Παράρτημα 2. Διαγράμματα Bode

Transcript

1 Παράρτημα Διαγράμματα Bde Αντικείμενο Μελετώνται αποκρίσεις συχνότητας μέτρου και φάσης συναρτήσεν μεταφοράς κυκλμάτν πρώτου και δεύτερου βαθμού. Οι αποκρίσεις αυτές προσδιορίζονται αρχικά με ασυμπττική γραμμική προσέγγιση και κατόπιν, με δεύτερη ακριβέστερη προσέγγιση. Παραδείγματα επιβεβαιώνουν τη χρησιμότητα της ακολουθούμενης τεχνικής.. Εισαγγή Η απόκριση συχνότητας κυκλμάτν, με ημιτονική διέγερση, προσδιορίζεται με βάση την συνάρτηση μεταφοράς Η(s) τν κυκλμάτν και αφού θερηθεί s=j. Λόγ της μιγαδικής μορφής της συνάρτησης, η απόκριση συχνότητας περιγράφεται από δύο επιμέρους αποκρίσεις, που είναι η απόκριση μέτρου (gain r amlitude resnce) και η απόκριση φάσης (hase shift resnce). Αυτές οι αποκρίσεις μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν για απλά κυκλώματα χάρη σε μια μέθοδο, που αναπτύχθηκε από τον Bde στα Bell Telehne Labs. Η γνώση της απόκρισης απλών κυκλμάτν, ακόμα και χρίς ιδιαίτερη λεπτομέρεια, είναι, πολύ συχνά, αρκετή για να ερμηνευτούν αποκρίσεις πιο σύνθετν κυκλμάτν. Επιπλέον, η γνώση τν αποκρίσεν απλών κυκλμάτν βοηθάει στην επίλυση προβλημάτν, που σχετίζονται με την ευστάθεια κυκλμάτν ανατροφοδότησης. Ένα βήμα πιο πέρα, για τους ανθρώπους, που εμπλέκονται με σύνθεση κυκλμάτν, τα διαγράμματα Bde αποτελούν χρησιμότατο εργαλείο. Στο παράρτημα αυτό παρουσιάζονται εκτενώς τα διαγράμματα Bde συναρτήσεν μεταφοράς πρώτου και δεύτερου βαθμού, τα οποία χρησιμοποιούνται για την ανάλυση και σύνθεση κυκλμάτν σε διάφορα κεφάλαια του βιβλίου αυτού.. Συναρτήσεις μεταφοράς Όπς γνρίσαμε στο παράρτημα, η συνάρτηση μεταφοράς κυκλμάτν μπορεί να εκφραστεί από το λόγο δύο ρητών πολυνύμν ς προς s, δηλ., N(s) H (s) = D(s) Τόσον οι μηδενισμοί όσο και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι, είτε, απλοί, είτε, συζυγείς μιγαδικοί. Αυτό σημαίνει ότι, η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να γραφεί ς γινόμενο παραγόντν όρν πρώτου ή δεύτερου βαθμού. Επομένς, εάν είναι γνστή η απόκριση συναρτήσεν πρώτου και δεύτερου βαθμού μπορεί, γενικά, να εκτιμηθεί η απόκριση πιο σύνθετν συναρτήσεν. Bde W. H.:`` Netwrk Analysis and Feedback Amlifier Design``, van Nstrand, Princetn, N. J., 945. Π-

2 3. Συναρτήσεις πρώτου βαθμού Έστ, η συνάρτηση μεταφοράς πρώτου βαθμού, η οποία περιγράφεται από τη σχέση, αs + β H(s) = γs + δ (Π-) Αυτή, όταν ( β δ ), μπορεί να γραφεί υπό μορφή, α s + β β τs + H (s) = = k δ γ s + τs + δ (Π-) όπου, k είναι σταθερά και τ i συντελεστές με διαστάσεις χρόνου. Η σχέση (Π-) μπορεί να αναλυθεί στις εξής επιμέρους σχέσεις: H(s) = k H(s) = τs ή τs γ) H(s) = τs+ ή τs + Πριν προσδιορίσουμε την απόκριση πρώτου βαθμού, που δίνεται από την (Π-), είναι χρήσιμο να δούμε ποιές είναι οι αποκρίσεις τν όρν από τους οποίους συνίσταται. Για την απεικόνιση αυτών τν αποκρίσεν θα χρησιμοποιηθεί λογαριθμική κλίμακα σε dβ, όταν αναφερόμαστε σε αποκρίσεις συχνότητας μέτρου. 3.α. H (s) = k H(j) arg H(j) lg k ή 8 Σχ.Π. Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς H(s)=k Η απόκριση συχνότητας μέτρου σταθεράς k παρίσταται με ευθεία γραμμή, (σχ.π.. και έχει μέγεθος lg k. Η απόκριση φάσης, επίσης παρίσταται με ευθεία γραμμή και έχει μέγεθος φ=, όταν k> ή φ=8, όταν k<, ( σχ.π.. 3.β H(s) = (ολοκληρτής) τs Π-

3 H(j) arg H(j) 6 / ct 9 6 Σχ.Π. Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς H(s)=/τs H(j) = jτ (Π-3) H(j) = = τ (Π-4) όπου, =, είναι η ιδιοσυχνότητα του ολοκληρτή. τ Άρα, H( j) = = (Π-5) και H ( j ) / = = 6 ct (Π-6) Επομένς, η απόκριση συχνότητας μέτρου της συνάρτησης (Π-3), που απεικονίζεται στο σχ.π., παριστά ευθεία, που διέρχεται από το σημείο (= ο, dβ), με κλίση -6 dβ/ctave. Μια οκτάβα (ctave) είναι κάθε διπλασιασμός της συχνότητας, ( βλ. Π-6). Π-3

4 3γ. Με όμοιο τρόπο προσδιορίζεται η απόκριση συχνότητας της συνάρτησης, Hs ()=τ s (διαφοριστής) που είναι η συμμετρική απόκριση αυτής το σχ.π., ς προς τον άξονα τν συχνοτήτν. H(j) 6 6 / ct arg H(j) 9 3.δ Σχ.Π.3 Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς H(s)=τs Hs ()= τs + ολοκληρτής με απόσβεση ή βαθυπερατό φίλτρο H(j) arg H(j) / ct 9 Σχ.Π.4 Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς H(s)=/(τs+) H( j) = = + jτ + j (Π-7) όπυ, = είναι η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος, που αντιστοιχεί στον πόλο s = τ τ. Π-4

5 H( j) = (Π-8) / + Είναι δε, H( j) = = (Π-9) H( j) = = 3 (Π-) Για συχνότητες >> ο, είναι, H( j) (Π-) οπότε, H( j) = = 6 (Π-) Στο σχ Π.4 διακρίνονται οι ασύμπττες, που προσδιορίζουν τη γραμμική προσέγγιση της απόκρισης συχνότητας μέτρου και φάσης. Μία καλύτερη προσέγγιση προκύπτει αν θερήσουμε ότι, για = ο είναι, H( j ) = 3, οπότε, η απόκριση διέρχεται από το σημείο (ο, -3). 3.ε H( s)= τs+ Οι αποκρίσεις της συνάρτησης αυτής δεικνύονται στο σχ.π-5 και είναι συμμετρικές, ς προς τον άξονα τν συχνοτήτν, τν αντιστοίχν συναρτήσεν, που περιγράφουν τις αποκρίσεις ολοκληρτή με απόσβεση του σχ.π-4. H(j) 6 / ct arg H(j) Σχ.Π.5 Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς H(s)=(τs+) Η απόκριση φάσης της συνάρτησης προκύπτει από τη σχέση, φ= arg Hj ( ) = tan Σύμφνα με τη (Π-3), προκύπτει, (Π-3) Π-5

6 φ= ο όταν << ο φ=-45 ο όταν = ο φ=-9 ο όταν >> ο Η απόκριση φάσης του κυκλώματος σε γραμμική αλλά και δεύτερη προσέγγιση, δεικνύεται στο σχ.π.4.β. Παρατήρηση Οι αποκρίσεις μέτρου και φάσης του ολοκληρτή με απόσβεση (Π-4) συμπίπτουν με τις αντίστοιχες του ολοκληρτή (Π-), για συχνότητες >> ο. Αυτό σημαίνει ότι, το κύκλμα συμπεριφέρεται ς ολοκληρτής για συχνότητες σήματος πολύ μεγαλύτερες της ιδιοσυχνότητας του κυκλώματος. Παράδειγμα Π. Να προσδιοριστούν, με βάση τα διαγράμματα Bde, οι αποκρίσεις συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς, s H(s) = (, s + )(, s + ) Λύση Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί ς,, s H(s) = (, s + ) (, s + ) Επομένς, αποτελεί γινόμενο παραγόντν, για καθένα από τους οποίους έχουμε προσδιορίσει τις αποκρίσεις, στις προηγούμενες παραγράφους. Οι αποκρίσεις αυτές χαράσσονται ταυτόχρονα πάν στους ίδιους άξονες με προσέγγιση ασύμπττν. Κατόπιν, λαμβάνεται η συνδυασμένη απόκριση, αφού εξεταστεί το πς η μία απόκριση επηρεάζει την άλλη. H(j).s lg 4 arg H(j) 9 /.s +.s /.s + 9 /.s + /.s + Σχ. Π.6 Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης Π-6

7 4. Αποκρίσεις συναρτήσεν δευτέρου βαθμού με συζυγείς μιγαδικές ρίζες. Έστ, η συνάρτηση μεταφοράς, με πόλους, H (s) = (Π-4) a s + a s + ±, = σ j H(j) arg H(j) 9 8 Σχ.Π.7 Απόκριση συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς H(s)=/(a s +a s+) Η (Π-4) μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή, H(s) = (Π-5) s + s + Q όπου, = σ +, είναι η ιδιοσυχνότητα τν πόλν και Q =, είναι ο παράγοντας σ ποιότητας τν πόλν. Σύμφνα με την (Π-5), προκύπτει, H(j) = (Π-6) ( n ) + j n Q όπου, n = /, είναι η ανηγμένη συχνότητα. Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς δίνεται από τη σχέση, Π-7

8 οπότε, Το μέτρο της συνάρτησης για >>, θα είναι, H(j) = (Π-7) / n ( n ) + Q H( j) = = H(j) = (Π-8) n Επομένς, H(j) = / ctave (Π-9) = 4 Αυτό σημαίνει ότι, η κλίση της απόκρισης, για συχνότητες μεγαλύτερες της ιδιοσυχνότητας τν πόλν, θα είναι - dβ/ctave. Γύρ από τη συχνότητα ο, η απόκριση εμφανίζει έξαρση (eaking), όταν η τιμή του Q είναι υψηλή, (σχ.π.7). Το μέγιστο της έξαρσης εμφανίζεται στη συχνότητα[4], = σ (Π-) Οπότε, για κυκλώματα υψηλού Q, όπου max σ, είναι, max= = ο. Στον πίνακα, που ακολουθεί, δίνονται μερικές προσεγγιστικές τιμές της έξαρσης της απόκρισης σε, για διάφορες τιμές του Q. Συνεπώς, Q,6,5 5 Έξαρση Η φάση της συνάρτησης μεταφοράς προσδιορίζεται από τη σχέση, n = arg H(j) = tan (Π-) Q n φ = όταν = φ = 9 όταν = φ = 8 όταν = Οι αποκρίσεις συχνότητας μέτρου και φάσης της συνάρτησης μεταφοράς δεύτερου βαθμού απεικονίζονται στο σχ.π.7. Π-8