ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

Transcript

1 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο με το μηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έ στοιχείο τέτοιο ώστε Κάθε στοιχείο του γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή όπου Τι οομάζουμε πργμτικό τι φτστικό μέρος εός μιγδικού κι πώς το συμολίζουμε; Η έκφρση είι κριώς ότι λέμε μιγδικό ριθμό Είι η σύθεση δύο ριθμώ του πργμτικού κι του το οποίο οομάζουμε φτστικό ριθμό Ο λέγετι πργμτικό μέρος του κι σημειώετι Re εώ ο λέγετι φτστικό μέρος του κι σημειώετι Im 3 Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + κι γ+δ είι ίσοι; Δύο μιγδικοί ριθμοί κι γ δ είι ίσοι κι μόο γ κι δ γ δ 4 Πότε ές μιγδικός ισούτι με μηδέ ; γ κι δ Δηλδή ισχύει: Επειδή έχουμε : κι 5 Υπάρχει διάτξη στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Στη επέκτση πό το στο εώ οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτώ που ισχύου στο εξκολουθού ισχύου κι στο ε τούτοις η διάτξη κι οι ιδιότητές της δε μετφέροτι 6 Τι οομάζετι εικό εός μιγδικού ριθμού; Kάθε μιγδικό ριθμό μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο σημείο M εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως κάθε σημείο M του κρτεσιού υτού επιπέδου μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο μιγδικό Το σημείο M λέγετι εικό του μιγδικού A θέσουμε τότε το σημείο M μπορούμε το συμολίζουμε κι με M Ές μιγδικός πριστάετι επίσης κι με τη διυσμτική κτί M του σημείου M M ή Μ Ο a 7 Τι οομάζουμε μιγδικό επίπεδο τι πργμτικό κι το φτάστικό άξο; Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σημεί είι εικόες μιγδικώ ριθμώ θ φέρετι ως μιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργμτικός άξος φού ήκου σε υτό τ σημεί M που είι εικόες τω πργμτικώ ριθμώ εώ ο άξος λέγετι φτστικός άξος φού ήκου σε υτό τ σημεί M που είι εικόες τω φτστικώ

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Πως ορίζοτι οι πράξεις στους μιγδικούς ; Γι τη πρόσθεση τω Γι τη φίρεση τω κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ Γι το πολλπλσισμό δυο μιγδικώ έχουμε: γ δ γ δ δ γ Γι το πηλίκο γ δ έχουμε: γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ 9 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού ; Ορίζουμε: κι γεικά γι κάθε κέριο με Α ορίζουμε γι κάθε θετικό κέριο Πώς υπολογίζουμε τις δυάμεις του ; Ισχύει : 3 Γεικά : 4 ρυ 4 ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ - υ υ υ υ 3 Πως ερμηεύοτι γεωμετρικά η πρόσθεση κι η φίρεση μιγδικώ ; Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ διυσμτικώ κτίω τους Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ διυσμτικώ κτίω τους κι γ δ είι το άθροισμ τω κι γ δ είι η διφορά τω Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγδικού κι πώς το συμολίζουμε; Ο ριθμός λέγετι συζυγής του κι συμολίζετι με Δηλδή Επειδή είι κι οι λέγοτι συζυγείς μιγδικοί 3 Ποιές είι οι ιδιότητες τω συζυγώ ; Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς κι ισχύου: 3 Α κι γ δ είι δυο μιγδικοί ριθμοί τότε: Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M κι M δύο συζυγώ μιγδικώ κι είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο 4 Ποιές είι οι ρίζες κάθε εξίσωσης δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές Δ< ; Ποιές σχέσεις τις συδέου ; Ο M M Οι λύσεις είι : Δ κι ισχύει : κι γ

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 5 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ; Έστω M η εικό του μιγδικού =+ στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του τη πόστση του Μ πό τη ρχή δηλδή M 6 Ποι είι η γεωμετρική ερμηεί του μέτρου εός μιγδικού ; M Ηπόστση της εικός M του μιγδικού =+ πό τη ρχή τω ξόω Ο a 7 Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου ; = = - = - = 3 = 4 Γεικά ποδεικύετι ότι: κι ειδικότερ: τριγωική ισότητ 8 Τι εκφράζει γεωμετρικά ο ριθμός - μιγδικώ ριθμώ; Α είι μιγδικοί ριθμοί κι Μ Μ οι εικόες τους τότε: = δηλδή το μέτρο της διφοράς δύο Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: M M = - 9 Τι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις: - = ρ ρ> κι - - ; Η εξίσωση ρ ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K κι κτί ρ εώ η εξίσωση τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ A κι B B K A Ο Ο ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τι οομάζετι συάρτηση ; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Τι οομάζετι σύολο τιμώ μις συάρτησης ; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A λέγετι σύολο τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { γι κάποιο A} ΠΡΟΣΟΧΗ Οτ θ λέμε ότι Η συάρτηση είι ορισμέη σ έ σύολο Β θ εοούμε ότι το Β είι υποσύολο του πεδίου ορισμού της Στη περίπτωση υτή με B θ συμολίζουμε το σύολο τω τιμώ της σε κάθε B Είι δηλδή: B { γι κάποιο B} Τι είι η συτομογρφί μις συάρτησης; Γι οριστεί μι συάρτηση ρκεί δοθού δύο στοιχεί: το πεδίο ορισμού της κι η τιμή της γι κάθε του πεδίου ορισμού της Συήθως όμως φερόμστε σε μι συάρτηση δίοτς μόο το τύπο με το οποίο εκφράζετι το Σε μι τέτοι περίπτωση θ θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμ τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της είι το σύολο όλω τω πργμτικώ ριθμώ γι τους οποίους το έχει όημ 3 Τι οομάζετι γρφική πράστση συάρτησης; Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M γι τ οποί ισχύει δηλδή το σύολο τω σημείω M A λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με C 4 Πως ρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α το σύολο τιμώ A κι τη τιμή της στο A ότ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C C Α C = C A Α γ 5 Πως ρίσκουμε τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω - κι ότ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική ως προς το άξο της γρφικής πράστσης της γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M που είι συμμετρικά τω M ως προς το άξο Μ Μ = = Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που ρίσκοτι πάω πό το άξο συμμετρικά ως προς το άξο που ρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό κι πό τ τω τμημάτω της C = =

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 6 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες; Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει ΣΧΟΛΙΟ Έστω δύο συρτήσεις με πεδί ορισμού Α Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει τότε λέμε ότι οι συρτήσεις κι είι ίσες στο σύολο Γ Ο Γ B A 7 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω ; Ορίζουμε ως άθροισμ διφορά γιόμεο συρτήσεις με τύπους: κι πηλίκο τίστοιχ δύο συρτήσεω τις Το πεδίο ορισμού τω κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως εώ το πεδίο ορισμού της B με } είι το σύολο { A κι 8 Τι οομάζετι σύθεση συρτήσεω ; Α είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α Β A B τιστοίχως τότε οομάζουμε σύθεση της με τη κι τη συμολίζουμε με o τη συάρτηση με τύπο: o Το πεδίο ορισμού της o ποτελείτι A B πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A B} A Είι φερό ότι η o ορίζετι A δηλδή A B Α είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι o κι o τότε υτές δε είι υποχρεωτικά ίσες Α h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho o τότε ορίζετι κι η ho o κι ισχύει: ho o ho o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω κι h κι τη συμολίζουμε με hoo Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις 9 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει: Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είι γησίως μοότοη στο Δ

7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι ύξουσ κι πότε φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι πλώς ύξουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει φθίουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει Α μι συάρτηση είι ύξουσ ή φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είι μοότοη στο Δ 3 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο το ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο το ότ γι κάθε A Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο μις συάρτησης λέγοτι ολικά κρόττ της 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι -; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση ότ γι οποιδήποτε A ισχύει η συεπγωγή: τότε Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση : A R είι συάρτηση κι μόο γι οποιδήποτε A ισχύει : τότε Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Σχ = γ A B συάρτηση - συάρτηση όχι - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη τότε προφώς είι συάρτηση " " Έτσι οι 3 συρτήσεις 3 κι 4 lo είι συρτήσεις Υπάρχου όμως συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες όπως γι πράδειγμ η συάρτηση Σχγ 33 Τι οομάζετι τίστροφη συάρτηση; Έστω μι συάρτηση : A R Tότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ A υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει της

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7 Επομέως ορίζετι μι συάρτηση : A R με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει H λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε οπότε: A κι A 34 Τι γωρίζετε γι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι - ; Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι είι συμμετρικές ως προς τη 35 Γιτί οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι - είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί = που διχοτομεί τις γωίες κι Ας πάρουμε μι - συάρτηση κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω κι της στο ίδιο σύστημ ξόω Επειδή έ σημείο M ήκει στη γρφική πράστση C της τότε το σημείο θ ήκει στη γρφική πράστση C της κι τιστρόφως Τ σημεί όμως υτά είι συμμετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι Επομέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι C = M C M 36 Ποι είι η έοι του ορίου; Ότ οι τιμές μις συάρτησης προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό τότε γράφουμε: lm κι διάζουμε: το όριο της ότ το τείει στο είι ή το όριο της στο είι a γ ΣΧΟΛΙΟ Γι ζητήσουμε το όριο της στο πρέπει η ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο δηλδή η είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής: ή ή Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης ή μη ήκει σ υτό Η τιμή της στο ότ υπάρχει μπορεί είι ίση με το όριό της στο ή διφορετική πό υτό 37 Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου ; lm lm lm lm h h

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 38 Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι ; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής τότε ισχύει η ισοδυμί: lm lm lm ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι το lm είι εξάρτητο τω άκρω τω διστημάτω κι στ οποί θεωρούμε ότι είι ορισμέη η Έτσι γι πράδειγμ θέλουμε ρούμε το όριο της συάρτησης στο περιοριζόμστε στο υποσύολο του πεδίου ορισμού της στο οποίο υτή πίρει τη μορφή: = Επομέως όπως φίετι κι πό το διπλό σχήμ το ζητούμεο όριο είι lm ΣΥΜΒΑΣΗ Ότ λέμε ότι μι συάρτηση έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ θ εοούμε ότι ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής γ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής Γι πράδειγμ η συάρτηση π π κι είι θετική σε υτό = ημ είι θετική κοτά στο φού ορίζετι στο σύολο 39 Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι ; όριο κι διάτξη Α lm τότε εώ lm τότε κοτά στο Α οι συρτήσεις έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο τότε: lm lm 4 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο τότε: lm lm lm lm κ κ lm γι κάθε κ R 3 lm lm lm 4 lm lm εφόσο lm lm 5 lm lm 6 lm k k lm ότ κοτά στο 7 lm[ ] lm N *

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 4 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις h Α h κοτά στο κι lm h lm τότε lm Πράδειγμ γι έχουμε: ημ κι επειδή lm lm σύμφω με το πρπάω κριτήριο έχουμε: lm ημ 4 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι ; C C C h ημ συ lm lm Σημείωση : ημ γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ 43 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης ; Γι υπολογίσουμε το lm εργζόμστε ως εξής: της σύθετης συάρτησης στο σημείο τότε Θέτουμε u κι υπολογίζουμε το u lm κι το lm u υπάρχου Αποδεικύετι ότι u κοτά στο τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με δηλδή ισχύει: uu lm lm u uu 44 Ποιες είι οι ιδιότητες τω μη πεπερσμέω ορίω στο R; Α lm τότε εώ lm τότε κοτά στο Α lm τότε lm εώ lm τότε lm Α lm ή τότε lm Α lm κι κοτά στο τότε τότε lm lm εώ κοτά στο Α lm ή τότε lm κι lm τότε lm k Βσικά όρι: * lm κι γεικά lm lm κι γεικά lm εώ lm κι δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της * * lm Οριο θροίσμτος κι γιομέου το όριο της είι: R R - - κι το όριο της είι: - - -

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τότε το όριο της το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: είι: - - ; ; > < > < ; ; Στους πίκες τω πρπάω θεωρημάτω όπου υπάρχει ερωτημτικό σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Στις περιπτώσεις υτές λέμε ότι έχουμε προσδιόριστη μορφή Δηλδή προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου συρτήσεω είι οι: κι κι προσδιόριστες μορφές γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι: κι 45 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω συάρτησης στο άπειρο; Γι τ όρι στο ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ της μορφής ή κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πρκάτω σικά όρι: * lm κι lm άρτιος lm * κι lm - περιττός 46 Ποιο είι το όριο πολυωυμικής κι ρητής συάρτησης το τείει στο ; Γι τη πολυωυμική συάρτηση P με ισχύει: lm P lm κι lm P lm Γι τη ρητή συάρτηση κ κ lm lm κ κι κ κ κ κ ισχύει: lm lm κ κ 47 Ποιο είι το όριο εκθετικής κι λογριθμικής συάρτησης το τείει στο ; Α τότε: lm lm lm lo Α τότε: lm lm lm lo 48 Τι οομάζετι κολουθί; lm lo lm lo Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση * : 49 Ν διτυπώσετε το ορισμό του πεπερσμέου όριου κολουθίς Θ λέμε ότι η κολουθί έχει όριο το κι θ γράφουμε lm ότ γι κάθε ε υπάρχει * τέτοιο ώστε γι κάθε ισχύει: ε

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Πότε η λέγετι συεχής στο του πεδίου ορισμού της; Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο ότ: lm 5 Πότε μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της στο σημείο 5 Πότε η λέγετι συεχής; Ότ η είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της 53 Δώστε πρδείγμτ συεχώ συρτήσω Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής φού γι κάθε ισχύει: lm P P P P P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής φού ισχύει: lm Q Q Q γι κάθε του πεδίου ορισμού της Οι συρτήσεις ημ κι συ είι συεχείς φού γι κάθε ισχύει: Οι συρτήσεις lm ημ ημ κι κι lm συ συ lo είι συεχείς 54 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: c όπου c κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο σύθεσή τους o είι συεχής στο 55 Πότε η λέγετι συεχής σε έ οικτό διάστημ ; τότε η Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του 56 Πότε η λέγετι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [] ; Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [ ] ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του κι επιπλέο : lm κι lm 57 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Bolano Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α η είι συεχής στο [ ] κι επιπλέο ισχύει τότε υπάρχει έ τουλάχιστο τέτοιο ώστε 58 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Bolano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [ ] Επειδή τ σημεί A κι B ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο B a a Α

13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ > a a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 66 + ρ + + ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 59 Πως μπορούμε προσδιορίσουμε το πρόσημου μις συεχούς συάρτησης ; Ο προσδιορισμός υτός γίετι ως εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες επιλέγουμε έ ριθμό κι ρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [ ] τότε όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές Με τη οήθει του θεωρήμτος εδιμέσω τιμώ ποδεικύετι ότι: Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ η a a =η 6 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [ ] τότε η πίρει στο [ ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου [ ] τέτοι ώστε m κι M ισχύει : m M γι κάθε [ ] ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ Μέγιστης - ελάχιστης τιμής κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [ ] είι το κλειστό διάστημ [ m M ] όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Δηλδή: [] = [ m M ]

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 6 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ ; A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α Β όπου: Α lm κι B lm Α όμως η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [ ] [ κι ] ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A της C ; Έστω μι συάρτηση κι A έ σημείο της C Α υπάρχει το lm κι είι ο πργμτικός ριθμός τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ= Επομέως η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A είι : ' 63 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της υπάρχει το lm κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: lm 64 Ποιος είι ο συμολισμός του Lebn κι ποιος του Larane γι τη πράγωγο της στο Ο Lebn συμολίσε τη πράγωγο στο με μετγεέστερος κι οφείλετι στο Larane d d ή Ο συμολισμός είι d d 65 Τι οδήγησε το Lebn συμολίσει τη πράγωγο στο με Α στη ισότητ lm θέσουμε h τότε έχουμε: d d ή d d h lm h h Πολλές φορές το h συμολίζετι με Δ εώ το h Δ Δ συμολίζετι με Δ οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: lm Δ Δ d Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Lebn συμολίσει τη πράγωγο στο με d ή d d =

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 66 Τι λέγετι στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t ; Η στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St τη χροική στιγμή t Δηλδή είι: υ t S t 67 Ποι είι η γεωμετρική ερμηεί του πράγωγου ριθμού σε έ σημείο ο ο της γρφικής πράστσης C μι συάρτησης; Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης ε της γρφικής πράστσης C μις πργωγίσιμης συάρτησης στο σημείο A είι η πράγωγος της στο 68 Τι οομάζετι κλίση της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης σε έ σημείο της Α ο ο ; Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A θ τη λέμε κι κλίση της γρφικής πράστσης C στο Α ή κλίση της στο 69 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή πλά πργωγίσιμη ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 7 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο 7 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [] του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [ ] του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη στο κι επιπλέο ισχύει: - lm R κι Τι οομάζετι πρώτη πράγωγος συάρτησης ; - lm R - - Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο ορίζουμε τη συάρτηση : A R ώστε : η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος + h - της Ο τύπος της συάρτησης είι: = lm A h h d H πρώτη πράγωγος της συμολίζετι κι με d 73 Τι οομάζετι δεύτερη πράγωγος κι τι ιοστή πράγωγος συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη κι η πρώτη πράγωγος της Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω τότε η πράγωγος της υπάρχει λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συμολίζετι με Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της με 3 κι συμολίζετι με Δηλδή: [ ] 3

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 74 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση ; Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει 75 Τι είι ο κός της λυσίδς; Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: Δηλδή u τότε: u u u Με το συμολισμό του Lebn u κι u έχουμε το τύπο που είι γωστός ως κός της λυσίδς ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ d d d du du d d Το σύμολο δε είι πηλίκο Στο κό της λυσίδς πλά συμπεριφέρετι ως πηλίκο d πράγμ που ευκολύει τη πομημόευση του κό 76 Τι οομάζετι ρυθμός μετολής του ως προς το στο σημείο ότ = κι είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο ; Α δύο μετλητά μεγέθη συδέοτι με τη σχέση ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 77 Τι λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t ; Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος υ t της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t Η πράγωγος υ t λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t κι συμολίζετι με t Είι δηλδή: υ t S t t 78 Τι λέγετι ορικό κόστος στο ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο Στη οικοομί το κόστος πργωγής Κ η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόμεου προϊότος Έτσι η πράγωγος Κ πριστάει το ρυθμό μετολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ ότ κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο 79 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle Α μι συάρτηση είι συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] πργωγίσιμη στο οικτό κι τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ 8 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rolle Μξξ Το Θεώρημ Rolle γεωμετρικά σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ ξ είι πράλληλη στο άξο τω Β Α ξ ξ

17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 8 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ 8 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Β Mξξ A Ο a ξ ξ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ως άμεσες συέπειες του ΘΜΤ προκύπτου: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Έστω δυο συρτήσεις ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι είι συεχείς στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε єδ ισχύει: =+c 3 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ τότε ισχύει η ισοδυμί: = = c e c 4 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Δ 83 Τι οομάζετι τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου εώ το τοπικό ελάχιστο της Έ τοπικό μέγιστο μπορεί είι μικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο Σχ 3 4 a ma mn a 3 4 Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ εώ προυσιάζει ελάχιστο τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7 Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης 84 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε: 85 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της 86 Ποι είι τ κρίσιμ σημεί μις συάρτησης ορισμέης σε έ διάστημ Δ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 87 Πως σχετίζετι η με τ τοπικά κρόττ; κριτήριο ης πργώγου Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο κι στο τότε το είι τοπ μέγιστο της Α στο κι στο τότε το είι τοπ ελάχιστο της A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο 88 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή ή κοίλη σ έ διάστημ Δ; Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ ΣΧΟΛΙΟ Α μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστημ Δ τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση με εξίρεση το σημείο επφής τους Ως άμεση συέπει προκύπτου οι σικές ισώσεις: e + єr κι ln - > 89 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά τη έοι κυρτή ή κοίλη συάρτηση σε διάστημ Δ Εποπτικά μί συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σε έ διάστημ Δ ότ έ κιητό που κιείτι πάω στη C γι διγράψει το τόξο που τιστοιχεί στο διάστημ Δ πρέπει στρφεί κτά τη θετική τιστοίχως ρητική φορά + + C 9 Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με τη κυρτότητ ; Εστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ

19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κοίλη στο Δ ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του θεωρήμτος δε ισχύει Γι πράδειγμ 4 έστω η συάρτηση = του σχήμτος Επειδή η =4 είι γησίως ύξουσ στο η 4 = είι κυρτή στο Ετούτοις η δε είι θετική στο φού = 3 = 4 9 Τι οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο κι κοίλη στο ή τιστρόφως κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A τότε το σημείο A οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 9 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής ; Α το A είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη τότε Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ κι Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A τότε το A είι σημείο κμπής 93 Τι οομάζετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι lm lm κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της είι ή τότε η ευθεί λέγετι 94 Τι οομάζετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α lm τιστοίχως lm τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 95 Τι οομάζετι σύμπτωτη πλάγι της γρφικής πράστσης της ; Η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο lm [ λ ] κι στο lm [ λ ] 96 Πως υπολογίζουμε τ λ κι ώστε η ευθεί =λ+ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο Η ευθεί λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο κι μόο : lm = λ κι lm [ - λ] = τιστοίχως lm = λ κι lm [ - λ] = + + Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες P Οι ρητές συρτήσεις με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο Q του θμού του προομστή δε έχου πλάγιες σύμπτωτες

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε είι συεχής Στο εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής τιστοίχως 97 Ποιοι είι οι κόες De l Hosptal ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α lm lm το lm πεπερσμέο ή άπειρο τότε: lm lm R { } κι υπάρχει ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α lm lm R { } κι υπάρχει το lm πεπερσμέο ή άπειρο τότε: lm lm Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε χρειάζετι τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 98 Τι οομάζετι Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: F γι κάθε Δ 99 Τι οομάζετι εμδό του επίπεδου χωρίου Ω Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [ ] με = γι κάθε [ ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της το άξο τω κι τις ευθείες ξ Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω εργζόμστε ως εξής: Ω ξ k ξ ξ Χωρίζουμε το διάστημ [ ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ με τ σημεί = ξ ξ k- ξk k - ξ = a Σε κάθε υποδιάστημ [ κ κ ] Δ επιλέγουμε υθίρετ έ v σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση Δ κι ύψη τ ξ κ Το άθροισμ τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι: S ξ Δ ξ Δ ξ Δ [ ξ ξ ] Δ Yπολογίζουμε το lm S Αποδεικύετι ότι το lm S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω σημείω ξ κ Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε Ω Είι φερό ότι Ε Ω

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τι οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [ ] Με τ σημεί χωρίζουμε το διάστημ [ ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξ κ [ κ κ ] γι κάθε κ { } κι σχημτίζουμε το άθροισμ: S ξ Δ ξ Δ ξ Δ ξ Δ κ το οποίο συμολίζετι σύτομ ως εξής: S κ ξ κ Δ Το άθροισμ υτό οομάζετι έ άθροισμ RIEMANN Aποδεικύετι ότι Το όριο του θροίσμτος S δηλδή το lm ξ κ Δ υπάρχει στο κι κ είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω ξ κ Το πρπάω όριο οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο συμολίζετι με d κι διάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο Δηλδή d lm Οι ριθμοί κι οομάζοτι όρι της ολοκλήρωσης Είι επίσης χρήσιμο επεκτείουμε το πρπάω ορισμό κι γι τις περιπτώσεις που είι ή ως εξής: d d ή d a= ξ = ξ k ξ v- ξ v v = ΣΧΟΛΙΟ Α c με άση τότε το cd εκφράζει το εμδό εός ορθογωίου κι ύψος c = c Ποιες είι οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος ; Έστω συεχείς συρτήσεις στο [ ] κι λ μ R Τότε ισχύου: d λ λ d ] d d [ d κι γεικά ισχύει: [ μ ] d λ d μ λ d 3 Α η είι συεχής σε διάστημ Δ κι τότε ισχύει : γ d d d γ 4 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [ ] Α γι κάθε [ ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό τότε d

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Α κι γ η πρπάω ιδιότητ δηλώει ότι: Ε Ω Ε Ω Ε Ω φού κι Ω d Ω Ε γ Ε Ω d Ε d γ Ω γ = Ω Α η συάρτηση είι συεχής κι ισχύει γι κάθε [ ] τότε d Συεπώς ισχύου: Α οι συρτήσεις είι συεχείς κι ισχύει γι κάθε [ ] τότε d d Γι κάθε συεχή συάρτηση στο [ ] ισχύει: d d γ Α η συάρτηση είι συεχής στο [ ] τότε σύμφω με το Θεώρημ Μέγιστης κι Ελάχιστης Τιμής υπάρχου mm IR ώστε ισχύει: m d Ν διτυπώσετε το θεώρημ το οποίο μς εξσφλίζει τη ύπρξη πράγουσς μις συεχούς συάρτησης σε έ διάστημ Δ Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ τότε η συάρτηση F t dt Δ είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt γι κάθε Δ a ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει ως εξής: Εμδό του χωρίου Ω h F h F t dt = h γι μικρά h F h F Άρ γι μικρά h είι h F h F οπότε F lm h h Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει ότι: t dt με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμολ έχου όημ F = 3 Ποιος είι ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες στ ορισμέ ολοκληρώμτ; d [ ] d όπου είι συεχείς συρτήσεις στο [ ]

23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Ποιος είι ο τύπος της ολοκλήρωσης με τικτάστση στ ορισμέ ολοκληρώμτ; u Ισχύει : d u du όπου είι συεχείς συρτήσεις u du d u κι u u 5 Πως ορίζετι το εμδό ΕΩ εός χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες = = κι τη γρφική πρστάση της κι το άξο ; Ισχύει : EΩ= d ΣΧΟΛΙΟ Σύμφω με τ πρπάω το d είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι πάω πό το άξο μείο το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι κάτω πό το άξο Ο a Πως ορίζετι το εμδό ΕΩ εός χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες = = κι τις γρφικές πρστάσεις τω κι ; Ισχύει : E Ω d

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 Θεωρήμτ με ποδείξεις ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α = + κι =γ + δ με γδ R είι δυο μιγδικοί ριθμοίτότε: +=+ γ δ γ δ γ δ γ δ Ν ποδείξετε ότι η διυσμτική κτί του θροίσμτος δυο μιγδικώ ριθμώ είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω κι γ δ με γδ τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο τότε το άθροισμ γ δ γ δ πριστάετι με το σημείο M γ δ M γδ M+γ +δ Επομέως M M M Ο M 3 Ν ποδείξετε ότι η διυσμτική κτί της διφοράς δυο μιγδικώ ριθμώ είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω κι γ δ με γδ τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο τότε η διφορά Μ γδ Μ γ δ γ δ Ο πριστάετι με το σημείο N γ δ Νγδ Επομέως N M M Μ 3γδ 4 Ν ποδείξετε ότι: +γ+δ=γ-δ+δ+γ με γδ R Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ δ γ Δηλδή γ δ γ δ δ γ + γ + δ γ -δ 5 Ν ποδείξετε ότι: = + με γδ R κι γ+δ γ + δ γ + δ γ + δ Πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ Δηλδή γ δ γ δ γ δ

25 ΘΕΩΡΙΑ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 6 Ν ποδείξετε ότι: = υ όπου θετικός κέριος κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4 Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του γράφουμε το εκθέτη στη μορφή υ ρ 4 όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4 οπότε έχουμε: υ υ υ υ υ υ ρ υ ρ υ ρ υ ρ 7 Ν ποδείξετε ότι κάθε εξίσωση δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Πράγμτι έστω η εξίσωση γ με κι Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω στη μορφή: 4 Δ όπου γ Δ 4 η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ Tότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: Δ Δ Tότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: Δ Tότεεπειδή 4 4 Δ ι Δ Δ Δ η εξίσωση γράφετι: Δ Άρ οι λύσεις της είι: Δ οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί 8 Α είι μιγδικοί ριθμοί τότε : = Πράγμτιέχουμε: κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Γι το πολυώυμο P δείξετε ότι : lm P = P Έστω το πολυώυμο P κι R Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: lm lm P lm lm lm lm lm lm P

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Δείξετε ότι : P P εφόσο Q Q Q lm = Έστω η ρητή συάρτηση P = όπου P Q πολυώυμ του κι R με Q Q Τότε lm P P P lm lm Q lm Q Q Έστω μι συάρτηση η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [] Α η είι συεχής στο [] κι δείξετε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές τουλάχιστο ώστε = η Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση η [ ] πρτηρούμε ότι: η είι συεχής στο [ ] κι φού η κι η Επομέως σύμφω με το θεώρημ του Bolano υπάρχει τέτοιο ώστε η οπότε η η a Α a B =η ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α η είι πργωγίσιμη στο σημείο τότε είι κι συεχής σ υτό Γι έχουμε Οπότε lm[ ] lm φού η είι πργωγίσιμη στο Αρ lm ΣΧΟΛΙΟ lm lm δηλδή η είι συεχής στο Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο τότε σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο ΣΧΟΛΙΟ ημ συ Τ όρι lm κι lm είι η πράγωγος στο τω συρτήσεω ημ ημ ημ ημ κι συ τιστοίχως φού: lm lm συ συ συ κι lm lm

27 ΘΕΩΡΙΑ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 3 Εστω η στθερή συάρτηση = c c R Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει = δηλδή c = Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: c c Επομέως lm δηλδή c 4 Έστω η συάρτηση = Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει = δηλδή = Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: Επομέως lm lm δηλδή 5 Έστω η συάρτηση = Ν-{ } Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει - = δηλδή - = Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: οπότε: lm lm δηλδή 6 Έστω = Δείξετε ότι γι κάθε Î + ισχύει = Πράγμτι είι έ σημείο του τότε γι ισχύει: Οπότε lm lm δηλδή 7 Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο τότε η συάρτηση + είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: + = + Γι ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο έχουμε: lm lm lm Δηλδή :

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7 8 Ν ποδείξετε με τι ισούτι η πράγωγος του γιόμεου τριώ πργωγίσιμω συρτήσεω Γι τρεις πργωγίσιμες συρτήσεις ισχύει: 9 Έστω η συάρτηση h [ h ] h h [ ] h h h h h - = * Ν Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει =- δηλδή =- * Πράγμτι γι κάθε R έχουμε: Είδμε όμως πιο πρι ότι κ κ κ γι κάθε φυσικό Επομέως Z { } τότε : Έστω η συάρτήση = εφ D =R-{ συ=} κι ισχύει Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο = δηλδή: εφ = συ συ ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ Η συάρτηση = R-Z είι πργωγίσιμη στο + κι ισχύει - = δηλδή: = - Πράγμτι ln e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u e u u ln e e u e Επομέως Η συάρτηση δηλδή : Πράγμτι = > είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει = ln = ln ln e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u e u u ln e e u e ln ln Επομέως 3 Η συάρτηση =ln * R είι πρ/μη στο * R κι ισχύει ln = Πράγμτι : τότε ln ln εώ τότε : ln ln οπότε θέσουμε ln κι u έχουμε ln u Επομέως ln u u κι άρ u ln

29 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 4 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Δ ισχύει Πράγμτι Α τότε προφώς Α τότε στο διάστημ [ ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ξ οπότε λόγω της είι Α τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είι 5 Έστω δυο συρτήσεις ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι είι συεχείς στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει: = + c Η συάρτηση είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό =+c σημείο Δ ισχύει : Επομέως σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ η συάρτηση είι στθερή στο Δ Άρ υπάρχει στθερά C τέτοι ώστε = γι κάθε Δ ισχύει c οπότε c ΣΧΟΛΙΟ Το πρπάω θεώρημ 4 κθώς κι το πόρισμά του 5 ισχύου σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω Γι πράδειγμ έστω η συάρτηση: Πρτηρούμε ότι κι γι κάθε ετούτοις η δε είι στθερή στο 6 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι στο διάστημ [ ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ κι έχουμε οπότε Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ 3 Γι πράδειγμ η συάρτηση κι είι γησίως ύξουσ στο ετούτοις έχει πράγωγο 3 η οποί Ο = 3 δε είι θετική σε όλο το φού Ισχύει όμως γι κάθε 7 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό τότε: = Θεώρημ Fermat Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο υπάρχει δ τέτοιο ώστε δ δ Δ κι γι κάθε δ δ Επειδή επιπλέο η είι πργωγίσιμη στο ισχύει: lm lm Επομέως δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε: lm δ +δ δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε lm 3 Έτσι πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 8 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής Α > στο κι < στο τότε το είι τοπικό μέγιστο της Σχ Α < στο κι > στο τότε το είι τοπικό ελάχιστο της Σχ A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο Σχγ Eπειδή γι κάθε κι η είι συεχής στο η είι γησίως ύξουσ στο ] Έτσι έχουμε: γι κάθε ]

31 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 Επειδή γι κάθε κι η είι συεχής στο η είι γησίως φθίουσ στο [ Έτσι έχουμε: γι κάθε [ > < > < a a Επομέως λόγω τω κι ισχύει: γι κάθε που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο κι άρ τοπικό μέγιστο υτής Εργζόμστε λόγως < > < > a Έστω ότι: γι κάθε a > > γ > > a a Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ ] κι [ Επομέως γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε τώρ ότι η είι γησίως ύξουσ στο Πράγμτι έστω με Α ] επειδή η είι γησίως ύξουσ στο ] θ ισχύει [ Α επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [ θ ισχύει Τέλος τότε όπως είδμε Επομέως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει οπότε η είι γησίως ύξουσ στο Ομοίως γι κάθε ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ τότε: όλες οι συρτήσεις της μορφής G = F + c c R είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G = F +c c R Κάθε συάρτηση της μορφής G F c όπου c R είι μι πράγουσ της στο Δ φού G F c F γι κάθε Δ

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F κι G οπότε G F γι κάθε Δ Άρ σύμφω με το πόρισμ της 6 υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G F c γι κάθε Δ 3 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [] Α G είι μι πράγουσ της στο [] τότε tdt = G-G Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [ ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [ ] θ υπάρχει c R τέτοιο ώστε : G F c Από τη γι έχουμε G F c t dt c c οπότε c G Επομέως G F G οπότε γι έχουμε G F G t dt G κι άρ t dt G G ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Πολλές φορές γι πλοποιήσουμε τις εκφράσεις μς συμολίζουμε τη διφορά G G με [ G ] οπότε η ισότητ του πρπάω θεωρήμτος γράφετι: d [ G ] [ d] 3 Έστω δυο συρτήσεις κι συεχείς στο διάστημ [] με γι κάθε [] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω κι τις ευθείες = κι = Τότε το εμδό του χωρίου Ω είι EΩ = - d Α γι κάθε [] πρτηρούμε στ σχήμτ γ ότι: d d Ε Ω Ε Ω Ε Ω d = = Ω = = Ω Ω γ Επομέως E Ω d Α γι κάθε [] Επειδή οι συρτήσεις είι συεχείς στο [ ] θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε

33 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 c c γι κάθε [ ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω στ πρκάτω σχήμτ έχει το ίδιο εμδό με το χωρίο Ω =+c = Ω =+c = Επομέως σύμφω με το τύπο έχουμε: [ c c] d Ε Ω Ε Ω d Άρ E Ω d

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 33 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ =c Συάρτηση c = Πράγωγος = = = - = = κ κ κ- κ - =κ = - - = =ln ln = Διάστημ που πργωγίζετι η [ με > με < =lo = ln lo = ln ln = = = =e e = e = > = ln =ημ ημ = συ =συ συ =-ημ =εφ εφ = =+εφ συ Α={ / κπ+ π κ } =σφ σφ = - =-+ σφ ημ Α={ / κπ κ } = - < = > = = -

35 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 34 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ συάρτηση πράγουσ F σύθετη συάρτηση πράγουσ c +c +c +c + + +c + + +c +c +c ημ -συ+c ημ -συ+c συ ημ+c συ ημ+c συ εφ+c συ εφ+c - ημ σφ+c - ημ σφ+c e e +c e e +c ln +c ln +c ln ln-+c ln ln- ln +c ln +c ΚΑΠΟΙΕΣ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ μορφή συάρτησης πράγουσ μορφή συάρτησης πράγουσ + +c + +c - +c - +c [ ] + +c [ + ]e e +c