2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ."

Transcript

1 Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα f( ) ισχύει για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα f( ) ισχύει για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. 9. Να αποδείξετε ότι: 3 α) η συνάρτηση f e είναι γνησίως αύξουσα στο, β) η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο,. ΛΥΣΗ 3 α) Η συνάρτηση συναρτήσεων. f e είναι συνεχής στο, ως πράξεις μεταξύ συνεχών 77

2 Επίσης για κάθε ισχύει: f e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 3 ' ' 3 β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο συναρτήσεων. Επίσης για κάθε, ισχύει: f ' ' Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,.,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: f 3 5 β) f 5 α) ΛΥΣΗ f 3 5 είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει: α) Η f ' 3 5 ' Επίσης παρατηρούμε ότι: f ' 5 ή f ' για κάθε και η ισότητα 5 Δηλαδή ισχύει f ' ισχύει για τα διακεκριμένα σημεία και. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η f 5 είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ότι: f ' 5 ' Επίσης παρατηρούμε ότι: f ', f ' για κάθε και η ισότητα Δηλαδή ισχύει f ' ισχύει για τα άπειρα αλλά διακεκριμένα σημεία,. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν δεν ξέρουμε τον τύπο της f τότε χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που μας δίνουν ως δεδομένα καταλήγουμε στο f( ) ή στο f( ). 78

3 9.3 Δίνεται συνάρτηση f : τύπο g f ώστε να ισχύει g f παραγωγίσιμη στο, καθώς και συνάρτηση g με ' για κάθε. Να εξετάσετε την συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία. ΛΥΣΗ f f ' Είναι g' για κάθε. f Όμως g f ' f ' f ' f f ό f f f ' για κάθε. Δηλαδή g' για κάθε, επομένως g γνησίως φθίνουσα στο. 9.4 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία υποθέτουμε ότι: 3 f f e 3, Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ΛΥΣΗ Με παραγωγίση έχουμε: f ' f f ' e f ' f e Αν Αν e e e f ' f e. άρα άρα e e e e. Συνεπώς από την είναι φανερό ότι: άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. f ' για κάθε e Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Στις περισσότερες ασκήσεις όμως το f ( ) δεν διατηρεί πρόσημο άρα και η συνάρτηση f δεν διατηρεί μονοτονία. Οπότε για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς την μονοτονία κάνουμε τα παρακάτω: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f. Εξετάζουμε την f ως προς την συνέχεια. 79

4 Βρίσκουμε την f και λύνουμε την εξίσωση f( ). Φτιάχνουμε πίνακα με το πρόσημο της f στον οποίο τοποθετούμε το πεδίο ορισμού της f, τις ρίζες της f τα σημεία που δεν είναι συνεχής η f και αν είναι πολύκλαδη εκεί που αλλάζει ο τύπος. Το πρόσημο της f το βρίσκουμε λύνοντας τις ανισώσεις f( ), f( ) ή με την μέθοδο της επιλεγμένης τιμής. 9.5 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: 3 α) f 6 3. β) f. ln ΛΥΣΗ α) Είναι f και η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. Η f είναι παραγωγίσιμη με f Είναι ' 3 6. f ' 3 6. Το πρόσημο της f ' δίνεται στον παρακάτω πίνακα: f f ' Επομένως η συνάρτηση f : Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα,, ισχύει f ' στα διαστήματα, Είναι γνησίως φθίνουσα στο,,,,. f ' στο, και. αφού είναι συνεχής και β) Πρέπει ln ορισμού της. Η f είναι παραγωγίσιμη με άρα,, f ' και η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο f ln ln ln ln 8

5 ln Είναι f ' ln ln ln e ln Το πρόσημο της f ' δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: e ' f f Επομένως η συνάρτηση f : Είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα,,, e αφού είναι συνεχής και ισχύει f ' στα διαστήματα,,, e. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα στο διάστημα e,. e, αφού είναι συνεχής και ισχύει e 9.6 Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f. f ' ΛΥΣΗ Η f έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. f ' Οπότε είναι: 4 3 e e e e ' f, για κάθε. Όμως, έχουμε: e 3 f ' 3 3 f '.. Επομένως έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων της f ': f ' + - f Επομένως η f, είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. 8

6 Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Στις πολύκλαδες συναρτήσεις στα σημεία που αλλάζει ο τύπος και στα κλειστά άκρα του πεδίου ορισμού πρέπει να εξετάζουμε την συνέχεια. Όμως δεν χρειάζεται να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα αφού χρειάζεται να είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση στο εσωτερικό του διαστήματος. στα διαστήματα 6. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f ( ),, και στο είναι συνεχής τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,,. Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε είναι γνησίως αύξουσα στο,, είναι γνησίως αύξουσα στο, αλλά σε όλο το,, δεν ξέρουμε αν είναι. 9.7 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: f. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f, έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής με f για κάθε,., Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο ', 9.8 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: α), f ln, β) e e, f. ln, ΛΥΣΗ α) Εξετάζουμε τη συνέχεια στο. Είναι lim f lim lim f lim ln και, lim f lim f f, οπότε f συνεχής στο. Βρίσκουμε την παράγωγο της f στα, και,. f άρα 8

7 Για, έχουμε f ' f ' δεκτή. Για Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της, έχουμε f ' και f ' για κάθε, f ' f ' f Άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο, επειδή είναι συνεχής στο, η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. β) Μελετούμε τη συνέχεια στο, f ee lim f lim e e e e και f άρα συνεχής στο. Παραγωγισιμότητα στα, και,. Για f ' e e ' e e., έχουμε και γνήσια αύξουσα στα, και lim lim ln ln, και f ' e e e e απορρίπτεται (δεν γνωρίζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ) Για f ' ln ln, έχουμε ln ln f ' ln απορρίπτεται ή Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της e f '. ln e απορρίπτεται. e e - ln + f ' - + f 83

8 Οπότε η f είναι γνήσια φθίνουσα στο,,. και γνήσια αύξουσα στο 9.9 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln, f, e,. ΛΥΣΗ Η f δεν είναι συνεχής στο, αφού: lim f lim ln f (κανόνας Hospital): και lim f lim e f. Όμως η f είναι συνεχής στο διάστημα Παραγωγισιμότητα στα Για, έχουμε ' f ' αδύνατη. Για, έχουμε, και,. f e. f ' ln. f ' ln e., και στο, Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f '. e f ' f Από τη συνέχεια της f και τον παραπάνω πίνακα, έχουμε ότι: Η f, είναι γνησίως φθίνουσα στο, και στο ενώ στο, δεν είναι συνεχής).,e, (η f είναι συνεχής στο,e, Ακόμα η f είναι γνησίως αύξουσα στο e,. 84

9 Κατηγορία η Πρόσημο συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης: Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης τότε. Λύνουμε την f ή την f κάνοντας παραγοντοποιήσεις, Horner κ.τ.λ. αν ο παραπάνω τρόπος δεν μπορεί να εφαρμοσθεί τότε επιλέγουμε τον επόμενο τρόπο.. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f Βρίσκουμε μια ρίζα ρ της f Αποδεικνύουμε ότι αυτή η ρίζα ρ είναι μοναδική Παίρνουμε > ρ και < ρ και αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ Οπότε βρίσκουμε το πρόσημο της συνάρτησης 9. Δίνεται η συνάρτηση ΛΥΣΗ f e 3. Βρείτε το πρόσημο της f. Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής με Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα. f ' e, για κάθε. Επειδή f, το είναι ρίζα της f και αφού είναι γνησίως αύξουσα, το είναι μοναδική ρίζα της f και για για είναι f f είναι f f Άρα το πρόσημο της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω πίνακα. f

10 9. Έστω μια συνάρτηση f :, με f f στο, και f '' για κάθε, ', η f ' είναι συνεχής. Να βρείτε το πρόσημο της f. ΛΥΣΗ Επειδή η f ' είναι συνεχής στο, και ισχύει f ' είναι γνησίως αύξουσα στο,. f '', για κάθε,, έχουμε ότι η Το είναι ρίζα της f ' και επειδή η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι μοναδική ρίζα οπότε έχουμε: άρα f ' f ' ( > β δεν παίρνουμε γιατί είναι εκτός του πεδίου ορισμού) και επειδή η f είναι συνεχής στο, έχουμε f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Οπότε για ορισμού). έχουμε f f ( < α δεν παίρνουμε γιατί είναι εκτός του πεδίου Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Για να βρούμε την μονοτονία της συνάρτησης f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f( ) και να βρούμε το πρόσημο της f ( ). Αυτό πάντοτε δεν είναι εφικτό με τους κλασικούς τρόπους. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε την μεθοδολογία που περιγράψαμε στις δύο παραπάνω ασκήσεις. 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: f 4 ln α) f e β) f 6 ln 3 6 γ) 3 ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής με f ' 4ln ' 4 4 ln 44ln 34ln 86

11 Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να βρούμε τις ρίζες και να προσδιορίσουμε το πρόσημο της: f ' 34ln Γι' αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε ισχύει ότι: f '' 3 4ln ' 4 Δηλαδή είναι,, άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα. f '' για κάθε Επίσης παρατηρούμε ότι: f ' 34ln 34 άρα το είναι ρίζα και μάλιστα μοναδική αφού η f ' είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα έχουμε: f ' f ' f ' f f f ' ' ' Τα παραπάνω συμπεράσματα, καθώς και η μονοτονία της f φαίνονται στον επόμενο πίνακα. e f '' - - ' f + - f β) Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής με f ' e ' e Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της: f ' Γι' αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε ισχύει ότι: f '' e ' e Τις ρίζες και το πρόσημο της f '' μπορούμε να τα βρούμε. Έχουμε: f '' e e f '' e e e e f ''... 87

12 Άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο Άρα έχουμε: f ' f f f ' ' ' f ' f f f ' ' ' Οπότε ισχύει ότι, f ' για κάθε,,, θα είναι γνησίως αύξουσα στο. και γνησίως αύξουσα στο Τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στον επόμενο πίνακα.,. και επειδή η f είναι συνεχής στο f '' - + f ' + + f γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής με 3 f ' 6 ln 3 6 ' ln ln ln 6 6 Για κάθε, έχουμε: f '' ln6 6 ' ln ln Πρέπει να βρούμε και την τρίτη παράγωγο γιατί δεν μπορούμε να βρούμε ρίζες και μονοτονία της f ''. ''' ln '. Για κάθε, έχουμε: f Εργαζόμαστε όπως στα προηγούμενα ερωτήματα και βρίσκουμε τα πρόσημα των f ''', f '' και f ', τα οποία, μαζί με τη μονοτονία της f, φαίνονται συνοπτικά στο παρακάτω πίνακα: f ''' + - f '' - - f ' + - f 88

13 Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Για να βρούμε την μονοτονία της συνάρτησης f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f( ) και να βρούμε το πρόσημο της f ( ). Αυτό πάντοτε δεν είναι εφικτό οπότε με την προηγούμενη μεθοδολογία βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο. Όμως η δεύτερη παράγωγος είναι συνθετότερη της πρώτης. Σε αυτήν την περίπτωση παίρνω ένα κομμάτι της πρώτης παραγώγου (αυτό που δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο) και το παραγωγίζω και βρίσκω το πρόσημο του. 9.3 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ln ΛΥΣΗ ln Η f έχει πεδίο ορισμού το D f,, και είναι συνεχής σε αυτό με ln ln ln ' ' f Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f ' και αν βρούμε την f '', διαπιστώνουμε ότι είναι ακόμα πιο σύνθετη. Παρατηρούμε όμως ότι για,, ισχύει ότι: άρα το πρόσημο της f. f ' καθορίζεται από το πρόσημο της παράστασης ln. Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση: g ln, με, Για κάθε, είναι: g' ln ' ln ln Το πρόσημο της g ' και η μονοτονία της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g g g g g g' + - g g g g Άρα για κάθε, είναι, g, άρα για κάθε,, f '. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και στο,. 89 είναι

14 Κατηγορία 3 η Παραμετρικές Τρόπος αντιμετώπισης: Για να βρούμε την τιμή μιας παραμέτρου κ ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ απαιτούμε f ή f. Βέβαια η f ( ) πρέπει να μηδενίζεται για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. f ΛΥΣΗ Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο ως πολυωνυμική και είναι με 36 3 f ' 3 6. Αν 3 f ' για κάθε αφού. Άρα για 3 η f είναι γνησίως αύξουσα στο., τότε Αν 3, τότε 6 f ' και 8 3 f ' για κάθε. 3 Άρα η f γνησίως αύξουσα στο. Αν 3, τότε η f ' έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και η πρόσημο εκατέρωθεν των ριζών οπότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο. f ' αλλάζει Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο αν 3. 9

15 Κατηγορία 4 η Επίλυση εξισώσεων εύρεση ριζών Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική λύση Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως f Βρίσκουμε μια ρίζα της f με τους γνωστούς τρόπους (προφανής ρίζα, σύνολο τιμών, Βolzano ). Aποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη άρα η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική. 9.5 Δίνεται η συνάρτηση 3 α) Να βρείτε τη μονοτονία της f στο, f 3. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο,. γ) Αν ΛΥΣΗ , δείξτε ότι η εξίσωση f έχει ακριβώς μία ρίζα στο, α) Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f ' 3 3. Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - f ' f Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Το σύνολο τιμών της f στο, είναι το f, f, f 6 3,6 3. 9

16 6 6 γ) Αν, τότε 6 3 6, δηλαδή 6 3 και οπότε: 63,6 3 και επομένως η f έχει ακριβώς μία ρίζα,, αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. 9.6 Να λυθεί η εξίσωση. ΛΥΣΗ Έχουμε. Θεωρούμε τη συνάρτηση f. Προφανής ρίζα το αφού ισχύει f. Επιπλέον, είναι f ',, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και επομένως η ρίζα είναι μοναδική. 9.7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 3e 3 3 έχει μοναδική λύση, η οποία ανήκει στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Με η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: e 3 3 3e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3e 3 3, με Ισχύουν τα εξής: Η f είναι συνεχής στο,. 3 f 7 και f 3, e f f. άρα, Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzanoη εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία. Για κάθε είναι: 3 e e f ' 3e 3 3 ' 3e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Επομένως η εξίσωση f, άρα και η αρχική, έχει μοναδική ρίζα στο, η οποία ανήκει στο διάστημα,. 9

17 9.8 Δείξτε ότι η εξίσωση e ΛΥΣΗ Τρόπος αντιμετώπισης:. Έστω μια εξίσωση της μορφής f με ρ μια ρίζα της και η συνάρτηση f δεν διατηρεί μονοτονία. Μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα ρ είναι μοναδική αρκεί η μονοτονία της f να αλλάζει μόνο στο ρ. έχει ακριβώς μία ρίζα. Θεωρούμε την συνάρτηση f e. Ισχύει f, δηλαδή η εξίσωση έχει ρίζα την. Είναι f ' e, για κάθε και f ' e. Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: f ' - + f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f, Για κάθε f f f, άρα η f f Για κάθε f f f, άρα η f Επομένως, η και γνησίως αύξουσα στο,. δεν έχει θετική ρίζα. δεν έχει αρνητική ρίζα. είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f e. Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Σε μερικές ασκήσεις θέτουμε το πρώτο μέλος ως f αλλά δεν μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της f ' δηλαδή την μονοτονία της f. Στην περίπτωση αυτή πρώτα μετασχηματίζουμε την αρχική εξίσωση και μετά θέτουμε το πρώτο μέλος ως f. 93

18 9.9 Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ e e e Με μια πρώτη προσπάθεια διαπιστώνουμε ότι θεωρώντας τη συνάρτηση: f e e e δεν οδηγούμαστε σε λύση, διότι αντιμετωπίζουμε πρόβλημα με το πρόσημο των f ', f '' κ.λπ. Για τον λόγο αυτό μετασχηματίζουμε την εξίσωση, ενέργεια που κάνουμε συχνά σε παρόμοιες περιπτώσεις. Η εξίσωση e e e γράφεται ισοδύναμα: e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e, Παρατηρούμε ότι f, οπότε η είναι ρίζα της f. Είναι: f ' e και f ' e Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: f ' - + f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Για κάθε f f f. Άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Για κάθε f f f. Άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Επομένως η f έχει μοναδική ρίζα τη, αφού f και. f για κάθε Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Φέρνουμε την εξίσωση στην μορφή f(κ()) = f(λ()). Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη άρα και - Οπότε η f(κ()) = f(λ()) γίνεται κ() = λ(). 94

19 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: e e β) ln,, α) ln ΛΥΣΗ α) Για κάθε έχουμε: e ln e e ln e Έστω η συνάρτηση ln f e e, Έχουμε f ' e, για κάθε Άρα f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η f είναι. Η f γράφεται ισοδύναμα : f f β) Για κάθε, έχουμε: ln ln ln ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση f ln,. Για κάθε είναι f ' Άρα f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η f είναι. f, Η γράφεται ισοδύναμα f f : 4 ύ,. 95

20 Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Ένας από τους τρόπους για να βρούμε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης είναι ο ακόλουθος: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως f Μελετάμε την f ως προς την μονοτονία και βρίσκουμε τα διαστήματα που η f διατηρεί μονοτονία. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών για καθένα από τα παραπάνω διαστήματα. Ελέγχουμε για κάθε σύνολο τιμών αν περιέχει το. Εφόσον το περιέχει σε εκείνο το διάστημα η ρίζα είναι μοναδική αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Αν δεν το περιέχει τότε σε εκείνο το διάστημα η συνάρτηση δεν έχει ρίζα. 9. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 ΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση 3 f 3. Για κάθε είναι: f ' Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, lim, lim f f f Είναι δηλαδή,,3,, οπότε το σύνολο τιμών της στο,. lim f lim 3 3 lim 3 και f lim 3 f και επειδή,3 η, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, οπότε έχει σύνολο τιμών το,,, 3 f f f - ' f f 96 είναι: f έχει μοναδική ρίζα

21 και επειδή,3 η f έχει μοναδική ρίζα φθίνουσα. Η f είναι στο,, οπότε έχει σύνολο τιμών f, lim f, lim f Είναι Άρα f,,, αφού είναι γνησίως. lim f lim 3 3 lim 3. και lim f και αφού,, η f έχει μοναδική ρίζα αύξουσα. Επομένως, η εξίσωση f έχει ακριβώς 3 ρίζες. 9. Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Βρείτε πόσες ρίζες έχει η συνάρτηση f. ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το. Είναι: f ' ' f ' ή 3,, αφού f γνησίως Το πρόσημο της f ' βρίσκεται με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής (ή με πρόσημο τριωνύμου) και φαίνεται στον πίνακα. Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα διαστήματα,,,.,, β) Η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στα διαστήματα, και 4,. f ' f Θα βρούμε τα f, f, f 3, f 4. Είναι:, και γνησίως φθίνουσα στα,,, 3, 97

22 lim,, f f f lim f lim και f lim, lim, f f f lim f και lim f lim f 3, lim f lim και lim f f 4, f και f lim lim Επομένως το σύνολο τιμών f της f είναι: f f f f f 3 4,, γ) Επειδή το δεν ανήκει σε κανένα από τα f, f, f 3, 4 ρίζες. f η f δεν έχει Κατηγορία 5 η Μονοτονία και αντίστροφη Τρόπος αντιμετώπισης:. Μια συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη είναι - άρα και αντιστρέψιμη.. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f. e 9.3 Δίνεται η συνάρτηση f ln e α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 98

23 γ) Να δείξετε ότι η f είναι και μετά να βρείτε την αντίστροφή της. ΛΥΣΗ α) Η f ορίζεται, όταν Άρα, η f έχει πεδίο ορισμού το Βρίσκουμε ότι: e e e e, e f ', για κάθε. e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Έχουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο. Οπότε f lim f, lim f Είναι: e e e lim, οπότε lim ln e e e e e e lim lim lim e οπότε e e e e Άρα f,. e lim ln ln. e γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και άρα και αντιστρέψιμη. Οπότε ορίζεται η f : f Για κάθε y f, έχουμε e e y y y f y ln y e e e e e e e y y y e e e e e, y e Άρα ln y e f y ή y e f ln, e e 99

24 Κατηγορία 6 η Επίλυση ανισώσεων - ανισοτήτων Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να λύσουμε μια ανίσωση δηλαδή για να βρούμε τις τιμές των ώστε να ισχύει μια ανισωτική σχέση κάνουμε τα παρακάτω: Φέρνουμε την ανίσωση στην μορφή f(κ()) > f(λ()). Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτηση f. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε η f(κ()) > f(λ()) γίνεται κ() > λ(). Ενώ αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα τότε η f(κ()) < f(λ()) γίνεται κ() < λ(). 9.4 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το ισχύει ότι: f ' ' Η ισότητα f ' ισχύει όταν:, δηλαδή σε διακεκριμένα σημεία. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) i) Με, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ii) Με, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ή 3

25 9.5 Να λυθεί η ανίσωση Πότε ισχύει η ισότητα; ΛΥΣΗ Επειδή 3 3, a., η ανίσωση γράφεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: () f, f ' ln για κάθε, διότι ln (αφού ) οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Έτσι η σχέση () γράφεται: f f 3,. Η ισότητα ισχύει όταν f f. Επειδή η συνάρτηση f ως γνησίως αύξουσα, είναι -, αυτό θα συμβαίνει, αν και μόνο αν: ή. ln 9.6 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. γ) Αν ή, να αποδείξετε ότι ln ln ln. ΛΥΣΗ α) Πρέπει και, οπότε,,. β) Για κάθε είναι: ln ln ln f ' Εδώ συναντάμε την πρώτη δυσκολία, διότι δεν μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση Ωστόσο, αν θέσουμε g ln, τότε: g και g' Όπως δείχνει ο πίνακας της μονοτονίας της g, η g είναι θετική στο Α. f '.

26 Αλλά f ' g και επομένως Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα f ' για κάθε.,,,. γ) Προσπαθούμε αρχικά να βρούμε τι σχέση έχει η δοσμένη ανισότητα με την f. Η ανισότητα γράφεται: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln f f (). (Αν και διότι πάλι g - + ' g + + )., τότε. Αν και, τότε Όμως σε καθένα από τα,,,, θα ισχύει f f. Ισχύει λοιπόν η σχέση () και έτσι η δοσμένη ανισότητα αποδείχθηκε. 9.7 Δίνεται η συνάρτηση ln f e. α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ' ως προς τη μονοτονία. η f είναι γνησίως αύξουσα και επειδή β) Να λύσετε την ανίσωση f 4 f 3 f 4 f 4 () ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το,. Είναι f ' e, Άρα η f ' είναι γνησίως αύξουσα. '',. και f e β) Η ανίσωση () ορίζεται σε όλο το και γράφεται ισοδύναμα: 4 4 f f f 4 f 3 ()

27 , t. Θεωρούμε τη συνάρτηση gt f t f t 4 Οπότε η () g g 3 (3), t Είναι g' t f ' t f ' t f και t t είναι f ' t f ' t, για κάθε t. Επειδή ', g, οπότε η (3) 4 4 Επομένως,,,. Άρα,,. 3 Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να αποδείξουμε μια ανισότητα ότι ισχύει για κάθε κάνουμε τα παρακάτω: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτηση f. Παίρνουμε > ρ και < ρ και αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ Το ρ είναι κατάλληλος αριθμός για να αποδειχθεί η ανισότητα συνήθως είναι η ρίζα της f ή το σημείο αλλαγής της μονοτονίας. 9.8 Να αποδείξετε ότι: α) e για κάθε, β) e για κάθε, ln e για κάθε. γ) ΛΥΣΗ α) Για κάθε, η ανισότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται: e e 3

28 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e,, Για κάθε, f ' e ' e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. ισχύει ότι: f Επομένως ισχύει: f f f e e. β) Για κάθε, η ανισότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται: e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e Για κάθε είναι:, με f ' e ' e Έχουμε: f ' e e f ' e e e e f '... Το πρόσημο της f ' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Παρατηρούμε ότι: f ' - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f, άρα: f f f f,, άρα: f f f Άρα για κάθε ισχύει ότι: f e e γ) Για κάθε, η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται: ln e ln e Θεωρούμε τη συνάρτηση: gln e, με, 4

29 Για κάθε, είναι: ' g e και g'' e Άρα η g ' είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως ισχύει: g ' g' g' g' g' για κάθε Δηλαδή είναι, είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως ισχύει: g και η g είναι συνεχής στο g g ln e ln e,, άρα η g 9.9 Να αποδειχθεί ότι: ln για κάθε ΛΥΣΗ Επειδή ln ln, θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln, Είναι: f ' ln ' ln ln f ' ln Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f f f f f f Άρα f για κάθε., και γνησίως αύξουσα στο Έτσι: f ln ln για κάθε,. Επομένως: 9.3 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες: e α) e για κάθε β) e για κάθε ΛΥΣΗ α) Η ανισότητα e e γίνεται ισοδύναμα: ln e ln eln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση ln e e e f,. e 5

30 Παρατηρούμε ότι f e. Είναι: f ' e και f ' e Από τον πίνακα προσήμου της f ' προκύπτει ότι: e f ' + - f η f είναι γνησίως αύξουσα στο,e, οπότε: e f f e f η f είναι γνησίως φθίνουσα στο e,, οπότε: e f f e f Επομένως για κάθε β) Θεωρούμε τη συνάρτηση: Παρατηρούμε ότι ισχύει ότι: ln f. Είναι: f ' e Η εξίσωση e e f e f e, με f ' και f '' έχει μοναδική λύση τη. f '' για οπότε η ' είναι: f '' e για κάθε f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Για f ' f ' f ' οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. f f f e e Επομένως: 6

31 Κατηγορία 7 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές 9.3 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο, και παραγωγίσιμες στο,, με f g και f ' g' για κάθε,. Να δείξετε ότι f g για κάθε,. ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι f g για, Για αυτό θεωρούμε την h f g,, και την μελετούμε ως προς τη μονοτονία της.., που είναι συνεχής στο διάστημα αυτό Έτσι, είναι h' f ' g', που λόγω της f ' g' είναι h',, οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο,. Επομένως για, έχουμε h h f g δηλαδή f g, 9.3 Αν για τις συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα, ισχύει f ' g',, τότε για κάθε, ισχύει ότι g g f f ΛΥΣΗ Η συνάρτηση h f g στο διάστημα έχει παράγωγο h f g οπότε είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα. Επομένως για κάθε,, με ισχύει h h f f g g ' ' ' ή g g f f Δίνεται η συνάρτηση f : με f '' για κάθε. Να αποδειχθεί ότι αν, τότε ισχύει: f f ' f για κάθε. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f ' f, Είναι g' f ' f ' και g f f f '' ' ' ' ''. 7

32 Επομένως η επειδή g ' έχουμε g ' είναι γνησίως φθίνουσα και a άρα g' g' a δηλαδή η g ' είναι θετική στο, a άρα g' < g' a δηλαδή η g ' είναι αρνητική στο,. Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Επειδή g θα είναι: a g ga a g ga άρα < άρα < Δηλαδή g g g f f ' f για κάθε και Β τρόπος Για a f f' f f f f ' Από ΘΜΤ για την f στο διάστημα a, έχουμε f f f ' άρα f ' > f ' οπότε Για a f f' f f f f ' Από ΘΜΤ για την f στο διάστημα, a έχουμε f f f ' άρα f ' < f ' οπότε Άρα f f ' f κάθε για 9.34 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, f f και f '' για κάθε, να αποδειχθεί ότι:, α) υπάρχει τέτοιο, ώστε β) f για κάθε,. ΛΥΣΗ f ', α) Αφού f f και η f είναι παραγωγίσιμη στο, Rolle, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f '. και ισχύουν:, σύμφωνα με το θεώρημα 8

33 β) Η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο,, διότι για παίρνουμε f ' f ' και για παίρνουμε f ' f '. f '', οπότε: Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, δηλαδή: για είναι f f και για είναι f f. Άρα για κάθε, είναι f. Σύνθετες ασκήσεις 9.35 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης,. ΛΥΣΗ Η f είναι παραγωγίσιμη στο Με,, με ' έχουμε Με, f 3 f για κάθε ισχύει. f ', άρα f στο έχουμε,. f ', άρα f στο,. Τρόπος αντιμετώπισης: Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο, όπου και διαστήματα και η f ' έχει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο των και, τότε η f είναι γνησίως μονότονη (με το ίδιο είδος μονοτονίας) σε καθένα από τα διαστήματα και. Δεν μπορούμε όμως να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο. 9

34 . Αν στα διαστήματα,,, η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) και στο είναι συνεχής τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε όλο το σύνολο,,. Αν στα διαστήματα,,,. δεν είναι συνεχής αλλά lim f lim f η f είναι γνησίως αύξουσα και στο αύξουσα σε όλο το σύνολο,, 3. Αν στα διαστήματα,,, τότε η f είναι γνησίως. δεν είναι συνεχής αλλά lim f lim f η f είναι γνησίως φθίνουσα και στο φθίνουσα σε όλο το σύνολο,, τότε η f είναι γνησίως Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:, 3 f e 3, 3 ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση f e, 3, 3 3 ισχύει ότι: lim lim lim lim 3 και: f e e 3 Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 3. Για 3 Για 3 είναι f 3 3 f ' ' και ισχύει είναι f e 3 και ισχύει f ' e 3 ' e 3e e Το πρόσημο της f ' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

35 3 ' f f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο στο 3,.,, γνησίως αύξουσα στο, 3 και γνησίως αύξουσα Επειδή ισχύει ότι lim f lim f η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο 3 3,. Τρόπος αντιμετώπισης: Σε κάποιες θεωρητικές ασκήσεις για να βρούμε το πρόσημο της f πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μέσης τιμής Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f είναι γνησίως αύξουσα και g με f. Αν η συνάρτηση f ' με, τότε: α) να βρεθεί η παράγωγος της g ως συνάρτηση των f και f ', β) να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, γ) να εξεταστεί αν η g είναι γνησίως αύξουσα. ΛΥΣΗ α) Η g έχει πεδίο ορισμού το,,. Η g είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f f ' ' ' f g () β) Λόγω της () και επειδή f, μπορούμε να γράψουμε: Αν g' f ' f f, τότε από το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα,, υπάρχει, f f ώστε: f ' f f f ' () τέτοιο,

36 Έτσι η σχέση () γίνεται: f ' f ' f ' f ' g' (3) Επειδή και η ' Επειδή ακόμα είναι f είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει f ' f '., η σχέση (3) δίνει g' για κάθε, Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Αν., υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f f ' f ' f ' f ' f ' () δίνει: g' και έτσι f ' f '. Επειδή, θα είναι Αλλά τώρα είναι,. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο,. γ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε: δηλαδή lim g lim g f '. και έτσι η σχέση f f lim f ' g' για κάθε Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα είναι: g lim g f ' για κάθε Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, για κάθε Έτσι αν g f ' g Επειδή επιπλέον η g είναι γνησίως αύξουσα στα, θα είναι: g lim g f ', θα είναι, δηλαδή g g,, γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της,,.., συμπεραίνουμε ότι η g είναι

37

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 05 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 7 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 66 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α3. α Σ, β Λ, γ Λ, δ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα