2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Transcript

1 Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα f( ) ισχύει για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα f( ) ισχύει για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. 9. Να αποδείξετε ότι: 3 α) η συνάρτηση f e είναι γνησίως αύξουσα στο, β) η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο,. ΛΥΣΗ 3 α) Η συνάρτηση συναρτήσεων. f e είναι συνεχής στο, ως πράξεις μεταξύ συνεχών 77

2 Επίσης για κάθε ισχύει: f e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 3 ' ' 3 β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο συναρτήσεων. Επίσης για κάθε, ισχύει: f ' ' Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,.,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: f 3 5 β) f 5 α) ΛΥΣΗ f 3 5 είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει: α) Η f ' 3 5 ' Επίσης παρατηρούμε ότι: f ' 5 ή f ' για κάθε και η ισότητα 5 Δηλαδή ισχύει f ' ισχύει για τα διακεκριμένα σημεία και. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η f 5 είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ότι: f ' 5 ' Επίσης παρατηρούμε ότι: f ', f ' για κάθε και η ισότητα Δηλαδή ισχύει f ' ισχύει για τα άπειρα αλλά διακεκριμένα σημεία,. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν δεν ξέρουμε τον τύπο της f τότε χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που μας δίνουν ως δεδομένα καταλήγουμε στο f( ) ή στο f( ). 78

3 9.3 Δίνεται συνάρτηση f : τύπο g f ώστε να ισχύει g f παραγωγίσιμη στο, καθώς και συνάρτηση g με ' για κάθε. Να εξετάσετε την συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία. ΛΥΣΗ f f ' Είναι g' για κάθε. f Όμως g f ' f ' f ' f f ό f f f ' για κάθε. Δηλαδή g' για κάθε, επομένως g γνησίως φθίνουσα στο. 9.4 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία υποθέτουμε ότι: 3 f f e 3, Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ΛΥΣΗ Με παραγωγίση έχουμε: f ' f f ' e f ' f e Αν Αν e e e f ' f e. άρα άρα e e e e. Συνεπώς από την είναι φανερό ότι: άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. f ' για κάθε e Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Στις περισσότερες ασκήσεις όμως το f ( ) δεν διατηρεί πρόσημο άρα και η συνάρτηση f δεν διατηρεί μονοτονία. Οπότε για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς την μονοτονία κάνουμε τα παρακάτω: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f. Εξετάζουμε την f ως προς την συνέχεια. 79

4 Βρίσκουμε την f και λύνουμε την εξίσωση f( ). Φτιάχνουμε πίνακα με το πρόσημο της f στον οποίο τοποθετούμε το πεδίο ορισμού της f, τις ρίζες της f τα σημεία που δεν είναι συνεχής η f και αν είναι πολύκλαδη εκεί που αλλάζει ο τύπος. Το πρόσημο της f το βρίσκουμε λύνοντας τις ανισώσεις f( ), f( ) ή με την μέθοδο της επιλεγμένης τιμής. 9.5 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: 3 α) f 6 3. β) f. ln ΛΥΣΗ α) Είναι f και η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. Η f είναι παραγωγίσιμη με f Είναι ' 3 6. f ' 3 6. Το πρόσημο της f ' δίνεται στον παρακάτω πίνακα: f f ' Επομένως η συνάρτηση f : Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα,, ισχύει f ' στα διαστήματα, Είναι γνησίως φθίνουσα στο,,,,. f ' στο, και. αφού είναι συνεχής και β) Πρέπει ln ορισμού της. Η f είναι παραγωγίσιμη με άρα,, f ' και η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο f ln ln ln ln 8

5 ln Είναι f ' ln ln ln e ln Το πρόσημο της f ' δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: e ' f f Επομένως η συνάρτηση f : Είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα,,, e αφού είναι συνεχής και ισχύει f ' στα διαστήματα,,, e. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα στο διάστημα e,. e, αφού είναι συνεχής και ισχύει e 9.6 Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f. f ' ΛΥΣΗ Η f έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. f ' Οπότε είναι: 4 3 e e e e ' f, για κάθε. Όμως, έχουμε: e 3 f ' 3 3 f '.. Επομένως έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων της f ': f ' + - f Επομένως η f, είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. 8

6 Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Στις πολύκλαδες συναρτήσεις στα σημεία που αλλάζει ο τύπος και στα κλειστά άκρα του πεδίου ορισμού πρέπει να εξετάζουμε την συνέχεια. Όμως δεν χρειάζεται να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα αφού χρειάζεται να είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση στο εσωτερικό του διαστήματος. στα διαστήματα 6. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f ( ),, και στο είναι συνεχής τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,,. Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε είναι γνησίως αύξουσα στο,, είναι γνησίως αύξουσα στο, αλλά σε όλο το,, δεν ξέρουμε αν είναι. 9.7 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: f. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f, έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής με f για κάθε,., Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο ', 9.8 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: α), f ln, β) e e, f. ln, ΛΥΣΗ α) Εξετάζουμε τη συνέχεια στο. Είναι lim f lim lim f lim ln και, lim f lim f f, οπότε f συνεχής στο. Βρίσκουμε την παράγωγο της f στα, και,. f άρα 8

7 Για, έχουμε f ' f ' δεκτή. Για Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της, έχουμε f ' και f ' για κάθε, f ' f ' f Άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο, επειδή είναι συνεχής στο, η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. β) Μελετούμε τη συνέχεια στο, f ee lim f lim e e e e και f άρα συνεχής στο. Παραγωγισιμότητα στα, και,. Για f ' e e ' e e., έχουμε και γνήσια αύξουσα στα, και lim lim ln ln, και f ' e e e e απορρίπτεται (δεν γνωρίζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ) Για f ' ln ln, έχουμε ln ln f ' ln απορρίπτεται ή Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της e f '. ln e απορρίπτεται. e e - ln + f ' - + f 83

8 Οπότε η f είναι γνήσια φθίνουσα στο,,. και γνήσια αύξουσα στο 9.9 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln, f, e,. ΛΥΣΗ Η f δεν είναι συνεχής στο, αφού: lim f lim ln f (κανόνας Hospital): και lim f lim e f. Όμως η f είναι συνεχής στο διάστημα Παραγωγισιμότητα στα Για, έχουμε ' f ' αδύνατη. Για, έχουμε, και,. f e. f ' ln. f ' ln e., και στο, Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f '. e f ' f Από τη συνέχεια της f και τον παραπάνω πίνακα, έχουμε ότι: Η f, είναι γνησίως φθίνουσα στο, και στο ενώ στο, δεν είναι συνεχής).,e, (η f είναι συνεχής στο,e, Ακόμα η f είναι γνησίως αύξουσα στο e,. 84

9 Κατηγορία η Πρόσημο συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης: Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης τότε. Λύνουμε την f ή την f κάνοντας παραγοντοποιήσεις, Horner κ.τ.λ. αν ο παραπάνω τρόπος δεν μπορεί να εφαρμοσθεί τότε επιλέγουμε τον επόμενο τρόπο.. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f Βρίσκουμε μια ρίζα ρ της f Αποδεικνύουμε ότι αυτή η ρίζα ρ είναι μοναδική Παίρνουμε > ρ και < ρ και αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ Οπότε βρίσκουμε το πρόσημο της συνάρτησης 9. Δίνεται η συνάρτηση ΛΥΣΗ f e 3. Βρείτε το πρόσημο της f. Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής με Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα. f ' e, για κάθε. Επειδή f, το είναι ρίζα της f και αφού είναι γνησίως αύξουσα, το είναι μοναδική ρίζα της f και για για είναι f f είναι f f Άρα το πρόσημο της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω πίνακα. f

10 9. Έστω μια συνάρτηση f :, με f f στο, και f '' για κάθε, ', η f ' είναι συνεχής. Να βρείτε το πρόσημο της f. ΛΥΣΗ Επειδή η f ' είναι συνεχής στο, και ισχύει f ' είναι γνησίως αύξουσα στο,. f '', για κάθε,, έχουμε ότι η Το είναι ρίζα της f ' και επειδή η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι μοναδική ρίζα οπότε έχουμε: άρα f ' f ' ( > β δεν παίρνουμε γιατί είναι εκτός του πεδίου ορισμού) και επειδή η f είναι συνεχής στο, έχουμε f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Οπότε για ορισμού). έχουμε f f ( < α δεν παίρνουμε γιατί είναι εκτός του πεδίου Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Για να βρούμε την μονοτονία της συνάρτησης f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f( ) και να βρούμε το πρόσημο της f ( ). Αυτό πάντοτε δεν είναι εφικτό με τους κλασικούς τρόπους. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε την μεθοδολογία που περιγράψαμε στις δύο παραπάνω ασκήσεις. 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: f 4 ln α) f e β) f 6 ln 3 6 γ) 3 ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής με f ' 4ln ' 4 4 ln 44ln 34ln 86

11 Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να βρούμε τις ρίζες και να προσδιορίσουμε το πρόσημο της: f ' 34ln Γι' αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε ισχύει ότι: f '' 3 4ln ' 4 Δηλαδή είναι,, άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα. f '' για κάθε Επίσης παρατηρούμε ότι: f ' 34ln 34 άρα το είναι ρίζα και μάλιστα μοναδική αφού η f ' είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα έχουμε: f ' f ' f ' f f f ' ' ' Τα παραπάνω συμπεράσματα, καθώς και η μονοτονία της f φαίνονται στον επόμενο πίνακα. e f '' - - ' f + - f β) Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής με f ' e ' e Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της: f ' Γι' αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε ισχύει ότι: f '' e ' e Τις ρίζες και το πρόσημο της f '' μπορούμε να τα βρούμε. Έχουμε: f '' e e f '' e e e e f ''... 87

12 Άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο Άρα έχουμε: f ' f f f ' ' ' f ' f f f ' ' ' Οπότε ισχύει ότι, f ' για κάθε,,, θα είναι γνησίως αύξουσα στο. και γνησίως αύξουσα στο Τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στον επόμενο πίνακα.,. και επειδή η f είναι συνεχής στο f '' - + f ' + + f γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής με 3 f ' 6 ln 3 6 ' ln ln ln 6 6 Για κάθε, έχουμε: f '' ln6 6 ' ln ln Πρέπει να βρούμε και την τρίτη παράγωγο γιατί δεν μπορούμε να βρούμε ρίζες και μονοτονία της f ''. ''' ln '. Για κάθε, έχουμε: f Εργαζόμαστε όπως στα προηγούμενα ερωτήματα και βρίσκουμε τα πρόσημα των f ''', f '' και f ', τα οποία, μαζί με τη μονοτονία της f, φαίνονται συνοπτικά στο παρακάτω πίνακα: f ''' + - f '' - - f ' + - f 88

13 Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Για να βρούμε την μονοτονία της συνάρτησης f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f( ) και να βρούμε το πρόσημο της f ( ). Αυτό πάντοτε δεν είναι εφικτό οπότε με την προηγούμενη μεθοδολογία βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο. Όμως η δεύτερη παράγωγος είναι συνθετότερη της πρώτης. Σε αυτήν την περίπτωση παίρνω ένα κομμάτι της πρώτης παραγώγου (αυτό που δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο) και το παραγωγίζω και βρίσκω το πρόσημο του. 9.3 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ln ΛΥΣΗ ln Η f έχει πεδίο ορισμού το D f,, και είναι συνεχής σε αυτό με ln ln ln ' ' f Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f ' και αν βρούμε την f '', διαπιστώνουμε ότι είναι ακόμα πιο σύνθετη. Παρατηρούμε όμως ότι για,, ισχύει ότι: άρα το πρόσημο της f. f ' καθορίζεται από το πρόσημο της παράστασης ln. Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση: g ln, με, Για κάθε, είναι: g' ln ' ln ln Το πρόσημο της g ' και η μονοτονία της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g g g g g g' + - g g g g Άρα για κάθε, είναι, g, άρα για κάθε,, f '. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και στο,. 89 είναι

14 Κατηγορία 3 η Παραμετρικές Τρόπος αντιμετώπισης: Για να βρούμε την τιμή μιας παραμέτρου κ ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ απαιτούμε f ή f. Βέβαια η f ( ) πρέπει να μηδενίζεται για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. f ΛΥΣΗ Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο ως πολυωνυμική και είναι με 36 3 f ' 3 6. Αν 3 f ' για κάθε αφού. Άρα για 3 η f είναι γνησίως αύξουσα στο., τότε Αν 3, τότε 6 f ' και 8 3 f ' για κάθε. 3 Άρα η f γνησίως αύξουσα στο. Αν 3, τότε η f ' έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και η πρόσημο εκατέρωθεν των ριζών οπότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο. f ' αλλάζει Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο αν 3. 9

15 Κατηγορία 4 η Επίλυση εξισώσεων εύρεση ριζών Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική λύση Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως f Βρίσκουμε μια ρίζα της f με τους γνωστούς τρόπους (προφανής ρίζα, σύνολο τιμών, Βolzano ). Aποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη άρα η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική. 9.5 Δίνεται η συνάρτηση 3 α) Να βρείτε τη μονοτονία της f στο, f 3. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο,. γ) Αν ΛΥΣΗ , δείξτε ότι η εξίσωση f έχει ακριβώς μία ρίζα στο, α) Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f ' 3 3. Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - f ' f Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Το σύνολο τιμών της f στο, είναι το f, f, f 6 3,6 3. 9

16 6 6 γ) Αν, τότε 6 3 6, δηλαδή 6 3 και οπότε: 63,6 3 και επομένως η f έχει ακριβώς μία ρίζα,, αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. 9.6 Να λυθεί η εξίσωση. ΛΥΣΗ Έχουμε. Θεωρούμε τη συνάρτηση f. Προφανής ρίζα το αφού ισχύει f. Επιπλέον, είναι f ',, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και επομένως η ρίζα είναι μοναδική. 9.7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 3e 3 3 έχει μοναδική λύση, η οποία ανήκει στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Με η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: e 3 3 3e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3e 3 3, με Ισχύουν τα εξής: Η f είναι συνεχής στο,. 3 f 7 και f 3, e f f. άρα, Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzanoη εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία. Για κάθε είναι: 3 e e f ' 3e 3 3 ' 3e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Επομένως η εξίσωση f, άρα και η αρχική, έχει μοναδική ρίζα στο, η οποία ανήκει στο διάστημα,. 9

17 9.8 Δείξτε ότι η εξίσωση e ΛΥΣΗ Τρόπος αντιμετώπισης:. Έστω μια εξίσωση της μορφής f με ρ μια ρίζα της και η συνάρτηση f δεν διατηρεί μονοτονία. Μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα ρ είναι μοναδική αρκεί η μονοτονία της f να αλλάζει μόνο στο ρ. έχει ακριβώς μία ρίζα. Θεωρούμε την συνάρτηση f e. Ισχύει f, δηλαδή η εξίσωση έχει ρίζα την. Είναι f ' e, για κάθε και f ' e. Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: f ' - + f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f, Για κάθε f f f, άρα η f f Για κάθε f f f, άρα η f Επομένως, η και γνησίως αύξουσα στο,. δεν έχει θετική ρίζα. δεν έχει αρνητική ρίζα. είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f e. Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Σε μερικές ασκήσεις θέτουμε το πρώτο μέλος ως f αλλά δεν μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της f ' δηλαδή την μονοτονία της f. Στην περίπτωση αυτή πρώτα μετασχηματίζουμε την αρχική εξίσωση και μετά θέτουμε το πρώτο μέλος ως f. 93

18 9.9 Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ e e e Με μια πρώτη προσπάθεια διαπιστώνουμε ότι θεωρώντας τη συνάρτηση: f e e e δεν οδηγούμαστε σε λύση, διότι αντιμετωπίζουμε πρόβλημα με το πρόσημο των f ', f '' κ.λπ. Για τον λόγο αυτό μετασχηματίζουμε την εξίσωση, ενέργεια που κάνουμε συχνά σε παρόμοιες περιπτώσεις. Η εξίσωση e e e γράφεται ισοδύναμα: e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e, Παρατηρούμε ότι f, οπότε η είναι ρίζα της f. Είναι: f ' e και f ' e Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: f ' - + f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Για κάθε f f f. Άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Για κάθε f f f. Άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Επομένως η f έχει μοναδική ρίζα τη, αφού f και. f για κάθε Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Φέρνουμε την εξίσωση στην μορφή f(κ()) = f(λ()). Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη άρα και - Οπότε η f(κ()) = f(λ()) γίνεται κ() = λ(). 94

19 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: e e β) ln,, α) ln ΛΥΣΗ α) Για κάθε έχουμε: e ln e e ln e Έστω η συνάρτηση ln f e e, Έχουμε f ' e, για κάθε Άρα f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η f είναι. Η f γράφεται ισοδύναμα : f f β) Για κάθε, έχουμε: ln ln ln ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση f ln,. Για κάθε είναι f ' Άρα f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η f είναι. f, Η γράφεται ισοδύναμα f f : 4 ύ,. 95

20 Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Ένας από τους τρόπους για να βρούμε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης είναι ο ακόλουθος: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως f Μελετάμε την f ως προς την μονοτονία και βρίσκουμε τα διαστήματα που η f διατηρεί μονοτονία. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών για καθένα από τα παραπάνω διαστήματα. Ελέγχουμε για κάθε σύνολο τιμών αν περιέχει το. Εφόσον το περιέχει σε εκείνο το διάστημα η ρίζα είναι μοναδική αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Αν δεν το περιέχει τότε σε εκείνο το διάστημα η συνάρτηση δεν έχει ρίζα. 9. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 ΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση 3 f 3. Για κάθε είναι: f ' Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, lim, lim f f f Είναι δηλαδή,,3,, οπότε το σύνολο τιμών της στο,. lim f lim 3 3 lim 3 και f lim 3 f και επειδή,3 η, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, οπότε έχει σύνολο τιμών το,,, 3 f f f - ' f f 96 είναι: f έχει μοναδική ρίζα

21 και επειδή,3 η f έχει μοναδική ρίζα φθίνουσα. Η f είναι στο,, οπότε έχει σύνολο τιμών f, lim f, lim f Είναι Άρα f,,, αφού είναι γνησίως. lim f lim 3 3 lim 3. και lim f και αφού,, η f έχει μοναδική ρίζα αύξουσα. Επομένως, η εξίσωση f έχει ακριβώς 3 ρίζες. 9. Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Βρείτε πόσες ρίζες έχει η συνάρτηση f. ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το. Είναι: f ' ' f ' ή 3,, αφού f γνησίως Το πρόσημο της f ' βρίσκεται με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής (ή με πρόσημο τριωνύμου) και φαίνεται στον πίνακα. Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα διαστήματα,,,.,, β) Η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στα διαστήματα, και 4,. f ' f Θα βρούμε τα f, f, f 3, f 4. Είναι:, και γνησίως φθίνουσα στα,,, 3, 97

22 lim,, f f f lim f lim και f lim, lim, f f f lim f και lim f lim f 3, lim f lim και lim f f 4, f και f lim lim Επομένως το σύνολο τιμών f της f είναι: f f f f f 3 4,, γ) Επειδή το δεν ανήκει σε κανένα από τα f, f, f 3, 4 ρίζες. f η f δεν έχει Κατηγορία 5 η Μονοτονία και αντίστροφη Τρόπος αντιμετώπισης:. Μια συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη είναι - άρα και αντιστρέψιμη.. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f. e 9.3 Δίνεται η συνάρτηση f ln e α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 98

23 γ) Να δείξετε ότι η f είναι και μετά να βρείτε την αντίστροφή της. ΛΥΣΗ α) Η f ορίζεται, όταν Άρα, η f έχει πεδίο ορισμού το Βρίσκουμε ότι: e e e e, e f ', για κάθε. e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Έχουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο. Οπότε f lim f, lim f Είναι: e e e lim, οπότε lim ln e e e e e e lim lim lim e οπότε e e e e Άρα f,. e lim ln ln. e γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και άρα και αντιστρέψιμη. Οπότε ορίζεται η f : f Για κάθε y f, έχουμε e e y y y f y ln y e e e e e e e y y y e e e e e, y e Άρα ln y e f y ή y e f ln, e e 99

24 Κατηγορία 6 η Επίλυση ανισώσεων - ανισοτήτων Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να λύσουμε μια ανίσωση δηλαδή για να βρούμε τις τιμές των ώστε να ισχύει μια ανισωτική σχέση κάνουμε τα παρακάτω: Φέρνουμε την ανίσωση στην μορφή f(κ()) > f(λ()). Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτηση f. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε η f(κ()) > f(λ()) γίνεται κ() > λ(). Ενώ αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα τότε η f(κ()) < f(λ()) γίνεται κ() < λ(). 9.4 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το ισχύει ότι: f ' ' Η ισότητα f ' ισχύει όταν:, δηλαδή σε διακεκριμένα σημεία. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) i) Με, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ii) Με, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ή 3

25 9.5 Να λυθεί η ανίσωση Πότε ισχύει η ισότητα; ΛΥΣΗ Επειδή 3 3, a., η ανίσωση γράφεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: () f, f ' ln για κάθε, διότι ln (αφού ) οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Έτσι η σχέση () γράφεται: f f 3,. Η ισότητα ισχύει όταν f f. Επειδή η συνάρτηση f ως γνησίως αύξουσα, είναι -, αυτό θα συμβαίνει, αν και μόνο αν: ή. ln 9.6 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. γ) Αν ή, να αποδείξετε ότι ln ln ln. ΛΥΣΗ α) Πρέπει και, οπότε,,. β) Για κάθε είναι: ln ln ln f ' Εδώ συναντάμε την πρώτη δυσκολία, διότι δεν μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση Ωστόσο, αν θέσουμε g ln, τότε: g και g' Όπως δείχνει ο πίνακας της μονοτονίας της g, η g είναι θετική στο Α. f '.

26 Αλλά f ' g και επομένως Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα f ' για κάθε.,,,. γ) Προσπαθούμε αρχικά να βρούμε τι σχέση έχει η δοσμένη ανισότητα με την f. Η ανισότητα γράφεται: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln f f (). (Αν και διότι πάλι g - + ' g + + )., τότε. Αν και, τότε Όμως σε καθένα από τα,,,, θα ισχύει f f. Ισχύει λοιπόν η σχέση () και έτσι η δοσμένη ανισότητα αποδείχθηκε. 9.7 Δίνεται η συνάρτηση ln f e. α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ' ως προς τη μονοτονία. η f είναι γνησίως αύξουσα και επειδή β) Να λύσετε την ανίσωση f 4 f 3 f 4 f 4 () ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το,. Είναι f ' e, Άρα η f ' είναι γνησίως αύξουσα. '',. και f e β) Η ανίσωση () ορίζεται σε όλο το και γράφεται ισοδύναμα: 4 4 f f f 4 f 3 ()

27 , t. Θεωρούμε τη συνάρτηση gt f t f t 4 Οπότε η () g g 3 (3), t Είναι g' t f ' t f ' t f και t t είναι f ' t f ' t, για κάθε t. Επειδή ', g, οπότε η (3) 4 4 Επομένως,,,. Άρα,,. 3 Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να αποδείξουμε μια ανισότητα ότι ισχύει για κάθε κάνουμε τα παρακάτω: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτηση f. Παίρνουμε > ρ και < ρ και αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ Το ρ είναι κατάλληλος αριθμός για να αποδειχθεί η ανισότητα συνήθως είναι η ρίζα της f ή το σημείο αλλαγής της μονοτονίας. 9.8 Να αποδείξετε ότι: α) e για κάθε, β) e για κάθε, ln e για κάθε. γ) ΛΥΣΗ α) Για κάθε, η ανισότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται: e e 3

28 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e,, Για κάθε, f ' e ' e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. ισχύει ότι: f Επομένως ισχύει: f f f e e. β) Για κάθε, η ανισότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται: e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e Για κάθε είναι:, με f ' e ' e Έχουμε: f ' e e f ' e e e e f '... Το πρόσημο της f ' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Παρατηρούμε ότι: f ' - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f, άρα: f f f f,, άρα: f f f Άρα για κάθε ισχύει ότι: f e e γ) Για κάθε, η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται: ln e ln e Θεωρούμε τη συνάρτηση: gln e, με, 4

29 Για κάθε, είναι: ' g e και g'' e Άρα η g ' είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως ισχύει: g ' g' g' g' g' για κάθε Δηλαδή είναι, είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως ισχύει: g και η g είναι συνεχής στο g g ln e ln e,, άρα η g 9.9 Να αποδειχθεί ότι: ln για κάθε ΛΥΣΗ Επειδή ln ln, θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln, Είναι: f ' ln ' ln ln f ' ln Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f f f f f f Άρα f για κάθε., και γνησίως αύξουσα στο Έτσι: f ln ln για κάθε,. Επομένως: 9.3 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες: e α) e για κάθε β) e για κάθε ΛΥΣΗ α) Η ανισότητα e e γίνεται ισοδύναμα: ln e ln eln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση ln e e e f,. e 5

30 Παρατηρούμε ότι f e. Είναι: f ' e και f ' e Από τον πίνακα προσήμου της f ' προκύπτει ότι: e f ' + - f η f είναι γνησίως αύξουσα στο,e, οπότε: e f f e f η f είναι γνησίως φθίνουσα στο e,, οπότε: e f f e f Επομένως για κάθε β) Θεωρούμε τη συνάρτηση: Παρατηρούμε ότι ισχύει ότι: ln f. Είναι: f ' e Η εξίσωση e e f e f e, με f ' και f '' έχει μοναδική λύση τη. f '' για οπότε η ' είναι: f '' e για κάθε f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Για f ' f ' f ' οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. f f f e e Επομένως: 6

31 Κατηγορία 7 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές 9.3 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο, και παραγωγίσιμες στο,, με f g και f ' g' για κάθε,. Να δείξετε ότι f g για κάθε,. ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι f g για, Για αυτό θεωρούμε την h f g,, και την μελετούμε ως προς τη μονοτονία της.., που είναι συνεχής στο διάστημα αυτό Έτσι, είναι h' f ' g', που λόγω της f ' g' είναι h',, οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο,. Επομένως για, έχουμε h h f g δηλαδή f g, 9.3 Αν για τις συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα, ισχύει f ' g',, τότε για κάθε, ισχύει ότι g g f f ΛΥΣΗ Η συνάρτηση h f g στο διάστημα έχει παράγωγο h f g οπότε είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα. Επομένως για κάθε,, με ισχύει h h f f g g ' ' ' ή g g f f Δίνεται η συνάρτηση f : με f '' για κάθε. Να αποδειχθεί ότι αν, τότε ισχύει: f f ' f για κάθε. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f ' f, Είναι g' f ' f ' και g f f f '' ' ' ' ''. 7

32 Επομένως η επειδή g ' έχουμε g ' είναι γνησίως φθίνουσα και a άρα g' g' a δηλαδή η g ' είναι θετική στο, a άρα g' < g' a δηλαδή η g ' είναι αρνητική στο,. Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Επειδή g θα είναι: a g ga a g ga άρα < άρα < Δηλαδή g g g f f ' f για κάθε και Β τρόπος Για a f f' f f f f ' Από ΘΜΤ για την f στο διάστημα a, έχουμε f f f ' άρα f ' > f ' οπότε Για a f f' f f f f ' Από ΘΜΤ για την f στο διάστημα, a έχουμε f f f ' άρα f ' < f ' οπότε Άρα f f ' f κάθε για 9.34 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, f f και f '' για κάθε, να αποδειχθεί ότι:, α) υπάρχει τέτοιο, ώστε β) f για κάθε,. ΛΥΣΗ f ', α) Αφού f f και η f είναι παραγωγίσιμη στο, Rolle, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f '. και ισχύουν:, σύμφωνα με το θεώρημα 8

33 β) Η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο,, διότι για παίρνουμε f ' f ' και για παίρνουμε f ' f '. f '', οπότε: Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, δηλαδή: για είναι f f και για είναι f f. Άρα για κάθε, είναι f. Σύνθετες ασκήσεις 9.35 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης,. ΛΥΣΗ Η f είναι παραγωγίσιμη στο Με,, με ' έχουμε Με, f 3 f για κάθε ισχύει. f ', άρα f στο έχουμε,. f ', άρα f στο,. Τρόπος αντιμετώπισης: Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο, όπου και διαστήματα και η f ' έχει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο των και, τότε η f είναι γνησίως μονότονη (με το ίδιο είδος μονοτονίας) σε καθένα από τα διαστήματα και. Δεν μπορούμε όμως να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο. 9

34 . Αν στα διαστήματα,,, η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) και στο είναι συνεχής τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε όλο το σύνολο,,. Αν στα διαστήματα,,,. δεν είναι συνεχής αλλά lim f lim f η f είναι γνησίως αύξουσα και στο αύξουσα σε όλο το σύνολο,, 3. Αν στα διαστήματα,,, τότε η f είναι γνησίως. δεν είναι συνεχής αλλά lim f lim f η f είναι γνησίως φθίνουσα και στο φθίνουσα σε όλο το σύνολο,, τότε η f είναι γνησίως Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:, 3 f e 3, 3 ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση f e, 3, 3 3 ισχύει ότι: lim lim lim lim 3 και: f e e 3 Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 3. Για 3 Για 3 είναι f 3 3 f ' ' και ισχύει είναι f e 3 και ισχύει f ' e 3 ' e 3e e Το πρόσημο της f ' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

35 3 ' f f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο στο 3,.,, γνησίως αύξουσα στο, 3 και γνησίως αύξουσα Επειδή ισχύει ότι lim f lim f η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο 3 3,. Τρόπος αντιμετώπισης: Σε κάποιες θεωρητικές ασκήσεις για να βρούμε το πρόσημο της f πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μέσης τιμής Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f είναι γνησίως αύξουσα και g με f. Αν η συνάρτηση f ' με, τότε: α) να βρεθεί η παράγωγος της g ως συνάρτηση των f και f ', β) να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, γ) να εξεταστεί αν η g είναι γνησίως αύξουσα. ΛΥΣΗ α) Η g έχει πεδίο ορισμού το,,. Η g είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f f ' ' ' f g () β) Λόγω της () και επειδή f, μπορούμε να γράψουμε: Αν g' f ' f f, τότε από το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα,, υπάρχει, f f ώστε: f ' f f f ' () τέτοιο,

36 Έτσι η σχέση () γίνεται: f ' f ' f ' f ' g' (3) Επειδή και η ' Επειδή ακόμα είναι f είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει f ' f '., η σχέση (3) δίνει g' για κάθε, Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Αν., υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f f ' f ' f ' f ' f ' () δίνει: g' και έτσι f ' f '. Επειδή, θα είναι Αλλά τώρα είναι,. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο,. γ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε: δηλαδή lim g lim g f '. και έτσι η σχέση f f lim f ' g' για κάθε Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα είναι: g lim g f ' για κάθε Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, για κάθε Έτσι αν g f ' g Επειδή επιπλέον η g είναι γνησίως αύξουσα στα, θα είναι: g lim g f ', θα είναι, δηλαδή g g,, γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της,,.., συμπεραίνουμε ότι η g είναι

37