Základná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice. Prehľad učiva matematiky. základnej školy
|
|
- Μυρίνη Δυοβουνιώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Základná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice Prehľad učiva matematiky základnej školy
2 Obsah strana 1. Prirodzené, celé, racionálne, reálne čísla Operácie s racionálnymi číslami Zlomky, počtové výkony so zlomkami Pomer, priama a nepriama úmernosť Funkcie Merné jednotky Významné prvky trojuholníka Významné prvky rovnobežníkov Lichobežník Uhly Zhodnosť, podobnosť Kružnica, kruh Základné množiny bodov danej vlastnosti Stredová a osová súmernosť Talesova veta, Pytagorova veta Obsahy a obvody plošných útvarov Objemy a povrchy telies Úpravy algebrických výrazov Lomené výrazy Rovnice a nerovnice... 18
3 - 1 - N - prirodzené čísla ( 1, 2, 3, 4, 5... ) N Z Q R Z - celé čísla ( - 4, -2, 0, 3, 5 ) Q - racionálne čísla 1 ( ; - 0,75 ; 1,6 ) R - reálne čísla = 9 sčítanec sčítanec súčet 6-3 = 3 menšenec menšiteľ rozdiel 6. 3 = 18 činiteľ činiteľ súčin 6 : 3 = 2 delenec deliteľ podiel 2 komunikatívnosť zámena sčítancov a + b = b + a činiteľov a. b = b. a asociatívnosť združovanie do skupín ( a + b ) = ( b + a ) distributívnosť 3. ( a + b ) = 3a + 3b +2 = 2 Absolutná hodnota -2 = opačné čísla: prevrátené čísla:
4 - 2 - Operácie s racionálnymi číslami Jedno racionálne číslo môžeme vyjadriť - ; -0,75; - ; - 0,5; ; ; 0,50 rôznymi zápismi zobrazenými v jednom bode Sčítanie: ( +5 ) + ( +3 ) = +8 ( -5 ) + ( -3 ) = - 8 ( +5 ) + ( - 3 ) = +2 ( - 5 ) + ( +3 ) = - 2 Odčítanie: ( +5 ) (+ 3 ) = ( +5 ) + ( - 3 ) = +2 ( - 5 ) ( - 3 ) = ( - 5 ) + ( +3 ) = - 2 ( +5 ) - ( - 3 ) = ( +5 ) + ( +3 ) = +8 (- 5 ) - ( +3 ) = ( - 5 ) + ( - 3 ) = - 8 Odčítať znamená pričítať číslo opačné. Násobenie: ( +5 ). ( +3 ) = + 15 ( - 5 ). ( - 3 ) = + 15 ( +5 ). ( - 3 ) = - 15 ( - 5 ). ( +3 ) = - 15 Delenie: ( +8 ) : ( +4 ) = +2 ( - 8 ) : ( - 4 ) = +2 (+8 ) : ( - 4 ) = - 2 ( - 8 ) : ( +4 ) = - 2 Umocňovanie: ( - 5 ) 2 = 25 ( - 5 ) 3 = =
5 - 3 - Zlomky 2 čitateľ ( určuje počet častí ) 3 menovateľ ( určuje, na aké časti treba celok rozdeliť ) menší ako 1 celá väčší ako 1 celá čiže = 1+ = 1 4 ( pravý zlomok ) 4 ( nepravý zlomok ) Rozširovanie zlomkov Krátenie zlomkov : 2 2 = = = : 2 3 ( hodnota zlomku sa nezmení ) ( hodnota zlomku sa nezmení ) Počtové výkony so zlomkami sčítanie odčítanie násobenie delenie = = 1 + = = = 1 ( zlomok uvedieme na spoločného menovateľa ) = = - = = = ( zlomok uvedieme na spoločného menovateľa ) ( ak sa dá, nezabudni pred násobením najprv = = 1 = krátiť zlomky ) ( prvý zlomok násobíme prevrátenou hodnotou : = = = 1 druhého zlomku ) = : = = = 2 alebo = = umocňovanie ( ) 2 = ; ( - ) 2 = ; = = 7 ; = = - ; ( - 4 )
6 - 4 - Pomer, priama a nepriama úmernosť Porovnávať môžeme : rozdielom - otázkou o koľko? podielom ( alebo pomerom ) - otázkou koľkokrát? Sú veci okolo nás, ktoré musíme porovnávať. K tomu slúžia práve funkcie priamej a nepriamej úmernosti. Priama úmernosť - v akom pomere sa zmení jedna premenná ( veličina ), v takom istom pomere sa musí zmeniť aj druhá premenná ( veličina ). Nepriama úmernosť - ak sa jedna premenná ( veličina ) zmení v určitom pomere, druhá premenná ( veličina ) sa musí zmeniť v obrátenom pomere. Obe súmernosti môžeme riešiť úsudkom alebo trojčlenkou. 4 kg jabĺk Sk 3 traktoristi zorú pole dní 7 kg jabĺk... x Sk 4 traktoristi zorú pole... x dní x : 64 = 7 : 4 ( úmera ) 4 : 3 = 12 : x 4x = 448 4x = 36 x = 112 ( korún ) x = 9 ( dní ) Úsudkom: 1 kg : 4 = l6 Úsudkom: 1 traktorista zorie za ( ) 7 kg = 112 dní, to je 36, a delíme 4 jednoducho ( 64 : 4 ). 7 = 112 ( ) : 4 = 36 : 4 = 9
7 - 5 - Funkcie Funkciou nazývame priradenie, keď každému prvku danej množiny A priraďujeme práve jedno reálne číslo množiny B. funkcia vzorec graf priama úmernosť nepriama úmernosť y = k. x + q ( q = 0 ) priamka k y = x 0 x hyperbola lineárna y = k. x + q x,y premenné veličiny k,q - koeficienty priamka goniometrická ( a, b - odvesny c - prepona ) 1 2 a sin α = c b cos α = c sinusoida kosinusoida 3 a tg α = b tangentoida 4 1 B b cotg α = a 2 B kotangentoida 3 B c a α C b A c a α C b A 4 B c a α C b A c a α C b A
8 - 6 - Merné jednotky mili - centi - deci - základná jednotka deka - hekta - kilo - mm cm dm meter dkm hm km mg cg dg gram dkg hg kg t ml cl dl liter dkl hl kl mm 2 cm 2 dm 2 meter štvorcový a ha km 2 mm 3 cm 3 dm 3 meter kubický dkm 3 hm 3 km 3 v praxi sa nepoužívajú miery dĺžkové miery objemové miery hmotnosti miery plošné miery kubické každá vyššia jednotka má 10 nižších každá vyššia jednotka má 100 nižších každá vyššia jednotka má 1000 nižších 1 cm 1 cm 2 1 cm 3 1 liter = 1 dm 3
9 Významné prvky trojuholníka C o 3 γ H k J γ' o 1 2 F E O S α' α q β β' A B G D vrcholy A, B, C strany AB, BC, CA uhly vnútorné: uhol CAB ( α ), uhol ABC ( β ), uhol BCA ( γ ) α + β + γ = 180 vonkajšie: α', β', γ' α' + β' + γ' = 360 výšky AH, BJ, CG - kolmice z vrcholu na protiľahlú stranu ťažnice AE, BF, CD - spojnice vrcholu so stredom protiľahlej strany T - ťažisko ( je v 2/3 od vrcholu a v 1/3 od stredu strany stredné priečky DE, EF, FD - stredná priečka spája stredy strán a je rovnobežná s tou stranou, s ktorou stred nespája, je jej polovičkou kružnice k je kružnica opísaná, stred S je prienik osí strán q je kružnica vpísaná, stred O je prienik osí uhlov Trojuholníky podľa strán rovnostranný rovnoramenný rôznostranný Trojuholníky podľa uhlov ostrouhlý tupouhlý pravouhlý
10 - 8 - Významné prvky rovnobežníkov (štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, kosodĺžnik) o 3 k o 1 o 2 o 1 k G G D C D C q E S F E S F o 2 A H B o 4 A H B o 1 o 2 D G C D G C S S E K E F q F K A J H B A J H B vrcholy A, B, C, D strany AB, BC, CD, DA - dve protiľahlé sú rovnobežné a zhodné, dve susedné ( v štvorci a obdĺžniku ) sú na seba kolmé uhly v štvorci a obdĺžniku sú uhly pravé v kosoštvorci a v kosodĺžniku sú dva a dva protiľahlé zhodné súčet uhlov je 360 uhlopriečky AC, BD vo všetkých rovnobežníkoch sa navzájom rozpoľujú v štvorci a kosoštvorci sú na seba kolmé v štvorci a obdĺžniku sú zhodné, AC = BD výšky v štvorci a obdĺžniku sa zhodujú so stranami v kosoštvorci DJ = DK stredné priečky EF, GH - sú rovnobežné so stranami BC, DA, sú s nimi aj zhodné osi súmernosti štvorec má 4, obdĺžnik 2, kosoštvorec 2 opísaná kružnica k - v štvorci a v obdĺžniku ( stred S, prienik osí strán ) vpísaná kružnica q - v štvorci a v kosoštvorci ( stred S, prienik osí uhlov )
11 - 9 - Lichobežník D c C E d b F A H a B c K vrcholy A, B, C, D strany AB ( a ), BC ( b ), CD ( c ), DA ( d ) uhlopriečky AC, BD stredná priečka p = EF, p = a + c / 2 ( polovica súčtu základní ) viď obr. EF = ½ AK ( AKD ) výška DH c Uhly α β a δ γ α' β' b δ' γ' a b a,b c vrcholové α γ ; β δ α γ'; β' δ' spoločný vrchol, ležia oproti sebe, sú zhodné susedné α β, β γ, γ δ, δ α α' β', β' γ', γ' δ', δ' α' ležia vedľa seba, majú spoločné rameno, ich súčet je 180 súhlasné α α', β β', γ γ', δ δ' podľa priamok a, b, c ležia súhlasne v rovnakých polrovinách a sú zhodné ( a b ) striedavé δ β', γ α', β δ', α γ' podľa priamo ležia striedavo v opačných polrovinách, sú zhodné, ak a b
12 Zhodnosť, podobnosť 4 : 1 3 : 1 2 : 1 1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 pomery zväčšenia tieto útvary sú iba podobné pomery zmenšenia tieto útvary sú iba podobné pomer, ktorý ani nezväčšuje, ani nezmenšuje takéto útvary sú zhodné ( aj podobné ) Zhodnosť je teda zvláštnym prípadom podobnosti. Geometrické útvary ( trojuholníky ) sú zhodné: ak sa zhodujú v dĺžke príslušných strán ( veta sss ) ak sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi zovretom ( veta sus ) ak sa zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých ( veta usu ) Znak zhodnosti: = Podobnosť - geometrické útvary ( trojuholníky ) sú podobné: ak sa zhodujú pomery príslušných strán ( veta sss ) ak sa zhodujú pomery dvoch príslušných strán a uhly medzi nimi zovreté ( veta sus ) ak sa zhodujú príslušné dva uhly ( veta uu ) Znak podobnosti: ~
13 Kružnica, kruh a k; k ( S; r ) kružnica SC ( r ) polomer E D F H AB ( d ) priemer EF α SD vzdialenosť tetivy od stredu S A B a kružnicový oblúk d S α stredový uhol r S ( CSG ) kruhový výsek J S C Vzájomná poloha bodu a kružnice tetiva (spojnica 2 bodov kružnice) G 1. SH > r ( bod H leží mimo kružnice ) 2. SA, SB, SC... = r ( body ležia na kružnici ) 3. SJ < r ( bod J leží v kružnici ) k c b a Vzájomná poloha priamky a kružnice S r 1. as > r nesečnica 2. bs = r dotyčnica 3. cs < r sečnica k k 1 Vzájomná poloha kružníc k 4 S 1 q k 1 SS 1 > r 1 + r 2 mimo seba k 3 S 4 k2 SS2 = r1 + r2 vonkajší dotyk S S' k 3 SS 3 > r 1 - r 2 SS 3 < r 1 + r 2 pretínajú sa S 3 k 5 S 5 k 4 SS 4 = r 1 r 2 vnútorný dotyk k 2 k 5 SS 5 < r 1 r 2 jedna vo vnútri druhej q SS' = 0 sústredné kružnice S 2 kružnica kruh
14 Základné množiny bodov danej vlastnosti k o a a S p p A B b b k ( S; r ) os AB a, b p p a, b os uhla o k S k q A B S q q (S, r 1 r 2 ) o q ( S, r 1 r 2 ) Stredová a osová súmernosť C A' 1) priamky AS, BS, CS S B' 2) SA = SA', SB = SB', SC = SC' B Trojuholníky ABC a A'B'C' sú A C' súmerné podľa stredu S. C p C' 1) priamky prechádzajúce bodmi ABC a kolmé na priamku p 2) pa = pa', pb = pb', B B' pc = pc' Trojuholníky ABC a A'B'C' sú súmerné podľa priamky p. A A'
15 Talesova veta C 5 C 4 C 3 C 2 k C 1 A B C 6 C 7 C 8 C 9 Vrcholy pravouhlých trojuholníkov C 1, C 2, C 3... C 9... vytvorili nad úsečkou AB ( mimo bodov A, B ) množinu - kružnicu k, ktorá bola pomenovaná podľa svojho objaviteľa. Pytagorova veta B c 2 c 2 a 2 a c c 2 = a 2 + b 2 a 2 a = c 2 b 2 b = c 2 a 2 C b A c = a 2 + b 2 b 2 Obsah štvorca nad preponou ( c 2 ) sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad obidvoma odvesnami ( a 2 + b 2 ). b 2
16 Objemy a povrchy telies teleso objem povrch kocka V = Sp. v V = a.a.a ( a 3 ) S = 6. a. a ( 6a 2 ) kváder V = Sp. v V = ( a. b ). v S = 2. ( ab + ac + bc ) hranol V = Sp. v S = 2 Sp + Spl valec V = Sp. v V = π r 2. v S = 2 Sp + Spl S = 2π r 2 + π r. v ihlan V = ⅓ Sp. v S = Sp + Spl kužel V = ⅓ Sp. v V = ⅓ π r 2. v S = Sp + Spl S = π r 2 + π r s guľa V = 4 / 3 π r 3 S = 4 π r 2 Obsahy a obvody plošných útvarov plošný útvar obsah obvod štvorec S = a. a ( a 2 ) o = 4. a obdĺžnik S = a. b o = 2. ( a + b ) trojuholník lichobežník a. v a S = 2 ( a + c ). v S = 2 o = a + b + c o = a + b + c + d kosoštvorec S = a. v a o = 4. a kosodĺžnik S = a. v a o = 2. ( a + b ) kruh S = π r 2 o = 2 π r kružnicový výsek, oblúk Π r 2 S = α 360 2π r a = α 360
17 Úpravy algebrických výrazov Príklad zapísaný pomocou čísel, znakov, počtových operácií a zátvoriek nazývame číselný výraz. Opačný výraz ( x y ) ; ( y x ). Výrazy s tou istou premennou sčítame a odčítame tak, že sčítame a odčítame ich číselné koeficienty a premennú opíšeme. Násobiť výraz číslom znamená vynásobiť týmto číslom každý člen výrazu. Podobne je to i u delenia ( delíme ). Mocniny s prirodzeným mocniteľom: Sčitovať a odčitovať môžeme iba tie mocniny, ktoré majú rovnaký základ aj rovnakého mocniteľa ( exponenta ). Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom mocniteľov : a m. a n = a m+n Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom mocniteľov : a m : a n = a m n ( m > n ) a m a m : a m a 0 1 Ak m < n, tak a m : a n = = = = a n a n : a m a n - m a n - m Pozor: a 0 = 1 Mocnina súčinu a podielu : Súčin umocníme tak, že umocníme každého činiteľa ( a. b ) n = a n. b n Zlomok umocníme tak, že umocníme čitateľa i menovateľa. a a n ( ) n = b b n b 0 Mocninu umocníme tak, že základ umocníme súčinom mocniteľov. ( a m ) n = a mn Úprava celistvých algebrických výrazov: Sčitovanie a odčitovanie jednočlenov a mnohočlenov jednoduché odstránenie zátvoriek a sčitovanie a odčitovanie mocnín. Pri odčítaní pamätať, že odčítať mnohočlena znamená pričítať mnohočlena opačného ( zmeniť znamienka ). Násobenie a delenie celistvých výrazov: Násobenie jednočlena jednočlenom: a m. a n = a m + n Násobenie jednočlena mnohočlenom: a. ( b + c ) = ab + ac
18 Násobenie mnohočlena mnohočlenom: ( a + b ). ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Delenie mnohočlena jednočlenom: a b c ( a + b + c ) : d = + + d d d d 0 Vynímanie jednočlena pred zátvorku: Najväčšieho spoločného deliteľa všetkých členov mnohočlena ( koeficienty aj premenné ) napíšeme pred zátvorku. V zátvorke zostanú členy, ktoré sme týmto deliteľom vydelili. Hovoríme, že sme mnohočlen upravili na súčin. Vynímanie dvojčlena pred zátvorku: Ak sa v mnohočlene nachádzajú násobky toho istého dvojčlena, dvojčlen vyjmeme pred zátvorku. V zátvorke zostanú členy, ktoré sme týmto dvojčlenom vydelili. Tiež sme mnohočlen upravili na súčin. Úprava výrazov pomocou vzorcov Pozorný žiak vie, v ktorom prípade využije namiesto násobenia mnohočlenov tieto vzorce : ( A + B ) 2 = ( A + B ). ( A + B ) = A 2 + 2AB + B 2 ( A B ) 2 = ( A B ). ( A B ) = A 2 2AB + B 2 A 2 B 2 = ( A + B ). ( A B ) ( A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 ( A B ) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3 Rozklad na prvočinitele ( úprava výrazu na súčin ) : a) pomocou vynímania pred zátvorku b) pomocou vzorcov c) pomocou vynímania a pomocou vzorcov súčasne Všimnite si rôzne možnosti: a 6 b 5 c a 5 b 4 c a 3 b 2 c 4 = 27a 3 b 2 c 4 ( 4 a 3 b 3 c 3 7 a 2 b 2 c ) 2. m 2. ( 2x y ) 3n. ( 2x y ) = ( 2x y ). ( m 2 3n ) 3. r ( r 6 ) = ( r 6 ) + 3. ( r 6 ) = ( r 6 ). ( ) = 4 ( r 6 ) 4. 6u - v 5r. ( v 6u ) = ( 6u v ) 5r. ( v 6u ) = ( 6u v ) ( 1 + 5r ) 5. 3v + 7. ( 3v 4u ) 4u = ( 3v 4u ) + 7. ( 3v 4u ) = ( 3v 4u ) ( ) 6. 6m 18 + mn 3n = ( 6m 18 ) + ( mn 3n ) = 6. ( m 3 ) + n. ( m 3 ) = ( m 3 ) ( 6 + n ) r + 36r 2 = 9. ( 9 12r + 4r 2 ) = 9 ( 3 2r ) m 2 25n 2 = ( 11m 5n ) ( 11m + 5n ) 9. 81v 2 = ( + ) ( 7u 2 - ) = 49u 4 81v 2 = ( 7u 2 + 9v ). ( 7u 2 9v ) = 10. x 2 + 2xy + y 2 z 2 = ( x 2 + 2xy + y 2 ) z 2 = ( x + y ) 2 z 2 = ( x + y + z ) ( x + y z ) a 2 - b 2
19 x 2 - ( x 3y ) 2 = [ x + ( x 3y ) ]. [ x ( x 3y ) ] = ( 2x 3y ) 3y A=x B=x-3y Lomené výrazy Uvedomte si, že lomeným výrazom je zapísané delenie. Zlomok má zmysel iba vtedy, ak sa jeho menovateľ nerovná nule, že pri krátených lomených výrazoch najskôr upravíme čitateľa aj menovateľa na súčin vynímaním alebo pomocou vzorcov. Jeden príklad: x 3x 2 x + x x 2 3x 2 2x x 4 ( + 1 ) : ( 1 - ) = : = : = x x 2 x x 2 x x 2 2x + 1 ( 1 x ). ( 1 + x ) 1 x 1 = = x ± 1, x ± x + 1 ( 1 + 2x ). ( 1 2x ) 1 2x 2 Overte, ak x = ( + 1 ) : ( 1 - ) = : = = = =
20 Rovnice a nerovnice Zapamätaj si, že rovnica je ako váhy, ľavá strana sa rovná pravej. Inak výraz s neznámou. Aby sme to dosiahli, musíme rovnicu upravovať, a to A / Pomocou počtových výkonov B / Pomocou ekvivalentných úprav A: 2x + 4 = 16 neznámy je prvý sčítanec 2x = 16-4 od súčtu odčítame druhého sčítanca 2x = 12 neznámy je druhý činiteľ x = 6 súčin sme delili prvým činiteľom Výsledok ( 6 ) je koreňom rovnice. Skúška: Ľ = = 16 P = l6 Dostali sme rovnosť: Ľ = P B: Ak na miskové váhy na obe strany ( ľavú a pravú ) položíš rovnaké množstvo tovaru, vždy sa ramená váh vyrovnajú. To isté platí aj pri riešení rovníc. Preveďme to do matematiky:» ak k obidvom stranám rovnice pričítame to isté kladné alebo záporné číslo,» ak obidve strany rovnice násobíme alebo delíme ľubovoľným číslom rôznym od nuly, tak sa hodnota rovnice nezmení. 2x + 4 = 16 k obidvom stranám pričítame -4 2x ( - 4 ) = l6 + ( - 4 ) 2x = 12 obidve strany delíme 2 2x : 2 = 12 : 2 x = 6
21 Slovné úlohy riešené pomocou rovníc nie je možné správne vyriešiť bez dôkladného rozboru danej úlohy, slovného textu. Odporúčame: 1. Danú úlohu ( slovný text ) si dôkladne prečítaj a zároveň si urob náčrtok, dobre pouvažuj, čo máš dané a čo máš vypočítať. 2. Z dobre premysleného rozboru úlohy sa ti určite ľahšie určí neznáma ( x ). 3. Pomocou nej zapíš všetky vzťahy, ktoré úloha žiada. 4. Zostav rovnicu a vyrieš ju. 5. Nezabudni na skúšku správnosti tak rovnice ( či sa ľavá strana skutočne rovná pravej ), ako aj slovného textu. 6. Každá slovná úloha sa uzaviera odpoveďou. Sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi Riešením sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi je dvojica koreňov, ktorá je spoločná pre obidve rovnice. Metódy riešenia: 1. Dosadzovacia ( substitučná ) 2. Sčítacia ( adičná ) 3. Porovnávacia ( komparačná ) 4. Graficky
22 Postup: 1. Vyjadríme z jednej rovnice jednu z neznámych a tento výraz dosadíme do druhej rovnice. Dostaneme tak jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Dosadením vypočítame druhú neznámu. 2. Vynásobíme jednu alebo obidve rovnice vhodnými číslami tak, aby sme po sčítaní rovníc dostali jednu rovnicu s jednou neznámou. Túto rovnicu vyriešime. Druhú neznámu vypočítame dosadením. 3. Z obidvoch rovníc vyjadríme tú istú neznámu a výrazy porovnáme. Dostaneme jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Druhú neznámu vypočítame dosadením do niektorej z pôvodných rovníc. Pri riešení dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi nastane práve jeden z týchto prípadov: a / Sústava má práve jedno riešenie ( priamky sa pretínajú ). b / Sústava má nekonečne veľa riešení ( sú totožné ). c / Sústava nemá riešenie ( sú rovnobežné ). 4. x + y = 5 2x y = y = 5 - x y = 2x
23 Riešenie lineárnych nerovníc Ostré - so znakmi < > Neostré - so znakmi Pri ich riešení maj na pamäti, že: Nerovnica môže mať nekonečne veľa riešení. Pri výmene strán nerovnice sa znak nerovnosti zmení na obrátený. Nerovnice riešime pomocou ekvivalentných úprav. Riešenie nerovnice sa nezmení, ak obidve strany nerovnice vynásobíme tým istým záporným číslom, delíme tým istým záporným číslom a súčasne zmeníme znak nerovnosti na obrátený. Po vyriešení nerovnice nakreslíme časť číselnej osi a overíme správnosť riešenia dosadením aspoň dvoch hodnôt do pôvodnej nerovnice.
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραTC Obsahový štandard Výkonový štandard
Celé čísla. Počtové operácie s celými číslami UČEBNÉ OSNOVY ÔSMY ROČNÍK TC Obsahový štandard Výkonový štandard Pojem celé číslo Kladné a záporné čísla, kladné a záporné desatinné čísla Opačné čísla Absolútna
Διαβάστε περισσότεραVýrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;
Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
Διαβάστε περισσότεραZákladná škola Sačurov, Školská 389, Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník
Základná škola Sačurov, Školská 389, 094 13 Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Vypracované podľa učebných osnov ŠkVP A schválených radou školy dňa 28.8.2008 s platnosťou
Διαβάστε περισσότεραTéma Pojmy Spôsobilosti
OBSAH VZDELÁVANIA 1.ročník (Prima) 4 hod. týždenne + 0,5 RH / 148,5 hod. ročne Tematický celok počet hodín Obsahový štandard Výkonový štandard Prostriedky hodnotenia Téma Pojmy Spôsobilosti Opakovanie
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραObsahový štandard. 6 základné počtové výkony (operácie); základné vedomosti z geometrie
Tematický výchovno-vzdelávací plán: MATEMATIKA Školský rok: 017/018 Škola: Súkromné športové gymnázium Trenčianske Teplice Ročník: 3. Trieda 3. OA Týždenne: 4 hodiny (ŠVP) Ročne: 13 hodín (ŠVP) Vypracované
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραtretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.
Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA CIELE UČEBNÉHO PREDMETU I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU
MATEMATIKA I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU Učebný predmet matematika je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky parlament: Matematická kompetencia je schopnosť
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότερα1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy:
1 Logika a dôkazy výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné,
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 6.ročník ZŠ
Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 6.ročník ZŠ (spracovaný v súlade s UO matematiky schválenými Ministerstvom školstva Slovenskej republiky dňa 3. apríla 1997 rozhodnutím číslo 1640/97-151
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραŠkolský vzdelávací program matematika 8. ročník. 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 8. ročníku (rozšírený počet hodín ) Obsahový štandard
Celé čísla. Počtové výkony s celými číslami Školský vzdelávací program matematika 8. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 8. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Kladné a záporné
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραMinisterstvo školstva Slovenskej republiky. Učebné osnovy MATEMATIKA. pre 5. až 9. ročník základnej školy
Ministerstvo školstva Slovenskej republiky Učebné osnovy MATEMATIKA pre 5. až 9. ročník základnej školy Inováciu učebných osnov koordinoval: PhDr. L. Bálint, CSc. Schválilo Ministerstvo školstva Slovenskej
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Διαβάστε περισσότεραIndividuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013
Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013 ( Číslovanie kapitol je kvôli lepšej prehľadnosti podľa učebníc. ) Odporúčam: www.oskole.sk cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné
Διαβάστε περισσότεραMatematika nižšie stredné vzdelanie MATEMATIKA
ÚVOD MATEMATIKA Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραObsahový a výkonový štandard MATEMATIKA
Obsahový a výkonový štandard MATEMATIKA Matematika, 1.ročník Numerácia v obore prirodzených čísel do 100 dvojice, vzťah rovnako nerovnako, viac menej kvalita čísel počítanie po jednom, po dvoch... poznávanie
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník
výchovnovzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 5 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok: 2014/2015
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA CIELE UČEBNÉHO PREDMETU I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU
MATEMATIKA I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU Učebný predmet matematika je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky parlament: Matematická kompetencia je schopnosť
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραV. Matematika a práca s informáciami
V. Matematika a práca s informáciami Vzdelávacia oblasť Matematika a práca s informáciami rozvíja logické a kritické myslenie žiakov, ich schopnosť analyzovať a syntetizovať, argumentovať, komunikovať
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραMatematika gymnázium s osemročným vzdelávacím programom MATEMATIKA ÚVOD
MATEMATIKA ÚVOD Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika chápeme ako program vytvárajúci priestor na rozvíjanie individuálnych učebných ciest žiakov. Pre učiteľov slúži najmä na orientáciu v cieľoch,
Διαβάστε περισσότεραMatematika gymnázium s osemročným vzdelávacím programom MATEMATIKA ÚVOD
MATEMATIKA ÚVOD Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika chápeme ako program vytvárajúci priestor na rozvíjanie individuálnych učebných ciest žiakov. Pre učiteľov slúži najmä na orientáciu v cieľoch,
Διαβάστε περισσότεραMatematika. II. stupeň ZŠ ISCED2. Melichárková
Matematika II. stupeň ZŠ ISCED2 Melichárková MATEMATIKA ZÁKLADNÁ ŠKOLA ISCED 2 Charakteristika predmetu Predmet matematika je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie, tzn. schopnosti rozvíjať a používať
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα22 ). Stačí, ak napíšeš, že dĺžka kružnice
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 Σ PRIJÍMACIE KÚŠKY Z MATEMATIKY Milý študent, vítame Ťa na našom gymnáziu, Gymnáziu Vazovova 6 v Bratislave. Teší nás, že si sa pri výbere školy
Διαβάστε περισσότεραZlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =
1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραStredná priemyselná škola Poprad. Výkonové štandardy v predmete MATEMATIKA všetky odbory 1. až 4.ročník
Výkonové štandardy v predmete MATEMATIKA všetky odbory 1. až 4.ročník ÚVOD Vzdelávací štandard z matematiky pre stredné odborné školy so štvorročným štúdiom patrí medzi základné pedagogické dokumenty,
Διαβάστε περισσότερα2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραŠTÁTNY VZDELÁVACÍ PROGRAM
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ŠTÁTNY VZDELÁVACÍ PROGRAM MATEMATIKA (Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami) PRÍLOHA ISCED 2 Posúdila a schválila ÚPK pre matematiku Bratislava 2010 CHARAKTERISTIKA
Διαβάστε περισσότεραTEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín,
TEÓRIA Množiny a operácie s nimi Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina,
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 8. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová, Mgr. Tatiana Markušová Obsah Charakteristika
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραmatematika 1. časť pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom
.. B Publikácia bola hradená z finančných prostriedkov Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky. ISBN 978-80-10-02291-5 w w w. s p n - m l a d e l e t a. s k matematika 9 1. časť
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ OSNOVY. Matematika. Názov predmetu: Ročník: piaty šiesty siedmy ôsmy deviaty. Časový rozsah výučby:
UČEBNÉ OSNOVY Názov predmetu: Ročník: Časový rozsah výučby: a) daný štátnym 4 h. týždenne vzdelávacím programom 132 h. ročne b) voliteľný školou 1 h. týždenne 33 h. ročne Stupeň vzdelania: Forma štúdia:
Διαβάστε περισσότεραŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Bratislava ŠTÁTNY VZDELÁVACÍ PROGRAM. MATEMATIKA PRÍLOHA ISCED 2 2. upravená verzia pre 5. až 8.
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Bratislava ŠTÁTNY VZDELÁVACÍ PROGRAM MATEMATIKA PRÍLOHA ISCED 2 2. upravená verzia pre 5. až 8. ročník ZŠ Vytvorila a schválila ÚPK pre matematiku Bratislava 2009 MATEMATIKA v
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 9. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová, Mgr. Tatiana Markušová Obsah Charakteristika
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραTesty a úlohy z matematiky
Testy a úlohy z matematiky Spracovala a zostavila: c Mgr. Hedviga Soósová 008 Vydavateľ: Copyright c VARIA PRINT, s. r. o. 008. Prvé vydanie. Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o. Mgr. Marta Varsányiová Ul. františkánov
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2015/2016 7. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová Obsah Charakteristika predmetu.... 2 Ciele
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραŠkVP. MATEMATIKA 8. ročník vzdelávacie štandardy, učebný plán, učebné osnovy
Názov ŠVP ŠVP II. stupňa ZŠ v SR, ISCED 2 niţšie sekundárne vzdelávanie Názov ŠkVP Verní tradíciám otvorení Európe Vyučovací jazyk Slovenský Predmet Matematika /Matematika a práca s informáciami / Ročník
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Učíme sa pre budúcnosť Stupeň vzdelávania Primárne vzdelávanie ISCED 2 Vyučovací jazyk Slovenský jazyk CHARAKTERISTIKA
Matematika Vzdelávacia oblasť Matematika a práca s informáciami Názov predmetu Matematika Časová dotácia ročník 5.roč. 6.roč. 7.roč. 8.roč. 9.roč. ŠVP 4 4 4 4 4 Disponibilné 1 1 1 1 1 Spolu 5 5 5 5 5 Škola
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 7. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová, Mgr. Tatiana Markušová Obsah Charakteristika
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKÝ VZDELÁVACÍ PROGRAM
ŠKOLSKÝ VZDELÁVACÍ PROGRAM MATEMATIKA vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami ISCED 2 Prerokované a schválené v pedagogickej rade dňa 30.08.2013 1 Časová dotácia predmetu Základná škola s
Διαβάστε περισσότερα2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότερα