ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΩΝ ΤΥΠΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Transcript

1 1 Το παρακάτω κείμενο είναι εισήγηση στο 4 o Πανελλήνιο Συνέδριο Ψυχολογικής Έρευνας. ΕΛΨΕ Θεσ/νίκη το Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης, (1993). Επίδραση των τυπικών αναπαραστάσεων στη συμπεριφορά του μαθητή. Παραδείγματα από τη Γεωμετρία. Εισήγηση στο 4 o Πανελλήνιο Συνέδριο Ψυχολογικής Έρευνας. ΕΛΨΕ Θεσ/νίκη, Μαΐου Περίληψη στα πρακτικά σελ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΩΝ ΤΥΠΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χαράλαμπος ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε. Φλώρινας Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκη ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία αυτή επιχειρούμε μια ανάλυση των γνώσεων των μαθητών στο θεώρημα του Θαλή και την ομοιοθεσία μέσα στα πλαίσια της θεωρίας της "τυπικότητας". Η "τυπικότητα" είναι μια ιδιότητα των στοιχείων μιας κατηγορίας που αντιστοιχεί στην ιδέα ότι ορισμένα στοιχεία (παραδειγματικές, υπό-κατηγορίες) αποτελούν καλύτερα παραδείγματα από άλλα της κατηγορίας που ανήκουν: είναι πολύ τυπικά γ'αυτήν την κατηγορία. Στον τομέα των φυσικών κατηγοριών, ένα σπουργίτη είναι καλύτερο παράδειγμα πουλιού από μια κότα ή μια στρουθοκάμηλο. Οι αρχές της "τυπικότητας" που φανερώνονται μαρτυρούν μια ιδιαίτερη οργάνωση των αναπαραστάσεων στη μνήμη μακράς διάρκειας. Σε μια τέτοια οργάνωση, οι υπό-κατηγορίες ή παραδείγματα δεν έχουν την ίδια υπόσταση, αλλά ορισμένες οντότητες παίζουν τον κυρίαρχο ρόλο των σημείων αναφοράς. (Cordier, 1991)

2 2 Αυτά τα "καλά" παραδείγματα όσον αφορά τη συμπεριφορά διαχωρίζονται από τα στοιχεία τα μη τυπικά ως προς το χρόνο της χρησιμοποίησης των πληροφοριών που είναι πιο σύντομος, γι'αυτό και τις ονομάζουμε "ευνοούμενες αναπαραστάσεις". Κάνουμε την υπόθεση ότι αυτή η ιδιότητα των γνωστικών αναπαραστάσεων που είναι η "τυπικότητα", δημιουργεί γνωστικές αποκλίσεις. Μπορούμε να πούμε δηλαδή, ότι υπάρχει γνωστική απόκλιση όταν μια συγκεκριμένη δομή των σταθερών αναπαραστάσεων, μια συγκεκριμένη κατάσταση των τυπικών αναπαραστάσεων (Le Ny, 1989) οδηγεί το υποκείμενο να δώσει απαντήσεις που δεν είναι ικανοποιητικές, λάθος ή ελλιπείς σε σχέση με κάποιους κανόνες. Η μάθηση στα Μαθηματικά, τις περισσότερες φορές, έχει σαν στόχο να κάνει να αποκτήσουν οι μαθητές έννοιες των οποίων το σημαινόμενο είναι αυστηρά προσδιορισμένο. Για παράδειγμα, η μάθηση της εφαρμογής του θεωρήματος του Θαλή έχει ως στόχο να κάνει φανερό ότι οι λόγοι μένουν σταθεροί με την παραλληλία. Η ερώτηση που θέτουμε είναι εάν υπάρχει για το μαθητή αφαίρεση της ειδικής σχέσης που θέλουμε να τον κάνουμε να αποκτήσει ή εάν αυτή η σχέση μένει εγκλωβισμένη μέσα στις ιδιότητες ενός ειδικού γεωμετρικού σχήματος και οι οποίες ιδιότητες είναι περιττές για την εφαρμογή του θεωρήματος. Αυτό θα το δούμε να παρουσιάζεται στο μέτρο που οι μαθητές θα βασίζονται σε άχρηστες σχηματικές ιδιότητες για τη λύση του προβλήματος, αλλά οι ιδιότητες αυτές θα είναι συμφυείς με τις τυπικές αναπαραστάσεις που έχουν. Στόχοι της εργασίας αυτής είναι: - πρώτον, να καταδείξει ότι όλα τα γεωμετρικά σχήματα για τα οποία βρίσκουν εφαρμογή οι έννοιες του θεωρήματος του Θαλή και της ομοιοθεσίας δεν είναι για τους μαθητές εξίσου αντιπροσωπευτικά των εννοιών αυτών. Οι γνώσεις αυτές βασίζονται σε κάποιες τυπικές αναπαραστάσεις. - δεύτερον, οι τυπικές αυτές αναπαραστάσεις δεν περιέχουν μόνο τα ουσιαστικά χαρακτηριστικά αυτών των εννοιών, αλλά επίσης και περιττές ιδιότητες, οι οποίες δημιουργούνται τη στιγμή της μάθησης.

3 3 Μ'αυτήν την έννοια οι τυπικές αναπαραστάσεις θα είναι πηγή λαθών: θα οδηγούν δηλαδή το μαθητή σε αποτυχία ή μη αναγνώριση των καταστάσεων που δε μοιάζουν με τις τυπικές αναπαραστάσεις. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Για να μπορέσουμε να διερευνήσουμε ποιες είναι οι τυπικές σχηματικές αναπαραστάσεις για την εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή και της ομοιοθεσίας, παίρνουμε κάθε φορά το σύνολο των αναπαραστάσεων που είναι δυνατόν να παρουσιαστούν στα σχολικά πλαίσια και κατασκευάζουμε ένα κανόνα ανάλυσης αυτών των σχηματικών αναπαραστάσεων. Θα παρουσιάσουμε εδώ την ανάλυση των γεωμετρικών σχημάτων που επιτρέπουν την εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή. Γι'αυτό το σκοπό επιλέγουμε τις παρακάτω μεταβλητές: 1) τη θέση της σχετικά με την : τέμνουσα ή παράλληλη 2) τη γωνία χοψ που σχηματίζεται από τις ευθείες και εάν είναι τεμνόμενες: οξεία ή αμβλεία. 3) τον αριθμό των παραλλήλων ευθειών : 2 ή 3. 4) τη θέση των παραλλήλων ευθειών σε σχέση με την τομή των και : από την ίδια πλευρά ή από τη μια και την άλλη πλευρά της τομής. 5) οι ευθείες και να σχηματίζουν με τις παράλληλες ευθείες 2 γωνίες οξείες ή μια γωνία οξεία και μια γωνία αμβλεία. 6) τη διεύθυνση των παραλλήλων, οριζόντια ή κατακόρυφη. Όσον αφορά τη μεταβλητή 1 θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι πολλές φορές στα σχήματα που χρησιμοποιούνται για να εισάγουν το θεώρημα του Θαλή οι δύο ευθείες και είναι θεωρητικά τεμνόμενες αλλά το σημείο τομής τους δεν παρουσιάζεται στο σχήμα. Έχουμε δηλαδή σχήματα όπως το παρακάτω:

4 4 (δ ) 1 (δ ) 2 (δ ) 3 Μπορούμε επίσης να έχουμε σχήματα στα οποία οι παράλληλες ευθείες να είναι περισσότερες από τρεις. Από το συνδυασμό των παραπάνω μεταβλητών μπορούμε να έχουμε διάφορους τύπους σχημάτων τα οποία είναι διαφορετικά μεταξύ τους ως προς την οπτική αντίληψη και ως προς τη φόρμα τους, στον πίνακα 1 παρουσιάζονται μερικά παραδείγματα τέτοιων σχημάτων. Μπορούμε να αναλύσουμε όλα αυτά τα σχήματα σύμφωνα με τις έξι σχηματικές μεταβλητές που αναφέραμε προηγουμένως. Για παρά-δειγμα το σχήμα 1 στον πίνακα 1 αναλύεται ως εξής: Μεταβλητή 1: Οι ευθείες και τέμνονται. Μεταβλητή 2: Οι γωνία που σχηματίζεται από τις ευθείες και είναι οξεία. Μεταβλητή 3: Έχουμε τρεις παράλληλες ευθείες (δ 1 ), (δ 2 ) και (δ 3 ). Μεταβλητή 4: Οι παράλληλες ευθείες βρίσκονται από την ίδια πλευρά σε σχέση με την τομή των και. Μεταβλητή 5: Οι ευθείες και σχηματίζουν με τις παράλληλες ευθείες δύο γωνίες οξείες. Μεταβλητή 6: Η διεύθυνση των παραλλήλων είναι οριζόντια. Στα σχήματα 1, 2, 5 και 6 και 3, 4, 7 και 8 αντίστοιχα μεταβάλλουμε κάθε φορά τη μεταβλητή 4, δηλαδή, τη θέση των παραλλήλων ευθειών σε σχέση με την τομή των και. Τα σχήματα όπως τα 1, 2, 5 και 6 τα ονομάζουμε σχήματα φόρμας "κώνου" και αυτά όπως τα 3, 4, 7 και 8 φόρμα "πεταλούδα".

5 5 Στο σχήμα 9: παρατηρούμε ότι εμφανίζεται η δεύτερη παραλλαγή της μεταβλητής 1 σύμφωνα με την οποία οι ευθείες και είναι παράλληλες και η δεύτερη παραλλαγή της μεταβλητής 6 σύμφωνα με την οποία η διεύθυνση των παραλλήλων είναι κατακόρυφη. Στο σχήμα 10: παρατηρούμε ότι εμφανίζεται η δεύτερη παραλλαγή της μεταβλητής 5 σύμφωνα με την οποία οι ευθείες και σχηματίζουν με τις παράλληλες ευθείες κάθε φορά μία οξεία και μία αμβλεία γωνία. Έχουμε μια αντίστοιχη ολοκληρωμένη ανάλυση όλων των ομοθετικών σχημάτων που μπορούν να παρουσιαστούν στη διδασκαλία. Η ανάλυση αυτή παρουσιάζεται λεπτομερώς στην εργασία του Χ. Λεμονίδη (1990 α, σελ ). ΠΙΝΑΚΑΣ 1

6 6 1 2 (δ ) 1 (δ ) 2 (δ ) 3 (δ ) 1 (δ ) 2 (δ ) (δ ) 1 (δ ) 1 (δ 2) (δ 3) (δ 2) (δ 3) 5 6 (δ ) 1 (δ ) 2 (δ ) 1 (δ ) (δ 1 ) (δ ) 1 (δ ) (δ 1) (δ 2) (δ ) 2 (δ ) 1 (δ ) 2 (δ ) 3 ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΕΣ

7 7 Ενα πρώτο πείραμα από μια σειρά πειραμάτων που πραγματο-ποιήθηκε από τους Γάλλους ψυχολόγους Francoise Cordier και Jean Cordier, ήταν το εξής: Σε 40 μαθητές της Α' Λυκείου, μετά από την υπενθύμιση του θεωρήματος του Θαλή, τους ζητήθηκε να κατασκευάσουν γεωμετρικές κατασκευές της εφαρμογής του θεωρήματος που είτε θα θυμηθούν είτε θα φανταστούν και σε κάθε σχήμα να ονομάσουν τις ευθείες και και τα σημεία Α, Β, Γ και Α', Β' και Γ'. Δόθηκε σε κάθε μαθητή ένα φυλλάδιο με λευκές σελίδες, σε κάθε μια από τις οποίες ο μαθητής θα προσπαθούσε να κατασκευάσει ένα διαφορετικό σχήμα που αναπαριστά το θεώρημα του Θαλή. Ο διαθέσιμος χρόνος ήταν 30 λεπτά. Οι μαθητές, κατά μέσο όρο, κατασκεύασαν 4 ή 5 διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα εφαρμόζοντας σωστά το θεώρημα του Θαλή. Μερικά από αυτά τα γεωμετρικά σχήματα εμφανίζονται με μια συχνότητα μεγαλύτερη από τα άλλα. Παίρνουμε υπόψη μας τη σειρά εμφάνισης των γεωμετρικών σχημάτων στο φυλλάδιο, κάνοντας την υπόθεση ότι η σειρά είναι συνάρτηση της διαθεσιμότητας τους. Εάν, κρατήσουμε το πρώτο σχήμα για κάθε μαθητή η συχνότητα εμφάνισης αυτών των σχημάτων για τους 40 μαθητές παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα 2: ΠΙΝΑΚΑΣ Μπορούμε, αμέσως να διαπιστώσουμε από τον παραπάνω πίνακα το σχήμα το πιο αντιπροσωπευτικό καθώς επίσης και το

8 8 λιγότερο αντιπροσωπευτικό. Τα σχήματα που απουσιάζουν από αυτόν τον πίνακα είναι προφανώς μη αντιπροσωπευτικά. Όσον αφορά τα λάθη των μαθητών στην ονομασία των σχημάτων, το πιο συχνό λάθος ήταν ότι τα σημεία Α, Β και Γ δεν ήταν στην ίδια ευθεία για τα σχήματα τα οποία οι παράλληλες ήταν από τη μια και την άλλη πλευρά της τομής των και. (δ ) 2 Γ Γ' (δ ) 1 Β Α Β' Α' Από μια πιο λεπτομερή έρευνα σε μαθητές της Γ' γυμνασίου όπου εξετάζεται η λύση προβλημάτων με την εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή (βλέπε Λεμονίδης Χ., 1992) διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν σχήματα τα οποία είναι αντιπροσωπευτικά της εφαρμογής του θεωρή-ματος όπως αυτό των τεμνόμενων και και των παραλλήλων που βρίσκονται από τη μια πλευρά (σχήμα φόρμας "κώνου") και σχήματα μη αντιπροσωπευτικά όπως αυτά για τα οποία οι παράλληλες είναι από τη μια και την άλλη πλευρά της τομής των και (σχήματα φόρμας "πεταλούδας"). Μια από τις παρατηρήσεις που μας οδηγεί σ'αυτό το συμπέρασμα είναι ότι υπάρχει μεγάλη μεταβολή της επιτυχίας των μαθητών σε συνάρτηση με τη μεταβολή της σχηματικής αναπαράστασης. Ετσι, όσον αφορά το θεώρημα του Θαλή, η μεταβολή της φόρμας των ομοθετικών τριγώνων σε κώνο ή πεταλούδα, δίνει μια μεταβολή της επιτυχίας στην εφαρμογή των τύπων της αναλογίας (Βλέπε τον πίνακα 3). Πολλά λάθη των μαθητών σε σχήματα μη τυπικά οφείλονται στη μεταφορά κάποιων ιδιοτήτων (αυτοματισμών) που είναι συνδεδεμένες με τα τυπικά σχήματα, και οι οποίες ιδιότητες βέβαια δεν έχουν σχέση με το θεώρημα.

9 9 Παραδείγματα τέτοιων λαθών παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα 1. ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Φόρ."κώνου" Πλάγ.πλευρά Τρίτη πλευρά 70,5% επιτ. 49% επιτ. Φόρμα "πεταλούδα" 60,5% επιτ. 35% επιτ. Ν Ι Ρ ΙΝ ΙΡ = ΙΜ ΙΛ Μ Λ Ν ΝΙ = ΜΡ ΜΙ = ΡΛ Ν Σχήμα 1 Ν Ρ ΙΝ ΝΡ = ΙΜ Μ Ι Σχήμα 2 Μ Λ ΙΡ ΙΝ = ΙΛ ΙΜ = ΡΛ Ν Οι λάθος απαντήσεις δηλαδή στο μη τυπικό σχήμα 1 προέρχονται από τους αυτοματισμούς και τις συνήθειες που απέκτησαν οι μαθητές από τα τυπικά σχήματα όπως το σχήμα 2. Οταν μεταβάλουμε τις τιμές των παραμέτρων που ορίζουν τη σχηματική πολυπλοκότητα των ομοθετικών αναπαραστάσεων,

10 10 παρατη-ρούμε επίσης μια μεγάλη μεταβολή της επιτυχίας των μαθητών της Α' Λυκείου στις παρακάτω καταστάσεις: - βρείτε το κέντρο της ομοιοθεσίας σ'ένα δεδομένο σχήμα - κατασκευάστε την εικόνα με δεδομένα το αρχικό σχήμα και το λόγο της ομοιοθεσίας - βρείτε το λόγο της ομοιοθεσίας σ'ένα σχήμα που είναι δεδομένο και το κέντρο. Για παράδειγμα, στα προβλήματα που ζητείται να βρεθεί το κέντρο της ομοιοθεσίας σ'ένα δεδομένο σχήμα παρατηρείται μια εντυπωσιακή μεταβολή της επιτυχίας των μαθητών όταν μεταβάλουμε τη σχετική θέση των σχημάτων (σχήματα εντελώς διαχωρισμένα ή σχήματα με μια κοινή πλευρά). Τα ποσοστά επιτυχίας ανάλογα με τις σχηματικές διαφοροποιήσεις παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα 3. ΠΙΝΑΚΑΣ 3.. Τουλάχιστον ένα απο τα δυο κέντρα 94% 92%. Τουλάχιστον ένα απο τα δυο κέντρα... 90% 83,5% 68,5% % 59,5% Και τα δυο κέντρα 29,5% 26,5% Και τα δυο κέντρα 5% Υπάρχουν περιπτώσεις ομοθετικών σχημάτων, όπως βλέπουμε στον παραπάνω πίνακα, στα οποία η μεγάλη επιτυχία των μαθητών στην εύρεση του κέντρου της ομοιοθεσίας οφείλεται στο ότι η αντιληπτική οργάνωση του σχήματος (αρχή της επιτοποθέτισης, Χ. Λεμονίδης 1990 β) προκαλεί μια αυθόρμητη απάντηση που είναι

11 11 μαθηματικά σωστή. Αυτές οι καταστάσεις είναι άγνωστες στη διδασκαλία. Στην εργασία του Χ. Λεμονίδης (1990 α) παίρνουμε την πιο απλή κατάσταση της ομοιοθεσίας (αναπαράσταση μιας ομοιοθεσίας πάνω σε μια βαθμολογημένη ευθεία) και πραγματοποιούμε τις μεταβολές: Θετική μεγέθυνση, θετική σμίκρυνση, αρνητική μεγέθυνση και αρνητική σμίκρυνση. Επίσης εξετάζουμε την εφαρμογή της ομοιοθεσίας σε ολόκληρα σχήματα στα οποία μεταβάλουμε τη θέση και τον προσανατολισμό τους. Η ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών μας δίνει τα παρακάτω συμπεράσματα: Στην ομοιοθεσία η τυπική αναπαράσταση βλέπουμε να διαμορφώνεται ως μια θετική μεγέθυνση η οποία στα ολόκληρα σχήματα βρίσκει καλή εφαρμογή στην περίπτωση των διαχωρισμένων σχημάτων. Η μεταβολή επίσης στις θέσεις των σχημάτων δημιουργεί και μεταβολές στην επιτυχία των μαθητών. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα παραπάνω αποτελέσματα δείχνουν σε πιο βαθμό μια τυπική αναπαράσταση μπορεί να μεταμορφωθεί σε μοντέλο από το μαθητή. Υπάρχει πρόβλημα στο μέτρο που ο μαθητής δε δείχνεται ικανός να κάνει αφαίρεση των ιδιοτήτων που είναι εντελώς απαραίτητες για την εφαρμογή του θεωρήματος ή της έννοιας της ομοιοθεσίας, αλλά βασίζει το συλλογισμό του σε διάφορες σχηματικές ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων, από τις οποίες οι περισσότερες είναι περιττές. Αυτό το λάθος δημιουργείται προφανώς ήδη από τη φάση της μάθησης της έννοιας και σχετίζεται με την παρουσία των τυπικών αναπαραστάσεων με τα γεωμετρικά σχήματα. Πρέπει να τονιστεί ότι δεν μπορούμε να εμποδίσουμε τη δημιουργία των τυπικών αναπαραστάσεων στους μαθητές γιατί οι ευνοούμενες αναπαραστάσεις δημιουργούνται είτε με πρόθεση είτε τυχαία κατά τη διάρκεια της μάθησης. Επίσης οι τυπικές

12 12 αναπαραστάσεις μπορούν να αποτελέσουν τα σημεία αναφοράς για την κατανόηση από τους μαθητές. Αυτό είναι και το παράδοξό τους, είναι ευνοϊκοί χώροι για τη χρησιμοποίηση πληροφοριών, αλλά ταυτόχρονα είναι και αιτία λαθών για ότι δεν άπτεται άμεσα του χώρου τους. Στη διδασκαλία της ομοιοθεσίας, του θεωρήματος του Θαλή και άλλων ίσως μαθηματικών εννοιών, για την αποφυγή των παρενεργειών που δημιουργούνται από τις τυπικές σχηματικές αναπαραστάσεις είναι σκόπιμο να γίνεται καταρχήν μια ταξινόμηση όλων των δυνατών σχηματικών αναπαραστάσεων και επιλογή ενός συνόλου σχημάτων που θα αντιπροσωπεύουν τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχων εννοιών. Με αυτά τα διαφορετικά σχήματα θα πρέπει να εξασκείται αρκετά ο μαθητής για να αποφευχθεί ή να ελαττωθεί η δημιουργία των τυπικών αναπαραστάσεων. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Armstrong, S.L., Gleitman, L.R., Gleitman H (1983). What some concepts might not be. Cognition, 13, Cordier Francoise et Jean (1991). "L'application du Theoreme de Thales un exemple du role des representations typiques comme biais cognitifs". Recherches en Didactique des Mathematiques. Vol. 11, n o 1 pp.45-64, France. Λεμονίδης Χαράλαμπος (1990 α). "Conception, realisation et resultats d'une experience d'enseignement de l'homothetie". These, I.R.E.M. de Strasbourg, Λεμονίδης Χαράλαμπος (1990 β). "Ιστορική και επιστημολογική ανάλυση της ομοιοθεσίας". Τετράδια Διδακτικής των Μαθηματι-κών. Τεύχος 6, σελ Θεσ/νίκη. Λεμονίδης Χαράλαμπος (1991α). "Ανάλυση και πραγματοποίηση ενός πειράματος διδασκαλίας της ομοιοθεσίας". Recherche en

13 13 Dida-ctique des Mathematiques. Vol. 11, N.2.3 σελ France. Λεμονίδης Χαράλαμπος (1991β). "Μια ανάλυση της γνωστικής πολυπλοκότητας της έννοιας της ομοιοθεσίας". Pedagogies. Cahiers du Laboratoire de Pedagogie Experimentale de l'universite de Louvain. N. 1 σελ Bruxelles. Λεμονίδης Χαράλαμπος (1992). "Διάφορες Μαθηματικές παρου-σιάσεις και συμπεριφορά των μαθητών στο θεώρημα του Θαλή". Τετράδια Διδακτικής των Μαθηματικών. Τεύχος 11, Θεσ/νίκη. Le Ny J.F., (1989). Sciences cognitives et comprehension du langage. P.U.F.

14 14 "Επίδραση των τυπικών αναπαραστάσεων στην συμπεριφορά του μαθητή. Παραδείγματα από τη Γεωμετρία" Χαράλαμπος ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ Παιδαγωγικό Τμήμα Α.Π.Θ. Η έρευνα αυτή πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια της θεωρίας των τυπικών αναπαραστάσεων και έχει τους παρακάτω στόχους : - πρώτον, αναλύοντας τις γνώσεις των μαθητών στην ομοιοθεσία και στο θεώρημα του Θαλή να καταδείξει ότι οι γνώσεις αυτές βασίζονται σε κάποιες τυπικές αναπαραστάσεις - δεύτερον, οι τυπικές αυτές αναπαραστάσεις αφενός είναι ανεπαρκείς να καλύψουν όλα τα χαρακτηριστικά των παραπάνω εννοιών, αφετέρου γίνονται αιτία λαθών και δυσκολεύουν την αντιμετώπιση καταστάσεων μη τυπικών. Εξετάζεται η συμπεριφορά των μαθητών σε τάξεις της γ' Γυμνασίου (14-15 ετών) και της α' Λυκείου (15-16 ετών) στις παραπάνω έννοιες και αναλύεται στατιστικά. Από την ανάλυση των απαντήσεων διαπιστώνεται ότι η μάθηση των εννοιών της ομοιοθεσίαςς και του θεωρήματος του Θαλή βασίστηκαν σε συγκεκριμένες σχηματικές αναπαραστάσεις (τυπικές αναπαραστάσεις) οι οποίες αφενός δεν αντιπροσώπευαν όλα τα χαρακτηριστικά των εννοιών αυτών και αφετέρου ήταν πολύ περιορισμένες σε σχέση με την πολλαπλότητα των δυνατών σχηματικών αναπαραστάσεων. Αποτέλεσμα της λειτουργίας στους μαθητές των τυπικών αυτών αναπαραστάσεων ήταν γνωστικές αποκλίσεις: λάθη, δυσκολία αντιμετώπισης διαφορετικών καταστάσεων που αντιπροσωπεύουν την ίδια έννοια. Στη διδασκαλία της ομοιοθεσίας, του θεωρήματος του Θαλή και άλλων ίσως μαθηματικών εννοιών, για την αποφυγή των παρενεργιών που δημιουργούνται από τις

15 τυπικές σχηματικές αναπαραστάσεις είναι σκόπιμο να γίνεται μια apriori ταξινόμηση όλων των δυνατών σχηματικών αναπαραστάσεων και επιλογή για διδασκαλία μιας ποικιλίας σχημάτων που θα αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχων εννοιών. 15

16 16 "Επίδραση των τυπικών αναπαραστάσεων στην συμπεριφορά του μαθητή. Παραδείγματα από τη Γεωμετρία" Χαράλαμπος ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ Παιδαγωγικό Τμήμα Α.Π.Θ. Στην εργασία αυτή επιχειρούμε μια ανάλυση των γνώσεων των μαθητών στο θεώρημα του Θαλή και την ομοιοθεσία μέσα στα πλαίσια της θεωρίας της "τυπικότητας". Η "τυπικότητα" είναι μια ιδιότητα των στοιχείων μιας κατηγορίας που αντιστοιχεί στην ιδέα ότι ορισμένα στοιχεία (παραδειγματικές, υπο-κατηγορίες) αποτελούν καλύτερα παραδείγματα από άλλα της κατηγορίας που ανήκουν: είναι πολύ τυπικά γ'αυτήν την κατηγορία. Στον τομέα των φυσικών κατηγοριών, ένα σπουργίτη είναι καλύτερο παράδειγμα πουλιού από μια κότα ή μια στρουθοκάμηλο. Οι αρχές της "τυπικότητας" που φανερώνονται μαρτυρούν μια ιδιαίτερη οργάνωση των αναπαραστάσεων σε μνήμη μακριάς διάρκειας. Σε μια τέτοια οργάνωση, οι υπο-κατηγορίες ή παραδείγματα δεν έχουν την ίδια υπόσταση, αλλά ορισμένες οντότητες παίζουν τον κυρίαρχο ρόλο των σημείων αναφοράς. (Cordier 1991) Κάνουμε την υπόθεση ότι αυτή η ιδιότητα των γνωστικών αναπαραστάσεων που είναι η "τυπικότητα", δημιουργεί γνωστικές αποκλίσεις. Μπορούμε να πούμε δηλαδή ότι υπάρχει γνωστική απόκλιση όταν μια συγκεκριμένη δομή των σταθερών αναπαραστάσεων, μια συγκεκριμένη κατάσταση των τυπικών αναπαραστάσεων (Le Ny 1989) οδηγεί το υποκείμενο να δώσει απαντήσεις που δεν είναι ικανοποιητικές, λάθος ή ελλιπείς σε σχέση με κάποιους κανόνες.

17 Στόχοι της έρευνας αυτής είναι: - πρώτον, αναλύοντας τις γνώσεις των μαθητών στην ομοιοθεσία και στο θεώρημα του Θαλή να καταδείξει ότι οι γνώσεις αυτές βασίζονται σε κάποιες τυπικές αναπαραστάσεις - δεύτερον, οι τυπικές αυτές αναπαραστάσεις αφενός είναι ανεπαρκείς να καλύψουν όλα τα χαρακτηριστικά των παραπάνω εννοιών, αφετέρου γίνονται αιτία λαθών και δυσκολεύουν την αντιμετώπιση καταστάσεων μη τυπικών. Για να αναλύσουμε τις συμπεριφορές των μαθητών στο θεώρημα του Θάλη και την ομοιοθεσία παίρνουμε τάξεις της γ' Γυμνασίου (14-15 ετών) και της α' Λυκείου (15-16 ετών) όπου έχουν διδαχθεί αντίστοιχα οι έννοιες αυτές. Η εξέταση γίνεται με ερωτηματολόγια που βασίζονται σε αποτελέσματα από προηγούμενα πειράματα. 17

18 18 Στις ερωτήσεις που θέτουμε στους μαθητές και αναφέρονται στην εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή στα ομοιόθετα τρίγωνα κάνουμε τις παρακάτω παραλλαγές: - Κατά πρώτον, κατατάσσουμε σχηματικά τα ομοιόθετα τρίγωνα σε δυο φόρμες: Ομοιόθετα τρίγωνα φόρμας "κώνου" ή κυβωτισμένα τρίγωνα όπως λέγονται συνήθως και φόρμας "πεταλούδας". - Κατά δεύτερον, σε κάθε φόρμα των ομοιόθετων τριγώνων κάνουμε τους παρακάτω σχηματικούς προσδιορισμούς: πλάγια πλευρά, τρίτη πλευρά και ολόκληρα τρίγωνα. Χρησιμοποιούμε τον όρο "πλάγια πλευρά" για να ορίσουμε τις πλευρές των ομοιόθετων τριγώνων που είναι συνευθειακές και τον όρο "τρίτη πλευρά" για τις πλευρές που δεν είναι συνευθειακές αλλά είναι παράλληλες μεταξύ τους. Στις ερωτήσεις για την ομοιοθεσία παίρνουμε την πιο απλή κατάσταση (αναπαράσταση μιας ομοιοθεσίαςς πάνω σε μια βαθμολογιμένη ευθεία) και πραγματοποιούμε τις μεταβολές: Θετική μεγέθυνση, θετική σμίκρυνση, αρνητική μεγέθυνση και αρνητική σμίκρυνση. Επίσης εξετάζουμε την εφαρμογή της ομοιοθεσίας σε ολόκληρα σχήματα στα οποία μεταβάλουμε τη θέση και τον προσανατολισμό τους. Η στατιστική ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών μας δίνει τα παρακάτω συμπεράσματα: Στο θεώρημα του Θαλή η τυπική αναπαράσταση που έμεινε από τη διδασκαλία είναι το σχήμα τύπου "κώνου" στο οποίο αναγνωρίζονται εύκολα μόνο οι σχέσεις μεταξύ των πλάγιων πλευρών.

19 Ετσι βλέπουμε να μεταβάλλεται η επιτυχία των μαθητών όταν μεταβάλουμε αντίστοιχα είτε τη φόρμα των ομοιόθετων τριγώνων ("κώνο", "πεταλούδα") είτε ένα στοιχείο κάθε φόρμας (πλάγια πλευρά, τρίτη πλευρά και ολόκληρα τρίγωνα. Ορισμένα λάθη είναι χαρακτηριστικά της μεταφοράς συνηθειών απόεδώτην τυπική αναπαράσταση (εδω ομοιόθετα τρίγωνα τύπου "κώνου") σε αναπαραστάσεις μη τυπικές για τη διδασκαλία (ομοιόθετα τρίγωνα τύπου "πεταλούδας"). Στην ομοιοθεσία η τυπική αναπαράσταση βλέπουμε να διαμορφώνεται ως μια θετική μεγέθυνση η οποία στα ολόκληρα σχήματα βρίσκει καλή εφαρμογή στην περίπτωση των διαχωρισμένων σχημάτων. Η μεταβολή λοιπόν στις θέσεις των σχημάτων δημιουργεί και μεταβολές στην επιτυχία των μαθητών. 19

20 20 Πρέπει να τονιστεί ότι δεν μπορούμε να εμποδίσουμε τη δημιουργία των τυπικών αναπαραστάσεων στους μαθητές γιατί οι ευνοούμενες αναπαραστάσεις δημιουργούνται είτε με πρόθεση είτε τυχαία κατά τη διάρκεια της μάθησης. Επίσης οι τυπικές αναπαραστάσεις μπορούν να αποτελέσουν τα σημεία αναφοράς για την κατανόηση από τους μαθητές. Αυτό είναι και το παράδοξό τους, είναι ευνοϊκοί χώροι για τη χρησιμοποίηση πληροφοριών, αλλά ταυτόχρονα είναι και αιτία λαθών για ότι δεν άπτεται άμεσα του χώρου τους. Στη διδασκαλία της ομοιοθεσίας, του θεωρήματος του Θαλή και άλλων ίσως μαθηματικών εννοιών, για την αποφυγή των παρενεργειών που δημιουργούνται από τις τυπικές σχηματικές αναπαραστάσεις είναι σκόπιμο να γίνεται καταρχήν μια ταξινόμηση όλων των δυνατών σχηματικών αναπαραστάσεων και επιλογή ενός συνόλου σχημάτων που θα αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχων εννοιών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ARMSTRONG S.L., GLEITMAN L.R., GLEITMAN H. (1983). What some concepts might not be. Cognition, 13, Cordier Francoise et Jean (1991) "L'application du Theoreme de Thales un exemple du role des representations typiques comme biais cognitifs". Recherches en Didactique des Mathematiques. Vol. 11, n o 1 pp.45-64, France. Λεμονίδης Χαράλαμπος (1991α) "Ανάλυση και πραγματοποίηση ενός πειράματος διδασκαλίας της ομοιοθεσίας". Recherche en Didactique des Mathematiques. Vol. 11, N.2.3 σελ France.

21 21 Λεμονίδης Χαράλαμπος (1991β) "Μια ανάλυση της γνωστικής πολυπλοκότητας της έννοιας της ομοιοθεσίας". Pedagogies. Cahiers du Laboratoire de Pedagogie Experimentale de l'universite de Louvain. N. 1 σελ Bruxelles. LE NY J.F. (1989) Sciences cognitives et comprehension du langage. P.U.F.