περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!

Transcript

1 Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, η δύναµη επαφής A που δέχεται η σφαίρα από το έδαφος διέρχεται από το κέντρο της, είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα πάνω και εξουδετερώνει το βάρος της w (σχ. 1). Aς υποθέσουµε τώρα ότι επί της σφαίρας ενεργεί οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρό της, το δε µέτρο της είναι τέτοιο ώστε, να επίκειται η χωρίς ολίσθηση κύλισή της στο οριζόντιο επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή η παραµόρφωση του εδάφους στην περιοχή επαφής του µε την σφαίρα δεν είναι συµµετρική ως προς την κατακόρυφη που διέρχεται από το, µε αποτέλεσµα ο φορέας Σχήµα 1 Σχήµα 2 της δύναµης A να µην είναι κατακόρυφος. Συγκεκριµένα, λόγω της οριακής ισορρο πίας της σφαίρας, ο φορέας της A πρέπει να διέρχεται από το κέντρο και επί πλέον το µέτρο της είναι τέτοιο, ώστε να είναι αντίθετη της συνισταµένης των δυνάµεων F και w (σχ. 2). Παρατηρούµε λοιπόν ότι η A µπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, την συνιστώσα N η οποία είναι κάθετη στο οριζόντιο έδαφος και της οποίας ο φορέας είναι µετατοπισµένος ως προς τον φορέα του βάρους της σφαίρας και την συνιστώσα T, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το έδαφος και αποτελεί την στατική τριβή. H δύναµη N (κάθετη αντίδραση του εδάφους) µαζί µε το βάρος w της σφαίρας αποτελούν ένα ζεύγος δυνάµεων, που αντιτίθεται στην έναρξη της κύλισης της σφαί ρας επί του οριζοντίου εδάφους. H ροπή K του ζεύγους αυτού είναι ίση µε τη ροπή της N περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N, δηλαδή ισχύει: K = N όπου α συντελεστής αναλογίας, που ονοµάζεται συντελεστής τριβής κυλίσεως και ουσιαστικά εκφράζει την απόσταση του φορέα της N από το κέντρο της σφαίρας. H τιµή του α εξαρτάται από την πλαστικότητα της σφαίρας και του εδάφους. Στην

2 περίπτωση που το έδαφος και η σφαίρα δεν παραµορφώνονται, τότε α=0 και εποµένως επί της σφαίρας δεν παρουσιάζεται τριβή κυλίσεως. Aν τώρα η δύναµη F που εξα σκούµε στην σφαίρα είναι τέτοια, ώστε αυτή να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος, τότε η τριβή κύλισης K, δηλαδή η ροπή της κάθετης αντίδρασης N περί το κέντρο της σφαίρας, θα αποτελεί ροπή που αντιστέκεται στην κύλιση, ενώ η ροπή της δύναµης T θα αποτελεί κινητήρια ροπή για την κύλιση της σφαίρας. Πρέπει να τονίσουµε πάλι ότι, κατά την κύλιση της σφαίρας η τριβή T είναι στατική τριβή, διότι τα σηµεία επαφής της σφαίρας µε το οριζόντιο έδαφος έχουν διαρκώς µηδενική ταχύτητα. Παρατηρήσεις: i) Για να κυλίεται η σφαίρα ισοταχώς χωρίς ολίσθηση πρέπει η εξασκούµενη δύναµη F να έχει µέτρο που δεσµεύεται µε τις σχέσεις: F = mg / R και F < nmg όπου n o συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ της σφαίρας και του εδάφους. Η πε ρίπτωση αυτή είναι δυνατή εφ όσον οι παράµετρoι α, n και R ικανοποιούν την σχέση α/r<n. ii) Aν το µέτρο της F ικανοποιεί την συνθήκη: F > mg / R τότε η σφαίρα ή θα κυλίεται χωρίς ολίσθηση επιταχυνόµενη ή θα εκτελεί επίπεδη κίνηση που είναι επαλληλία µιας επιταχυνόµενης περιστροφικής κίνησης περί το κέντρο της και µιας επιταχυνόµενης µεταφορικής κίνησης, Πράγµατι για να συµβαίνει το πρώτο πρέπει σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα και τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης να ισχύουν οι σχέσεις: F - T = ma TR - mg = I "' F - T = ma TR - mg = 2mR 2 "'/5 F - T = ma " TR - mg = 2mRa /5 (:) F - T TR - mg = 5ma 2mRa F - T TR - mg = 5 2R 2FR - 2TR = 5TR - 5mg 7TR = 2FR + 5mg T = 2F mg R όπου a η επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας και ' η γωνιακή της επιτάχυνση. Όµως η επιταχυνόµενη χωρίς ολίσθηση κύλιση της σφαίρας απαιτεί το µέτρο της τρι βής να ικανοποιεί τις σχέσεις: (1)

3 T < F " T < nmg (1) 2F mg 7 R < F " 2F mg 7 R < nmg 5 mg 7 R < 5F 7 2F 7 < nmg - 5 mg 7 R " mg R < F < mg " 7n 2-5 ' (2) R & Για να συµβαίνει το δεύτερο πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: F > nmg " nmgr > mg F > nmg " nr > F > nmg " F > mg / R ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Οµογενής σφαίρα ακτίνας R τοπόθετείται επί κεκλιµένου επιπέδου και όταν η γωνία κλίσεως αυτού ως προς τον ορίζοντα είναι φ 0, τότε επίκειται η κύλιση χωρίς ολίσθηση της σφαίρας. Αν η γωνία κλίσεως γίνει φ>φ 0, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας µε την προυπόθεση ότι αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου. Ποιος πρέπει να είναι τότε ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ σφαίρας και κεκλιµένου επιπέδου; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =2mR 2 /5 της σφαίρας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Όταν επίκειται η κύλιση χωρίς ολίσθηση της σφαίρας επί του κεκλιµένου επιπέδου αυτή ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους της w και της δύναµης επαφής A από το κεκλιµένο, που σηµαίνει ότι οι δύο αυτές δυνάµεις έχουν τον ίδιο Σχήµα 3 Σχήµα 4 φορέα αντίθετες φορές και ίδιο µέτρο (σχ. 3). Εξάλλου η A αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N, που δεν διέρχεται από το κέντρο µάζας αλλά είναι µετατοπισµένη αριστερότερα ως προς αυτό,

4 δηλαδή η επαφή της σφαίρας µε το κεκλιµένο επίπεδο δεν γίνεται µε ένα σηµείο αλλλά µε µια επιφάνεια, που σηµαίνει ότι υπάρχει παραµόρφωση του κεκλιµένου επιπέδου. Λόγω της οριακής ισορροπίας της σφαίρας θα ισχύουν οι σχέσεις: F x = 0 F y = 0 " = 0 & w x - T = 0 " w y - N = 0 TR - N = 0 T = mgµ" 0 N = mg" 0 & = TR/N ' ) ( ) * = mg"µ 0R mg& 0 = R' 0 (1) όπου w x, w y η παράλληλη και η κάθετη αντιστοίχως προς το κεκλιµένο επίπεδο συνι στώσα του βάρους της σφαίρας και α ο συντελεστής τριβής κυλίσεως µεταξύ σφαίρας και κεκλιµένου επιπέδου. Όταν η γωνία κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου λάβει την τιµή φ>φ 0, η σφαίρα θα κυλίεται χωρίς ολίσθηση επιταχυνόµενη προς τα κάτω και συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας της σφαίρας και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, θα έχουµε τις σχέσεις: w x - T = ma TR - N = I"' mgµ" - T = ma ( ) TR - mg&" = 2mR 2 ''/5 * (1) mgµ" - T = ma ' ( TR - Rmg"" 0 &" = 2mRa /5 ) (:) mgµ" - T T - mg"" 0 &" = 5 2 T = mg ( 7 2µ" + 5"" &" 0 ) (2) όπου a η επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας και ' η γωνιακή της επιτάχυνση, για τα µέτρα των οποίων ισχύει a =Rω. Με βάση την (2) η πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις γράφεται: mgµ" - mg ( 7 2µ" + 5"" &" 0 ) = ma 7gµ" - g( 2µ" + 5"" 0 &" ) = a a = 5g (µ" - "" 0 &" ) (3) Όµως για να υπάρχει κύλιση χωρίς ολίσθηση πρέπει η T να είναι στατική τριβή, δηλα δή πρέπει το µέτρο της να ικανοποιεί την σχέση: (2) T nn 2µ" 7" + 5&"" " 0 7" mg ( 7 2µ" + 5"" &" 0 ) ' nmg&" ' n n 1 7 2" + 5" 0 ( ) (4) P.M. fysikos

5 Ένα επιβατηγό αυτοκίνητο είναι παρκαρισµένο σε κεκλιµένο δρόµο γωνίας κλίσεως φ, ως προς τον ορίζοντα. O οδηγός του αυτοκινήτου λύνει κατά λάθος το χειρόφρενό και το αυτοκίνητο αρχίζει να κατηφορίζει. Eάν οι τέσσερις τροχοί του αυτοκινήτου κυλίονται χωρίς ολίσθηση στο οδόστρωµα, να υπολο γίσετε την επιτάχυνση του οχήµατος. Δίνεται η µάζα m και η ακτί να R κάθε τροχού, η ροπή αδράνειάς του I=mR 2 /2 ως προς τον άξονα περιστροφής του, η µάζα M του υπόλοιπου µέρους του αυ τοκινήτου, o συντελεστής τριβής κυλίσεως α µεταξύ κάθε τροχού και του δρόµου και η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛYΣH Tο αυτοκίνητο κατηφορίζει στο κεκλιµένο επίπεδο υπό την επίδ ραση του βάρους του W, το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς το επίπεδο συνιστώσα W x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα W y καθώς και των δυνάµεων επαφής που δέχονται οι τέσσερις τροχοί του απο το κεκ Σχήµα 5 Σχήµα 6 λιµένο επίπεδο. Kάθε τέτοια δύναµη αναλύεται στην τριβή, η οποία είναι στατική, αφού ο αντίστοιχος τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση και στην κά θετη αντίδραση της οποίας ο φορέας δεν διέρχεται από το κέντρο του τροχού, λόγω της παραµόρφωσης που παρουσιάζεται στην επιφάνεια συνεπαφής του µε το κεκλιµένο επίπεδο, µε αποτέλεσµα να είναι µετατο πισµένος σε απόσταση α από το κέντρο του τροχού (σχ. 6). Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του αυτοκινήτου τον δεύτερο νόµο του Nεύτω να, παίρνουµε την σχέση: W x - (T) = (M + 4m)a (M + 4m)gµ" - (T) = (M + 4m)a (1) όπου η ζητούµενη επιτάχυνση του αυτοκινήτου. Eξάλλου η τριβή αποτελεί για κάθε τροχό την δύναµη που του επιτρέπει να περιστρέφεται περί τον άξονά του και της οποίας η ροπή περί τον άξονα αυτόν σε συνδι ασµό µε την τριβή κυλίσεως, δηλαδή την αντίστοιχη ροπή της, προκα

6 λεί την γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, σύµφωνα δε µε τον θεµελι ώδη νόµο της στροφικής κίνησης, θα έχουµε την σχέση: TR - N = I"' TR - N = mr 2 "'/2 (2) Όµως λόγω της κύλισης των τροχών ισχύει η σχέση a =Rω, διότι η µετα φορική επιτάχυνση των τροχών είναι ίδια µε την επιτάχυνση του αυτο κινήτου, οπότε η προηγούµενη σχέση (2) γράφεται: TR - N = mra /2 T = N R + ma 2 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) έχουµε: ( M + 4m) gµ" - N R + ma ( ' * = ( M + 4m)a & 2 ) ( M + 4m) gµ" - R ( N ) - a 2 ( m ) = ( M + 4m)a (4) Όµως Σ(Ν)=(Μ+4m)gσυνφ και Σ(m)=4m, οπότε η (4) γράφεται: ( M + 4m) gµ" - ( R M + 4m ) g&" - a 4m = ( M + 4m)a 2 ( ) ) µ" - R &" g M + 4m ' ( *, = ( M + 6m)a + a = g M + 4m " M + 6m & 'µ( - ) " R *+,( & P.M. fysikos Για να µετακινήσουµε βαρύ σώµα επί οριζοντίου εδάφους το τοποθετούµε πάνω σε µια σανίδα, η οποία υποβαστά ζεται από k το πλήθος όµοιους µικρούς κυλίνδρους της ίδιας ακτί νας R και της ίδιας µάζας m. Οι κύλινδροι εφάπτονται δια των παράπλευρων επιφανειών τους µε το έδαφος και µε την σανίδα, ώστε οι γεωµετρικοί τους άξονες να είναι παράλληλοι (σχ. 7), λόγω δε των παραµορφώσεων που παρουσιάζονται στις επιφά νειες συνεπαφής εµφανίζονται τριβές κύλισης επί των κυλίνδρων τόσο κατά την κύλισή τους επί του εδάφους αλλά και κατά την σχετική τους κύλιση επί της σανίδας. Να βρεθεί η οριζόντια

7 δύναµη που πρέπει να ασκηθεί επί της σανίδας κατα διεύθυνση κάθετη προς τους άξονες των κυλίνδρων, ώστε να είναι δυνατή η έναρξη µετατοπίσεως του όλου συστήµατος. Δίνεται η µάζα Μ του συστήµατος βαρύ σώµα-σανίδα, ο συντελεστής τριβής κυλίσεως α σε όλες τις επαφές και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: Aς δεχθούµε ότι η οριζόντια δύναµη F που δέχεται η σανίδα επαρκεί για οριακή έναρξη της κύλισης των κυλίνδρων επί του εδάφους και επί της σανίδας. Στην περίπτωση αυτή κάθε κύλινδρος ισορροπεί ορια κά υπό την επίδραση του βάρους του w =m g, της αντίδρασης του εδάφους που αναλύεται στην στατική τριβή T και και στην κάθετη αντίδραση N, Σχήµα 7 Σχήµα 8 της οποίας ο φορέας δεν διέρχεται από τον άξονα περιστροφής του τροχού, αλλά είναι µετατοπισµένος αριστερότερα κατά α και τέλος την δύναµη επαφής από την σανίδα που αναλύεται στην στατική τριβή f και στην κάθε τη αντίδραση q, που ο φορέας της βρίσκεται επίσης αριστερότερα του άξο να του τροχού σε απόσταση α από αυτόν (σχ. 8). Λόγω της οριακής ισορροπίας κάθε κυλίνδρου θα έχουµε τις σχέσεις: F x = 0 " () = 0 f - T = 0 " TR + fr - N - q = 0 " ( ) = ( N + q) f = T R T + f 2RT = ( N + q) (1) Aθροίζοντας τις σχέσεις (1) για όλους τους κυλίνδρους παίρνουµε: 2R (T) = " [ (N) + (q)] (2) Όµως εξετάζοντας την ισορροπία του όλου συστήµατος παίρνουµε την σχέση Σ(Ν)=(Μ+km)g, οπότε η (2) γράφεται:

8 2R (T) = " [(M + km)g + (q)] (3) Aλλά και το σύστηµα σανίδα-σώµα ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του W και των αντιδράσεων των κυλίνδρων, οι οποίες αναλύονται στις οριζόντιες στατικές τριβές f 1, f 2, f k που είναι αντίθετες των τριβών f 1, f 2, f k που δέχονται οι κύλινδροι από την σανίδα και στις κάθετες αντιδράσεις q 1, q 2, q k που είναι αντίθετες των καθέτων αντιδράσεων q 1, q 2, q k που δέχονται οι κύλινδροι από την σανίδα. Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος αυτού θα ισχύουν οι σχέσεις: F x = 0" F y = 0 q ) - Mg = 0 F - ( f ") = 0 ( " F - (f) = 0 " (q) - Mg = 0 F = (f) = (T)" (q) = Mg (4) H (3) λόγω των (4) γράφεται: 2RF = [(M + km)g + Mg] F = g ( 2M + km)g 2R P.M. fysikos Ένας τροχός, µάζας m και ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ανερχόµενος σε κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ, µε την βοήθεια µιας δύναµης της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το κεκλιµένο επίπεδο και διέρχεται από το κέντρο του. Eάν το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου του τρο χού είναι a =g/2 και ο συντελεστής τριβής κύλισης µεταξύ τρο χού και κεκλιµένου επιπέδου είναι α, να βρείτε: i) το µέτρο της εφαρµοζόµενης επί του τροχού δύναµης, ii) τον ελαχιστο συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ τροχού και κεκλιµένου επιπέδου, ώστε να αποφευγεται η ολίσθηση του τρο χού και iii) το κλάσµα της προσφερόµενης στον τροχό ενέργειας, µέσω του έργου της ασκούµενης δύναµης, που µετασχηµατίζεται σε ενέργεια απωλειών. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας

9 I =mr 2 /2 του τροχού, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. ΛΥΣΗ: i) Επί του κυλιόµενου τροχού ενεργεί το βάρος του w, που αναλύ εται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y, η παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο δύναµη F και η αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N, της οποίας ο φορέας είναι µετατοπισµένος κατά α δεξιότερα του κέντρου του τροχού (σχ. 9). Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του τροχού τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: F - T - w x = ma F - T - mgµ" = mg/2 F - T = mg( 1/2 + mgµ" ) (1) Σχήµα 9 Εξάλλου εφαρµόζοντας για την περιστροφή του κυλιόµενου τροχού τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: TR - N = I " TR - mg" = mr 2 '& / 2 όπου " η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. Όµως λόγω της χωρίς ολίσθη ση κύλισης του τροχού ισχύει η σχέση g/2= ω R, οπότε η προηγούµενη γρά φεται: TR - mg" = mrg / 4 T = mg / 4 + mg" / R (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε: F - mg / 4 - mg" / R = mg( 1/2 + &µ ) F = mg( 3/4 + µ" + &" / R) (3) ii) Για να αποφεύγεται η ολίσθηση του τροχού πρέπει η τριβή να είναι

10 στατική, δηλάδή το µέτρο της πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: (2) T nn T nmg" mg / 4 + mg" / R & nmg" 1/ 4" + / R & n n min = 1/ 4" + / R (4) iii) Έστω ότι σε ορισµένο χρόνο το κέντρο µάζας του δίσκου ανέρχεται κατά s, οπότε στον ίδιο χρόνο ο τροχός θα έχει περιστραφεί περί το κέντρο κατά γωνία φ=s/r. H αντίστοιχη απώλεια ενέργειας του τροχού απολύτως είναι ίση µε το έργο της τριβής κυλίσεως, δηλαδή ισχύει: W = N" = Ns / R (5) Eξάλλου στον ίδιο χρόνο η προσφερόµενη στον τροχό ενέργεια, µέσω του έργου της F θα είναι: W F = Fs (6) To ζητούµενο κλάσµα είναι: W W F = Ns / R Fs = mg" RF (3) W W F = mg" ( ) Rmg 3/4 + &µ + " / R W W F = 3R/" + 4R&' + 4 (7) P.M. fysikos