ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΠΕΝΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ

Transcript

1 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΠΕΝΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ

2 Κρούσεις 1 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΡΟΥΣΗ : Σύγκρουση δύο σωμάτων που διαρκεί ελάχιστο χρόνο. Κατά τη διάρκεια της κρούσης εμφανίζονται πολύ ισχυρές δυνάμεις με αποτέλεσμα η κινητική κατάσταση των σωμάτων να μεταβάλλεται απότομα. Κεντρικές ΚΡΟΥΣΕΙΣ Έκκεντρες Πλάγιες Οι ταχύτητες των σωμάτων πριν και μετά την κρούση, βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση Οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση, βρίσκονται σε παράλληλες διευθύνσεις Οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση, βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις Σε κάθε κρούση, επειδή οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στο σύστημα είναι εσωτερικές, δίνουν συνισταμένη μηδέν, άρα το σύστημα είναι μονωμένο και ισχύει πάντα η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.). p p ΕΙΔΗ ΚΡΟΥΣΕΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ : οι κρούσεις στις οποίες διατηρείται η ολική κινητική ενέργεια των σωμάτων που συγκρούονται. Προσοχή: Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή, όχι η ενέργεια κάθε σώματος. ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΕΣ : οι κρούσεις στις οποίες ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα. ΠΛΑΣΤΙΚΕΣ : ειδική περίπτωση ανελαστικών κρούσεων κατά τις οποίες τα σώματα μετά τη κρούση αποτελούν συσσωμάτωμα και κινούνται με την ίδια ταχύτητα. Απώλειες κατά την κρούση : ΔΕ = Ετελ Εαρχ Ποσοστό % απωλειών :

3 Κρούσεις 2 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Έστω δύο σώματα με μάζες m1 και m2 που κινούνται με m1 ταχύτητες υ1 και υ2 αντίστοιχα. Συγκρούονται κεντρικά και (πριν) ελαστικά και μετά την κρούση κινούνται με ταχύτητες υ1 και υ2.επειδή η κρούση είναι ελαστική, θα ισχύει η αρχή (μετά) διατήρησης ορμής (Α.Δ.Ο.) και η αρχή διατήρησης κινητικής m1 ενέργειας (Α.Δ.Κ.Ε.) Αποδεικνύεται ότι οι ταχύτητες μετά τη κρούση θα είναι : m m2 2m2 2m1 m m1 και υ1 m2 υ2 υ1 m2 υ2 Περιπτώσεις : Α. Αν τα σώματα έχουν ίσες μάζες m1 = m2 = m, τότε : υ1 = υ2 και υ2 = υ1, δηλαδή τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες. Β. Αν το 2ο σώμα ήταν αρχικά ακίνητο, υ2 = 0 τότε : 1 m1 m2 1 και 2 2m1 1 Β1. Αν η δεύτερη σφαίρα είναι πολύ μεγάλη m1 << m2, τότε : υ1 = - υ1 και υ 2 = 0, δηλαδή η μεγάλη σφαίρα παραμένει ακίνητη, ενώ η μικρή γυρίζει πίσω με την ίδια ταχύτητα. Β2. Αν η πρώτη σφαίρα είναι πολύ μεγάλη m1 >>m2, τότε υ1 = υ1 και υ2 = 2υ1, δηλαδή η μεγάλη σφαίρα συνεχίζει με την ίδια ταχύτητα, ενώ η μικρή πετάγεται εμπρός με διπλάσια ταχύτητα. ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Τα σώματα αμέσως μετά τη κρούση, αποτελούν συσσωμάτωμα και κινούνται με ταχύτητα V. (Α.Δ.Ο.) p p m1υ1 + m2υ2 = (m1 +m2)v V m1 υ1 m2 (m1 + m2) υ2 V m1 1 m2 2 Η ενέργεια που χάθηκε είναι ΔΕ = Κτελ Καρχ ΔΕ = (m1+m2)v2 - m1υ12 - m2υ ΠΛΑΓΙΑ ΚΡΟΥΣΗ Τα σώματα έχουν τυχαίες διευθύνσεις και συγκρούονται. Εφαρμόζω διανυσματική άθροιση ή αναλύω σε άξονες και εφαρμόζω Α.Δ.Ο. σε κάθε άξονα ξεχωριστά.

4 Κρούσεις 3 Προσοχή Όταν γίνεται η κρούση εφαρμόζω πάντα Α.Δ.Ο.. Μετά ή πριν τη κρούση αν έχω κίνηση, εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. (θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας) για να βρω τη ταχύτητα με την οποία θα συγκρουστούν τα σώματα ή την απόσταση που θα διανύσουν. (ΘΜΚΕ) : Κτελ Καρχ = W Το έργο σταθερής δύναμης είναι W=F s Έργο βάρους: W = m g h, Έργο τριβής W = -T s = -μ N s Το Θ.Μ.Κ.Ε. εφαρμόζεται για ένα σώμα όταν κινείται μεταξύ δύο θέσεων (αρχική τελική) ή για σύστημα σωμάτων (για μονωμένα συστήματα) p2 Σχέση κινητικής ενέργειας ορμής : K 2m Φαινόμενο Doppler Όταν ένας παρατηρητής και μια πηγή παραγωγής ηχητικών κυμάτων βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους, τότε η συχνότητα των κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι διαφορετική από εκείνη που εκπέμπει η πηγή. Α. Ακίνητη πηγή ακίνητος παρατηρητής Τότε επειδή δεν υπάρχει σχετική κίνηση, οι συχνότητες είναι ίδιες Β. Ακίνητη πηγή Κινούμενος παρατηρητής Όταν ο παρατηρητής πλησιάζει στη πηγή, ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που παράγει η πηγή, ενώ όταν απομακρύνεται από τη πηγή, η συχνότητα φαίνεται μικρότερη. fa fs με (+) όταν πλησιάζει και (-) όταν απομακρύνεται Γ. Κινούμενη πηγή Ακίνητος παρατηρητής Όταν η πηγή πλησιάζει, ο ήχος φαίνεται μεγαλύτερης συχνότητας, ενώ όταν απομακρύνεται η πηγή, ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο μικρότερης συχνότητας. fa fs με (-) όταν πλησιάζει και (+) όταν απομακρύνεται s Αν κινούνται τόσο η πηγή, όσο και ο παρατηρητής, τότε : fa fs S Όπου : υ η ταχύτητα του ήχου, υα η ταχύτητα του ακροατή, υs η ταχύτητα της πηγής ( Τα πάνω πρόσημα όταν πλησιάζουν, και τα κάτω πρόσημα όταν απομακρύνονται ) Ο παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής, όταν η μεταξύ τους απόσταση μειώνεται, και με συχνότητα μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής όταν η μεταξύ τους απόσταση αυξάνεται.

5 Κρούσεις 4 Κεφάλαιο 5ο / ΚΡΟΥΣΕΙΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1) Κατά τη κρούση μεταξύ δύο σωμάτων : α) τα σώματα έρχονται οπωσδήποτε σε επαφή β) η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος δε μεταβάλλονται γ) ασκούνται ισχυρές δυνάμεις για μικρό χρονικό διάστημα δ) η ορμή κάθε σώματος παραμένει σταθερή 2) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα υ πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται δύναμη F η οποία διπλασιάζει την ορμή του. Η κινητική ενέργεια του σώματος : α) διπλασιάζεται β) τετραπλασιάζεται γ) παραμένει σταθερή δ) υποδιπλασιάζεται 3) Δύο σώματα με μάζες m1 και m2 με m1>m2 έχουν ίσες ορμές. Για τις κινητικές τους ενέργειες ισχύει : α) Κ1 = Κ2 β) Κ1 > Κ2 γ) Κ1 < Κ2 δ) Κ1 = 2Κ2 4) Σε μια ελαστική κρούση δεν ισχύει για το σύστημα : α) η διατήρηση κινητικής ενέργειας β) η διατήρηση ορμής γ) το θεώρημα ώθησης ορμής δ) η διατήρηση μηχανικής ενέργειας 5) Σε μια ανελαστική κρούση ισχύει για το σύστημα α) η διατήρηση κινητικής ενέργειας β) η διατήρηση ορμής γ) το θεώρημα ώθησης ορμής δ) η διατήρηση μηχανικής ενέργειας 6) Αν ένα κινούμενο σώμα συγκρουστεί μετωπικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο ίσης μάζας, τότε η ταχύτητα του θα : α) διπλασιαστεί β) διατηρηθεί σταθερή γ) μηδενιστεί δ) αναστραφεί 7) Μια ελαστική σφαίρα μάζας m1 κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα μάζας m2, m2 >> m1 α) όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας m1 μεταβιβάζεται στη δεύτερη σφαίρα β) η σφαίρα m1 ακινητοποιείται μετά την κρούση γ) η κινητική ενέργεια της σφαίρας m1 δεν υφίσταται μεταβολή δ) η ορμή της σφαίρας m1 δε μεταβάλλεται κατά την κρούση 8) Μια σφαίρα Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη, αρχικά σφαίρα Β ίσης μάζας. Η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση : α) είναι οπωσδήποτε ίδιας κατεύθυνσης με την αρχική ταχύτητά της β) είναι αντίθετη της αρχικής ταχύτητάς της γ) είναι ίσου μέτρου με την ταχύτητα της σφαίρας Β δ) είναι μηδέν 9) Ένα βλήμα τη στιγμή που εκρήγνυται έχει ενέργεια Ε. Το βλήμα χωρίζεται σε δύο τμήματα που έχουν συνολική ενέργεια : α) ίση με Ε β) μεγαλύτερη από Ε γ) μικρότερη από Ε δ) μηδέν

6 Κρούσεις 5 10) Ένα βλήμα τη στιγμή που εκρήγνυται έχει ορμή ρ. Το βλήμα χωρίζεται σε δύο τμήματα που έχουν ολική ορμή : α) ίση με ρ β) μεγαλύτερη από ρ γ) μικρότερη από ρ δ) μηδέν 11) Μια σφαίρα μάζας m1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m2. Μετά την κρούση η σφαίρα m1 συνεχίζει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση. Συμπεραίνουμε ότι : α) m1>m2 β) m1 < m2 γ) m1=m2 δ) m1<< m2 12) Σφαίρα μάζας m πέφτει κατακόρυφα και συγκρούεται ελαστικά με ταχύτητα υ με οριζόντιο επίπεδο. Α. Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας έχει μέτρο α) 0 β) m υ γ) 2 m υ δ) m υ/2 Β. Η μεταβολή του μέτρου της ορμής της σφαίρας είναι : α) 0 β) m υ γ) 2 m υ δ) m υ/2 Γ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας είναι α) ΔΚ=0 β) ΔΚ= m υ2 γ) ΔΚ= m υ2 /2 δ) ΔΚ = 2 m υ2 13) Δύο σώματα συγκρούεται πλαστικά και κεντρικά α) η μηχανική ενέργεια του συστήματος δε μεταβάλλεται β) η κινητική ενέργεια του συστήματος δε μεταβάλλεται γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος μεταβάλλεται ενώ η ορμή του παραμένει σταθερή δ) η ορμή του συστήματος μεταβάλλεται 14) Μια σφαίρα έχει αρχικά κινητική ενέργεια Κ και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητη σφαίρα ίσης μάζας. Η % απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος είναι : α) 25% β) 50% γ) 75% δ) 100% 15) Το φαινόμενο Doppler α) ισχύει μόνο για ηχητικά κύματα β) ισχύει για όλα τα κύματα γ) ισχύει μόνο αν η πηγή κινείται δ) ισχύει αν η πηγή ή ο παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση 16) Ένας παρατηρητής πλησιάζει προς μια ακίνητη πηγή που εκπέμπει ηχητικά κύματα με συχνότητα fs. Η συχνότητα την οποία αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής α) είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα εκπομπής της πηγής β) είναι μικρότερη από τη συχνότητα εκπομπής της πηγής γ) είναι ίση με τη συχνότητα της πηγής δ) μπορεί να είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής 17) Μια πηγή εκπέμπει ηχητικά κύματα συχνότητα. Ένας παρατηρητής ακούει οξύτερο ήχο α) είτε αυτός πλησιάζει προς την ακίνητη πηγή είτε όταν η πηγή απομακρύνεται από αυτόν όταν είναι ακίνητος β) είτε όταν αυτός πλησιάζει προς την ακίνητη πηγή είτε όταν η πηγή πλησιάζει προς αυτόν όταν είναι ακίνητος γ) είτε όταν αυτός απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή είτε όταν η πηγή απομακρύνεται από αυτόν όταν είναι ακίνητος δ) είτε όταν αυτός απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή είτε όταν η πηγή πλησιάζει προς αυτόν όταν είναι ακίνητος

7 Κρούσεις 6 Ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος 18) Η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ορμής ενός σώματος 19) Ένα ποδήλατο κάνει το γύρο μιας κυκλική πλατείας με ταχύτητα 10m/s. Κατά τη κίνηση: α) η ορμή του ποδηλάτου είναι σταθερή β) η κινητική ενέργεια του ποδηλάτου είναι σταθερή 20) Όταν δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά, τότε : α) Η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται σταθερή β) η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή γ) τα σώματα ενώνονται μεταξύ τους δ) η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται σταθερή 21) α)ένα σύστημα σωμάτων είναι δυνατόν να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή β) Ένα σύστημα σωμάτων είναι δυνατόν να έχει ορμή χωρίς να έχει κινητική ενέργεια 22) α) μετά την ελαστική κρούση δύο σωμάτων είναι δυνατόν και οι δύο σφαίρες να είναι ακίνητες β) μετά τη πλαστική κρούση δύο σωμάτων είναι δυνατόν το συσσωμάτωμα να παραμένει ακίνητο 23) Οι επόμενες προτάσεις αναφέρονται στην ελαστική κρούση δύο σωμάτων : α) όταν δύο σώματα συγκρούονται ελαστικά δεν απελευθερώνεται θερμότητα β) όταν δύο σώματα ίσης μάζας που κινούνται αντίθετα με ίσου μέτρου ταχύτητες, συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά ακινητοποιούνται μετά τη κρούση γ) όταν ένα σώμα συγκρουστεί ελαστικά με δεύτερο σώμα πολύ μεγάλης μάζας το μέτρο της ορμής του παραμένει σταθερό δ) δύο σώματα που συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά ανταλλάσσουν ταχύτητες όταν έχουν ίσες μάζες 24) Στην ανελαστική κρούση η ολική κινητική ενέργεια των σωμάτων πριν την κρούση είναι μεγαλύτερη από την ολική κινητική τους ενέργεια μετά την κρούση 25) Σύμφωνα με το φαινόμενο Doppler: α) όταν μια ηχητική πηγή πλησιάζει σε ακίνητο παρατηρητή ο ήχος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μικρότερης συχνότητας β) όταν μια ηχητική πηγή απομακρύνεται από ακίνητο παρατηρητή ο ήχος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μικρότερης συχνότητας γ) όταν η ηχητική πηγή και ο παρατηρητής κινούνται με την ίδια ταχύτητα, ο ήχος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μικρότερης συχνότητας

8 Κρούσεις 7 Ασκήσεις 1. Ένα σωματίδιο μάζας m1 έχει κινητική ενέργεια Κ1 και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητο πυρήνα μάζας m2. Να αποδειχθεί ότι η απώλεια της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου λόγω της κρούσης του είναι ΔΚ = 4m1m 2 Κ1 (m1 m 2 ) 2 2. Δύο σφαιρίδια Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα κρέμονται από νήματα ίσου μήκους ℓ=0,9m. Τα σφαιρίδια έχουν αμελητέες ακτίνες ώστε στη θέση ισορροπίας τους τα νήματα να είναι κατακόρυφα και τα σφαιρίδια να εφάπτονται. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο Α κατά γωνία φ=600 και το αφήνουμε ελεύθερο, οπότε φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση του συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το Β που ήταν αρχικά ακίνητο. Να υπολογιστεί σε ποιο ύψος φτάνει μετά τη κρούση το κάθε σφαιρίδιο. ( 0,2m, 0,05m ) 3. Σφαίρα μάζας m=2kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h=1,8m πάνω από οριζόντιο επίπεδο. Κατά τη κρούση της με το επίπεδο η σφαίρα χάνει τα 5/9 της ενέργειας της. Να υπολογιστούν : α) η ταχύτητα της σφαίρας ακριβώς μετά την κρούση της με το επίπεδο. β) η μεταβολή της ορμής της κατά την κρούση γ) το ύψος h όπου θα φθάσει η σφαίρα μετά την κρούση της με το επίπεδο ( 4m/s, 20kgm/s, 0,8m ) 4. Ένας σάκος μάζας Μ κρέμεται στο άκρο σχοινιού. Ένα βλήμα μάζας m= Μ/2 που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ διαπερνά το σάκο και εξέρχεται από αυτόν με ταχύτητα υ/2. α) να υπολογιστεί η ταχύτητα του σάκου μετά την κρούση β) ποια είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας κατά τη κρούση γ) ποιο το ποσοστό % ; ( υ/4, -5Μυ2/32 ) 5. Ένα βλήμα μάζας m που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ διαπερνά το σώμα μάζας Μ=5m που είναι στερεωμένο στο άκρο αβαρούς ράβδου μήκους ℓ=0,9m. Το βλήμα εξέρχεται με ταχύτητα υ =υ/2 από το σώμα. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα υ την οποία πρέπει να έχει το βλήμα ώστε η μάζα Μ να εκτελέσει ανακύκλωση. ( 60m/s ) 6. Ένα βλήμα μάζας m=20g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ και σφηνώνεται σε ένα σώμα μάζας Μ=0,98kg που είναι ακίνητο. Το σώμα είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400ν/m. Μεταξύ σώματος και επιπέδου δεν υπάρχουν τριβές. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α=10cm. Να υπολογιστούν : α) η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση β) η ταχύτητα του βλήματος ακριβώς πριν τη κρούση γ) η απώλεια ενέργειας κατά την κρούση ( 2m/s, 100m/s, -98J )

9 Κρούσεις 8 7. Ένα ομογενές σώμα μάζας Μ=995g είναι κρεμασμένο με σχοινί από δέντρο και ισορροπεί. Σφαίρα μάζας m=5g χτυπάει οριζόντια το σώμα με ταχύτητα υ=200m/s και σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του. Να βρεθεί η % μεταβολή της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος σφαίρα μάζα. ( -99,5% ) ( Πανελλήνιες εξετάσεις 1979 ) 8. Μικρή σφαίρα Α μάζας m1 κινείται με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα Β μάζας m2 που είναι ακίνητη. Α) να υπολογίσετε τις ταχύτητες υ1 και υ2 των σωμάτων μετά τη κρούση αν m1 / m2 = λ β) Να υπολογίσετε το λόγο Κ1 / Κ2 των κινητικών ενεργειών των σωμάτων γ) για ποια τιμή του λ ολόκληρη η κινητική ενέργεια του Α μεταβιβάζεται στη Β ; ( Πανελλήνιες εξετάσεις 1982 ) 9. Βλήμα μάζας m=30g κινείται οριζόντια και προσκρούει με ταχύτητα υ1=300m/s σε ένα ακίνητο κομμάτι ξύλου μάζας Μ=29,97kg στο οποίο ενσωματώνεται. Το σύστημα ολισθαίνει χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο και συμπιέζει ελατήριο οριζόντια τοποθετημένο με τον άξονά του κατά τη διεύθυνση κίνησης του βλήματος και που είναι στηριγμένο στο άλλο άκρο σε κατακόρυφο ανένδοτο τοίχωμα. Να βρεθούν : α) η ταχύτητα του συσσωματώματος β) η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου αν k=270n/m ( Πανελλήνιες εξετάσεις 1983 ) ( 0,3m/s, 0,1m ) 10. Από τη κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ=30 στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m1=2kg και το σύστημα ισορροπεί. Από τη βάση του κεκλιμένου κινείται προς τα πάνω σώμα μάζας m2=3kg αρχικής ταχύτητας υ0=5m/s. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=0,9m. Αν η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου μετά τη κρούση είναι x=0,2m, να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου k ( Πανελλήνιες εξετάσεις 1985 ) ( 570N/m ) 11. Από τη κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h=1,6m και γωνίας κλίσης φ=30 αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m1=1kg. Στη βάση του κεκλιμένου συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο και κινείται μέχρι να συγκρουστεί πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m2=4kg. Το συσσωμάτωμα συναντά ιδανικό οριζόντιο ελατήριο το οποίο συσπειρώνει. Αν ο συντελεστής τριβής επί του κεκλιμένου επιπέδου είναι μ= 3, να υπολογιστούν : 4 α) η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου β) το ποσοστό % της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του κατά την ολίσθηση του στο κεκλιμένο. Δίνεται k=1000n/m ( Πανελλήνιες εξετάσεις 1989 ) ( 0,04m, 75% ) 12. Δύο σφαίρες αμελητέων ακτινών με m1=m2 αφήνονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h1=18m επί οριζοντίου επιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται πάνω στην ίδια κατακόρυφο. Αφήνεται πρώτα η σφαίρα m1 και μετά η m2. Η m1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Μόλις αποχωριστεί από το επίπεδο συγκρούεται μετωπικά με τη κατερχόμενη σφαίρα m2. Να βρεθεί το ύψος h2 στο οποίο θα φτάσει η m2. Όλες οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές. ( Πανελλήνιες εξετάσεις 1990 ) (18m)

10 Κρούσεις Σφαίρα μάζας m1 στερεώνεται στην άκρη κατακόρυφου νήματος μήκους ℓ=1m. Φέρνουμε τη σφαίρα σε τέτοια θέση ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία 600 με τη κατακόρυφο. Όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σώμα m2=0,5kg η οποία ηρεμεί στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100ν/m. Μετά τη κρούση, το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x1=10cm. α) βρείτε τη μάζα m1 β) ποια είναι η μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα μετά την κρούση γ) ποιο το ποσοστό % της m1 που γίνεται δυναμική ενέργεια ελατηρίου ; ( 1,41kg, συνθ=0,848, 69,4% ) 14. Ένα βλήμα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος με υ0=100m/s. Σε χρόνο t=2sec μετά την εκτόξευση του διασπάται με έκρηξη σε δύο ίσα κομμάτια από τα οποία το ένα συνεχίζει προς τα πάνω και φθάνει σε ύψος h=5m από το σημείο της έκρηξης. Να βρείτε τις ταχύτητες των θραυσμάτων αμέσως μετά την κρούση. ( 10m/s, 150m/s ) 15. Σφαίρα μάζας m=1kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h1=5m πάνω σε δίσκο μάζας Μ=10kg ο οποίος ισορροπεί στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=1000ν/m. Η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά με το δίσκο. Μετά την κρούση η σφαίρα φθάνει σε ύψος h2=1,25m. Nα βρείτε : α) τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση β) το ποσοστό % της κινητικής ενέργειας που χάθηκε εξαιτίας της κρούσης γ) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου ( 5m/s, 1,5m/s, -52,5%, 0,25m ) 16. Σφαίρα μάζας m=1kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h=0,8m πάνω σε δίσκο μάζας Μ=3kg ο οποίος ισορροπεί στερεωμένος στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200ν/m. Η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το δίσκο. Βρείτε : α) την απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση β) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος γ) το πλάτος των ταλαντώσεων που θα εκτελέσει το σύστημα σφαίρα δίσκου ( -6J, 0,2m, 0,15m ) 17. Σώμα μάζας m κινείται με ταχύτητα υ και ξαφνικά διασπάται σε δύο κομμάτια Α και Β. Το κομμάτι Α έχει μάζα m/4 κινείται κάθετα προς την αρχική ταχύτητα του σώματος με ταχύτητα υ. Ποια είναι η ταχύτητα του κομματιού Β ακριβώς μετά τη διάσπαση ; ( υ 17 /3 ) 18. Μια ακίνητη πηγή εκπέμπει ηχητικά κύματα στον αέρα με συχνότητα fs. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ=330m/s. με ποια ταχύτητα πρέπει να απομακρύνεται ένα κινούμενο όχημα από τη πηγή, ώστε ο παρατηρητής που επιβαίνει σε αυτό, να ακούει συχνότητα μικρότερη κατά 10% από τη συχνότητα ; ( 33m/s ) 19. Μια πηγή παραγωγής ηχητικών κυμάτων εκπέμπει ήχο συχνότητας fs=500hz. Να υπολογιστεί η συχνότητα την οποία αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής όταν : α) η πηγή πλησιάζει προς τον παρατηρητή με ταχύτητα υ=15m/s και β) η πηγή και ο παρατηρητής κινούνται ο ένας προς τον άλλο με την ίδια ταχύτητα υ=15m/s. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=330m/s ( 523,8 Hz, 547,6 Hz )

11 Κρούσεις 10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στις ΚΡΟΥΣΕΙΣ (2 πακέτο ασκήσεων) 1. Σφαίρα μάζας m κινούμενη με ταχύτητα μέτρου υ1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα ίσης μάζας. Να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν τις ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση, με εφαρμογή των αρχών που διέπουν την ελαστική κρούση. 2. Σφαίρα Σ1 μάζας m1 κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 ίσης μάζας. Αν μετά την κρούση η σφαίρα Σ1 παραμένει ακίνητη, ενώ η σφαίρα Σ2 κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1, να αποδείξετε ότι η κρούση είναι ελαστική. 3. Σφαίρα Σ1 μάζας m1 κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες ίσου μέτρου. Με εφαρμογή των αρχών που διέπουν την ελαστική κρούση, να αποδείξετε ότι ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών είναι m1/m2 = 1/3. 4. Σφαίρα μάζας m1 κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m2. Να αποδειχθεί ότι οι απώλειες της ενέργειας κατά τη m2 διάρκεια της κρούσης δίνονται από τη σχέση K, 5. Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2, που κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ1 και υ2 αντίστοιχα, ίδιας κατεύθυνσης, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Αμέσως μετά την κρούση οι σφαίρες αποτελούν συσσωμάτωμα και κινούνται με ταχύτητα. Να αποδείξετε ότι η απώλεια ενέργειας του συστήματος δίνεται από τη σχέση m1 m2 ( 1 2 )2 2( ) 6. Δύο σφαίρες με μάζες m1 και m2 (m1>m2) κινούνται η μία προς την άλλη με ίσου μέτρου ταχύτητες και συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Το σύστημα χάνει τα 8/9 της αρχικής κινητικής ενέργειάς του κατά την κρούση. Να αποδειχθεί ότι ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών είναι m1/m2 = Ένα σώμα μάζας m1 που έχει ταχύτητα υ1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m2. Να βρεθούν : α) η ενέργεια που έχασε το σώμα μάζας m1 β) το ποσοστό (%) της ενέργειας που έχασε το m1 γ) η ενέργεια που πήρε το σώμα μάζας m2 8. Δύο σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο στην ίδια διεύθυνση με αντίθετη φορά και με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1=10m/s και υ2=2m/s αντίστοιχα. Οι σφαίρες συγκρούονται μετωπικά και μετά την κρούση η σφαίρα μάζας m1 κινούμενη στην αρχική της φορά, έχει ταχύτητα υ 1=4m/s. α) Να βρεθεί η ταχύτητα υ 2 της δεύτερης μάζας β) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν και μετά την κρούση γ) η κρούση είναι ελαστική ή όχι ;

12 Κρούσεις Ένα ξύλινο σώμα με μάζα Μ=1,8kg ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα με μάζα m=200g κινείται με ταχύτητα υ=100m/s και σφηνώνεται στο ξύλινο σώμα. Να βρεθούν : α) η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση β) η ελάττωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος γ) η μετατόπιση του συσσωματώματος στο οριζόντιο επίπεδο, αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0,4 δ) η θερμότητα που παράχθηκε λόγω της ολίσθησης του συσσωματώματος στο επίπεδο. Δίνεται g=10m/s2 10. Ένα σώμα μάζας m1=1kg κρέμεται μέσω αβαρούς νήματος μήκους ℓ=1,6m από την οροφή. Εκτρέπουμε το σώμα κατά 900 και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Όταν το σώμα φθάνει στο πιο χαμηλό σημείο της τροχιάς του, συναντά δεύτερο σώμα μάζας m2 το οποίο ήταν ακίνητο. Μετά την μετωπική και ελαστική κρούση των σωμάτων το σώμα μάζας m1 φθάνει σε θέση όπου το νήμα σχηματίζει γωνία 600 με την κατακόρυφο. Να βρεθεί η μάζα m2 του δεύτερου σώματος. 11. Ξύλινος κύβος μάζας Μ=5kg βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένος στο ένα άκρο ενός ελατηρίου σταθεράς k=1800n/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο. Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ1=200m/s, διαπερνά το κύβο και εξέρχεται με ταχύτητα υ1. Κατά την κρούση το κλάσμα της αρχικής κινητικής ενέργειας βλήματος που μεταφέρθηκε στον κύβο είναι 0,01. α) να υπολογίσετε την ταχύτητα του κύβου μετά την κρούση β) να βρείτε την ταχύτητα υ1 του βλήματος μετά την κρούση γ) να βρείτε το κλάσμα της μηχανικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση δ) αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ κύβου επιπέδου είναι μ=0,4 και το ελατήριο πριν την κρούση είχε το φυσικό του μήκος, να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. 12. Ένα σώμα μάζας m=1kg αφήνεται να πέσει ελεύθερο από ύψος h=0,8m σε ξύλινη πλάκα μάζας Μ=3kg που ισορροπεί στερεωμένη στην πάνω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=192ν/m. Το σώμα συγκρούεται ελαστικά με την πλάκα και αναπηδά. Να βρεθούν : α) οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση β) η πρόσθετη συσπείρωση του ελατηρίου λόγω της κρούσης γ) το κλάσμα της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το σώμα μάζας m στην πλάκα δ) ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της ξύλινης πλάκας, όταν το ελατήριο βρίσκεται στη μέγιστη του συμπίεση. 13. Δύο σφαίρες με μάζες m1=0,06kg και m2=0,04kg αντίστοιχα, κρέμονται από αβαρή νήματα μήκους ℓ=4m. Στη θέση ισορροπίας τα κέντρα μάζας των δύο σφαιρών βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Εκτρέπουμε τη πρώτη σφαίρα, ώστε το τεντωμένο νήμα να σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφη με συνφ= 0,8 και την αφήνουμε ελεύθερη. Αν οι σφαίρες συγκρουστούν κεντρικά και ελαστικά, να υπολογίσετε : α) τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση β) τη τάση του νήματος που συγκρατεί τη πρώτη σφαίρα αμέσως μετά την κρούση γ) το ποσοστό της ενέργειας που μεταφέρθηκε από τη πρώτη σφαίρα στη δεύτερη δ) τα ύψη στα οποία θα φθάσουν οι δύο σφαίρες μετά την κρούση.

13 Κρούσεις Σώμα μάζας m1=2kg αφήνεται ελεύθερο να ολισθήσει πάνω σε ράγες σχήματος τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=1,8m. Λόγω τριβών μέχρι να φθάσει στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του χάνει 75% της αρχικής μηχανικής ενέργειας. Όταν το σώμα φθάσει στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του, συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m2=1kg το οποίο είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=300ν/m και το συμπιέζει. Αν το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο, να βρείτε : α) την ταχύτητα του σώματος μάζας m1 λίγο πριν την κρούση β) την ταχύτητα του συσσωματώματος λίγο μετά την κρούση γ) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου δ) το ποσοστό % της ενέργειας που χάθηκε συνολικά κατά τη διάρκεια του φαινομένου. 15. Σώμα μάζας m=1kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h=0,8m πάνω σε δίσκο μάζας Μ=3kg που είναι στερεωμένος στην πάνω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200ν/m. Το σώμα συγκρούεται πλαστικά με το δίσκο. Να βρεθούν : α) η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. β) το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας λόγω της κρούσης