ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Α ΑΜ ΧΡΥΣΟΥΛΑ, Α.Ε.Μ 4696 ΒΙΛΛΙΩΤΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ, Α.Ε.Μ 4632 ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΦΙΛΟΣ, ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008

2 ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Αδάµ Χρυσούλα Βιλλιώτης Σωτήριος Περίληψη Στην παρούσα διπλωµατική εργασία προσπαθήσαµε να υπολογίσουµε αντιστάσεις στρωµατοποιηµένης γης από µετρήσεις αντιστάσεων που έγιναν στην επιφάνεια. Αρχικά παρουσιάζονται οι σκοποί για τους οποίους µετράται η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών, ο κυριότερος εκ των οποίων είναι ο σχεδιασµός των διαφόρων συστηµάτων γείωσης.η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των στοιχείων του εδάφους ποικίλει ανά τον κόσµο και µεταβάλλεται µε την εναλλαγή των τεσσάρων εποχών στη διάρκεια του χρόνου. Στη συνέχεια παρατίθενται αναλυτικά οι διάφορες διατάξεις µέτρησης της αντίστασης του οµοιογενούς και του ανοµοιογενούς υπεδάφους. Οι κυριότερες από αυτές είναι οι διατάξεις Wenner και Schlumberger. Εµείς έχουµε επιλέξει την διάταξη Wenner προκειµένου να µετρήσουµε την αντίσταση διαστρωµατοποιηµένης γης, όπου ρ 1 είναι η αντίσταση του ανώτερου στρώµατος, ρ 2 είναι η αντίσταση του κατώτερου στρώµατος και h είναι το βάθος του ανώτερου στρώµατος. Στην πορεία παρουσιάζονται οκτώ διαφορετικές τεχνικές για την µέτρηση της αντίστασης γης. Επιλέγοντας να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο της Απότοµης Καθόδου, υλοποιούµε τον αλγόριθµο µέσω ενός προγράµµατος µε τη βοήθεια του MATLAB που δίνεται στο παράρτηµα της διπλωµατικής. ίνονται επίσης και οι οδηγίες χρήσεις του προγράµµατος. Εισάγοντας λοιπόν κάποια δεδοµένα που παίρνουµε από την µέθοδο Wenner, έχουµε πετύχει µε την βοήθεια του προγράµµατος να εξάγουµε τις τιµές των ρ 1, ρ 2, h που αρχικά θέλαµε να υπολογίσουµε. Το πρόγραµµα αυτό είναι ένα εύχρηστο εργαλείο στα χέρια του ηλεκτρολόγου µηχανικού, αφού του δίνεται η δυνατότητα σχετικά εύκολα και γρήγορα και µάλιστα µε αρκετή ακρίβεια να υπολογίζει τις αντιστάσεις της διαστρωµατοποιηµένης γης σε οποιαδήποτε περιοχή. 1

3 Πρόλογος Η συγκεκριµένη διπλωµατική εργασία µελετά την αντίσταση της γης και τους τρόπους µέτρησής της µε προσοµοίωση σε Η/Υ και τη βοήθεια του προγράµµατος MATLAB. Για την επιτυχή ολοκλήρωση της συγκεκριµένης διπλωµατικής εργασίας συνέβαλλε σηµαντικά ο επίκουρος καθηγητής του τοµέα Ηλεκτρικής Ενέργειας κ. Γ. Παπαγιάννης τον οποίο και ευχαριστούµε θερµά, τόσο για την προσφορά των πολύτιµων γνώσεων του πάνω στο θέµα, όσο και για την άριστη συνεργασία που επέδειξε στην επίλυση των προβληµάτων που αντιµετωπίσαµε κατά το χρονικό διάστηµα µελέτης της διπλωµατικής εργασίας. Ιδιαίτερα θέλουµε να ευχαριστήσουµε τον µεταπτυχιακό φοιτητή κ. Θ. Παπαδόπουλο, η συµβολή του οποίου σε θέµατα προγραµµατισµού ήταν σηµαντική. Αδάµ Χρυσούλα Βιλλιώτης Σωτήριος 2

4 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός µέτρησης ειδικής αντίστασης Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΥΠΕ ΑΦΟΥΣ Ο ορισµός του εδάφους Βασική µέθοδος µέτρησης αντίστασης οµοιογενούς υπεδάφους Βάθος διείσδυσης ρεύµατος Οµοιογενή γη Ανοµοιογενή γη ιατάξεις µέτρησης αντίστασης γης για ανοµοιογενές υπέδαφος ιαδικασία µετρήσεων Ηλεκτρόδια και όργανα µέτρησης Μέτρηση της αντίστασης γης σε µια αποµακρυσµένη τοποθεσία Το πρόβληµα της δηµιουργίας µοντέλου γης ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΓΗΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΟΥ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ Μέθοδος Απότοµης Καθόδου Μέθοδος Newton Μέθοδος Levenberg-Marguardt Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδος Μέθοδος Quasi-Newton ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΒΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΧΕΣΕΩΝ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μέθοδος του DEL ALAMO Μέθοδος του F. DAWALIBI Μέθοδος HANS SEEDHER- ARORA Μέθοδος I. GONOS ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ.82 3

5 7. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΕΧΙΣΗ ΤΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..90 4

6 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Σκοπός µέτρησης ειδικής αντίστασης Η µέτρηση της ειδικής αντίστασης των πετρωµάτων και των ορυκτών εξυπηρετεί κυρίως τρεις βασικούς σκοπούς. Αρχικά τέτοιες πληροφορίες χρησιµοποιούνται προκειµένου να διεκπεραιωθούν γεωφυσικές έρευνες που έχουν σαν σκοπό να προσδιορίσουν την ακριβή σύσταση του υπεδάφους. Έτσι προσδιορίζεται το βάθος των στρωµάτων και τα πετρώµατα από τα οποία αποτελείται αυτό κάτι που συµβάλλει σηµαντικά στην ανεύρεση τυχόν κοιτασµάτων που υπάρχουν. εύτερον,η ειδική αντίσταση έχει άµεσο αντίκτυπο στο βαθµό που µπορεί να παρουσιαστεί διάβρωση του εδάφους στα διάφορα επίπεδα από τα οποία µπορεί να αποτελείται αυτό. Μία µείωση στην ειδική αντίσταση σχετίζεται µε µια αύξηση της πιθανότητας διάβρωσης του εδάφους,πράγµα το οποίο υπαγορεύει τον εξοπλισµό και τα προστατευτικά µέσα που θα χρησιµοποιηθούν σε τυχόν έρευνες που αφορούν το έδαφος καθώς και σε πρακτικές εφαρµογές. Για παράδειγµα επηρεάζεται απ ευθείας το µέγεθος της διάβρωσης των υπόγειων σωλήνων και η τιµή της ειδικής αντίστασης είναι αυτή που θα προσδιορίσει τα µέσα για την προστασία τους. Ο σηµαντικότερος λόγος όµως για την µέτρηση της ειδικής αντίστασης των πετρωµάτων και των ορυκτών είναι ότι αυτή επηρεάζει άµεσα τον σχεδιασµό των συστηµάτων γείωσης. Όταν σχεδιάζεται για παράδειγµα ένα εκτενές σύστηµα γείωσης είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή του εδάφους µε την χαµηλότερη αντίσταση έτσι ώστε να επιτύχουµε να χρησιµοποιήσουµε τον κατάλληλο οικονοµικότερο εξοπλισµό εγκατάστασης. 1.2 Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών. τον τύπο: Η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών (ρ) υπολογίζεται µε ρ = R S λ 5

7 εξαρτάται από διάφορους παράγοντες µερικοί από τους οποίους είναι οι εξής. 1) Το νερό, δηλαδή η υγρασία. 2) Η θερµοκρασία. 3) Η περιεκτικότητα σε αλάτι. 4) Τα µεταλλικά στοιχεία. 5) Το πορώδες του πετρώµατος. Στη συνέχεια παρουσιάζεται πιο αναλυτικά η εξάρτηση της ειδικής αντίστασης από τους παραπάνω παράγοντες. 1. Η ειδική αντίσταση εξαρτάται από το νερό. Όσο µεγαλύτερη είναι η υγρασία, δηλαδή όσο περισσότερη είναι η περιεκτικότητα σε νερό τόσο µικρότερη είναι η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων. ύο δείγµατα εδάφους, όταν σε αυτά δεν υπάρχει καθόλου υγρασία, µπορούν πράγµατι να γίνουν πολύ καλά µονωτικά έχοντας µια ειδική αντίσταση που ξεπερνά τα 109 ohm/cm. Αυτή η ειδική αντίσταση του δείγµατος µεταβάλλεται ραγδαία, δηλαδή µειώνεται, µέχρι η περιεκτικότητα της υγρασίας να φτάσει το 20% όπως βλέπουµε και στον πίνακα 1.1. Πίνακας 1.1 Μεταβολή της ειδικής αντίστασης του εδάφους συναρτήσει της υγρασίας Υγρασία Ειδική αντίσταση (Ω/cm) (%) Επιφανειακό στρώµα Έδαφος αµµώδες-αργιλώδες 0 >109 >109 2, Η ειδική αντίσταση εξαρτάται επίσης από την θερµοκρασία. Παρατηρείται ότι η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων µεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα της θερµοκρασίας. Η αύξηση δηλαδή της θερµοκρασίας 6

8 συνεπάγεται µείωση της ειδικής αντίστασης. Στον πίνακα 1.2 φαίνεται η διακύµανση της ειδικής αντίστασης από ένα αµµώδες και παχύ χώµα το οποίο έχει ένα ποσοστό υγρασίας 15,2%. Σε αυτή την διακύµανση της θερµοκρασίας η ειδική αντίσταση δείχνει να κυµαίνεται από 7,2 µέχρι 330 ohm/cm. Πίνακας 1.2 Μεταβολή της ειδικής αντίστασης του εδάφους συναρτήσει της θερµοκρασίας Θερµοκρασία Ειδική αντίσταση C F (Ω/cm) (νερό) (πάγος) Η ειδική αντίσταση επηρεάζεται ακόµη από την περιεκτικότητα των πετρωµάτων του εδάφους σε αλάτι. Όσο αυξάνει η περιεκτικότητα µικραίνει η ειδική αντίσταση. Στον πίνακα 1.3 φαίνεται η σηµαντική µείωση στην ειδική αντίσταση των πετρωµάτων ενός αµµώδους εδάφους υγρασίας 15% και θερµοκρασίας 17 C, που οφείλεται στην αύξηση της περιεκτικότητας σε αλάτι. Πίνακας 1.3 Επίδραση του άλατος στην ειδική αντίσταση του εδάφους Ποσότητα άλατος (%) Ειδική αντίσταση (Ω/cm) ,

9 4. Η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων του εδάφους επηρεάζεται και από τα µεταλλικά στοιχεία που αυτό περιέχει. Όσο πλουσιότερα είναι τα ορυκτά του εδάφους σε µεταλλικά στοιχεία τόσο µικρότερη είναι η ειδική αντίσταση. 5. Η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων του εδάφους εξαρτάται επίσης απ το πορώδες του πετρώµατος. Εδώ ισχύει ο νόµος του Archie σύµφωνα µε τον οποίο η ειδική αντίσταση αυξάνει όταν ελαττώνεται το πορώδες του πετρώµατος. Συµπερασµατικά, η αντίσταση των πετρωµάτων, των υλικών και των διαφόρων στοιχείων του εδάφους ποικίλει ανά τον κόσµο και µεταβάλλεται µε την εναλλαγή των τεσσάρων εποχών στη διάρκεια του χρόνου. Οι µεταβολές απεικονίζονται στο σχήµα 1.1. Σχήµα 1.1 Εποχιακή µεταβολή της αντίστασης της γης µετρούµενης µε ηλεκτρόδιο πάχους 3/4in και σε βάθος 1m για την καµπύλη 1 και 3m για την καµπύλη 2 Παρατίθεται επίσης παρακάτω και ο πίνακας 1.4 µε τις αντιστάσεις διαφόρων υλικών. Χαρακτηριστικό είναι το γεγονός ότι η αντίσταση του αέρα τείνει στο άπειρο. Αξιοσηµείωτο είναι το γεγονός ότι κάποια υλικά παρουσιάζουν πολύ µικρή αντίσταση σε σχέση µε κάποια άλλα. Αυτό βέβαια επηρεάζεται και από τους παραπάνω παράγοντες που αναφέραµε. 8

10 Πίνακας 1.4 Ειδικές αντιστάσεις διαφόρων υλικών Υλικό Αέρας Ειδική αντίσταση (Ω/m) Πυρήτιο 3 x 10-1 Γαληνίτης 2 x 10-3 Χαλαζίας 4 x x Ασβεστίτης Ορυκτό άλας Μαρµαρυγία ή Μίκα 9 x Γρανίτης Βασάλτης Ασβεστόλιθος Ψαµµόλιθος Σχιστόλιθος 20 2 x 10 3 ολοµίτης Άµµος Πηλός Υπόγειο νερό 0,5 300 Θαλασσινό νερό 0,2 2. ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΥΠΕ ΑΦΟΥΣ 2.1 Ο ορισµός του εδάφους Το έδαφος είναι µια αγώγιµη σύνδεση µέσω της οποίας ένα ηλεκτρικό κύκλωµα ή εξοπλισµός είναι συνδεδεµένο στη γη ή σε κάποιο αγώγιµο σώµα. Το έδαφος µπορεί να είναι οµοιογενές ή ανοµοιογενές. Μπορεί να αποτελείται δηλαδή από ένα ή και περισσότερα στρώµατα. 9

11 Αντίσταση γης: Είναι οι ηλεκτρικές ιδιότητες που εµφανίζει το έδαφος όταν σε αυτό διοχετεύεται ρεύµα. Η µονάδα µέτρησης είναι τα ohm-cm και η τιµή της δίνεται από τον τύπο: βάθος οµόκεντρου τµήµατος Γης R = ρ διατοµή οµόκεντρου τµήµατος Γης (1) Η αντίσταση γης εξαρτάται από το βάθος που τοποθετούνται τα ηλεκτρόδια µέσα στο έδαφος, για παράδειγµα µε διπλασιασµό του µήκους έχουµε µείωση της αντίστασης κατά 40%, και από το µέγεθος των ηλεκτροδίων, δηλαδή µε διπλασιασµό της διαµέτρου έχουµε µείωση της αντίστασης κατά 10%. 2.2 Βασική µέθοδος µέτρησης αντίστασης οµοιογενούς υπεδάφους Όταν το έδαφος είναι οµοιογενές, τότε ισχύει ο γενικευµένος νόµος του Ohm και η διάχυση του ρεύµατος από ένα ηλεκτρόδιο που εισάγεται στο έδαφος είναι της µορφής του σχήµατος 2.1: Σχήµα 2.1 ιάχυση ρεύµατος σε οµοιογενές υπέδαφος Στην περίπτωση που εισάγονται δύο ηλεκτρόδια ηλεκτρικής πηγής σε οµοιογενές υπέδαφος, οι ισοδυναµικές γραµµές είναι όπως φαίνονται στο σχήµα

12 Σχήµα 2.2 Ισοδυναµικές γραµµές σε οµοιογενές υπέδαφος µε δυο ηλεκτρόδια πηγής Το δυναµικό υπολογίζεται απ την σχέση: ρ I VMN = VM VN = 2π AM MB AN NB (2) Η αντίσταση του οµοιογενούς υπεδάφους µετριέται µε µια µέθοδο που ονοµάζεται Electrical Resistivity Method. Σύµφωνα µε αυτή, διοχετεύουµε ένα γνωστό ρεύµα στη γη και µετράµε την πτώση τάσης που προκαλείται για να βρούµε έτσι την αντίσταση του υπεδάφους. Συγκεκριµένα το ρεύµα διοχετεύεται µέσω δύο ηλεκτροδίων και η πτώση τάσης µετριέται µέσω δύο άλλων δύο ηλεκτροδίων. Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται και µέθοδος των τεσσάρων σηµείων (4-Point method), εξαιτίας των τεσσάρων ηλεκτροδίων που χρησιµοποιούνται. Στο σχήµα 2.3 φαίνεται αυτή η διάταξη µέτρησης της αντίστασης του υπεδάφους 11

13 Σχήµα 2.3 Μέθοδος των τεσσάρων σηµείων Η αντίσταση του υπεδάφους που µετράµε δίνεται από τον εξής τύπο: ρα π V = k 2 (3) I Όπου k ένας γεωµετρικός παράγοντας που εξαρτάται από την γεωµετρία των ηλεκτροδίων και τις µεταξύ τους αποστάσεις. 2.3 Βάθος διείσδυσης ρεύµατος Οµοιογενή γη Η διείσδυση του ρεύµατος στην οµοιογενή γη εξαρτάται από την απόσταση των ηλεκτροδίων. Όσο αυξάνεται η απόσταση των ηλεκτροδίων τόσο περισσότερο µέρος από το διοχετευόµενο ρεύµα ρέει σε µεγαλύτερα βάθη. Σε αυτή την περίπτωση απαιτείται µία γεννήτρια που θα παράγει περισσότερο ρεύµα. Στο σχήµα 2.4 φαίνεται αυτή η εξάρτηση του ρεύµατος και της απόστασης των ηλεκτροδίων. 12

14 Σχήµα 2.4 Επίδραση της απόστασης των ηλεκτροδίων στην διείσδυση του ρεύµατος Ανοµοιογενή γη Θεωρούµε ένα µοντέλο γης δύο επιπέδων, όπου το ανώτερο στρώµα έχει µεγαλύτερη ειδική αντίσταση από το κατώτερο. Όσο αυξάνεται η απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων ρεύµατος, ενώ τα ηλεκτρόδια τάσης παραµένουν σταθερά προκύπτουν τα παρακάτω σχήµατα. Πιο αναλυτικά, όταν τα ηλεκτρόδια του ρεύµατος είναι σε πολύ µικρή απόσταση µεταξύ τους το περισσότερο µέρος του ρεύµατος ρέει στο ανώτερο στρώµα του εδάφους µε τον ίδιο τρόπο που θα έρεε αν το έδαφος ήταν οµοιογενές, αποτελείται δηλαδή από ένα µόνο ένα στρώµα. Έτσι η τιµή της αντίστασης που υπολογίζεται είναι πολύ κοντά σε αυτή του ανώτερου στρώµατος, δηλαδή 250 ohm/m (σχήµα 2.5). Αν αυξήσουµε την απόσταση των ηλεκτροδίων, η ροή του ρεύµατος δίπλα στα ηλεκτρόδια µεταβάλλεται σηµαντικά και το ρεύµα διαχέεται και στο κατώτερο στρώµα του εδάφους. Έτσι µειώνεται η πυκνότητα του ρεύµατος µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων και αυτή η µείωση της πυκνότητας προκαλεί µείωση της µετρούµενης αντίστασης. Έτσι η τιµή της αντίστασης που υπολογίζεται είναι µικρότερη από 250 ohm/m. Σε περίπτωση όπου η απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων είναι πάρα πολύ µεγάλη, το ρεύµα ρέει πάλι όπως θα έρεε εάν το έδαφος ήταν οµοιογενές. Σε 13

15 αυτή την περίπτωση ωστόσο η αντίσταση του µέσου είναι 50 ohm/m και όχι 250 ohm/m. Σχήµα 2.5 Επίδραση της απόστασης των ηλεκτροδίων στη διείσδυση του ρεύµατος για αντίσταση πρώτου στρώµατος µεγαλύτερη του δευτέρου Στην περίπτωση που θεωρήσουµε ότι το ανώτερο από τα δύο στρώµατα έχει µικρότερη αντίσταση από το κατώτερο προκύπτουν το σχήµα

16 Σχήµα 2.6 Επίδραση της απόστασης των ηλεκτροδίων στη διείσδυση του ρεύµατος για αντίσταση πρώτου στρώµατος µικρότερη του δευτέρου Υποθέτουµε ότι έχουµε µια στρωµατοποιηµένη γη δύο στρωµάτων, δηλαδή ένα µοντέλο γης δύο στρωµάτων και η αντίσταση του πρώτου στρώµατος είναι ρ 1,η αντίσταση του δεύτερου στρώµατος είναι ρ 2 και το βάθος του πρώτου στρώµατος είναι d 1. Κρατώντας σταθερή την απόσταση (α) των ηλεκτροδίων, η τιµή της υπολογιζόµενης αντίστασης εξαρτάται µόνο από τους λόγους ρ α /ρ 1 και α/d 1 όπως φαίνεται στο διάγραµµα που ακολουθεί (σχήµα 2.7). Ο υπολογισµός της προφανούς αντίστασης (ρ α ) βασίζεται σε µία από τις µεθόδους που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια και ονοµάζεται µέθοδος Wenner. 15

17 Σχήµα 2.7 Καµπύλες µοντελοποίησης διαστρωµατοποιηµένης γης Για µοντέλο γης τριών επιπέδων ισχύουν οι καµπύλες του σχήµατος

18 Σχήµα 2.8 Καµπύλες µοντέλου γης τριών επιπέδων 2.4 ιατάξεις µέτρησης αντίστασης γης για ανοµοιογενές υπέδαφος Στις περιπτώσεις όπου ο φλοιός της γης είναι έντονα ανοµοιογενής, ο προσδιορισµός της ειδικής αντίστασης είναι δύσκολος. Για τον λόγο αυτό υπολογίζεται αρχικά µια φυσικώς ανύπαρκτη ποσότητα, η οποία ονοµάζεται φαινόµενη ειδική αντίσταση (ρ α ). H ρ α χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό της πραγµατικής ειδικής αντίστασης στα διάφορα στρώµατα του υπεδάφους και εξαρτάται έντονα από τον τρόπο διάταξης των ηλεκτροδίων µέτρησης. 17

19 Σχήµα:2.9 Ανοµοιογενές υπέδαφος Οι τέσσερις κυριότερες διατάξεις για την µέτρηση της αντίστασης γης για ανοµοιογενές υπέδαφος είναι οι εξής: 1. ιάταξη Wenner 2. ιάταξη Schlumberger 3. ιάταξη δίπολου-δίπολου 4. ιάταξη πόλου-πόλου 5. ιάταξη πόλου-δίπολου Στο σχήµα 2.10 που ακολουθεί φαίνεται η διάταξη των ηλεκτροδίων σε κάθε µία από αυτές τις µεθόδους. 18

20 Σχήµα 2.10 ιάταξη ηλεκτροδίων για διάφορες µεθόδους µέτρησης Αναλυτικότερα για τις παραπάνω διατάξεις έχουµε: 1. Η διάταξη Wenner είναι η πιο απλή διάταξη µέτρησης της αντίστασης του ανοµοιογενούς υπεδάφους. Χρησιµοποιούνται τέσσερα ηλεκτρόδια και η αντίσταση δίνεται από τον τύπο που φαίνεται στο σχήµα 2.11, όπου α είναι η απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων. 19

21 Σχήµα 2.11 ιάταξη Wenner Η διάταξη Wenner µαζί µε την διάταξη Schlumberger που θα περιγράψουµε στη συνέχεια είναι οι πιο συνηθισµένες διατάξεις ηλεκτροδίων που χρησιµοποιούνται για την µέτρηση της αντίστασης γης. 2. Στην διάταξη Schlumberger που χρησιµοποιείται και πιο συχνά, υπάρχουν δύο ηλεκτρόδια ρεύµατος που τοποθετούνται στο τέλος της γραµµής και δύο εν δυνάµει ηλεκτρόδια τα οποία µετακινούνται κατά µήκος της γραµµής µεταξύ των άλλων δύο. 20

22 σχήµα 2.12: Η τιµή της µετρούµενης αντίστασης δίνεται από τον τύπο που φαίνεται στο Σχήµα 2.12 ιάταξη Schlumberger Το πλέον χρησιµοποιούµενο σύστηµα διάταξης ηλεκτροδίων είναι το σύστηµα Schlumberger. Σε αυτό, τα εξωτερικά ηλεκτρόδια περνούν στο έδαφος το ρεύµα και τα εσωτερικά µετρούν την αντίστοιχη τάση που προκαλείται λόγω του ρεύµατος που διοχετεύθηκε. Στο σχήµα 2.13 που ακολουθεί φαίνονται και οι γραµµές του ηλεκτρικού ρεύµατος µέσα στη γη και η αντίστοιχη γεωηλεκτρική καµπύλη που προκύπτει. Όταν το διάστηµα των ηλεκτροδίων ρεύµατος είναι µικρό, η µετρούµενη ηλεκτρική αντίσταση αντιστοιχεί σε εκείνη του πρώτου στρώµατος. Όταν το διάστηµα ηλεκτροδίων ρεύµατος είναι αρκετά µεγάλο, τότε η µετρούµενη ηλεκτρική αντίσταση αντιστοιχεί σε εκείνη του δεύτερου στρώµατος. 21

23 Σχήµα 2.13 Γραµµές ηλεκτρικού ρεύµατος διάταξης Schlumberger 3. Η διάταξη δίπολου-δίπολου είναι η διάταξη των ηλεκτροδίων που χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά στη µεταλλευτική έρευνα και φαίνετα ι στο σχήµα 2.14: 22

24 Σχήµα 2.14 ιάταξη δίπολου-δίπολου Η µετρούµενη αντίσταση δίνεται από τον τύπο: V ρa = 2π k I (4) Η απόσταση na µπορεί να αυξηθεί σηµαντικά και περιορίζεται µόνο από τον εδαφικό θόρυβο και την δυνατότητα των οργάνων να καταγράψουν την τάση και όχι από την απαίτηση για µεγάλα µήκη καλωδίων. 4), 5) Οι διατάξεις πόλου-πόλου και πόλου-δίπολου δίνουν και οι δύο ισχυρό σήµα, αλλά αυτή που χρησιµοποιείται ευρέως είναι η διάταξη πόλου-δίπολου γιατί σε αντίθεση µε την πρώτη δεν είναι χρονοβόρα. 23

25 Σύγκριση των παραπάνω µεθόδων Η κυριότερη διαφορά των δύο µεθόδων Wenner και Schlumberger αφορά τα ηλεκτρόδια κατά τις µετρήσεις. Στην µέθοδο Schlumberger απαιτείται η µετακίνηση µόνο των ηλεκτροδίων ρεύµατος,ενώ στη µέθοδο Wenner µετακινούνται και τα τέσσερα ηλεκτρόδια,πράγµα που είναι πιο χρονοβόρο και αυξάνει τον χρόνο µέτρησης. Τα όργανα µέτρησης επίσης που απαιτούνται για την µέθοδο Schlumberger είναι πολύ πιο ευαίσθητα από αυτά της µεθόδου Wenner. Και οι δύο διατάξεις Wenner και Schlumberger δίνουν αξιόπιστα αποτελέσµατα σε απλές περιπτώσεις στρωµατοποιηµένης γης µε οριζόντια επίπεδα, γι αυτό είναι και οι πλέον χρησιµοποιούµενες διατάξεις σήµερα. Η διάταξη πόλου-πόλου δίνει ισχυρό σήµα, αλλά είναι χρονοβόρα στο ύπαιθρο σε σχέση µε τις υπόλοιπες διατάξεις ηλεκτροδίων και απαιτεί µακριά καλώδια. Η διάταξη πόλου-δίπολου χρησιµοποιείται σήµερα αρκετά και συγκρινόµενη µε την διάταξη πόλου-πόλου δίνει και αυτή ισχυρή σχέση σήµατος προς θόρυβο. Όλες οι παραπάνω διατάξεις ηλεκτροδίων, µε την προϋπόθεση ότι χρησιµοποιούνται σωστά, δίνουν αξιόπιστα αποτελέσµατα. Επιπλέον µέθοδοι µέτρησης 1. Μέθοδος πτώσης δυναµικού 2. Μέθοδος 61,8% 3. Μέθοδος κλίσης Οι µέθοδοι αυτές απεικονίζονται στα σχήµατα που ακολουθούν: 24

26 Σχήµα 2.15 Μέθοδος πτώσης δυναµικού Σχήµα 2.16 Μια απλοποίηση της µεθόδου πτώσης δυναµικού 25

27 Σχήµα 2.17 Μέθοδος 61,8% Σχήµα 2.18 Μέθοδος κλίσης 26

28 Από τις τρεις παραπάνω µεθόδους η µέθοδος πτώσης δυναµικού είναι η πιο αξιόπιστη και η µόνη αποδεκτή µέθοδος σύµφωνα µα τον κανονισµό ΙΕΕΕ 81,αλλά ταυτόχρονα είναι και η µέθοδος που απαιτεί πολύ χρονοβόρες και δύσκολες µετρήσεις. Ωστόσο υπάρχει πλήρης εποπτεία της µέτρησης. Η µέθοδος 61,8% είναι εξαιρετικά εύκολη και γρήγορη σε σύγκριση µε τις άλλες δύο, αλλά απαιτεί ιδανικές συνθήκες µέτρησης, δηλαδή κατάλληλη απόσταση ηλεκτροδίων. Η µέθοδος κλίσης είναι η µέθοδος που µπορεί να µετρήσει και πιο πολύπλοκα συστήµατα διότι οι µετρήσεις που παίρνει είναι σε τρία σηµεία. Ωστόσο η µέθοδος αυτή δεν είναι πάρα πολύ ακριβής και ένα σηµαντικό µειονέκτηµά της είναι ότι για τους υπολογισµούς απαιτείται η χρήση πολύπλοκων µαθηµατικών. 2.5 ιαδικασία µετρήσεων Η εκτέλεση γεωηλεκτρικών µετρήσεων είναι µια αρκετά σύνθετη διαδικασία και απαιτεί ειδικευµένο προσωπικό µε πείρα στην γεωφυσική, γιατί υπάρχουν πολλοί κίνδυνοι στην διαδικασία των µετρήσεων. Το πρώτο βήµα είναι η επιλογή της διάστασης της µέτρησης, το ανάπτυγµα δηλαδή των ηλεκτροδίων ρεύµατος. Αυτό εξαρτάται πάντοτε από το ζητούµενο βάθος της έρευνας. Μια γεωηλεκτρική µέτρηση ή διασκόπηση συνίσταται στην διαδοχική µέτρηση των αντιστάσεων του εδάφους σε διαφορετικά και προοδευτικά αυξανόµενα διαστήµατα ηλεκτροδίων ρεύµατος µε το κέντρο των µετρήσεων να παραµένει πάντοτε στο ίδιο σηµείο. Καλό είναι να σχηµατίζεται και το διάγραµµα µέτρησης στο πεδίο έτσι ώστε να ελέγχεται και η ποιότητα των µετρήσεων. Εάν ανιχνεύεται κάποιο υπόβαθρο, τότε µια αύξηση στις τιµές της ηλεκτρικής αντίστασης σηµαίνει ότι οι γραµµές ρεύµατος έχουν φτάσει στο επιθυµητό βάθος. Εάν τώρα πρόκειται να καταγραφεί ένα προφίλ ηλεκτρικής αντίστασης τότε η καλύτερη διάταξη ηλεκτροδίων είναι η δίπολου-δίπολου. Η γεωµετρική µορφή του διπόλου καθορίζει και την διακριτότητα που θα προκύψει από το προφίλ και πρέπει να επιλέγεται πάντοτε πριν τις µετρήσεις ανάλογα µε το γεωφυσικό στόχο. Είναι δηλαδή αδύνατο να ανιχνευθούν κοιλότητες µεγέθους πέντε µέτρων µε δίπολο διαστάσεων µεγαλύτερες από πέντε µέτρα. Η ανάλυση επίσης µειώνεται µε το βάθος. Γενικά ένας κανόνας είναι να επιλέγεται µήκος διπόλου περίπου στο ήµισυ των αναµενόµενων γεωφυσικών στόχων. Τα συστήµατα πολυηλεκτροδίων µπορούν να εκτελέσουν γρήγορα µετρήσεις προφίλ ηλεκτρικής αντίστασης. Με τα συστήµατα αυτά ένας µεγάλος 27

29 αριθµός ηλεκτροδίων συνδέεται σε ένα όργανο πριν από την καταγραφή. Το ίδιο το σύστηµα επιλέγει τα απαιτούµενα ηλεκτρόδια κάνοντας την διαδικασία µετρήσεων πολύ πιο γρήγορη και απλή. Με τον τρόπο αυτό ένας σηµαντικός αριθµός δεδοµένων και αντίστοιχη γεωφυσική πληροφορία είναι δυνατόν να ανακτηθεί στο ύπαιθρο. Τα συστήµατα αυτά είναι πολύ πιο βολικά στην έρευνα για υπόγειες κοιλότητες. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται ένα σύστηµα πολυηλεκτροδίων. Εικόνα 2.1 Σύστηµα πολυηλεκτροδίων Πρακτικά δεν χρειάζεται κάποια ιδιαίτερη επεξεργασία των δεδοµένων που έχουν περισυλλεχθεί στο ύπαιθρο πλην από κάποιες τοπογραφικές διορθώσεις και απόρριψη λανθασµένων µετρήσεων. Τα δεδοµένα εισάγονται σε ειδικό λογισµικό αναστροφής το οποίο και δίνει ένα διάγραµµα µεταβολής της ηλεκτρικής αντίστασης µε το βάθος. 28

30 Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τρεις κοιλότητες µέσα σε βραχώδες οι οποίες είναι γεµάτες µε κενό. Πρόκειται για ζώνες ρηγµατώσεων. Εικόνα 2.2 Ζώνες ρηγµατώσεων Αυτή η µέθοδος είναι πολύ αποτελεσµατική για τον εντοπισµό κοιλοτήτων εφόσον βέβαια αυτές έχουν κάποιο στοιχειώδες µέγεθος. Ωστόσο υπάρχει µεγάλη δυσκολία στον εντοπισµό κοιλοτήτων σε βάθη µεγαλύτερα των 30 µέτρων κυρίως λόγω του απαιτούµενου µεγάλου αριθµού ηλεκτροδίων και της σηµαντικής µείωσης της διακριτότητας µε το βάθος. 2.6 Ηλεκτρόδια και όργανα µέτρησης Σε όλες τις παραπάνω µεθόδους χρησιµοποιούνται ηλεκτρόδια,τα οποία τοποθετούνται στο έδαφος και µέσω αυτών ουσιαστικά µπορούµε να παίρνουµε τιµές της µετρούµενης αντίστασης. Χρησιµοποιούνται ηλεκτρόδια ρεύµατος, ηλεκτρόδια δηλαδή µέσω των οποίων διοχετεύουµε το ρεύµα στη γη καθώς και ηλεκτρόδια µέσω των οποίων µετράµε την τάση µεταξύ δύο άλλων σηµείων της γης που εµείς 29

31 επιλέγουµε. Στα σχήµατα 2.19 και 2.20 φαίνονται ένα απλό ηλεκτρόδιο ρεύµατος και ένα πολυηλεκτρόδιο. Σχήµα 2.19 Ηλεκτρόδιο ρεύµατος 30

32 Σχήµα 2.20 Πολυηλεκτρόδιο Σε αρκετές από τις παραπάνω µεθόδους που παρουσιάστηκαν χρησιµοποιούνται επίσης διάφορα όργανα µέτρησης της τάσης. Το πιο ευρέως χρησιµοποιούµενο όργανο και αυτό που είναι πιο απλό στην εφαρµογή του είναι το κλασικό πολύµετρο. Στην εικόνα 2.3 απεικονίζεται ένα κλασικό πολύµετρο. Εικόνα 2.3 Πολύµετρο 31

33 Υπάρχουν και κάποια πιο πολύπλοκα όργανα που χρησιµοποιούνται στις διάφορες µεθόδους και τα οποία παίρνοντας τα δεδοµένα, ρεύµα και τάση, που χρειάζονται υπολογίζουν απευθείας την αντίσταση της γης. Έτσι αποφεύγουµε την διαδικασία κατά την οποία µετράµε την τάση µεταξύ δύο σηµείων και µετά ανατρέχουµε στον αντίστοιχο τύπο της µεθόδου που χρησιµοποιούµε για να υπολογίσουµε την τιµή της αντίστασης. Στην εικόνα 2.4 φαίνονται δύο όργανα αυτού του τύπου. Εικόνα 2.4 Όργανα µέτρησης της αντίστασης της γης 32

34 2.7 Μέτρηση της αντίστασης γης σε µια αποµακρυσµένη τοποθεσία Τα σχήµατα που ακολουθούν απεικονίζουν διάφορες διατάξεις µέτρησης της αντίστασης γης σε µια αποµακρυσµένη τοποθεσία. Χρησιµοποιούνται ειδικά όργανα για τη µέτρηση της αντίστασης και ηλεκτρόδια τα οποία εισχωρούν στο έδαφος και µέσω των οποίων παίρνουµε τις τιµές της µετρούµενης αντίστασης. Σχήµα 2.21 Μέθοδος µέτρησης αντίστασης γης Εδώ έχει τοποθετηθεί µια σειρά από ηλεκτρόδια στο κοµµάτι της γης στο οποίο θέλουµε να µετρήσουµε την αντίσταση. Τα ηλεκτρόδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε δύο πολύ λεπτά σύρµατα χαλκού. Χρησιµοποιώντας το όργανο µέτρησης όπως φαίνεται στο σχήµα βλέπουµε στην οθόνη του την τιµή της µετρούµενης αντίστασης. 33

35 Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται ένας δεύτερος εναλλακτικός τρόπος µέτρησης της αντίστασης γης στην ίδια περιοχή. Οι µετρήσεις που προκύπτουν από αυτή τη µέθοδο πρέπει να καταγράφονται και να επαναλαµβάνονται τουλάχιστον δύο φορές τον χρόνο έτσι ώστε να έχουµε αξιόπιστα αποτελέσµατα. Σχήµα 2.22 Μέθοδος µέτρησης αντίστασης γης Στο επόµενο σχήµα φαίνεται ένας τρίτος τρόπος µέτρησης της αντίστασης, στον οποίο χρησιµοποιείται το ίδιο όργανο µέτρησης και τα ίδια ηλεκτρόδια εδάφους. 34

36 Σχήµα 2.21 Μέθοδος µέτρησης αντίστασης γης 2.8 Το πρόβληµα της δηµιουργίας µοντέλου γης Η ανάπτυξη ενός µαθηµατικού µοντέλου που θα αναπαριστά τις ηλεκτρικές ιδιότητες του εδάφους, µπορεί να είναι µια απαιτητική εργασία εξαιτίας των ευρέως ανοµοιογενών χαρακτηριστικών του εδάφους. Ευτυχώς για λόγους µετάδοσης της γραµµής γείωσης, το έδαφος µπορεί λογικά να προσεγγιστεί από µια δοµή χώµατος που αποτελείται από δύο στρώµατα. Αυτή η δοµή χώµατος χαρακτηρίζεται από τις αντιστάσεις των στρωµάτων ρ 1, ρ 2 και από το πάχος του ανώτερου στρώµατος h. Το κατώτερο στρώµα θεωρείται απεριόριστο. Σε µερικές περιπτώσεις, το πάχος του ανώτερου στρώµατος είναι 35

37 αρκετά µεγάλο έτσι ώστε το µοντέλο εδάφους να µπορεί να θεωρηθεί αρκετά οµοιογενές. Οι µεταβλητές ρ 1, ρ 2 και h καθορίζονται γενικά ερµηνεύοντας τις προφανείς αρχές της αντίστασης που µετρούνται χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Wenner. Σε αντίθεση µε τα περισσότερα προβλήµατα µηχανικής, η ερµηνεία των µετρήσεων της αντίστασης του εδάφους είναι ένα αντίστροφο πρόβληµα, δηλαδή οι ηλεκτρικές ιδιότητες των µέσων που συµµετέχουν πρέπει να καθοριστούν από την ηλεκτρική ανταπόκριση στο τροφοδοτούµενο ρεύµα σε συγκεκριµένες τοποθεσίες πάνω στην επιφάνεια του εδάφους. Αντίθετα, τα συµβατικά ηλεκτροστατικά προβλήµατα καθορίζουν την ηλεκτρική ανταπόκριση ή διέγερση των πηγών ρεύµατος, βασισµένα στις γνωστές ιδιότητες του υλικού που συµµετέχει. Αυτά είναι γνωστά ως προβλήµατα Laplace και Diriclet. Προφανώς το αντίστροφο πρόβληµα, όπου οι φυσικές σταθερές του υλικού είναι άγνωστες, παρουσιάζει περισσότερες δυσκολίες από εκείνα τα προβλήµατα, όπου οι φυσικές σταθερές του υλικού είναι γνωστές λειτουργίες της θέσης. Επιπλέον, ο αριθµός των παραµέτρων που απαιτούνται για να αναπαραστήσουν ένα µοντέλο της δοµής του εδάφους είναι συνήθως τόσο µεγάλος που είναι δύσκολο να διαλέξουµε αρχικές αξίες γι αυτές τις παραµέτρους και να έχουµε µια υπολογιστική αλγοριθµική προσέγγιση προς µία αποδεκτή λύση, εντός ενός πρακτικού λογικού πλαισίου. Συνεπώς, η επιλογή αρχικών αξιών γίνεται µία βασική εργασία στην ερµηνευτική διαδικασία. Η επιτυχία ή η αποτυχία σ αυτή τη σηµαντική αρχική αξιολόγηση εξαρτάται γενικά από την εµπειρία του µηχανικού και από τη γνώση των ηλεκτρικών ιδιοτήτων του εδάφους που είναι διαθέσιµα στον µηχανικό που είναι υπεύθυνος για την ερµηνεία των µετρήσεων. 36

38 Εικόνα 2.5 ιαδικασία µέτρησης αντίστασης γης Εικόνα 2.6 ιαδικασία µέτρησης αντίστασης γης 37

39 Υπάρχει ένα επιπλέον πρόβληµα µε την αντίστροφη λύση στις µετρήσεις αντίστασης. εν είναι πάντα δυνατό να αποκτήσουµε µία µοναδική λύση σε ένα πρόβληµα ερµηνείας δεδοµένων. Εξαιτίας των ανακριβειών στις µετρήσεις, συνήθως το 5% µε κλασικά γεωηλεκτρικά όργανα, πολλά µοντέλα δοµής του εδάφους µπορούν να βρεθούν να δίνουν ικανοποιητική συµφωνία µε τα µετρηµένα αποτελέσµατα. Αυτά τα µοντέλα θα διαφέρουν συνήθως στα χαρακτηριστικά των βαθύτερων στρωµάτων χώµατος. Εικόνα 2.7 ιαδικασία µέτρησης αντίστασης γης 38

40 Οι παραπάνω συζητήσεις δεν παρουσιάζονται για να αποθαρρύνουν τον µηχανικό συστήµατος ενέργειας από το να εκτελεί µία επιστηµονική ερµηνεία των µετρήσεων της αντίστασης, αλλά για να τον πληροφορήσουν πως το έργο αυτό απαιτεί προσεκτική προετοιµασία, έρευνα και µηχανική κρίση. Οι δυσκολίες που αναφέρθηκαν νωρίτερα, ενώ θέτουν µια σηµαντική πρόκληση στον γεωλόγο έχουν ιδιαίτερα µικρότερη επίδραση στον ηλεκτρολόγο µηχανικό. Πρώτα απ όλα, η ύπαρξη πολλαπλών λύσεων στην υπόγεια δοµή έχει ελάχιστες επιπτώσεις στον καθορισµό της αντίδρασης των γειωµένων ηλεκτροδίων. Επίσης, ένα µοντέλο του εδάφους µε δύο στρώµατα είναι γενικά επαρκές για την αναπαράσταση συστηµάτων εδάφους. Τέλος, υπάρχουν πολυάριθµα γραφήµατα, αλγόριθµοι και απλές µηχανικές τεχνικές οπτικού υπολογισµού, τα οποία µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καθορίσουν ένα ισοδύναµο µοντέλο του εδάφους µε δύο στρώµατα, µε λογική ακρίβεια. Ο σκοπός αυτής της διπλωµατικής εργασίας είναι να εξεταστούν οι µέθοδοι δηµιουργίας µοντέλων στρωµατοποιηµένης γης από µετρήσεις ειδικής αντίστασης εδάφους στην επιφάνεια και να δηµιουργηθεί ένα λογισµικό που να µπορεί να χρησιµοποιηθεί στις περιπτώσεις αυτές. Οι µέθοδοι αυτοί αναλύονται στα κεφάλαια που ακολουθούν και στο τέλος της εργασίας υλοποιείται ο αλγόριθµος µιας εκ των µεθόδων αυτών, µέσω ενός προγράµµατος MATLAB. 39

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ Z ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΟΥΡΛΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ, ΑΠΘ (e-mail: tsourlos@lemnos.geo.auth.gr) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ Μελετά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ Z ΕΞΑΜΗΝΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ Z ΕΞΑΜΗΝΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ Z ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ Με τις ηλεκτρικές μεθόδους διασκόπησης επιδιώκεται ο καθορισμός των ηλεκτρικών ιδιοτήτων του υπεδάφους. Η εύρεση των ηλεκτρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (Ohm.m) ΓΡΑΝΙΤΗΣ 100-1 x 10 6 ΓΑΒΡΟΣ 1 x 10 3-1 x 10 6 ΑΣΒΕΣΤΟΛΙΘΟΣ 50-1 x 10 7 ΨΑΜΜΙΤΗΣ 1-1 x 10 8 ΑΜΜΟΣ 1-1.

ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (Ohm.m) ΓΡΑΝΙΤΗΣ 100-1 x 10 6 ΓΑΒΡΟΣ 1 x 10 3-1 x 10 6 ΑΣΒΕΣΤΟΛΙΘΟΣ 50-1 x 10 7 ΨΑΜΜΙΤΗΣ 1-1 x 10 8 ΑΜΜΟΣ 1-1. ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ. ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της μεθόδου της ειδικής αντίστασης είναι να βρεθεί η γεωηλεκτρική δομή του υπεδάφους και έμμεσα να ληφθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΙΚΡΟΚΥΜAΤΩΝ ΜΕ ΔΙΟΔΟ GUNN

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΙΚΡΟΚΥΜAΤΩΝ ΜΕ ΔΙΟΔΟ GUNN ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΙΚΡΟΚΥΜAΤΩΝ ΜΕ ΔΙΟΔΟ GUNN Το φαινόμενο Gunn, ή το φαινόμενο των μεταφερόμενων ηλεκτρονίων, που ανακαλύφθηκε από τον Gunn το 1963 δηλώνει ότι όταν μια μικρή τάση DC εφαρμόζεται κατά μήκος του

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η επαφή και εξοικείωση του μαθητή με βασικά όργανα του ηλεκτρισμού και μετρήσεις. Η ικανότητα συναρμολόγησης απλών

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μέσα Προστασίας II. Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σ.Τ.ΕΦ./ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων. Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι

Μέσα Προστασίας II. Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σ.Τ.ΕΦ./ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων. Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σ.Τ.ΕΦ./ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Μέσα Προστασίας II Προστασία από την ηλεκτροπληξία Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι Επίκουρος Καθηγητής Τηλ:2810379231 Email: ksiderakis@staff.teicrete.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

Η γνώση του αναγλύφου

Η γνώση του αναγλύφου ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ε ΑΦΟΥΣ Η γνώση του αναγλύφου συµβάλλει στον προσδιορισµό Ισοϋψών καµπυλών Κλίσεων του εδάφους Προσανατολισµού Ορατότητας Μεταβολών Κατανοµής φωτισµού ιατοµών Χωµατισµών Υδροκρίτη Οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα αποτελείται από: Πηγή ενέργειας (τάσης ή ρεύματος) Αγωγούς Μονωτές

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 4 Συνδεσµολογίες Παράλληλων Αντιστάσεων και Χρήση Ποτενσιόµετρου στη ιαίρεση Τάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Επαφή p- Στάθμη Fermi Χαρακτηριστική ρεύματος-τάσης Ορθή και ανάστροφη πόλωση Περιεχόμενο της άσκησης Οι επαφές p- παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον επειδή βρίσκουν εφαρμογή στη

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

αγωγοί ηµιαγωγοί µονωτές Σχήµα 1

αγωγοί ηµιαγωγοί µονωτές Σχήµα 1 Η2 Μελέτη ηµιαγωγών 1. Σκοπός Στην περιοχή της επαφής δυο ηµιαγωγών τύπου p και n δηµιουργούνται ορισµένα φαινόµενα τα οποία είναι υπεύθυνα για τη συµπεριφορά της επαφής pn ή κρυσταλλοδιόδου, όπως ονοµάζεται,

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Συστήµατα µονάδων Για το σχηµατισµό ενός συστήµατος µονάδων είναι απαραίτητη η εκλογή ορισµένων µεγεθών που ονοµάζονται θεµελιώδη. Στις επιστήµες χρησιµοποιείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 Μέτρηση ωμικής αντίστασης και χαρακτηριστικής καμπύλης διόδου

ΑΣΚΗΣΗ 7 Μέτρηση ωμικής αντίστασης και χαρακτηριστικής καμπύλης διόδου Απαραίτητα όργανα και υλικά ΑΣΚΗΣΗ 7 Μέτρηση ωμικής αντίστασης και χαρακτηριστικής καμπύλης διόδου 7. Απαραίτητα όργανα και υλικά. Τροφοδοτικό DC.. Πολύμετρα (αμπερόμετρο, βολτόμετρο).. Πλακέτα για την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΥΦΥΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΑΡΜΟΖΕΤΑΙ ΣΤΟ ΣΤΙΓΜΙΑΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΑ: ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΕΙ Τη λειτουργία των εσωτερικών µονάδων ΠΡΟΣΑΡΜΟΖΕΙ Το συνολι

ΤΟ ΕΥΦΥΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΑΡΜΟΖΕΤΑΙ ΣΤΟ ΣΤΙΓΜΙΑΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΑ: ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΕΙ Τη λειτουργία των εσωτερικών µονάδων ΠΡΟΣΑΡΜΟΖΕΙ Το συνολι Πρόγραµµα λογισµικού για τη διαχείριση εγκαταστάσεων κλιµατισµού ERGO @ ο C = Ergo Η έξυπνη λύση για τη διαχείριση εγκαταστάσεων κλιµατισµού µε συνέπεια την εξοικονόµηση σηµαντικών ποσοτήτων ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2. Ηλεκτρικό ρεύµα (ορισµό και φορά)

2. Ηλεκτρικό ρεύµα (ορισµό και φορά) 1. Ηλεκτρικέ πηγέ Η ηλεκτρική πηγή είναι συσκευή η οποία δηµιουργεί στα άκρα της τάση και προσφέρει σε εξωτερικό κύκλωµα την ενέργειά της. Τα άκρα της ονοµάζονται πόλοι της πηγής. Ο πόλος που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις µε παλµογράφο

Μετρήσεις µε παλµογράφο Η6 Μετρήσεις µε παλµογράφο ΜΕΡΟΣ 1 ο ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Α. Γενικά Κατά την απεικόνιση ενός εναλλασσόµενου µεγέθους (Σχήµα 1), είναι γνωστό ότι στον κατακόρυφο άξονα «Υ» παριστάνεται το πλάτος του µεγέθους, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΑΕ ΙΙ. Αισθητήρια θερμοκρασίας Εισαγωγή

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΑΕ ΙΙ. Αισθητήρια θερμοκρασίας Εισαγωγή ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΑΕ ΙΙ Εργαστηριακή Άσκηση 1 Αισθητήρια θερμοκρασίας Εισαγωγή Η μέτρηση της θερμοκρασίας είναι μια σημαντική ασχολία για τους μηχανικούς παραγωγής γιατί είναι, συνήθως,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ (ΕΝΑΕΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΦΟΡΑ ΣΥΡΜΑΤΑ)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ (ΕΝΑΕΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΦΟΡΑ ΣΥΡΜΑΤΑ) ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ (ΕΝΑΕΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΦΟΡΑ ΣΥΡΜΑΤΑ) Οι ηλεκτρικές εφαρµογές του αλουµινίου εκµεταλλεύονται πρώτιστα την πολύ καλή ηλεκτρική αγωγιµότητα (χαµηλή ειδική αντίσταση) του µετάλλου,

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ 2.1 ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Τι είναι ; Ηλεκτρικό ρεύμα ονομάζεται η προσανατολισμένη κίνηση των ηλεκτρονίων ή γενικότερα των φορτισμένων σωματιδίων Που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ 7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια αναφέρθηκαν λεπτοµερώς τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των διαφόρων στρατηγικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΛΟΤ HD 3S4 ΕΛΟΤ ΜΕΡΟΣ 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 61 Αρχικός έλεγχος 610 Γενικά 610.1 Κάθε ηλεκτρική εγκατάσταση πρέπει να ελέγχεται μετά την αποπεράτωση της και πριν να τεθεί σε λειτουργία από

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Φωτοηλεκτρικό Φαινόµενο Εργαστηριακή άσκηση

Φωτοηλεκτρικό Φαινόµενο Εργαστηριακή άσκηση ttp ://k k.sr sr.sc sc.gr Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός 1 Φωτοηλεκτρικό Φαινόµενο Εργαστηριακή άσκηση ΣΤΟΧΟΙ Οι στόχοι αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι: - Η πειραµατική επιβεβαίωση ότι η µορφή της φωτοηλεκτρικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. Θερµοϊονικό φαινόµενο - ίοδος λυχνία

ΑΣΚΗΣΗ 7. Θερµοϊονικό φαινόµενο - ίοδος λυχνία ΑΣΚΗΣΗ 7 Θερµοϊονικό φαινόµενο - ίοδος λυχνία ΣΥΣΚΕΥΕΣ : Πηγή συνεχούς 0-50 Volts, πηγή 6V/2A, βολτόµετρο συνεχούς, αµπερόµετρο συνεχούς, βολτόµετρο, ροοστάτης. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όταν η θερµοκρασία ενός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής και το πηνίο

Ο πυκνωτής και το πηνίο Πυκνωτής, ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο πυκνωτής και το πηνίο Αποτελείται από ύο οπλισµούς, µονωµένους µεταξύ τους, που µπορούν να αλληλεπιρούν. Κατά τη φόρτιση η πηγή µετακινεί φορτίο από τον ένα οπλισµό στον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή Η ανάλυση ευαισθησίας μιάς οικονομικής πρότασης είναι η μελέτη της επιρροής των μεταβολών των τιμών των παραμέτρων της πρότασης στη διαμόρφωση της τελικής απόφασης. Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 2.4 Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η αντίσταση ενός αγωγού Λέξεις κλειδιά: ειδική αντίσταση, μικροσκοπική ερμηνεία, μεταβλητός αντισ ροοστάτης, ποτενσιόμετρο 2.4 Παράγοντες που επηρεάζουν την

Διαβάστε περισσότερα

1. Ρεύμα επιπρόσθετα

1. Ρεύμα επιπρόσθετα 1. Ρεύμα Ρεύμα είναι οποιαδήποτε κίνηση φορτίων μεταξύ δύο περιοχών. Για να διατηρηθεί σταθερή ροή φορτίου σε αγωγό πρέπει να ασκείται μια σταθερή δύναμη στα κινούμενα φορτία. r F r qe Η δύναμη αυτή δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα