23. Zhodné zobrazenia

Transcript

1 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria: 1.Osová súmernosť 2.Stredová súmernosť 3.Posunutie 4.Otáčanie 5.Posunutá súmernosť 6.Identita Osová súmernosť S(o): Osová súmernosť určená osou o, je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body a k bodu X ktorý neleži na priamke o priradí bod X a zároveň platí X,o = X,o a X,X je kolmá na priamku o. Samodružný bod: Je taký bod, ktorý splynie so svojím obrazom. V osovej súmernosti je ním každý bod priamky o. Samodružný útvar: Je taký útvar, ktorý splynie so svojim obrazom. Môže alebo nemusí mať samodružné body. (Napr. Štvorec, Kruh, Kosoštvorec, Rovnoramenný alebo rovnostranný trojuholník, ktorých stredy sa nachádzajú na priamke o) Stredová súmernosť S(s): Stredová súmernosť určená stredom S, je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré bodu S priradí ten istý bod a každému bodu X, ktorý je rôzny od S priradí X, ktorý leží na priamke XS, pričom platí X,S = X,S Stredová súmernosť vzniká zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sú na seba kolmé. Samodružné utvary: napr. kružnica so stredom v strede súmernosti, priamka obsahujúca stred súmernosti,... Samodružné body: stred súmernosti Posunutie(Translácia)-T[A,B]: Posunutie(Translácia) určené orientovanou úsečkou AB, je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré bodu X priradí bod X pričom platí, že orientované úsečky AB a XX sú rovnako veľké a súhlasne orientované. [A,B]-Usporiadaná dvojica bodov(určuje poradie A,B) Samodružné body: nie sú Samodružné útvary: všetky priamky, ktoré sú rovnobežné so smerom posunutia Posunutie s posunutím 2d vzniká zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sú navzájom rovnobežné, rôzne so vzdialenosťou d. Otáčanie(Rotácia)-R(S,alfa): Otáčanie(rotácia) určené bodom S-stredom otáčania a uhlom alfa je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré priradí k stredu otáčania ten istý bod a k bodu X rôznemu od S priradí bod X, pričom platí, že S,X = S,X a uhol XSX je uhol alfa. Ak uhol alfa je kladný, tak budeme otáčať predmet v protismere pohybu hodinových ručičiek. Ak uhol alfa je záporný, tak budeme otáčať predmet v smere pohybu hodinových ručičiek. Samodružné body: stred otáčania Samodružné útvary: všetky útvary, ktoré spĺňajú podmienky pre stred a uhol otáčania a každý útvar otočený o 360. Otáčanie s uhlom β vzniká zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi navzájom zvierajú uhol β/2.

2 Posunutá úmernosť-p: Posunutá úmernosť je také zhodné zobrazenie v rovine, ktoré vzniká zložením troch osových súmerností P=Sa.Sb.Sc, pričom platí: priamka a je rovnobežná z priamkou b a priamka a nie je rovnobežná s priamkou c, pričom dve osi sú rovnobežné a tretia ich pretína. Identita vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi splývajú. Príklady útvarov, ktoré sú zobrazené v stredovej súmernosti:

3 Príklady útvarov, ktoré sú zobrazené v rotácii:

4 Príklady útvarov, ktoré sú zobrazené v posunutí:

5 PRIKLADY: ZHODNÉ ZOBRAZENIA V ROVINE 1. Daný je lichobežník ABCD. V určených zobrazeniach načrtnite obrazy útvarov: a) v posunutí T určenom dvojicou bodov [A; C] zobrazte BD: T BD B'D' b) v otáčaní R určenom R(C; 2 3 ) zobrazte R DA D' A' c) v súmernosti S podľa stredu O zobrazte ACD S A'C'D', kde O BC BC = 2 OC. 2. V súmernosti podľa stredu S sa bod K[ 2; 4] zobrazí do bodu K'[4; -6]. Určte súradnice stredu súmernosti S a v uvažovanej stredovej súmernosti zobrazte dané útvary: a) k: (x 1) 2 +(y 2) 2 = 4 b) q: x y+3 = 0 3. Nájdite rovnicu kružnice súmernej s kružnicou (x 1) 2 +(y 2) 2 = 1 vzhľadom na priamku x y 3 = Dané sú 2 rôznobežky p, q a bod C, ktorý na nich neleží. Zostrojte všetky rovnostranné trojuholníky ABC tak, aby bod A p B q. 5. Bodom M, ktorý je vnútorným bodom konvexného uhla AVB, veďte priamku p pretínajúcu jeho ramená v bodoch P, Q tak, že bod M bude stredom úsečky PQ. 6. Daná je priamka p a dva rôzne body A, B, ktoré ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou p. Na priamke p zostrojte bod C tak, aby obvod ABC bol minimálny. 7. Daný je trojuholník ABC, kružnica k S; r a bod Q. Zostrojte všetky úsečky XY so stredom Q tak, aby X ABC a Y k. 8. Čo vznikne zložením dvoch rovnakých zhodných zobrazení? 9. Daný je štvorec ABCD so stranou dĺžky 8 cm. Zobrazte tento štvorec v posunutí danom orientovanou úsečkou AA, ak A je vnútorný bod úsečky AC a AA 0, 25 AC. Nech

6 U je útvar, ktorý je zjednotením štvorca ABCD a jeho obrazu A B C D. a) určte, či je útvar U osovo príp. stredovo súmerný b) rozhodnite, či body A, B, D, B, C, ležia na tej istej kružnici c) vypočítajte akú časť z útvaru U tvorí útvar A BCD 10. Ukážte, že každé dve kružnice (úsečky, štvorce, pravidelné n-uholníky) sú podobné. 11. Nech dva rovinné útvary sú si podobné s koeficientom podobnosti k, v akom vzťahu budú obvody a obsahy týchto dvoch rovinných útvarov.