Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( , )

Transcript

1 Λύεις Ακήεω για το άηα Στατιτική ΙΙ Έλεγος Υποέεω -, - Μ Κούτρας ΜΜπούτικας Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου Παρ 6 Άκηη Έτω έα τυαίο δείγα εγέους από ια καταοή ε υάρτηη πυκότητας f ;, < < Για το έλεγο της υπόεης Η : έατι της Η : ρηιοποιούε τη κρίιη περιοή K :, όπου κατάλληλη ταερά α Να υπολογιού οι πιαότητες φάλατος τύπου Ι και τύπου II τη περίπτωη που επιλέγουε Να ρεεί η τιή της ταεράς έτι ώτε η πιαότητα εφάιης φάλατος τύπου Ι α είαι ίη ε 9 Στη υέεια α υπολογιεί η πιαότητα φάλατος τύπου ΙΙ γ Α 8 α κάετε το έλεγο ε 9 έω του -lu Λύη α Ιύει ότι, και εποέως, d, [,], [ I] 3 4, 3 3 [ II] 8 Θα είαι [ I] και [ II] γ Η απορρίπτεται ότα Κ: 9 Επειδή εδώ δε ιύει η αιότητα διότι εδώ η τιή της Χ από τα δεδοέα είαι 8 δε πορούε α απορρίψουε τη Η ε ε Ιοδύαα πορούε α πάρουε απόφαη έω του -lu Θα είαι -lu 8 36, το οποίο δε είαι ικρότερο του 9 και εποέως, δε απορρίπτεται η Η ε ε 9 Άκηη Έτω,,, έα τυαίο δείγα από τη καοική καταοή N, Για το έλεγο της υπόεης Η : έατι της Η : 4 ρηιοποιούε τη κρίιη περιοή Κ : α Αφού ρεεί η ταερά ώτε ο έλεγος α έει πιαότητα φάλατος τύπου Ι ίη ε 5%, α υπολογιεί η πιαότητα φάλατος τύπου ΙΙ Α 3, 4, 3 8, α κάετε το έλεγο ε ε 5% Λύη α Α ~ N,, η τ T, ακολουεί καταοή ε ε ως άροια τετραγώω αεξάρτητω τυπικώ καοικώ τ Εποέως, για, Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

2 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας ~ ] [ T T I Για α είαι [I], α πρέπει, όπου είαι το άω α-ηείο της καταοής ε ε Συεπώς 4, : ] [ II Έουε δείγα εγέους 3 ε , και Εποέως 3, και απορρίπτουε τη Η :, ε ε Ιοδύαα, ρηιοποιώτας το -lu α έουε lu Μπορούε α πούε ότι, όλις το 3 % τω περιπτώεω που ιύει η Η : λαάουε έα τέτοιο δείγα και ακόη πιο ακραίο από αυτό Με άλλα λόγια, το υγκεκριέο δείγα εωρείται απίαο α προέρεται υπό τη Η και υεπώς απορρίπτουε τη υγκεκριέη Η τυπικά, εξετάζουε α -lu < Άκηη 5 Έτω,,, έα τυαίο δείγα από τη καταοή Ν, Για το έλεγο της υπόεης Η : έατι της Η : ρηιοποιείται η επόεη κρίιη περιοή Κ:, όπου κατάλληλη ταερά Να δειεί ότι το ελάιτο έγεος του δείγατος που απαιτείται ώτε οι πιαότητες φαλάτω τύπου Ι και II του ελέγου α είαι το πολύ ίες ε α και ατίτοια, δίεται από το τύπο ] [ α όπου το ύολο [] παριτάει το ακέραιο έρος του Λύη Θα είαι, I Φ ] [, Φ ] [ II Εποέως, Παρατηρούε ότι για α υπάρει το παραπάω α πρέπει,

3 [ ] όπου ύφωα ε τη εκφώηη Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου Παρ 3 Άκηη Έτω τυαίο δείγα Χ, Χ,, Χ ~ Ν,, όπου 6, 6 και είαι άγωτη παράετρος α Να ρεεί η περιοή απόρριψης Κ για το έλεγο της υπόεης Η : έατι της Η : για 5, 55 ε ε 5 Να ρείτε τη πιαότητα φάλατος τύπου ΙΙ και τη ιύ π του παραπάω ελέγου Α,,,, α ρεεί το έγεος του δείγατος ώτε η ιύς α είαι τουλάιτο 95 Λύη α Γωρίζουε ότι, ύφωα ε το Λήα N-, ο καλύτερος έλεγος ε επίπεδο ηατικότητας α για τη υπόεη Η : έατι της Η :,, α έει περιοή απόρριψης: Κ: 5 T Θα είαι και Επίης II Φ π II Φ Φ π Φ Άκηη Επιυούε α εξετάουε α ο έος εός καοικού πληυού N, είαι Η ή Η Λαάουε τδ εγέους, το οποίο ρίκουε έο α Α 5 α κάετε το υγκεκριέο έλεγο ε ε α 5% Να υπολογίετε το -lu του παραπάω δείγατος και έω αυτού α επαελέγξετε τη Η έατι της Η γ Α ο ίδιος δειγατικός έος προέκυπτε από δείγα 5, τι απόφαη α παίραε; Να ρείτε το ατίτοιο -lu δ Πόο πρέπει α είαι το ώτε π 95; Λύη α Σύφωα ε το Λήα N-, ο καλύτερος έλεγος ε ε έει περιοή απόρριψης: Κ: T Ιύει ότι t 649 < Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 3 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

4 Εποέως δε απορρίπτουε τη Η Το -lu είαι lu T t Φ 649 3% γ Τώρα α είαι t : απορρίπτεται η Η, ε ατίτοιο -lu: lu Φ88 34% Επίης, η υάρτηη ιύος π Φ, για και 5 α έει τη ορφή: Παρατηρούε ότι αυξάεται όο αποακρύεται το από το δ Θα πρέπει, [ II] Φ 7 Άκηη 3 Η έη γεωργική παραγωγή αά τρέα εός υγκεκριέου προϊότος ε ια α- γροτική περιοή είαι 35 τόοι ε τυπική απόκλιη 3 τόους Μετά τη ρηιοποίηη εός έου λιπάατος, η έη παραγωγή ε τυαία επιλεγέα τρέατα αήλε τους 356 τόους Να ελέγξετε ε ε 5% α η υγκεκριέη αύξηη είαι τατιτικά ηατική, δηλαδή α το υγκεκριέο λίπαα ευοεί τη αύξηη της έης παραγωγής εωρείτε ότι η διαπορά της παραγωγής έει παραείει η ίδια Να ρείτε το ατίτοιο -lu του δείγατος Λύη Για εγάλο δείγα, η Y ακολουεί προεγγιτικά καοική καταοή Ν, από ΚΟΘ Θέλουε α ελέγξουε τη Η : 35, έατι της Η : 35 Η κρίιη περιοή του ελέγου περιοή απόρριψης τα Η α έει τη ορφή Y από λήα N- και εποέως τελικά Κ: t από όπου απορρίπτεται η Η ε ε Επίης, lu T t Φ 75% Άκηη 4 Με άη έα τδ Χ, Χ,, Χ ~ Ν,8 έλουε α ελέγξουε ε ε α 5% τη Η : 8 έατι της Η : 76 Να δειεί ότι η κρίιη περιοή του IE είαι της ορφής K: < Να ρεεί το ελάιτο και το έτι ώτε [I] 5, [II] Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 4 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

5 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας 5 Λύη Όοια ε τη Άκ ρίκουε ότι η περιοή απόρριψης είαι < Θα είαι I < < ] [ και επειδή, κάτω από τη Η,, ~ N, υπεραίουε τελικά ότι Η πιαότητα φάλατος τύπου ΙΙ α είαι ίη ε [II] Και άρα, Τελικά, και Α έλουε ελάιτο [I] λαάουε το ικρότερο δυατό Άκηη 5 Έτω έα τδ Χ, Χ,, Χ ~ Ν, α Α, α δοεί η κρίιη περιοή του ελέγου ε ε 5% της υπόεης Η : έατι της Η : Στη υέεια α ρεεί η πιαότητα φάλατος τύπου ΙΙ και η ιύς του παραπάω ελέγου Να ρεεί το ελάιτο έγεος του δείγατος ώτε η ιύς α ελέγου ε ε 5% της υπόεης Η : έατι της Η : α είαι τουλάιτο 95 Λύη α Είαι γωτό ότι η περιοή απόρριψης της Η έει γεικά τη ορφή Κ: και εδώ, Κ: 83 5 Επίης, ] [ II και άρα

6 4 π 5 4 Θα είαι π 5 95 και κατακευάζοτας το πίακα λέπουε ότι α πρέπει 46, και τότε, και π K : 683 Άκηη 6 Επιυούε α ελέγξουε α η τιή πώληης εός αγαού έει διαπορά ίη ε 9 ή εγαλύτερη από 9 Λαάοτας τδ εγέους 3 ρίκουε ε αυτό δειγατική διαπορά και δειγατικό έο Να ελέγξετε τη παραπάω υπόεη ε ε % έω κατάλληλης κρίιης περιοής K και έω του ατίτοιου -lu εωρώτας ότι η τιή του αγαού ακολουεί καοική καταοή ε έο Λύη Θα είαι : 3, Η : 3 Η περιοή απόρριψης της Η έει τη ορφή Κ: T 5 89 Έουε ότι s Άρα από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η ε ε % 4 < 589 Εξάλλου, lu T % 3 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 6 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

7 Άκηη 7 Έτω τδ Χ, Χ,, Χ όπου οι τ Χ ακολουού τη καταοή osson ε παράετρο λ α Να δείξετε ότι η περιοή απόρριψης του ιυρότατου ελέγου της Η : λ λ έατι της Η : λ λ ε λ λ είαι της ορφής Να ρείτε ΟΙΕ για τη Η : λ λ έατι της Η : λ λ έω της ΕΟΚ γ Α λ 3, α 5,, α ρεεί ο ικρότερος ακέραιος που οδηγεί ε [I] υτηρητικός έλεγος ε [I] όο το δυατό πιο κοτά το Να ρείτε τη ατίτοιη ιύ ότα λ 4 δ Α λ 3, α 5,, α κατακευάετε έα τυαιοποιηέο έλεγο,γ ώτε [I] α, και α ρείτε τη ιύ του ότα λ 4 ε Σε έα ηείο της εικής οδού ο έος αριός ατυηάτω που υαίου τη περίοδο Μάιο - Σεπτέριο είαι λ 3 αά εδοάδα Μετά από κάποια έργα που έγια το ηείο αυτό τα οποία ολοκληρώηκα αρές Μαΐου καταγράφηκα τα α- κόλουα ατυήατα τις επόεες εδοάδες:,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Αυξήηκε η επικιδυότητα του υγκεκριέου ηείου; Να δώετε το -lu του παραπάω δείγατος Λύη α Από το λήα Ν- η περιοή απόρριψης της α είαι K :λ λ λ f < f ;λ! λ λ λ ;λ λ λ λ! λ lnλ λ λ ln < λ Η καταοή osson αήκει τη EOK Πράγατι, λ ln λ f ; λ λ! ln η λ T h όπου η υάρτηη ηλ lnλ είαι αύξουα και εποέως από το Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ η κρίιη περιοή ορίζει OIE γ Ιύει ότι ~ o λ και από όπου κατακευάζουε το πίακα Κ: T [ I] o λ [I] Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 7 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

8 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας 8 Επιλέγουε ε [Ι] 46 και 84 4 : o o λ π δ Θα έουε <,,, γ φ ε γ 787 διότι [I] γ γ φ E και 4 : 4 : 4 : 4 λ γ λ λ φ π E γ ε Από το δείγα ρέηκε ότι 3 και άρα λ o lu Άκηη 8 Έτω τδ εγέους από τη καταοή ε ππ [,],, ; f Να ρεεί ΟΙΕ ε ε για τη υπόεη Η : έατι της Η : και α δοεί η ατίτοιη υάρτηη ιύος π Λύη Θα είαι f f K < ; ; :λ < ln ln ln Α Υ ln, τότε ιύει ότι ln Y Y και άρα, ~ ln Gmm Y Εποέως ~ Y, από όπου προκύπτει ότι Y I < < ln ] [

9 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας 9 Επίης, ln Y < < π Άκηη 9 Έτω Χ, Χ,, Χ τδ από τη εκετική καταοή ε ππ,, ; f α Να ρεεί οοιόορφα ιυρότατος έλεγος ε ε της Η : έατι της Η : Να ρεεί η υάρτηη ιύος π γ Ο έος ρόος διάρκειας ιας τηλεφωικής κλήης ε έα δίκτυο είαι λεπτά Μετά από ια είωη της ροορέωης τω κλήεω το δίκτυο αυτό, καταγράφηκε η διάρκεια 3 κλήεω η οποία ήτα υολικά 66 λεπτά δηλ δειγατική έη διάρκεια κλήης λεπτά Υποέτοτας ότι η διάρκεια ιας κλήης ακολουεί εκετική καταοή, α ελέγξετε ε ε α α η αύξηη αυτή είαι τατιτικά ηατική δηλαδή α επήλε πραγατική αύξηη της έης διάρκειας ιας κλήης ετά τη είωη της ρέωης Να ρεεί το ατίτοιο -lu του δείγατος δ Να ρείτε προεγγιτικά τα, [II], -lu για εγάλο, ρηιοποιώτας το Κετρικό Οριακό Θεώρηα Λύη α Η υγκεκριέη καταοή αήκει τη EOK Πράγατι, ln ; T η B f όπου η υάρτηη η είαι αύξουα και εποέως από το Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ η κρίιη περιοή Κ: T ορίζει OIE Ιύει ότι ~ ~, Gmm διότι α Y ~ Gmm,λ τότε η τ λυ~ ε ε και άρα ] [ I Η ιύς α είαι ίη ε π [II] όπου ] [ II γ Από τα δεδοέα α είαι : έατι Η :

10 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας Κ: t : δε ιύει και άρα δε απορ Η ε lu δ Από ΚΟΘ, για εγάλο π 3 ή ιύει προεγγιτικά,, ~ N και εποέως, I ] [ δηλαδή, Επειδή, παρεπιπτότως ρίκουε ότι, για εγάλο, Τέλος, ] [ Φ II και Φ Φ lu Άκηη Έτω Χ, Χ,, Χ, τδ από τη καταοή Wbull ε ππ,, ; f, και γωτό α Να ρεεί οοιόορφα ιυρότατος έλεγος ε ε της Η : έατι της Η : Να ρεεί η υάρτηη ιύος π Λύη Παρατηρούε ότι η υγκεκριέη καταοή αήκει τη EOK Πράγατι, ; h f T η όπου η υάρτηη η είαι αύξουα και εποέως από το Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ η κρίιη περιοή Κ: T ορίζει OIE Α Χ ~ Wbull,, τότε η τ Υ Χ ~ εκετική Πράγατι, η ππ της τ Y α είαι

11 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας d d f d d d d d d d d f Y Y, f Εποέως, ~, Gmm Y W και πορεί α δειεί ότι ~ W Άρα τελικά, ] [ I και π Άκηη Το τυαίο δείγα:,,,,,,,,,, προέρεται από τη γεωετρική καταοή ε π,,,, ; f Να ελέγξετε ε ε 5% α ιύει η Η : 3 έατι της Η : 3 έω του - lu του δείγατος Λύη Η υγκεκριέη f αήκει τη ΕΟΚ διότι,,,,, ; ln ln f T B η Η η ln είαι φίουα και από το Θεώρηα η περιοή απόρριψης της Η είαι της ορφής T K < : η οποία προκύπτει και έω της ΕΟΚ Θεώρηα Παρατηρούε ότι η τ ακολουεί τη αρητική διωυική ΝΒ ε παραέτρους, ως άροια αεξάρτητω τ που ακολουού τη γεωετρική ε παράετρο Εποέως α ιύει ότι : 7 3, NB lu το οποίο είαι ικρότερο του και εποέως απορρίπτουε τη Η Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου 3 Παρ 36 Άκηη 3 Έτω Χ,Χ,, Χ τυαίο δείγα από τη καοική καταοή Ν, ε γωτό α Χρηιοποιώτας τη κρίιη περιοή του ελέγου της Η : έατι της : α προδιορίετε το ύολο τω τιώ του για τις οποίες η υπόεη Η : δε απορρίπτε-

12 ται ε ε, έατι της Να υγκρίετε το ύολο αυτό ε το γωτό διάτηα επιτούης για το, υτελετού Πως πορούε α ρηιοποιήουε το δε για α ελέγξουε τις παραπάω υποέεις; Να εκφράετε το -lu εός δείγατος,,, για το έλεγο της Η : έατι της : γ Να ρείτε τη υάρτηη ιύος του ελέγου του ελέγου της Η : έατι της : α,,, α 5% Α ιύει, ε τι πιαότητα α πάρουε ωτή απόφαη; Λύη α Το ύολο τω τιώ του για τις οποίες η υπόεη Η : δε απορρίπτεται είαι : ή ιοδύαα, [, ] Το παραπάω ταυτίζεται ε το γωτό δε για το υτελετού Εποέως, απορρίπτουε τη έω της παραπάω κρίιης περιοής το δε αήκει το παραπάω δε Το -lu δείγατος το οποίο είε δειγατικό έο είαι lu T t T t T < t Φ t Φ γ Θα είαι II και άρα Φ Φ π Φ Φ Φ 96 Φ Φ 96 Φ Άκηη 3 Ο δειγατικός έος από δείγα εγέους από τη καοική καταοή Ν, ρέηκε ίος ε, εώ γωρίζουε ότι 4 Να ελέγξετε α ιύει η Η : έατι της Η : ε ε 5%: α έω της κρίιης περιοής Κ, έω κατάλληλου δε για το, και γ έω του -lu 5 96 Λύη α Η περιοή απόρριψης της Η είαι K : T K : T 5 96 : ιύει, απορρίπτεται η Η 4 Ιύει ότι [, ] Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

13 4 4 [ 96, 96] [6, 784] : δε αήκει, απορρίπτεται η Η γ Θα είαι lu T t Φ t Φ 5 49 < 5%, από όπου απορρίπτεται η Η Άκηη 33 Από τυαίο δείγα 5 επορικώ κατατηάτω της πόλεως Α προέκυψε ότι το έο ετήιο εοίκιο τους είαι 363 ευρώ, εώ από απογραφή που έγιε τη πόλη Β προέκυψε ότι το έο ετήιο εοίκιο όλω τω επορικώ κατατηάτω της είαι 345 ευρώ ε τυπική απόκλιη 864 ευρώ α Να εξετατεί α πορούε α δεούε, ε επίπεδο ηατικότητας ότι τα εοίκια τω επορικώ κατατηάτω της πόλεως Α δε διαφέρου από εκεία της πόλεως Β, ότα είαι γωτό ότι οι δύο καταοές έου τη ίδια διακύαη Υπό τις ίδιες παραδοές και δεδοέα, α εξετατεί α τα εοίκια τω επορικώ κατατηάτω της Α είαι υ- ψηλότερα από εκεία της Β, ε ε 5 645, 5 8 Λύη α Η περιοή απόρριψης της Η είαι K : T K : T : δε ιύει, δε απορρίπτεται η Η έατι αφίπλευρης Η Η περιοή απόρριψης της Η τώρα είαι K : T K : T : δε ιύει, δε απορρίπτεται η Η έατι οόπλευρης Η Τα παραπάω γίοται και έω τω -lus α lu T t Φ t Φ lu T t Φ t Φ87 84 Άκηη 34 Να κάετε και πάλι τα ερωτήατα α, της Άκηης, αυτή τη φορά εωρώτας ότι το δε είαι γωτό Λύη α Το ύολο τω τιώ του για τις οποίες η υπόεη Η : δε απορρίπτεται είαι : t S ή ιοδύαα, S S [ t, t ] Ταυτίζεται ε το γωτό δε για το υτελετού Εποέως, απορρίπτουε τη έω της παραπάω κρίιης περιοής το δε αήκει το παραπάω δε Το -lu δείγατος το οποίο είε Τ t είαι lu T t t t Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 3 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

14 Άκηη 35 Ο δειγατικός έος και η δειγατική διαπορά από δείγα εγέους που προέρεται από τη καοική καταοή ρέηκα ία ε και 8 ατίτοια Να ελέγξετε α ιύει η Η : έατι της Η : ε ε 5%: α έω της κρίιης περιοής K, έω κατάλληλου δε για το, και γ έω του -lu t Λύη α Η περιοή απόρριψης της Η είαι και επειδή, γ K : T t, T, S S K : 873 t 93, δε ιύει, δε απορρίπτεται η Η 8 S S [ t, t ] [9765, 434] : αήκει, δε απορρίπτεται η Η lu T t t t 9 t από όπου δε απορρίπτεται η Η Άκηη 36 Έτω ότι ο αριός ηιαίω πωλήεω εός προϊότος από τους ατιπροώπους ιας εταιρείας αυτοκιήτω ακολουεί τη Ν4, Το προωπικό τω ατιπροώπω της ε- ταιρείας παρακολουεί κάποια ειάρια και έτω Χ, Χ,, Χ οι πωλήεις τω ατιπροώπω το επόεο ήα Πως α ελέγατε ε ε α εταλήηκα οι έες πωλήεις ή όι Ποια α ήτα η απάτηή ας το παραπάω ερώτηα α για 5 ατιπροώπους είαε 35, 45, 38, 4, 43 5% Να δώετε το ατίτοιο -lu Λύη Επιυούε α ελέγξουε α Η : 4, Η : ε άγωτο Απορρίπτουε τη Η ότα Υπολογίζουε από τα δεδοέα: και εποέως, K S : T t, T 4 4 t 867, s 57, s 3963 s 57 5 t 867 < t - t από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η Το -lu α είαι lu T t t t t Άκηη 37 Κατά το έτος 8 η έη ηιαία κατααλωτική δαπάη τω οικογεειώ ιας πόλης ήτα 44 εκατοτάδες ευρώ Κατά το επόεο έτος υγκετρώηκα τοιεία έης η- Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 4 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

15 ιαίας κατααλωτικής δαπάης Χ, ε εκατοτάδες ευρώ από τυαίο δείγα οικογεειώ της πόλεως αυτής, τα οποία έδωα τα ακόλουα αροίατα: 53 και Θεωρώτας ότι ηιαία κατααλωτική δαπάη τω οικογεειώ ια πόλης ακολουεί N,, πορούε α δεούε, ε επίπεδο ηατικότητας 5, ότι κατά το έτος 9 η έη ηιαία κατααλωτική δαπάη όλω τω οικογεειώ της πόλεως έειε, τη πραγατικότητα, αετάλητη ε έη ε το προηγούεο έτος; Να εωρήετε ως εαλλακτική υπόεη α τη, τη <, και γ τη Λύη Ιύει ότι 53 53, s και t s α Ελέγουε α Η : 44, Η : ε άγωτο K : t t Θα είαι t 866 t t 5 66 : δε ιύει - 9 από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι lu T t t t t 9 Ελέγουε α Η : 44, Η : < ε άγωτο K : t < t Θα είαι t 866 < t t 5 833: δε ιύει - 9 από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι lu T < t t t 9 t γ Ελέγουε α Η : 44, Η : ε άγωτο K : t t Θα είαι t 866 t t 5 833: δε ιύει - 9 από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι lu T t t t t9 Άκηη 38 Έτω τδ Χ, Χ,, Χ από τη Ν, ε άγωτο και έτω ότι έλουε α ε- λέγξουε τη Η : Α υολίουε ε lu, lu <, και lu, Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 5 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

16 τα -lus που ατιτοιού το έλεγο της Η : ε εαλλακτικές τις Η :, Η : <, : ατίτοια, α δείξετε ότι lu, t lu και lu, t < lu < lu, lu t < t, όπου t s Λύη Σηατικά: : και t : και t < -lu -lu -lu -lu t t Αυτηρά: lu T t t, lu < T < t t lu T t t και εποέως, α t, εώ α t <, lu t lu, lu t lu< lu lu t t lu, lu t < Άκηη 39 Θεωρώτας ότι η τιή πώληης εός προϊότος ε ια περιοή ακολουεί N,, και προκειέου α ελεγεί η Η : ευρώ έατι της Η : ευρώ, καταγράφηκε η τιή πώληης του προϊότος αυτού ε έα τδ κατατηάτω Από αυτό το τδ ρέηκε έη τιή πώληης 3 ευρώ ε -lu 8% Α ατί της εαλλακτικής Η : έλαε α ελέγξουε τη Η : ποιο α ήτα το ατίτοιο -lu; Ποιο α ήτα το ατίτοιο - lu ότα Η : < ; Λύη Εδώ t s 3 s, και lu lu 4% και lu < lu 96% Άκηη 3 Σε καπιτές που αποφάια α διακόψου το κάπια ετρήηκε το ωατικό τους άρος λίγο πρι και τρείς ήες ετά τη διακοπή του καπίατος Βρέηκε ότι 8 και s 8 όπου είαι η διαφορά του ωατικού άρους ε κιλά του ατόου ετά πρί τη διακοπή του καπίατος Να ελέγξετε α, ε άη το δείγα αυτό, πορούε α πούε ότι η διακοπή του καπίατος υδέεται ε τη εταολή του ωατικού άρους Να κάετε το αφίπλευρο και τους δύο οόπλευρους ελέγους έω τω -lus Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 6 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

17 Λύη Ιύει ότι 8, s 8 και t 8 s 8 63 Ελέγουε α Η :, Η : ε άγωτο K : t t Θα είαι t 63 t t 5 9 : ιύει - 9 απορρίπτουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι T t t t 63 t9 lu lu lu και lu < lu % Άκηη 3 Έτω τυαίο δείγα Χ, Χ,, Χ ~ N, ε γωτό α Χρηιοποιώτας το αποτέλεα που ρέηκε για το έλεγο της υπόεης Η : έατι της Η : ε ε α ε το κριτήριο του γεικευέου λόγου πιαοφαειώ, α προδιορίετε το ύολο τω τιώ του για τις οποίες δε απορρίπτεται η Η και α το υγκρίετε ε το γωτό διάτηα επιτούης για το, υτελετού ότα γωτό Λύη Το ύολο τω τιώ του για τις οποίες δε απορρίπτεται η Η είαι T, το οποίο είαι το γωτό δε υτ για το ότα το είαι γωτό Εποέως δε απορρίπτουε τη Η έατι της αφίπλευρης Η ε ε ότα το αήκει το δε για το υτ Άκηη 3 Να επααλάετε τη Άκηη, αυτή τη φορά εωρώτας ότι το είαι άγωτο Λύη Το ύολο τω τιώ του για τις οποίες δε απορρίπτεται η Η είαι T το οποίο υπίπτει ε το γωτό δε υτ για το ότα το είαι γωτό Εποέως δε απορρίπτουε τη Η έατι της αφίπλευρης Η ε ε ότα το αήκει το δε για το υτ Άκηη 33 Έτω ότι ο ρόος ζωής εός τύπου παταριώ ακολουεί καοική καταοή N, Ο κατακευατής ιυρίζεται ότι Μπορούε α απορρίψουε το ιυριό αυτό έατι της Η : ε επίπεδο ηατικότητας 5% α έουε τη πληροφορία ότι η δειγατική διαπορά S τω ρόω ζωής εός τυαίου δείγατος παταριώ ρέηκε ίη ε 3 Να ρεεί το -lu του ελέγου Λύη Πρόκειται για το έλεγο της υπόεης Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 7 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

18 Η : έατι της Η : Όπως και τη προηγούεη άκηη α ρηιοποιήουε τη T S ~ εώ ότα ιύει η Η η Τ α λαάει εγάλες τιές Συεπώς η περιοή απόρριψης αυτού του ελέγου α είαι της ορφής T Για α έουε [I] α πρέπει S Κ: Ατικαιτώτας ρίκουε ότι s ε επίπεδο ηατι- και εποέως δε πορούε α απορρίψουε τη υπόεη Η : κότητας 5 Tο -lu του ελέγου α είαι η πιαότητα 5 lu T Παρατηρούε ότι το -lu είαι αρκετά εγάλο, εγαλύτερο του α 5 και άρα ωτά δετήκαε τη Η Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου 4 Παρ 44 Άκηη 4 Oι ρόοι υαρολόγηης εός προϊότος από δύο υγκεκριέους εργάτες, ακολουού καοική καταοή ε έη τιή και ατίτοια Α 34, 99, 34, 74, 88, 7, 73, 7 και 5, 94, 77, 33, 59, 5, 67, 7, 69, 66 είαι δειγατοληπτικά κάποιοι ρόοι ε mn υαρολόγηης τω δύο αυτώ εργατώ ατίτοια, πορούε ε επίπεδο ηατικότητας α5 α πούε ότι α οι δύο εργάτες έου διαφορετική απόδοη; ο πρώτος εργάτης έει ειρότερη απόδοη από το δεύτερο; γ ο πρώτος εργάτης υαρολογεί το προϊό λεπτά αργότερα από το δεύτερο; Θεωρείτε ότι οι τυπικές αποκλίεις, τω ρόω υαρολόγηης του προϊότος από τους εργάτες είαι γωτές και ίες ε 5, 5 Λύη Υπολογίζουε από τα δύο δείγατα ότι 7 65 και 34 7 α Ζητείται ο έλεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι γωτά ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Y Κ: Τ α όπου Τ Ατικαιτώτας α έουε ότι t Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 8 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

19 Εώ και άρα δε απορρίπτουε τη Η Επίης, lu T t Φ t Φ6 Ζητείται ο έλεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι γωτά ε ε α5 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Y Ατικαιτώτας α έουε ότι Τ α όπου Τ t 6 Εώ και άρα δε απορρίπτουε και πάλι τη Η Επίης, lu T t Φ t Φ6 55 γ Ζητείται ο έλεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι γωτά ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Y Κ: Τ α όπου Τ Ατικαιτώτας α έουε ότι T 77 < οπότε δε απορρίπτουε τη Η Άκηη 4 Από τυαίο δείγα 5 οικογεειώ της πόλεως Α προέκυψε ότι το έο ετήιο ειόδηά τους ήτα 556 ευρώ Επίης από τυαίο δείγα οικογεειώ της πόλεως Β προέκυψε ότι το έο ετήιο ειόδηά τους ήτα 56 ευρώ Μπορούε α δεούε, ε επίπεδο ηατικότητας, ότι οι οικογέειες τω δύο πόλεω από τις οποίες προέροται τα δείγατα έου το ίδιο έο ειόδηα, α είαι γωτό ότι τους δύο αυτούς πληυούς η τυπική απόκλιη είαι ίη ε 83; Λύη Ελέγουε τις υποέεις Η :, Η Έουε 556, 56, 5, και εωρείται ότι η διακύαη είαι γωτή και ίη ε 6889 και για τους δύο πληυούς Εποέως και T Αφού T , απορρίπτουε τη Η Τέλος, lu T 339 T 339 T ~ N, Φ33 4 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 9 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

20 Άκηη 43 Μια εταιρεία κατακευής κελετώ καφώ ρίκει ότι τα δέδρα τύπου Α που προηεύεται από έα δάος αποδίδου κατά έο όρο 64 kgr ξύλα περιότερο από τα δέδρα τύπου Β Η διακύαη της απόδοης ξύλου ρέηκε ίη ε 5 kgr Έα άλλο δάος περιέει και τους δύο τύπους ξύλω Παίροτας δείγα δέδρω για κάε τύπο από το δεύτερο δάος οι αποδόεις ε ξύλο ρέηκα 39 kgr και 33 kgr ατίτοια εώ οι διακυάεις έεα αετάλητες Μπορούε α δεούε ε ε % ότι η διαφορά τω έω αποδόεω ξύλου παραέει το ίδιο επίπεδο δηλ 64 kgr; Λύη Θέτουε : απόδοη ξύλου αά δέτρο τύπου Α το δεύτερο δάος Υ : απόδοη ξύλου αά δέτρο τύπου Β το δεύτερο δάος Υποέτουε ότι Χ ~ N,, Υ ~ N, ε 5 και ζητάε α γίει ο έλεγος Η : 64 έατι της Η : 64 ε ε %, ε άη δύο δείγατα Χ, Χ, και Υ, Υ, Y από τα οποία προέκυψε ότι 39, 33 Έουε t 4 5 Αφού T 4 58, απορρίπτουε τη Η Επίης, lu T 4 T 4 T ~ N, Φ4 6 Άκηη 44 Έτω η έη τιή πώληης εός προϊότος ε ία περιοή Α και η έη τιή πώληης του ίδιου προϊότος ε ία περιοή Β Επιλέγουε τυαία 4 τιές από τη περιοή Α και 4 τιές από τη περιοή Β Α οι τιές αυτές είαι, 6,, περιοή Α και 7, 93, 97, 99 περιοή Β, πορούε, ε επίπεδο ηατικότητας 5%, α πούε ότι η έη τιή πώληης τη περιοή Α είαι υψηλότερη από τη ατίτοιη τη περιοή Β; Η :, : υποέτουε ότι οι τιές καταέοται καοικά και ε ίη διαπορά τις δύο περιοές Λύη Υπολογίζουε ότι 5, 99, s 45, s 3466 και η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Κ: Τ t και t s s εώ t t < 368, και άρα απορρίπτουε τη Η ε ε 5% Επίης, lu T t t Άκηη 45 Από τυαίο δείγα επορικώ κατατηάτω ειδώ εδυαίας προέκυψε ότι η έη ηερήια δαπάη τους για διαφήιη είαι 5 ευρώ ε δειγατική τυπική απόκλιη 36 ευρώ Επίης από τυαίο δείγα επορικώ κατατηάτω ειδώ υποδήεως προέκυψε ότι η έη ηερήια δαπάη τους για διαφήιη είαι 48 ευρώ ε δειγατική τυπική απόκλιη 4 ευρώ Μπορούε α δεούε, ε ε %, ότι οι δύο κατηγορίες κατατηάτω δαπαού, κατά έο όρο το ίδιο ποό για διαφήιη; Υποέτουε ότι οι δαπάες για κάε κατάτηα καταέοται καοικά και ε ίη διαπορά Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

21 Λύη Zητείται α γίει ο έλεγος της Η : έατι της Η : Έουε και t 5, 48, s 36, s 4,, s s και αφού t 93 < t 89 δε πορούε α απορρίψουε τη Η Επίης, lu T t t Άκηη 46 α Έτω η έη τιή πώληης εός προϊότος ε ία περιοή Α και η έη τιή πώληης του ίδιου προϊότος ε ία περιοή Β Η έη τιή και η διαπορά εός τδ τιώ πώληης από τη περιοή Α ρέηκε 9 και ατίτοια Επίης, η έη τιή και η διαπορά εός τδ τιώ πώληης από τη περιοή Β ρέηκε 445 και 9974 ατίτοια Α υποέουε ότι οι τιές καταέοται καοικά και ε ίη αλλά άγωτη διαπορά και τις δύο περιοές, α ελέγξετε ε επίπεδο ηατικότητας 5% Α η έη τιή πώληης τη Α είαι διαφορετική από τη ατίτοιη τη Β Α η έη τιή πώληης τη Α είαι αηλότερη από τη ατίτοιη τη Β Στο α υποέαε ότι οι διαπορές και τω τιώ τις περιοές αυτές είαι ίες Να ελέγξετε ε επίπεδο ηατικότητας 5% α ότως οι δύο αυτές διαπορές πορού α εωρηού ίες Λύη α Ζητείται ο έλεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι άγωτά αλλά ία, ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Ατικαιτώτας α έουε ότι Κ: Τ t όπου Τ Y S S t Εώ t t < 68 και άρα απορρίπτουε τη Η Επίης, lu T t 68 9 t 8 Ζητείται ο έλεγος της ορφής Η :, : < ότα, είαι άγωτά αλλά ία ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Κ: Τ < tn n όπου Τ 68 Επειδή tn n t απορρίπτουε τη Η Επίης, lu< T < t t 68 6 lu 8 Ζητείται ο έλεγος της ορφής Η :, : ότα τα, είαι άγωτα ε ε α5 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

22 S Κ: Τ <, ή Τ, όπου Τ S Y Y 8766 Ατικαιτώτας α έουε ότι t 6748 εώ 99, 9, ,, 9, j, και επειδή 73 < 6748 < 84 πορούε α δετούε τη Η δηλ οι πληυοί είαι οοκεδατικοί ε ε 5 Επίης, lu mn{ T < t, T t } mn{ 6748, ,9 9, 9 mn{78, 7} 556 Άκηη 47 Έτω ότι οι ρόοι ζωής δύο τύπω εξαρτηάτω A, B ακολουού καοική καταοή N, και N, ατίτοια Α ε έα τδ από εξαρτήατα τύπου Α ρέηκε ότι S 5 και ε έα τδ από εξαρτήατα τύπου Β ρέηκε ότι S 5, πορούε ε ε 5% α ιυριτούε ότι οι ρόοι ζωής τω εξαρτηάτω Α παρουιάζου ικρότερη εταλητότητα από τους ρόους του Β; Δίεται ότι 49, Λύη Είαι Κ: Τ < 95 6, 49, 49 s όπου t 6944 και εποέως δε πορούε α απορρίψουε τη Η Επίης s lu T < t , 49 j Άκηη 48 Από δύο δείγατα άγαω και έγγαω εργατριώ υγκετρώηκα τα ακόλουα τοιεία που αφορού ώρες απουίας από τη εργαίας τους λόγω αέειας ε έα έτος: Άγαοι: 88, 68, 77, 8, 63, 8, 78, 7, 68, Έγγαοι : 73, 77, 67, 7, 74, 64, 7, 7, 7 Να ελεγεί ε ε 5% η υπόεη ότι η διακύαη τω ωρώ απουίας τω άγαω α είαι ίη ε τη διακύαη τω ωρώ απουίας τω έγγαω εργατριώ, έατι της εαλλακτικής υποέεως ότι η διαπορά τω ωρώ απουίας τω άγαω είαι εγαλύτερος από εκείο τω έγγαω είαι τετραπλάια της διακύαης τω ωρώ απουίας τω έγγαω εργατριώ Δίεται ότι 8, , 8, Λύη α Θέλουε α ελέγξουε τις υποέεις Η :, Η : Έουε οπότε , 7, s 645, s 45, 9, s t s Αφού, t 443, 3 44 απορρίπτουε τη Η Επίης Τώρα έουε lu T t < 5 8, 8 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

23 t s δ s 75 και επειδή 5568,, t δε πορούε α απορρίψουε τη Η γεικά, Επίης, n, m m, n lu mn{ T < t, T t } mn{ 75, 75 8,8 8, 8 mn{555, 444} 888 Άκηη 49 Από δύο αεξάρτητους πληυούς παίρουε τα τυαία δείγατα 7, 6, 4, 8, 5, 3, 5 και 6, 5, 3, 7, 8, 3, 6, 3, 4 ατίτοια Να ελεγεί ε ε 5% η υπόεη ότι οι πληυοί έου ίες διακυάεις έατι της εαλλακτικής ότι η διακύαη του πρώτου πληυού είαι εγαλύτερη της διακύαης του δεύτερου Δίεται ότι 8,695 8 Λύη Θέλουε α ελέγξουε τις υποέεις Η :, Η : Έουε οπότε 6, 5, s 467, s 35, 7, s t 33 s Αφού, t 33 < 3 58 δε απορρίπτουε τη Η Επίης 6, 8 9 6,8 8, 6 lu T , 8 Άκηη 4 Για το έλεγο της αποτελεατικότητας εός κευάατος που καταπολεά τη παυαρκία, ορηγήηκε υγκεκριέη ποότητά του ε κατάλληλα πειραατόζωα Σε καέα από αυτά καταγράφηκε το άρος του αέως πρι και ια εδοάδα ετά τη ορήγηη του κευάατος Καταγράφηκα τα παρακάτω ωατικά άρη ε kgr: Πρι Μετά Υπάρει ετική έη επίδραη του υγκεκριέου κευάατος ε ε 5% το άρος τω πειραατόζωω; Λύη: Πρόκειται για ζευγαρωτές παρατηρήεις Χ,Υ, Χ,Υ,, Χ,Y αεξάρτητα τυαία διαύατα Θεωρούε ότι το Χ,Υ ακολουεί διδιάτατη καοική ε ΕΧ δ, ΕY, V, VΥ, Corr,Y ρ,,,, Επιυούε α ελέγξουε α η διαφορά δ E EY εταξύ τω έω τω και τω Υ είαι ηδεική εωρώτας άγωτες τις παραέτρους,, ρ Κάτω από τις παραπάω υποέεις, οι διαφορές Ζ Χ Υ είαι αεξάρτητες και ακολουού τη καοική καταοή ε έη τιή δ και άγωτη διαπορά ρ Εποέως, ιοδύαα πορούε α ελέγξουε α η έη τιή δ τω Z είαι ίη ε Η : δ, Η : δ Χρηιοποιούε τη τατιτική υάρτηη T Z 53, Z Z 785, SZ S Z 8 97, Y 79 9 Απορρίπτουε τη Η ε ε 5% διότι T 53 t t9 5 εώ το -lu τω τιώ του δείγατος είαι Z 93 Z 355 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 3 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

24 lu T t t 53 Εά είαε ως εαλλακτική υπόεη τη Η : δ ΕΧ ΕΥ α έπρεπε α πάρουε lu lu διότι t Άκηη 4 παράδειγα του Studnt Η επίδραη δύο φαράκω Α και Β το ρόο ύπου δοκιάτηκε ε αεείς που έπαα από αϋπία Και έτω, η παράταη του ύπου του αεούς ε ώρες που οφείλεται τη επίδραη του φαράκου Α, Β ατίτοια Είαι λογικό α δετούε ότι α η επίδραη του φαράκου Α είαι διαφορετική από τη επίδραη του φαράκου Β ε ε %, η παράταη του ύπου που προκαλεί το φάρακο Α είαι κατά ώρα εγαλύτερη της παράταης που προκαλεί το φάρακο Β; Λύη: α Όοια τη προηγούεη άκηη, πρόκειται για ζευγαρωτές παρατηρήεις Χ,Υ, Χ,Υ,, Χ,Y όπου Χ,Υ ~ διδιάτατη καοική ε ΕΧ δ, ΕY, V, VΥ, Corr,Y ρ,,,, Επιυούε α ελέγξουε α η διαφορά δ EΧ EΥ Οι τ Ζ Χ Υ είαι αεξάρτητες και ακολουού Νδ, Εποέως, για το α πρέπει α ελέγξουε τις υποέεις Η : δ, Η : δ ε άη το δείγα τω διαφορώ Z, Z,,Z Χρηιοποιούε τη τατιτική υάρτηη t s Z 58 46, 5 Επειδή, t 9 35, απορρίπτουε τη Η ε ε % Για το πρέπει α ελέγξουε τις υποέεις Η : δ, Η : δ Τώρα έουε t s και άρα δε απορρίπτουε τη Η ε ε % Z 58 48, 5 Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου 5 Παρ 53 Άκηη 5 Έας υποψήφιος δήαρος ιας εγάλης πόλης ιυρίζεται ότι τις εκλογές που έ- για ήερα α λάει ποοτό εγαλύτερο του 5% Έουε αρκετά τοιεία για α απορρίψουε το παραπάω ιυριό, α ε έα τδ 3 ψηφοφόρω που ελήφη ε t oll, δηλαδή οι ψηφοφόροι ρωτήηκα αέως ετά τη έξοδό τους από τυαία επιλεγέα εκλογικά τήατα όο το 44% δήλωα ότι ψήφια το υγκεκριέο υποψήφιο, Η : < Α ρεεί ότι δε έουε αρκετά τοιεία, πόο α έπρεπε α είαι το ελάιτο έγεος του δείγατος ώτε, ε το ίδιο δειγατικό ποοτό, α απορρίπταε το παραπάω ιυριό; Λύη Στη υγκεκριέη περίπτωη ζητείται ο έλεγος της υπόεης : έατι της Η : < όπου 5% Γωρίζουε ότι η κρίιη περιοή α είαι Κ: < Ατικαιτώτας ρίκουε ότι Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 4 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

25 Εποέως δε έουε αρκετά τοιεία για α απορρίψουε το παραπάω ιυριό ε ε % Εξάλλου, lu T < t Φ 7 9 Παρατηρούε ότι για α απορρίπταε τη Η : 5 λαάοτας έα εγαλύτερο δείγα α έπρεπε α ιύει ότι < δηλαδή όπου είαι το ατίτοιο δειγατικό ποοτό που α ρίκαε Βρίκοτας, ύφωα ε τη εκφώηη, και πάλι 44 α έπρεπε Άκηη 5 Σε τδ 4 τηλεεατώ οι δήλωα ότι παρακολουού ια οριέη τηλεοπτική ειρά Μπορούε α δεούε ε ε 5% ότι εκείοι που παρακολουού τη ειρά από το ύολο τω τηλεεατώ είαι λιγότεροι του 3% Η ; < ; Λύη Ζητείται ο έλεγος της υπόεης : έατι της Η : < όπου 3% Η κρίιη περιοή α είαι Κ: T < Ατικαιτώτας ρίκουε ότι 83< Εποέως απορρίπτουε το παραπάω ιυριό ε ε 5% Εξάλλου, lu T < t Φ 83 45< Άκηη 53 Έτω τδ Χ,,, ε, Ποιο α πρέπει α είαι το έγεος του δείγατος ώτε για το έλεγο της υπόεης Η :, Η :, οι πιαότητες φάλατος τύπου Ι και ΙΙ α είαι ατίτοια α και ρηιοποιήτε προέγγιη έω καοικής καταοής Λύη Για το έλεγο της υγκεκριέης υπόεης α έουε από τα παραπάω τη κρίιη περιοή Κ: για τη οποία ως γωτό ιύει ότι [I] Θα πρέπει και [II] Δηλαδή II Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 5 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

26 και εποέως, ή ιοδύαα Άκηη 54 Επιλέγοτας τυαία 4 προϊότα από ία ηαή που τα κατακευάζει, τα 6 ρέηκα ελαττωατικά, εώ επιλέγοτας τυαία 3 προϊότα από ία άλλη ηαή, τα 4 ρέηκα ελαττωατικά Να ελέγξετε ε επίπεδο ηατικότητας % α α υπάρει διαφορά τη παραγωγή ελαττωατικώ εταξύ τω δύο ηαώ και α η δεύτερη ηαή είαι «ειρότερη» από τη πρώτη Λύη α Ζητείται ο έλεγος τω υποέεω της ορφής Η :, : ε ε α Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι, 3 Κ: Τ όπου Ατικαιτώτας α έουε ότι και Y T, t Y Εώ α 5 58 και επειδή 57 < 58 δεόατε ή καλύτερα, λέε ότι δε έουε αρκετά τοιεία ώτε α απορρίψουε τη Η Εξάλλου, lu T t Φ57 4 Ζητείται ο έλεγος τω υποέεω της ορφής Η :, : < ε ε α Η κρίιη περιοή του ελέγου ύφωα ε τα παραπάω α είαι, 3 Κ: Τ < όπου από τα δεδοέα, t 57 εώ α 33 και επειδή t δεόατε ή καλύτερα, λέε ότι δε έουε αρκετά τοιεία ώτε α απορρίψουε τη Η Εξάλλου, ιό από το -lu του αφίπλευρου ελέγου lu T < t Φ 57 Άκηη 55 Έας δηοιογράφος ε ία τηλεοπτική υζήτηη ιυρίζεται ότι υαίει κάτι ύποπτο τη εταιρία έτρηης τηλεέαης GBA Η εταιρία έει διαέει 5 ηαάκια ε ιάριους τηλεεατές, 5 από τα οποία έου δοεί ε έους υεργάτες τηλεεατές που έου ξεκιήει τη υεργαία τους ε τη GBA το τελευταίο εξάηο Ο δηοιογράφος διαπιτώει ότι, ύφωα ε τη GBA, το καάλι VEGA παρουιάζει τηλεέαη 3% το ύολο τους 5 τηλεεατές εώ έει όο % τους έους τους 5 τηλεεατές Ο δηοιογράφος το εωρεί αυτό πολύ ύποπτο και άλιτα κάποιος πολιτικός που ρίκεται τη υζήτηη δηλώει ότι «οι δύο αυτές τιές δε υφωού καόλου» πρόκειται για πραγατικό περιτατικό Είαι πράγατι αυτό «πολύ ύποπτο»; Θα πορούε δηλαδή η διαφορά αυτή α είαι τυαία; Συγκεκριέα, α, είαι τα ποοτά της τηλεέαης του VEGA τους πληυούς από τους οποίους προέροται οι δύο οάδες τηλεεατώ «έοι» και «παλαιοί» υεργάτες, ελέγξτε ε Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 6 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

27 ε α τη υπόεη : έατι της : α απορρίψουε τη Η πορούε πράγατι α ιλήουε για κάτι «ύποπτο», διότι ααέουε α ιύει αφού και οι δύο οάδες υεργατώ προέροται από το ίδιο πληυό Λύη Πρόκειται για δύο αεξάρτητα δείγατα Χ,Χ,, ~ Β, και Υ,Υ,, Y ~ Β, ε, 5 Θέλουε α πραγατοποιήουε το έλεγο :, : έοτας δειγατικά ποοτά 3, διότι 3 3 Η κρίιη περιοή του ελέγου α είαι, 3 Κ: Τ όπου Ατικαιτώτας α έουε ότι Y T, και t 3 7 Y εώ α 33 και επειδή t 9 < 33 δεόατε ή καλύτερα, λέε ότι δε έουε αρκετά τοιεία ώτε α απορρίψουε τη Η ε ε % Εξάλλου, lu T t Φ9 Άκηη 56 Το ήα Ιαουάριο επιλέηκα τυαία 4 ψηφοφόροι από ία περιοή και αάεά τους ρέηκα οι οποίοι προτίεται α ψηφίου το κόα Α Το ήα Φερουάριο, επιλέηκα τυαία 5 ψηφοφόροι από τη ίδια περιοή και αάεά τους ρέηκα τώρα 5 οι οποίοι προτίεται α ψηφίου το κόα Α Να ελέγξετε ε ε 5% α το ποοτό τω ψηφοφόρω του κόατος Α τη περιοή αυτή αυξήηκε κατά το ήα Φερουάριο Η : έατι της Η : < Λύη Τα δειγατικά ποοτά τω ψηφοφόρω του κόατος τους δύο ήες είαι, Η κρίιη περιοή α είαι Όπου Κ: 5 και t 664 < α και εποέως απορρίπτουε τη Η Υπήρξε τατιτικά ηατική αύξηη ε 5% Εξάλλου, lu T < t Φ Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 7 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας