ΟΙ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΩΝ SIMSON ΚΑΙ STEINER ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ

Transcript

1 ΟΙ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΩΝ SIMSON ΚΑΙ STEINER ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Αθανασίου Νικόλαος Νικηφόρος Δράμας, Δράμα Στόχος αυτής της εργασίας είναι να γίνει μια αναφορά σε ένα συγκεκριμένο τομέα της γεωμετρικής θεωρίας και ειδικότερα στις ευθείες των Simson και Steiner, καθώς και μια ενδεικτική παρουσίαση των πολυάριθμων χρήσεών τους σε όμορφα και δύσκολα προβλήματα των εθνικών αλλά και των διεθνών μαθηματικών διαγωνισμών. Σκοπός της είναι να θυμίζει σε όλους τους μαθηματικούς την ομορφιά που κρύβεται μέσα στα σύνθετα γεωμετρικά σχήματα και ότι η γεωμετρία ήταν, είναι και θα πρέπει να συνεχίσει να είναι ένας από τους πλέον ζωντανούς γνωστικούς χώρους της μαθηματικής επιστήμης. Σελίδα 1

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Α) Η τέχνη της επίλυσης προβλημάτων (The art of problem solving) Σπάνιες πραγματικά είναι οι μέρες εκείνες κατά τις οποίες ένας άνθρωπος δε βρίσκεται αντιμέτωπος με κάποιου είδους πρόβλημα! Όμως, τι ακριβώς σημαίνει η λέξη «πρόβλημα»; Η παραπάνω απορία ανήκει στην κατηγορία εκείνη των ερωτήσεων που δεν διατυπώνονται συχνά, ακριβώς γιατί όλοι νομίζουν ότι γνωρίζουν την απάντησή της, αλλά μόλις μετά από σχετική επιμονή του ερωτώντος προσπαθήσει κάποιος να αποκριθεί, αισθάνεται ένα απροσδιόριστης μορφής «κλείδωμα» στο στόμα! Ορισμός: (Joseph P. Rodgers, Vice-President of Texas Instruments in MIS Department) Ως πρόβλημα ορίζουμε τη διαφορά, το «Δέλτα» μεταξύ αυτού που «είναι» και αυτού που θα έπρεπε να «είναι». Η θεμελίωση και η ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης διαδραμάτισε καταλυτικό ρόλο στην υποστήριξη και ενδυνάμωση της «τέχνης επίλυσης προβλημάτων». Οι μαθηματικοί διαγωνισμοί συμβάλλουν στην προώθηση αυτής της τέχνης, δίχως τη γνώση της οποίας η ζωή του ανθρώπου θα δυσκόλευε αφάνταστα. Β) ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αναπόσπαστο κλάδο των μαθηματικών ανέκαθεν αποτελούσε και συνεχίζει να αποτελεί η γεωμετρία. Οι πολυάριθμες εφαρμογές της έδωσαν στον άνθρωπο τη δυνατότητα να κατανοήσει, να ερμηνεύσει αλλά και να επηρεάσει τον κόσμο γύρω του. Σελίδα 2

3 1.ΘΕΩΡΙΑ Θα εξετάσουμε τη βασική θεωρία της ευθείας του Simson και της ευθείας του Steiner. Παράλληλα, θα εξερευνήσουμε μερικές θεμελιώδεις ιδιότητές τους. 1.1 Ευθεία Simson Σχήμα 1 Θεώρημα: Έστω τρίγωνο Α Β Γ και Μ ένα σημείο το οποίο ανήκει στον περιγεγραμμένο του κύκλο. Τότε, οι προβολές του σημείου Μ στις τρεις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία συνευθειακά (ευθεία Simson). Απόδειξη: Βλέπε κείμενο (5) της βιβλιογραφίας. Η ευθεία αυτή έχει μια πληθώρα σημαντικών ιδιοτήτων. Θα αναφέρουμε μερικές από αυτές συνοπτικά: Σελίδα 3

4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και δύο διαφορετικά σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου του. Οι ευθείες Simson που αντιστοιχούν στα δύο σημεία αυτά σχηματίζουν γωνία η οποία ισούται με το μισό του τόξου που δημιουργούν τα δύο αυτά σημεία. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ορθόκεντρό του Η και τυχόν σημείο Μ του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν η προέκταση της καθέτου από το Μ προς τη ΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο Ν, τότε η ΑΝ είναι παράλληλη προς την ευθεία Simson που αντιστοιχεί στο σημείο Μ, ενώ η ευθεία Simson διχοτομεί το τμήμα ΗΜ. Οι ευθείες Simson που αντιστοιχούν σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι κάθετες μεταξύ τους (άμεση αλλά σημαντική συνέπεια της πρώτης ιδιότητας). Για την απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων, βλέπε το δεύτερο κείμενο της βιβλιογραφίας. Σελίδα 4

5 1.2 Eυθεία Steiner Σχήμα 2 Η ευθεία του Simson έχει μια λιγότερο γνωστή «ξαδέλφη»! Ο Jacob Steiner, ένας από τους μεγαλύτερους γεωμέτρες της περασμένης χιλιετίας, παρατήρησε και απέδειξε το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα (Ευθεία Steiner): Έστω τρίγωνο Α Β Γ και Μ τυχόν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Θεωρούμε τα συμμετρικά του Μ, ως προς τις τρεις πλευρές του τριγώνου. Τότε τα τρία αυτά σημεία είναι συνευθειακά, ενώ επιπλέον η ευθεία που τα περιέχει διέρχεται και από το ορθόκεντρο του τριγώνου. Σελίδα 5

6 Απόδειξη: Έστω Δ, Ε,Ζ οι προβολές του Μ στις πλευρές Β Γ, Γ Α, Α Β αντίστοιχα. Έστω (ε ) η ευθεία Simson του τριγώνου Α Β Γ που αντιστοιχεί στο σημείο Μ. Η (ε ) ως γνωστόν διέρχεται από τις προβολές του Μ πάνω στις πλευρές του τριγώνου. Θεωρούμε την ομοιοθεσία με κέντρο το σημείο Μ και λόγο λ=2. Η ομοιοθεσία αυτή απεικονίζει τα Δ, Ε,Ζ στα συμμετρικά του Μ ως προς τις πλευρές Β Γ, Γ Α, Α Β αντίστοιχα. Αφού τα σημεία Δ, Ε,Ζ είναι συνευθειακά και αφού η ομοιοθεσία είναι ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός ο οποίος απεικονίζει ευθείες σε ευθείες παράλληλες προς τις αρχικές, έπεται ότι και τα συμμετρικά του Μ ως προς τις πλευρές του τριγώνου θα είναι σημεία συνευθειακά. Επιπλέον, αφού όπως αναφέρθηκε στη δεύτερη ιδιότητα της παραγράφου 1.2, η ευθεία Simson διχοτομεί το τμήμα Η Μ, αν Κ το σημείο τομής της Η Μ και της (ε ), τότε η ίδια ομοιοθεσία απεικονίζει το Κ στο ορθόκεντρο του τριγώνου. Το ζητούμενο έπεται. 2. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Παρόλο που οι βασικές ιδιότητες των ευθειών του Simson και του Steiner δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερες δυσκολίες ως προς την κατανόηση και δεν φαντάζουν έννοιες προχωρημένες, είναι πραγματικά απίστευτο το πόσο συχνά μπορεί κάποιος να δώσει λύση σε εξαιρετικά δύσκολα γεωμετρικά προβλήματα με την βοήθειά τους. Παραθέτουμε μερικές χαρακτηριστικές ασκήσεις, στις οποίες φαίνεται η κρυμμένη δύναμη αυτού του κεφαλαίου της γεωμετρίας. Ας ξεκινήσουμε με ένα σχετικά απλό πρόβλημα Δίνεται τρίγωνο Α Β Γ. Έστω Δ το ίχνος του ύψους από την κορυφή Α. Να αποδειχθεί ότι οι προβολές του Δ στην Α Β, στην Α Γ καθώς και στα δύο υπόλοιπα ύψη του τριγώνου είναι σημεία Σελίδα 6

7 συνευθειακά. Σχήμα 3 Απόδειξη: Έστω Ζ και Ε οι προβολές του Β και του Γ στις Α Γ και Α Β αντίστοιχα. Αν Η το ορθόκεντρο του τριγώνου, τότε είναι γνωστό πως τα τετράπλευρα Ζ Η Δ Β και Δ Η Ε Γ είναι εγγράψιμα. Ονομάζουμε Θ, Ι, Κ, Λ τις προβολές του σημείου Δ στις ευθείες Β Α, Β Ε, Γ Ζ και Α Γ αντίστοιχα. Λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου Ζ Η Δ Β, τα σημεία Θ, Ι, Κ ανήκουν στην ευθεία Simson του Δ ως προς το τρίγωνο Ζ Η Β. Ομοίως, από το εγγράψιμο Δ Η Ε Γ προκύπτει ότι τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά, δίοτι ανήκουν στην ευθεία Simson του Δ ως προς το τρίγωνο Η Ε Γ. Τελικά, η ευθεία Ι Κ περιέχει και τα σημεία Θ, Λ. Το ζητούμενο έπεται. Η παραπάνω άσκηση καθιστά εμφανή τη σημαντικότητα αυτής της ευθείας, καθώς μέσω αυτής δίνεται μια αρκετά γρήγορη λύση στο Σελίδα 7

8 πρόβλημα, το οποίο θα φαινόταν αρκετά πιο δύσκολο αν χρησιμοποιούσαμε ως μόνο όπλο τις ισότητες γωνιών. Και τώρα, εφοδιασμένοι πλέον με γνώση και πείρα πάνω στο συγκεκριμένο θέμα, είμαστε έτοιμοι να βουτήξουμε σε «πιο βαθιά νερά»! Το επόμενο πρόβλημα δόθηκε ως διαγωνιστικό θέμα στην 44 η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO), η οποία έλαβε μέρος στην Ιαπωνία το Έστω A BC D ένα εγγράψιμο τετράπλευρο. Έστω P,Q, R τα ίχνη των καθέτων από το D προς τις ευθείες BC,C A, AB αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι PQ=Q R αν και μόνον αν οι διχοτόμοι των γωνιών ΑΒC και Α DC τέμνονται επάνω στην ευθεία AC. Σχήμα 4 Σελίδα 8

9 Λύση: Ίσως το πιο «επικίνδυνο» πράγμα που μπορούμε να κάνουμε σε αυτό το πρόβλημα είναι να σκεφτούμε περισσότερο πολύπλοκα απ όσο χρειάζεται! Διαβάζοντας την εκφώνηση συναντάμε αρκετές δυσκολίες στο πρόβλημα. Ας εντοπίσουμε τις κύριες από αυτές: Η φράση «αν και μόνον αν». Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει στη λύση να εξετάσουμε και το ευθύ και το αντίστροφο, ή να δουλέψουμε με ισοδυναμίες. Η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιούν οι διχοτόμοι των γωνιών με την ευθεία AC είναι αρκετά περίεργη. Έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ΑΒC και ADC συντρέχουν πάνω στην AC. Τι πληροφορίες μας δίνει αυτό το γεγονός; Από το θέωρημα των διχοτόμων, αν Κ το σημείο όπου οι τρεις ευθείες συντρέχουν, θα ισχύουν οι λόγοι: K A K C = B A B C (1) K A K C = D A DC (2) Από τις σχέσεις (1),(2) συνάγουμε την ισοδύναμη έκφραση : Β Α ΒC = D A D C Εύκολα βλέπουμε ότι αν η παραπάνω σχέση ισχύει, τότε οι διχοτόμοι των ζητούμενων γωνιών συντρέχουν πάνω στην AC. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε την ισοδυναμία: P Q=Q R (1),( 2) Β Α ΒC = D A D C Σελίδα 9

10 Αρχικά παρατηρούμε ότι τα σημεία P,Q, R είναι συνευθειακά (ευθεία Simson). Υποθέτουμε δίχως βλάβη της γενικότητας ότι το P βρίσκεται στην προέκταση της B C. Τα τρίγωνα R A D, D PC είναι όμοια διότι είναι ορθογώνια και επιπλέον D P C= R A D, λόγω του εγγράψιμου A BC D. Τελικά, προκύπτει ότι D A DC = R A P C Ονομάζουμε την παραπάνω σχέση ως (3) Η λύση τώρα ολοκληρώνεται με το θεώρημα του Μενελάου. Στο τρίγωνο R B P, η ευθεία A Q C είναι διατέμνουσα. Συνεπώς, A R A B C B C P Q P =1 (4) Q R Άρα: Και το ζητούμενο έπεται! P Q=Q R( 4) R A A B C B C P =1(3) B A C B = D A DC Στο παραπάνω πρόβλημα, κάθε προσπάθεια επίλυσής του δίχως τη γνώση και την αξιοποίηση της ευθείας Simson θα ήταν ατελέσφορη. Κλείνουμε με το παρακάτω αρκετά δύσκολο πρόβλημα, το οποίο είχε προταθεί για την ΙΜΟ του 2005, η οποία έλαβε μέρος στο Μεξικό. Το συγκεκριμένο πρόβλημα ήταν αρκετά υψηλά στην ιεραρχία δυσκολίας των προταθέντων ασκήσεων γεωμετρίας: Σελίδα 10

11 2.3. (IMO Shortlist 2005-G5) Έστω A B C ένα οξυγώνιο τρίγωνο με Α Β ΑC. Έστω Η το ορθόκεντρό του και Μ το μέσο της πλευράς Β C. Θεωρούμε τα σημεία D, E που ανήκουν στις πλευρές Α B, AC αντίστοιχα και είναι τέτοια ώστε: Α Ε=ΑD και D, H, E συνευθειακά. Να αποδειχθεί ότι η Η Μ είναι κάθετη στην κοινή χορδή των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων Α D E, ABC. Σχήμα 5 Σελίδα 11

12 Λύση: Παρατηρούμε ότι το παραπάνω σχήμα (σχήμα της εκφώνησης) περιέχει πολύ λίγες πληροφορίες. Χρήσιμο θα ήταν αρχικά να απαντήσουμε στο ακόλουθο ερώτημα: Πώς κατασκευάζονται τα D, E ;;; H απάντηση είναι εύκολη: Φέρουμε από το ορθόκεντρο κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας Α και τότε τα σημεία τομής αυτής της κάθετης με τις πλευρές Α Β, AC είναι τα ζητούμενα σημεία D, E (γιατί;). Ωστόσο και πάλι, αν φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Α δεν έχει πολλά στοιχεία το σχήμα... Τι θα κάνουμε; Η σκέψη-κλείδι που οδηγεί στη λύση της άσκησης είναι η εξής: Έχω μια ευθεία που διέρχεται από το ορθόκεντρο.σε μια προσπάθεια να εμπλουτίσω το σχήμα μου ώστε να έχω περισσότερες πληροφορίες, μήπως θα μπορούσα να «δω» την ευθεία D E ως ευθεία Steiner κάποιου σημείου;;; (Αφού ξέρουμε ότι κάθε ευθεία Steiner διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου). Ας δοκιμάσουμε αυτή την ιδέα. Ποιο σημείο φαίνεται «καλός υποψήφιος» για να «παράγει» ως ευθεία Steiner την D E ; Αδιαμφισβήτητα, ένα τέτοιο σημείο είναι το μέσο του τόξου B C. Aς δούμε λοιπόν τι συμβαίνει τώρα στο σχήμα μας: Σελίδα 12

13 Σχήμα 6 Πλέον το σχήμα μας είναι πλούσιο και κατά πάσα πιθανότητα θα έχει κρυμμένες μέσα του τις πληροφορίες που ψάχνουμε. Έστω Ο το περίκεντρο του Α Β C, G το περίκεντρο του A D E, J το δεύτερο σημείο τομής των δύο περιγεγραμμένων κύκλων και F το μέσο του τόξου B C. Η A J, ως κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι κάθετη στη διάκεντρο τους. Άρα A J κάθετη στην Ο G. Συνεπώς αρκεί να αποδείξουμε ότι η Η Μ είναι παράλληλη στην O G. Θεωρούμε τις προβολές Κ, L του F πάνω στις πλευρές A B, AC αντίστοιχα και επίσης θεωρούμε τα συμμετρικά K ',M ', L' του F ως προς τις πλευρές A B, BC,C A αντίστοιχα. Tα σημεία K,M, L είναι συνευθειακά, όπως επίσης τα σημεία K',M ', L' είναι συνευθειακά αφού ανήκουν αντίστοιχα στην ευθεία Simson και στην ευθεία Steiner του F ως προς το τρίγωνο A BC. Σελίδα 13

14 Προφανώς F K=F L, Α Κ=Α L. Άρα K L κάθετη στην A F και κατά συνέπεια K ' L' κάθετη στην A F, αφού οι ευθείες Simson και Steiner είναι παράλληλες. Ακόμη είναι γνωστό (σελίδα 4) ότι η ευθεία Steiner περνάει από το H. Άρα Κ ',Μ ', L ', H συνευθειακά. Αφού ακόμη D, H, E συνευθειακά και H D κάθετη στην A F, προκύπτει ότι: Κ ', D,H,M ', E, L ' σ υν ε υ θ ει α κ ά Άρα η ευθεία D E δεν είναι άλλη από την ευθεία Steiner του F ως προς το τρίγωνο A B C! Tώρα πλέον, η λύση συνεχίζει με απλές ομοιότητες, ως εξής: Έστω P η τομή των ( A F, D E), Ι η τομή των ( Η Μ, ΑF ) και έστω Q η τομή των ευθειών Κ L, A F. Θα δείξουμε ότι οι ευθείες I D, I E είναι κάθετες στις A B, AC αντίστοιχα. Για αυτό, αρκεί να δείξουμε ότι I D, I E παράλληλες προς τις K F, F L αντίστοιχα. Προφανώς η D E είναι παράλληλη στην K L,δηλαδή D A D K = P A P Q = E A E L (1). Αρκεί να δείξουμε ότι : D A D K = Ι Α Ι F Ή αλλιώς ότι P A P Q = I A I F (2) Ι Η Λόγω των παραλληλιών των K' L ', K L ισχύει Ι Μ = I P I Q (3). Ακόμη, επειδή A H παράλληλη προς την F M ως κάθετες και οι δύο στη B C, έχουμε : Ι Η Ι Μ = Ι Α Ι F = I P I Q (4) Αφού Ι Α Ι F = I P I Q, ισχύει ότι Ι P I A = I Q I F (5) Άρα I P I A = I Q I F I P I P+ P A = I Q I Q+Q F I P P A = I Q Q F (6) Σελίδα 14

15 Επειδή οι ευθείες Simson και Steiner είναι ομοιόθετες ως προς το F με λόγο Q F =Q P (6) I P 2:1, έπεται ότι P A = I Q Q P I P I Q = P A P Q ( 4) I A I F = P A P Q και άρα όντως η I D είναι κάθετη στην A B. Όμοια η I E κάθετη στην A C. Τώρα, αφού Î D A=Î E A= π 2,το τετράπλευρο I D AE είναι εγγράψιμο. Και άρα G μέσο του Ι Α. Λόγω γνωστής πρότασης, αν R η τομή των A O και H M, τότε A B RC εγγράψιμο Ο Α=Ο R O μέ σ ο τ ου Α R Συνεπώς, O G παράλληλη στην I R και τέλος, αφού τα H, I,M, R είναι συνευθειακά, έπεται ότι Ο G παράλληλη στην H M και το ζητούμενο (επιτέλους!) εδείχθη. Bonus: Είναι εύκολο να δειχθεί ότι H, M, J συνευθειακά! Σχήμα 7 Σελίδα 15

16 3.ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ SIMSON-STEINER 1. Δίνεται τρίγωνο Α Β Γ, το περίκεντρό του Ο και η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του. Έστω Δ το συμμετρικό του Ο ως προς την Β Γ, Ε το συμμετρικό του Ο ως προς την Γ Α και Ζ το συμμετρικό του Ο ως προς την Α Β. (α) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (Δ, R),(E, R),(Z,R) διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω Τ ) ( β) Από το σημείο Τ φέρουμε τυχούσα ευθεία η οποία τέμνει τον κύκλο ( Δ, R) στο K, τον κύκλο ( Ε, R) στο σημείο Λ και τον κύκλο (Ζ,R) στο σημείο Μ. Από τα K, Λ,Μ θεωρούμε κάθετες προς τις πλευρές Β Γ, Γ Α, Α Β αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι κάθετες αυτές διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Ελλάδα, Προκριματικός 2010) 2. Έστω Α Β C ένα οξυγώνιο τρίγωνο και Γ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω l μια ευθεία εφαπτόμενη στον Γ και έστω l a,l b,l c οι συμμετρικές ευθείες της l ως προς τις πλευρές BC,C A, AB αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που ορίζεται από τις ευθείες l a,l b,l c εφάπτεται στον κύκλο Γ ( IMO ) Σελίδα 16

17 4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Γρηγορίου Ι. Τσιτσίνια, Σημειώσεις Γεωμετρίας 2. Ευάγγελου Ψύχα, Σημειώσεις πάνω στην ευθεία του Simson 3. Victor Prasolov, Problems in Plane Geometry 4. Xαράλαμπος Στεργίου, Γεωμετρία-Τόμος 1 5. Γεωμετρία Λυκείου- ΟΕΔΒ-Σχολικό Βιβλίο 6. P.C.-Βασικά στοιχεία χρήσης και προγραμματισμού- Τόμοι Α & Β (Α. Αθανασίου, Σ. Γεωργίνη, Σ. Δρακάκη, Λ. Μιχαηλίδης, Θ. Σαρικούδης) It is the purpose of this work to briefly mention certain aspects of the theory of geometry, namely the lines of Simson and Steiner. Furthermore, what follows is a suggestive presentation of their numerous applications over challenging as well as beautiful problems of national and international mathematics competitions. Its fundamental pursuit is to remind all mathematicians of the magic hidden within complex geometric shapes and of the fact that geometry was, is and will hopefully remain one of the most vivid areas of mathematical science. Σελίδα 17