Κώστας Κουτσοβασίλης. Κεφάλαιο 3 ο. Τριγωνομετρία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κώστας Κουτσοβασίλης. Κεφάλαιο 3 ο. Τριγωνομετρία"

Transcript

1 Κώστας Κουτσοβασίλης Κεφάλαιο ο

2 Άλγεβρα Β Λυκείου Το φυλλάδιο αυτό περιέχει την ύλη της ς του ο Κεφαλαίου της Άλγεβρας Β Γενικού Λυκείου σύμφωνα με το πρόγραμμα σπουδών 4-5. Eίναι χωρισμένο σε διδακτικές ενότητες που η καθεμιά τους περιλαμβάνει: Θεωρία με τις αποδείξεις των θεωρημάτων και παρατηρήσεις με έμφαση στα σημεία που θέλουν ιδιαίτερη προσοχή. Λυμένα παραδείγματα με σχόλια και λεπτομέρειες που δεν διευκρινίζονται στο σχολικό βιβλίο. Ερωτήσεις κατανόησης για να διαπιστωθεί αν έγινε εμπέδωση της θεωρίας. Προτεινόμενες ασκήσεις, όχι όμως εξεζητημένες, επειδή πιστεύω ότι τέτοιες ασκήσεις λίγα θα προσέφεραν. Κριτήρια Αξιολόγησης. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Περιεχόμενα η Ενότητα: Τριγωνομετρικοί αριθμοί Τριγωνομετρικός Κύκλος η Ενότητα: Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες η Ενότητα: Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο 4η Ενότητα: Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 5η Ενότητα: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 6η Ενότητα: Τριγωνομετρικοί αριθμοί Αθροίσματος νιών 7η Ενότητα: Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α --

3 η Ενότητα Τριγωνομετρικοί αριθμοί Τριγωνομετρικός κύκλος Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( 9 ) Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β είναι το ημίτονο (ημβ), το συνημίτονο(συνβ), η εφαπτομένη (εφβ), και η συνεφαπτομένη (σφβ) Είναι: έ ά ί ί ά συνβ= ί έ ά εφβ= ί ά ί ά σφβ= έ ά β Α Γ απέναντι γ προσκείμενη α υποτείνουσα Β Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας με 6 Η γωνία ω παράγεται από τον ημιάξονα Ο όταν περιστραφεί κατά τη θετική φορά, δηλαδή αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού. Αν Μ(,y) είναι ένα σημείο (Μ O ) της τελικής πλευράς οποιασδήποτε γωνίας ω, ορίζουμε: y ημω= συνω= z τελική πλευρά Α Μ (,y) Ο y Β ω αρχική πλευρά y εφω=, σφω=, y y όπου ρ= y z y Γωνίες μεγαλύτερες των 6 Αρνητικές γωνίες Αν ο ημιάξονας Ο κινούμενος κατά την θετική φορά διαγράψει ν (ν IN) πλήρεις στροφές και στη συνέχεια γωνία μ λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία ν 6 +μ μ Ο χ - -

4 Αν ο ημιάξονας Ο κινούμενος κατά την αρνητική φορά διαγράψει ν (ν IN) πλήρεις στροφές και στη συνέχεια γωνία μ λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία -ν 6 -μ Ο y μ χ z Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής κ 6 +ω, κ Z,επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Δηλαδή για κάθε κ Z ισχύει: ημ(κ 6 +ω)=ημω συν(κ 6 +ω)=συνω εφ(κ 6 +ω)=εφω σφ(κ 6 +ω)=σφω Ο Τριγωνομετρικός Κύκλος Ορισμός: Τριγωνομετρικό κύκλο λέμε τον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(,) και ακτίνα ρ= Ολες οι γωνίες θεωρούμε ότι έχουν αρχική πλευρά την ΟΑ άξονας ημιτόνων άξονας εφαπτομένων άξονας συνεφαπτομένων Β π/ σφω Σ Τεταρτημόριο Ρ Τ Μ(,y) Τεταρτημόριο ημω ρ= εφω άξονας συνημιτόνων π Α' Ο ω συνω Π Α π ε Τεταρτημόριο 4 Τεταρτημόριο Β' π/ συνω==τετμημένη του σημείου Μ ημω=y=τεταγμένη του σημείου Μ εφω=y T =τεταγμένη του σημείου Τ σφω= Σ =τετμημένη του σημείου Σ - -

5 Το συνω ειναι η τετμημένη του σημείου τομής της τελικής πλευράς της γωνίας ω με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Το ημω ειναι η τεταγμένη του σημείου τομής της τελικής πλευράς της γωνίας ω με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Η εφω είναι ίση με την τεταγμένη του σημείου τομής της τελικής πλευράς της γωνίας ω με τον άξονα των εφαπτομένων Η σφω ειναι ίση με την τετμημένη του σημείου τομής της τελικής πλευράς της γωνίας ω με τον άξονα των συνεφαπτομένων Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας γραφικά Αν θέλουμε να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω τότε: Κατασκευάζουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω με τον τριγωνομετρικό κύκλο Από το Μ φέρνουμε κάθετες στους άξονες τον ημιτόνων και συνημιτόνων. Η τεταγμένη και η τετμημένη των σημείων αυτών αντίστοιχα είναι το ημω και συνω. Ενώνουμε το σημείο Μ με το Ο και προεκτείνουμε κατά τμήμα ΟΜ προς το Μ ή προς το Ο ή προς το Ο και Μ ανάλογα σε ποιό τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο Μ. Η τεταγμένη και η τετμημένη των σημείων στα οποία η ευθεία ΟΜ τέμνει τους άξονες των εφαπτομένων και συνεφαπτομένων είναι αντίστοιχα η εφω και η σφω. Παρατήρηση : Ισχύει: και Παρατήρηση : Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Τεταρτημόρια 4 ημω συνω εφω σφω Ο Η Ε Σ Μνημονικός κανόνας Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Το ακτίνιο ή rad είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο,ρ) βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου αυτού δηλαδή σε τόξο ενός ακτινίου (ή rad). Αν έχουμε μια γωνία και είναι μ και α rad τότε ισχύει: 8-4 -

6 Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών Σχόλια: Γωνία ω σε μοίρες σε rad Τριγωνομετρικοί Αριθμοί ημω συνω εφω σφω ημ = συν = εφ = σφ =δεν ορίζεται ημ 6 6 συν 6 εφ 6 σφ 6 45 ημ 4 4 συν 4 εφ 4 σφ 4 6 ημ συν εφ σφ 9 ημ συν εφ δεν σφ ορίζεται 8 π ημπ= συνπ =- εφπ= σφπ δεν ορίζεται 7 ημ συν εφ Δεν σφ ορίζεται. Η μέγιστη τιμή των συνω, ημω είναι το. Η ελάχιστη τιμή των συνω, ημω είναι το -.. το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας δεν παίρνουν συγχρόνως τις τιμές -,, 4. Τα άρτια πολλαπλάσια του π : π, π, 4π, έχουν μορφή κπ,κ Z 5. Τα περιττά πολλαπλάσια του π : π, π, 5π, έχουν μορφή (κ+)π,κ Z 6 Τα άρτια και τα περιττά πολλαπλάσια του π είναι τα πολλαπλάσια του π και έχουν τη μορφή λπ, λ Z - 5 -

7 η Ενότητα Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Βασικό Θεώρημα ς ημ ω+συν ω= z y Απόδειξη: Αν Μ(,y) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο τότε: =συνω και y=ημω Επομένως: ημ ω+συν ω= +y =ρ = Α' Μ(χ,y) y χ Β y ρ= ω χ Ο Α χ. και Απόδειξη: y Στο ίδιο σχήμα έχουμε: εφω= σφω= y, συνω ημω Β'. εφω σφω= Απόδειξη: Είναι και Επομένως εφω σφω= Τυπολόγιο ημ συν ημ +συν = εφ= συν = ημ = σφ= εφ σφ= ημ(κπ+)=ημ συν(κπ+)=συν κζ - 6 -

8 η Ενότητα Αναγωγή στο τεταρτημόριο Κανόνας Πρώτος: Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς Κανόνας Δεύτερος: Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν να πάρουν τη μορφή 8 ω (π ω) ή 6 ω (π ω) έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία ω με πρόσημο (+) ή (-) ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Κανόνας Τρίτος: Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν να πάρουν τη μορφή 9 ω ( ) ή 7 ω ( ) εναλλάσουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω δηλαδή το ημίτονο γίνεται συνημίτονο ή αντίστροφα και η εφαπτομένη γίνεται συνεφαπτομένη ή αντίστροφα με το πρόσημο (+) ή (-) ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Κανόνας Τέταρτος: Οι γωνίες της μορφής κ 6 +ω (κπ+ω) έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω. Τυπολόγιο ημ(-)=- ημ συν(-)=συν εφ(-)=-εφ σφ(-)=-σφ ημ( )=συν συν( )=ημ εφ( )=σφ σφ( )=εφ ημ( )=συν συν( )= -ημ εφ( )= -σφ σφ( )= -εφ ημ(π-)=ημ συν(π-)=-συν εφ(π-)=-εφ σφ(π-)=-σφ ημ(π+)=-ημ συν(π+)=-συν εφ(π+)=εφ σφ(π+)=σφ ημ( )= -συν συν( )=-ημ εφ( )=σφ σφ( )=εφ ημ( )= -συν συν( )=ημ εφ( )=-σφ σφ( )=-εφ ημ(π-)=-ημ συν(π-)=συν εφ(π-)=-εφ σφ(π-)=-σφ ημ(π+)=ημ συν(π+)=συν εφ(π+)=εφ σφ(π+)=σφ - 7 -

9 η - η - η Ενότητα Λ υ μ έ ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α Παράδειγμα. Να μετατρέψετε σε μοίρες τη γωνία rad. Λύση: Επειδή π(rad) αντιστοιχούν σε 8 έχουμε rad αντιστοιχούν σε 8 7 Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: α. ημ β. συν γ. εφ δ. ημ9π Λύση: α. Είναι ημ =ημ(9 + )=συν = β. Είναι συν =συν(8 + )=-συν =- γ. Είναι εφ =εφ(7 +6 )=-σφ6 =- δ. ημ9π=ημ(8π+π)=ημ(. 4π+π)=ημπ= Παράδειγμα. Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: 45 α. συν β. εφ Λύση: α. συν =συν6 45 β. εφ =εφ Παράδειγμα 4. 5 Δίνεται ότι: ημθ= και π<θ< Να υπολογιστούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας θ Λύση: Από την ταυτότητα ημ θ+συν θ= παίρνουμε συν θ=- ημ θ άρα - 8 -

10 συν 4 θ= και επειδή π<θ< είναι συνθ< συνεπώς 9 συνθ=-. 5 Τότε: εφθ= Παράδειγμα 5. Να δείξετε ότι: 5, σφθ= Λύση: Παράδειγμα 6. Αν <α<β< και ημ(α+β)+συν(α-β)= να βρείτε τα α και β. Λύση: Για κάθε α,β IR ισχύει: ημ(α+β) και συν(α-β). Επομένως είναι: ημ(α+β)+συν(α-β) () Είναι όμως ημ(α+β)+συν(α-β)= () Η ισότητα στη σχέση () ισχύει όταν και μόνο όταν ισχύουν ημ(α+β)= και συν(α-β)= Επομένως είναι α+β= και α-β= ή α=β= 4 Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α=εφ5 εφ95 εφ7 εφ97 Λύση: Είναι εφ95 =εφ(9 +5 )=-σφ5 και εφ97 =εφ(9 +7 )=-σφ7 Οπότε: Α=εφ5 εφ95 εφ7 εφ97 =εφ5 (-σφ5 )εφ7 (-σφ7 )=(-)(-)= Παράδειγμα 8. 4 Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της παράστασης Α= Λύση: Για κάθε IR ισχύει: - συν οπότε: +συν4 ή 4 ή 4 ή Αή A Επομένως η μεγαλύτερη τιμή είναι και η μικρότερη - 9 -

11 η - η - η Ενότητα Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς Κ α τ α ν ό η σ η ς Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Υπάρχει γωνία ω με ημω= και συνω=. Η μεγαλύτερη τιμή της παράστασης Α=ημ είναι. Η εφω δεν ορίζεται όταν ω=, 4. Μια γωνία 75 5 είναι ίση με 5. εφ(-)+εφ= 6. συν( ) 7. ημ5 =-συν5 8. Είναι συν(π+ω)=συνω 9. Αν α+β=π τότε εφα=-σφβ.υπάρχει γωνία ω ώστε ημω+συνω=. εφσφ=ημ α+συν α. ημ 9+συν 9=. εφσφ= 4. ημ5= 5 5. εφ5= 5 6. ημ = 7.Αν τότε συν =συν 8. Αν <<π τότε συν 9. Aν ημ=συν τότε εφ=. +εφ ω= Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία α. Το συνβ είναι ίσο με i. ii. iii. iv. A 9 v. τότε; β. Το ημγ είναι ίσο με: i. ii. iii. iv. v. γ. Η εφβ είναι ίση με i. ii. iii. iv. v. 4. Το ημ είναι ίσο με: 6 i. ii. iii. iv. v. - -

12 . Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει: i.ημω<- ii.ημω> iii. ημω > iv.- ημω Η εφ είναι ίση με: 4 i. ii - iii. iv.- v). 5. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τότε το άθροισμα συνα+συνβ +συνγ είναι ίσο με: i. ii. iii. iv. v. 6 Γ. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α. ημ(π+θ). ημθ β. εφ(π-θ). ημθ γ. συν. σφθ δ. σφ(-θ) 4. -σφθ ε. συν(-θ) 5. εφθ στ. σφ(π+θ) 6. -εφθ 7. συνθ Δ. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη ΣΤ. ημ 6. εφ Β Α. ημ(α+β). -εφγ Β. εφ(α+β). -συνα Γ. συν. ημγ Δ. συν(β+γ) 4. ημ A Ε. σφ 5. συν - -

13 η - η - η Ενότητα Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς. Στο διπλανό σχήμα είναι: ΒΗ= και ΓΗ= και Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΓ, ΑΒ και το ύψος ΑΗ Β Α H π/6 Γ. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( 9 και ημβ= 5 να υπολογίσετε τις πλευρές ΒΓ,ΑΓ και το ύψος ΑΔ ). Αν ΑΒ= Γ Δ Α Β. Δύο συγκεκριμένα σημεία Α και Β στο έδαφος απέχουν μεταξύ τους km. Ο πιλότος ενός αεροπλάνου, όταν βρίσκεται στην κατακόρυφο του Α, βλέπει την απόσταση ΑΒ υπο γωνία. Να υπολογίσετε το ύψος του αεροπλάνου. 4. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : Α= Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ τα ύψη του. Αν ισχύει ΑΔ=ΒΕ+ΓΖ να αποδείξετε ότι: 6. Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα αν και μόνο αν το άθροισμα των ημιτόνων των τεσσάρων γωνιών που έχουν κορυφή το σημείο τομής των διαγωνίων είναι

14 7. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Β= Να βρείτε τις γωνίες φ, ω, για τις οποίες ισχύει: ημφ+συνω=4. 9. Να δείξετε ότι: α. 5συν+συνy 7 β. ημ+συν 5. Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων α. y=+ημ β. y=-+5ημ γ. y=5-συν. Να δείξετε ότι η εξίσωση -+ημθ-= έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε γωνία θ.. Αν ρ,ρ είναι ρίζες της εξίσωσης (+συνα) -(συν α+συνα)+ημ α=,<α< να αποδείξετε ότι: ρ +ρ +ρ ρ =. Για μια γωνία ω (, ) ισχύει: 5συν ω-7συνω-6=. α. Να αποδειχθεί ότι συνω=- 5 β. Να υπολογιστούν οι αριθμοί ημω, εφω,σφω. y 4. Αν =ημθ και y=συνθ να δείξετε ότι: Να δείξετε ότι: 6. Να αποδείξετε ότι: α. β. ημ εφ-συν σφ=εφ-σφ 7. Να αποδείξετε ότι: - -

15 ( ) ( ) 8. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) 9. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α. ημα=ημ(β+γ) β. εφβ+εφ(α+γ)= γ. δ. ( ) ( ). Έστω Α=, Β=συν( ) ( ), ( ) Γ=συν(π+α)ημ( ) να αποδειχθεί ότι: α. Γ=Β+ β. Β+Α=συν α γ. Α+Β=Γ Να αποδειχθεί ότι: Να αποδείξετε ότι: συν α+συν β+ημαημβ. Αν να δείξετε ότι: ( ) ( ) 4 4. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Δίνονται οι παραστάσεις : Α= 5 ( ) ( ) ( ) Να δείξετε ότι: Α=Β ( ) ( ) ( ) Β= 5 ( ) ( ) ( ) - 4 -

16 η - η - η Ενότητα Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Α. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α. ημ(π-θ). συνθ β. σφ(π+θ). ημθ γ. ημ. σφθ δ. εφ(-θ) 4. σφθ ε. συν(π+θ) 5. εφθ στ. εφ(π+θ) 6. εφθ 7. -συνθ Β. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Είναι: ημ 4 4. Ισχύει: ημ ω=-συν ω+. Είναι : ημ 4 4. Ισχύει: ημ(9 -θ)=-ημθ ΘΕΜΑ Β Α. Αν ημω= και 5 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Β. Να αποδείξετε ότι: συν 4 θ+συν θημ θ+ημ θ= ΘΕΜΑ Γ Να αποδείξετε ότι: 6-5 -

17 η - η - η Ενότητα Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Αν Μ(,y) και ω= O, ρ=. το ημω είναι ίσο με: y i. ii. y τότε: iii. y iv. y v. y. η σφω είναι ίση με: i. y ii. y iii. iv. y v. Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις:. Ισχύει ότι: α. συν(-ω)= β. σφ(-ω)= γ. ημ(9 +θ)= δ. συν =.. Ισχύει ότι: α. ημ =. β. συν(π+ ) = 4 7 γ. ημ =.. δ. εφ. 6 4 Να αποδείξετε ότι:. συν 4 α-ημ 4 α-συν α=-. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ( 75 6 ) - 6 -

18 4 η Ενότητα Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Περιοδικές Συναρτήσεις Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: i). +ΤΑ, -ΤΑ και ii). f(+t)=f(-t)=f() Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχίζεται στο ημ( rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με: ημ=ημ( rad) Η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο π γιατί: ημ(+π)=ημ(-π)=ημ για κάθε IR.Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα πλάτους π. Η συνάρτηση συνημίτονο Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχίζεται στο συν( rad) λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και τη συμβολίζουμε με: συν=συν( rad) Η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο π γιατί: συν(π+)=συν για κάθε IR. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα πλάτους π. Η συνάρτηση εφαπτομένη Η συνάρτηση εφαπτομένη ορίζεται ως το πηλίκο του ημιτόνου προς το συνημίτονο Είναι εφ= με πεδίο ορισμού το σύνολο Α= IR : Η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π γιατί:εφ(π+)=εφ για κάθε A. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα πλάτους π

19 Η συνάρτηση συνεφαπτομένη Η συνάρτηση συνεφαπτομένη ορίζεται ως το πηλίκο του συνημιτόνου προς το ημίτονο. Είναι σφ= με πεδίο ορισμού το σύνολο Α= IR : Η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π γιατί:σφ(π+)=σφ για κάθε A. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα πλάτους π. Μελέτη της συνάρτησης f()=ημ. Πεδίο ορισμού: H f έχει πεδίο ορισμού το Α =IR. Σύνολο τιμών: Η f έχει σύνολο τιμών το f(α)=[-,] (- ημ). Περιοδικότητα: Η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=π.(Η μελέτη της f αρκεί να γίνει σε διάστημα πλάτους π π.χ. στο [,π]). 4. Άρτια ή Περιττή: Η f είναι περιττή στο IR. (έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο) 5. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [, ], [, ] και γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα [, ], [, ]. 6. Ακρότατα: Για = μέγιστο το ημ και για = ελάχιστο το ημ 7. Γραφική παράσταση: Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα και λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη. y= y y=- - y=ημ - 8 -

20 Μελέτη της συνάρτησης f()=συν. Πεδίο ορισμού: H f έχει πεδίο ορισμού το Α =IR. Σύνολο τιμών: Η f έχει σύνολο τιμών το f(α)=[-,] (- συν). Περιοδικότητα: Η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=π..(Η μελέτη της f αρκεί να γίνει σε διάστημα πλάτους π π.χ. στο [,π]). 4. Άρτια ή Περιττή: Η f είναι άρτια στο IR.(έχει άξονα συμμετρίας των y y ). 5. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα [, ], [, ] και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [, ],[,]. 6. Ακρότατα: Για =,=π μέγιστο το y ma = και για =π ελάχιστο το y min =- 7. Γραφική παράσταση: Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. y= y y=συν y=- - Μελέτη της συνάρτησης f()=εφ. Πεδίο ορισμού: H f έχει πεδίο ορισμού το Α =IR- IR /,. Σύνολο τιμών: Η f έχει σύνολο τιμών το f(α)=ir. Περιοδικότητα: Η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=π..(Η μελέτη της f αρκεί να γίνει σε διάστημα πλάτους π π.χ. στο, ). 4. Άρτια ή Περιττή: Η f είναι περιττή στο Α, (έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο) - 9 -

21 5. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. 6. Ακρότατα: Δεν έχει (Γιατί είναι γνησίως αύξουσα) 7. Ασύμπτωτες: Η C f έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες =κπ+, κ Z 8. Γραφική παράσταση: Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. y y=εφ - Σχόλιο: Όταν ο «τείνει» στο - από μεγαλύτερες τιμές η εφ «τείνει» στο -. Γι αυτό λέμε ότι η ευθεία =- είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf. Όταν ο «τείνει» στο από μικρότερες τιμές η εφ «τείνει» στο. Γι αυτό λέμε ότι η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf. Μελέτη της συνάρτησης f()=σφ. Πεδίο ορισμού: H f έχει πεδίο ορισμού το Α =IR- IR /,. Σύνολο τιμών: Η f έχει σύνολο τιμών το f(α)=ir. Περιοδικότητα: Η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=π..(Η μελέτη της f αρκεί να γίνει σε διάστημα πλάτους π π.χ. στο (,π)). 4. Άρτια ή Περιττή: Η f είναι περιττή στο Α, (έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο) 5. Μονοτονία: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,π) - -

22 6. Ακρότατα: Δεν έχει (Γιατί είναι γνησίως φθίνουσα) 7. Ασύμπτωτες: Η C f έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες =κπ,κ Z 8. Γραφική παράσταση: Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. y y=σφ - Παρατηρήσεις Θεωρίας: Παρατήρηση : Οι συναρτήσεις f()=ρημ(ω) και g()=ρσυν(ω), όπου ρ>,ω> είναι περιοδικές με περίοδο Τ= Μέγιστη τιμή είναι το ρ και Ελάχιστη το ρ Παρατήρηση : Οι συναρτήσεις f()=εφ(α) και g()=σφ(α),α είναι περιοδικές με περίοδο Τ= Παρατήρηση : Το σύνολο τιμών της f()=κημ(α) είναι το [- κ, κ ]. Το σύνολο τιμών της f()=κημ(α)+λ είναι το [- κ +λ, κ +λ] Παρατήρηση 4: Κάθε συνάρτηση της μορφής f()=ρημ[ω(+κ)] έχει τα ίδια ακρότατα και την ίδια περίοδο με την συνάρτηση f()=ρημ(ω) Παρατήρηση 5: Αν f()=ρημ(ω)+κ, ρ,ω> τότε η ελάχιστη τιμή είναι : -ρ+κ και η μέγιστη τιμή είναι: ρ+κ Περίοδος Τ= Παρατήρηση 6: Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της f,ως προς τον άξονα. - -

23 4 η Ενότητα Λ υ μ έ ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α Παράδειγμα. Να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=ημ, g()=ημ φ()=-ημ στο διάστημα [-π,π]. Λύση: Οι συναρτήσεις f και φ είναι αντίθετες, οπότε οι γραφικές παραστάσεις τους θα είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. Η συνάρτηση g είναι περιοδική με περίοδο Τ=π και οι τιμές της είναι διπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της f Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις. π/ π π/ π ημ - ημ - g()=ημ y f()=ημ - φ()= -ημ - Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=, g()= -, h()= + α. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή, η ελάχιστη τιμή,και η περίοδος για καθεμία από τις παραπάνω συναρτήσεις β. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές τους παραστάσεις. - -

24 Λύση: α.η συνάρτηση f είναι της μορφής f()=ρσυν(ω) με ω= και ρ= οπότε έχει μέγιστο,ελάχιστο - και περίοδο Τ= 4π Η συνάρτηση g είναι της μορφής ρσυν(ω)+κ οπότε έχει μέγιστο ρ+κ=+(-)= ελάχιστο ρ+κ=-+(-)=-4 και περίοδο Τ=4π Η συνάρτηση h είναι της μορφής ρσυν(ω)+κ οπότε έχει μέγιστο ρ+κ=+=4 ελάχιστο ρ+κ=-+=- και περίοδο Τ=4π β.κατασκευάζουμε πίνακα τιμών: π π π 4π f() - Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδα προς τα κάτω. Η γραφική παράσταση της h προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδα προς τα πάνω. Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο σχήμα: 4 y h()= g()= - f()= Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση f()=αημ+,α> α. Να υπολογίσετε τον αριθμό α αν η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [,π]. - -

25 Λύση: α. μέγιστη τιμή της f : α +. Άρα: α += α = α= ή α=- Απορρίπτεται. β. Για α= είναι: f()=ημ+ Η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ= Έστω g()=ημ. Τότε f()=g()+ Κατασκευάζουμε πίνακα τιμών για την g π/4 π/ π/4 π ημ - Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη γραφική παράσταση της g με κατακόρυφη μετατόπιση κατά μονάδα προς τα πάνω. Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο σχήμα: y f()=ημ+ - g()=ημ y=ημ Παράδειγμα 4. Αν π< < <4π να συγκριθούν οι αριθμοί: και Λύση: Επειδή π< < <4π θα είναι Η συνάρτηση f()=ημ στο διάστημα, είναι γνησίως αύξουσα και επειδή, έχουμε ότι: <

26 4 η Ενότητα Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς Κ α τ α ν ό η σ η ς Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Η συνάρτηση f()=συν είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ]. Μια περίοδος της συνάρτησης f()=ρημ(ω) όπου ρ>,ω> είναι Τ=. Η συνάρτηση f()=-ημ+ έχει ελάχιστο ίσο με 4. Η συνάρτηση f()=ημ έχει περίοδο Τ= 5. Η συνάρτηση f()=εφ έχει πεδίο ορισμού το Α=IR-, 6. Η συνάρτηση f()=-συν είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [π,π] 7. Η συνάρτηση f()=-συν5 έχει σύνολο τιμών το [-,5] 8. Η συνάρτηση f()=εφ είναι γνησίως φθίνουσα στο IR 9. Είναι ημ<ημ. Αν η συνάρτηση f:ir IR είναι περιοδική με περίοδο τον αριθμό Τ τότε: α). f(+t)=f(-t) β). T< Β. Σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α να αντιστοιχίσετε την περίοδό της από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β.f()=συν α.π. f()=5ημ4 β.π. f()=ημ 4.f()=εφ γ. 4 δ

27 Γ. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες με το είδος της μονοτονίας των συναρτήσεων ημ,συν,εφ και σφ. ημ συν [, ] [, ] [, ] [,]. εφ,. σφ (,π) Δ. Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε τύπο συνάρτηση της στήλης Α με μια μόνο γραφική παράσταση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α. f()=-ημ i. y β. f()=ημ ii y γ. f()=συν iii. y δ. f()=εφ iv. y - 6 -

28 4 η Ενότητα Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς. Να βρείτε την εξίσωση που αντιστοιχεί σε καθεμιά από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις α. y β. y - - γ. y -. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=-ημ( ), g()= 5 ( ) Να βρείτε τα ακρότατα και την περίοδο των συναρτήσεων. Δίνεται η συνάρτηση f()= α. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f () β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της g()= f () περιόδου. σε πλάτος μιας 4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= συν στο διάστημα [,π]. 5. Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f()= + είναι ίση με την μέγιστη τιμή της συνάρτησης g()=αημβπ α,β> και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ= α. Να βρείτε τα α και β 9 β. Να δείξετε ότι: g( ) g( ) Έστω η συνάρτηση f()=α+(β-)ημ(γ-)π,γ>,β> Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων,έχει μέγιστη τιμή το 4 και περίοδο Τ=, να βρείτε τα α, β, γ

29 4 η Ενότητα Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις :. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι όλες περιοδικές με περίοδο π. Η συνάρτηση f()=-5ημ έχει ελάχιστο το -5. Η συνάρτηση f()=εφ είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού της 4. Ισχύει 6 5. Η συνάρτηση f()=συν(-) έχει περίοδο Τ=-π ΘΕΜΑ Β Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις:. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο λέγεται καμπύλη έχει.συμμετρίας το σημείο..δηλαδή είναι.. συνάρτηση. Η συνάρτηση f()=εφ είναι γνησίως..στο διάστημα,, είναι περιοδική με μια περίοδο Τ=, οι ευθείες =- και = είναι.της γραφικής παράστασης της f, η οποία έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο.., αφού η συνάρτηση f είναι ΘΕΜΑ Γ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=αημ+β διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,) i.να βρεθούν οι αριθμοί α και β ii. Να γραφεί ο πίνακας μονοτονίας και να βρεθούν τα ακρότατα της f iii. Να γίνει η γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου

30 5 η Ενότητα Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Τριγωνομετρική Εξίσωση Ορισμός: Τριγωνομετρική εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση που ο άγνωστος ή η παράσταση του αγνώστου περιέχεται σε ένα τουλάχιστον τριγωνομετρικό αριθμό Παρατήρηση: Όταν θέλουμε να λύσουμε π.χ. την εξίσωση ημ= ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης y=ημ και της ευθείας y= y=ημ y y=/ Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα IR, για τα οποία η συνάρτηση f()=ημ παιρνει την τιμή. Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο π, για να βρούμε τα ζητούμενα που είναι άπειρα σε πλήθος, βρίσκουμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους π και σε καθένα από αυτά προσθέτουμε το κπ,κ ακέραιος. Με ανάλογες σκέψεις εργαζόμαστε και για τις τριγωνομετρικές εξισώσεις συνημίτονο,εφαπτομένη, συνεφαπτομένη. Η εξίσωση ημ=α Αν - α η εξίσωση γράφεται ημ=ημθ. όπου θ γωνία με ημθ=α και οι λύσεις της δίνονται από τις ισότητες: =κπ+θ ή =κπ+(π-θ), κ Z Αν α<- ή α>, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Η εξίσωση συν=α Αν - α η εξίσωση γράφεται συν=συνθ. όπου θ γωνία με συνθ=α και οι λύσεις της δίνονται από τις ισότητες: =κπ+θ ή =κπ-θ, κ Z Αν α<- ή α>, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη

31 Η εξίσωση εφ=α Για οποιαδήποτε τιμή του α IR η εξίσωση γράφεται εφ=εφθ, όπου θ γωνία με εφθ=α και οι λύσεις της δίνονται από την ισότητα: =κπ+θ, κ Z με την προϋπόθεση, Z Η εξίσωση σφ=α Για οποιαδήποτε τιμή του α IR η εξίσωση γράφεται σφ=σφθ, όπου θ γωνία με σφθ=α και οι λύσεις της δίνονται από την ισότητα: =κπ+θ, κ Z με την προϋπόθεση, Z Τυπόλόγιο: ημ=ημθ =κπ+θ ή =κπ+(π-θ) συν=συνθ =κπ+θ ή =κπ-θ εφ=εφθ = κπ+θ κζ σφ=σφθ = κπ+θ κζ κζ κζ Ειδικές Μορφές ). ημ= =κπ ). ημ= =κπ+ ). ημ=- =κπ- 4). συν= =κπ+ 5). συν= =κπ 6). συν=- =(κ+)π 7). εφ= =κπ 8). εφ= =κπ+ 4 ).σφ= =κπ+ ). σφ= =κπ+ 4 κ Z 9). εφ=- =κπ- 4 ). σφ=- =κπ

32 m 5 η Ενότητα Λ υ μ έ ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση ημ= Λύση: ημ= ημ=ημ =κπ+ ή =κπ+π- =κπ+ όπου κ Z Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση συν 6 Λύση: συν 6 συν ή κ Z ή κ Z ή κ Z Σχόλιο: Οι παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις, μετασχηματίζονται σε βασικές εξισώσεις με τους τύπους των αντίθετων παραπληρωματικών γωνιών:. ημf()=-ημg() ημf()=ημ[-g()].. συνf()=-συνg() συνf()=συν[π-g()].. εφf()=-εφg() εφf()=εφ[-g()]. 4. σφf()=-σφg() σφf()=σφ[-g()], όπου f(),g() παραστάσεις του. Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση συν+συν= - -

33 Λύση: συν+συν= συν=-συν συν=συν(π-) κ Z ή κ Z ή κ Z. ή Σχόλιο: Οι παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις, μετασχηματίζονται σε βασικές εξισώσεις με τους τύπους των συμπληρωματικών γωνιών:.ημf()=συνg() ημf()=ημ g(). συνf()=ημg() συνf()=συν g(). εφf()=σφg() εφf()=εφ g() 4. σφf()=εφg() σφf()=σφ g() Παράδειγμα 4. Να λυθεί η εξίσωση εφ σφ Λύση: Περιορισμοί: συν και ημ εφ σφ εφ εφ = =κπ+, 6 (Εξισώσεις με γινόμενο παραγόντων = ) Παράδειγμα 5. Να λυθεί η εξίσωση (-ημ)(ημ- )= Λύση: - -

34 (-ημ)(ημ- )= -ημ= ή ημ- = ημ= ή ημ= ημ=ημ ή ημ=ημ =κπ+ ή =κπ+ ή =κπ+π- =κπ+ κ Z Σχόλιο: Εξισώσεις της μορφής: αημ +βημ+γ= ασυν +βσυν+γ= αεφ +βεφ+γ= ασφ +βσφ+γ= Θέτουμε όπου ημ ή συν ή εφ ή σφ το y και οι εξισώσεις γίνονται αy +βy+γ=. Εξισώσεις της μορφής: αημ +βσυν+γ=. Θέτουμε ημ =-συν Εξισώσεις της μορφής: ασυν +βημ+γ=. Θέτουμε συν =-ημ Παράδειγμα 6. Να λυθεί η εξίσωση ημ +συν =ημ- Λύση: ημ +συν =ημ- ημ +-ημ -ημ+= ημ -ημ+= Θέτουμε ημ=y και η αρχική εξίσωση γράφεται y -y+= y = ή y = Άρα ημ= αδύνατη ή ημ= =κπ+, Z Σχόλιο: Όταν θέλουμε να λύσουμε τριγωνομετρική εξίσωση σε διάστημα (α,β) τότε: Βρίσκουμε αρχικά τις άπειρες λύσεις της και στη συνέχεια από την ανισότητα α<<β βρίσκουμε τις τιμές του κ για τις οποίες οι λύσεις ανήκουν στο διάστημα (α,β). Παράδειγμα 7. Να λυθεί η εξίσωση συν =ημ στο διάστημα 4,. Λύση: συν =ημ συν =συν

35 4 4 ή ή =κπ+, Z 8 4 αδύνατη 4 9 Θέλουμε να είναι: -π -π κ=- ή κ= ή κ= διότι κ Z Αν κ= τότε = 8 9 Αν κ= τότε =π Αν κ=- τότε =-π+ 8 8 Παράδειγμα 8. Να λυθεί η εξίσωση ημ -ασυν= 4 αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός είναι μια λύση της. Λύση: Επειδή ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης θα ισχύει: Για α= η εξίσωση γίνεται: ημ -συν= 4 -συν -συν= 4 4-4συν -4συν-= 4συν +4συν-=. Θέτουμε συν=y, y και η εξίσωση γράφεται: 4y +4y-= y= ή y=- (απορρίπτεται). Άρα συν= συν=συν =κπ, Z. Παράδειγμα 9. Να λυθεί η εξίσωση 5 Λύση: Περιορισμός: Πρέπει: συν5 και ημ Αν συν= τότε σφ = και η εξίσωση δεν έχει λύση. Αν συν τότε: - 4 -

36 , Z, 5 Όμως για είναι ημ=ημ ημ(κπ)=. Αρα η αρχική 5 5 εξίσωση δεν έχει λύση. Τελικά η εξίσωση είναι αδύνατη

37 5 η Ενότητα Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς Κ α τ α ν ό η σ η ς Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Η εξίσωση συν=α, α> είναι αδύνατη. εφ=εφθ =κπ+θ,κ Z. Οι εξισώσεις ημ=συν και σφ=είναι ισοδύναμες 4. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f()= είναι όλο το IR 5. Οι λύσεις της εξίσωσης ημ=α είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης y=ημ και της ευθείας y=α. 6. Η εξίσωση εφ =α έχει λύση μόνο όταν 4 7. Οι εξισώσεις εφ=α και σφ=α έχουν την ίδια λύση =κπ+α, κ Z 8. ημ=συν =κπ+, 4 9. Η = είναι λύση της εφ=. Ισχύει: ημ=-συν εφ=- Β. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις που βρίσκονται στη στήλη Α με τις ρίζες της που βρίσκονται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Εξίσωση Ρίζες. ημ= α. =κπ+. συν= β. =(κ+)π. ημ= γ. =κπ 4. συν= δ. =κπ- 5. ημ=- ε. =κπ+ 6. συν=- στ. =κπ Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ημ(α-β)= τότε το ΑΒΓ είναι : α. ορθογώνιο β. ισοσκελές γ. ορθογώνιο και ισοσκελές. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι συν(β+γ)= τότε το ΑΒΓ είναι : α. ορθογώνιο β. ισοσκελές γ. οξυγώνιο - 6 -

38 5 η Ενότητα. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. ημ= β. ημ=- Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς γ. σφ=- δ. συν=-. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. συν β. ημ γ. 6 δ. εφ=σφ. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. ημ = 4 β. 4συν -= γ. ημ +ημ= δ. εφ (-ημ )= 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. (ημ-)( εφ+)= β. ημ +ημ- ημ- = γ. συν -4συν+= δ. ημ -συν =- 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. εφ= στο [π,π] β. σφ= στο, γ. 4 στο, δ. ημ στο [,π] 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. συν(συν)= στο [,π) β. ημ+ γ. ημ=-ημ δ. συν+συν = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. εφ-ημ=-εφημ β. ημσυν=συν γ. ημ=5+ δ. συν - ημ-= - 7 -

39 5 η Ενότητα Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της Στήλης Α με το πεδίο ορισμού της στη Στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Συνάρτηση Πεδίο Ορισμού Α. f()=.ir-, B. f()=. IR-, Γ. f()=εφ IR, Δ. f()= 7 4.IR-,, 6 6 Να λύσετε τις εξισώσεις ΘΕΜΑ Β α. ημ= β. συν+ γ. εφ+ Έστω η συνάρτηση f()=συν ΘΕΜΑ Γ α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να λύσετε την εξίσωση f()+f( ) 4-8 -

40 6 η Ενότητα Συνημίτονο Τριγωνομετρικοί αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Εφαπτομένη Αθροίσματος συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ Αθροίσματος ( ) = Διαφοράς συν(α-β)=συνασυνβ+ημαημβ Διαφοράς ( ) = Ημίτονο Συνεφαπτομένη Αθροίσματος ημ(α+β)=ημασυνβ+συναημβ Αθροίσματος ( ) = Διαφοράς ημ(α-β)=ημασυνβ-συναημβ Διαφοράς ( ) = Να αποδείξετε ότι: συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ Απόδειξη: Γνωρίζουμε ότι: συν(α-β)=συνασυνβ+ημαημβ Αντικαθιστούμε το β με το β και έχουμε: συν[α-(-β)]=συνασυν(-β)+ημαημ(-β) ή συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ Να αποδείξετε ότι: ημ(α+β)=ημασυνβ+συναημβ Απόδειξη: ημ(α+β)=συν[ (α+β)]=συν( -α-β)=συν[ ( -α)-β] =συν =ημασυνβ+συναημβ Να αποδείξετε ότι: ημ(α-β)=ημασυνβ-συναημβ Απόδειξη: Γνωρίζουμε ότι: ημ(α-β)=ημασυνβ-συναημβ Αντικαθιστούμε το β με το β και έχουμε: ημ(α-β)=ημασυν(-β)+συναημ(-β)=ημασυνβ-συναημβ - 9 -

41 Αν συν(α+β), συνα, συνβ να αποδείξετε ότι: ( ) = ( ) Απόδειξη: Είναι: εφ(α+β)= ( ) Διαιρούμε με συνασυνβ = =. Αν συν(α-β), συνα, συνβ να αποδείξετε ότι: ( ) = Απόδειξη: Γνωρίζουμε ότι: ( ) = Αντικαθιστούμε το β με το β και έχουμε: ( ) εφ(α-β)= ( ) Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: α). ( ) = β). ( ) = - 4 -

42 6 η Ενότητα Λ υ μ έ ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α Σχόλιο: Για να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας συγκεκριμένης γωνίας γράφουμε αυτή σαν άθροισμα ή διαφορά γωνιών ή πολ/σίων τους,άλλων γωνιών με γνωστούς τριγωνομετρικούς αριθμούς. Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το συν5 Λύση: συν5 =συν(45 - )=συν45 συν +ημ45 ημ = ( ) = 4 Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το ημ75 Λύση: ημ75 =ημ(45 + )=ημ45 συν +συν45 ημ = ( ) = 4 Παράδειγμα. Να υπολογιστεί η εφ5 Λύση: εφ5 =εφ(45-45 )= 45 ( ( )( )( 6 = 6 Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί το ημ65 Λύση: ημ65 =ημ( +45 )=ημ συν45 +ημ45 συν =ημ(9 + )συν45 +ημ45 συν(9 + )=συν συν45 -ημ45 ημ = 6 4 ) ) - 4 -

43 Σχόλιο: Για να αποδείξουμε μια τριγωνομετρική ταυτότητα συνήθως ακολουθούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους. Από το ένα μέλος,συνήθως το πιο πολύπλοκο και με τη βοήθεια κατάλληλων τύπων και πράξεων προσπαθούμε να καταλήξουμε στο άλλο. Μετασχηματίζουμε την ταυτότητα μέχρι να καταλήξουμε σε ισοδύναμη ταυτότητα που να είναι φανερό ότι αληθεύει. Παίρνουμε κάθε μέλος ξεχωριστά και με τη βοήθεια κατάλληλων τύπων και πράξεων προσπαθούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Παράδειγμα 5. Να αποδείξετε ότι: 4 4 Απόδειξη: συνασυν -ημαημ + συνασυν +ημαημ = συνασυν 4 =συνα = συνα Παράδειγμα 6. ( ) Να αποδείξετε ότι: Απόδειξη: ( ) =εφα-εφβ. Παράδειγμα 7. Να αποδείξετε ότι: 4 Απόδειξη: Σχόλιο: Αν δίνεται ισότητα γωνιών και θέλουμε να δείξουμε ισότητα τριγωνομετρικών αριθμών αυτών των γωνιών χρησιμοποιούμε τη συνεπαγωγή: Αν α=β τότε : Προσοχή: Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει - 4 -

44 Παράδειγμα 8. Αν α+β=5 να αποδείξετε ότι: Απόδειξη: α+β=5 σφ(α+β)=σφ5 σφασφβ-=σφα+σφβ σφασφβ=+σφα+σφβ+σφασφβ σφασφβ=(+σφα)(+σφβ) ( )( ) Προσθέτω σφασφβ Σχόλιο: Όταν αναφερόμαστε σε τρίγωνο ΑΒΓ χρησιμοποιούμε την ισότητα Α+Β+Γ=π από όπου προκύπτουν: ημ(α+β)=ημ(π-γ)=ημγ συν(α+β)=συν(π-γ)=-συνγ A B ημ συν Παράδειγμα 9. Να αποδείξετε ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφα+εφβ+εφγ=εφαεφβεφγ Απόδειξη: Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο,ορίζονται οι εφα,εφβ,εφγ. Επειδή επιπλέον Α+Β=π-Γ, ορίζεταιη εφ(α+β) και έτσι έχουμε: εφ(α+β)=εφ(π-γ) εφα+εφβ=-εφγ+εφαεφβεφγ εφα+εφβ+εφγ=εφαεφβεφγ εφα+εφβ=-εφγ(-εφαεφβ) κ.λ.π. Παράδειγμα. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:. Να αποδείξετε ότι είναι ισοσκελές. Απόδειξη: ημ(α+γ)=ημασυνγ ημασυνγ+συναημγ- ημασυνγ= ημγσυνα-ημασυνγ= ημ(γ-α)= Γ-Α=κπ,κ Z Οπότε:: -π<γ-α<π -π<κπ<π -<κ< κ= γιατί κ Z. Άρα Α=Γ (ισοσκελές)

45 6 η Ενότητα Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς Κ α τ α ν ό η σ η ς Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Ισχύει: ημ(α+β)=ημα+ημβ. Ισχύει: ( ) =. Ισχύει: ( ) = 4. Ισχύει: ημασυνβ-συναημβ= ημ(α-β) 5. Ισχύει: συν(α+β)=συνασυνβ+ημαημβ 6. Ισχύει: ( ) = 7. Ισχύει: ημ ημ7 -συν συν7 = Ισχύει: Ισχύει: ημσυν+συνημ=ημ. Ισχύει: Β. Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της στη στήλη Β με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι περιορισμοί για τις γωνίες όπου χρειάζεται. Στήλη Α Στήλη Β.συν(α+β).σφ(α-β) α. ημ(α+β) β. εφ(α-β).ημασυνβ+συναημβ γ. 4. δ. συνασυνβ-ημαημβ 5.εφ(α+β) ε.ημασυνβ-ημβσυνα 6. ημ(α-β) στ

46 Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Η παράσταση Α=συν68 συν78 +συν συν -συν είναι ίση με Α. Β. Γ. Δ. -συν 7. Η παράσταση 6 6 είναι ίση με: Α. Β. Γ. Δ. -. Η παράσταση ημ5 είναι ίση με: 6 6 Α. Β. 4 Γ. 6 4 Δ. 4. Η παράσταση συν(45 -α)συν(45 -β)-ημ(45 -α)ημ(45 -β) είναι ίση με: Α.ημ(α-β) Β. συν(α-β) Γ. ημ(α+β) Δ. ημ(β-α) 5. Η παράσταση Α=συνασυνα-ημαημα είναι ίση με: Α.συνα Β. συν4α Γ. ημ4α Δ. ημα Δ. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο πρόσημο, ώστε οι παρακάτω ισότητες να αληθεύουν για κάθε α, β:. συνασυνβ+ημαημβ= συν(α.β). συνασυνβ.ημαημβ= συν(α-β). ημαημβ συνασυνβ=συν[π-(α+β)] 4. ημασυνβ...ημβσυνα=ημ(α+β) 5. ημασυνβ.συναημβ=συν εφ(α+β)= σφ(α-β)= ημ(α-β)=ημα -..ημβ

47 6 η Ενότητα Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς. Να αποδείξετε ότι: α. συν β. ημ5 +συν5 =συν45. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι: 4. Αν α,β είναι οξείες γωνίες τέτοιες ώστε εφα= και εφβ= να δείξετε ότι: α+β= 4 5. Να αποδείξετε ότι: α. ημ(α-β)συνβ+ημβσυν(α-β)=ημα β. συν(6 -α)συν(6 +α)+συν(54 +α)συν(54 -α)=συνα 6. Να αποδείξετε ότι: 7. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) 8. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ). 9. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( )

48 ( ) (45 ). Να αποδείξετε ότι: (45 ). Να αποδείξετε ότι: συνα-ημ α-συν αημα=συν(α+ ).. Αν συν(α-β)= να αποδείξετε ότι ημ(α-β)=ημα.. Αν ισχύει α+β=4π- 4 να αποδείξετε ότι: +εφα+εφβ=εφαεφβ 4. Αν Α,Β,Γ γωνίες τριγώνου να αποδείξετε ότι: 5. Αν ημ-ημy=α και συν+συνy=β να υπολογίσετε το συν(+y) και να δείξετε ότι α +β 4 6. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α=ημ -ημ (+α)+ημαημ(+α)συν είναι ανεξάρτητη του 7. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημ(α-β)=-συναημβ να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο 8. Να αποδείξετε ότι: (45 (6 ) ) 9. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι A 45 να αποδείξετε ότι: (+σφβ)(+σφγ)=. Αν α-β= 6 να αποδείξετε ότι: (σφβ+ )(σφα- )=-4. Να αποδείξετε ότι: εφ7 +εφ +εφ6 =εφ εφ5 εφ7. Αν <α,β<π/ να αποδείξετε ότι: ημ(α+β)< ημα+ημβ 7. Αν εφ= να αποδείξετε ότι: 87συν+7ημ=

49 6 η Ενότητα Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α Α. Αν συν(α+β), συνα, συνβ να αποδείξετε ότι: ( ) = Β. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : α. Α=ημ συν5 +ημ5 συν 4 5 β. Β= 4 5 ΘΕΜΑ Β Α. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) Β. Να αποδείξετε ότι: ημ(- ) +ημ(+ ) = 4 4 ημ ΘΕΜΑ Γ Α. Να υπολογιστούν το ημ(α-β) και το συν(α+β) αν είναι: ημα= 5 και συνβ=- 5, <α< και <β<π Β. Να λυθεί η εξίσωση ημ=συν(+ 6 )

50 7 η Ενότητα Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Τύποι που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α με αυτούς της γωνίας α α α ημα=ημασυνα εφα= συνα=συν α-ημ α=συν α- =-ημ α σφα= Τύποι αποτετραγωνισμού Ημίτονο και Συνημίτονο της γωνίας α με βάση την εφα Ημίτονο και Συνημίτονο της γωνίας α Τύποι που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α με αυτούς της γωνίας α/ α α/ ημ α= εφ α= ημα= ημα=ημα-4ημ α ημα=ημ συν εφα= συν α= σφ α= συνα= συνα=4συν α-συνα συνα= - = -=- σφα= Να αποδείξετε ότι: ημα=ημασυνα Απόδειξη: ημα=ημ(α+α)=ημασυνα+ημασυνα=ημασυνα

51 Να αποδείξετε ότι: συνα=συν α-ημ α=συν α-=-ημ α Απόδειξη: συνα=συν(α+α)=συνασυνα-ημαημα=συν α-ημ α = ( ( ) ) Να αποδείξετε ότι: εφα= Απόδειξη: εφα=εφ(α+α)= = Να αποδείξετε ότι: συν α= Απόδειξη: συνα=συν α- συν α=+συνα συν α= Να αποδείξετε ότι: ημ α= Απόδειξη: συνα=-ημ α ημ α=-συνα ημ α= Να αποδείξετε ότι: εφ α= Απόδειξη: Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα ισχύει: ημα= Απόδειξη: ημα=ημασυνα= - 5 -

52 Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα ισχύει: συνα= Απόδειξη: συνα=συν α-ημ α= Να αποδείξετε ότι: ημα=ημα-4ημ α Απόδειξη: ημα=ημ(α +α)=ημασυνα+συναημα=ημασυν α+(-ημ α)ημα = ημα(-ημ α)+(-ημ α)ημα=ημα-ημ α+ημα-ημ α = ημα-4ημ α Να αποδείξετε ότι: συνα=4συν α-συνα Απόδειξη: συνα=συν(α +α)=συνασυνα-ημαημα=(συν α-)συνα-ημ ασυνα = (συν α-)συνα-(-συν α)συνα=συν α-συνα-συνα+συν α = 4συν α-συνα. Να αποδείξετε ότι: ημα=ημ συν Απόδειξη: Γνωρίζουμε ότι: ημα=ημασυνα Αντικαθιστούμε τα α με το και έχουμε: ημα=ημ συν Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύονται και οι τύποι συνα= - = -=- εφα= σφα= - 5 -

53 7 η Ενότητα Λ υ μ έ ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α Παράδειγμα. Να αποδείξετε ότι: Λύση: Παράδειγμα. Να αποδείξετε ότι: Λύση: Παράδειγμα. Να αποδείξετε ότι: 4 Λύση: 4 Παράδειγμα 4. Να λυθεί η εξίσωση: -ημ =συν Λύση: -ημ =συν -ημ =+συν -(-συν )=+συν συν -συν= συν(συν-)= συν= ή συν= = ή =κπ, κ Παράδειγμα 5. Να υπολογίσετε το ημ,5 Λύση: ημ,5 45 = 4 άρα ημ,5 = - 5 -

54 7 η Ενότητα Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς Κ α τ α ν ό η σ η ς Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Ισχύει: συνα=ημ α-συν α. Ισχύει: συνα=ημασυνα. Ισχύει: ημα= 4. Ισχύει: συνα= - 5. Ισχύει: εφ α= 6. Ισχύει: ημα=4ημ α-ημα 7. Ισχύει: συνα=-συν α 8. Ισχύει: συνα= - 9. Ισχύει: συν α=. Ισχύει: ημασυνα=ημ α Β. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το ίσο του στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β. Α. ημασυνα Β. εφα. Γ. συν α. συνα Δ. συν α-ημ 4. α Ε. εφ α 5. ημα Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Το ημ6α είναι ίσο με : Α. ημ4ασυνα Β. ημασυνα Γ. -συν α Δ. ημ α-. Η παράσταση συν 4α-ημ 4α είναι ίση με: Α.ημα Β. -ημ α Γ. συν α- Δ. συν8α. Η παράσταση ημ75 ημ5 είναι ίση με : Α. Β. Γ. Δ

55 7 η Ενότητα Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α. β. γ Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α.α= Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α.α=συν α-συνα 4. Να αποδείξετε ότι: α. β. Β=συν α- 4 β. Β=ημ ασυνα+συν αημα β. εφ(45 -α)= 5. Να αποδείξετε ότι: α. συν 4 α-ημ 4 α=συνα β Να αποδείξετε ότι: α. συν 4 α+ημ 4 α-6συν αημ α=συν4α β. 7. Να αποδείξετε ότι: α. ημα= β. 8. Να αποδείξετε ότι: α. β. 9. Να αποδείξετε ότι: α. β

56 . Να αποδείξετε ότι: α. συν -συν 7 =συν4 β. 4ημ8 συν6 =. Να αποδείξετε ότι: α. εφ5 +εφ75 =4 β. ημ συν συν4 = 8.Να αποδείξετε ότι: α. συνα= β.,α, κ α. Να αποδείξετε ότι:συν4=8συν 4-8συν + β. Να λύσετε την εξίσωση: 6συν 4-6συν +=. 4. Να αποδείξετε ότι: 4 5. Να αποδείξετε ότι: Να αποδείξετε ότι: 7. Να αποδείξετε ότι: α.-εφ = 4 β α. Να αποδείξετε ότι ισχύει: β. Να υπολογίσετε το ημ5 9. Να λυθούν οι εξισώσεις α. συν-ημ-= β. -συν =4. Να λυθεί η εξίσωση: συν ημ-ημ συν=

57 7 η Ενότητα Κριτήριο Αξιολόγησης ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι: συνα=συν α-ημ α=συν α-=-ημ α B. Να αποδείξετε ότι: ημ α= ΘΕΜΑ Β Α. Αν συν +5συν-= και ημ> να υπολογιστούν το ημ,συν, εφ 4 Β. Αν π<α< και ημα=- να υπολογιστεί η παράσταση Α=συνα-ημα 5 ΘΕΜΑ Γ Να αποδείξετε ότι: Α. -ημα= 45 Β. Α. Να αποδείξετε ότι: συνα+ ΘΕΜΑ Δ Β. Να λύσετε την εξίσωση: συν

58 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι: συνα=συν α- Μονάδες Β. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το ίσο του στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β. ημ7 α. ημ4 ημ +συν4 συν.συν β. ημ4 συν -ημ συν4.συν7 γ. ημ συν4 +ημ4 συν 4. ημ δ. συν4 συν -ημ4 ημ ε. ημ συν4 -ημ4 συν. Μονάδες Θέμα Β 5 Α. Αν f()= συν να βρεθεί : i. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f Μονάδες 5 ii. Να βρεθεί η περίοδος της f Μονάδες 5 Β. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: i. ημ=- ii. συν= iii. εφ= Μονάδες 5 Θέμα Γ Α. Αν =συν α-ημ α και y=ημασυνα,να δείξετε ότι +y = Μονάδες Β. Να δείξετε ότι: Μονάδες 5 Θέμα Δ Α. Να δείξετε ότι : 4ημ8 συν6 = Μονάδες Β. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι =5 να δείξετε ότι: (+εφα)(+εφβ)= Μονάδες

59 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι: συνα=-ημ α Μονάδες Β. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το ίσο του στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β i) ημ5ασυνα+ημασυν5α α) συν4α ii) ημασυνα-ημασυνα β) -συνα iii) συνασυνα-ημαημα γ). ημ6α iv) ημαημα-συνασυνα δ). -ημα ε). συνα Μονάδες 8 Γ. Αν για τη γωνία Β τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: τότε: α. Β=45 β. Β=9 γ. Β=6 δ. Β>9 Μονάδες 5 Θέμα Β Α. Αν f()= i. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f Μονάδες 5 ii. Να βρεθεί η περίοδος της f Μονάδες 5 Β. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: i. ημ=- ii. συν= iii. σφ= Μονάδες 5 Θέμα Γ Α. Να δείξετε ότι (ημ-συν) +ημ4= Μονάδες Β. Να δείξετε ότι: Μονάδες 5 Θέμα Δ Α. Να δείξετε ότι : ημ95 ημ75 =- 4 Μονάδες Β. Αν α+β=5 να δείξετε ότι: (+σφα)(+σφβ)=σφασφβ Μονάδες

60 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θέμα Α Α. εφα εφβ Να αποδείξετε ότι: εφ(α β) εφαεφβ Μονάδες 7π π εφ εφ Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= 6 6 7π π εφ εφ 6 6 Μονάδες 8 Γ. Αν για τις γωνίες Α, Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: Α Γ συν ημ τότε είναι: i.α>γ ii. Α<Γ iii. Α=Γ iv. Γ=Α v. κανένα από αυτά Μονάδες 5 Θέμα Β Α. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: i. ημ+= ii. συν+ = Μονάδες B. Να δείξετε ότι: συν 4 ο συν 5 ο =ημ ο Μονάδες Θέμα Γ Έστω η συνάρτηση: f()=ημα με περίοδο το π. i. Να βρείτε το α Μονάδες 7 ii. Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f Μονάδες 8 iii. Για τη τιμή του α του ερωτήματος i) να λύσετε την εξίσωση f( ) Μονάδες Θέμα Δ Α. Να δείξετε ότι : Β. να δείξετε ότι: 4 4 Μονάδες Μονάδες

61 4 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι: ημ(α+β)=ημασυνβ+ημβσυνα Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) η Λάθος (Λ) α. Η συνάρτηση f()=ρ ημω όπου ρ,ω> έχει περίοδο Τ= β. Ισχύει: ημ=ημθ =κπ θ Σ Λ γ. Ισχύει: ( ) Σ Λ δ. Ισχύει: συνα=ημ α-συν α Σ Λ ε. Ισχύει: Σ Λ Μονάδες 5= Θέμα Β Α. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: i. ημ= Μονάδες 8 ii. ημ-συν= Μονάδες 8 B. Να δείξετε ότι: ( ) ( ) Μονάδες 9 Θέμα Γ A A. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει -συνα= να αποδείξετε ότι A 6 Σ Λ Μονάδες Β. Αν +y=45 και εφ= να βρεθεί η εφy Μονάδες 5 Θέμα Δ Α. Να δείξετε ότι : ) 4 Μονάδες Β. Αν ημα=ημ β να δείξετε ότι: 4(συνα-συνβ)=-συν4β Μονάδες - 6 -

62 Υποδείξεις Απαντήσεις Των Ασκήσεων Για Λύση - 6 -

63 Κεφάλαιο η - η - η Ενότητα Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Ερωτήσεις Κατανόησης Α Λ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Β.. α v. v..iv. 4.iii. 5.iv. β iii γv Γ. α, β6, γ, δ4, ε7,στ Δ. Α, Β, Γ4, Δ, Ε6 ΣΤ5 Προτεινόμενες Ασκήσεις. ΑΓ=, ΑΗ=, ΑΒ=. ΒΓ=7,5, ΑΓ=,5, ΑΔ=8. h= Km 4. Α=- 5. Από ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ: Από ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ : Τότε: (). Από τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΖΓ είναι: ΒΕ=ΑΒ ημα και ΓΖ=ΑΓημΑ Άρα ΒΕ+ΓΖ=(ΑΒ +ΑΓ)ημΑ ή ΑΔ=(ΑΒ+ΑΓ)ημΑ ή (). Από (),()... α). min, ma 5 β). min-7,ma γ). min,ma 8. Δ>. S=-, P=.. α). Θέτω συνω=, Δ>, β). ημω=- 5 4,εφω= 4, σφω= 4 9. Α+Β+Γ=Π... Παρατηρήστε ημ4 =συν5 ημ =συν7 κ.λ.π.. συν α=-ημ α...(συνθ-) 5. Α=εφ ω Β=εφω.. Κριτήριο αξιολόγησης: Θ. Α. α, β 4, γ, δ6, ε7 στ 5 Β. 4 Λ Σ Λ Λ Θ. Α. συνω=- 5 4, εφω=- 4,σφω=- 4 Κριτήριο αξιολόγησης: Θ. Α. iv, iv B.. α). συνω β). σφω γ). συνθ δ). ημθ. α). β) - γ). δ).- Θ. Παρατηρήστε εφ4 =εφ(6 +6 )= εφ6,ημ5 ==ημ(6 +5 )=ημ5 =ημ κ.λ.π 7. Β= 8. Πρέπει ημφ= και συνω= Άρα φ=π/, ω= 9. Είναι συν

64 4 η Ενότητα Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Α. 4 5 Σ Σ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ α.σ β. Λ Β. δ, γ, α, 4β Γ.. i). Γνησίως αύξουσα, Γνησίως φθίνουσα Γνησίως φθίνουσα, Γνησίως αύξουσα ii). Γνησίως φθίνουσα, Γνησίως φθίνουσα Γνησίως αύξουσα, Γνησίως αύξουσα. Γνησίως αύξουσα. Γνησίως φθίνουσα Δ. α ii, β iv, γi, δ iii Προτεινόμενες Ασκήσεις:. α). ημ β). συν γ). -ημ4. Ελάχιστο της f: -, Μέγιστο της f : Τ= π Ελάχιστο της g: - 5, Μέγιστο της g : 5, Τ=6π. α). f()=, β). g()= συν-, Τ=π. Μετατόπιση της συν κατά μονάδα προς τα κάτω. 4. Η C f αποτελείται από τα τμήματα της συν πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά ως προς τον της συν που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 5. α). α= β= β). g, g ( ) ( ) άρα.. 6. α=, β=5, γ= Κριτήριο αξιολόγησης: Θ. 4 5 Λ Σ Σ Λ Λ Θ.. Ημιτονοειδής,κέντρο,Ο(,),περιττή.. Αύξουσα, Τ=π, ασύμπτωτες, Ο(,),περιττή Θ. i). α=β= ii) Έχει περίοδο Τ=π, Μεγιστο Ελάχιστο. 5 η Ενότητα Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Α Σ Λ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Β. γ,ε,α,4στ,5δ,6β Γ. β). α). Προτεινόμενες Ασκήσεις. α). =κπ+ ή =κπ+, κ 5 β). =κπ- ή =κπ+, κ 4 4 γ). =κπ+, κ δ). =κπ, κ 4. α). = ή = 9, κ β). =-κπ- ή =κπ-, κ 6 γ). = ή =-κπ+, κ 8 5 δ). =, κ 8

65 . α). =κπ+ ή ή 4 = ή, κ β). =κπ ή, κ 7 γ). =κπ ή = ή 6 6 δ). =κπ ή =κπ+ ή ή =, κ 5 4. α). =κπ+ ή ή =κπ+, κ 6 β). = ή ή =κπ+ ή, κ 4 4 γ). =κπ, κ δ). =κπ ή, κ 5 5. α). = β). = γ). = δ). =, = 4 6. α). συν(συν)= συν=κπ όμως - κ= άρα = 5 β). = ή κ γ). = ή( ), κ 4 4 δ). = ή, κ 5 7. α). =κπ+ ή ή =κπ+, κ 4 β). = ή = ή 4 5 =, κ 7 γ). =κπ- ή, κ δ). =κπ ή = ή, κ. Κριτήριο αξιολόγησης: Θ. Α, Β 4, Γ, Δ 7 Θ. α). ή, β)., 6 γ)., Θ. α). Α=IR 4 9 β). ή 4, η Ενότητα Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Ερωτήσεις Κατανόησης Α Λ Λ Λ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Β. δ, στ, α, 4β, 5γ, 6ε Γ. Α, Γ, Β,4 Γ, 5 Β. Προτεινόμενες Ασκήσεις. β). Παρατηρήστε ημ5 =ημ(6 +45 ) 5. β) Είναι: συν(6 -α)=συν[9 -(54 +α)]= ημ(54 +α) και συν(54 -α)=συν[9 -(6 +α)]=ημ(6+α) κ.λ.π.. μέλος: ( ) μέλος: ( ). συν(α-β)= α-β=κπ+, κ β= α-κπ-. Άρα: ημ(α-β)=

66 A B 4. Είναι.. 5. συν(+y)= 6. A=ημ α Γ. Β, Δ, Γ. Προτεινόμενες Ασκήσεις. i). ii). iii) ημ(Α+Β)==ημ9 τότε A B 9 Άρα 9 9. Είναι B 5.. Παρατηρήστε =6 Τότε 7 + =6-6.. και ημα> και ημβ> Τότε συναημβ<ημβ και συνβημα<ημα Άρα συναημβ+συνβημα<ημβ+ημα δηλ. ημ(α+β)<ημα+ημβ. Είναι 7=87εφ Άρα 87συν+7ημ 87συν+87εφημ= 87(συν+εφημ)= 87 ( ) 87. Κριτήριο αξιολόγησης: Θ. Α. Θεωρία Β. α). Α= β). Β= 6 Θ. Α. ημ(α-β)= συν(α+β)=- 65 Β. =-κπ+, κ. 6 7 η Ενότητα Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας α Ερωτήσεις Κατανόησης. Α Λ Λ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Λ Λ. i).a=συνα ii). B=συνα. i).α=ημ α ii). Β=. i).είναι συν7 =συν(9 - )=ημ. ii) Είναι:4ημ8 συν6 = = i). εφ5 +σφ75 =εφ5 +σφ5 = ii).ημ συν συν4 = 4 8 ημ ημ 4 8. ii). Εφαρμόζουμε τη σχέση i). 6 για =,,,..., 5. β). =κπ, =κπ,=κπ 6 6 =κπ, κ. 7. β). Εφαρμόζουμε τη σχέση α). 8. β). ημ5 = ( ) 7 9. i). =κπ ή =κπ- ή, 6 6 κ. ii). =κπ, κ.. =, κ. 8 Β. Α5, Β4, Γ, Δ, Ε

67 Κριτήριο αξιολόγησης: Θ. Θεωρία 4 Θ. Α. ημ= 9 7 4,συν=-,εφ=- 9 7 Β. Α=- 5 Θ4. Β. =4κπ 4 ή 4, κ. Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θ. Α. Θεωρία Β. γ, α, δ, 4β Θ. Α. i). f ma = 5,fmin = - 5, ii). Τ=π 7 Β. i) = ή, κ 6 6 ii). =κπ, κ 4 iii). =κπ+, κ Θ4.Α. 4ημ8 συν6 = Β. Είναι 45 εφ(α+β)=.. Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θ. Α. Θεωρία Β. iγ, ii δ, iii α, iv β. Γ. β Θ. Α. i). f ma =,fmin = -, ii). Τ= π -ημ5 συν5 =- ημ = - 4 Β. σφ(α+β)=σφ(8 +45 )= σφ45 = Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θ. Α. Θεωρία Β. Α= Γ. iv). Θ. 7 Α. i). ή, ii)., 4 Θ. i).α= ii).f ma =, f min =- iii)., 4 4 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Θ. Α. Θεωρία B. α β γ δ ε Σ Λ Σ Λ Σ Θ. 6 6 Α. i). ή 9, 9 ii). ή, 6 Θ. Β. εφy= - Θ4. Β. μέλος:.ημ β μέλος:-συν4β=-συν. β= -(-ημ β)=ημ β 5 Β. i). ή, 4 4 ii)., iii)., 6 Θ4. Α. ημ95 ημ75 = ημ(8 +5 )+ημ(9-5 )=

68 Βιβλιογραφία. Άλγεβρα Α Λυκείου - Θανάσης Ξένος Εκδόσεις ΖΗΤΗ. Άλγεβρα Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου-α τόμος-γιάννης Βιδάλης,Βασίλης Γκιμίσης- Εκδόσεις Πατάκη. Άλγεβρα Β Ενιαίου Λυκείου-Α τόμος-αθ. Σκύφας, Νικ. Αντωνόπουλος, Χρ. Καγιάς, Παν. Γιαννάκος Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα. 4. Άλγεβρα Β Λυκείου-Α τεύχος-θ. Τζουβάρας, Κ. Τζιρώνης-Εκδόσεις Σαββάλας. 5. Άλγεβρα Β Λυκείου- Α τεύχος-αν. Μπάρλας,Δ. Μανεσιώτης, Π. Κυριαζής- Ελληνοεκδοτική. 6. Άλγεβρα Β Λυκείου- α τεύχος-ν. Λαμπρόπουλος-Εκδόσεις ΖΗΤΗ 7. Άλγεβρα Β Λυκείου-Β Έκδοση-Θ. Ξένος-Εκδόσεις ΖΗΤΗ 8. Άλγεβρα Β Λυκείου (Γενικής Παιδείας)- Βιβλιομαθήματα-Εκδοτικές τομές ΟΡΟΣΗΜΟ 9. Άλγεβρα Β Λυκείου-Κ. Γκατζούλης, Κ. Στράνης-Εκδόσεις Γκατζούλη. Ευκλείδης Β. Διαδίκτυο Για απορίες σας, λάθη μου ή παραλείψεις perikentrokk@gmail.com

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Ευάγγελος Τόλης.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Ευάγγελος Τόλης. Άλγεβρα Β Λυκείου Ευάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ..ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.....ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.. 9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ..ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1 Α2 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

x 1 δίνει υπόλοιπο 24

x 1 δίνει υπόλοιπο 24 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνεται το πολυώνυμο P() 6 α β το οποίο έχει παράγοντα το και όταν διαιρείται με το δίνει υπόλοιπο i. Να δείξετε ότι: α και β 6 ii. Να λύσετε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ 9 /05/ 01 Προαγωγικές Εξετάσεις Β τάξης Εξεταζόμενο μάθημα : Άλγεβρα Σελίδες : (ΔΥΟ) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν 0, 1 και, 1 θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι log a 1 log 1 log (15 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 1 Ιανουαρίου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για κάθε γωνία ω, να αποδείξετε την ταυτότητα ημ ω συν ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

= συν. Μάθηµα 9. Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία. Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών. Εισαγωγή

= συν. Μάθηµα 9. Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία. Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών. Εισαγωγή Μάθηµα 9 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών Εισαγωγή Γνωρίζουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 30 0, όως και των 45 0 Είναι δυνατόν, µέσω αυτών,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1.06 Δίνεται ένα σύστημα (Σ) 2 γραμμικών

1.06 Δίνεται ένα σύστημα (Σ) 2 γραμμικών ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ λ y λ.0 Δίνεται τ σύστημα:, λy λ λ R. Να υλγίσετε τις τιμές τυ λ ώστε για τη λύση τυ συστήματς (,y) να ισχύει y 0.0 Δίνεται η συνάρτηση : αν 0 f() με λ R λ αν 0 Να βρεθύν ι τιμές τυ λ ώστε f(0)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας . Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 78 Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1ο ΣΧΕ ΙΟ Η γενικευµένη γωνία Το ηµίτονο και το συνηµίτονό της ιάρκεια: Ολιγόλεπτο Θέµατα: ΘΕΜΑ 1ο 8 µονάδες 1. Με βάση το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 6 6 A OΜΑ ΑΣ. Αν ηµ και π <

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Χωρίς να λάβουμε υπόψη το πρόσημο: Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά, 18, 6 μοίρες τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει: ημ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

στ) συν30 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εύκολα αντιστοιχίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα α) i, β) iii, γ) i, δ) v,ε) iii,στ) v

στ) συν30 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εύκολα αντιστοιχίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα α) i, β) iii, γ) i, δ) v,ε) iii,στ) v ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ 79. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών,5 και ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Σε κάθε αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα