Ανάλυση μεθοδολογιών για τη χωρική κατανομή βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων στον ελλαδικό χώρο

Transcript

1 ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Τμήμα Γεωγραφίας Ανάλυση μεθοδολογιών για τη χωρική κατανομή βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων στον ελλαδικό χώρο Πτυχιακή εργασία της Sara Khatab Αθήνα, Ιούλιος 2015

2 ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Τμήμα Γεωγραφίας Ανάλυση μεθοδολογιών για τη χωρική κατανομή βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων στον ελλαδικό χώρο Πτυχιακή εργασία της Sara Khatab Επιβλέπων: Πέτρος Κατσαφάδος, Επίκουρος Καθηγητής Αθήνα, Ιούλιος

3 Πίνακας περιεχομένων Ευρετήριο πινάκων... 6 Ευρετήριο εικόνων... 6 Ευρετήριο χαρτών... 7 Ευχαριστίες Περίληψη Abstract Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κεφάλαιο 2: Θεωρητικό Υπόβαθρο Στατιστική ανάλυση των δεδομένων α.Περιγραφική στατιστική β.Έλεγχος κανονικότητας γ.Έλεγχος συσχέτισης των μεταβλητών Χωρική παρεμβολή των δεδομένων α. Μέθοδοι γενικευμένων εκτιμήσεων β. Μέθοδοι τοπικών εκτιμήσεων γ. Μέθοδοι γεωστατιστικών εκτιμήσεων Αξιολόγηση προβλέψεων Κεφάλαιο 3: Δεδομένα - Μεθοδολογία Συλλογή και προετοιμασία των δεδομένων Στατιστική ανάλυση των δεδομένων α.Μέση ελάχιστη θερμοκρασία β.Μέση μέγιστη θερμοκρασία γ.Μέση θερμοκρασία δ.Μέση βροχόπτωση ε.Μέση υγρασία ζ.Μέση ένταση ανέμων

4 3.2.η.Μέση διεύθυνση ανέμων Χωρική παρεμβολή των δεδομένων Μέθοδος IDW Μέθοδος Ordinary Kriging Μέθοδος Co-kriging Μέθοδος OLS Μέθοδος GWR Κεφάλαιο 4: Ανάλυση αποτελεσμάτων Μέση ελάχιστη θερμοκρασία Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Μέση μέγιστη θερμοκρασία Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Μέση θερμοκρασία Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Μέθοδος co-kriging Μέθοδος OLS Μέθοδος GWR Μέση βροχόπτωση Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Μέση υγρασία Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Μέση ένταση ανέμων

5 4.6.1.Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Μέση διεύθυνση ανέμων Μέθοδος IDW Μέθοδος ordinary kriging Κεφάλαιο 5: Συμπεράσματα Μέση ελάχιστη θερμοκρασία Μέση μέγιστη θερμοκρασία Μέση θερμοκρασία Μέση βροχόπτωση Μέση υγρασία Μέση ένταση ανέμων Μέση διεύθυνση ανέμων Βιβλιογραφία )Παράρτημα πινάκων α)Περιγραφικά στατιστικά μέτρα της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας β)Περιγραφικά στατιστικά μέτρα της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας γ)Περιγραφικά στατιστικά μέτρα της μέσης θερμοκρασίας δ)Περιγραφικά στατιστικά μέτρα της μέσης βροχόπτωσης ε)Περιγραφικά στατιστικά μέτρα της μέσης υγρασίας ζ)Περιγραφικά χαρακτηριστικά μέτρα της μέσης έντασης ανέμων η)Περιγραφικά στατιστικά μέτρα της μέσης διεύθυνσης ανέμων )Παράρτημα χαρτών )Μέση ετήσια ελάχιστη θερμοκρασία ) Μέση ελάχιστη θερμοκρασία (άνοιξη) ) Μέση ελάχιστη θερμοκρασία (καλοκαίρι) ) Μέση ελάχιστη θερμοκρασία (φθινόπωρο)

6 2.5)Μέση ελάχιστη θερμοκρασία (χειμώνας) )Μέση ετήσια μέγιστη θερμοκρασία )Μέση μέγιστη θερμοκρασία (άνοιξη) )Μέση μέγιστη θερμοκρασία (καλοκαίρι) )Μέση μέγιστη θερμοκρασία (φθινόπωρο) ) Μέση μέγιστη θερμοκρασία (χειμώνας) )Μέση ετήσια θερμοκρασία )Μέση θερμοκρασία (άνοιξη) )Μέση θερμοκρασία (καλοκαίρι) )Μέση θερμοκρασία (φθινόπωρο) )Μέση θερμοκρασία (χειμώνα) )Μέση ετήσια βροχόπτωση )Μέση βροχόπτωση (ξηρή περίοδος) )Μέση βροχόπτωση (Υγρή περίοδος) )Μέση ετήσια υγρασία )Μέση υγρασία (άνοιξη) )Μέση υγρασία (καλοκαίρι) )Μέση υγρασία (φθινόπωρο) )Μέση υγρασία (χειμώνας) )Μέση ετήσια ένταση ανέμων )Μέση ένταση ανέμων (άνοιξη) )Μέση ένταση ανέμων (καλοκαίρι) ) Μέση ένταση ανέμων (φθινόπωρο) )Μέση ένταση ανέμων (χειμώνας) )Μέση ετήσια διεύθυνση ανέμων )Μέση διεύθυνση ανέμων (άνοιξη) )Μέση διεύθυνση ανέμων (καλοκαίρι)

7 2.32)Μέση διεύθυνση ανέμων (φθινόπωρο) )Μέση διεύθυνση ανέμων (χειμώνας) Ευρετήριο πινάκων Πίνακας 1: Βασικά μέτρα ιδιοτήτων δείγματος (Νικήτα, 2012) Πίνακας 2: Οι μετεωρολογικοί σταθμοί που χρησιμοποιήθηκαν στη παρούσα εργασία Πίνακας 3: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και cross-validation για τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία Πίνακας 4: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και cross-validation για τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία Πίνακας 5: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και cross-validation για τη μέση μέγιστη θερμοκρασία Πίνακας 6: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και της crossvalidation για τη μέση μέγιστη θερμοκρασία Πίνακας 7: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και της cross-validation για τη μέση θερμοκρασία Πίνακας 8: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και της crossvalidation για τη μέση θερμοκρασία Πίνακας 9: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου co-kriging και της cross-validation για τη μέση θερμοκρασία Πίνακας 10: Αποτελέσματα της μεθόδου OLS και της cross-validation για τη μέση θερμοκρασία Πίνακας 11: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και της cross-validation για τη μέση βροχόπτωση Πίνακας 12: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και της crossvalidation για τη μέση βροχόπτωση Πίνακας 13: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και της cross-validation για τη μέση υγρασία Πίνακας 14: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και της crossvalidation για τη μέση υγρασία Πίνακας 15: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και της cross-validation για τη μέση ένταση ανέμων

8 Πίνακας 16: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και της crossvalidation για τη μέση ένταση ανέμων Πίνακας 17: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου IDW και της cross-validation για τη μέση διεύθυνση ανέμων Πίνακας 18: Παράμετροι και αποτελέσματα της μεθόδου ordinary kriging και της crossvalidation για τη μέση διεύθυνση ανέμων Ευρετήριο εικόνων Εικόνα 1: Εκτιμώμενες τιμές σε σχέση με παρατηρούμενες τιμές (OLS) Εικόνα 2: Απεικόνιση του ημιβαριογράμματος Εικόνα 3: Σφαιρικό μοντέλο Εικόνα 4: Μοντέλο Gaussian Εικόνα 5: Εκθετικό και σφαιρικό μοντέλο Εικόνα 6: Το μοντέλο ordinary kriging Εικόνα 7: Το μοντέλο της co-kriging Ευρετήριο χαρτών Χάρτης 1: Μετεωρολογικοί σταθμοί της EMY που χρησιμοποιήθηκαν Χάρτης 2: Οι μετεωρολογικοί σταθμοί τα δεδομένα των οποίων χρησιμοποιήθηκαν στη παρούσα εργασία Χάρτης 3: Μέσο υψόμετρο του εδάφους της Ελλαδας μετά από αφαίρεση της βαθυμετρίας και δημιουργία κλάσεων υψομέτρου Χάρτης 4: Μέση κλίση εδάδους της Ελλάδας που παράχθηκε από το DEM Χάρτης 5: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο IDW Χάρτης 6: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας ελάχιστης θερμοκρασίας με τη μέθοδο IDW Χάρτης 7: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο IDW Χάρτης 8: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 9: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο IDW

9 Χάρτης 10: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 11: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας ελάχιστης θερμοκρασίας με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 12: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 13: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 14: Χωρική κατανομή της μέσης ελάχιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 15: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας μέγιστης θερμοκρασίας με τη μέθοδο IDW Χάρτης 16: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο IDW Χάρτης 17: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο IDW Χάρτης 18: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 19: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο IDW Χάρτης 20: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας μέγιστης θερμοκρασίας με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 21: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 22: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 23: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 24: Χωρική κατανομή της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 25: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο IDW Χάρτης 26: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο IDW

10 Χάρτης 27: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας θερμοκρασίας με τη μέθοδο IDW Χάρτης 28: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο IDW Χάρτης 29: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 30: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 31: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 32: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας θερμοκρασίας με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 33: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 34: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 35: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο co-kriging Χάρτης 36: Χωρική κατανομή της μέσης θερμοκρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο OLS Χάρτης 37: Χωρική κατανομή της μέσης βροχόπτωσης της ξηρής περιόδου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 38: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας βροχόπτωσης με τη μέθοδο IDW Χάρτης 39: Χωρική κατανομή της μέσης βροχόπτωσης της υγρής περιόδου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 40: Χωρική κατανομή της μέσης βροχόπτωσης της ξηρής περιόδου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 41: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας βροχόπτωσης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 42: Χωρική κατανομή της μέσης βροχόπτωσης της υγρής περιόδου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 43: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας υγρασίας με τη μέθοδο IDW Χάρτης 44: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο IDW

11 Χάρτης 45: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο IDW Χάρτης 46: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 47: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο IDW Χάρτης 48: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας υγρασίας με τη μέθοδο ordinary kriging. 85 Χάρτης 49: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 50: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 51: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 52: Χωρική κατανομή της μέσης υγρασίας τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 53: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας έντασης ανέμων με τη μέθοδο IDW Χάρτης 54: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο IDW Χάρτης 55: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο IDW Χάρτης 56: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 57: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο IDW Χάρτης 58: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας έντασης ανέμων με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 59: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 60: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 61: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 62: Χωρική κατανομή της μέσης έντασης ανέμων τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο ordinary kriging

12 Χάρτης 63: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο IDW Χάρτης 64: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας διεύθυνσης ανέμων με τη μέθοδο IDW Χάρτης 65: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο IDW Χάρτης 66: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο IDW Χάρτης 67: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο IDW Χάρτης 68: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο του φθινοπώρου με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 69: Χωρική κατανομή της μέσης ετήσιας διεύθυνσης ανέμων με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 70: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο της άνοιξης με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 71: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο του καλοκαιριού με τη μέθοδο ordinary kriging Χάρτης 72: Χωρική κατανομή της μέσης διεύθυνσης ανέμων τη περίοδο του χειμώνα με τη μέθοδο ordinary kriging

13 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την οικογένειά μου για την ψυχολογική και οικονομική υποστήριξή τους σε όλα τα στάδια των σπουδών μου, φροντίζοντας για τη καλύτερη δυνατή μόρφωσή μου, έτσι ώστε να φτάσω στο σημείο που βρίσκομαι τώρα. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον επιβλέπων καθηγητή μου τον κ. Πέτρο Κατσαφάδο, για την εμπιστοσύνη που μου είχε και για τη καθοδήγηση του και τη συμβουλή του στη διάρκεια εκπόνησης της πτυχιακής και για τις γνώσεις που αποκόμισα από τα μαθήματα μετεωρολογίας κλιματολογίας και κλιματικής αλλαγής. Επίσης, να ευχαριστήσω τον κ. Σταμάτη Καλογήρου, επίκουρος καθηγητής, για τη βοήθεια του σε τυχόν απορίες που είχα και για τις γνώσεις που αποκόμισα από το μάθημα χωρικής ανάλυσης που διδάσκει και τον κ. Χρίστο Χαλκιά, αναπληρωτής καθηγητής, ο οποίος με τις γνώσεις που αποκόμισα από τα μαθήματα που διδάσκει, με βοήθησαν να φτάσω στο σημείο που να μπορέσω να χρησιμοποιώ και να αξιοποιώ τις δυνατότητες που παρέχονται σε ένα Σύστημα Γεωγραφικών Πληροφοριών. 12

14 Περίληψη Η χωρική διαθεσιμότητα των κλιματικών δεδομένων είναι προβληματική διότι, οι πληροφορίες καταγράφονται σε σταθερούς αλλά πολύ διασκορπισμένους μετεωρολογικούς σταθμούς. Εξαιτίας της φύσης του αναγλύφου της Ελλάδας, υπάρχουν ελλείψεις ως προς τη πληροφορία των βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων, κυρίως στις ορεινές περιοχές. Διάφοροι μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τη πρόβλεψη των τιμών σε περιοχές χωρίς μετεωρολογικούς σταθμούς. Σκοπός αυτής της διπλωματικής είναι: Πολυκριτιριακή μέθοδος επιλογής αριθμητικού σχήματος για τη χωρική αναπαράσταση μετεωρολογικών μεταβλητών. Διερεύνηση της συσχέτισης ανάμεσα σε μετεωρολογικές μεταβλητές και δευτερεύουσες μεταβλητές όπως είναι το γεωγραφικό πλάτος το υψόμετρο και η κλίση. Οι μέθοδοι παρεμβολής που χρησιμοποιήθηκαν είναι: γενικευμένοι μέθοδοι εκτιμήσεων (Ordinary Least Squares), τοπικοί μέθοδοι εκτιμήσεων (Inverse Distance Weighting και Geographically Weighted Regression) και γεωστατιστικοί μέθοδοι εκτιμήσεων (Ordinary Kriging και Co-kriging). Οι ατμοσφαιρικοί παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι: μέση ελάχιστη θερμοκρασία, μέση μέγιστη θερμοκρασία, μέση θερμοκρασία, μέση βροχόπτωση, μέση υγρασία, μέση ένταση ανέμων και μέση διευθυνσή ανέμων. Όλοι οι ατμοσφαιρικοί παράμετροι χωρίστηκαν σε πέντε περιόδους (ετήσια, περίοδος της άνοιξης, περίοδος του καλοκαιριού, περίοδος του φθινοπώρου και περίοδος του χειμώνα), εκτός από τη μέση βροχόπτωση που χωρίστηκε σε τρείς περιόδους (ετήσια, ξηρή περίοδος και υγρή περίοδος). Τα δεδομένα καλύπτουν μια περίοδος των 46 χρόνων, Οι δευτερεύουσες μεταβλητές που χρησιμοποιήθηκαν για τον έλεγχο ύπαρξης συσχέτισης ανάμεσα στις μεταβλητές και τις περιόδους των ατμοσφαιρικών παραμέτρων είναι: Ψηφιακό Μοντέλο Εδάφους της Ελλάδας (DEM), κλίση εδάφους και γεωγραφικό πλάτος. Τα αποτελέσματα αξιολογήθηκαν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο cross-validation. Λέξεις κλειδιά: ατμοσφαιρικοί παράμετροι, χωρική παρεμβολή, συσχέτιση, Συστήματα Γεωγραφικών Πληροφοριών (ΣΓΠ), Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (OLS), Γεωγραφικά Σταθμισμένη Παλινδρόμηση (GWR), Σταθμισμένη Αντίστροφη Απόσταση (IDW), Ordinary Kriging, Co-kriging, cross-validation 13

15 Abstract The spatial availability of atmospheric data is problematic because the information is listed in stable but very scattered weather stations. Due to the relief of Greece, there is lack of the data available for the atmospheric parameters, especially in mountainous areas. Various methods have been developed to estimate missing atmospheric data in areas without weather stations. The purpose of this dissertation is: Multicriteria selection method of numerical scheme for the spatial representation of meteorological variables. Investigation of the correlation between meteorological variables and secondary variables such as latitude, altitude and slope. Interpolation methods used are: global interpolators (Ordinary Least Squares), local interpolators (Inverse Distance Weighting and Geographically Weighted Regression) and geostatistical methods (Ordinary Kriging and Co-kriging). The atmospheric parameters that were used are: mean minimum temperature, mean maximum temperature, mean temperature, mean precipitation, mean humidity, mean wind speed and mean wind direction. All these atmospheric parameters were divided into five seasons (annual, spring period, summer period, autumn period and winter period), except mean precipitation that was divided into three seasons (annual, dry period and wet period). The data cover a period of 46 years, The explanatory variables used to test if there is correlation between the variables and the periods of the atmospheric parameters are: Digital Elevation Model of Greece (DEM), slope and latitude. The results were evaluated using cross-validation. Keywords: atmospheric parameters, spatial interpolation, correlation, Geographic Information Systems (GIS), Geographically Weighted Regression (GWR), Ordinary Least Squares (OLS), Inverse Distance Weighting (IDW), Ordinary Kriging, Co-kriging, cross-validation 14

16 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Πολλές βιοτικές και αβιοτικές διεργασίες καθορίζονται από τα κλιματικά χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος, έτσι επιστημονική κλάδοι όπως η γεωγραφία, η κλιματολογία και η γεωπονία, μεταξύ άλλων, χρησιμοποιούν κλιματικά δεδομένα για επιστημονικούς και τεχνικούς σκοπούς. Η χωρική διαθεσιμότητα των κλιματικών δεδομένων είναι προβληματική διότι, οι πληροφορίες καταγράφονται σε σταθερούς αλλά πολύ διασκορπισμένους μετεωρολογικούς σταθμούς. Η Ελλάδα χαρακτηρίζεται ως μια κατεξοχήν ορεινή χώρα και είναι λογικό εξαιτίας της φύσης του αναγλύφου της να υπάρχουν ελλείψεις ως προς τη πληροφορία των βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων στις ορεινές περιοχές. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, διάφοροι μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τη πρόβλεψη των τιμών σε περιοχές χωρίς μετεωρολογικούς σταθμούς. Στην επιστημονική βιβλιοθήκη, υπάρχουν πολλές εργασίες που έχουν γίνει περί αυτού του θέματος, δηλαδή τη χωρική παρεμβολή βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων. Ο Νάστος (1993) είχε κάνει χωρική παρεμβολή σε τρεία διαφορετικά σετ σημείων, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους kriging και inverse distance weighting. Έχει γίνει μια εργασία από τον Tomczak (1998), ο οποίος έκανε χωρική παρεμβολή της βροχόπτωσης με τη μέθοδο IDW. Οι Dirks, Hay, Stow και Harris (1998), έκαναν χωρική παρεβολή της βροχόπτωσης στο Norfolk Island, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους IDW, kriging και Thiessen με τη μέθοδο IDW να παρουσιάζει τα καλύτερα αποτελέσματα. Ο Goovaerts (2000), έκανε χωρική παρεμβολή της βροχόπτωσης στη περιοχή της Πορτογαλλίας, χρησιμοποιώντας γεωστατιστικούς μεθόδους παρεμβολής όπως την ordinary kriging, inverse distance weighted και Thiessen, με την ordinary kriging να παρουσιάζει τα καλύτερα αποτελέσματα. Οι Jeffrey, Carter, Moodie και Beswick (2001) ασχολήθηκαν με τη χωρική παρεμβολή διάφορων ατμοσφαιρικών παραμέτρων για τη περιοχή της Αυστραλίας, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους spline και ordinary kriging. Άλλη μια πολλή ενδιαφέρουσα εργασία είναι των Brunsdon, McClatchey και Unwin (2001), οι οποίοι έκαναν χωρική παρεμβολή της μέσης βροχόπτωσης στη Μεγάλη Βρετανία, με τη μέθοδο της geographically weighted regression (GWR). Μια άλλη εργασία χωρικής παρεμβολής είναι των Vicente-Serrano, Saz-Sanchez και Cuadrat (2003) οι οποίοι έκαναν χωρική παρεμβολή της ετήσιας βροχόπτωσης και της ετήσιας θερμοκρασίας στη περιοχή της Ισπανίας στο Ebro Valley. Οι μέθοδοι που χρησιμοποίησαν ήταν γενικευμένοι μέθοδοι παρεμβολής (trend surfaces και μέθοδοι παλινδρόμησης), τοπικοί μέθοδοι παρεμβολής (Thiessen, inverse distance weighted και splines) και γεωστατιστικές μέθοδοι παρεμβολής (simple kriging, ordinary kriging, block kriging, directional kriging, universal kriging και co-kriging). Επίσης, χωρική 15

17 παρεμβολή έκαναν οι Piazza, Conti, Noto, Viola και Loggia (2011) της βροχόπτωσης στη περιοχή Sicily της Ιταλίας, με ντετερμινιστικές μεθόδους IDW, απλή γραμμική παλινδρόμηση, πολλαπλή παλινδρόμηση, geographically weighted regression και η neural networks αλλά και γεωστατιστικές μεθόδους όπως ordinary kriging και residual ordinary kriging. Χωρική παρεμβολή της θερμοκρασίας στη περιοχή της Xinjiang Uygur της Κίνας, έγινε από τους Chai et al. (2011), και χρησιμοποίησαν τις μεθόδους IDW, ordinary kriging, temperature lapse rate method (TLR) και τη πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση (MLR). Μια άλλη εργασία ήταν της Γριτζάπη (2011) στη περιοχή της Θεσσαλίας όπου χρησιμοποίησε τις μεθόδους ordinary kriging, co-kriging, inverse distance weighted και geographically weighted regression, για τη χωρική ανάλυση της βροχόπτωσης (ετήσια, ξηρή και υγρή περίοδο). Οι Κοντός, και συν., (2011) στα πλαίσια του προγράμματος ΓΕΩΚΛΙΜΑ έκαναν χωρική ανάλυση σε πολλά κλιματικά δεδομένα στη περιοχή της Ελλάδας, χρησιμοποιώντας μεθόδους γραμμικής παλινδρόμησης. Στη Ταϊβάν, έγινε χωρική παρεμβολή της βροχόπτωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παρεμβολής IDW, από τους Chen και Liu (2012). Επιπλέον, οι Katsafados, Kalogirou, Papadopoulos και Korres (2012), έκαναν χωρική παρεμβολή σε διάφορες ατμοσφαιρικές παραμέτρους στην Ελλάδα. Οι Keblouti, Ouerdachi και Boutaghane (2012) ασχολήθηκαν με τη χωρική παρεμβολή της ετήσιας βροχόπτωσης στη περιοχή της Annaba της Αλγερίας. Οι μέθοδοι που χρησιμοποίησαν ήταν η inverse distance weighted (IDW), completely regularized spline (CRS) και η indicator kriging (IK) με τα καλύτερα αποτελέσματα να απεικονίζει η IDW. Άλλη μια πρόσφατη εργασία πάνω στη χωρική παρεμβολή της θερμοκρασίας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο residual kriging, έκαναν οι Wu και Li (2013) στις Ηνωμένες Πολιτίες της Αμερικής. Χωρική ανάλυση της βροχόπτωσης (ετήσια, υγρή και ξηρή περίοδο), έκανε ο Σκριμιζέας (2014) στην περιοχή της Ελλάδας, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους ordinary kriging, inverse distance weighting, ordinary least squares και geographically weighted regression. Χωρική παρεμβολή έκανε και η Σεπετζή (2014) της θερμοκρασίας και της βροχόπτωσης (ετήσιες και μέσες μηνιαίες τιμές) για την Αττική, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους kriging και inverse distance weighting. H πιο πρόσφατη εργασία, έχει γίνει από τους Plouffe, Robertson και Chandrapala (2015) στη Σρι Λάνκα, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους IDW, thin-plate splines, ordinary kriging και Bayesian kriging για τη χωρική παρεμβολή της μηνιαίας βροχόπτωσης, με τα καλύτερα αποτελέσματα να απεικονίζει η μέθοδος Bayesian kriging και splines. Αξίζει να σημειωθεί πως είναι γνωστό ότι καμία μέθοδος παρεμβολής δε μπορεί να θεωρηθεί κατάλληλη για όλες ανεξαιρέτως τις περιοχές και όλα τα τοπογραφικά ανάγλυφα, είναι 16

18 σημαντικό να συγκριθούν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή διαφορετικών μεθόδων στα ίδια δεδομένα. Στη παρούσα διπλωματική εργασία, πρόκειται να αναλυθούν μεθοδολογίες για τη χωρική κατανομή βασικών ατμοσφαιρικών παραμέτρων στον ελλαδικό χώρο, χρησιμοποιώντας τα Συστήματα Γεωγραφικών Πληροφοριών ή αλλιώς GIS. Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν, θα αξιολογηθούν με τη μέθοδο cross-validation. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι: Πολυκριτιριακή μέθοδος επιλογής αριθμητικού σχήματος για τη χωρική αναπαράσταση μετεωρολογικών μεταβλητών. Διερεύνηση της συσχέτισης ανάμεσα σε μετεωρολογικές μεταβλητές και δευτερεύουσες μεταβλητές όπως είναι το γεωγραφικό πλάτος το υψόμετρο και η κλίση. Η παρούσα διπλωματική είναι χωρισμένη σε πέντε κεφάλαια: Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή, όπου γίνεται μαι βιβλιογραφική ανασκόπηση γύρω από αντίστοιχες εργασίες και έρευνες που έχουν γίνει, αλλά και αναγράφονται και οι στόχοι της διπλωματικής. Κεφάλαιο 2: Αναλύεται το θεωρητικό υπόβαθρο της διπλωματικής. Κεφάλαιο 3: Αναφέρονται τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν και η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε. Κεφάλαιο 4: Γίνεται ανάλυση των αποτελεσμάτων. Κεφάλαιο 5: Καταγράφονται τα συμπεράσματα. 17

19 Κεφάλαιο 2: Θεωρητικό Υπόβαθρο 2.1. Στατιστική ανάλυση των δεδομένων Ένα σημαντικό στάδιο της παρούσας εργασίας είναι η στατιστική ανάλυση των ατμοσφαιρικών δεδομένων. Έτσι, θα πρέπει να γίνουν σαφείς οι στατιστικές έννοιες οι οποίες πρόκειται να χρησιμοποιηθούν. Στη παρούσα εργασία, χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS 20 το οποίο είναι ένα από τα καλύτερα στατιστικά πακέτα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη στατιστική ανάλυση κοινωνικοοικονομικών δεδομένων, όσο και δεδομένων των θετικών επιστημών. 2.1.α.Περιγραφική στατιστική Η περιγραφική στατιστική είναι ο κλάδος της στατιστικής που αναπτύσει μεθόδους για την αποτελεσματική παρουσίαση δεδομένων με τη χρήση αριθμητικών περιγραφικών μέτρων, πινάκων συχνοτήτων και μεθόδων γραφικής παρουσίασης δεδομένων (Νικήτα, 2012). Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα χωρίζονται σε μέτρα θέσης, μέτρα διασποράς και μέτρα συμμετρίας. Πίνακας 1: Βασικά μέτρα ιδιοτήτων δείγματος (Νικήτα, 2012) Μέτρα θέσης Μέση τιμή: είναι η τιμή γύρω από την οποία βρίσκονται συγκεντρωμένες οι τιμές του δείγματος. Διάμεσος: είναι η μεσαία τιμή ενός δείγματος, δηλαδή οι μισές τιμές του δείγματος είναι μικρότερες ή ίσες με τη διάμεσο και οι υπόλοιπες τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με τη διάμεσο. Κορυφή: είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα στο δείγμα. Πρώτο τεταρτημόριο και τρίτο τεταρτημόριο: Το πρώτο τεταρτημόριο είναι η τιμή του δείγματος για την οποία ισχύει ότι το 25% των τιμών του δείγματος είναι μικρότερες ή 18

20 ίσες με αυτή. Το τρίτο τεταρτημόριο είναι η τιμή του δείγματος για την οποία ισχύει το 75% των τιμών του δείγματος είναι μικρότερες ή ίσες με αυτή. Μέτρα διασποράς Διασπορά/Διακύμανση: δείχνει τη διασπορά των τιμών ενός δείγματος γύρω από τη μέση τιμή. Αν οι τιμές της διασποράς είναι υψηλές τότε οι τιμές του δείγματος ποικίλουν σημαντικά σε σχέση με τη μέση τιμή. Τυπική απόκλιση: είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς και εκφράζει την απόκλιση των μετρήσεων από τη μέση τιμή. Μέγιστη τιμή: είναι η μέγιστη τιμή του δείγματος. Ελάχιστη τιμή: είναι η ελάχιστη τιμή του δείγματος. Ενδοτεταρτημοριακό εύρος: είναι η διαφορά του τρίτου και πρώτου τεταρτημορίου. Μέτρα σχήματος κατανομής Συντελεστές ασυμμετρίας και κυρτότητας: τα δεδομένα ενός δείγματος ακολουθούν κάποια κατανομή που μπορεί να είναι συμμετρική ή ασύμμετρη. Οι δείκτες που χρησιμοποιούνται για το σχήμα της κατανομής είναι οι συντελεστές ασυμμετρίας και κυρτότητας. Ο συντελεστής ασυμμετρίας δίνει πληροφορίες για την ασυμμετρία της κατανομής των δεδομένων. Τιμές κοντά στο μηδέν δίνουν ενδείξεις ότι η κατανομή των παρατηρήσεων είναι συμμετρική. Αντίθετα, αρνητικές τιμές παρέχουν ενδείξεις ότι η κατανομή των παρατηρήσεων είναι ασύμμετρη. Όταν οι τιμές του συντελεστή ασυμμετρίας είναι θετικές, τότε η κατανομή είναι θετικά ασύμμετρη. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερος από τη διάμεσο η οποία είναι μεγαλύτερη με τη σειρά της από τη κορυφή. Το αντίθετο ισχύει για την αρνητική ασυμμετρία. Στη περίπτωση της συμμετρικής κατανομής, αυτά τα τρία ταυτίζονται. Ο συντελεστής κύρτωσης: αναφέρεται στο βαθμό συγκέντρωσης των παρατηρήσεων μιας κατανομής γύρω από τη μέση τιμή και τα άκρα της κατανομής. Οι αρνητικές τιμές σημαίνουν ότι η κατανομή είναι πλατύκυρτη ενώ οι θετικές τιμές ότι είναι λεπτόκυρτη. Τιμές κοντά στο μηδέν είναι ένδειξη ότι η κατανομή είναι μεσόκυρτη. 2.1.β.Έλεγχος κανονικότητας Για να δει κανείς αν οι τιμές του δείγματος προσεγγίζονται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή, υπάρχουν τρείς τρόποι: 1. Εξετάζοντας τη κύρτωση και την ασυμμετρία 2. Δημιουργία των ιστογραμμάτων ή των Q-Q plot 3. Εφαρμογή normality test (Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilk) 19

21 Στη παρούσα εργασία, δόθηκε βάση στο normality test (Kolmogorov-Smirnov). Αν στα αποτελέσματα του ελέγχου το sig. είναι μεγαλύτερο του 0.05, τότε δεχόμαστε ότι η κατανομή προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική (Νικήτα, 2012). 2.1.γ.Έλεγχος συσχέτισης των μεταβλητών Για να ελέγξουμε αν δύο μεταβλητές σχετίζονται, υπολογίζουμε συνήθως το συντελεστή Pearson ή το συντελεστή Spearman. Ο συντελεστής Pearson χρησιμοποιείται όταν η κατανομή προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική. Αντίθετα, ο συντελεστής Spearman χρησιμοποιείται όταν η κατανομή δεν προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική. Ο συντελεστής Pearson παίρνει τιμές στο διάστημα -1 έως 1. Οι αρνητικές τιμές σημαίνουν ότι όταν η μεταβλητή x αυξάνει, η y ελαττώνεται και το αντίστροφο. Οι θετικές τιμές σημαίνουν ότι όταν η μεταβλητή x αυξάνει, τότε η μεταβλητή y αυξάνει. Αν πάρει τη τιμή μηδέν, τότε σημαίνει παντελή έλλειψη συσχέτισης. Τα ίδια ισχύουν και για το συντελεστή Spearman (Νικήτα, 2012). Όταν γίνεται η συσχέτιση, δεν μπορούμε να ξέρουμε ποια μεταβλητή επηρεάζει ποια. Επίσης, συχνά τυχαίνει μεταβλητές να συσχετίζονται στατιστικά μεταξύ τους χωρίς όμως να σημαίνει ότι η μία επηρεάζει την άλλη (Καλογήρου, 2014). Οι τύποι των δύο συντελεστών είναι: r(pearson) = cov xy σ x σ y = (x i x )(y i y ) (N 1)σ x σ y Όπου cov xy είναι η συνδιακύμανση των μεταβλητών x,y και σ x, σ y οι τυπικές αποκλίσεις αυτών (Νικήτα, 2012). ρ (Spearman) = 1 6 d2 n(n 2 1) Όπου n είναι το πλήθος των ζευγών παρατηρήσεων, ενώ το d είναι η διαφορά της τάξης της μίας παρατήρησης ενός ζεύγους από την άλλη, αριθμοί οι οποίοι υψώνονται στο τετράγωνο και αθροίζονται για να μας δώσουν τον αριθμητή του κλάσματος (Παπαδόπουλος, 2009) Χωρική παρεμβολή των δεδομένων Χωρική παρεμβολή είναι η διαδικασία μέσω της οποίας προβλέπονται οι τιμές συγκεκριμένων ιδιοτήτων σε θέσεις που δεν έχουν καταγραφεί, χρησιμοποιώντας τιμές των ιδιοτήτων αυτών σε θέσεις που υπάρχουν δεδομένα. Με την παρεμβολή, τα δεδομένα που υπάρχουν από σημειακές παρατηρήσεις, μετατρέπονται σε συνεχή πεδία. (Burrough & McDonnell, 1998) 20

22 Σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να θέλουμε να διαμορφώσουμε ένα χαρακτηριστικό ως συνεχές πεδίο, αλλά έχουμε μόνο τιμές δεδομένων για έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων. Καθίσταται συνεπώς αναγκαία η παρεμβολή των τιμών για τα ενδιάμεσα σημεία. Όλες οι μέθοδοι βασίζονται στο πρώτο νόμο της Γεωγραφίας σύμφωνα με τον Waldo Tobler (1970): «Τα πάντα σχετίζονται μεταξύ τους, αλλά τα κοντινά πράγματα σχετίζονται περισσότερο μεταξύ τους από τα απομακρυσμένα». Οι μέθοδοι χωρικής παρεμβολής, μπορούν να ομαδοποιηθούν σε τέσσερις κατηγορίες: στις μεθόδους τοπικών εκτιμήσεων, στις μεθόδους γενικευμένων εκτιμήσεων, στις γεωστατιστικές μεθόδους και στις μεικτές μεθόδους. Οι μέθοδοι γενικευμένων εκτιμήσεων, χρησιμοποιούν όλα τα διαθέσιμα στοιχεία για να παρέχουν εκτιμήσεις για τα σημεία με άγνωστες τιμές. Οι μέθοδοι γεωστατιστικών εκτιμήσεων βασίζονται στη διαπίστωση ότι η χωρική μεταβολή των ιδιοτήτων που παίρνουν τιμές σε ένα συνεχές πεδίο, δεν μπορούν να αντιπροσωπευτούν ικανοποιητικά από μια απλή μαθηματική συνάρτηση, αλλά από μια τυχαία κατανομή. Οι μέθοδοι τοπικών εκτιμήσεων, χρησιμοποιούν μόνο ένα συγκεκριμένο αριθμό των πλησιέστερων γειτόνων για την εκτίμηση των σημείων με άγνωστες τιμές. Οι μέθοδοι γενικευμένων εκτιμήσεων, χρησιμοποιούνται συχνά για την εξάλειψη των επιπτώσεων των μεγάλων τάσεων πριν από τη χρήση των μεθόδων τοπικών εκτιμήσεων για την ανάλυση των καταλοίπων. Οι μεικτές μεθόδοι, περιλαμβάνουν ένα συνδυασμό όλων των προηγουμένως αναφερθέντων μεθόδων. Εξετάζουν τις φυσικές σχέσεις μεταξύ των κλιματικών δεδομένων και γεωγραφικών και τοπογραφικών μεταβλητών, και η χωρική συσχέτιση μεταξύ των πληροφοριών που καταγράφονται στους μετεωρολογικούς σταθμούς (Vicente-Serrano, Saz-Sanchez, & Cuadrat, 2003). Ενώ όλα αυτά τα διαφορετικά είδη των μεθόδων παρουσιάζουν βιώσιμες επιλογές για παρεμβολή, στην συγκεκριμένη εργασία, γίνεται σύγκριση των γενικευμένων, των τοπικών και των γεωστατιστικών μεθόδων. 2.2.α. Μέθοδοι γενικευμένων εκτιμήσεων Οι μέθοδοι γενικευμένων εκτιμήσεων χρησιμοποιούν όλους τους μετεωρολογικούς σταθμούς στην εκπόνηση των κλιματικών χαρτών. Αυτές οι μέθοδοι δημιουργούν μοντέλα εξάρτησης μεταξύ κλιματικών δεδομένων και άλλων ανεξάρτητων μεταβλητών. Οι γεωγραφικές συντεταγμένες του μετεωρολογικού σταθμού (γεωγραφικό μήκος και πλάτος) και οι γεωγραφικοί (π.χ. απόσταση από την ακτογραμμή) ή/και οι τοπογραφικοί μεταβλητές (υψόμετρο, προσανατολισμός, κλίση, κτλ.), χρησιμοποιούνται (Vicente-Serrano, Saz- Sanchez, & Cuadrat, 2003). 21

23 Οι μέθοδοι των γενικευμένων εκτιμήσεων είναι ανακριβείς διότι οι τιμές που προβλέπονται από το μοντέλο δεν συμπίπτουν με τα πραγματικά κλιματολογικά στοιχεία από τους μετεωρολογικούς σταθμούς (Burrough & McDonnell, 1998). Παραδείγματα μεθόδων γενικευμένων εκτιμήσεων αποτελούν η γενικευμένη πολυωνυμική παρεμβολή και τα εμπειρικά μοντέλα παλινδρόμησης. Ordinary Least Squares (OLS) Η ανάλυση παλινδρόμησης επιτρέπει τη μοντελοποίηση, την εξέταση και τη διερεύνηση των χωρικών σχέσεων και μπορεί να βοηθήσει στο να εξηγήσει τους παράγοντες πίσω από τα παρατηρούμενα χωρικά πρότυπα. Με τη μοντελοποίηση των χωρικών σχέσεων, ωστόσο, η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τη πρόβλεψη. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη πρόβλεψη των βροχοπτώσεων ή τη ποιότητα του αέρα σε περιπτώσεις όπου η παρεμβολή είναι ανεπαρκής λόγω έλλειψης των σταθμών παρακολούθησης (για παράδειγμα, οι μετρητές βροχής που λείπουν συχνά κατά μήκος κορυφογραμμών βουνών και κοιλάδων) (ArcGIS Help 10.1, 2012). Με την ανάλυση παλινδρόμησης, μελετάμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών με σκοπό τη πρόβλεψη των τιμών της μιας, μέσω των τιμών της άλλης (ή άλλων). Σε κάθε εξίσωση παλινδρόμησης, υπάρχουν δύο είδη μεταβλητών: την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη. Η ανεξάρτητη είναι εκείνη η οποία μπορεί να καθοριστούν οι τιμές της, ενώ η εξαρτημένη είναι εκείνη στην οποία αντανακλάται το αποτέλεσμα των μεταβολών στην ανεξάρτητη μεταβλητή (Παπαδόπουλος, 2009). Έτσι χωρίζεται η γραμμική παλινδρόμηση στην απλή και τη πολλαπλή. Στην απλή, η εξίσωση περιλαμβάνει μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ στη πολλαπλή περιλαμβάνει πάνω από μια μεταβλητή. Ως γραμμική ορίζεται η διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης εξίσωσης η οποία εκτιμά τις τιμές μιας εξαρτημένης μεταβλητής από τις τιμές άλλων ερμηνευτικών ανεξάρτητων μεταβλητών. Ο προσδιορισμός της σχέσης προκύπτει με τη χρησιμοποίηση της γνωστής μεθόδου των ελάχιστων τετραγώνων σύμφωνα με την οποία εκτιμώνται εκείνες οι τιμές των β i που ελαχιστοποιούν το άθροισμα των κάθετων τετραγωνικών αποκλίσεων ανάμεσα στις πραγματικές τιμές του δείγματος της εξαρτημένης μεταβλητής και τις εκτιμώμενες τιμές που προκύπτουν από την εξίσωση παλινδρόμησης (Wooldridge, 2013). Η παλινδρόμηση καλύπτει ένα ευρύ φάσμα μεθόδων για τη μοντελοποίηση της σχέσης μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής και ένα σύνολο από μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές. (Charlton & Fotheringham, 2009) Η OLS (μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων) είναι η ποιο γνωστή μέθοδος παλινδρόμησης. Παρέχει ένα γενικευμένο μοντέλο της μεταβλητής ή της διαδικασίας που προσπαθεί ο χρήστης 22

24 να προβλέψει. Δημιουργεί μια ενιαία εξίσωση παλινδρόμησης που να αντιπροσωπεύει αυτή τη διαδικασία. Είναι μια απλή μέθοδος και έχει πολύ ανεπτυγμένη θεωρία πίσω της. Έχει και μια σειρά από αποτελεσματικά διαγνωστικά για να βοηθήσουν στην ερμηνεία και την αντιμετώπιση των προβλημάτων. Είναι αποτελεσματική και αξιόπιστη μόνο όταν τα στοιχεία και το μοντέλο παλινδρόμησης ικανοποιούν όλες τις υποθέσεις που απαιτούνται από τη συγκεκριμένη μέθοδο (ArcGIS Help 10.1, 2012). Η εξίσωση της γραμμικής παλινδρόμησης είναι: y i = a 0 + a k x ik + ε i (1) k Όπου: y i είναι η εξαρτημένη μεταβλητή x i είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή a 0 και a k είναι οι σταθεροί συντελεστές ε i είναι τα ανεξάρτητα και κανονικά κατανεμημένα σφάλματα με μηδενικό μέσο Αυτή την εξίσωση μπορεί να τη συναντήσει κανείς και σε βιβλία ως (Ζαίρης, 2010): E(Y) = β 0 + β 1 X Και στη περίπτωση της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμηση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή: E(Y) = β 0 + β 1 Χ 1 + β 2 Χ 2 + Εικόνα 1: Εκτιμώμενες τιμές σε σχέση με παρατηρούμενες τιμές (OLS) Η παλινδρόμηση, βασίζεται στις ακόλουθες υποθέσεις (Wooldridge, 2013): Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι γνωστές, σταθερές και μπορούν να μετρηθούν χωρίς σφάλμα. Υπάρχει συσχέτιση ανάμεσα στην εξαρτημένη και στην ανεξάρτητη/ανεξάρτητες. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Τα κατάλοιπα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και κατανέμονται κανονικά. 23

25 Το άθροισμα και επομένως ο μέσος του δείγματος των καταλοίπων των ελαχίστων τετραγώνων είναι μηδέν. Η συνδιακύμανση δείγματος μεταξύ των παλινδρομουσών και των καταλοίπων ελαχίστων τετραγώνων είναι μηδέν. Οι συντελεστής παλινδρόμησης περιγράφουν την επίδραση των ανεξάρτητων μεταβλητών στην εξαρτημένη. Η γραμμικότητα σημαίνει ότι η αύξηση της Χ κατά μία μονάδα αλλάζει την αναμενόμενη τιμή της Υ κατά τη ποσότητα β i (Wooldridge, 2013). 2.2.β. Μέθοδοι τοπικών εκτιμήσεων Στις μεθόδους τοπικών εκτιμήσεων, η πρόβλεψη της τιμής ενός σημείου προκύπτει από τα υπάρχοντα δεδομένα των σημείων που βρίσκονται στην άμεσα γειτονική περιοχή του. Η γενική διαδικασία είναι να προσδιοριστεί ένα πλέγμα σημείων για τα οποία οι τιμές των δεδομένων πρόκειται να εκτιμηθούν. Για κάθε σημείο, η διαδικασία περιλαμβάνει τα ακόλουθα στάδια: Μια περιοχή αναζήτησης (γειτονιά) προσδιορίζεται γύρω από το σημείο. Τα σημεία δειγματοληψίας στην περιοχή αναζήτησης εντοπίζονται. Μια μαθηματική συνάρτηση επιλέγεται για να μοντελοποιηθεί η τοπική παραλλαγή μεταξύ των σημείων αυτών. Η τιμή των δεδομένων για το σημείο εκτιμάται από τη συνάρτηση. Διαφορετικά αποτελέσματα θα τείνουν να προκύψουν ανάλογα με το μέγεθος της περιοχής αναζήτησης και τον τύπο της μαθηματικής συνάρτησης που επιλέγεται. (Burrough & McDonnell, 1998) Παραδείγματα μεθόδων τοπικών εκτιμήσεων αποτελούν τα πολύγωνα Thiessen, η μέθοδος Inverse Distance Weighted (IDW), η μέθοδος Geographically Weighted Regression (GWR), τα Splines και τα TIN. Inverse Distance Weighted (IDW) Η παρεμβολή inverse distance weighted (IDW), εφαρμόζει ρητά την παραδοχή ότι τα πράγματα που είναι κοντά το ένα στο άλλο είναι περισσότερο όμοια από όσα εκείνα που έχουν μεγαλύτερη απόσταση. Για την πρόβλεψη μιας τιμής, η IDW χρησιμοποιεί τις μετρούμενες τιμές που περιβάλλουν τη θέση πρόβλεψης. Οι μετρούμενες τιμές πλησιέστερα στη θέση πρόβλεψης έχουν μεγαλύτερη επιρροή επί της προβλεπόμενης τιμής από εκείνες που μακρύτερα. Η μέθοδος αυτή υποθέτει ότι κάθε μετρούμενο σημείο έχει μια τοπική επίδραση που μειώνεται με την απόσταση. Επιπλέον, δίνει μεγαλύτερα βάρη στα σημεία πλησιέστερα 24

26 προς τη θέση πρόβλεψης και τα βάρη μειώνονται ως συνάρτηση της απόστασης, από εκεί πήρε και το όνομά της, αντίστροφη σταθμισμένη απόσταση (ArcGIS Help 10.1, 2012). Η εξίσωση της μεθόδου είναι (Keblouti, Ouerdachi, & Boutaghane, 2012): n z(x 0 ) = i=1 λ i z(x i ), όπου λ i = ( 1 )/( d p i n i=1 1/d p i) Όπου: d i είναι η απόσταση μεταξύ του x 0 και του x i p είναι η παράμετρος δύναμης n παριστά τον αριθμό των σημείων δειγματοληψίας που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση Η λειτουργία της δύναμης Καθώς αυξάνεται η απόσταση, τα βάρη μειώνονται ταχέως. Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνονται τα βάρη, εξαρτάται από την τιμή του p. Εάν p=0, δεν υφίσταται μείωση με την απόσταση, και επειδή κάθε βάρος λ i είναι ίδιο, η πρόβλεψη είναι ο μέσος όρος όλων των τιμών των στοιχείων που βρίσκονται στη γειτονιά αναζήτησης. Καθώς αυξάνεται η δύναμη p, τα βάρη για τα απομακρυσμένα σημεία μειώνονται γρήγορα. Εάν η τιμή του p είναι πολύ υψηλή, τότε μόνο τα άμμεσα περιβάλλοντα σημεία θα επηρεάσουν την πρόβλεψη. Μια βέλτιση τιμή της παραμέτρου της δύναμης μπορεί να προσδιοριστεί με την ελαχιστοποίηση του RMSE (ρίζα του τετραγωνικού σφάλματος), το οποίο υπολογίζεται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας crossvalidation, η οποία θα αναφερθεί στα επόμενα κεφάλαια. Η ακτίνα επίδρασης Επειδή τα πράγματα που είναι πιο κοντά είναι περισσότερο όμοια από εκείνα που είναι πιο απομακρυσμένα, καθώς οι θέσεις απομακρύνονται, οι μετρούμενες τιμές θα έχουν ελάχιστη σχέση με τη τιμή της θέσης πρόβλεψης. Τα απομακρυσμένα σημεία που έχουν ελάχιστη επίδραση στην πρόβλεψη μπορούν να αφαιρεθούν. Αυτό μπορεί να γίνει με το καθορισμό μιας γειτονιάς αναζήτησης. Το σχήμα της ακτίνας επίδρασης περιορίζει το πόσο μακριά και που να αναζητηθούν οι μετρούμενες τιμές που πρέπει να χρησιμοποιηθούν στην πρόβλεψη. Επηρεάζεται από τα δεδομένα εισόδου και τις επιφάνειες που προσπαθεί ο χρήστης να δημιουργήσει. Μόλις έχει καθοριστεί ένα σχήμα γειτονιάς (κύκλος ή έλλειψη), μπορεί να καθοριστεί το μέγιστο και το ελάχιστο αριθμό θέσεων που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν και μπορεί να διαιρεθεί η περιοχή σε τομείς. Αν διαιρεθεί η περιοχή σε τομείς, η μέγιστη και η ελάχιστη περιορισμοί θα πρέπει να εφαρμόζονται σε κάθε τομέα. 25

27 Μια επιφάνεια η οποία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο παρεμβολής, εξαρτάται από τη παράμετρο της δύναμης και την γειτονιά αναζήτησης. Η IDW είναι μια ακριβής μέθοδος παρεμβολής όπου η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή στην επιφάνεια παρεμβολής μπορεί να παρουσιαστεί μόνο στα σημεία δειγματοληψίας. Το μειονέκτημα είναι ότι η παραγόμενη επιφάνεια μπορεί να παρουσιάσει ομαδοποίηση των τιμών και να παρουσιαστούν ακραίες τιμές. Η μέθοδος υποθέτει ότι το φαινόμενο που διαμορφώνεται οδηγείται από την τοπική παραλλαγή, η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί με τον καθορισμό μιας επαρκής γειτονιάς αναζήτησης. Η IDW δεν παρέχει πρότυπο πρόβλεψης των λαθών (prediction standard errors), με αποτέλεσμα η χρήση του μοντέλου να είναι προβληματική. (ArcGIS Help 10.1, 2012) Geographically Weighted Regression (GWR) Η γεωγραφικά σταθμισμένη παλινδρόμηση (GWR) αποτελεί μια σύγχρονη συμβολή στη μοντελοποίηση χωρικών ετερογενών διεργασιών (Brunsdon, Fotheringham, & Charlton, 1996). Είναι μια από τις πολλές τεχνικές χωρικής παλινδρόμησης η οποία χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο στη γεωγραφία και σε άλλους κλάδους. Αυτή η μέθοδος παρέχει ένα τοπικό μοντέλο της μεταβλητής ή της διαδικασίας που θέλει ο χρήστης να προβλέψει με τη δημιουργία μιας εξίσωσης παλινδρόμησης για κάθε χαρακτηριστικό στο σύνολο των δεδομένων. Κατασκευάζει αυτές τις ξεχωριστές εξισώσεις με την ενσωμάτωση των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών των χαρακτηριστικών που εμπίπτουν στο εύρος ζώνης του κάθε χαρακτηριστικού στόχου. Το σχήμα και το μέγεθος του εύρους ζώνης εξαρτάται από το τι εισάγει ο χρήστης στο Kernel type, bandwidth method, distance και στο Number of neighbours parameters. (ArcGIS Help 10.1, 2012) Η μέθοδος θεωρεί ότι οι συντελεστές α και β της εξίσωσης της γραμμικής παλινδρόμησης μεταβάλλονται στο χώρο, δεδομένου ότι στην περίπτωση της ορογραφικής επίδρασης στη βροχόπτωση για παράδειγμα, είναι εσφαλμένη η διαπίστωση ότι η ίδια η γραμμική σχέση είναι κατάλληλη για όλους τους χώρους. Αυτό το είδος μοντέλου επιτρέπει στους συντελεστές να ποικίλουν ως συνεχή λειτουργία στο χώρο, έτσι ώστε το καθένα μπορεί να θεωρηθεί ως μια τρεισδιάστατη επιφάνεια πάνω στη γεωγραφική περιοχή μελέτης και όχι ως ένα σταθερό πραγματικό αριθμό (Di Piazza, Lo Conti, Noto, Viola, & La Loggia, 2011). Η GWR είναι μια σχετικά απλή τεχνική που επεκτείνει το παραδοσιακό πλαίσιο παλινδρόμησης της εξίσωσης, επιτρέποντας τοπικές αποκλίσεις στα ποσοστά της αλλαγής, έτσι ώστε οι συντελεστές του μοντέλου αντί να είναι γεινκευμένες εκτιμήσεις, είναι ειδικά για μια θέση i. y i = a i0 + a ik x ik + ε i (2) k Όπου: y i η παρατήρηση i της εξαρτημένης μεταβλητής 26

28 x ik η παρατήρηση i της ανεξάρτητης μεταβλητής ε i τα ανεξάρτητα και κανονικά κατανεμημένα σφάλματα με μηδενικό μέσο a ik είναι η τιμή της παραμέτρου k στη τοποθεσία i Η εξίσωση (1) είναι μια ειδική περίπτωση της (2), κατά την οποία όλες οι λειτουργίες είναι σταθερές σε όλο το χώρο. Στη θέση i όπου λαμβάνονται οι εκτιμήσεις των παραμέτρων, είναι εντελώς γενικευμένο και δεν χρειάζεται να αναφέρεται μόνο σε σημεία στα οποία συλλέγονται τα δεδομένα. Με την GWR είναι πολύ εύκολο να υπολογιστούν οι εκτιμήσεις των παραμέτρων, για παράδειγμα, για τις θέσεις που βρίσκονται μεταξύ των σημείων δεδομένων, η οποία καθιστά δυνατή τη παραγωγή λεπτομερών χαρτών των χωρικών διακυμάνσεων στις σχέσεις (Brunsdon, Fotheringham, & Charlton, 1996). Στη GWR, μια παρατήρηση (k) σταθμίζεται ανάλογα με την εγγύτητά της στο σημείο i έτσι ώστε η στάθμιση μιας παρατήρησης δεν είναι πλέον σταθερή στη βαθμονόμηση, αλλά ποικίλη με τη θέση i. Τα στοιχεία από τις παρατηρήσεις κοντά στη θέση i σταθμίζονται περισσότερο από απ ότι τα στοιχεία των παρατηρήσεων που βρίσκονται πιο μακριά (Kalogirou & Hatzichristos, 2007) Κάθε παρατήρηση k στη περιοχή i, σταθμίζεται με βάρος w ik έτσι ώστε: w ij = {1 ( d ij h )2 } 2, d ij < r w ij = 0, d ij > r Όπου το j αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο σημείο στο χώρο κατά το οποίο τα παρατηρούμενα δεδομένα, και το i αντιπροσωπεύει οποιοδήποτε σημείο στο χώρο για το οποίο υπολογίζονται οι παράμετροι. Το d ij είναι η απόσταση ανάμεσα στο i και το j. Το r είναι η ακτίνα κύκλου γύρω από το σημείο j. Ο υπολογισμός του εύρους (Kernel bandwidth) βασίζεται στη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων: h = {y i y i(h)} 2 i Όπου y i(h) είναι η προβλεπόμενη τιμή του y i που υπολογίζεται σε μια γεωγραφικά σταθμισμένη παλινδρόμηση εφόσοσν για κάθε παρατήρηση i η εκτίμηση του y i γίνει με αφαίρεση της i-οστής τιμής, για την αποφυγή σημαντικών στατιστικών σφαλμάτων (Brunsdon, Fotheringham, & Charlton, 1996). Το εύρος ζώνης στο Kernel εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις συντεταγμένες που χρησιμοποιούνατι στο σύνολο των δεδομένων. Καθώς το εύρος ζώνης μεγαλώνει, τα βάρη προσσεγίζουν τη μονάδα και το τοπικό μοντέλο GWR προσεγγίζει το γενικευμένο μοντέλο OLS. (Charlton & Fotheringham, 2009) 2.2.γ. Μέθοδοι γεωστατιστικών εκτιμήσεων Μέχρι στιγμής, οι τεχνικές που έχουν αναφερθεί είναι αιτιοκρατικοί μέθοδοι παρεμβολής διότι βασίζονται άμεσα στις γύρω μετρούμενες τιμές ή σε συγκεκριμένες μαθηματικές φόρμουλες που καθορίζουν την ομαλότητα της προκύπτουσας επιφάνειας. Αντίθετα, οι γεωστατιστικοί 27

29 μέθοδοι βασίζονται σε στατιστικά μοντέλα που περιλαμβάνουν αυτοσυσχέτιση. Οι τεχνικές αυτές όχι μόνο έχουν την ικανότητα να παράγουν μια επιφάνεια πρόβλεψης, αλλά μπορούν επίσης να παρέχουν κάποιο μέτρο της βεβαιότητας ή την ακρίβεια των προβλέψεων (ESRI, 2013). Η γεωστατιστική προσφέρει ένα τρόπο περιγραφής της χωρικής συνέχειας των φυσικών φαινομένων και προσφέρει προσαρμογές της κλασσικής παλινδρόμησης για να επωφεληθούν αυτής της συνέχειας (Isaaks & Strivastava, 1989). Οι γεωστατιστική μέθοδοι βασίζονται στη διαπίστωση ότι η χωρική μεταβολή των ιδιοτήτων που παίρνουν τιμές σε συνεχές πεδίο είναι τόσο ακανόνιστη για να μοντελοποιηθεί από μια μαθηματική συνάρτηση, αλλά από μια τυχαία κατανομή. Σε αυτή τη περίπτωση η ιδιότητα ονομάζεται regionalized μεταβλητή (Burrough & McDonnell, 1998). Kriging Παρόμοια με την IDW, η kriging χρησιμοποιεί στάθμιση, η οποία προσδίδει μεγαλύτερη επιρροή μεγαλύτερη επιρροή στα πλησιέστερα σημεία δεδομένων στη παρεμβολή των τιμών για άγνωστες τοποθεσίες. Η kriging, ωστόσο, δεν είναι ντετερμινιστική, αλλά επεκτείνει τη προσέγγιση στάθμισης εγγύτητας της IDW, δηλαδή να περιλαμβάνει τα τυχαία συστατικά όπου το ακριβές σημείο τοποθεσίας δεν είναι γνωστό από τη λειτουργία. Η μέθοδος εξαρτάται από τις χωρικές και στατιστικές σχέσεις για τον υπολογισμό της επιφάνειας. Η διαδικασία δύο σταδίων της μεθόδου αρχίζει με ημι εκτιμήσεις μεταβλητότητας και στη συνέχεια εκτελεί τη παρεμβολή. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι (Keblouti, Ouerdachi, & Boutaghane, 2012): 1. Η ενσωμάτωση των μεταβλητών αλληλεξάρτησης 2. Διαθέσιμη επιφάνειας εξόδου σφάλματος Τα μειονεκτήματα της μεθόδου είναι: 1. Απαιτεί σημαντικά μεγαλύτερη επεξεργαστική ισχύ και περισσότερος χρόνος για τη μοντελοποίηση 2. Απαιτεί περισσότερα στοιχεία από το χρήστη Η kriging ανήκει στην οικογένεια των γραμμικών ελαχίστων τετραγώνων αλγορίθμων εκτίμησης. Ο σκοπός της είναι να εκτιμηθεί η αξία μιας άγνωστης πραγματικής συνάρτησης e, σε ένα σημείο, το (x,y), λαμβάνοντας υπ όψιν τις τιμές της συνάρτησης σε ορισμένα άλλα σημεία, {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 )}. Η kriging λέγεται γραμμική, επειδή η προβλεπόμενη τιμή E(x,y) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός που μπορεί να γραφεί ως εξής (Keblouti, Ouerdachi, & Boutaghane, 2012): n E(x, y) = λ j E(x j, y j ) j=1 28

30 Τα βάρη λ j είναι λύσεις ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων το οποίο λαμβάνεται με τη παραδοχή ότι το E είναι ένα δείγμα μιας τυχαίας διαδικασίας F(x,y) και ότι το σφάλμα πρόβλεψης θα ελαχιστοποιηθεί κατά κάποιο τρόπο (Keblouti, Ouerdachi, & Boutaghane, 2012). Είδη kriging Ordinary kriging Simple kriging Universal kriging Indicator kriging Probability kriging Disjunctive kriging Co-kriging ε(x, y) = F(x, y) λ j E(x i, y i ) n j=1 Ημιβαριόγραμμα Το ημιβαριόγραμμα και η συνάρτηση της συνδιακύμανσης, βασίζονται στην υπόθεση ότι τα πιο κοντινά πράγματα τείνουν να είναι πιο όμοια από τα ποιο μακρινά. Τα δύο μετράνε τη δύναμη της στατιστικής συσχέτισης σε συνάρτηση με την απόσταση (ArcGIS Help 10.1, 2012). Στη παρούσα εργασία, χρησιμοποιήθηκε το ημιβαριόγραμμα. Το ημιβαριόγραμμα εκφράζει μαθηματικά το τρόπο που η διακύμανση μιας ιδιότητας μεταβάλλεται καθώς η απόσταση και η κατεύθυνση που χωρίζει δύο σημεία μεταβάλλεται. Αποτελεί ένα βασικό διαγνωστικό εργαλείο για το χωρικό χαρακτηρισμό μιας χωρομεταβλητής (ArcGIS Help 10.1, 2012). Το ημιβαριόγραμμα ορίζεται ως: γ(s i, s j ) = 1 var(z(s 2 i) z(s j )), όπου var είναι η διακύμανση. Αν δύο θέσεις, s i και s j, είναι κοντά η μια στην άλλη όσον αφορά το μέτρο απόστασης τους d(s i, s j ), θα είναι όμοιες μεταξύ τους, έτσι η διαφορά στις τιμές τους, Z(s i ) Z(s j ), θα είναι μικρή. Όσο αυξάνεται η απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα δύο σημεία, γίνονται λιγότερο όμοια μεταξύ τους, οπότε η διαφορά στις τιμές τους θα είναι μεγαλύτερη. Αυτό φαίνεται και στο παρακάτω διάγραμμα. 29