ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εµφνίζοντι πολλά µεγέθη, όπως µεττοπίσεις, τχύτητες, ροπές, δυνάµεις, τ οποί γι ν προσδιοριστούν πλήρως δεν ρκεί µόνο ν είνι γνωστό το µέτρο τους, λλά πρέπει ν είνι γνωστή κι η κτεύθυνσή τους, δηλδή η διεύθυνση κι η φορά τους. Τέτοιου είδους µεγέθη χρκτηρίζοντι ως δινυσµτικά. Όµως κι χωρίς γνώσεις Φυσικής είνι εύκολο ν ντιληφθούµε ότι ένς τυχίος περίπτος πάνω σε ευθεί γρµµή (διεύθυνση) µετξύ δύο σηµείων Α κι υτής µπορεί ν περιγρφεί µε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµτος Α (µέτρο) κι πό τ σηµεί εκκίνησης κι άφιξης (φορά διγρφής). Έτσι πό µθηµτικής πλευράς τίθετι το πρόβληµ της εισγωγής ενός συστήµτος µθηµτικών ντικειµένων, που θ είνι τ κτάλληλ µοντέλ γι τ δινυσµτικά µεγέθη που εµφνίζοντι στη Φυσική. Το πρόβλη- µ υτό οδηγεί κτ ρχήν στη θεώρηση των γεωµετρικών δινυσµάτων κι στη συνέχει στη θεώρηση των λγεβρικών δινυσµάτων, όπως οι διτετγ- µένες τριάδες πργµτικών ριθµών. Όπως ξέρουµε πό τη Φυσική, σε κάθε δύο δυνάµεις που εξσκούντι σε έν σώµ, ντιστοιχίζετι µί δύνµη, η συνιστµένη τους, που επιφέρει τ ίδι ποτελέσµτ µε τις δύο προηγούµενες δυνάµεις. Το γεγονός υτό µς οδηγεί στην εισγωγή λγεβρικής δοµής στο σύνολο των γεωµετρικών δινυσµάτων, το οποίο γίνετι έτσι δινυσµτικός χώρος. Επιπλέον, υπάρχουν πολλά µθηµτικά προβλήµτ που έχουν την ιδιότητ γι κάθε δύο λύσεις τους, έστω f κι g, η συνάρτηση λ f + µ g, λ, µ είνι επίσης λύση. Τέτοι προβλήµτ λέγοντι γρµµικά κι λύνοντι συνήθως πολύ πιο εύκολ πό τ προβλήµτ που δεν έχουν την εν λόγω ιδιότητ. Αξιοσηµείωτο είνι κόµη το ότι πολλά προβλήµτ που προκύπτουν πό τις διάφορες εφρµογές είνι γρµµικά, όπως προβλήµτ θεωρίς δυνµικού, θερµότητς κι τλντώσεων µηχνικών συστηµάτων µικρού πλάτους, ενώ άλλ προβλήµτ θεωρούντι κτά προσέγγιση γρµµικά γι ν επιλύοντι ευκολότερ, όπως στην περίπτωση των τλντώσεων του πλού εκκρεµούς. Στ επόµεν θ σχοληθούµε διεξοδικά µε τις πρπάνω έννοιες.

2 76 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός 4.1 Ο δινυσµτικός χώρος Στ επόµεν θεωρούµε γνωστές τις πρωτρχικές έννοιες της Ευκλείδεις Γεωµετρίς, όπως την έννοι της ευθείς, του επιπέδου, της πρλληλίς, του µήκους ευθυγράµµου τµήµτος κ.λ.π. Στο σύνολο E των ευθειών του χώρου θεωρούµε τη σχέση σ : ε1σε ε1 ε ή ε1 ε. Είνι φνερό ότι η σ είνι σχέση ισοδυνµίς στο σύνολο E κι ότι κάθε κλάση ισοδυνµίς του E ως προς τη σχέση σ περιέχει ευθείες που είνι πράλληλες µετξύ τους. Επιπλέον, ότν δοθεί µί ευθεί ε στο χώρο, τότε η κλάση ισοδυνµίς που περιέχει την ε ποτελείτι πό την ε κι όλες τις ευθείες που είνι πράλληλες προς υτήν. Κάθε στοιχείο του συνόλου E / σ των κλάσεων ισοδυνµίς λέγετι διεύθυνση ή λέµε ότι ορίζει µί διεύθυνση. Θεωρούµε στη συνέχει τυχούσ ευθεί x x µις διεύθυνσης κι έν στθερό σηµείο Ο πάνω σε υτή. Τότε ορίζοντι δύο ηµιευθείες Ο x κι Ο x που η ένωσή τους είνι η x x. Ορίζουµε τη µί πό τις δύο ηµιευθείες, έστω την Ο x, ως θετική ή ως ηµιευθεί θετικής φοράς, οπότε πλέον η Ο x ορίζετι ως ρνητική ή ως ηµιευθεί ρνητικής φοράς. Τότε η ευθεί x x είνι προσντολισµένη. Αν τώρ θεωρήσουµε σε µί άλλη ευθεί yy της διεύθυνσης που ορίζετι πό την ευθεί x x, έν στθερό σηµείο Ο, τότε οι ηµιευθείες που βρίσκοντι στο ίδιο ηµιεπίπεδο κµής ΟΟ έχουν την ίδι φορά, δηλδή στο σχήµ 4.1 η ηµιευθεί Ο y έχει την ίδι φορά µε την ηµιευθεί Ο x κι ντίθετη φορά µε την ηµιευθεί Ο x. Έτσι µί διεύθυνση εφοδιάζετι µε την έννοι της φοράς που µπορεί ν είνι θετική ή ρνητική. Ο x x B y Ο y A Σχήµ 4.1 Σχήµ 4. Όπως ξέρουµε, γι ν προσδιορίσουµε την ευθύγρµµη τροχιά ενός υλικού σηµείου µετξύ δύο σηµείων Α κι, θ πρέπει ν πούµε πό ποιο σηµείο ξεκίνησε το υλικό σηµείο την κίνησή του κι που στµάτησε, δηλδή πρέπει ν προσδιορίσουµε την ρχή κι το τέλος της τροχιάς του. Αυτή κριβώς η νάγκη µς υποκινεί στ µθηµτικά ν θεωρήσουµε

3 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 77 προσντολισµέν ευθύγρµµ τµήµτ, δηλδή ευθύγρµµ τµήµτ στ οποί έχουµε ορίσει την ρχή κι το τέλος τους. Κάθε προσντολισµένο ευθύγρµµο τµήµ λέγετι διάνυσµ. Έν διάνυσµ µε ρχή Α κι τέλος (πέρς), συµβολίζετι µε ( Α, ) ή Α κι γεωµετρικά πριστάνετι µε το ευθύγρµµο τµήµ Α µε έν βέλος στο τέλος του. Στ επόµεν θ χρησιµοποιούµε το συµβολισµό Α. Η ευθεί που ορίζετι πό τ άκρ του δινύσµτος Α ονοµάζετι φορές ή στήριγµ του δινύσµτος υτού, ενώ η διεύθυνση που ορίζετι πό το φορέ του Α λέγετι κι διεύθυνση του Α. Το µήκος του ευθύγρµµου τµήµτος Α, ως προς κάποι µονάδ µετρησης, λέγετι µέτρο του δινύσµτος Α κι συµβολίζετι µε Α ή Α κι είνι µη ρνητικός πργµτικός ριθµός. Επιπλέον σε κάθε διάνυσµ Α ντιστοιχίζετι η φορά του που είνι µί πό τις δύο που ορίζοντι στη διεύθυνσή του. Συγκεκριµέν, ν προσντολίσουµε το φορέ του Α θεωρώντς Ο Α (δες σχήµ 4.) κι Ο x, όπου Ο x είνι η ηµιευθεί θετικής φοράς, τότε το διάνυσµ Α έχει τη θετική φορά, ενώ, ν Ο x, τότε το Α έχει την ρνητική φορά. x O=A B x Σχήµ 4. Το διάνυσµ ΑΑ µε κοινή ρχή κι τέλος, λέγετι µηδενικό διάνυσµ, κι συµβολίζετι µε το 0. Επειδή πό το σηµείο Α δεν ορίζετι µονδική ευθεί, λλά διέρχοντι άπειρες ευθείες, µπορο ύµε συµβτικά ν θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµ έχει οποιδήποτε διεύθυνση, ενώ υστηρά πό µθηµτικής πλευράς το µηδενικό διάνυσµ στερείτι διεύθυνσης. Επιπλέον το 0 έχει µέτρο 0. Από τ προηγούµεν, είνι φνερό ότι σε κάθε διάνυσµ Α 0 ντιστοιχίζουµε το µέτρο, τη διεύθυνση κι τη φορά του, τ οποί λέµε στοιχεί του. Αντίστροφ, µί διεύθυνση, µί φορά πάνω σε υτήν, ένς µη ρνητικός ριθµός κι έν σηµείο Α του χώρου, ορίζουν έν κριβώς διάνυσµ Α µε τ πρπάνω στοιχεί. Είνι κόµ φνερό ότι υπάρχουν δινύσµτ µε το ίδιο µέτρο, την ίδι διεύθυνση κι φορά, λλά µε διφορετική ρχή (σηµείο εφρµογής). Τέτοι δινύσµτ, ότν εκπροσωπούν δυνάµεις στη Φυσική, σε πολλές περιπτώσεις επιφέρουν το ίδιο ποτέλεσµ νεξάρτητ πό το σηµείο εφρ- µογής τους. Είνι λοιπόν λογικό ν θεωρήσουµε τέτοι δινύσµτ ως ισοδύνµ κι ν τ ποδεσµεύσουµε πό το σηµείο εφρµογής τους. Έτσι ορίζουµε στο σύνολο των δινυσµάτων του χώρου µί σχέση ισότητς ως εξής:

4 78 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Ορισµός ύο δινύσµτ Α κι Γ είνι ίσ, ν, κι µόνον ν, έχουν την ίδι διεύθυνση κι φορά κι ίσ µέτρ. Η σχέση της ισότητς στο σύνολο των δινυσµάτων του χώρου είνι σχέ- ισοδυνµίς. Εποµένως το σύνολο των δινυσµάτων του χώρου ως προς ση τη σχέση της ισότητς χωρίζετι σε κλάσεις ισοδυνµίς που ποτελούντι πό ίσ δινύσµτ. Κάθε κλάση ισοδυνµίς λέγετι ελεύθερο διάνυσµ κι εκπροσωπείτι πό οποιοδήποτε πό τ ίσ δινύσµτ που περιέχει. Το σύνολο των ελεύθερων δινυσµάτων του χώρου συµβολίζετι µε το. Στο σύνολο είνι δυντόν ν ορίσουµε πράξεις έτσι ώστε υτό ν ποκτήσει µί λγεβρική δοµή. Έτσι ορίζουµε µί εσωτερική πράξη, την πρόσθεση, ως εξής: + :,(, β) + β, (1) όπου + β = ΑΓ, ν ε ίνι = Α κι β = Γ. Με όσ ξέρουµε πό την Ευκλείδει Γεωµετρί, µπορούµε εύκολ ν ποδείξουµε ότι το ποτέλεσµ της πρόσθεσης είνι νεξάρτητο πό την εκλογή των ντιπροσώπων των ελεύθερων δινυσµάτων κι β, οπότε η πράξη της πρόσθεσης στο σύνολο είνι κλά ορισµένη. Α +β β Γ Οι βσικές ιδιότητες που ικνοποιεί η πράξη της πρόσθεσης πορρέουν εύκολ πό τον ορισµό κι είνι οι εξής: Σχήµ 4.4 (i) + β = β+, γι κάθε β,, (ντιµετθετική ιδιότητ), (ii) ( + β)+γ = +(β + γ), γι κάθε, β, γ, (προσετιριστική ιδιότητ), (iii) +0=, γι κάθε, (ύπρξη ουδέτερου στοιχείου), (iv) γι κάθε υπάρχει x, που συµβολίζετι µε, τέτοιο ώ στε : +x=0, (ύπρξη ντίθετου στοιχείου του ). Τ δινύσµτ κι - έχουν ίσ µέτρ κι ίδι διεύθυνση, λ λά ντίθετη φορά. Αν ένς ντιπρόσωπος του είνι Α, τότε ένς ντιπρό- σωπος του - είνι το διάνυσµ Α, φού Α + Α = ΑΑ =0. Το σύνολο εφοδισµένο µ ε την πράξη τη ς πρόσθεσης γίνετι βελινή οµάδ.

5 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 79 Το σύνολο εφοδιάζετι κι µε µί εξωτερική πράξη µε σύνολο συντελεστών το, η οποί ονοµάζετι βθµωτός πολλπλσισµός, ως εξής: :, ( λ, ) λ ή λ, () όπου το ελεύθερο διάνυσµ λ ή πλά λ ορίζετι πό τ στοιχεί : 1. έχει τη διεύθυνση του,. έχει ίδι (ντίστ. ντίθ ετη) φορά µε το, ν λ > 0, (ντίστ. λ < 0 ),. έχει µέτρο λ = λ. λ, λ<0 λ, λ>0 Σχήµ 4.5 Με βάση τους ορισµούς των πράξεων (1) κι () κι υτά που ξέρουµε πό την Ευκλείδει Γεωµετρί, ποδεικνύοντι οι κόλουθες ιδιότητες: (v) ( λ + µ ) = λ + µ, γι κάθε λ, µ κι, επιµεριστική ιδιότητ ως προς τη βθµωτή πρόσθεση, (vi) λ( + β) = λ+ λβ, γι κάθε λ κ ι β,, επιµεριστική ιδιότητ ως προς τη δινυσµτική πρόσθεση, (vii) ( λµ ) = λ ( µ ), γι κάθε λ, µ κι, (viii) 1 =, γι κάθε. Έτσι µέχρι τώρ έχουµε εφοδιάσει το σύνολο µε την εσωτερική πράτης πρόσθεσης κι την εξωτερική του βθµωτού πολλπλσισµού που ξη ικνοποιούν τις ιδιότητες (i)-(viii). Λέµε ότι το σύνολο είνι εφοδισµέ- νο µε τη δοµή δινυσµτικού χώρου ή ότι ο είνι ένς δινυσµτικός χώρος πάνω στο σώµ των πργµτικών ρ ιθµών. Στ επόµεν θ δούµε ότι είνι δυντόν ν εφοδιάσουµε µε τη δοµή δινυσµτικού χώρου κι άλλ σύνολ, όπως το σύνολο των διτετγµένων τριάδων = ( xyz,, ): xyz,,, { } κτά φυσικό τρόπο µέσω µις µφιµονοσήµντης πεικόνισης που θ ορίσουµε µετξύ των συνόλων κι. ινύσµτ που έχουν την ίδι διεύθυνση λέγοντι συγγρµµικά.

6 80 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Αν βείνι, δύο συγγρµµικά δινύσµτ µε β 0, τότε υπάρχει λ τέτοιος ώστε ν ισχύει = λβ. Αντίστροφ, πό τον ορισµό του βθµωτού πολλπλσισµού κι την ισότητ = λβ, β 0, έπετι, ότι τ δινύσµτ κι β έχουν τη ν ίδι διεύθυνση, δηλδή είνι συγγρµµικά. ύο δινύσµτ,β που είνι συγγρµµικά κι έχουν: την ίδι φορά λέγοντι οµόρροπ κι γράφουµε β, ντίθετη φορά λέγοντι ντίρροπ κι γράφουµε β. Επιπλέον, σύµφων µε τον ορισµό του βθµωτού πολλπλσισµού, ισχύου ν κι τ εξής: λ = 0 κι λ 0 = 0 λ = 0 κι 0 λ = 0. Η γωνί δύο δινυσµάτων Ορισµός 4.1. Θεωρούµε τ µη µηδενικά δινύσµτ, β του. Με ρχή τυχόν σηµείο Ο του χώρου γράφουµε ηµιευθείες Ο x κι Ο y, έτσι ώστε Οx κι Οy β. Ορίζουµε ως γωνί β, των δινυ σµάτων, β, την κυρτή γωνί των ηµ ιευθειών ( ) Ο x κι Ο y, δηλδή έχουµε: ( β, ): = x Οy Σύµφων µε τον ορισµό έχουµε: y (,β ) = ( β, ) β 0 (,β ) π (,β ) = 0 Ο β (,β ) = π β. Σχήµ 4.6 x Πρτηρήσεις () Στον ορισµό της γωνίς δύο δινυσµάτων δεν υπάρχει η έννοι της φοράς διγρφής, η οποί υπάρχει στον ορισµό της γωνίς στο επίπεδο κι συγκεκριµέν στον τριγωνοµετρικό κύκλο, όπου έχει οριστεί ένς φυσικός προσντολισµός (θετική κι ρνητική φορά διγρφής). Εκεί γίνετι σιωπηρά η υπόθεση ότι έχουµε επιλέξει ν πρτηρούµε τη φορά διγρφής µις γωνίς πάντοτε ευρισκόµε- Ο Σχήµ 4.7 β

7 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 81 νοι σε έν συγκεκριµένο ηµίχωρο πό τους δύο που ορίζει έν επίπεδο στο χώρο. (β) Στη περίπτωση που έχουµε έν επίπεδο στο χώρο (σχήµ 4.7) ο προσντολισµός της γωνίς (,β) εξρτάτι πό τον ηµίχωρο στον οποίο βρίσκετι υτός που πρτηρεί την περιστροφή του δινύσµτος γύρω πό το Ο, γι ν συµπέσει µε το β, διγράφοντς τη γωνί τους. Έτσι ο ορισµός της γωνίς δύο δινυσµάτων στο χώρο θ έπρεπε ν συνοδεύετι µε προσδιορισµό του ηµίχωρου που βρίσκετι υτός που πρτηρεί τη φορά διγρφής της γωνίς. εξιόστροφο κι ριστερόστροφο σύστηµ Ορισµός 4.1. Θεωρούµε δινύσµτ ijk,, µε κοινή ρχή Ο. () Η διτετγµένη τριάδ (i, j,k) ορίζει δεξιόστροφο σύστηµ, ν η φορά του δινύσµτος k συµπίπτει µε τη φορά κίνησης ενός δεξιόστροφου κοχλί (βίδς), ότν υτός στρέφετι κτά τη φορά που πρέπει ν στρφεί το διάνυσµ i γι ν συµπέσει µε το διάνυσµ j, διγράφοντς την γωνί τους ( i, j). ) (β) Αν η διτετγµένη τριάδ (i, j,k δεν ορίζει δεξιόστροφο σύστηµ, τότε λέµε ότι ορίζει ριστερόστροφο σύστηµ. Η έννοι του δεξιόστροφου συστήµτος µπορεί ν γενικευθεί ως εξής: Το σύστηµ (i, j,k) είνι δεξιόστροφο (ντίστοιχ, ριστερόστροφο), ν η γωνί (i, j) είνι θετική (ντίστοιχ, ρνητική) ως προς πρτηρητή που βρίσκετι στον ηµίχωρο που βρίσκετι το διάνυσµ k, ν υτό έχει ρχή Ο. Πρτήρηση. Αν το σύστηµ ( i, j,k ) είνι δεξιόστροφο, τότε κι τ συστή- µτ ( j,k,i ) κι ( k, i, j ) είνι δεξιόστροφ, ενώ τ συστήµτ( i,k, j)(, k, j,i ) κι ( j,i,k ) είνι ριστερόστροφ. 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος () Η έννοι του άξον Ορισµός 4..1 Μί προσντολισµένη ευθεί x Ox, µε ρχή Ο, στην οποί έχουµε ορίσει έν σηµείο Ι της θετικής ηµιευθείς Ο x, έτσι ώστε το µέτρο του δινύσµτος ΟΙ =i ν ισούτι µε τη µονάδ µετρήσεως µηκών, λέγετι άξονς. Το διάνυσµ ΟΙ είνι η δινυσµτική µονάδ ή το µονδιίο διάνυσµ της διεύθυνσης που ορίζει ο άξονς x Ox.

8 8 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός O Ι x x Σε κάθε σηµείο Α του άξον Σχήµ 4. 8 x Ox ντιστοιχίζουµε ένν πργµτικό ριθµό x Α, που λέγετι τετµηµένη του σηµείου Α, ως εξής: Επειδή τ δινύσµτ ΟΑ κι ΟΙ =i είνι συγγρµµικά, θ υπάρχει µονδικός πργµτικός ριθµός x Α τέτοιος ώστε ΟΑ = i. Τον πργµτικό ριθµό x Α ονοµάζουµε τετµηµένη του σηµείου Α. Είνι φνερό ότι τ σηµεί του θετικού ηµιάξον Ο x έχουν µη ρνητική τετµηµένη, ενώ τ σηµεί του ρνητικού ηµιάξον έχουν µη θετική τετµηµένη. Η τετµηµένη της ρχής Ο είνι ο ριθµός 0. Επίσης δεχόµστε ξιωµτικά ότι γι κάθε πργµτικό ριθµό x Α υπάρχει σηµείο του άξον x Ox, του οποίου η τετµηµένη είνι x Α. Έτσι η πεικόνιση Ο Α Α =, φ1: x x, φ1( ): xα όπου x Α η τετµηµένη του σηµείου Α, είνι µφιµονοσήµντη κι επί του. Σε κάθε διάνυσµ Α µε φορέ τον άξον x Α x Ox ντιστοιχίζουµε κριβώς ένν πργµτικό ριθµό, που συµβολίζετι µε Α κι λέγετι λγεβρική τιµή του δινύσµτος Α, µέσω της ισότητς Α = Α i. Σχετικά µε την λγεβρική τιµή δινύσµτος πάνω σε άξον, ισχύει το θεώρηµ που κολουθεί. Θεώρηµ 4..1 (i) Γι κάθε σηµείο του άξον x Ox, η λγεβρική τιµή του δινύσµτος ΟΑ ισούτι µε την τετµηµένη x Α του σηµείου Α, δηλδή (ii) Γι κάθε διάνυσµ Α ΟΑ = x Α µε φορέ τον άξον x Ox η λγεβρική τιµή του ισούτι µε τη διφορά της τετµηµένης x του τέλους του µείον την τετµηµένη x Α της ρχής του Α, είνι δηλδή Α = x x. Απόδειξη (i) Σύµφων µε τον ορισµό της τετµηµένης του σηµείου Α θ Α

9 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 8 έχουµε ΟΑ = xα i =ΟΑ i, οπότε ( x Α ) ΟΑ i=0 ΟΑ = x Α. Α Ο ΟΑ i i = i, οπότε Α = x -x. (ii) Έχουµε = = x x ( x x ) Α Α (β) Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος στο επίπεδο Σε κάθε σηµείο ενός επιπέδου Π ντιστοιχίζουµε έν διτετγµένο ζεύγος πργµτικών ριθµών (, ), όπου = ( xy, ): xy,, ως εξής: x y { } Ορισµός 4.. Έν ορθοκνονικό ή κρτεσινό σύστηµ συντετγ- µένων Ο xy ή ( Ο,, ij στο επίπεδο Π, είνι δύο άξονες x x κι yy τέτοιοι ) ώστε: έχουν κοινή ρχή Ο, είνι µετξύ τους κάθετοι κι έχουν ντίστοιχ µονδιί δινύσµτ i κι j ισοµήκη. Α Έστω Ρ τυχόν σηµείο του επιπέδου Π. Προβάλλουµε το σηµείο Ρ στους άξονες x x κι yy. Έστω Α, οι προβολές του Ρ πάνω στον άξον x x κι yy, ντίστοιχ. Αν είνι ΟΑ = xi κι Ο = y j, τότε τους ριθ- µούς x = ΟΑ κι y =Ο τους ονοµάζουµε συντετγµένες του σηµείου Ρ. Ο ριθµός x είνι η τετµηµένη του σηµείου Ρ, ενώ ο ριθµός y είνι η τετγµένη του Ρ. Γράφουµε Ρ ( x, y). Επιπλέον, η πεικόνιση x y j i Σχήµ 4.9 Ρ Α x φ ( x y) φ : Π, Ρ ( Ρ ): =,, (1) όπου x κι y είνι οι συντετγµένες του σηµείου Ρ ως προς το ορθοκνονικό σύστηµ νφοράς ( Ο,, ij) είνι µφιµονοσήµντη κι επί του. Στο τυχόν σηµείο Ρ του επιπέδου ντιστοιχίζουµε το διάνυσµ θέσης του ΟΡ. Σύµφων µε τ πρπάνω, θ έχουµε ΟΡ = ΟΑ + Ο = xi+ yj. ()

10 84 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Τους ριθµούς x κι y τους ονοµάζουµε συντετγµένες του δινύ- σµτος ΟΡ. Ο ριθµός x είνι η τετµηµένη, ενώ ο ριθµός y είνι η τετγµένη του ΟΡ. Γράφουµε ΟΡ = ( x, y), δηλδή οι συντετγµένες του δινύσµτος θέσης ΟΡ του σηµείου Ρ τυτίζοντι µε τις συντετγµένες του σηµείου ως προς το ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων Ο,, ij. Ρ ( ) Η σχέση () εκφράζει κτά µονδικό τρόπο το διάνυσµ ΟΡ ως γρµ- µικό συνδυσµό των δινυσµάτων i κι j. Πράγµτι, ν υποθέσουµε ότι ισχύει κι η ισότητ ΟΡ = x i+ y j () ) x, y x, y, τότε πό την ισότητ xi+ yj= x i+ y j λµβάνουµε µε ( ) ( y y x x i = j, ν x x ή j=, ν y y x x y i, y δηλδή τ δινύσµτ i κι j είνι συγγρµµικά, (άτοπο). Ονοµάζουµε το σύνολο των ελεύθερων δινυσµάτων του επιπέδου Π Έστω τυχόν διάνυσµ του επιπέδου µε x, y x, y. Τότε Α Α ( Α Α ) κι ( ) = x + y ( x + y ) = ( x x ) + ( y y ) Α = Ο - ΟΑ i j i j i j, οπότε στο διάνυσµ κι γράφουµε Α Α Α Α Α ντιστοιχίζουµε τις συντετγµένες x x, y y ( x x, y y ) Α =. Α Α Α Α Με τ πρπάνω έχουµε ποδείξει το θεώρηµ που κολουθεί: Θεώρηµ 4.. Έστω επίπεδο Π κι ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων ( Ο,, ij) του επιπέδου Π. Τότε ισχύουν: () Σε κάθε σηµείο Ρ του επιπέδου Π ντιστοιχίζετι µονδικό ζεύγος πργµτικών ριθµών x (τετµηµένη) κι y (τετγµένη), ώστε ν ισχύει: ΟΡ = xi+ yj. (β) Το διάνυσµ Α του επιπέδου Π µε Α ( x, y ) κι ( x, y ) γράφετι ως γρµµικός συνδυσµός των µονδιίων δινυσµάτων i κι j ως οπότε έχει συντετγµένες x δηλδή είνι ( x x ) + ( y y ) Α = i j, Α Α Α Α x Α (τετµηµένη) κι y y ( x x, y y ) Α =. Α Α Α (τετγµένη),

11 4. Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος 85 Ερχόµστε τώρ στις πράξεις που έχουµε ορίσει στο σύνολο των ελεύθερων δινυσµάτων του χώρου περιοριζόµενοι µόνο σε δινύσµτ του επιπέδου Π, δηλδή σε ελεύθερ δινύσµτ του συνόλου. = x, y, β = x, y κι λ, τότε Αν θεωρήσουµε τ δινύσµτ ( ) ( ) 1 1 είνι εύκολο ν διπιστώσουµε γεωµετρικά κι λγεβρικά ότι το διάνυσµ + β έχει συντετγµένες( x 1 + x, y 1 + y ), ενώ το διάνυσµ λ έχει συντε- τγµένες ( λ x, 1 λ y 1). Πράγµτι, έχουµε + = ( x1 + y1 ) + ( x + y ) = ( x1+ x) + ( y1+ y) λ = λ( x i+ y j) = λxi+ λy j, β i j i j i j οπότε είνι φυσικό ν ορίσουµε ντίστοιχες πράξεις στο σύνολο των ισοτήτων: ( x1, y1) ( x, y) : ( x1 x, y1 y) λ ( x, y ): = ( λx, λy ). + = + +, µέσω Αποδεικνύετι ότι κι το σύνολο εφοδισµένο µε τις δύο υτές πράξεις είνι δινυσµτικός χώρος πάνω στο. (γ) Συντετγµένες σηµείου κι δινύσµτος στο χώρο. Στη συνέχει θ δούµε πως σε κάθε σηµείο του χώρου λλά κι σε κάθε διάνυσµ του χώρου ντιστοιχίζουµε την διτετγµένη τριάδ των συντετγµένων του. Γι το σκοπό υτό θεωρούµε πρώτ έν κτάλληλο σύστηµ νφοράς. Ορισµός 4.. Κρτεσινό ή ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων (νφοράς) xyz Ο, i, j,k στο χώρο είνι τρεις άξονες x xyy, κι zz Ο ή ( ) τέτοιοι ώστε: έχουν κοινή ρχή Ο, νά δύο είνι µετξύ τους κάθετοι, έχουν ντίστοιχ µονδιί δινύσµτ i, j κι k ισοµήκη κι η τριάδ (i, j,k) των µονδιίων δινυσµάτων ορίζει δεξιόστροφο σύστηµ. Έστω Ρ τυχόν σηµείο του χώρου, τον οποίο θεωρούµε εφοδισµένο µε έν ορθοκνονικό σύστηµ νφοράς Ο, i, j,k. Έστω Q η ορθή προβολή ( ) του σηµείου Ρ στο επίπεδο xο y κι Α,, Γ οι ορθές προβολές του Q πάνω στους άξονες x x, yy, zz, ντίστοιχ. Αν είνι ΟΑ = xi, Ο = yj κι ΟΓ = zk, τότε

12 86 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ΟΡ = ΟΑ + Ο + ΟΓ = xi+ yj+ zk Στο σηµείο Ρ ντιστοιχίζουµε τη z διτετγµένη τριάδ ( x, yz, ) των συντετγµένων του, οι οποίες κτά σει- Γ Ρ ρά ονοµάζοντι τετµηµένη, τετγ- µένη κι κτηγµένη. Γράφουµε το k σηµείο Ρ ως Ρ ( x, yz, ). O j Επίσης, ντιστοιχίζουµε στο διάνυσµ θέσης του σηµείου Ρ την ίδι y i τριάδ συντετγµένων κι γράφουµε ΟΡ = ( x, yz, ). A Q Στη συνέχει, γι το τυχόν διάνυσµ, θεωρούµε έν διάνυσµ Σχήµ x ίσο του µε ρχή Ο, έστω το ΟΡ =. Αν είνι ΟΡ = ( x, yz,, τότε ντιστοιχίζουµε στο τις συντετγµένες του ) δινύσµτος ΟΡ κι έχουµε = ΟΡ = xi+ yj+ zk x, y, z. ( ) Επιπλέον, χρησιµοποιώντς το Πυθγόρειο θεώρηµ, λµβάνουµε = ΟΡ = ΟQ + QP = x + y + z. Επίσης, γι το διάνυσµ Α µε άκρ ( x, y, z ) έχουµε οπότε θ είνι Α Α Α. Α κι ( x, y, z ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) Α Α Α, Α = Ο - ΟΑ = i+ j+ k, ( x x ) ( y y ) ( z z ) AB = + +. Α Α Α Εποµένως, όπως κι στην περίπτωση του θεώρηµ που κολουθεί:, τότε το διά- Θεώρηµ 4.. Αν είνι Α ( xα, yα, zα) κι ( x, y, z) νυσµ Α έχει συντετγµένες ( x xα, y yα, z zα) Α = ( x x, y y, z z Α ). Επιπλέον ισχύει:, έχουµε ποδείξει το, δηλδή είνι Α Α ( x x ) ( y y ) ( z z ) AB = + +. Α Α Α

13 4. Το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 87 Εργζόµενοι όπως κι στη περίπτωση του θεώρηµ που κολουθεί: Θεώρηµ 4..4 Αν = ( x, y, z ), = ( x, y, z ) είνι: 1 1 1, εύκολ ποδεικνύουµε το β κι λ, τότε θ ( x1 x, y1 y, z1 z) = ( x, y, z ). + β = + + +, λ λ λ λ (δ) ιίρεση ευθυγράµµου τµήµτος σε λόγο λ Θεωρούµε ευθύγρµµο τµήµ 1 κι ( x, y, z ) Ρ Ρ µε διφορετικά άκρ Ρ ( x, y, z ) Ρ κι σηµείο Ρ τέτοιο ώστε ΡΡ 1 = λρρ. Τότε λέµε ότι το σηµείο Ρ διιρεί το τµήµ ΡΡ 1 σε λόγο λ. Κτ ρχήν πρτηρούµε ότι πρέπει ν είνι λ 1, φού, ν ήτν λ = 1, θ είχµε ΡΡ 1 = ΡΡ 1 + ΡΡ = 0, (άτοπο). Έστω r = ( x, yz, ) το διάνυσµ θέσης του σηµείου Ρ κι r 1 = ( x1, y1, z 1), r = ( x, y, z ) τ δινύσµτ θέσης των σηµείων κι 1 Ρ, ντίστοιχ. Τότε έχουµε φού είνι λ 1. ΡΡ ΡΡ λ ( ) = λ 1 Ρ r1 + λr r r1 = r r r =, 1+ λ 4. Το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Ορισµός 4..1 Στο σύνολο ορίζουµε µί πεικόνιση που ονοµάζετι εσωτερικό γινόµενο κι είνι της µορφής :,(,b) b, όπου ο πργµτικός ριθµός b ορίζετι πό τη σχέση bcos ( b, ), ν b, 0 b =. 0, ν = 0 ή b = 0 Άµεση συνέπει του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου είνι οι κόλουθες ιδιότητες: (i) b = b, γι κάθε b,, (ii) ( λ) b = ( λb) = λ( b), γι κάθε λ,, b,

14 88 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός (iii) (iv) ( ) b = 0 = 0 ή b = 0 ή π b, = (δηλδή είνι b), := =. (v) Αν, τότε (vi),b 0 cos(,b) = b b. i = j = k = 1, i j= 0, j k = 0, k i = 0. (vii) Αν θεωρήσουµε τ µη µηδενικά δινύσµτ = ( 1,, ) = ( β, β, β ) 1, b ως προς το ορθοκνονικό σύστηµ νφοράς Ο xyz κι γράψουµε τους ντιπροσώπους τους ΟΑ = κι Ο = b, τότε εφρµόζοντς το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΟΑ λµβάνουµε: Α = ΟΑ + Ο ΟΑ Ο cos( b, ) ( β1 1) ( β ) ( β ) ( b) + + = β + β + β 1 1 b = β + β + β. 1 1 Έτσι έχουµε κτλήξει σε µί λγεβρική έκφρση του εσωτερικού γινο- µένου δύο δινυσµάτων, δηλδή στον προσδιορισµό του µέσω των συντετγµένων των δύο δινυσµάτων ως εξής: b = β + β + β. 1 1 Χρησιµοποιώντς την λγεβρική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου, εύκολ ποδεικνύουµε, γι κάθε, b,c, ότι: (viii) ( b+c) = b+ c, (επιµεριστική ιδιότητ). (ix) Θεωρούµε δύο µη µηδενικά δινύσµτ, b κι ντιπροσώπους υτών ΟΑ = κι Ο = b. Ανλύουµε το διάνυσµ b σε δύο συνιστώσες ΟΚ κι ΟΛ, δηλδή έχουµε b = ΟΚ + ΟΛ. (1) Ονοµάζουµε προβολή του δινύσµτος b πάνω στο διάνυσµ, το διάνυσµ ΟΚ κι γράφουµε pr : = ΟΚ. b Από τη σχέση (1) λµβάνουµε b = ΟΚ + ΟΛ b = pr b, φού είνι ΟΛ. b Λ Ο Κ Σχήµ 4.11

15 4. Το εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 89 Άρ έχουµε ποδείξει την ιδιότητ b = pr b. () Μπορούµε κόµη ν εκφράσουµε το διάνυσµ των δινυσµάτων κι. Επειδή είνι () λµβάνουµε Εφρµογές pr : = ΟΚ b σε συνάρτηση b pr b : = ΟΚ = λ, λ, µέσω της = λ = λ λ = b b b, οπότε έχουµε: pr = b b b κι ΟΛ = b. 1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΓ µε Γ =, ΓΑ = β, Α = γ, ν ποδείξετε ότι: = β + γ βγ cosα (Νόµος των συνηµιτόνων). Απόδειξη. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΓ κι ορίζουµε τ δινύσµτ Γ =, ΑΓ = b, Α = c. Τότε έχουµε Γ = =, ΑΓ = b = β κι Α = c = γ. Επιπλέον ισχύει ότι: +c=b =b-c, οπότε έχουµε = ( b-c) = b + c b c ( ) = b + c b c cos( b, c) = β + γ βγ cosα. ΑΓ Στην περίπτωση που το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ˆ Α= 90, τότε κτλή- Σχήµ 4.1 γουµε στη σχέση: = β + γ (Πυθγόρειο θεώρηµ).. Σε κάθε τρίγωνο ΑΓ µε Γ =, ΓΑ = β, Α = γ, ν ποδείξετε ότι (i) (ii) β + γ = µ +, ( πρώτο θεώρηµ διµέσων ), β γ = Μ, (δεύτερο θεώρηµ διµέσων), όπου µ είνι η διάµεσος ΑΜ του τριγώνου προβολή της πάνω στην Γ. c Α b ΑΓ κι Μ είνι η Γ

16 90 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Απόδειξη. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΓ κι ορίζουµε τ δινύσµτ Γ =, ΑΓ = b, Α = c κι ΑΜ =µ. Τότε είνι Γ = =, ΑΓ = b = β, Α = c =γ κι ΑΜ = µ = µ. Επίσης, ισχύουν οι ισότητες =b-c, 1 b = µ + κι έχουµε (i) (ii) 1 c = µ, οπότε θ + = b c µ µ όπου 1 c b + = µ + Γ Μ 1 β + γ = µ +. Σχήµ 4.1 = b c µ µ b c = ( µ ) ( pr ) β γ = µ =± Μ Α β γ = Μ, είνι η προβολή της κορυφής Α πάνω στην Γ. 4.4 Εξωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Ορισµός Στο σύνολο θεωρούµε µί εσωτερική πράξη που ονοµάζετι εξωτερικό γινόµενο κι είνι της µορφής :, (,b) b, όπου το διάνυσµ bέχει: bsin( b, ), ν b, 0, µέτρο b = 0, ν =0ή b= 0, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των κι b, φορά τέτοι ώστε το σύστηµ των δινυσµάτων,b,c ν { } είνι δεξιόστροφο. Το διάνυσµ b ονοµάζετι εξωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων κι b. Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου δύο δινυσµάτων, εύκολ προκύπτει η γεωµετρική του σηµσί, φού έχουµε (σχήµ 4.15 ) Ε ( b, ): = ( ΟΑ ) = ( Α )( ΟΖ ) = bsin( b, ) = b, δηλδή έχουµε ποδείξει ότι :

17 4.4 Το εξωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 91 b b Α O Ζ b B Σχήµ Σχήµ Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου δύο µη µηδενικών δινυσµάτων,b ισούτι µε το εµβδόν Ε( b, ) του πρλληλογράµµου που ορίζετι πό τ δινύσµτ υτά, δηλδή Ε (, b) = b Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου δύο δινυσµάτων, εύκολ προκύπτουν οι κόλουθες ιδιότητες: b b, γι κάθε,b, (i) = ( ) (ii) ( λ) b = ( λb) = λ( b), γι κάθε,b, λ, (iii) b = 0 = 0 ή b =0 ή b, (iv) i j= k, j k = i, k i = j, (v) ( b+ c) = b+ c, γι κάθε,b,c (επιµεριστική ιδιότητ). Η λγεβρική έκφρση του εξωτερικού γινοµένου Η λγεβρική έκφρση του εξωτερικού γινοµένου των δινυσµάτων = ( 1,, ) κι b = ( β 1, β, β ) δίνετι µέσω µις συµβολικής ορίζουσς ως εξής: i j k b =. 1 β β β 1 Πράγµτι, έχουµε

18 9 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ( 1 ) ( β1 β β ) ( ) ( ) ( b = i+ j+ k i+ j+ k = β β i+ β β j + β β)k b = i j k 1 β β β 1 Πράδειγµ 1. Ν ποδείξετε την τυτότητ: Απόδειξη. ( ) b = b ( b). ( ) ( ) b = b sin,b = b b cos (,b) = b ( b) Πράδειγµ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΓ µε = Γ, β = ΓΑ, γ = Α, ν ποδείξετε ότι β γ = =, (νόµος των ηµιτόνων). sin Α sin sin Γ.. Απόδειξη. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΓ κι θέτουµε Γ =, ΓΑ = b, Α = c, οπότε θ έχουµε ( b,c), ( c,), (,b ) Α= π = π Γ= π κι + b + c = 0. Εποµένως µπορούµε ν έχουµε ( ) ( ) + b+ c = 0 b = b c= c b + b+ c = 0 ( ) ( ) ( ) bsin b, = bcsin b,c = csin c, βsin Γ = βγ sin Α = γsin c Α Σχήµ 4.16 b β γ = = sin Α sin sin Γ. Γ Πράδειγµ. Αν,b 0 κι υπάρχει λ τέτοιο ώστε + λb = e, όπου e µονδιίο διάνυσµ, ν ποδείξετε ότι το εµβδόν του πρλληλογράµµου που ορίζετι πό τ,b, είνι µικρότερο ή ίσο µε b.

19 4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων 9 Απόδειξη (1 ος τρόπος). Αρκεί ν ποδείξουµε ότι: b b. Πράγµτι, έχουµε ( λ ) λ( ) sin ( ) sin ( e,b) 1 b = e b b = e b b b = e b = e b e,b b, φού είνι = 1 e κι. ( ος τρόπος). Από την ισότητ + λb = e προκύπτει ότι: ( λ ) = ( ) ( ) λ λ + b e b + b + 1 = 0, γι κάποιο λ. Εποµένως θ είνι = 4 ( ) ( 1) b b 0 b cos (,b) b + b 0 ( ) ( ) b sin,b b b sin,b b b b. 4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων Υπάρχουν δύο τριπλά γινόµεν δινυσµάτων. Το πρώτο είνι το βθ- µωτό τριπλό ή µικτό γινόµενο κι το δεύτερο είνι το δινυσµτικό τριπλό ή δις εξωτερικό γινόµενο. () Το µικτό γινόµενο τριών δινυσµάτων Ορισµός Αν,b,c, τότε ο πργµτικός ριθµός ( b) c ονο- µάζετι µικτό γινόµενο ή βθµωτό τριπλό γινόµενο των δινυσµάτων,b, c κι συµβολίζετι µε ( ) ή bc. Έχουµε δηλδή,b,c ( ) (,b,c):= ( b) c. Σχετικά µε τη γεωµετρική σηµσί του µικτού γινοµένου, θ ποδείξου- µε στη συνέχει ότι η πόλυτη τιµή του µικτού γινοµένου τριών µη συνεπίπεδων δινυσµάτων ισούτι µε τον όγκο του πρλληλεπιπέδου που ορίζετι πό τ τρί δινύσµτ. Θεώρηµ () Αν,b,c είνι µη συνεπίπεδ δινύσµτ του, τότε η πόλυτη τιµή του µικτού γινοµένου των,b,c ισούτι µε τον όγκο του πρλληλεπιπέδου που έχει τρεις κµές µε κοινή ρχή τ δινύσµτ,b κι c. Έχουµε δηλδή (β) Επιπλέον ισχύει: V(,b,c) = (,b,c ).,b, c συνεπίπεδ (,b,c ) = 0.

20 94 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός Απόδειξη () Έχουµε V,b,c = Εµβδόν.βάσης ύψος = bυ ( ) ( ) ( ) = b c b c = (,b,c) Στη συνέχει δικρίνουµε τις περιπτώσεις: cos(, ). Αν το σύστηµ {,b,c } είνι δεξιόστροφο, τότε ( ) π b, c 0,, φού το c βρίσκετι στον ίδιο ηµίχωρο µε το b, κι ισχύει: V,b,c =,b,c. ( ) ( ) Αν το σύστηµ {,b,c } είνι ριστερόστροφο, τότε τ δινύσµτ b βρίσκοντι σε διφορετικούς ηµίχωρους, οπότε π ( b, c ), π κι ισχύει: V(,b,c) = (,b,c ). (β), b,c συνεπίπεδ b,c κάθετ Ο b (,b,c ) = 0. Σχήµ c b c κι Αλγεβρική έκφρση του µικτού γινοµένου Αν είνι = ( 1,, ), b = ( β1, β, β) κι c = ( γ1, γ, γ), τότε b = ( β β ) i+ ( β 1 β 1 ) j+ ( β 1 β 1) k, (,b,c ) = ( ) ( ) ( ) οπότε θ έχουµε: β β γ + β β γ + β β γ, (,b,c) = 1 β β β 1 γ γ γ 1 Από την λγεβρική µορφή του µικτού γινοµένου, εύκολ προκύπτουν οι κόλουθες ιδιότητες: (i) ( ) = (, ) = (, ),b,c b,c c,b, φού η µετάβση πό το έν µικτό γινόµενο στο άλλο γίνετι µε δύο ενλλγές θέσης µετξύ των δινυσµάτων, b κι. c

21 4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων 95 (ii) (,b,c) = ( b,,c) = (,c, b) = ( c, b ),, φού τ τρί τελευτί µικτά γινόµεν προκύπτουν πό το πρώτο µε µί µόνο ενλλγή θέσης. b c = b c. (iii) ( ) ( ) Πράγµτι, έχουµε b c = b c = b,c, =, b,c. ( ) ( ) ( ) ( ) (β) Τ δις εξωτερικά γινόµεν δινυσµάτων Ορισµός 4.5. Αν,b,c, τότε κθέν πό τ γινόµεν ( b) c, ( b c ) ονοµάζετι δις εξωτερικό ή δινυσµτικό τριπλό γινόµενο των δινυσµάτων, κι c. b Το θεώρηµ που κολουθεί µς δίνει µί έκφρση των πρπάνω δις εξωτερικών γινοµένων ως γρµµικών συνδυσµών δύο εκ των τριών δινυσµάτων,b, c κι επιπλέον πντά στο εύλογο ερώτηµ σχετικά µε το ν, τ δύο πρπάνω δις εξωτερικά γινόµεν, είνι ίσ. Θεώρηµ 4.5. Αν,b κι c είνι δινύσµτ του, τότε: (i) ( b) c = ( c) b ( b c), (ii) ( b c) = ( c) b ( b) c. Απόδειξη. (i) Πρώτ σηµειώνουµε, ότι το διάνυσµ ( b) c είνι κάθετο προς τ δινύσµτ b κι c, οπότε θ είνι συνεπίπεδο προς τ, b κι συνεπώς µπορεί ν εκφρστεί ως γρµµικός συνδυσµός των κι b. Εποµένως υπάρχουν λ, µ τέτοι, ώστε ( b) c = λ + µ b. Αν = ( 1,, ) κι b = ( β 1, β, β ), τότε µε πευθείς υπολογισµό λ = µ = c. Πράγµτι, έχουµε βρίσκουµε ότι: ( b c ) κι ( ) i j k ( b) c 1 = β β β β β β γ γ γ 1 ή µετά πό ρκετές πράξεις b c = γ + γ + γ b βγ + βγ + βγ = c b b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή ισοδύνµ

22 96 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ( b) c= ( c ) b ( c b). (ii) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) b c b c b c c b c b b c. b c c ( b) c b b c Σχήµ 4.18 Σχήµ 4.19 b ( b c) Πρτήρηση (Μνηµονικός κνόνς) + ( b) c = ( cb ) ( ) - cb Μνηµονικά, µπορεί κνείς ν θυµάτι τον προσδιορισµό του δις εξωτερικού γινοµένου ως εξής: Θεωρούµε πρώτ το εσωτερικό γινόµενο του δινύσµτος c που είνι εκτός πρενθέσεως, µε το διάνυσµ που βρίσκετι πιο µκριά του µέσ στην πρένθεση µε πρόσηµο +. Αυτός είνι ο συντελεστής του τρίτου δινύσµτος, εδώ του b. Θεωρούµε στη συνέχει το εσωτερικό γινόµενο του δινύσµτος c που είνι εκτός πρενθέσεως, µε το διάνυσµ που βρίσκετι πιο κοντά του µέσ στην πρένθεση µε πρόσηµο -. Αυτός είνι ο συντελεστής του τρίτου δινύσµτος, εδώ του. Μί ξιοσηµείωτη σχέση που ικνοποιεί το δις εξωτερικό γινόµενο είνι η λεγόµενη τυτότητ του Jcobi.

23 4.5 Τ τριπλά γινόµεν δινυσµάτων 97 ( b) c+ ( b c) + ( c ) b = 0, που πίζει πρωτεύοντ ρόλο στον ορισµό της άλγεβρς του Lie. Πράδειγµ 1. Ν ποδείξετε την τυτότητ: ( b) ( c d) ( c)( b d) ( d)( b c) = = c d b c b d. Απόδειξη. Αν θέσουµε w = c d, τότε έχουµε: b c d = b w = b w ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( c)( b d) ( d)( b c). b c d b d c b c d Πράδειγµ. ίνοντι τ δινύσµτ, b, 0. Ν προσδιορίσετε τ δινύσµτ w που ικνοποιούν την εξίσωση w = b. Λύση. ικρίνουµε τις περιπτώσεις: Αν b = 0, τότε w = 0 w = λ, λ. Αν b 0, τότε θ είνι b, οπότε b = 0. Επιπλέον τ w, κι b είνι συνεπίπεδ κι φού τ δινύσµτ κι b είνι µη συγγρµµικά, το w µπορεί ν γρφεί ως γρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων υτών, δηλδή ισχύει: b w = λ + µ ( b), λ, µ. w Όµως το w πρέπει ν ικνοποιεί την εξίσωση w = b, οπότε b w = b + b = b λ µ( ) ( b ) b ( b ) ( ) b b ( µ 1 ) µ = µ = 1 µ =, φού είνι b 0.Άρ έχουµε Σχήµ b = w = ( b) + λ = λ+ ( b ), λ.

24 98 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ίνοντι τ δινύσµτ = i+ j+ k, b = j k κι c= i-j+ k. Ν υπολογίσετε τ γινόµεν: (i) b (ii) b iii b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (iv) c b (v) b c (vi) b c. Αν,b,c, ν ποδείξετε ότι: (i) +b+c= 0 b= b c= c (ii) b = c, b = c κι 0 b =c (iii) ( +b,b+c,c+) = (,b,c ).. Αν,b,c, ν ποδείξετε ότι: (i) ( ) ( ) = ( ) (ii) (,, ) = ( b c,b,c b b c c,b,c) (iii) Τ δινύσµτ,b,c είνι συνεπίπεδ, ν, κι µόνον ν, τ δινύσµτ b, b c, c είνι συνεπίπεδ. 4. Τ σηµεί Α,, Γ κι έχουν δινύσµτ θέσης ως προς το κρτεσινό σύστηµ νφοράς Ο xyz,,b,c κι d, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι:,,, συνεπίπεδ,b,c b,cd, + cd,, db,, = 0. ΑΓ ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Τ σηµεί Α, κι Γ έχουν δινύσµτ θέσης ως προς το κρτεσινό σύστηµ νφοράς Ο xyz,,b, κι c, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν του τριγώνου ΑΓ είνι: 1 Ε( ΑΓ ) = ( b) + ( b c) + ( c ). 6. Αν,b είνι µη συγγρµµικά µονδιί δινύσµτ κι (, ) ν βρεθεί το διάνυσµ u που είνι λύση της εξίσωσης u b+ = u. ( ) 4 π b =, 7. Ν ποδείξετε ότι η δινυσµτική εξίσωση x+ x = b, όπου, b είνι γνωστά δινύσµτ, έχει µονδική λύση. Στη συνέχει ν προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης.

25 Ασκήσεις Αν το διάνυσµ w ικνοποιεί την εξίσωση w + w = b, ( ) όπου, b είνι γνωστά δινύσµτ, τότε: 1 (i) ν ποδείξετε ότι w = b κι w = ( b ), 1+ (ii) ν προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης. 9. Έστω,b,r,,b 0 κι t. Ν προσδιορίσετε την τιµή του t γι την οποί έχει λύση ως προς r η εξίσωση r = +tb κι στη συνέχει ν προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης. 10. Αν,b,c κι d είνι δινύσµτ του, ν ποδείξετε ότι: ( b) ( c d) = (,c,d) b ( b,c,d) = (,b,d) c (,b,c) d 11. Αν,b κι c είνι µη συνεπίπεδ δινύσµτ του, τότε γι κάθε άλλο διάνυσµ d, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν µονδικοί συντελεστές λ, µν, τέτοιοι, ώστε d = λ + µ b+ νc, όπου ( d,b,c) ( d,c,) ( d,,b) λ =, µ =, ν =,b,c b,c, c,,b. ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Αν ο πίνκς Α Μ είνι τέτοιος ώστε τ δινύσµτ Αu κι u ν είνι κάθετ, γι κάθε T u, ν ποδείξετε ότι: (i) Α = Α, (ii) υπάρχει υ τέτοιο, ώστε Α u = υ u, γι κάθε u.

26 100 Κεφάλιο 4. ινυσµτικός λογισµός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εμφανίζονται πολλά μεγέθη, όπως μετατοπίσεις, ταχύτητες, ροπές, δυνάμεις, τα οποία για να προσδιοριστούν πλήρως δεν αρκεί μόνο να είναι γνωστό το μέτρο τους,

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συγγρφή Επιµέλει: Πνγιώτης Φ Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 3 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εσωτερικό γινόµενο Ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων, τον πργµτικό ριθµό Έστω = ( x,y ) κι ( x,y ) συν,, ν 0 κι 0 = 0, ν = 0 ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΙΝΥΣΜΤ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση δύο

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σελίδας

Γενικές ασκήσεις σελίδας Γενικές σκσεις σελίδς 9 3. ίνετι η εξίσωση + λ 0 (), όπου λ R. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιµ του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 76 Κεφάλιο 3ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Απντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Σ 0. Σ 39. Λ 58. Σ. Σ. Λ 40. Σ 59. Σ 3. Σ. Σ 4. Σ 60. Λ 4. Λ 3. Λ 4. Σ 6. Λ 5. Σ 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων 8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών,

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα