 0,475 z0 (0,475) = 1,96 (από πίνακες) Για την κατανομή δειγματοληψίας βρήκαμε προηγουμένως ότι σ= επομένως x=0.5± =0.5±0.033

6 Αν θέλουμε να αυξήσουμε την εμπιστοσύνη στο 99% θα βρούμε 99 / 2 = 49,5 = z0 (0,495) = 2,58 (από πίνακες) x=0.5± =0.5±0.043 Βλέπουμε ότι, όπως θα θεωρούσαμε λογικό, όσο μεγαλύτερο το εύρος γύρω από τη μέση τιμή, τόσο μεγαλύτερη η εμπιστοσύνη (αλλά μικρότερη η ακρίβεια). Γενικά, λοιπόν, το διάστημα εμπιστοσύνης δίνεται από x = x±z 0 x = x±z 0 n Άγνωστη τυπική κατανομή πληθυσμού Αν δε γνωρίζω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, θα βασιστώ στη στατιστική του δείγματος. Τότε η διαδικασία είναι ίδια όπως πριν, μόνο που γράφουμε s αντί για σ: x = x±z 0 s n Παράδειγμα 3 Μια γραμμή παραγωγής παράγει μεταλλικές ράβδους μήκους 10 εκ, ενώ οι προδιαγραφές απαιτούν οι αποκλίσεις να μην είναι πέρα από ±0.25 εκ. Ένα δείγμα των 36 ράβδων έδωσε μέση τιμή 9.99 εκ. και τυπική απόκλιση 0.21 εκ. Ποιο είναι το ποσοστό των ράβδων που αναμένεται να είναι εκτός προδιαγραφών; Θα χρησιμοποιήσουμε την κατανομή δειγματοληψίας που ξέρουμε ότι υπακούει στην κανονική κατανομή, για να βρούμε το ποσοστό μέσων τιμών δειγμάτων που είναι εκτός προδιαγραφών. Ως εκτίμηση της μέσης τιμής του πληθυσμού θα χρησιμοποιήσουμε αυτή του δείγματος αφού δεν έχουμε άλλη πληροφορία. Παρόμοια, η τυπική απόκλιση του δείγματος θα χρησιμεύσει ως εκτίμηση αυτής του πληθυσμού για να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση της κατανομής δειγματοληψίας. Εδώ δε δίνεται ποσοστό εμπιστοσύνης αλλά μας δίνονται κάποιες προδιαγραφές τις οποίες πρέπει να αντιληφθούμε ως διάστημα εμπιστοσύνης. Αυτό, σύμφωνα με τις προδιαγραφές, είναι από 9.75 έως εκ. και απαιτείται το 100% των παραγόμενων ράβδων να έχει μήκος ανάμεσα σε αυτά τα όρια. Επειδή αυτό το διάστημα αναφέρεται σε μεμονωμένες ράβδους και όχι δείγματα ράβδων, πρέπει να το μετατρέψουμε σε διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή της κατανομής δειγματοληψίας, διαιρώντας την απόκλιση των 0.25 με την αντίστοιχη τυπική απόκλιση. Η απόκλιση που επιβάλλουν οι προδιαγραφές στην κατανομή δειγματοληψίας θα είναι ίση με s x = s 0.25 = =0.25 1/2 1/2 n 36 6 =0.042 και το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης γίνεται 10 ±0.042, δηλαδή από έως Η τυπική απόκλιση της (πραγματικής) κατανομής δειγματοληψίας είναι s x = s 0.21 = =0.21 1/2 1/2 n 36 6 =0.035 Το κάτω όριο των μετασχηματισμένων προδιαγραφών δίνει απόκλιση ( ) = και τιμή z0 ίση με 0.032/0.042 = 0.762, ενώ το άνω όριο αντίστοιχα, δίνει απόκλιση = και z0 = 0.052/0.042 = Από πίνακες για το εμβαδόν της τυπικής κανονικής κατανομής για το διάστημα [0, z0),

7 βρίσκουμε: για την τιμή , τιμή εμβαδού που σημαίνει ότι ποσοστό = = % των δειγμάτων αναμένεται να έχει μέση τιμή κάτω από εκ. για την τιμή , τιμή εμβαδού που σημαίνει ότι ποσοστό = % αναμένεται να έχει μέση τιμή πάνω από εκ. (Υπενθυμίζεται ότι άλλοι πίνακες της κανονικής κατανομής δίνουν τα εμβαδά του μισού της καμπύλης από 0 ως 0.5, λόγω συμμετρίας, γι' αυτό και πρέπει να αφαιρούμε τις αντίστοιχες τιμές από το 0.5 και όχι από το 1. Βέβαια, το αποτέλεσμα είναι τελικά το ίδιο). Συμπερασματικά, ένα ποσοστό = % αναμένεται να είναι εκτός προδιαγραφών και πρέπει οπωσδήποτε να ελεγχθεί τι δεν πάει καλά με την παραγωγική διαδικασία! Σημείωση : η χρήση της κατανομής δειγματοληψίας μοιάζει με μια άχρηστη παράκαμψη. Αν δε μετατρέπαμε το διάστημα των προδιαγραφών και χρησιμοποιούσαμε απευθείας τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση του δείγματος, θα παίρναμε τα εξής αποτελέσματα: ( ) / 0.21 = 1.14 και από πίνακες, ποσοστό κάτω από 9.75 ίσο με 12.71% ( ) / 0.21 = 1.24 και από πίνακες, ποσοστό πάνω από ίσο με 10.75% Άρα συνολικό ποσοστό εκτός προδιαγραφών: 20.96%. Παρατηρούμε ότι η κατανομή δειγματοληψίας έδωσε πιο συντηρητική εκτίμηση, πράγμα που είναι γενικά προτιμώτερο για να είμαστε εξασφαλισμένοι, χρησιμοποιήσαμε τις τιμές από το δείγμα, αλλά δεν έχουμε πληροφορία για το αν η κατανομή του προσεγγίζει την κανονική και επομένως δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε με ασφάλεια τους αντίστοιχους πίνακες. Αντίθετα, η κατανομή δειγματοληψίας ακολουθεί την κανονική κατανομή αποδεδειγμένα (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα). Επίπτωση μεγέθους δείγματος: Η διαδικασία που περιγράψαμε προϋποθέτει αρκετά μεγάλα δείγματα (n > 30) για να έχει εφαρμογή το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν το σ είναι άγνωστο, χρησιμοποιούμε το s ως εκτίμηση Αν το δείγμα είναι μικρό, τότε αν γνωρίζω ή περιμένω, θεωρώ λογικό, ότι ακολουθεί κανονική κατανομή, χρησιμοποιώ κατανομή του t κατά Student (βλ. σχετικά, παρακάτω) και s για την τυπική απόκλιση. αλλιώς, δε μπορώ να κάνω ασφαλή εκτίμηση Για την περίπτωση χρήσης της κατανομής του Student, το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή, είναι: x = x±t 0 s n όπου παίρνω τη διορθωμένη σχέση για την τυπική απόκλιση (με το n-1 για να αντισταθμίσω n την υποεκτίμηση του σ για μικρά δείγματα) του δείγματος: s= i=1 x i x 2 / n 1

8 Πίνακες κατανομής Student Η κατανομή του t μοιάζει με την κανονική κατανομή, είναι και αυτή συμμετρική, και μάλιστα για μεγάλα δείγματα τείνει να ταυτιστεί με την κανονική. Στους πίνακες δίνονται: αριστερή στήλη: βαθμοί ελευθερίας = n 1, π.χ. για δείγμα των 15, df = 14 πρώτη οριζόντια γραμμή (επικεφαλίδες): πιθανότητα της τυπικής ή ανηγμένης μεταβλητής που συμβολίζεται με t (όπως το z για την τυπική κανονική κατανομή), να υπερβεί την τιμή που αναγράφεται στο πεδίο για δεδομένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Παράδειγμα 4: Έχουμε δείγμα με n = 9 και θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή με διάστημα εμπιστοσύνης 95%. Βρίσκουμε df = n-1 = 8. Πρόκειται για μικρό δείγμα (< 30) οπότε θα καταφύγουμε στους πίνακες του t κατά Student. Επειδή αναζητούμε πιθανότητες η μέση τιμή να υπερβεί κάποια τιμή, είτε από δεξιά είτε από αριστερά, αφαιρούμε = 5% και μετά διαιρούμε διά 2, το οποίο δίνει 2.5% = Δηλαδή, η πιθανότητα να βγει παραπάνω από το άνω όριο εμπιστοσύνης θα είναι 2.5% και άλλο τόσο να βγει λιγότερο από το κάτω όριο. Άρα, πάμε στη στήλη και αναζητούμε τη γραμμή 8 και στην τομή τους βρίσκουμε την τιμή που σημαίνει ότι t > με πιθανότητα 2.5% και t < με πιθανότητα επίσης 2.5%. Άρα, το διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι x s/ 9, x s/ 9 = x 0.769s, x s με πιθανότητα 95%. Παρατήρηση: η κατανομή του t κατά Student μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για n > 30 δίνοντας ακριβέστερα αποτελέσματα από την κανονική όταν το σ είναι άγνωστο και καταφεύγουμε στο s. Αλλά αυτή και η κανονική κατανομή τείνουν να συμπέσουν με αυξανόμενο μέγεθος δείγματος ώστε η διαφορά να είναι ασήμαντη. Παράδειγμα 5: Θέλουμε να βρούμε διάστημα εμπιστοσύνης 98% για τη μέση τιμή μιας κατανομής: α) διτροπική κατανομή πληθυσμού με γνωστή σ = 7.85 από δείγμα n = 50 > 30. β) κατανομή πληθυσμού γνωστή ως κανονική, άγνωστο σ και δείγμα των 15 < 30. γ) μονοτροπικό αλλά έντονα ασύμμετρο δείγμα και κατανομή πληθυσμού γνωστή ως μη κανονική, άγνωστο σ και δείγμα 36 > 30. δ) Κανονική κατανομή πληθυσμού με γνωστό σ = 8 και δείγμα 25 < 30. ε) Κανονική κατανομή πληθυσμού με άγνωστο σ και δείγμα 45 > 30. στ) Μη κανονική κατανομή, διτροπικό δείγμα 24 < 30. Απαντήσεις. α) γνωστή σ και n > 30 συνεπάγονται χρήση τυπικής κανονικής κατανομής (z) β) δείγμα μικρότερο του 30 και άγνωστο σ συνεπάγονται χρήση κατανομής Student και s αντί για σ γ) δείγμα μεγαλύτερο του 30 αλλά άγνωστο σ συνεπάγεται χρήση του z ή του t, αλλά με s αντί για σ. δ) δείγμα μικρότερο του 30 συνεπάγεται χρήση του t (Student) με s, παρά το ότι είναι γνωστό και το σ.

9 ε) δείγμα άνω των 30 αλλά άγνωστο σ συνεπάγεται χρήση z ή χρήση t με s αντί για σ, τόσο με το z όσο και με το t. στ) δείγμα μικρότερο του 30 για μη κανονική κατανομή δεν επιτρέπει χρήση z ή t για διάστημα εμπιστοσύνης μέσης τιμής. Εμπιστοσύνη αναλογιών (ποσοστών εμφάνισης) διωνυμική κατανομή Χρησιμοποιούμε μια παρόμοια με τις προηγούμενες, σχέση: P= p±z 0 pq n Προϋπόθεση είναι το μικρότερο υποσύνολο των δεδομένων να έχει τουλάχιστον 10 παρατηρήσεις. Δηλαδή, αν έχουμε ένα σύνολο από n = n p + n q παρατηρήσεις όπου n p είναι οι επιτυχίες (p) και n q οι αποτυχίες (q), τότε η μικρότερη από τις δύο πρέπει να είναι πάνω από 10: min (n p, n q ) > 10 Παράδειγμα 6 Εμβολιάζονται 200 άνθρωποι για το νέο ιό της γρίππης και οι 185 αποκτούν ανοσία. Ζητείται να ορίσουμε το ποσοστό επιτυχιών p και να ορίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99.5 % για το παραπάνω αποτέλεσμα. Το μικρότερο υποσύνολο πρέπει να έχει τουλάχιστον 10 παρατηρήσεις. Εδώ έχουμε 15 αποτυχίες > 10. Εκτιμούμε τις πιθανότητες βάσει του δείγματος: p = 185 / 200 = 0.925, q = 1-p = Βρίσκουμε το z 0 όπως κάναμε πιο πάνω και είναι ίσο με Βρίσκουμε διάστημα εμπιστοσύνης: ± 2.58 Χ (0.925 Χ 0.075/200) 1/2 = ± = έως

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Κατανομές Κάθε κατανομή συχνότητας (λίστα από ζεύγη X i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 01. Βασικές Έννοιες

Διάλεξη 01. Βασικές Έννοιες Βασικές Έννοιες Διάλεξη 01 Ο βασικός σκοπός της στατιστικής είναι η σύνοψη των δεδομένων που προέρχονται από παρατηρήσεις, ώστε να δούμε τις βασικότερες τάσεις αυτών και να γενικεύσουμε τα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο Στατιστική ΙI Ενότητα : Εκτίμηση Διαστήματος Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Aν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική ΙΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1 Εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή.

Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή. Ενότητα 1 Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή. Βασικές Έννοιες Ένας βασικός σκοπός της στατιστικής είναι η σύνοψη των δεδομένων που προέρχονται από παρατηρήσεις, ώστε να δούμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα