(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

Transcript

1 Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου να θέτουμε σαν είσοδο την επιθυμητή μόνιμη κατάσταση, έστω. Εάν το σύστημα είναι ευσταθές, τότε ένα καλό μέτρο της ποιότητας του αυτομάτου ελέγχου είναι το πόσο απέχει η μόνιμη κατάσταση του συστήματος από την επιθυμητή είσοδο. Άρα, ένα μέτρο ποιότητας ενός ΣΑΕ είναι το εξής σφάλμα μόνιμης κατάστασης: (είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Στην περίπτωση μοναδιαίας ανάδρασης, δηλαδή όταν ο κλάδος ανάδρασης πραγματοποιεί μόνο ανατροφοδότηση της εξόδου στον αθροιστή-αφαιρέτη της εισόδου, το λάθος μόνιμης κατάστασης είναι ισοδύναμο με την διαφορά: (είσοδος) (πληροφορία κλάδου ανάδρασης) καθώς το τείνει στο : Συνεπώς ορίζουμε ως σφάλμα μόνιμης κατάστασης την ποσότητα Για τον προσδιορισμό αυτού του σφάλματος, που λέγεται και σφάλμα ισορροπίας, είναι χρήσιμο το κάτωθι θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (Τελικής Τιμής) Εάν είναι ο μετασχηματισμός Laplace μίας συνάρτησης, τότε ισχύει: με την προϋπόθεση ότι μόνο ένας απλός πόλος της μπορεί να υπάρχει στην αρχή των αξόνων, ενώ απαγορεύονται πόλοι στο δεξί ημιεπίπεδο ή πολλαπλοί πόλοι στην αρχή των αξόνων ή ακόμη και πόλοι πάνω στο φανταστικό άξονα. Εάν υπάρχει ένας απλός πόλος της στην αρχή των αξόνων απλοποιείται στο γινόμενο, διαφορετικά, αν οι πόλοι στην αρχή των αξόνων είναι πολλαπλοί, το απειρίζεται. Αν η έχει πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο ή ακόμη και πάνω στο φανταστικό άξονα, το σύστημα είναι

2 ασταθές, τουλάχιστον για συγκεκριμένη είσοδο στην περίπτωση μονού πόλου στο φανταστικό άξονα. Οπότε το απειρίζεται ή δεν υπάρχει. Απόδειξη Επειδή ισχύει, έχω: Επίσης ισχύει Εξισώνοντας τα παραπάνω, προκύπτει ΟΕΔ. Εφαρμογή του θεωρήματος τελικής τιμής στο σφάλμα μόνιμης κατάστασης Έστω το κάτωθι ευσταθές σύστημα αυτομάτου ελέγχου: + _ Τότε, Οπότε,

3 Στην περίπτωση που το είναι μόνο ένα κέρδος, τότε Και ειδικά για κέρδος Αλλά, όταν το αντισταθμισμένο σύστημα είναι ευσταθές, ισχύει: Προφανώς στις ειδικές περιπτώσεις όπου Παράδειγμα 1 Έστω. Τότε, Εάν η είναι συνεχής στο με πεπερασμένη τιμή ή απλά φραγμένη τότε, άρα, υπό τον όρον ότι. Δηλαδή, το σύστημα αυτομάτου ελέγχου οδηγεί στη μόνιμη κατάσταση την έξοδο στην επιθυμητή κατάσταση καθώς. Ο τύπος έχει νόημα για όπου το σύστημα είναι ευσταθές. (Προσοχή! Η βηματική συνάρτηση δεν έχει την ιδιότητα του φραγμένου στο πεδίο των, διότι ). Όμως, όταν το σύστημα μου είναι ευσταθές το με είσοδο τη βηματική απόκριση είναι επίσης ευσταθές, διότι προφανώς σημαίνει ότι το θεώρημα τελικής τιμής μπορεί πάλι να εφαρμοστεί. γεγονός που

4 Παράδειγμα 2 Έστω. Τότε, Παρατηρούμε ότι το σύστημα ανοιχτού βρόγχου είναι ευσταθές, διότι όλοι οι πόλοι (,, ) είναι στo αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Επιλέγουμε το με χρήση κάποιου κριτηρίου ευστάθειας ώστε και η συνάρτηση κλειστού βρόχου να είναι ευσταθής. Σε αυτήν την περίπτωση: Εάν η είναι συνεχής στο 0 με πεπερασμένη τιμή ή απλά φραγμένη τότε, άρα. Δηλαδή, το σύστημα αυτομάτου ελέγχου οδηγεί στη μόνιμη κατάσταση την έξοδο y(t) στην επιθυμητή κατάσταση καθώς. Προσοχή! Όταν η είσοδος r(t) είναι η βηματική συνάρτηση, δηλαδή r(t)=u(t), τότε και επομένως, Μόνο για και εφόσον για αυτήν τη τιμή του k το σύστημα είναι ευσταθές, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης είναι 0. Με απλή εφαρμογή του κριτηρίου Routh στον παρονομαστή του αντισταθμισμένου συστήματος, αφού σε αυτόν θέσουμε, προκύπτει ότι το σύστημα είναι όντως ευσταθές. Άρα, όλα τα προηγούμενα συνιστούν σημαντικά κριτήρια επιλογής του κέρδους k. Γενικά, στην περίπτωση που η διέγερση r(t) είναι βηματική συνάρτηση το σφάλμα θέσης. ονομάζεται Το σφάλμα αυτό είναι: Στην περίπτωση που η διέγερση είναι μία συνάρτηση αναρρίχησης το ονομάζεται σφάλμα ταχύτητας, αφού χρειάζεται να παραγωγίσουμε την είσοδο μία φορά για να εφαρμόσουμε το θεώρημα.

5 Στην περίπτωση που η διέγερση είναι μία παραβολική συνάρτηση, πχ, το ονομάζεται σφάλμα επιτάχυνσης, αφού χρειάζεται να παραγωγίσουμε την είσοδο δύο φορές για να εφαρμόσουμε το θεώρημα, κοκ. Προφανώς αν τα μηδενικά του συστήματος και, οι πόλοι του κλειστού συστήματος, όλα αυτά τα σφάλματα έχουν τη μορφή