Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Transcript

1 Άνοιξη /3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε να συμπληρώσουμε ένα μόνο δελτίο, τι πιθανότητα έχουμε να κερδίσουμε το ΤΖΑΚ ΠΟΤ; 2. Ένα ζευγάρι έχει δυο παιδιά. Αν σας πουν ότι τουλάχιστο ένα από αυτά είναι αγόρι, αλλά δεν ξέρετε το φύλο του άλλου παιδιού, ποια είναι η πιθανότητα να έχουν 2 αγόρια; Αν έχει τρία παιδιά και σας πουν πάλι ότι τουλάχιστο ένα από αυτά είναι αγόρι, αλλά δεν ξέρετε το φύλο των άλλων παιδιών, ποια είναι η πιθανότητα να είναι όλα αγόρια; Τελικά υποθέστε ότι είχαν Ν παιδιά και κάποιος σας λέει πάλι, ότι τουλάχιστο ένα από αυτά είναι αγόρι, αλλά δεν ξέρετε το φύλο των άλλων παιδιών, ποια είναι η πιθανότητα να είναι όλα αγόρια; (iv) (v) (vi) 3. Με «στρίψιμο» ενός τίμιου (σωστού) νομίσματος ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε κεφάλι (Κ); Ποιος είναι ο μέσος αριθμός κεφαλιών που περιμένετε σε δέκα στριψίματα ενός τίμιου νομίσματος; Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε από αυτά τα δέκα στριψίματα ΚΚΚΚΚΚΚΚΚΚ? Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε σε ένα από αυτά τα δέκα στριψίματα ΚΓΓΚΓΚΚΓΓΚ? Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ακριβώς 5 κεφάλια με 10 στριψίματα; Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ακριβώς 3 κεφάλια με 10 στριψίματα; 4. Βίγκα Ελένη Ασκήσεις 1

2 Θεωρούμε ένα παιχνίδι όπου ρίχνουμε πέντε ζάρια. Υποθέτουμε ότι η κάθε πλευρά ενός ζαριού έχει την ίδια πιθανότητα με τις άλλες πλευρές, να εμφανιστεί. Να βρεθεί η πιθανότητα να εμφανιστεί το 6 : Σε ένα μόνο ζάρι Σε ένα τουλάχιστον ζάρι Σε δυο και μόνο ζάρια 5. Θεωρείστε μια ομάδα 7 σπινς που το καθένα από αυτά μπορεί να προσανατολιστεί είτε προς τα πάνω ( ), είτε προς τα κάτω ( ). Ποιος είναι ο ολικός αριθμός των μικροκαταστάσεων για αυτό το σύστημα των 7-spin? Πόσες μικροκαταστάσεις έχουν 3 spins, 4 spins? Ποια είναι η πιθανότητα σε ισορροπία να έχουμε 3 spins, 4 spins? (iv) Πόση είναι η εντροπία για τον σχηματισμό 3 spins, 4 spins? (v) Σχεδιάστε την εντροπία για όλες τις μακροκαταστάσεις. 6. Ένας μεθυσμένος είναι ακουμπισμένος σε ένα φανάρι του δρόμου και αρχίζει να περπατά τρικλίζοντας, κάνοντας σε κάθε χρονικό διάστημα τ, ένα βήμα που το καθένα έχει μήκος l. Η πιθανότητα να κάνει ένα βήμα προς τα δεξιά είναι p και η πιθανότητα να κάνει ένα βήμα προς τα αριστερά είναι q=1-p, Ο άνθρωπος είναι τόσο μεθυσμένος ώστε η συμπεριφορά του σε κάθε βήμα δείχνει ότι δεν υπάρχει κανένα ίχνος μνήμης σχετικά με το τι ακριβώς έκανε στα προηγούμενά του βήματα. Έτσι τα βήματά του είναι στατιστικώς ανεξάρτητα. Υποθέτουμε ότι ο άνθρωπος έχει κάνει Ν βήματa. a) Πόση είναι η πιθανότητα P(n), ώστε n από αυτά τα βήματα να έχουν γίνει προς τα δεξιά και τα υπόλοιπα n =Ν-n προς τα αριστερά; b) Πόση είναι η πιθανότητα P(m), ώστε μετά από ένα χρονικό διάστημα Ντ, ο άνθρωπος αυτός να βρίσκεται σε μια απόσταση ml από το φανάρι (m=n-n ακέραιος θετικός αριθμός); Βίγκα Ελένη Ασκήσεις 2

3 c) Αν υποθέσουμε ότι p=q (οπότε κάθε βήμα είναι εξίσου πιθανόν να γίνει προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά), πόση είναι η πιθανότητα να ξαναβρεθεί ο μεθυσμένος στο φανάρι, αφού θα έχει κάνει Ν βήματα; Αν το Ν είναι άρτιος αριθμός; Αν το Ν είναι περιττός αριθμός; 7. Θεωρείστε δυο μαγνητικά συστήματα με 4 σπιν το καθένα, μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Τα σπινς στο Σύστημα 1 είναι πλήρως ευθυγραμμισμένα. Τα σπινς στο Σύστημα 2 είναι τελείως τυχαία. Τα δυο συστήματα έρχονται σε επαφή, έτσι ώστε να ανταλλάσουν ενέργεια μεταξύ τους. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας απαιτεί όπως η μαγνητική ροπή, και το συνολικό σπιν να είναι αμετάβλητο. Έτσι στην ισορροπία έχουμε ένα σύστημα με οκτώ σπινς με Ν- Ν =6. Ποια είναι η εντροπία του συνολικού συστήματος πριν αυτά έλθουν σε επαφή και μετά από αυτήν? Επιτρέπεται αυτή η διαδικασία από τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής? 8. Θεωρήστε ένα σύστημα μορίων που έχει τρείς ενεργειακές στάθμες (ε 0, ε 1 και ε 2, όλες με εκφυλισμό= 1), όπου οι αποστάσεις ανάμεσα στις στάθμες είναι: ε 1 ε 0 = ε και ε 2 ε 1 = 1.20ε. Η ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης είναι ε 0 = 0. Γράψτε μια έκφραση για την συνάρτηση επιμερισμού. Καθορίστε το κλάσμα των μορίων στην θεμελιώδη κατάσταση στους 298K (ποια είναι δηλαδή η πιθανότητα να βρούμε ένα μόριο στην θεμελιώδη κατάστασή του?). Θεωρείστε ότι ε = x J. Οι εντάσεις των κορυφών στο φάσμα εκπομπής ενός μοριακού δείγματος είναι ανάλογες του πληθυσμού (ή τις πιθανότητες) των ενεργειακών σταθμών από τις οποίες γίνονται οι μεταπτώσεις. Πόσες κορυφές εκπομπής θα περιμένατε να δείτε στο απόλυτο μηδέν, στους 298 Κ και στους 1000Κ. Εάν προβλέπονται περισσότερες από μια κορυφές εκπομπής, ποιοι είναι οι λόγοι των κορυφών; Υποθέστε ότι οι μεταβάσεις εκπομπής εμφανίζονται μόνο στη θεμελιώδη κατάσταση. Βίγκα Ελένη Ασκήσεις 3

4 9. Έστω ένα σύστημα Ν σωματιδίων τα οποία κατανέμονται σε δυο ιδιοκαταστάσεις 1 και 2, με ενέργειες Ε 1 και Ε 2 (Ε 1 <Ε 2 ) και πληθυσμούς n 1 και n 2 αντίστοιχα (n 1 >>1 και n 2 >>1). Το σύστημα αυτό είναι σε επαφή με μια δεξαμενή θερμότητας θερμοκρασίας Τ. Αν σε μια μόνο κβαντική εκπομπή προς την δεξαμενή, ένα σωματίδιο μεταβαίνει από την στάθμη 2 στην στάθμη 1, δώστε την έκφραση για την μεταβολή της εντροπίας: στο σύστημα των δυο σταθμών και στη δεξαμενή, Από τα (ι) και (ιι) να βρείτε τον λόγο n 1 / n 2. Συμφωνεί με την σχέση Boltzmann; 10. Οι τρείς χαμηλότερες στάθμες ενός μορίου είναι Ε 1 =0, Ε 2 =ε, Ε 2 =10ε. είξτε ότι σε μια αρκετά χαμηλή θερμοκρασία (πόσο χαμηλή?) μόνο οι στάθμες Ε 1, Ε 2 είναι κατειλημμένες. Βρείτε την μέση ενέργεια Ε του μορίου στην θερμοκρασία Τ. Βρείτε τις συνεισφορές αυτών των σταθμών στην θερμοχωρητικότητα ανά μόριο, C V και σχεδιάστε την C V σαν μια συνάρτηση του Τ. 11. Ένα σύστημα αποτελείται από σωματίδια που υπακούουν στην στατιστική Boltzmann και είναι σε θερμική επαφή με δεξαμενή θερμότητας, θερμοκρασίας Τ. 3.1% του πληθυσμού βρίσκεται στην ενέργεια των eV, το 8.5% στη eV, το 23% στη eV και 63% στη eV. Ποια είναι η θερμοκρασία του συστήματος; Θεωρούμε μεταπτώσεις μόνο στη θεμελιώδη κατάσταση. 12. Θεωρήστε ένα σύστημα Ν σωματιδίων με μόνο 3 δυνατές ενεργειακές καταστάσεις που απέχουν ε (έστω ότι η θεμελιώδης ενέργεια είναι 0). Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ένα όγκο καθορισμένοv και είναι σε θερμική ισορροπία με μια δεξαμενή θερμότητας θερμοκρασίας Τ. Αγνοήστε αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα σωματίδια και θεωρείστε ότι εφαρμόζεται η στατιστική Boltzmann. (a) Ποια είναι συνάρτηση επιμερισμού για ένα σωματίδιο του συστήματος; (b) Ποια είναι η μέση ενέργεια του συστήματος; Βίγκα Ελένη Ασκήσεις 4

5 (c) Ποια είναι η πιθανότητα η τρίτη στάθμη να είναι κατειλημμένη στο όριο των υψηλών θερμοκρασιών kbt >>ε; Εξηγείστε την απάντησή σας με φυσικούς όρους. (d) Ποια είναι η μέση ενέργεια ανά σωματίδιο στο όριο των υψηλών θερμοκρασιών kbt >>ε; (e) Σε ποιά θερμοκρασία η θεμελιώδης κατάσταση είναι κατειλημμένη 1.1 φορές περισσότερο από ότι η τρίτη στάθμη; (f) Βρείτε την θερμοχωρητικότητα CV, του συστήματος, αναλύστε τη συμπεριφορά της στα όρια υψηλών (kbt >> ε) και χαμηλών θερμοκρασιών (kbt<<ε) και σχεδιάστε την σε συνάρτηση με την θερμοκρασία Τ. 13. Οι ενεργειακές στάθμες ενός αρμονικού ταλαντωτή 3-διαστάσεων βρίσκονται σύμφωνα με την σχέση: ε n, n, n = n1 + n2 + n3 + ω 2,όπου τα n 1, n 2, n 3 είναι ακέραιοι αριθμοί n i =0,1,2,.. O ταλαντωτής είναι σε επαφή με δεξαμενή θερμότητας, θερμοκρασίας Τ, με την οποία μπορεί να ανταλλάξει ενέργεια. Σε ποια θερμοκρασία η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής σε μια κατάσταση με ενέργεια 3 2 ω, εξισώνεται με την πιθανότητα να βρεθεί αυτός σε μια κατάσταση με ενέργεια 5 2 ω Βίγκα Ελένη Ασκήσεις 5