Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 Περιγραφή θεματικής ενότητας Ακρότατα συναρτήσεων. Πρώτοι αριθμοί. Κλασικά Πολυώνυμα. Μετασχηματισμός Laplace. Ανάπτυγμα Fourier. Μετασχηματισμός Fourier. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο Newton. Τυχαίοι αριθμοί. Αριθμητικά πειράματα. Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τη χρήση τυχαίων αριθμών (μέθοδος Monte- Carlo). Τυχαίος περίπατος. Πρακτική εξάσκηση. Σκοπός Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με την χρήση των σύγχρονων εργαλείων για την εκτέλεση υπολογισμών με την βοήθεια των υπολογιστών. Οι υπολογισμοί αυτοί περιλαμβάνουν αριθμητικές και αναλυτικές πράξεις, γραφικές αναπαραστάσεις επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων. Έμφαση θα δοθεί στις μεθόδους κατάστρωσης και επίλυσης προβλημάτων μαθηματικών ή/και φυσικής με την βοήθεια του υπολογιστή με τη χρήση ανοικτού λογισμικού.

3 Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Ρίζος Ιωάννης Καθηγητής Τμήματος Φυσικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Ιωάννινα Κεφάλαιο 5 Εφαρμογές στα Μαθηματικά 1

4 Τυχαίοι αριθμοί Αριθμητικά πειράματα Πολλές φορές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αριθμητικά πειράματα αφενός ως μέσο επίλυσης προβλημάτων στα Μαθηματικά και τη Φυσική και αφετέρου ως εύκολο μέσο επίδειξης χαρακτηριστικών ιδιοτήτων φυσικών συστημάτων. Για το σκοπό αυτό χρειαζόμαστε μια γεννήτρια τυχαίων (ή για την ακρίβεια ψευδοτυχαίων) αριθμών. Το SAGEδιαθέτει δύο συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται ως κάτωθι: Τυχαίος αριθμός μεταξύ 0,1 Τυχαίος ακέραιος αριθμός μεταξύ 50 και 80 Πίνακας με 10 τυχαίους αριθμούς Πίνακας με 10 τυχαίους ακεραίους αριθμούς μεταξύ 10 και 20 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρώματος με τη χρήση τυχαίων αριθμών Ένα ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση τυχαίων αριθμών χωρίς καμμιά γνώση μεθόδων ολοκλήρωσης. Η απλούστερη αυτού του τύπου μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι ένα εμβαδόν το οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε αν το σχεδιάσουμε για παράδειγμα σε ένα κάδρο και ρίξουμε τυχαία σε αυτό βελάκια. Το ολοκλήρωμα είναι ανάλογο του αριθμού από τα βελάκια που βρίσκονται στη σκιασμένη περιοχή προς το σύνολο αυτών που χρησιμοποιήσαμε. Ας δούμε μια εφαρμογή στο παρακάτω παράδειγμα Παράδειγμα 1: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης = στην. < < Υπολογισμός χρησιμοποιώντας την αριθμητική ολοκλήρωση του SAGE 2

5 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρώματος με τη χρήση τυχαίων αριθμών Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού ολοκληρώματος με τη χρήση τυχαίων αριθμών βασίζεται στα παρακάτω. Η μέση τιμή μιας συνάρτησης ( )σε ένα διάστημα < < ορίζεται ως Για την εκτίμηση της μέσης τιμής παίρνουμε Ν τιμές της συνάρτησης σε τυχαία σημεία,,, Αριθμητικός υπολογισμός...συνέχεια Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)=sin sin στην περιοχή < < Υπολογισμός χρησιμοποιώντας την αριθμητική ολοκλήρωση του SAGE 3

6 Τυχαίος περίπατος Ένας περιπατητής κινείται στο επίπεδο ως εξής: Ξεκινάει από τη θέση (0,0) και σε κάθε χρονική στιγμή κάνει ένα βήμα μήκους l σε τυχαία κατεύθυνση. Σχεδιάστε την τροχιά του. Σειρές Fourier Μια περιοδική συνάρτηση ορισμένη στην περιοχή L,L, αναπτύσσεται σε σειρά Fourier ως εξής Παρακάτω αναπτύσσουμε τη συνάρτηση Προσοχή στον τρόπο γραφικής αναπαράστασης της σειράς μέγιστο n 4

7 Αριθμητική εύρεση ρίζας εξίσωσης Το SAGE διαθέτει μεθόδους οι οποίες υπολογίζουν αριθμητικά τις ρίζες συναρτήσεων. Αξίζει όμως να παρουσιάσουμε εδώ, ως εφαρμογή, την απλούστερη μέθοδο αριθμητικού υπολογισμού ριζών η οποία ονομάζεται μέθοδος Newton-Raphson. Η μέθοδος συνίσταται στην εύρεση μιας ρίζας της εξίσωσης = 0ξεκινώντας από ένα αρχικό σημείο και προχωρώντας με διαδοχικά βήματα έως ότου ( ) < όπου η επιθυμητή ακρίβεια Παρακάτω εφαρμόζουμε για την εύρεση ρίζας της συνάρτησης = 2 Πρώτοι αριθμοί Ένας φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος της μονάδας, ονομάζεται πρώτος αν διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση is_prime( ) To SAGE όμως διαθέτει και εξειδικευμένες συναρτήσεις όπως η prime_range( ) ή την prime_first_n( ) η χρήση των οποίων φαίνεται στο παράδειγμα 5

8 Πρώτοι αριθμοί συνέχεια Η συνάρτηση prime_pi( ) αντιστοιχεί στη μαθηματική συνάρτηση ( )η τιμή της οποίας ισούται με το πλήθος των πρώτων που είναι ίσο ή μικρότερο του. Η συνάρτηση ( )δεν είναι γνωστή αναλυτικά αλλά για μεγάλα προσεγγίζεται από το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Φίλιοι Αριθμοί (Amical Numbers) Δύο ακέραιοι και ονομάζονται φίλιοι(amical) όταν το άθροισμα των διαιρετών του ενός (εκτός του εαυτού του) ισούται με τον άλλο και αντιστρόφως. Το μικρότερο ζευγάρι φίλιων αριθμών είναι οι (220, 284). Οι διαιρέτεςτου 220 είναι οι 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 και110, με άθροισμα 284και οι διαιρέτες του 284 είναι οι 1, 2, 4, 71 και 142, με άθροισμα 220. Να γραφεί ένα πρόγραμμα το οποίο να υπολογίζει του φίλιους αριθμούς μικρότερους των Η παρακάτω συνάρτηση επιστρέφει μια λίστα με τους διαιρέτες ενός ακεραίου Υπολογίζουμε μια φορά το άθροισμα των διαιρετών όλων των ακεραίων 1<m<6000 6

9 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

10 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

11 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές. Εφαρμογές στα Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.