1.2 Βασικές έννοιες. Στοχαστική διαδικασία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.2 Βασικές έννοιες. Στοχαστική διαδικασία"

Transcript

1 .2 Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγµατα αυτά η τρέχουσα τιµή µιας οικονοµικής µεταβλητής, εκφράζεται ως συνάρτηση των προηγούµενων τιµών της. Η ανάπτυξη τέτοιων υποδειγµάτων υπήρξε ραγδαία τα τελευταία χρόνια. Η χρησιµοποίηση της προσέγγισης των τεχνικών αναλύσεων των χρονικών σειρών έδωσε νέα διάσταση στο πρόβληµα της κίβδηλης (νόθου) παλινδρόµησης (spurious regressio). Η συνέπεια των εξελίξεων αυτών, ήταν να υπάρξει µια σύνθεση (πάντρεµα) της οικονοµετρικής θεωρίας µε την τεχνική ανάλυση των χρονικών αυτών σειρών. Στη συνέχεια δίνουµε ορισµένες βασικές έννοιες που χρησιµοποιούνται για την κατανόηση των θεµάτων που αναπτύσσονται. Στοχαστική διαδικασία Μια χρονική σειρά είναι ένα δείγµα µε ισαπέχοντα χρονικά σηµεία (έτη, τρίµηνα, µήνες, κ.λ.π), ή ισαπέχοντα χρονικά διαστήµατα. Αν οι παρατηρήσεις είναι συγκεκριµένες τιµές των τυχαίων µεταβλητών Χ, Χ 2,.Χ η και οι τυχαίες αυτές µεταβλητές είναι υποσύνολο µιας άπειρης σειράς τυχαίων µεταβλητών (ακολουθία τυχαίων µεταβλητών), τότε λέµε ότι η άπειρη αυτή ακολουθία των τυχαίων µεταβλητών ονοµάζεται στοχαστική (stochastic process) και παριστάνεται ως Χ t. Στασιµότητα Τα χαρακτηριστικά µιας κατανοµής πιθανότητας περιορίζονται στο µέσο και στη διακύµανση. Σε µια συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας εκτός από το µέσο και τη διακύµανση έχουµε και τη συνδυακύµανση. Εποµένως από ένα µόνο δείγµα ( παρατηρήσεων) δεν µπορούµε να εκτιµήσουµε τις παραπάνω παραµέτρους. Το πρόβληµα που δηµιουργείτε µπορεί να απλοποιηθεί µε την υπόθεση της στασιµότητας (statioarity). Εποµένως µια στοχαστική διαδικασία είναι στάσιµη όταν οι ιδιότητές της δεν επηρεάζονται από µία αλλαγή µέτρησης της χρονικής περιόδου, δηλαδή η συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας µε αρχή τη χρονική περίοδο t είναι ακριβώς ίδια µε τη συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας µε αρχή τη χρονική περίοδο t +. Όπου είναι µια τυχαία χρονική περίοδος κατά µήκος του άξονα του χρόνου. Άρα

2 σύµφωνα µε τα παραπάνω λέµε ότι σε µια συνδυασµένη συνάρτηση πιθανότητας ο µέσος και η διακύµανση δε µεταβάλλονται, ενώ η συνδυακύµανση είναι συνάρτηση µόνο χρονικών υστερήσεων ή προηγήσεων Mills (99). Λευκός θόρυβος Όταν σε µία τυχαία διαδικασία {ε t } ισχύουν οι παρακάτω τρεις υποθέσεις Ε (ε t ) = 0 V (ε t ) = σ 2 Cov (ε t, ε t+ ) = 0 για όλα τα t και για κάθε 0 τότε λέµε η διαδικασία αυτή είναι διαδικασία λευκού θορύβου (white oise process). Τυχαίος περίπατος Έστω µία απλή στοχαστική διαδικασία που ορίζεται από µία αυτοπαλίνδροµη διαδικασία πρώτης τάξης ως εξής: X t = βχ t- + ε t Όπου η ε t ακολουθεί τη διαδικασία λευκού θορύβου (βλέπε λευκό θόρυβο). Αν β = το παραπάνω υπόδειγµα γίνεται: X t = Χ t- + ε t Το παραπάνω υπόδειγµα είναι γνωστό ως τυχαίος περίπατος (radom wal). Όταν στο παραπάνω υπόδειγµα υπάρχει σταθερό όρος δηλαδή είναι της µορφής X t = α + Χ t- + ε t Τότε λέµε ότι το υπόδειγµα είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση. (radom wal with drift). Μια στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί τον τυχαίο περίπατο δεν είναι στάσιµη Hamilto (994).

3 Χρονική τάση Χρονική τάση λέµε τη µακροχρόνια µεταβολή (αύξηση ή µείωση) που παρατηρείται σε µια µεταβλητή κατά τη διάρκεια µιας χρονικής περιόδου, δηλαδή την τάση που έχει µία µη στάσιµη χρονική σειρά Έστω το υπόδειγµα X t = α + βt + γχ t- + ε t Όπου ε t είναι λευκός θόρυβος και t ο χρόνος ως µία ανεξάρτητη µεταβλητή.. Αν β = 0 και γ = τότε το υπόδειγµα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + Χ t- + ε t ή Χ t = α + ε t Στην τελευταία αυτή συνάρτηση η µεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανά-λογα µε το πρόσηµο του α. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι έχουµε στοχαστική τάση (stochastic tred) και η συνάρτηση ονοµάζεται στάσιµη διαδικασία των διαφορών, διότι η µη στασιµότητα στη X t µπορεί να απαλειφθεί όταν πάρουµε τις πρώτες (ή δεύ-τερες) διαφορές αυτής της χρονικής σειράς. Nelso ad Plosser (982). 2. Αν β 0 και γ = 0 τότε το υπόδειγµα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + βt + ε t Στην περίπτωση αυτή η µεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα µε το πρόσηµο του β οπότε λέµε ότι έχουµε προσδιοριστική τάση (determiistic tred) και η συνάρτηση ονοµάζεται στάσιµη διαδικασία τάσεως, διότι η µη στασιµότητα στη X t µπορεί να απαλειφθεί αν αφαιρέσουµε την τάση (α + βt) από τη χρονική αυτή σειρά. Οι δύο παραπάνω µορφές (στοχαστική και προσδιοριστική) έχουν ουσιαστικές διαφορές, οι οποίες έχουν να κάνουν κυρίως µε τις επιπτώσεις που ασκούν οι βραχυ-

4 χρόνιες τυχαίες διαταραχές στη µακροχρόνια πορείας τους. Έτσι, η στοχαστική µορφή τάσης συνεπάγεται ότι σε µία τυχαία διαταραχή θα υπάρξουν µόνιµες επιπτώσεις στο µακροχρόνιο επίπεδο της χρονικής σειράς, ενώ στην προσδιοριστική µορφή τάσης θα υπάρξουν παροδικές µόνο επιπτώσεις. Άρα και οι δύο αυτές µορφές τάσης είναι σηµαντικές στην άσκηση µιας οικονοµικής πολιτικής από τα στελέχη των οικονοµι-κών επιτελείων των κυβερνήσεων. 3. Αν β 0 και γ = τότε το υπόδειγµα γράφεται ως ακολούθως: X t = α + βt + γχ t- + ε t Στην περίπτωση αυτή η µεταβλητή X t κινείται ανοδικά ή καθοδικά ανάλογα µε το συνδυασµένο αποτέλεσµα και των δύο προσήµων (α και β) οπότε λέµε ότι έχουµε στοχαστική και προσδιοριστική τάση. Για την περίπτωση αυτή δηλαδή της στοχαστικής και προσδιοριστικής τάσης χρησιµοποιούµε διάφορους ελέγχους όπως είναι και ο έλεγχος των Dicey ad Fuller (979). Η τάση που παρουσιάζουν πολλές χρονικές σειρές, κυρίως µακρο-οικονοµικές συνεπάγεται τη µη στασιµότητα των χρονικών αυτών σειρών. Ανάλογα µε τη µορφή της τάσης που έχουν οι µακρο-οικονοµικές σειρές (στοχαστική, προσδιοριστική) επιβάλλεται και η κατάλληλη µέθοδος µετατροπής της µακρο-οικονοµικής σειράς σε στάσιµη. Η µη χρησιµοποίηση της κατάλληλης µεθόδου για την επίτευξη στασιµότητας συνεπάγεται λανθασµένα συµπεράσµατα αναφορικά µε τη µακροχρόνια συµπεριφορά της σειράς αυτής. Εποµένως είναι ιδιαίτερα σηµαντικό το θέµα της σωστής επιλογής της καταλληλότερης µεθόδου απαλοιφής της τάσης των µακρο-οικονοµικών σειρών. Σύµφωνα µε τους Nelso ad Plosser (982) καθορίστηκαν δύο κατηγορίες µετατροπής των χρονικών σειρών σε στάσιµες. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν αυτές που µετατρέπονται σε στάσιµες αν αφαιρέσουµε την τάση (tred statioary), για τις χρονικές σειρές που παρουσιάζουν προσδιοριστική τάση και στη δεύτερη κατηγορία που ανήκουν οι χρονικές σειρές που γίνονται στάσιµες κατόπιν λήψης των διαφορών (differece statioary) για τις χρονικές σειρές που παρου-σιάζουν στοχαστική τάση. Πρέπει εδώ να επισηµάνουµε ότι και οι δύο κατηγορίες αναφέρονται στη µη στασι- µότητα εκείνων των χρονικών σειρών ως προς το µέσο. Για την εξάλειψη τυχόν µη

5 στασιµότητας ως προς τη διακύµανση συνιστάται να µετασχη-µατιστούν οι αρχικές χρονικές σειρές σε λογαρίθµους και µετά να γίνουν στάσιµες. Ολοκληρωµένη χρονική σειρά Οι περισσότερες οικονοµικές χρονικές σειρές είναι µη στάσιµες διαδικασίες. Μπορούν όµως να µετατραπούν σε στάσιµες παίρνοντας τις πρώτες ή ακόµη και τις δεύτερες διαφορές τους. Όταν εποµένως µετατρέπουµε σε στάσιµη διαδικασία µία χρονική σειρά παίρνοντας τις πρώτες διαφορές τότε λέµε ότι η χρονική αυτή σειρά είναι ολοκληρωµένη πρώτης τάξης (itegrated first order) και συµβολίζεται ως Ι(). Φαίνεται ότι αρκετές οικονοµικές χρονικές σειρές όπως η κατανάλωση, το εισόδηµα, το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν, οι ιδιωτικές και δηµόσιες επενδύσεις, ο πληθωρισµός, οι δηµόσιες δαπάνες και η προσφορά του χρήµατος είναι ολοκληρωµένες πρώτης τάξης Ι(). Αν µετατρέπουµε σε στάσιµη διαδικασία µία χρονική σειρά παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές τότε λέµε ότι η χρονική αυτή σειρά είναι ολοκληρωµένη δεύτερης τάξης και συµβολίζεται ως Ι(2) κ.ο.κ. Στην έρευνα που κάνουµε για τις χρονικές σει-ρές µας ενδιαφέρει οι χρονικές σειρές να είναι στάσιµες διότι µε αυτόν τον τρόπο αποφεύγεται το πρόβληµα της κίβδηλης παλινδρόµησης που αναφέρεται αµέσως µετά..3 Χρονικές σειρές και προβλέψεις Αντικειµενικός σκοπός της µελέτης των χρονικών σειρών είναι η χρησιµοποίησή τους στη διενέργεια προβλέψεων. Η πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών µιας χρονικής σειράς µπορεί να γίνει µε διάφορες µεθόδους. Οι πιο διαδεδοµένες µέθοδοι πρό-βλεψης είναι αυτές που αναφέρονται σε ποιοτικά δεδοµένα και αυτές που αναφέρονται σε ποσοτικά δεδοµένα. Η πρώτη κατηγορία πρόβλεψης γίνεται συνήθως από επιστήµονες που χρησιµοποιούν κυρίως την προσωπική τους εµπειρία, ενώ η δεύτερη κατηγορία πρόβλεψης στηρίζεται σε κάποιο µαθηµατικό υπόδειγµα. Τα υποδείγµατα που αναφέρονται σε ποσοτικά δεδοµένα διακρίνονται σε αιτιατά (causal) και µη αιτιατά (o causal).

6 Αιτιατά υποδείγµατα πρόβλεψης (υποδείγµατα παλινδροµήσεων) Με τα υποδείγµατα αυτά κάνουµε προβλέψεις σε µία χρονική σειρά µε βάση την οικονοµική σχέση που συνδέει τη µεταβλητή αυτή µε άλλες µεταβλητές που σχετίζονται µε τη χρονική αυτή σειρά. Τέτοια υποδείγµατα είναι τα οικονοµετρικά. Για τη διενέργεια προβλέψεων σε οικονοµετρικά υποδείγµατα θα πρέπει: ) Να προσδιοριστεί το υπόδειγµα µε βάση την οικονοµική θεωρία. 2) Να γίνει η σωστή εξειδίκευση του υποδείγµατος µε τις κατάλληλες στατιστικές και οικονοµετρικές µεθόδους. 3) Να γίνει η εκτίµηση του υποδείγµατος χρησιµοποιώντας ένα δείγµα παρατηρήσεων και στη συνέχεια να γίνουν οι προβλέψεις µε βάση τις εκτιµήσεις αυτές. Μη αιτιατά υποδείγµατα πρόβλεψης (υποδείγµατα χρονικών σειρών) Στα υποδείγµατα αυτά η πρόβλεψη στηρίζεται σε προηγούµενες τιµές της ίδιας χρονικής σειράς. ηλαδή, προβλέπουµε τη µελλοντική συµπεριφορά µιας χρονικής σειράς, όχι σε συνάρτηση µε άλλες που τυχόν την επηρεάζουν (όπως τα υποδείγµατα των παλινδροµήσεων), αλλά εξετάζοντας µόνο την προηγούµενη δική της συµπεριφορά. Οι µέθοδοι πρόβλεψης για τις µελλοντικές τιµές µιας χρονικής σειράς µε βάση τις προηγούµενες τιµές εξαρτώνται από τα υποδείγµατα των χρονικών σειρών. Τα υποδείγµατα αυτά διακρίνονται σε καθοριστικά (determiistic) και σε στοχαστικά (stochastic). Τα καθοριστικά υποδείγµατα των χρονικών σειρών στηρίζονται σε µαθη-µατικές µορφές και ο τυχαίος παράγοντας προστίθεται σαν κατάλοιπο λάθους σε κάθε χρονική περίοδο, τέτοια υποδείγµατα είναι τα υποδείγµατα κινητών µέσων, τα υπο-δείγµατα τάσης, τα υποδείγµατα εξοµάλυνσης κ.α, ενώ στα στοχαστικά υποδείγµατα ο τυχαίος παράγοντας αποτελεί το µηχανισµό µέσα από τον οποίο δηµιουργείται η χρονική σειρά. Στα υποδείγµατα αυτά µπορούµε να κατατάξουµε τα υποδείγµατα Box Jeis (976). Το πλεονέκτηµα των υποδειγµάτων των χρονικών σειρών έναντι των οικονοµετρικών στη διενέργεια των προβλέψεων είναι ότι τα πρώτα είναι λιγότερο πολύπλοκα. Αντίθετα το βασικό µειονέκτηµά τους είναι ότι δε στηρίζονται σε κάποια θεωρία που να εξηγεί πως διαµορφώνονται οι τιµές της χρονικής σειράς. ηλαδή θεωρούν ότι

7 αυτό που συνέβαινε στο παρελθόν θα εξακολουθήσει να συµβαίνει και στο µέλλον. Για τους λόγους αυτούς λέµε ότι οι µέθοδοι των χρονικών σειρών είναι συνήθως πιο κατάλληλες για βραχυχρόνιες προβλέψεις, ενώ οι οικονοµετρικές για µακροχρόνιες προβλέψεις, χωρίς η διάκριση αυτή να ισχύει απόλυτα..4 Κίβδηλες παλινδροµήσεις Μία από τις υποθέσεις που χρησιµοποιούµε στην ανάλυση της παλινδρόµησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιµοποιούµε για τις εφαρµογές της µεθόδου της παλινδρόµησης είναι πως οι χρονικές αυτές σειρές είναι στάσιµες (statioary). Αν οι χρονικές αυτές σειρές δεν είναι στάσιµες τότε οι στατιστικοί έλεγχοι που εφαρµόζονται στα υποδείγµατα των παλινδροµήσεων δίνουν αναξιόπιστα αποτελέσµατα. Άρα όταν οι µεταβλητές δεν είναι στάσιµες, τα στατιστικά αποτελέσµατα µπορεί να είναι ικανοποιητικά, δηλαδή υψηλή τιµή του συντελεστή προσδιορισµού R 2 και σηµαντικές τιµές στους συντελεστές της παλινδρόµησης (κατανοµές t, και F), αλλά να µην έχουν καµιά οικονοµική σηµασία. Στην περίπτωση αυτή έχουµε το πρόβληµα των κίβδηλων παλινδροµήσεων (spurious regressios) Phillips (986). Στις κίβδηλες παλινδροµήσεις ο συντελεστής προσδιορισµού R 2 είναι πολύ υψηλός (τείνει στη µονάδα) ενώ η τιµή του στατιστικού των Durbi Watso (950, 95) είναι πολύ χαµηλή R 2 > DW, υποδηλώνοντας την παρουσία υψηλής αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα, πράγµα που σηµαίνει αναποτελεσµατικές εκτιµήσεις των συντελεστών παλινδρόµησης καθώς και µη έγκυρες τιµές των κριτηρίων της κατάνοµής t. Το πρόβληµα της κίβδηλης παλινδρόµησης µπορεί να συµβεί επίσης και όταν δύο χρονικές σειρές σε µια παλινδρόµηση έχουν σε µεγάλο βαθµό υψηλή συσχέ-τιση, ενώ δεν έχουν καµιά πραγµατική σχέση µεταξύ τους (π.χ η συσχέτιση µεταξύ πληθωρισµού και της βροχόπτωσης). Η υψηλή συσχέτιση οφείλεται στην ύπαρξη χρονικών τάσεων και στις δύο χρονικές σειρές, αντιπροσωπεύει δηλαδή µία καθαρά µαθηµατική και όχι µία αιτιολογική σχέση, Grager ad Newbold (974). Για να εξαλείψουµε το πρόβληµα της κίβδηλης παλινδρόµησης εκτιµούµε τις πρώτες διαφορές των χρονικών σειρών και όχι τα επίπεδά τους. Ο λόγος που µας οδηγεί στην χρησι- µοποίηση των πρώτων διαφορών είναι ότι πολλές οικονοµικές χρονικές σειρές έχουν τα χαρακτηριστικά του τυχαίου περιπάτου. Έτσι είναι ασφαλέστερο σύµφωνα µε τους Grager ad Newbold να εκτιµηθεί η σχέση µε τις ίδιες µεταβλητές σε πρώτες διαφορές αντί για τα αρχικά επίπεδα.

8 Παράδειγµα. Στον πίνακα. παρουσιάζονται στοιχεία σχετικά µε την οικονοµία της Ελλάδος. Ας υποθέσουµε ότι ενδιαφερόµαστε να µάθουµε αν η ποιότητα των αποτελεσµάτων µεταξύ της εθνικής ιδιωτικής κατανάλωσης και του εισοδήµατος είναι ικανοποιητική. Πίνακας. Εθνική ιδιωτική κατανάλωση και καθαρό εθνικό εισόδηµα της Ελλάδος σε σταθερές τιµές από το ισ. δρχ. σταθερές τιµές (970) ΕΤΗ ΕΘΝΙΚΗ Ι ΙΩΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (C) ΚΑΘΑΡΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟ ΗΜΑ (Y) (t) Πηγή: Η Ελληνική Οικονοµία σε Αριθµούς, Electra Press 990. Τα αποτελέσµατα από το υπόδειγµα της παλινδρόµησης C t = α + βy t + u t µε τη χρησιµοποίηση των οικονοµετρικών πακέτων MFIT και EVIEWS δίνονται παρακάτω: Πίνακας.2 Εκτιµήσεις της συνάρτησης C t = α + βy t + u t µε το οικονοµετρικό πακέτο MFIT Depedet variable is C 20 observatios used for estimatio from 96 to 980 ********************************************************************* Regressor Coefficiet Stadard Error T-Ratio[Prob] A [.063] Y [.000]

9 ********************************************************************* R-Squared R-Bar-Squared S.E. of Regressio F-stat. F(, 8) [.000] Mea of Depedet Variable S.D. of Depedet Variable Residual Sum of Squares Equatio Log-lielihood Aaie Ifo. Criterio Schwarz Bayesia Criterio DW-statistic Πίνακας.3 Εκτιµήσεις της συνάρτησης C t = α + βy t + u t µε το οικονοµετρικό πακέτο EVIEWS Depedet Variable: C Method: Least Squares Date: /04/04 Time: :04 Sample: Icluded observatios: 20 Variable Coefficiet Std. Error t-statistic Prob. CONST Y R-squared Mea depedet var Adjusted R-squared S.D. depedet var S.E. of regressio Aaie ifo criterio Sum squared resid 3.6E+08 Schwarz criterio Log lielihood F-statistic Durbi-Watso stat Prob(F-statistic) Τα αποτελέσµατα από την εκτίµηση της παλινδρόµηση ανάµεσα στις δύο µεταβλητές µε βάση τα στατιστικά κριτήρια R 2, t και F είναι ικανοποιητικά. Επειδή, η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού είναι υψηλή και η τιµή της στατιστικής των Durbi-Watso είναι χαµηλή και µάλιστα έχω R 2 > DW είναι πολύ πιθανόν η παλινδρόµηση να είναι κίβδηλη..5 Στασιµότητα των χρονικών σειρών Για να εφαρµόσουµε την ανάλυση της παλινδρόµησης στις χρονικές σειρές θα πρέπει τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται να προέρχονται από στάσιµες διαδικασίες. Οι περισσότερες οικονοµικές σειρές είναι µη στάσιµες. Άρα πριν εφαρµόσουµε την παλινδρόµηση σ αυτές τις χρονικές σειρές θα πρέπει να κάνουµε τους ελέγχους για τη στασιµότητα των χρονικών αυτών σειρών.

10 Μια χρονική σειρά λέγεται στάσιµη όταν η τιµή της ταλαντεύεται γύρω από το µέσο, δηλαδή οι τιµές που αυτή παίρνει στα διάφορα χρονικά διαστήµατα έχουν τον ίδιο µέσο, την ίδια διακύµανση και η τιµή της συνδιακύµανσής της µεταξύ δύο χρονικών περιόδων εξαρτάται µόνον από την υστέρηση µεταξύ των δύο χρονικών περιόδων δηλαδή από την απόσταση ανάµεσα στα δύο αυτά χρονικά σηµεία και όχι από την πραγµατική χρονική περίοδο που υπολογίζεται η συνδιακύµανση. Άρα µια χρονική σειρά χαρακτηρίζεται ως στάσιµη αν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της δεν µεταβάλλονται µε το χρόνο. Μια χρονική σειρά Y t είναι στάσιµη όταν: Μέσος: Ε(Y t ) = µ ιακύµανση: Var(Y t ) = E(Y t - µ) 2 = σ 2 Συνδιακύµανση: Cov(Y t, Y t+ ) = E[(Y t - µ) (Y t+ - µ)] = γ κ Αν µία τουλάχιστον από τις παραπάνω σχέσεις δεν ισχύει, τότε η χρονική σειρά Y t χαρακτηρίζεται µη στάσιµη. ηλαδή σε µία µη στάσιµη χρονική σειρά τόσο ο µέσος, όσο και η διακύµανση είναι συνάρτηση του χρόνου. Στην πράξη είναι πολύ δύσκολο να βρούµε στάσιµες χρονικές σειρές ιδιαίτερα δε στην οικονοµική επιστήµη, γιατί οι περισσότερες µεγεθύνονται ή µειώνονται µακροχρόνια. Αυτό δείχνει ότι οι χρονικές αυτές σειρές δεν έχουν ένα σταθερό µακροχρόνιο µέσο, καθόσον τείνουν να αποµακρύνονται συνεχώς από ένα δεδοµένο αρχικό επίπε-δο. Μια χρονική σειρά δεν είναι στάσιµη όταν παρουσιάζει τάση (ανοδική ή καθοδική), όταν µεταβάλλεται η µεταβλητότητά της σε συνάρτηση µε τον χρόνο ή όταν παρουσιάζει εποχικότητα..6 Έλεγχοι της στασιµότητας Τους ελέγχους της στασιµότητας µπορούµε να τους χωρίσουµε σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία αναφέρονται οι έλεγχοι των γραφικών παραστάσεων και των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης, ενώ στη δεύτερη κατηγορία αναφέρονται όλοι οι έλεγ-χοι των µοναδιαίων ριζών.

11 .6. Γραφικές παραστάσεις Για να διαπιστώσουµε αν µια χρονική σειρά παρουσιάζει στασιµότητα κάνου- µε τη γραφική παράσταση των µεταβλητών της. Η γραφική παράσταση είναι συνήθως το πρώτο βήµα για την ανάλυση οποιασδήποτε χρονικής σειράς. Η απεικόνιση µιας χρονικής σειράς ως προς το χρόνο ονοµάζεται χρονοδιάγραµµα (time plot). Η µελέτη του χρονοδιαγράµµατος µιας χρονικής σειράς είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για να προσδι-ορίσουµε βασικά χαρακτηριστικά της όπως την ύπαρξη τάσης, εποχικότητας ή άλλων συνιστώσεων. Άρα αν διαπιστώσουµε την εµφάνιση κάποιας από τις συνιστώσες που αναφέρονται πιο πάνω, δηλαδή τάση, εποχική µεταβολή, κυκλική διακύµανση ή ακα-νόνιστη µεταβολή, τότε λέµε ότι η χρονική σειρά δεν παρουσιάζει στασιµότητα. Στα διαγράµµατα.,.2 και.3 παρουσιάζονται χρονικές σειρές που αναφέρονται σε βασικά µακρο-οικονοµικά µεγέθη της ελληνικής οικονοµίας, όπως, την ιδιωτική κα-τανάλωση, τις ακαθάριστες επενδύσεις παγίου κεφαλαίου και το δείκτη της βιοµηχα-νικής παραγωγής. Η υπόθεση της µη στασιµότητας µπορεί να διαπιστωθεί επίσης και από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της αυτοσυσχέτισης (autocorrelatio fuctio) η οποία συµβολίζεται µε τα γράµµατα ACF µε το κορελόγραµµα (correlogram) της αντίστοιχης χρονικής σειράς, ως και της µερικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (partial autocorrelatio fuctio) η οποία συµβολίζεται µε τα γράµµατα PACF και του αντίστοιχου κορελογράµµατος (correlogram). Στη γραφική αυτή παράσταση ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης αρχίζει από πολύ υψηλές τιµές και φθίνει αργά, πράγµα που υποδηλώνει ότι η αντίστοιχη µεταβλητή δεν είναι στάσιµη (βλέπε διαγράµµατα.4 και.5), ενώ δεν συµβαίνει το ίδιο όταν οι χρονικές σειρές είναι στάσιµες όπου οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν σχετικά γρήγορα προς το µηδέν καθώς ο αριθ- µός των χρονικών υστερήσεων µεγαλώνει.

12 ιάγραµµα. Ιδιωτική κατανάλωση της Ελλάδος σε σταθερές τιµές του CPV Το διάγραµµα. δείχνει την πορεία της ιδιωτικής κατανάλωσης της Ελλάδος σε σταθερές τιµές του 995, για την περίοδο από 960 µέχρι το 999. Η πορεία αυτή είναι γενικά ανοδική µε ελάχιστες περιόδους µείωσης. Το διάγραµµα αυτό δείχνει ότι η χρονική σειρά της µεταβλητής αυτής παρουσιάζει έντονα ανοδική τάση που καθιστά τη χρονική αυτή σειρά µη στάσιµη. Πρόκειται δηλαδή για µία σειρά της οποίας ο µέσος και η διακύµανση µεταβάλλονται µέσα στη δειγµατική περίοδο που εξετάζουµε µε αποτέλεσµα η κατανοµή της να µην είναι σταθερή. Άρα δεν µπορούµε να χρησι-µοποιήσουµε µια τέτοια χρονική σειρά για διενέργεια προβλέψεων στη µορφή που βρίσκεται. Θα πρέπει εποµένως να τη µετατρέψουµε σε στάσιµη χρονική σειρά και µε βάση τα χαρακτηριστικά της να επιλέξουµε την κατάλληλη µορφή του υποδείγµατος που θα εξηγεί καλύτερα τα δεδοµένα της.

13 ιάγραµµα.2 Ακαθάριστες επενδύσεις παγίου κεφαλαίου της Ελλάδος σε σταθερές τιµές του ITV Το διάγραµµα.2 δείχνει την πορεία των ακαθάριστων επενδύσεων παγίου κεφαλαίου στην Ελλάδα σε σταθερές τιµές του 995. Η πορεία αυτή είναι επίσης ανο-δική, αλλά όχι τόσο οµαλή όσο αυτή της ιδιωτικής κατανάλωσης στο προηγούµενο διάγραµµα. Όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραµµα στη διάρκεια της δεκαετίας του 970 υπάρχουν έντονες διακυµάνσεις στις ακαθάριστες επενδύσεις παγίου κεφαλαίου σε αντίθεση µε τη δεκαετία του 960 όπου παρατηρείται µία οµαλότητα. Στην αλλαγή αυτής της πορείας συνετέλεσαν κυρίως οι πετρελαικές κρίσεις στα έτη 974 και 979, οι οποίες επηρέασαν αρνητικά το επενδυτικό κλίµα και οδήγησαν σε πληθωριστικές πιέσεις και υψηλά επιτόκια. Στη συνέχεια κατά τη δεκαετία του 980 παρατηρείται πτώση των ακαθάριστων επενδύσεων παγίου κεφαλαίου, γεγονός που οφείλεται στα προγράµµατα λιτότητας που εφαρµόστηκαν από την τότε κυβέρνηση για την καταπο-λέµηση του πληθωρισµού και των δηµόσιων ελλειµµάτων. Και το διάγραµµα αυτό δείχνει ότι η χρονική σειρά της µεταβλητής αυτής παρουσιάζει ανοδική τάση που κα-θιστά τη χρονική αυτή σειρά µη στάσιµη.

14 ιάγραµµα.3 είκτης βιοµηχανικής παραγωγής στην Ελλάδα Q Το διάγραµµα.3 απεικονίζει το δείκτη της βιοµηχανικής παραγωγής στην Ελλάδα µε τριµηνιαία στοιχεία της περιόδου Στα στοιχεία αυτά εµφανίζεται κάποιο εποχικό πρότυπο. Οι τιµές του δευτέρου και τετάρτου τριµήνου κάθε έτους είναι αυξηµένες σε σχέση µε τα άλλα τρίµηνα. Παράλληλα η χρονική σειρά της βιοµηχανικής παραγωγής έχει διαχρονικά µία αυξητική πορεία και εποµένως εµφανίζει σηµαντική τάση. Η ύπαρξη τόσο της εποχικότητας όσο και της τάσης σε µία χρονική σειρά αποτελεί παράγοντα µη στασιµότητας.

15 ιάγραµµα.4 Στάσιµη χρονική σειρά Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για µία στάσιµη χρονική σειρά φθίνει σχετικά γρήγορα προς το µηδέν καθώς ο αριθµός των χρονικών υστερήσεων µεγαλώνει. PK ιάγραµµα.5 Μη στάσιµη χρονική σειρά PPK Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για µία µη στάσιµη χρονική σειρά µειώνονται αργά προς το µηδέν καθώς ο αριθµός των χρονικών υστερήσεων µεγαλώνει.

16 .6.2 ιαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ως συντελεστή αυτοσυσχέτισης ορίζεται ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ δύο παρατηρήσεων που απέχουν χρονικές περιόδους. Ο συντελεστής αυτόσυσχέτισης του δείγµατος δίνεται από την παρακάτω σχέση: ) ) γ ρ ) ( Y Y )( Y t t+ t= = = γ 0 2 ( Y Y ) t= Y ) όπου γˆ είναι η συνδιακύµανση του δείγµατος (χρονικής σειράς) που εξετάζουµε. γ ˆ0 είναι η διακύµανση του δείγµατος. Όπως είναι γνωστό ο εκτιµηµένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρˆ παίρνει τιµές από έως + και επειδή η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι συµµετρική, εξετάζουµε µόνο τις θετικές τιµές του. Οι έλεγχοι που κάνουµε στην περίπτωση αυτή είναι: Ηο: Ηα: εν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ των διαταρακτικών όρων (λευκών θορύβων) ή εν υπάρχει σειριακή συσχέτιση ή ρ = 0 ή Η χρονική σειρά είναι στάσιµη. εν ισχύει η Ηο. Ο στατιστικός έλεγχος σηµαντικότητας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης γίνεται µε το στατιστικό t test. Σύµφωνα µε τον Bartlett (946) αν µία χρονική σειρά προέλθει από µία τυχαία στοχαστική διαδικασία, οι δειγµατικοί συντελεστές αυτόσυσχέτισης κατανέµονται περίπου κανονικά µε µέσο το µηδέν και διακύµανση / όπου είναι το µέγεθος του δείγµατος. Στις παραπάνω υποθέσεις ο συντελεστής ρ αναφέρεται στο συντελεστή αυτόσυσχέτισης του πληθυσµού. Οι στατιστικοί δείκτες (στατιστικοί έλεγχοι) που χρησι- µοποιούµε για τον έλεγχο του συντελεστού αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων (έλεγχος σηµαντικότητας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης) των παραπάνω υποθέσεων, κα-θώς και για το διαγνωστικό έλεγχο καταλληλότητας ενός εκτιµηµένου υποδείγµατος είναι οι παρακάτω:

17 Παράδειγµα.2 Τα στοιχεία του πίνακα.4 αναφέρονται στις καταναλωτικές δαπάνες και στο διαθέσιµο εισόδηµα για τη χρονική περίοδο (υποθετικά στοιχεία). Πίνακας.4 Καταναλωτικές δαπάνες και διαθέσιµο εισόδηµα Καταναλωτικές απάνες ιαθέσιµο εισόδηµα Έτος Υ Χ Πηγή:Gujarati Να βρεθούν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης των µεταβλητών αυτών. Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης του δείγµατος δίνεται από την παρακάτω σχέση: ) ) γ ρ ) ( Y Y )( Y t t+ t= = = γ 0 2 ( Y Y ) t= Y ) όπου γˆ είναι η συνδιακύµανση του δείγµατος (χρονικής σειράς) που εξετάζουµε. γ ˆ0 είναι η διακύµανση του δείγµατος. Όπως είναι γνωστό ο εκτιµηµένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης έως +. ρˆ παίρνει τιµές από

18 Άρα θα πρέπει να βρω πρώτα τη διακύµανση και τη συνδυακύµανση για κάθε µεταβλητή και στη συνέχεια να υπολογίσω τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης. Για το σκοπό αυτό δηµιουργώ τον παρακάτω πίνακα. Πίνακας.5 εδοµένα για τις καταναλωτικές δαπάνες Έτος Υ t Y t -Y Y t+ -Y Y t+2 -Y Y t+3 -Y Y t+4 -Y Y t+5 -Y 983() (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) Άθροισµα γ ˆ0 = ( Y t Y ) = = t= γ ˆ 6497 = ( Yt Y )( Yt + Y ) = = t= 0 γ ˆ 38.8 = ( Yt Y )( Yt + 2 Y ) = = t= 0 γ ˆ 972 = ( Yt Y )( Yt + 3 Y ) = = t= 0 γ ˆ 684 = ( Yt Y )( Yt + 4 Y ) = = t= γ ˆ5 = 93 ( Yt Y )( Yt + 5 Y ) = = t= 0 Άρα οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης θα είναι:

19 ρ ˆ ρ ˆ ρ ˆ ρ ˆ ρ ˆ γˆ = γ ˆ = 889 = 0 γˆ = γ ˆ 38.8 = = 0 γˆ = γ ˆ 97.2 = = 0 γˆ = γ ˆ 68.4 = = γˆ = γ ˆ 93 = = Από τα αποτελέσµατα των συντελεστών αυτών παρατηρώ ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης βρίσκονται εντός των ορίων και +. Με ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκω και τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Χ. ιάγραµµα.6 Εκτιµηµένοι συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Υ P

20 .6.2. Box - Pierce Ο προηγούµενος έλεγχος αφορά τον έλεγχο µεµονωµένα καθενός συντελεστή αυτοσυσχέτισης. Για να ελέγξουµε την υπόθεση ότι από κοινού ένας αριθµός συντελεστών διαφέρει ή όχι από το µηδέν χρησιµοποιούµε τα στατιστικά κριτήρια των Box ad Pierce (970) και Ljug Box (978). Έτσι για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης. Ηο: ρ = ρ 2 =..ρ m = 0 Έναντι της εναλλακτικής Ηα: όχι όλα τα ρ m =0 Χρησιµοποιούµε τα παραπάνω κριτήρια που αναφέραµε. Η στατιστική αυτή των Box ad Pierce (970) η οποία χρησιµοποιείται για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι από κοινού ένας αριθµός συντελεστών αυτοσυσχέτισης είναι µηδέν ορίζεται ως εξής: m ) 2 Q = ρ χ 2 m = όπου: Q = Η στατιστική των Box - Pierce m = Βαθµοί ελευθερίας. = Αριθµός παρατηρήσεων. ρ ) = Τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Η στατιστική Q ακολουθεί την Χ 2 κατανοµή µε m βαθµούς ελευθερίας και α επίπεδο σηµαντικότητας. Αν Q > Χ 2 (α, m) τότε απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0 ότι οι συντελεστές είναι µηδενικοί από κοινού ή αλλιώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η χρονική σειρά προέρχεται από µία τυχαία διαδικασία ή η χρονική σειρά δεν είναι στάσιµη. Επειδή η στατιστική αυτή των Box ad Pierce δεν είναι αξιόπιστη για µικρά

21 δείγµατα οι Ljug Box πρότειναν µια παραλλαγή της παραπάνω στατιστικής, την οποία αναφέρουµε παρακάτω Ljug - Box Η στατιστική των Ljug Box (978) αν και ακολουθεί την ίδια κατανοµή Χ 2 µε αυτή της Q δίνει καλύτερα αποτελέσµατα από την Q όταν εφαρµόζεται κυρίως σε µικρά δείγµατα Harvey (98), Kedal et. al. (983). Η στατιστική αυτή ορίζεται ως εξής: Q* = ( + 2) ) m 2 ρ = χ 2 m όπου: Q* = Η στατιστική των Ljug Box. m = Βαθµοί ελευθερίας = Αριθµός παρατηρήσεων. ρ ) = Τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Αν Q* > Χ 2 (α, m) τότε απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0 ότι οι συντελεστές είναι µηδενικοί από κοινού ή αλλιώς απορρίπτουµε την υπόθεση ότι η χρονική σειρά προέρχεται από µία τυχαία διαδικασία ή η χρονική σειρά δεν είναι στάσιµη. Ο αριθµός των αυτοσυσχετίσεων των καταλοίπων που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό των παραπάνω στατιστικών ισούται µε την τετραγωνική ρίζα του αριθµού των παρατηρήσεων m = / Bartlett test Ο έλεγχος του Bartlett (946) βασίζεται στην υπόθεση ότι αν η χρονική σειρά είναι στάσιµη τότε οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης του δείγµατος ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανοµή µε µέσο µηδέν και διακύµανση /η ( = µέγεθος

22 του δείγµατος). Άρα σύµφωνα µε την υπόθεση αυτή οι συντελεστές συσχέτισης µε χρονική υστέρηση s πρέπει να βρίσκονται στο παρακάτω διάστηµα εµπιστοσύνης:.96 ρˆ.96 Τόσο οι γραφικές παραστάσεις όσο και η διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης δεν είναι αξιόπιστες. Για το λόγο χρησιµοποιούµε την διαδικασία µοναδιαίων ριζών. Παράδειγµα.3 Χρησιµοποιώντας τα στοιχεία του πίνακα. να ελεγχθεί η υπόθεση ότι από κοινού ένας αριθµός συντελεστών αυτοσυσχέτισης διαφέρει ή όχι από το µη-δέν χρησιµοποιούµε τα στατιστικά κριτήρια των Box ad Pierce και Ljug Box. Η υπόθεση που εξετάζουµε είναι η ακόλουθη: Ηο: ρ = ρ 2 =..ρ m = 0 Έναντι της εναλλακτικής Ηα: όχι όλα τα ρ m = 0 Πίνακας.6 Συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής C και στατιστικά των Box ad Pierce και Ljug Box (MFIT) ********************************************************************* Order Autocorrelatio Stadard Box-Pierce Ljug-Box Coefficiet Error Statistic Statistic ********************************************************************* [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] [.000] *********************************************************************

23 Από τον πίνακα.6 του οικονοµετρικού πακέτου MFIT παρατηρούµε ότι από το µέγεθος του δείγµατος που είναι = 20 οι εκτιµηµένοι συντελεστές αυτοσυσχέτισης που παρουσιάζονται αναφέρονται µέχρι και την 6 χρονική υστέρηση ( = 6). Στο ίδιο πίνακα παρουσιάζονται επίσης, εκτός από τα σφάλµατα των συντελεστών αυτόσυσχέτισης και οι στατιστικές των Box-Pierce και Ljug-Box για το συγκεκριµένο αριθµό χρονικών υστερήσεων, καθώς και τα αντίστοιχα επίπεδα πιθανοτήτων για τη σηµαντικότητα των παραπάνω στατιστικών. Από τον ίδιο πίνακα παρατηρούµε ότι όλα τα επίπεδα των πιθανοτήτων είναι µικρότερα του 5%, εποµένως απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0, άρα λέµε ότι και οι 6 συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι ίσοι µε µηδέν ή η χρονική σειρά της µεταβλητής C δεν είναι στάσιµη. Επίσης, χρησιµοποιώντας την Χ 2 κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας m = 20 ½ και επίπεδο σηµαντικότητας 5% παρατηρούµε ότι όλες οι τιµές Q της στατιστικής των Box-Pierce, καθώς και όλες οι τιµές Q* της στατιστικής των Ljug-Box είναι µεγαλύτερες από την κρίσιµη (Χ 2 =.07) και εποµένως απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0. Θα πρέπει εδώ να υπενθυµίσουµε ότι η στατιστική των Ljug-Box αν και ακολουθεί την ίδια κατανοµή Χ 2 µε αυτή της στατιστικής των Box-Pierce δίνει καλύτερα αποτελέσµατα, όταν εφαρµόζεται σε µικρά δείγµατα. Πίνακας.7 Συντελεστές αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής C και στατιστικά των Box ad Pierce και Ljug Box (EVIEWS) Autocorrelatio Partial Correlatio AC PAC Q-Stat Prob. *******. ******* ******. * ****. * ***. * **.. * *.. * * *.. * **.. * ** ***.. * *** Από τον πίνακα.7 του οικονοµετρικού πακέτου EVIEWS παρατηρούµε ότι από το µέγεθος του δείγµατος που είναι = 20 οι εκτιµηµένοι συντελεστές αυτοσυσχέτισης που παρουσιάζονται αναφέρονται µέχρι και την 2 χρονική υστέρηση ( = 2). Στο ίδιο πίνακα παρουσιάζονται επίσης, εκτός από τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης και οι συντελεστές µερικής αυτοσυσχέτισης καθώς και τα διαγράµµατά

24 τους. Η στατιστική των Ljug-Box για το συγκεκριµένο αριθµό χρονικών υστερήσεων, καθώς και τα αντίστοιχα επίπεδα πιθανοτήτων για τη σηµαντικότητα των παρα-πάνω στατιστικών, µας δίνουν αποτελέσµατα που απορρίπτουµε την υπόθεση Ηο άρα λέµε ότι και οι 2 συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι ίσοι µε µηδέν ή η χρονική σειρά της µεταβλητής C δεν είναι στάσιµη. Παίρνοντας τα όρια του διαστήµατος των συντελεστών αυτοσυσχέτισης τα οποία είναι σύµφωνα µε τον έλεγχο του Bartlett τα εξής:.96 ρˆ ρˆ Από τους πίνακες.6 και.7 παρατηρούµε ότι µέχρι και την υστέρηση = 3 οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης είναι µεγαλύτεροι από την κρίσιµη τιµή (δεν βρίσκονται εντός του διαστήµατος). Άρα και εδώ απορρίπτουµε την υπόθεση Η 0, λέ- µε δηλαδή ότι και οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης δεν είναι όλοι ίσοι µε µηδέν ή η χρονική σειρά της µεταβλητής C δεν είναι στάσιµη. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόµαστε για την µεταβλητή Υ.7 Μοναδιαία ρίζα Είδαµε προηγουµένως πως ο έλεγχος της στασιµότητας µιας χρονικής σειράς µπορεί να γίνει µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιµοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση των χρονικών σειρών είναι οι έλεγχοι µοναδιαίας ρίζας (uit root tests). Με τον όρο µοναδιαία ρίζα στις µακροοικονοµικές σειρές εννοούµε ότι κάποια ρίζα του πολυωνύµου f(x) = - ρ x - ρ 2 x 2 - ρ 3 x ρ x = 0 ισούται µε τη µονάδα, βρίσκεται δηλαδή πάνω στο µοναδιαίο κύκλο. Στην περίπτωση αυτή κάθε εξωγενής µεταβολή πάνω σε µια ενδογενή µακρο-οικονοµική µεταβλητή µπορεί να έχει µόνιµη επίδραση σ αυτή. Αυτό το αποτέλεσµα µπορούµε να το λάβουµε από ένα αυτοπαλινδροµούµενο υπόδειγµα πρώτης τάξης (first order autoregressive model)

25 AR() µε συντελεστή αυτοσυσχέτισης κοντά στη µονάδα και το λευκό θόρυβο u t να παίζει το ρόλο της τυχαίας µεταβλητής. Y t = ρ Y t- + u t (.6.) όπου u t η διαδικασία λευκού θορύβου (white oise) µε µέσο µηδέν και σταθερή διακύµανση. Σ αυτό το αυτοπαλινδροµούµενο υπόδειγµα έχει αποδειχθεί ότι ο εκτιµητής ) ρ είναι µεροληπτικός και υποεκτιµά την παράµετρο ρ. Στην περίπτωση όµως για ρ < ο εκτιµητής ) ρ είναι συνεπής. Στην περίπτωση που ο συντελεστής αυτοπαλινδρόµησης ισούται µε τη µονάδα (ρ = ) έχει δηλαδή µοναδιαία ρίζα (uit root) το υπόδειγµα είναι µια διαδικασία µη στα-τική. Τότε η παραπάνω συνάρτηση () γράφεται: Y t = Y t- + u t (.6.2) Η συνάρτηση αυτή λέγεται τυχαίος περίπατος (radom wal) και η χρονική σειρά χαρακτηρίζεται ως µη στάσιµη. Στην περίπτωση που ο συντελεστής αυτοπαλινδρόµησης είναι µικρότερος της µονάδος ρ < το υπόδειγµα είναι µια διαδικασία στάσιµη. Άρα έχουµε τις δύο παρακάτω υποθέσεις: Ηο: ρ = η διαδικασία Y t είναι µη στάσιµη (υπάρχει µοναδιαία ρίζα). Ηα: ρ < η διαδικασία Y t είναι στάσιµη (δεν υπάρχει µοναδιαία ρίζα). Στην περίπτωση που ισχύει η Η 0 δηλαδή έχουµε µοναδιαία ρίζα τότε έχουµε τη διαδικασία του τυχαίου περιπάτου, δηλαδή έχουµε µία µη στάσιµη διαδικασία. Οι πιο συνήθεις έλεγχοι για την εξέταση της µοναδιαίας ρίζας είναι ο έλεγχος των Dicey Fuller και ο έλεγχος των Phillips Perro (988).

26 .8 Έλεγχοι για µοναδιαία ρίζα Οι έλεγχοι αυτοί που καλούνται έλεγχοι µοναδιαίας ρίζας (uit root tests) αντι-στοιχούν στην υπόθεση Ηο: ρ = για την εξίσωση αυτοπαλινδρόµησης. Εύλογο είναι να σκεφτεί κανείς ότι εκτιµώντας την εξίσωση Y t = ρy t- + u t µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων να κάνουµε τον έλεγχο της Ηο: ρ = µε την κατανοµή t - ) Studet. Ο εκτιµητής ρ όµως µπορεί να είναι µεροληπτικός οπότε η κατανοµή t - Studet (λόγω συµµετρίας) να µην είναι η κατάλληλη για τον έλεγχο της µεταβλητής αυτής που χρησιµοποιούµε πολύ δε περισσότερο όταν η διαδικασία είναι και µη στατική. Οι Dicey - Fuller µέσω των πειραµάτων Mote - Carlo βρήκαν µια κατάλληλη ασύµµετρη κατανοµή που χρησιµοποίησαν για τον έλεγχο της υπόθεσης Ηο: ρ =. Την κατανοµή αυτή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να ξεχωρίσουµε ένα ΑR() υπόδειγµα από µια ολοκληρωµένη σειρά, δηλαδή την ύπαρξη µοναδιαίας ρίζας Ι(). Ο έλεγχος των Dicey - Fuller (DF) γίνεται µε την κατανοµή t - Studet αλλά η σύγκριση για την αποδοχή ή όχι της Ηο γίνεται από τις κριτικές τιµές του MacKio (99). Οι γνωστοί έλεγχοι των Dicey - Fuller (DF) για µοναδιαία ρίζα γίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις. Y t = ρy t- + u t (.7.) Αν αφαιρέσω το Y t- από τα δύο µέλη της προηγούµενης συνάρτησης θα έχω: Y t - Y t- = ρ Y t- - Y t- + u t (.7.2) ή Y t - Y t- = (ρ )Y t- + u t (.7.3) ή Y t = δy t- + u t (.7.4) όπου δ = ρ -

27 ηλαδή αν οι εξισώσεις αυτές έχουν µοναδιαία ρίζα Ηο: ρ = ή δ = 0 παίρνω τις πρώτες διαφορές και ελέγχω αν οι διαφορές αυτές βοήθησαν στην αποµάκρυνση της ρίζας αυτής. όπου Y t = Y t - Y t- είναι η πρώτη διαφορά και u t είναι µια ανεξάρτητη και στάσιµη διαδικασία. Άρα οι δύο παρακάτω υποθέσεις της παραγράφου.6 µπορούν να γραφούν και ως εξής: Ηο: δ = 0 η διαδικασία Y t είναι µη στάσιµη. (υπάρχει µοναδιαία ρίζα) Ηα: δ < 0 η διαδικασία Y t είναι στάσιµη. (δεν υπάρχει µοναδιαία ρίζα) Εποµένως θα µπορούσαµε εδώ να πούµε ότι το πρόβληµα της µοναδιαίας ρίζας µπορεί να εκφραστεί είτε µε ρ = (από τη συνάρτηση.6.) είτε µε δ = 0 (από τη συνάρτηση.7.4) Βέβαια οι έλεγχοι των εκτιµηµένων συντελεστών δεν µπορούν να ελεγχθούν µε τη συνηθισµένη κατανοµή της κατανοµής t Studet, αλλά µε µία µη τυπική και µη συµµετρική κατανοµή που προτάθηκε από τον MacKio (99)..8. Έλεγχος των Dicey - Fuller (DF) Ο έλεγχος Dicey - Fuller (DF) εξετάζει: ) Την συνθήκη κατά την οποία µια διαδικασία έχει µοναδιαία ρίζα. 2) Κατά πόσο οι πρώτες διαφορές βοηθούν στην αποµάκρυνση της ρίζας αυτής. Έστω το υπόδειγµα Χ t = δ 2 Χ t- + e t (.7..) όπου: e t είναι µια ανεξάρτητη και στάσιµη διαδικασία Οι υποθέσεις που έχουµε για το υπόδειγµα (.7..) είναι: Ηο: δ 2 = 0 (η χρονική σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος δηλαδή περιέχει µια µοναδιαία ρίζα άρα είναι µη - στάσιµη).

28 Ηα: δ 2 < 0 (δεν ισχύει η Η 0 ). Η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t - studet του συντελεστή δ 2 είναι µικρότερο (t δ2 < τ ) από την κριτική τιµή τ του MacKio των πινάκων Dicey - Fuller (979). Η σύγκριση της τιµής t - studet του συντελεστή δ 2 γίνεται µε την τιµή τ που έχουµε από τους πίνακες των Dicey - Fuller και όχι µε τη γνωστή κατανοµή t - studet. Σε πολλές περιπτώσεις είναι πιθανόν η χρονική σειρά που εξετάζουµε να έχει και κάποιο σταθερό όρο, δηλαδή να συµπεριφέρεται σαν ένα υπόδειγµα τυχαίου περιπάτου µε περιπλάνηση (drift). Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγµα είναι: Χ t = δ 0 + δ 2 Χ t- + e t (.7..2) Οι υποθέσεις που έχουµε για το υπόδειγµα (.7..2) είναι: Ηo: δ 2 = 0 (η σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση, δηλαδή περιέχει µια µοναδιαία ρίζα άρα είναι µη - στάσιµη). Ηα: δ 2 < 0 (δεν ισχύει η Η 0 ). Η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t studet του συντελεστή δ 2 είναι µικρότερο (t δ2 < τ 2 ) από την κρίσιµη τιµή τ 2 του MacKio των πινάκων Dicey - Fuller. Επίσης υπάρχουν περιπτώσεις που στη χρονική σειρά που εξετάζουµε να υπάρχει εκτός του σταθερού όρου και η χρονική τάση. Τότε λέµε ότι η σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση γύρω από µια στοχαστική τάση. Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγµα είναι: Χ t = δ 0 + δ t + δ 2 Χ t- + e t (.7..3) Οι υποθέσεις που έχουµε για το υπόδειγµα (.7..3) είναι: Η 0 : δ 2 = 0 (η σειρά Χ t είναι τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση γύρω από µια στοχαστική τάση, δηλαδή περιέχει µια µοναδιαία ρίζα άρα είναι µη - στάσιµη). Ηα: δ 2 < 0 (δεν ισχύει η Η 0 ).

29 Η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t - studet του συντελε-στή δ 2 είναι είναι µικρότερο (t δ2 < τ 3 ) από την κρίσιµη τιµή τ 3 του MacKio των πινάκων Dicey - Fuller. Στους τρεις ελέγχους που εξετάζουµε, έχουµε την υπόθεση ότι η µεταβλητή e t είναι µια ανεξάρτητη και στάσιµη διαδικασία.

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 3ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3ο Κίβδηλες παλινδρομήσεις Μια από τις υποθέσεις που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι ότι οι χρονικές σειρές που χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 1 Τύποι Οικονομικών Δεδομένων Τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση οικονομικών φαινομένων μπορεί να έχουν τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: ageliki.papaa@gmail.com, agpapaa@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapaa

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller

Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller ΜΑΘΗΜΑ 7ο Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller Είδαμε προηγουμένως ότι οι τιμές της στατιστικής Τ 2δ0, Τ 3δ0 και Τ 3δ1 που χρησιμοποιήθηκαν στην παραπάνω παράγραφο εξαρτώνται από τη μορφή της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 11: Αυτοσυσχέτιση Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Περιεχόμενο ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις)

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) 1. Έχοντας στη διάθεσή μας ένα δείγμα, προκύπτει ότι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιοριστικοί όροι και μοναδιαία ρίζα (από κοινού υποθέσεις)

Προσδιοριστικοί όροι και μοναδιαία ρίζα (από κοινού υποθέσεις) ΜΑΘΗΜΑ 6ο Προσδιοριστικοί όροι και μοναδιαία ρίζα (από κοινού υποθέσεις) Είδαμε στους παραπάνω ελέγχους (DF και ADF) που κάναμε προηγουμένως ότι εξετάζουμε στη μηδενικήυπόθεσημόνοτοσυντελεστήδ 2. Δεν αναφερόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 6.1 Ετεροσκεδαστικότητα: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της σταθερής διακύμανσης των όρων σφάλματος,

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικές εφαρμογές υπολογιστικών πακέτων. Στοχαστικά υποδείγματα

Οικονομικές εφαρμογές υπολογιστικών πακέτων. Στοχαστικά υποδείγματα Οικονομικές εφαρμοές υπολοιστικών πακέτων Στοχαστικά υποδείματα Στοχαστική διαδικασία Στοχαστικά υποδείματα: κάθε χρονολοική σειρά δημιουρείται μέσα από ένα μηχανισμό παραωής δεδομένων που αποτελεί μια

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7ο μάθημα: Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΕΥΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ 4.3 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ 4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4.5 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 9: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµατεπώνυµο : Σίσκου Σταµατίνα Ειρήνη. Υπεύθυνοςκαθηγητής: ΑναστάσιοςΒ. Κάτος. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 2010

Ονοµατεπώνυµο : Σίσκου Σταµατίνα Ειρήνη. Υπεύθυνοςκαθηγητής: ΑναστάσιοςΒ. Κάτος. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 2010 Π.Μ.Σ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο προσδιορισµός του επιπέδου της ιδιωτικής κατανάλωσης, των επενδύσεων και των συνολικών εισαγωγών. Mία εµπειρική µελέτη για την Νορβηγία, την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF)

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) ΜΑΘΗΜΑ 5ο Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) Στον έλεγχο των Dickey Fuller (DF) και στα τρία υποδείγματα που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως κάνουμε την υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος e είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ SARIMA (sp,sd,qs) ARIMA (p,d,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II . Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος των Phillips Perron

Έλεγχος των Phillips Perron ΜΑΘΗΜΑ 8ο Έλεγχος των Phillip Perron Είδαμε στον έλεγχο των Dickey Fuller ότι για το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων προτείνουν την επαύξηση της εξίσωσης με επιπλέον όρους τωνδιαφορώντηςεξαρτημένηςμεταβλητής.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ Μάθηµα: Εφαρµοσµένη Οικονοµετρία (Aκαδηµαϊκό έτος: 2008-2009) Σπύρος Σκούρας Ονοµατεπώνυµο: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ 2009

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ-ΔΕΥΤΕΡΟ-ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΚΥΚΛΙΚΗ ΤΑΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ Χρονολογική Σειρά (χρονοσειρά)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 12: Σφάλματα μέτρησης στις μεταβλητές Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Γενικές οδηγίες για την εργασία Τέταρτη Γραπτή Εργασία Όλες οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 10ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 10ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 10ο Έλεγχοι συνολοκλήρωσης Αφού διαπιστωθεί πως οι εξεταζόμενες μεταβλητές είναι ολοκληρωμένες της ίδιας τάξης, τότε εκτελείται ο έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Αυτοσυσχέτιση Αν τα σφάλµατα δεν συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(u t, u s ) = 0 για κάθε t s, t, s

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 11ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 11ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 11ο Συνολοκλήρωσης και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 18: ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑI ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. σε μη γραμμικές μορφές. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. σε μη γραμμικές μορφές. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 7: Επεκτάσεις του γραμμικού υποδείγματος σε μη γραμμικές μορφές Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Σταματίου Παύλος Διδάκτωρ Οικονομετρικών Εφαρμογών & Μακροοικονομικών Πολιτικών

Οικονομετρία. Σταματίου Παύλος Διδάκτωρ Οικονομετρικών Εφαρμογών & Μακροοικονομικών Πολιτικών Οικονομετρία Σταματίου Παύλος Διδάκτωρ Οικονομετρικών Εφαρμογών & Μακροοικονομικών Πολιτικών E-mail: stamatiou@uom.edu.gr Info: https://sites.google.com/site/pavlossta2/home Αυτοσυσχέτιση (Durbin - Watson)

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµετρικό Υπόδειγµα. Γράφηµα Ροής 1.

Οικονοµετρικό Υπόδειγµα. Γράφηµα Ροής 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μία από τις βασικότερες λειτουργίες της οικονοµετρικής µεθοδολογίας είναι η Συγκεκριµενοποίηση των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των διαφόρων οικονοµικών µεγεθών. Η Συγκεκριµενοποίηση αυτή αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ =Ε(Χ )-µ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : Cov(X,Υ)=Ε(ΧΥ)-Ε(Χ)Ε(Υ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης

Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ηευθεία παλινδρόµησης περνάει από το σηµείο αφού a b, a b ( b ) b b ( + + + ) ( ) + b u u a b a b Αυτό όµως προϋποθέτει την ύπαρξη του a. Αν δηλαδή υποχρεώσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί Έλεγχοι Διαπίστωσης της Αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι από τους διαγνωστικούς ελέγχους της αυτοσυσχέτισης αναφέρονται σε αυτοσυσχέτιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα