ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

Transcript

1 ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε με Ω το ύνολο τν δυνατών κατατάεν της αγοράς το χρονικό αυτό διάτημα και με το χώρο ενδεχομένν του. Υποθέτουμε ότι το χώρο Ω ορίζεται μια τυπική κίνηη Bown W [0 ] με το φυικό της φιλτράριμα W [0 ]. O χώρος Ω είναι εφοδιαμένος και με ένα μέτρο πιθανότητας P. Θερούμε ότι την αγορά αυτή διατίθενται οι παρακάτ τίτλοι : Ο τίτλος ikl. Ένα ομόλογο επί μιας χρηματικής μονάδας το χρόνο 0 με ταθερό επιτόκιο. Η αξία του το χρόνο είναι. Ο τίτλος iky. Μια μετοχή π.χ. ΑΑΑ η οποία το χρόνο έχει αξία. Θερούμε ότι η τοχατική ανέλιξη [0] είναι μία γεμετρική κίνηη Bown με αρχική τιμή 0 δηλαδή W μ 0 όπου W [0] ~ ΒΜ0 και μ dif voliliy κάποιες ταθερές παράμετροι. Ο τίτλος 3 diviv. Ένα απλό παράγγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρπαικού τύπου με χρόνο λήξης Τ επί της μετοχής ΑΑΑ. Ανάλογα και με το μοντέλο διακριτού χρόνου ς ένα τέτοιο παράγγο πολύ απλά θερείται μία τ.μ. U που είναι Τ μετρήιμη η τ.μ. U εκφράζει την αξία του παραγώγου το χρόνο Τ. Προοχή το μοντέλο αυτό έχουμε υποθέει ότι η μελλοντική ιτορία [0 ] είναι το φυικό φιλτράριμα της W [0]. Επομένς το γεγονός ότι απαιτείται η U να είναι Τ μετρήιμη υπονοεί ότι η «τυχαιότητα» της τιμής της U θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από την διαδρομή της W [0] και όχι από κάποιο άλλο τυχαίο παράγοντα. Το πρόβλημα που καλούματε τώρα να αντιμετπίουμε είναι η εύρεη της αξίας του παραγώγου ε χρόνο [0 ]. Το παραπάν μοντέλο προτάθηκε και μελετήθηκε αρχικά από τους. Blk M. hol και από τον R. Mon το έτος 973 και για αυτό είναι γντό με το όνομά τους. Οι υγκεκριμένοι ερευνητές τιμήθηκαν με το βραβείο Nol το έτος 997 για την εργαία τους αυτή. Ακολουθώντας την ίδια μέθοδο με το μοντέλο αγοράς διακριτού χρόνου αυτή τη φορά ε υνεχή χρόνο χρηιμοποιώντας εργαλεία από τη τοχατική ανάλυη αποδεικνύεται από Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 87

2 το θεώρημα αναπαράταης minl ότι μπορούμε να κατακευάουμε ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο αξίας V το χρόνο που θα έχει τελική αξία V ίη με την αξία U του παραγώγου το χρόνο χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης. Επίης αποδεικνύεται από το Θεώρημα Ginov ότι υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας ς προς το οποίο η [0] * * είναι minl και αρα και η V V είναι -minl. Επομένς η no-i αξία του παραγώγου το χρόνο θα είναι U V V U. Πιο υγκεκριμένα αποδεικνύεται το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 6... ik nul piin fomul Στο μοντέλο Blk-hol-Mon: Αν ένα απλό παράγγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρπαϊκού τύπου με χρόνο λήξης έχει τελική αξία U τότε το χρόνο θα έχει no-i αξία U U [0] για κάποιο υγκεκριμένο μέτρο πιθανότητας υπό το οποίο η ανέλιξη της τιμής της μετοχής [0] είναι μία γεμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους και GBM. Η [0] ~ GBM και επομένς 0 [0 ] δηλαδή υπό το η μέη απόδοη της μετοχής είναι ίη με την απόδοη του ομολόγου. Όπς αιτιολογήαμε και το μοντέλο διακριτού χρόνου αυτό δεν μπορεί να υμβαίνει το «πραγματικό κόμο» διότι τότε δεν θα υπήρχε κανένα κίνητρο να επενδύει κανείς ε μετοχές αφού αντίθετα από τις μετοχές η επένδυη ε ομόλογα είναι χρίς κίνδυνο. Ιότητα θα ίχυε μόνο αν οι επενδυτές δεν ενδιαφέρονταν για τον κίνδυνο που αναλαμβάνουν δηλαδή ήταν «ουδέτεροι» απέναντι τον κίνδυνο. Για αυτό και το μέτρο P αναφέρεται και ς μέτρο πιθανότητας τον «πραγματικό κόμο» ενώ το αναφέρεται ς μέτρο πιθανότητας ε ένα «κόμο ουδετέρου ρίκου» ik nul poiliy mu. Το μέτρο πιθανότητας είναι εικονικό και χρηιμοποιείται μόνο για να εκφράουμε με απλούτερο τρόπο την τιμή ενός παραγώγου. Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι η no-i αξία ενός παραγώγου είναι ίη με την παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του ε έναν κόμο ουδέτερου ρίκου. Αν πάρουμε τώρα υγκεκριμένα παράγγα χρηματοοικονομικά προϊόντα μπορούμε να βρούμε έναν κλειτό τύπο για τη no-i αξία τους. Ξεκινάμε με ένα δικαίμα αγοράς. Θεώρημα 6... Ο τύπος τν Blk nd hol Στο μοντέλο Blk-hol η noi τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ll opion ευρπαϊκού τύπου με ημερομηνία λήξης Τ τιμή εξάκηης Κ το χρόνο είναι ίη με όπου είναι η υνάρτηη κατανομής της N0 η μεταβλητότητα voliliy της τιμής της υποκείμενης μετοχής και το επιτόκιο τν ομολόγν της αγοράς. Απόδειξη. Από το προηγούμενο θεώρημα και από το γεγονός ότι ένα δικαίμα αγοράς έχει αξία τη λήξη του ίη με U θα είναι Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 88

3 Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 89 U όπου υπό το μέτρο πιθανότητας η [0] ακολουθεί GBM. Επίης οι ανελίξεις W και έχουν το ίδιο φυικό φιλτράριμα αν γνρίζουμε την διαδρομή της μιας ξέρουμε και την διαδρομή της άλλης δηλαδή W. Άρα. Η τελευταία ιότητα ιχύει διότι ς γεμετρική κίνηη Bown η ανέλιξη έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα. Το γεγονός αυτό προκύπτει από το ότι οι τ.μ. u u είναι ανεξάρτητες ιδιότητα της GBM και επομένς η τιμή της εξαρτάται μόνο από την και την Τ που είναι ανεξάρτητη της διαδρομής. Η παραπάν μέη τιμή υπολογίζεται επακριβώς αφού [0] ~ GBM και επομένς η τ.μ. ~ N. Πράγματι αν είματε το χρόνο με τότε χρηιμοποιώντας και το ότι η τ.μ. είναι ανεξάρτητη της όπου με υμβολίζουμε μια τ.μ. που ακολουθεί την N0. Αν τώρα θέουμε α β αν α β και 0 αν β α θα ιχύει γενικά για οποιαδήποτε 0 ότι P ενώ y z y z z z dy dz dz π π π όπου είναι η.κ. της Ν0 και άρα. Με βάη τον παραπάν γενικό τύπο προκύπτει τώρα άμεα ότι που ουιατικά αποτελεί τη ζητούμενη χέη. Ο παραπάν τύπος είναι γντός ς ο τύπος τν Blk nd hol B- και δόθηκε το 973 από τους ih Blk και Myon hol. Το παραπάν μοντέλο που αναπτύχθηκε από τους υγκεκριμένους ερευνητές αποτελεί την κλαική μέθοδο αποτίμηης δικαιμάτν προαίρεης. Ένα μεγάλο του πλεονέκτημα είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογιτεί η παράμετρος μ της διότι δεν περιέχεται τον τελικό τύπο.

4 Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 90 Παρατήρηη 6... Εύρεη της no-i αξίας ενός δικαιώματος πώληης. Ένα δικαίμα πώληης pu opion Ευρπαϊκού τύπου έχει αξία το χρόνο λήξης του ίη με Κ. Συνεπώς από το Θεώρημα 6.. η no-i τιμή του το χρόνο θα είναι ~ ] [0 GBM pu. Παρατηρώντας τώρα ότι για οποιοδήποτε ιχύει 0 m 0 m θα είναι και. Επομένς pu ll ll όπου ll η no-i τιμή ενός ll opion από τον τύπο τν B-. Η τελευταία ιότητα προκύπτει από το ότι η ανέλιξη [0] είναι -minl. Η υγκεκριμένη χέη προκύπτει εύκολα και από τη γντό pu-ll piy Κεφ.. Παρατήρηη 6... Εύρεη της αξίας οποιουδήποτε παραγώγου Ευρπαϊκού τύπου Από την απόδειξη του Θερήματος 6.. είναι φανερό ότι αν ένα παράγγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρπαϊκού τύπου έχει αξία το χρόνο λήξης του ίη με U όπου είναι κάποια υνάρτηη τότε θα έχει no-i αξία το χρόνο με N όπου η τ.μ. N ~ Ν. Γενικότερα αν ένα παράγγο χρηματοοικονομικό προϊόν έχει αξία το χρόνο λήξης του ίη με U [0] δηλαδή η τιμή του το εξαρτάται από όλη την διαδρομή της τιμής της μετοχής το [0Τ] π.χ. βλ. τα oi opion ε επόμενη παράγραφο τότε όμοια θα έχει no-i αξία το ] [0 ]} [0 { όπου υπό το μέτρο πιθανότητας η [0] ακολουθεί GBM. Παρατήρηη Εύρεη της αξίας ll opion Αμερικανικού τύπου. H no-i τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Ευρπαϊκού τύπου είναι ίη με την no-i τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Αμερικανικού τύπου όπς είδαμε ήδη το Κεφ.. Παρατήρηη Η αξία ενός pu opion Αμερικανικού τύπου. Αντίθετα με το δικαίμα αγοράς Αμερικανικού τύπου η εξάκηη ενός δικαιώματος πώληης Αμερικανικού τύπου πριν την ημερομηνία λήξης του μπορεί να αποβεί ε όφελος βλ. Κεφ.. Συνεπώς το δικαίμα πώληης Αμερικανικού τύπου θα αξίζει περιότερο από το αντίτοιχο Ευρπαϊκού τύπου. Η αξία αυτή δεν είναι εύκολο να δοθεί μέα από έναν κλειτό τύπο. Για τον προεγγιτικό προδιοριμό του υνήθς χρηιμοποιούνται κατάλληλοι αναδρομικοί τύποι ε αυτό το ειαγγικό ύγγραμμα δεν παρουιάζονται. 6.. Εφαρμογή του τύπου τν Blk-hol την πράξη. Στην πράξη μπορεί κανείς να υπολογίει την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ή πώληης το χρόνο από τους τύπους που δόθηκαν παραπάν χρηιμοποιώντας τις ακόλουθες παραμέτρους:

5 α Η είναι η τρέχουα τιμή της υποκείμενου τίτλου π.χ. μετοχής. Αφού βρικόματε το χρόνο είναι γντή π.χ. μπορεί να βρεθεί ε εφημερίδες ή καλύτερα το διαδίκτυο. β H τιμή εξάκηης Κ και ο χρόνος λήξης ε έτη είναι εκ τν προτέρν καθοριμένα και γντά. γ Το επιτόκιο τν ομολόγν της αγοράς υνήθς υπολογίζεται με βάη τις τιμές τν εντόκν γραμματίν του Δημοίου με χρόνο λήξης περίπου ίο με το χρόνο λήξης του παραγώγου αν υπάρχουν δυο διαφορετικές τιμές πώληης και αγοράς μπορεί να ληφθεί ο μέος όρος τους. Αν π.χ. έχουμε ένα γραμμάτιο που λήγει μετά από 3 μήνες 9 ημέρες με τιμή 98 ευρώ και ονοματική αξία 00 ευρώ τότε θα πρέπει Εναλλακτικά μπορούμε να πάρουμε ς το μέο όρο τν διατραπεζικών επιτοκίν της αγοράς. δ Η μεταβλητότητα voliliy της τιμής της μετοχής μπορεί να εκτιμηθεί με διαφόρους τρόπους μερικοί από τους οποίους είναι οι παρακάτ: i Εκτίμηη από ιτορικά δεδομένα. Καταγράφονται οι τιμές κλειίματος της υποκείμενης μετοχής έτ n τις n τελευταίες ημέρες υναλλαγών. Το n δεν πρέπει να είναι ούτε πολύ μεγάλο γιατί τότε μπορεί να μην παραμένει ταθερό το ούτε πολύ μικρό γιατί τότε μπορεί να έχουμε μεγάλο φάλμα την εκτίμηη. Συνήθς λαμβάνεται n 30 με 80 η- μέρες. Σύμφνα με το μοντέλο B- οι τ.μ. X i i i i n είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την Ντμτ όπου τ 60 γίνονται περίπου 60 υνεδριάεις το έτος. Επομένς πολύ απλά εκτιμούμε το από την δειγματική διαπορά τν X X X n- : n i X i X. τ n ii Εκτίμηη από ταθμιμένα ιτορικά δεδομένα. Όπς και το i καταγράφονται οι τιμές κλειίματος της υποκείμενης μετοχής τις n τελευταίες ημέρες υναλλαγών. Τώρα όμς δεν θερείται ότι έχουν όλες το ίδιο βάρος την εκτίμηη του διότι αυτό μπορεί να μεταβάλλεται ελαφρά κατά τις n τελευταίες ημέρες και έτι οι τιμές που είναι πιο πρόφατες αντιτοιχούν ε που είναι πιο κοντά το ζητούμενο ημερινό. Τα βάρη μπορούν να εκλεγούν με διαφόρους τρόπους π.χ. γραμμικά ή εκθετικά μεταβαλλόμενα. iii Εκτίμηη από τις τιμές τν παραγώγν που διατίθενται ήδη την αγορά τεκμαρτή μεταβλητότητα implid voliliy. Κατά την ημέρα που θέλουμε να εκτιμήουμε το θα διατίθενται ήδη την αγορά παραγώγν και κάποια παράγγα προϊόντα π.χ. δικαιώματα αγοράς επί της μετοχής της οποίας θέλουμε να εκτιμήουμε το τα οποία θα έχουν γντή τιμή. Η τιμή αυτή υνήθς καθορίζεται με βάη παλαιότερη εκτίμηη του αλλά πολύ ημαντικότερα από την προφορά και την ζήτηη του υγκεκριμένου δικαιώματος την αγορά. Η τιμή επομένς διαμορφώνεται όχι μόνο με βάη τα ιτορικά δεδομένα αλλά κυρίς από τις προδοκίες τν επενδυτών που αντικατοπτρίζουν πολύ μεγαλύτερη πληροφορία για την μελλοντική κίνηη της τιμής της μετοχής. Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 9

6 Αφού λοιπόν είναι γντή η τιμή ενός δικαιώματος την αγορά μπορούμε αντίτροφα από τον τύπο τν B- να βρούμε το που αντιτοιχεί ε αυτή την τιμή. Η εκτίμηη του με αυτό τον τρόπο καλείται τεκμαρτή μεταβλητότητα implid voliliy. Μια δυκολία εδώ είναι η αντιτροφή του τύπου τν B- η οποία μπορεί να γίνει χρηιμοποιώντας μια επαναληπτική προεγγιτική μέθοδο π.χ. Nwon Rphon. Ένα άλλο πρόβλημα που παρουιάζεται είναι ότι διαφορετικοί τύποι παραγώγν επί της υγκεκριμένης μετοχής μπορεί να οδηγούν ε διαφορετικό implid voliliy. Ένας απλός τρόπος αντιμετώπιης αυτού είναι να πάρουμε το μέο όρο απλό ή κατάλληλα ταθμιμένο τν διαφορετικών εκτιμήεν του. Αξίζει να ημειθεί ότι έχουν προταθεί και άλλοι τρόποι εκτίμηης του που βαίζονται και ε ιτορικά δεδομένα ή τρέχουες τιμές παραγώγν ή και τα δύο μαζί. Παράδειγμα 6... Έτ ότι ήμερα Ιανουάριος ε μια αγορά παραγώγν γίνεται διαπραγμάτευη δικαιμάτν αγοράς Ευρπαϊκού τύπου επί της μετοχής ΑΑΑ θερούμε πάντα ότι η μετοχή δεν αποδίδει μέριμα μέχρι την λήξη του παραγώγου. Η μετοχή ΑΑΑ έχει ημερινή αξία την αγορά ίη με 0 ευρώ. Συγκεκριμένα διατίθενται δικαιώματα αγοράς με ημερομηνία λήξης τον Μάρτιο τον Μάιο και τον Ιούλιο με ik piz Κ ευρώ το καθένα δηλαδή διαφορετικά είδη. Αν το επιτόκιο της αγοράς είναι ίο με 0.05 και η μεταβλητότητα voliliy της μετοχής έχει εκτιμηθεί ότι είναι 0.. τότε ύμφνα με τον τύπο τν B- οι no-i τιμές τν δικαιμάτν αυτών θα είναι ε ευρώ για υμβόλαια π.χ. 00 μετοχών θα πρέπει να πολλαπλαιατούν επί 00 Μήνας Παράδοης ik pi Κ Μάρτιος Μάιος Ιούλιος Παρατήρηη 6... Κλείνοντας αξίζει να υπογραμμίζουμε κάτι που έχει ήδη υπονοηθεί και παραπάν το δ-iii. Η τιμή διάθεης ενός παραγώγου την αγορά μπορεί να είναι διαφορετική από την no-i τιμή του που καθορίζεται από τον τύπο τν B- έχοντας εκτιμήει τα. Αυτό μπορεί να υμβαίνει για τους κάτθι λόγους: α Για μικρές διαφορές της τιμής διάθεης ενός δικαιώματος από την αντίτοιχη noi τιμή αν και θερητικά μπορεί να εφαρμοτεί τρατηγική που οδηγεί ε ίγουρο κέρδος i πρακτικά κάτι τέτοιο δεν εφικτό. Η εφαρμογή μιας τέτοιας τρατηγικής την πράξη είναι ανέφικτη διότι όπς έχουμε ήδη αναφέρει αφορά έναν εξιδανικευμένο παίκτη ο οποίος μπορεί να κάνει τιγμιαία υναλλαγές χρίς κότος. β Πολλοί επενδυτές μπορεί να μην υμφνούν με την εκτίμηη του ή να προδοκούν αλλαγή της τιμής του το άμεο μέλλον. γ Η no i τιμή του παραγώγου προκύπτει υποθέτοντας ότι η ανέλιξη [0 Τ] είναι μία γεμετρική κίνηη Bown κάτι που τις περιότερες περιπτώεις αποτελεί προέγγιη αλλά όχι ακριβή περιγραφή της πραγματικότητας. Γενικά η τιμή ενός δικαιώματος την αγορά εξαρτάται και από ποιοτικούς παράγοντες π.χ. υγχνεύεις εξαγορές και νέα τρατηγικά χέδια εταιριών ρευτότητα της αγοράς τους υγκεκριμένους τίτλους ψυχολογία της αγοράς απόδοη της αγοράς το ύνολό της κ.α.. Πα- Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 9

7 Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 93 ρόλα αυτά η no-i τιμή που δίνεται από τον τύπο τν B- αποτελεί ένα πολύ χρήιμο εργαλείο που δείχνει που περίπου μπορεί να κινηθεί η τιμή του παραγώγου την αγορά Ιδιότητες της τιμής ενός δικαιώματος από τον τύπο τν B- Είδαμε παραπάν ότι ο η no-i τιμή ενός δικαιώματος αγοράς το χρόνο δίνεται από τον τύπο τν Blk nd hol: N όπου ενώ αντίτοιχα ενός δικαιώματος πώληης N pu. με N ~ Ν. Έχει ενδιαφέρον να εξετάουμε πς διαμορφώνεται η παραπάν τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ή πώληης όταν μεταβάλλονται οι διάφορες παράμετροι του μοντέλου. α Όταν αυξάνεται η τιμή της μετοχής το χρόνο τότε η αυξάνεται ενώ αντίθετα η pu μειώνεται. Μάλιτα η παράγγος του ς προς καλείται παράμετρος Δέλτα και είναι ίη με Dl. Όπς θα δούμε παρακάτ η τιμή της παραμέτρου Δέλτα χρηιμοποιείται για την κατακευή ενός χαρτοφυλακίου αντιτάθμιης αντιτάθμιη Δέλτα. Η δεύτερη παράγγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ς προς καλείται παράμετρος Γάμμα και είναι ίη με φ Gmm φ. Όπς φαίνεται είναι θετική και επομένς η είναι κυρτή ς προς. β Όταν αυξάνεται η τιμή εξάκηης Κ του δικαιώματος τότε η μειώνεται ενώ αντίθετα η pu αυξάνεται. γ Όταν αυξάνεται ο χρόνος τότε η μειώνεται. Μάλιτα η παράγγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ς προς υπολογίζεται εύκολα ότι είναι ίη με φ h φ. Η ποότητα αυτή καλείται παράμετρος Θήτα και όπς φαίνεται είναι πάντοτε αρνητική. δ Όταν αυξάνεται το επιτόκιο τότε η αυξάνεται. Η παράγγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ς προς καλείται Rho και αποτελεί ένα μέτρο ευαιθηίας της τιμής του δικαιώματος ς προς ενδεχόμενες αλλαγές του επιτοκίου της αγοράς.

8 ε Όταν αυξάνεται το voliliy τότε η αυξάνεται. Η παράγγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ς προς καλείται V φ και αποτελεί ένα μέτρο ευαιθηίας της τιμής του δικαιώματος ς προς ενδεχόμενες αλλαγές του. Οι παράμετροι Dl Gmm h Rho V που εκφράζουν την ευαιθηία της τιμής ενός δικαιώματος ς προς τις ποότητες από τις οποίες αυτή εξαρτάται είναι γντές τη διεθνή βιβλιογραφία ς «h Gk». υικά ορίζονται όχι μόνο για τα δικαιώματα αγοράς αλλά γενικότερα για οποιοδήποτε παράγγο χρηματοοικονομικό προϊόν. Στο παρακάτ χήμα δίνεται το γράφημα του για Κ 00. Συγκεκριμένα απεικονίζεται το γράφημα της τιμής για από 80 ές 0 και για 0 6 επτά «καμπύλες» μία για κάθε Παρατηρούμε ότι όο το πληιάζει προς το η τιμή του δικαιώματος αγοράς μειώνεται και πληιάζει την τελική τιμή τον χρόνο λήξης:. Επίης παρατηρούμε ότι το αυξάνεται όο αυξάνεται η τιμή της υποκείμενης μετοχής. Για τιμές της μετοχής in-h-mony το δικαίμα αγοράς είναι «ακριβότερο» ενώ αντίθετα όταν είναι ou-of-h-mony < τότε το δικαίμα αγοράς είναι «φθηνότερο». Ακήεις Κεφαλαίν 5 παρ και 6 παρ Άκηη. Αν μια τοχατική ανέλιξη Χ 0 είναι κίνηη Bown με παράμετρο τάης μ και μεταβλητότητα και X 0 0 ποια κατανομή ακολουθούν οι τυχαίες μεταβλητές Χ 3 Χ 6 Χ 4 Χ 7 Χ. Είναι κάποιες από αυτές ανεξάρτητες μεταξύ τους και γιατί; Άκηη. Αν Χ 0 ~ BM0 τότε X X min{} για 0 0. Άκηη 3. Αν η ανέλιξη της αξίας μιας μετοχής [0] το χρονικό διάτημα [0Τ] Τ ο χρόνος μετράται ε έτη περιγράφεται από μια γεμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ 0.3 dif και 0. voliliy να βρείτε την αναμενόμενη αξία της μετοχής το χρόνο Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 94

9 3 τρείς μήνες και την πιθανότητα να είναι μεγαλύτερη από 0 ήμερα 0 έχει αξία Ποια είναι η αναμενόμενη αξία και η διαπορά της αξίας της μετοχής μετά από ένα χρόνο; Άκηη 4. Αν η ανέλιξη της αξίας μιας μετοχής [0] το χρονικό διάτημα [0Τ] ο χρόνος μετράται ε έτη περιγράφεται από μια γεμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ 0.5 dif και 0. voliliy να βρείτε την πιθανότητα να εξακηθεί ένα δικαίμα πώληης ευρπαικού τύπου επί της μετοχής αυτής με 6 και Κ 05. ήμερα 0 η μετοχή έχει αξία Άκηη 5. Έτ ότι οι τιμές κλειίματος μιας μετοχής ΑΑΑ το χρήματιτήριο τις τελευταίες 0 εβδομάδες είναι ε ευρώ: Εκτιμήτε το voliliy της μετοχής αυτής. Άκηη 6. Έτ ότι ήμερα γίνεται διαπραγμάτευη δικαιμάτν αγοράς Ευρπαϊκού τύπου επί 00 μετοχών ΑΑΑ που περιγράφονται την Άκηη 5 δεν αποδίδουν μέριμα μέχρι το χρόνο Τ. Η μετοχή ΑΑΑ έχει ήμερα αξία την αγορά ίη με 9.3 ευρώ. Συγκεκριμένα διατίθενται δικαιώματα αγοράς με ημερομηνία λήξης 3 και 5 και με ik piz Κ ευρώ το καθένα δηλαδή 3 6 διαφορετικά είδη. Αν το επιτόκιο της αγοράς είναι ίο με 0.04 βρείτε τις no-i τιμές τν δικαιμάτν αυτών εκτιμήτε την μεταβλητότητα από τα δεδομένα της Άκηης 5. Άκηη 7. Συνέχεια της άκηης 6: Βρείτε τις no-i τιμές τν αντίτοιχν δικαιμάτν πώληης Ευρπαϊκού τύπου και δικαιμάτν αγοράς Αμερικανικού τύπου. Άκηη 8. Μία εταιρία κοπεύει να εκδώει ένα παράγγο επί μιας μετοχής ΑΑΑ το οποίο μετά από χρόνο Τ αποδίδει ποό. Η αξία της μετοχής το χρονικό διάτημα [0] θερούμε ότι ακολουθεί γεμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ. Ποια θα πρέπει να είναι η αξία του υγκεκριμένου παραγώγου το χρόνο 0; ώτε να μην δημιουργείται ευκαιρία για i. Άκηη 9. Όπς και την προηγούμενη άκηη μία εταιρία κοπεύει να εκδώει ένα παράγγο επί μιας μετοχής ΑΑΑ το οποίο μετά από χρόνο Τ αποδίδει ποό. Και πάλι θερούμε ότι η αξία της μετοχής το [0] ακολουθεί γεμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ. Ποια θα πρέπει να είναι τώρα η αξία του υγκεκριμένου παραγώγου το χρόνο 0; ώτε να μην δημιουργείται ευκαιρία για i. Άκηη 0. Βρείτε που υγκλίνει η no-i αξία ενός δικαιώματος αγοράς Ευρπαικού τύπου δηλ. ο τύπος τν Blk nd hol όταν πληιάζουμε το χρόνο λήξης δηλαδή όταν. Άκηη. Ένα δικαίμα αγοράς Ευρπαϊκού τύπου διατίθεται ήμερα την τιμή τν 5 ευρώ ενώ η τιμή της υποκείμενης μετοχής ήμερα είναι 30 ευρώ. Αν η τιμή εξάκηης Κ είναι 5 ευρώ και το δικαιώμα λήγει μετά από 4 μήνες εκτιμήτε προεγγιτικά το voliliy της υποκείμενης μετοχής implid voliliy. Θερήτε ότι το ετήιο επιτόκιο της αγοράς είναι Bouik M.V Σημειώεις μαθήματος «Παράγγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 95