Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!

Transcript

1 Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v και κατευθύνονται όπως στο σχήµα (9), να βρείτε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού την στιγµή t Δίνεται η γωνία φ του διανύσµατος της ταχύτητας του Β µε τον άξονα x ΛΥΣΗ: Eφ όσον τα διανύσµατα των ταχυτήτων v A, v B των σηµείων Α, Β αντιστοίχως έχουν την χρονική στιγµή t τις κατευθύνσεις που φαίνονται στο σχήµα (9), η γωνιακή ταχύτητα του σώµατος πρέπει την στιγµή αυτή να είναι αντίρροπη προς το µοναδιαίο διάνυσµα k του άξονα z του καθέτου προς το επίπεδο κίνησης xy, διότι τότε θα ανταποκρίνεται στην σχέση: v B = v A + " AB () Σχήµα 9 Eάν i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y αντιστοίχως, η δια νυσµατική σχέση () γράφεται: [ ] v B "#$ i + v B %µ$ j = v A "#& i + v A %µ& j + ' k j v"#$ i + v%µ$ j = v"#& i + v%µ& j + '( k ) j v"#$ i + v%µ$ j = v"#& i + v%µ& j '( i () Από την () προκύπτουν οι σχέσεις: vµ" = vµ# v$%&" = v$%&" '( ) + µ" = µ# v$%&" = '( ) + = " ( ) # = v$%& ' H ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι: = v"#$% & k PM fysikos

2 Mικρό σφαιρίδιο προσπίπτει επί οριζόντιου δαπέ δου υπό γωνια φ και ανακλάται υπό γωνία φ Εάν ο συνελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του σφαιριδίου και του δαπέδου είναι n, να βρείτε τον συντελεστή κρούσεως σφαιριδίουδαπέδου Να δεχθείτε ότι κατα τον µικρό χρόνο επαφής του σφαιριδίου µε το δάπεδο αυτό ολισ θαίνει και στην συνέχεια αναπηδά ΛΥΣΗ: Eφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα ώθησηςορµής κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt της κρούσεώς του µε το δάπεδο και κατά την διεύθυνση του οριζόντιου άξονα x, παίρνουµε την σχέση: mv x = mv x Tt mv µ" = mv µ" nn#t nnt = mv "µ# mv "µ# () Σχήµα όπου v x, v x οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v, v προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T η τριβή ολισθήσεως και N η κάθετη αντίδραση που δέχεται το σφαιρίδιο από το δάπεδο Eφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το ίδιο θεώρηµα για τον ίδιο χρόνο κατά την διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα y παίρνουµε την σχέση: mv y = mv y + Nt mgt () Όµως η ώθηση m g t του βάρους m g του σφαιριδίου συγκρινόµενη προς την αντίστοιχη ώθηση N t της κρουστικής δύναµης N είναι ασήµαντη και µπορεί χωρίς αισθητό σφάλµα να παραληφθεί, οπότε η σχέση () γράφεται: mv "#$ = mv "#$ + N%t Nt = mv "#$% + mv "#$% () Διαιρώντας κατά µέλη τις () και () παίρνουµε: n = v µ" v µ" n( v v #$%" + v #$%" "#$ + v "#$ ) = v %µ$ v %µ$ (4) Eξάλλου κατά τον άξονα y η κρουση του σφαιριδίου µε το δάπεδο είναι µετωπική µε συντελεστή κρούσεως e που δίνεται από την σχέση:

3 e = v y v y = v y v y = v "#$ v "#$ v = e"#$ "#$ v (5) Συνδυάζοντας την () µε την (5) έχουµε την σχέση: % n e"#$ ( ' v "#$ "#$ + v "#$ = v +µ$ e"#$ v & ) "#$ +µ$ n( e"#$ +"#$ )"#$ = %µ$ "#$ e"#$ %µ$ e( n"#$ +%µ$ ) "#$ = (n"#$ + %µ$ ) "#$ ( ( ) #$%" ) #$%" PM fysikos e = µ" n#$%" n#$%" +µ" Στην διάταξη του σχήµατος () το κολλάρο (κ) έχει µάζα m K και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος κατα κόρυφου σταθερού οδηγού (α) Η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής µήκους L και µάζας m Ρ, η δε άκρη της Α είναι αρθρωµένη στο κολλάρο ενώ η άλλη της άκρη Β είναι αρθρωµένη στο κέντρο κυκλικού δίσκου, ο οποίος µπορεί να ολισθαίνει επί λείου οριζόντιου δαπέδου Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε την ράβδο υπό κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο Να βρείτε την ταχύτητα του κολλάρου την στιγµή που η ράβδος γίνεται οριζόντια Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδρά νειας Ι=m Ρ L της ράβδου ως προς άξονα διερχόµενο από το άκρο της και κάθετο στην ράβδο ΛΥΣΗ: Καθώς το κολλάρο κινείται προς τα κάτω κατά µήκος του οδηγού (α) η ράβδος ΑΒ εκτελεί επίπεδη κίνηση, που ισοδυναµεί µε περιστροφή αυτής περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ της ράβδου, το οποίο προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθείων στα διανύσ µατα v A, v B των ταχυτήτων στις άκρες Α και Β της ράβδου (σχ ) Είναι προ φανές ότι την στιγµή που η ράβδος γίνεται οριζόντια το Κ τείνει στο άκρο Β της ράβδου και εκείνη την στιγµή η ταχύτητά του µηδενίζεται, µε αποτέλεσµα να µηδενίζεται και η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου, ο οποίος ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο αφού αυτό είναι λείο Εξάλλου κατά την κίνηση του συστήµατος η µηχανική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K "# + U "# = K $%& + U $%& + m gh + m K g A B " = m Kv A + I# +

4 m g L "µ# + m gl"µ# = m v K A K + m ( L v A L) 6 $ m glµ" # + m ' $ m & K) = v K A % ( + m ' # & ) % 6 ( Σχήµα Σχήµα Σχήµα glµ" ( m # + m K ) = v A ( m K + m # ) $ m v A = glµ" # + m K ' & ) % m K + m # ( όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή που γίνεται οριζόντια και v A η ζητούµενη ταχύτητα του κολλάρου ΥΓ Ο αναγνώστης χρησιµοποιώντας ανάλογους συλλογισµούς µπορεί, να δώ σει λύση στο επόµενο θέµα Στην διάταξη του σχήµατος (4) το κολλάρο (κ) µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος κατακόρυφου σταθερού οδηγού (α) Η ράβ δος ΑΒ είναι οµογενής µήκους L και µάζας m Ρ, µε την άκρη της Α Σχήµα 4 αρθρωµένη στο κολλάρο, ενώ η άλλη της άκρη Β είναι αρθρωµένη στο κέντρο κυκλικού δίσκου ακτίνας R και µάζας m Δ, ο οποίος µπορεί

5 να ολισθαίνει επί λείου οριζόντιου δαπέδου Αρχικά το σύστηµα είναι ακίνητο µε την ράβδο οριζόντια και κάποια στιγµή αρχίζει να δρά επί του κολλάρου κατακόρυφη προς τα πάνω δύναµη που θέτει το σύστη µα σε κίνηση Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος την στιγµή που το κολλάρο έχει αποκτήσει ταχύτητα v A, αν την στιγµή αυτή η ράβδος παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυν ση Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =m Ρ L της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο της PM fysikos Aβαρής ράβδος µήκους L, είναι στερεωµένη σε κυκλική στεφάνη ακτίνας R και το ένα ακρο της βρίσκεται στο κέν τρο Κ της στεφάνης, ενώ µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπε δο περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άλλο της άκρο O Ένα µικρό δακτυλίδι µάζας m, είναι περασµένο στην στεφάνη και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος αυτής Mε την βοήθεια ενός µηχανισµού το σύστηµα ράβδοςστεφάνη τίθεται σε περιστρο φική κίνηση στην διάρκεια της οποίας η γωνία θ της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: = "µ ( # t) όπου θ σταθερή ποσότητα και = gr i) Eάν a K είναι η επιτάχυνση του κέντρου Κ της στεφάνης στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους και e το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσ µα της τροχιάς του δακτυλιδιού σε πολικές συντεταγµένες και στο σύ στηµα αναφοράς της στεφάνης, να δείξετε την σχέση: a ( e K " ) = L #µ " $ % d$ ( ' & ) d $ + +, " $ όπου θ η γωνία µε την κατακόρυφη διεύθυνση της επιβατικής ακτί νας του δακτυλιδιού, ως προς το κέντρο Κ (σχ 5) ii) Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να βρείτε την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την σχετική κίνηση του δακτυλιδιού ως προς την στεφάνη iii) Eάν οι αρχικές συνθήκες κίνησης επίβάλλουν τόσο στην στεφάνη όσο και στο δακτυλίδι να εκτελούν µικρές κινήσεις, δηλαδή όταν οι γωνίες φ και θ είναι πολύ µικρές, να δείξετε ότι το δακτυλίδι εκτελεί στο σύστηµα αναφοράς της στεφάνης εξαναγκασµένη ταλάντωση χω ρίς απόσβεση Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας

6 ΛΥΣΗ: i) Έστω x K, y K οι συντεταγµένες του άκρου Κ της ράβδου ως προς το σταθερό σύστηµα ορθογώνιων αξόνων Οxy (σύστηµα αναφοράς του εδάφους) κατά µια τυχαία στιγµή t που η ράβδος σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα Οy To διάνυσµα θέσεως του Κ ως προς το Ο την στιγµή t θα είναι: OK = x K i + y K j = Lµ" i + L#$%" j () όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως, Παρα γωγίζοντας την () δύο φορές ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την επιτάχυνση a K του Κ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, δηλαδή θα έχουµε: d OK % = L"#$ d$ ( % ' i L+µ$ d$ ( ' & ) & ) j d OK, # = L µ" d" & % ( $ ' + )+" d ", # i L )+" d" & % ( $ ' + µ" d " j, # a K = L µ" d" & % ( $ ' + )+" d ", # i L )+" d" & % ( $ ' + µ" d " j () Σχήµα 5 To µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα e της τροχιάς του δακτυλιδιού στο κινητό σύστηµα αξόνων Κx y (σύστηµα αναφοράς της στεφάνης) εκφράζεται µέσω της σχέσεως: e = "#$ i %µ j () όπου φ η γωνία της επιβατικής ακτίνας του δακτυλιδιού ως προς το Κ, µε τον

7 άξονα Κy (σχ 5) Από τις σχέσεις () και () θα έχουµε για το εσωτερικό γινό µενο ( a K e " ) την σχέση: a ( ( e K " ) =L#$%" &µ' d' + ), + #$%' d ' ( d' + + L&µ" #$%' ), + &µ' d ' a ( e K " ) =L #$%&'µ" 'µ&#$%" ( d& + ), d & + #$%&#$%" + 'µ&'µ" a ( e K " ) = L #µ " $ % d$ ( ' & ) d $ + +, " $ (4) ii) Eξετάζοντας το δακτυλίδι στο σύστηµα αναφοράς της στεφάνης παρατη ρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του w, την αντίδραση N της στεφάνης που έχει αντινική διεύθυνση και την αδρανειακή δυναµη D Alembert m a K, σύµ φωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: m a " = m g + N m a K (5) όπου a " η σχετική επιτάχυνση του δακτυλιδιού ως προς την στεφάνη Πολ λαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (5) µε το διάνυσµα e παίρνου µε: m a " # g # N # a K # ( e $ ) = m ( e $ ) + ( e $ ) m ( e $ ) ( e $ ) = m m a " # a ( # e " $ ) = g # ( g # e $ ) + m a K # ( e $ ) ( a K # e $ ) a ( # e " $ ) = g%& ' + $ ( e $ ) a K # e (5) ( $ ) a # ( e " $ ) = g%µ$ L %µ $ & ' d& ), ( + d & + $ & 4 4 Εξάλλου η επιτάχυνση a ", εκφραζόµενη σε πολικές συντεταγµένες (r, φ) έχει την µορφή: a " = d r r $ d# ', & ) % ( +, $ e r + dr ' $ d# ' & ) & ) + r d #, + % ( % ( e # (6)

8 $ a " = R d# ' & ) % ( e r +R d # e # a ( # e " $ ) = R d $ (7) διότι r=r=σταθερό και τα µοναδιαία διανύσµατα e r, e είναι ορθογώνια Συνδι άζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε: R d = g"µ L "µ # $ d# ' & ) % ( d # + +, # (8) H (8) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση της κίνησης του δακτιλιδιού, στο σύστηµα αναφοράς της στεφάνης iii) Eάν το σύστηµα εκτελεί µικρές κινήσεις, τότε οι γωνίες φ, θ µεταβάλλον ται χρονικά αλλά παραµένουν µικρές και µπορούµε µε καλή προσέγγιση να δεχθούµε ότι ηµφ φ, συν(φθ) και ακόµη ότι η ποσότητα ηµ(φθ)(dθ) είναι ασήµαντη σε σχέση µε την συν(φθ)(d θ ), οπότε η (8) παίρνει την προ σεγγιστική µορφή: R d = g L d " d + g R = L d " R µε d + g R = L R " A = 4L " R # $µ ( " t) d = 4L g R + g R = A"µ # t (9) Η (9) εγγυάται ότι η σχετική κίνηση του δακτυλιδιού ως προς την κυκλική στεφάνη, είναι µια εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση PM fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m έχει στερεωθεί σ ένα σηµείο του κοίλου µέρους της περιφέρειας λεπτής µεταλλικής στεφάνης µάζας Μ και ακτίνας R Η στεφάνη κρατείται µε το επίπεδό της κατακόρυφο, εφαπτόµενη σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο, η δε ακτίνα της που αντιστοιχεί στο σφαιρίδιο σχηµατίζει γωνία φ <π µε την κατακόρυφη διεύθυνση Κάποια στιµή η στεφάνη αφήνεται ελευθερη και τότε αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δάπεδο Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της στεφάνης και να λυθεί στην περίπτωση που η γωνία φ είναι πολύ µικρή Δίνε ται η επιτάχυνση g της βαρύτητας ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα κυκλική στεφανησφαιρίδιο κατά µια χρονική στιγµή t που η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση Επειδή η στεφάνη κυλίεται επί του οριζόντιου δαπέ δου η τριβή T που δέχεται από αυτό είναι στατική και δεν παράγει έργο, αλλά

9 και το έργο της κάθετης αντίδρασης N του δαπέδου είναι µηδενικό, που σηµαί νει ότι η µηχανική ενέργεια του συστήµατος παραµένει σταθερή, δηλαδή µπο ρούµε να γράψουµε την σχέση: K + U = E MR + MR + mv " mgr#$%& = E () Σχήµα 6 όπου Ε σταθερή ποσότητα, v K η ταχύτητα του κέντρου Κ της στεφάνης, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, v η ταχύτητα του σφαιριδίου και Ι Κ η ρο πή αδράνειας της στεφάνης ως πρός άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχό µενο από το κέντρο της Όµως έχουµε τις σχέσεις Ι Κ =MR και v K =ωr, οπότε η () γράφεται: MR + MR + mv " mgr#$%& = E MR + mv " mgr#$%& = E () Eξάλλου η επίπεδη κίνηση που εκτελεί η στεφάνη είναι ισοδύναµη µε γνήσια περιστροφή αυτής περι τον εκάστοτε στιγµιαίο άξονα περιστροφής, που είναι οριζόντιος και διέρχεται από το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το δάπεδο, οπότε το µέτρο της ταχύτητας v θα είναι: v = "( A ) = " R + R R #$%& = "R ( #$%&) () H () λόγω της () γράφεται: MR + m R ( "#$%) mgr"#$% = E " d % MR $ ' # & " + mr ( () ) d % $ ' mgr() = E # (4) & Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση:

10 " d % MR $ ' d # & + " mr (µ d % $ ' # & # + mgrµ" d" & % ( = $ ' MR d # d & + mr"µ % ( $ ' [ ] d $ R M + m( "#$ ) $ d + mr )+ " % ' d # & + + mr( )+) d + mg"µ = & d$ ) + mr%µ$ ( + ' + mg%µ$ = (5) H (5) αποτελεί την διαφορική εξίσωση της κίνησης του συστήµατος στεφανησφαιρίδιο, Στην περίπτωση που η αρχική τιµή φ της γωνίας φ είναι πολύ µικρή µπόρουµε µε καλή προσεγγιση να λάβουµε ηµφ φ, συνφ και ακόµη να παραλλείψουµε τον όρο mrηµφ(dφ) ως ασήµαντη ποσότητα, οπότε η (5) παίρνει την προσεγγιστική µορφή: RM d + mg = d + mg RM = d + " = µε = mg RM (6) Η σχέση (6) δηλώνει ότι το σύστηµα στεφάνησφαιρίδιο εκτελεί στροφική αρµονική ταλάντωση κυκλικής συχνότητας ω, στην διάρκεια της οποίας η γωνία φ µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: = "µ #t + $ = "#$ % ' & mg RM t ( ) PM fysikos Ένας µικρός πύραυλος αναχωρεί εκ της ηρεµίας από σηµείο Ο του οριζόντιου εδάφους κινούµενος σε κατακόρυφο επί πεδο Οxy Λόγω της εκροής καυσαέριων η µάζα του πυραύλου ελατ τώνεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: m = m e kt όπου m, k θετικές και σταθερές ποσότητες, ενώ µε κατάλληλο µηχα νισµό η σχετική ταχύτητα των καυσαερίων ως προς τον πύραυλο δια τηρεί σταθερό µέτρο v Eάν κατά την κίνηση του πυραύλου η γωνία θ που σχηµατίζει ο άξονας συµµετρίας του µε την κατακόρυφη διεύ θυνση µεταβάλλεται µε τον χρόνο t ακολουθώντας την σχέση θ=θ +αt,

11 όπου θ, α θετικές σταθερές (σχ 7), να βρείτε τις εξισώσεις κίνησης του πυραύλου Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι κατά την στιγµή της απογείωσης του πυραύλου (t=) οι συντεταγµένες του είναι x()=y()= Η αντίσταση του αέρα θα θεωρηθεί ασήµαντη ΛΥΣΗ: O πύραυλος από την στιγµή της πυροδότησής του (t=) και µέχρις ότου εξαντληθούν τα καυσιµά του δέχεται το βάρος του w και την προωθητική δύναµη F από τα εξερχόµενα καυσαέρια, η οποία είναι αντίρροπη της σχετικής ταχύτητας v " των καυσαερίων ως προς τον πύραυλο (σχ 7) Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση του πυραύλου ισχύει η σχέση: m d v = w + F m d v = m g + dm v " () όπου m η µάζα του πυραύλου την στιγµή που τον έξετάζουµε και dm ο ρυθµός ελάττωσης της µάζας του, λόγω εκροής καυσαερίων Όµως κάθε στιγµή t η µάζα του πυραύλου σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος είναι: m = m e kt dm = m ke kt = km οπότε η () γράφεται: Σχήµα 7 m d v = m g km v " d v = g k v " () Εάν v x, v y είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας v του πυραύλου κατά την χρο νική στιγµή t η σχέση () γράφεται: dv x dv x i + dv y j = g j k v" #µ$ i + v " %&$ j i + dv y j = g j + kv µ" i + #$%" j

12 dv x = kv µ" dv y = gk + kv #$%" & ' ( όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x και y αντιστοίχως Ολοκλη ρώνοντας την πρώτη εκ των σχέσεων () παίρνουµε: v x = # kv µ" + C = kv # µ ( $t + " ) + C v x = kv "#$ ( t + % ) + C (4) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης που θα προκύψει από την αρχική συνθήκη v x ()=, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: () = kv "#$% + C C = kv "#$% Έτσι η (4) παίρνει την µορφή: v x = kv "#$ ( t + % ) + kv "#$% v x = k [ "#$% "#$ t + % ] dx k x = & [ "#$% "#$ t + % ] + C x = k ' t"#$% &µ t + % ) () [ ] = k "#$% "#$ t + %, + C (5) +, όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη x()=, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: = kµ" + C # C = kµ" # Έτσι η (5) παίρνει την µορφή: x = k ' t"#$% &µ t + % ) (), +, + k&µ% &µ% x = k ' t"#$% &µ t + % ) (), +, (6) Mε ανάλογη διαδικασία από την πρώτη εκ των σχέσεων () παίρνουµε τελικώς

13 για την yσυντεταγµένη του πυραύλου την σχέση: y = k & ( '( "#$% "#$(t + % ) ) t"#$% + + gt (7) PM fysikos