x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα

Transcript

1 Μέθοδος κυβικών sples: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,,...,,. Για κάθε διάστημα βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S,,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f, S f S Συνθήκη Β: S S,,..., Συνθήκη Γ: S S,,..., Ορίζουμε τις ποσότητες y S,,...,,,..., Αφού τα πολυώνυμα πολυώνυμα ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή S y y, S f ; h, f f f,,..., S είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S,,..., h h θα είναι

2 Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. S f Ολοκληρώνουμε δύο φορές και βρίσκουμε y 3 y 3 S c d 6h 6h Εφαρμόζοντας τη συνθήκη Α δηλαδή S f και f h c y y h 6 S f βρίσκουμε και d y y Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις για έχουμε f f h h y y f y h f yh S 6h 6h h 6 h 6 Επομένως η μορφή των S που έχουν προκύψει έως τώρα ικανοποιεί τις συνθήκες Α και Γ

3 Βρίσκουμε τις ποσότητες y που παραμένουν ακόμα άγνωστες έτσι ώστε να ικανοποιείται και η συνθήκη Β. Παραγωγίζουμε μία φορά και έχουμε y y f h S y y h h h 6 Για να εφαρμόσουμε τη συνθήκη Β γράφουμε και την αντίστοιχη έκφραση y y f h S y y h h h 6 Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις και μετά από κάποια επεξεργασία έχουμε το σύστημα f h f h yh y y yh y y h 3 h 3 που το ξαναγράφουμε στη μορφή τριδιαγωνίου συστήματος f f h y h h y hy 6 h h Για να κλείσει το σύστημα θέτουμε S S. 3

4 Παράδειγμα: Να χρησιμοποιηθούν οι κυβικές sples, στον πίνακα δεδομένων ώστε να.5 f '.5: εκτιμηθούν οι τιμές των f και f Τα πολυώνυμα τα οποία αντιστοιχούν στα τρία υποδιαστήματα είναι: '' '' '' '' y y f y h f y h S 6h 6h h 6 h '' '' '' '' y y f y h f y h S 6h 6h h 6 h '' '' '' '' y 3 y 3 3 f3 y3h f yh S 3 3 6h 6h h 6 h 6 4

5 Οι όροι h είναι: h. h. h 3. Οι όροι Δf είναι: f f f.3365 f f f.96 f f3 f.48 '' '' Θέτοντας y y, προκύπτει το τριδιαγώνιο σύστημα 3 f f '' h h h y h h ''.4.y '' '' h h hy f f 6..4 y.488 h h '' '' y 5.39 και y Αντικαθιστώντας στα πολυώνυμα,, S S S τις αντίστοιχες ποσότητες προκύπτει 3 S S S

6 Για τον υπολογισμό της τιμής στο.5 επιλεγούμε το πολυώνυμο S αντιστοιχεί στο διάστημα [.,.3]. Τότε S.5.36 και ' S , το οποίο Γραφική απεικόνιση των πολυωνύμων παρεμβολής με Κυβικές Sples. 6

7 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,...,. Ορίζουμε τις διαφορές d f P όπου P a a... a πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει ελαχιστοποιώντας την ποσότητα S d f P f a a... a το ζητούμενο Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας τις παραγώγους του S ως προς τους συντελεστές a ίσες με το μηδέν και επιλύοντας το προκύπτον γραμμικό σύστημα. S f a a... a a S f a a... a a S f a a... a a 7

8 Επεξεργαζόμαστε τις παραπάνω εξισώσεις και ξαναγράφουμε το σύστημα στη μορφή a a a a a f 3 a a a... a f 3 4 a a a... a f... a a a... a f Η μέθοδος συνήθως εφαρμόζεται για. 8

9 Παράδειγμα: Με βάση τη συνάρτηση f 3 ( ) επιλέξτε δέκα ζευγάρια σημείων, f( ), έτσι ώστε τα σημεία να μην ισαπέχουν και εφαρμόστε παρεμβολή µε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης. Σχολιάστε µε λεπτομέρεια τα αποτελέσματα. Επιλέγουμε τα εξής ζεύγη τιμών: {-.,-4.}, {.,-5.}, {.5,.}, {.3,.664}, {3.,38.5}, {4.5,34.5}, {5.8,37.54}, {6.,38.36}, {7.9,85.448}, {8.4,.33}. 9

10 P( ) α) Πολυώνυμο μηδενικού βαθμού: a y P( ) y a Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα.

11 P( ) a a β) Πολυώνυμο πρώτου βαθμού: a a y a a y P ( ) y Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα.

12 γ) Πολυώνυμο δεύτερου βαθμού: P( ) a a a a a a y a a a y a a a y a b c a = b = c = P ( )

13 y y y

14 Παράδειγμα: Να εφαρμοσθεί η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στον πίνακα δεδομένων: f Επιλέγουμε την χρήση ενός πολυωνύμου ου βαθμού, τότε το σύστημα που προκύπτει είναι a a a y a a a y a a a y Η επίλυση του συστήματος γίνεται με την βοήθεια του Matheatca και η αντίστοιχη P συνάρτηση παρεμβολής που προκύπτει είναι 4

15 Όμοια εάν επιλέξουμε την χρήση ενός πολυωνύμου 3 ου βαθμού, τότε το σύστημα που προκύπτει είναι 3 3 a a a a y 3 4 a a a a3 y a a a a3 y a a a a3 y Η αντίστοιχη συνάρτηση παρεμβολής που προκύπτει είναι 3 P

16 Παρεμβολή με πολυώνυμο ου βαθμού (αριστερά) και 3 ου βαθμού (δεξιά) 6

17 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα: Εφαρμόζεται η μεθοδολογία των ελαχίστων τετραγώνων όπου οι συναρτήσεις βάσης είναι ορθογώνια πολυώνυμα (όχι μονώνυμα) και ΔΕΝ απαιτείται επίλυση αλγεβρικού συστήματος. Έστω ότι ζητούμε να προσεγγίσουμε µία συνάρτηση f a, b συνδυασμό της μορφής: f P c Φ είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο, b και όπου οι συναρτήσεις βάσεις b w k d, k a µε ένα γραμμικό ab, δηλαδή w k d dk, k a Με βάση την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων βάσης βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές c,,,,. 7

18 Ορίζουμε το υπόλοιπο r f c,,,,, όπου ο αριθμός των σημείων παρεμβολής και η τάξη του πολυωνύμου. Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε ορθογωνιότητα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την ποσότητα S wr όπου w οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας στα σημεία. Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι S wr w f c ck c k c k w f c c k w f c k, k 8

19 οι οποίες οδηγούν στο γραμμικό σύστημα ή w c f w k k wk c fwk, k Το σύστημα είναι στη μορφή A b και επιλύεται αναλυτικά για τους άγνωστους συντελεστές c. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις ορθογωνιότητας υπό μορφή αθροισμάτων αντί ολοκληρωμάτων δηλαδή, w k, k, ο πίνακας A ανάγεται σε διαγώνιο πίνακα και επομένως 9

20 k k k w f c w, k. Στην ειδική περίπτωση των πολυωνύμων Chebyshev k οι συντελεστές βαρύτητας είναι ίσοι μεταξύ τους και το παραπάνω αποτέλεσμα ανάγεται στην απλούστερη έκφραση k k k f c, k.