Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας"

Transcript

1 Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της απόκρισης συχνότητας και αναλύεται η περιγραφή των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων (LiarTimIvariat LTI) συστημάτων μέσω της απόκρισης συχνότητας Παρουσιάζονται τα φίλτρα επιλογής συχνοτήτωνκαι τα φίλτρα γραμμικής φάσης Προαπαιτούμενη γνώση Σειρές, εξισώσεις διαφορών Κεφάλαιο, Κεφάλαιο,Κεφάλαιο 3 Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Ορισμός μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Ομετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DiscrtTimFourirTrasform DTFT) είναιένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ομετασχηματισμός(trasform) Fourirδιακριτούχρόνου X μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου x ( ), αν υπάρχει (η ύπαρξη του μετασχηματισμού αναλύεται στη επόμενη παράγραφο), είναι η αναπαράσταση της ακολουθίας συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών ακολουθιών της μορφής, όπου είναι η κυκλική συχνότητα Ο ευθύς(dirct) μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DiscrtTimFourirTrasform DTFT) μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: ( ) X x και, αν υπάρχει, είναι μοναδικός (uiqu) Οαντίστροφος(ivrs) μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (Ivrs Discrt Tim Fourir Trasform IDTFT) ορίζεται ως ακολούθως: x( ) X d () και, αν υπάρχει, είναι μοναδικός (uiqu) Ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου αποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: DTFT x( ) X Από την () και την () είναι φανερό ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι γραμμικός μετασχηματισμός, επειδή και η σειρά και το ολοκλήρωμα με βάση τα οποία ορίζεται ο μετασχηματισμός είναι τελεστές που πληρούν την ιδιότητα της γραμμικότητας Επίσης, είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι μιγαδική συνάρτηση: ( ) R I X X X X όπου - X RX είναι η πραγματική συνιστώσατου R () (3) 57

2 I X R I X R X - X Im X είναι η φανταστική συνιστώσατου - X X X είναι το μέτροτου Im X XI - ( ) arg X arcta arcta είναι η φάσητου R X X Για το μέτρο ισχύει: * R I X X X X X Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι περιοδικός με περίοδο π, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη σχέση: X X ( ) () Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hays,, McCllla, Schafr & Yodr, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης,, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3 Ύπαρξη μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Ο μετασχηματισμόςfourirδιακριτούχρόνου μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου των πλατών της ακολουθίας και διατυπώνεται ως ακολούθως: x( ) L 58 σχετίζεται με το μέτρο όπου L ένας θετικόςαριθμός Από την (5) συμπεραίνουμε ότι το άπειρο άθροισμα των πλατών της ακολουθίας δεν είναι άπειρο, αλλά είναι πεπερασμένο, που σημαίνει ότι η ακολουθία είναι «παρατηρήσιμη», αφού οι τιμές της δεν απειρίζονται Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( ) υπάρχει, επειδή 8 μπορούμε να γράψουμε: x( ) u( ) u( ) u( ) u( ) Αντίθετα, ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου του σήματος x( ) 8 u( ) δεν υπάρχει, επειδή x( ) 8 u( ) 8 u( ) 8 u( ) 8 u( ) Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Για να γίνει υπολογισμός του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου ενός σήματος, αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου, επαληθεύοντας την (5) και στην περίπτωση που υπάρχει, τότε υπολογίζεται ο τύπος του μετασχηματισμού χρησιμοποιώντας αθροίσματα Παράδειγμα x( ) a u( ), a Αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου x( ) a u( ) a u( ) a u( ) a u( ) a a a a επειδή a Επομένως ικανοποιείται η (5), άρα υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου του σήματος x ( ) (5)

3 Στη συνέχεια γίνεται ο υπολογισμός: X x( ) a u( ) a u( ) a u( ) a a a a a επειδή από a και από τις ιδιότητες του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού μπορούμε να γράψουμε: a a a cos( ) si( ) a cos ( ) si ( ) a a a Άρα X a Είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι μιγαδική συνάρτηση Για παράδειγμα, θέτοντας a στο προηγούμενο παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourir 5 διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( ) είναι X Στο Σχήμα φαίνεται η 5 5 πραγματική συνιστώσα, η φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου του σήματος 6 ral part imagiary part frqucy i pi uits frqucy i pi uits 6 magitud phas frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι περιοδικός με περίοδο π Για παράδειγμα, στο Σχήμα φαίνεται η πραγματική συνιστώσα, η φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του / μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( ), όπου είναι φανερή η 5 περιοδικότητα 59

4 8 5 ral part 6 imagiary part - - frqucy i pi uits frqucy i pi uits magitud phas frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα Περιοδικότητα μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Ζεύγη μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Στον Πίνακα παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί Fourirδιακριτού χρόνου (DTFT) Ακολουθία Μετασχηματισμός Fourir διακριτούχρόνου διακριτού χρόνου (DTFT) ( ) ( ) Πίνακας Ζεύγη μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) 5 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου 6 ( ) ( ) a u( ), a a a u( ), a a ( ) a u( ), a a si( ) [ ( ) ( )] cos( ) [ ( ) ( )]

5 Οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου είναι: 5 Γραμμικότητα DTFT Αν x ( ) X DTFT και x ( ) X, τότε DTFT ( ) ( ) c x c x c X c X για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Απόδειξη Αν y( ) c x ( ) c x ( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου στην () έχουμε: Y y( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) c x ( ) 5 Μετατόπιση στον χρόνο DTFT Αν x( ) X, τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου στην () έχουμε: Θέτοντας m, έχουμε: ( ( ) ) ( ) m m ( ) Y x x m x m X 53 Αναδίπλωση DTFT Αν x( ) X, τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου στην () έχουμε: Θέτοντας m, έχουμε: c X c X DTFT x( ) X Y y( ) x( ) m m DTFT x( ) X ( ) ( ) Y y x ( m) ( ) m ( ) ( ) ( ) Y x x m x m X m m (6) (7) (8) 5 Μετατόπιση στη συχνότητα DTFT Αν x( ) X, τότε x( ) X DTFT ( ) Απόδειξη (9) 6

6 Αν y( ) x( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου στην () έχουμε: Θέτοντας, έχουμε: ( ) Y x( ) x( ) X X ( ) Παράδειγμα /8 Δίνονται τα σήματα x( ) cos και y( ) x( ) με μετασχηματισμούς Fourir διακριτού χρόνου και Y Στο Σχήμα 3 φαίνεται το μέτρο και τη φάση των μετασχηματισμών Fourir διακριτού χρόνου X και Y 8 Είναι φανερό ότι ισχύει η ιδιότητα της μετατόπισης στη συχνότητα: Y X ( ) ( ) ( ) ( ) Y y x x x ( ) X 6 magitud phas frqucy i pi uits frqucy i pi uits 6 magitud phas frqucy i pi uits Σχήμα 3Μετατόπιση στη συχνότητα frqucy i pi uits 55 Συνέλιξη DTFT Αν x ( ) X DTFT και x ( ) X, τότε DTFT x ( ) x ( ) X X () Απόδειξη Αν y( ) x( ) x( ), τότεαπό τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου στην () έχουμε: 6

7 Y y( ) x ( ) x( ) x ( m) x( m) m Θέτοντας m k και αλλάζοντας τη σειρά των αθροισμάτων, έχουμε: Y x ( m) x( m) x ( m) x( m) m m ( mk ) m k x ( m) x ( k) x ( m) x( k) X X m k m k Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( ) cos x και x ( ) cos με μετασχηματισμούς Fourir διακριτού χρόνου και X X Η συνέλιξη των σημάτων x( ) x ( ) x ( ) έχει μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου Στο Σχήμα φαίνεται το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμών Fourir διακριτού χρόνου X X του γινομένου X X Είναι φανερό ότι ισχύει η ιδιότητα της συνέλιξης: X X X και magitud phas frqucy i pi uits frqucy i pi uits magitud phas frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα Συνέλιξη 56 Μιγαδική συζυγία DTFT Αν x( ) X, τότε * DTFT * x ( ) X () 63

8 Απόδειξη * Αν y( ) x ( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourirδιακριτού χρόνου στην () έχουμε: * Y y( ) x ( ) Παίρνοντας το συζυγές σήμα στην παραπάνω ισότητα μπορούμε να γράψουμε * * * ( ) Y x ( ) x ( ) x( ) x( ) X από όπου το συζυγές σήμα του δίνει: * * * Y X Y X δηλαδή * DTFT * x ( ) X * 57 Θεώρημα Parsval (αρχή διατήρησης της ενέργειας) DTFT Αν x( ) X, τότε x( ) X d () Απόδειξη Χρησιμοποιώντας την () και τους ορισμούς του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου ευθύ και αντίστροφο στην () και () μπορούμε να γράψουμε * * X d X X d x( ) X d * x X d ( ) * ( ) x ( ) x( ) X d x( ) X d x x ( ) Στον Πίνακα παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) Ιδιότητα Μετασχηματισμού Fourir Διακριτού Χρόνου (DTFT) Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Αναδίπλωση Ακολουθία Διακριτού χρόνου Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού Χρόνου (DTFT) x () X x () X x ( ) X ( ) ( ) c X c X x( ) X x( ) X c x c x 6

9 Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη Μιγαδική Συζυγία Θεώρημα Parsval (Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας) ( x( ) ) X X X x * ( ) X * x ( ) x ( ) x( ) X d Πίνακας Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) Μπορείτε να διερευνήσετε τον μετασχηματισμό Fourir(DTFT) διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 6 Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Αν και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (Ivrs Discrt Tim Fourir Trasform IDTFT) ορίζεται μέσω ολοκληρώματος στην (), ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου, στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού που παρουσιάζονται στον Πίνακα, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) που έχειμετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου: X 3 Έχουμε: X 3 3 Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων: A B X 3 3 Η ανάλυση σε απλά κλάσματα μπορεί να γίνει κάνοντας πράξεις: A B 3 3 A 3 B A B A B A B Επομένως, καταλήγουμε σε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους: AB A B 3 με λύση 65

10 A B 8 Άρα X Έτσι, ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου γράφεται: X 8 Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: 7 Συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Ο υπολογισμός της συνέλιξης μέσω μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού (βλέπε Πίνακα ) και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Η διαδικασία υπολογισμού της συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου μέσω μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου είναι η ακόλουθη: Δεδομένων δύο σημάτων x ( ) και x ( ), υπολογίζουμε τους μετασχηματισμούς Fourir διακριτού χρόνου και X (στην περίπτωση που υπάρχουν) Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γινόμενο X X X, αφού γνωρίζουμε ότι X είναι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου της συνέλιξης x( ) x( ) x( ) (ιδιότητα συνέλιξης του μετασχηματισμού) Στη συνέχεια, το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας πράξεις (όπως στην προηγούμενη παράγραφο) Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου της X, που είναι η ζητούμενη συνέλιξη Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( ) u( ) Να υπολογιστεί η συνέλιξη x( ) x( ) x( ) μέσω του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Αρχικά, χρησιμοποιώντας την (5), γίνεται έλεγχος της ύπαρξης των μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου: και X u( ) 8 u( ) 3 x ( ) u( ) 3 X 3 x ( ) u( ) u( ) x ( ) u( ) u( ) 3 Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον Πίνακα υπολογίζονται οι (ευθείς) μετασχηματισμοί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού: 66

11 X X Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας πράξεις: A B X Άρα 3 Μετά υπολογίζεται το γινόμενο X X X X που γράφεται: X 3 3 Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε τη ζητούμενη συνέλιξη, που είναι: x( ) u( ) 3 u( ) 3 Απόκριση συχνότητας Ορισμός της απόκρισης συχνότητας Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) και είσοδο x ( ) παράγει στην έξοδο την απόκριση: y( ) h( ) x( ) (3) όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο Ιδιοσυνάρτηση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου(lti)συστήματος είναι ένα σήμα x ( ), το οποίο αν τεθεί ως είσοδος στο σύστημα, παράγει έξοδο y( ) x( ), που είναι η είσοδος που έχει μεταβληθεί μόνο κατά πλάτος, δηλαδή η έξοδος είναι η είσοδος πολλαπλασιασμένη επί ένα συντελεστή, που ονομάζεται ιδιοτιμή Σήματα της μορφής x( ) είναι ιδιοσυναρτήσεις των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων(lti)συστημάτων Πράγματι, αν h ( ) είναι η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος, τότε η απόκριση είναι: ( k) k y( ) h( ) x( ) h( k) x( k) h( k) h( k) H x( ) k k k όπου ο συντελεστής ( ) H h k k δεν εξαρτάται από το k 67

12 Άρα η έξοδος y( ) x( ) είναι η είσοδος x ( ) πολλαπλασιασμένη επί τον συντελεστή και επομένως το σήμα x( ) είναι ιδιοσυνάρτηση του LTIσυστήματος Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου (DTFT), είναι τώρα φανερό ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) της κρουστικής απόκρισης h ( ) είναι η συνάρτηση H Συνδυάζοντας τη συνθήκη ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) στην (5) με την ικανή και αναγκαία συνθήκη της ευστάθειας του γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος στην (33) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση H πάντα υπάρχει Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) H της κρουστικής απόκρισης h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται απόκριση συχνότητας(frqucyrspos): ( ) H h () Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου, είναι προφανές ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) X της εισόδου x ( ) και ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) Y της εξόδου y( ) h( ) x( ) του LTI συστήματος συνδέονται με τη σχέση: Y H X όπως φαίνεται στο Σχήμα 5 (5) Σχήμα 5Απόκριση συχνότητας LTI συστήματος Έτσι, στα LTI συστήματα, η συνέλιξη στον χρόνο γίνεται πολλαπλασιασμός στη συχνότητα Είναι προφανές, από τον ορισμό στην (), ότι η απόκριση συχνότητας είναι μιγαδική συνάρτηση: ( ) R I H H H H όπου - H R H είναι η πραγματική συνιστώσατης απόκριση συχνότητας R I R I R - H Im H είναι η φανταστική συνιστώσατης απόκριση συχνότητας H - H H H είναι το μέτροτης απόκριση συχνότητας H 68 (6) Im H HI - ( ) arg H arcta arcta είναι η φάσητης απόκριση συχνότητας R H H H Για το μέτρο ισχύει * R I H H H H H Η απόκριση συχνότητας είναι συμμετρική * H H

13 R I H H H R H H I H άρτια συμμετρία περιττή συμμετρία άρτια συμμετρία ( ) ( ) περιττή συμμετρία Η απόκριση συχνότητας είναι περιοδική με θεμελιώδη περίοδο π H H ( ) (7) Αυτή η ιδιότητα της απόκρισης συχνότητας είναι εξαιρετικά σημαντική, γιατί αρκεί μία περίοδος της απόκρισης συχνότητας για να περιγράψει ένα LTIσύστημαΚαι μάλιστα αυτό γίνεται τόσο στην περίπτωση συστημάτων πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης, όσο και στην περίπτωση συστημάτων άπειρης κρουστικής απόκρισης Παράδειγμα Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) Τότε η απόκριση συχνότητας είναι: ( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) H h Παράδειγμα Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) ( ) Τότε η απόκριση συχνότητας είναι: Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Eulr, έχουμε H cos( ) si( ) από όπου είναι φανερό ότι - η πραγματική συνιστώσα είναι R H HR cos( ) - η φανταστική συνιστώσα είναι - το μέτρο είναι Im H HI si( ) - η φάση είναι ( ) arg H a ta arcta arcta R H H cos( ) Για τον υπολογισμό του μέτρου έχουμε Άρα το μέτρο είναι H h( ) ( ) ( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) I Im H H si( ) R I cos( ) si( ) R H H H * R I H H H H H cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) cos ( ) si ( ) 5 cos( ) R I H H H cos( ) si( ) 5 cos( ) 69

14 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω απόκρισης συχνότητας Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται με μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) b x( k) a y( k) (8) Στο κεφάλαιο 3 είδαμε ότι η κρουστική απόκριση h ( ) αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο του χρόνου Τώρα θα δούμε ότι η απόκριση συχνότητας αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) της κρουστικής απόκρισης h ( ) είναι η απόκριση συχνότητας H Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε Οπότε N M Y ak X bk k k Όμως, γνωρίζουμε ότι: Y H X οπότε Άρα M k k k N M N k k k k Y b X a Y k k M k N k k k k k Y X b Y a N k k M k k k k k Y Y a X b k k H H Y X Y X M b k k N k a k k k (9) Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης διαφορών αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνότητας Έτσι, η απόκριση συχνότητας αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) x( ) y( ) 3 y( ) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε 7

15 3 Y 3 X Y X X Y Y Άρα H Y X 3 Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) 3 x( ) x( ) 5 y( ) y( ) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας Από την εξίσωση διαφορών προκύπτει ότι πρόκειται για IIRφίλτρο με M και N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b, b 3, b, a 5, a Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η απόκριση συχνότητας είναι: 3 H 5 Παράδειγμα 3 Δίνεται η απόκριση συχνότητας 5 H Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει το LTIσύστημα Από την απόκριση συχνότητας προκύπτει ότι πρόκειται για IIRφίλτρο με M και N 3 και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b, b, b 5, a, a 3, a3 6 Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η εξίσωση διαφορών είναι: y( ) x( ) 5 x( ) y( ) 3 y( ) 6 y( 3) 3 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H w y συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο ( ) με DTFT X και έξοδο ( ) με DTFT W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος με DTFTW και έξοδο () με DTFT Y Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H H H () Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y H W W H X οπότε Y H W H H X H H X επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X 7 x, w ( )

16 Επομένως : H H H H H Σχήμα 6Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο ( ) με DTFT X και έξοδο ( ) με DTFT W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο ( ) με DTFT X και έξοδο v ( ) με DTFT V Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν την συνολική έξοδο y () με DTFT Y Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H H H () Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα παράλληλα, ισχύει: V H X οπότε w W H X επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως : H H H H H x x Y V W H X H X H H X Σχήμα 7Σύνδεση συστημάτων παράλληλα 7

17 Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων 5 Επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Η επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών y( ) x( ) x( ) y( ) 3 Να υπολογίσετε τηνκρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) Η απόκριση συχνότητας είναι H Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού, έχουμε: DTFT u ( ) 3 3 Από την ιδιότητα της μετατόπισης του μετασχηματισμού, έχουμε: DTFT u( ) 3 3 Επομένως, από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: h( ) u( ) u( ) Φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Ολοπερατάφίλτρα (AllPass) Iδανικόολοπερατόφίλτρο(All Pass)ονομάζεται το φίλτρο μετο μέτρο της απόκρισης συχνότητας σταθερό και ίσο με τη μονάδα, δηλαδή: H όπως φαίνεται στο Σχήμα 8 () 73

18 magitud H magitud X magitud Y frqucy i pi uits frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα 8AllPass φίλτρο Η απόκριση συχνότητας του ιδεατού ολοπερατού φίλτρου είναι: a H, a, a a οπότε για το μέτρο της μπορούμε να γράψουμε: * a a a a a H H H a a a a a Η κρουστική απόκριση του ιδεατού ολοπερατού φίλτρου είναι: ( ) ( ) h a a a u( ) () Απόδειξη a H a a a a Παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Fourirδιακριτού χρόνου, έχουμε: h( ) a u( ) a a u( ) Αλλά ( ) u( ) u( ) οπότε h( ) a u( ) a a u( ) a u( ) a a ( ) u( ) a a a a a u a a a u ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων ονομάζονται τα φίλτρα με κατά τμήματα σταθερό μέτρο της απόκρισης συχνότηταςκαι διακρίνονται σε τέσσερις κατηγορίες: 7

19 χαμηλοπερατάήβαθυπερατά φίλτρα (Low Pass) υψηπερατά φίλτρα (High Pass) ζωνοπερατά φίλτρα (Bad Pass) ζωνοφρακτικά φίλτρα ή φίλτρα απόρριψης ζώνης (Bad Stop) Χαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (Low Pass) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου είναι: H,,, (5) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 9 φαίνεται η λειτουργία του χαμηλοπερατού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η απόκριση συχνότητας H του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου με c, ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου () του φίλτρουστο Σχήμα 9 φαίνεται το μέτρο των, X και για, Y c c c y H magitud H magitud X magitud Y frqucy i pi uits frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα 9Low Pass φίλτρο Υψηπερατόφίλτρο (High Pass) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου είναι: H,,, c c c (6) Για παράδειγμα, στο Σχήμα φαίνεται η λειτουργία του υψηπερατού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η απόκριση συχνότητας H του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου με c, ο 75

20 μετασχηματισμόςfourirδιακριτού χρόνου X της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρουστο Σχήμα φαίνεται το H X μέτρο των, και για, Y magitud H magitud X magitud Y frqucy i pi uits frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα High Pass φίλτρο Ζωνοπερατόφίλτρο (Bad Pass) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου είναι: H,,,, (7) Για παράδειγμα, στο Σχήμα φαίνεται η λειτουργία του ζωνοπερατού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η 3 απόκριση συχνότητας H του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου με και, ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρουστο Σχήμα φαίνεται το H X Y μέτρο των, και για, 76

21 magitud H magitud X magitud Y frqucy i pi uits frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα Bad Pass φίλτρο Ζωνοφρακτικόφίλτροήφίλτροαπόρριψηςζώνης (Bad Stop) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου είναι: H,,,, (8) Για παράδειγμα, στο Σχήμα φαίνεται η λειτουργία του ζωνοφρακτικού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η 3 απόκριση συχνότητας H του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου με και, ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο μετασχηματισμόςfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρουστο Σχήμα φαίνεται το H X μέτρο των, και για, Y 77

22 magitud H magitud X magitud Y frqucy i pi uits frqucy i pi uits frqucy i pi uits Σχήμα Bad Stop φίλτρο 7 Φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Ένα φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας (otchfiltr) αποκόπτει μία συγκεκριμένη συχνότηταθεωρούμε ότι η συχνότητα, που πρέπει να απορριφθεί, είναι μία συγκεκριμένη συχνότητα c Η τεχνική σχεδίασης FIRφίλτρουαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας είναι η επιλογή FIRφίλτρου τάξης M με απόκριση συχνότητας της μορφής: H b b b Η απόκριση συχνότητας θέλουμε να γίνεται μηδέν στη συχνότητα, οπότε επιλέγονται οι συντελεστές του c φίλτρου, έτσι ώστεη απόκριση συχνότητας να γίνεται ίση με μηδέν στα συζυγή σημεία και c Τότε c c c c H B B Επομένως, H B cos( ) c (9) Για παράδειγμα, αν πρέπει να απορριφθεί η συγκεκριμένη συχνότητα c, επιλέγοντας B, σχεδιάζεται το FIRφίλτροαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας με απόκριση συχνότητας H Στο Σχήμα 3 φαίνεται το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του FIRφίλτρουαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Παρατηρούμε ότι πράγματι το φίλτρο αποκόπτει τη συχνότητα c, αλλά ταυτόχρονα αποδυναμώνονται και οι συχνότητες στην περιοχή της συχνότητας c c 78

23 H magitud frqucy i pi uits Σχήμα 3FIR φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Η τεχνική σχεδίασης IIRφίλτρουαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας είναι η επιλογή IIRφίλτρου τάξης ( NM, ) (,) με απόκριση συχνότητας της μορφής b b b H a a Οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται, έτσι ώστεο αριθμητής να μηδενίζεται στα συζυγή σημεία c c και c και ο παρονομαστής να μηδενίζεται στα συζυγή σημεία c c και c, όπου c Τότε H Επομένως, H B cos( c ) B c cos( ) c B cos( ) c c cos( ) c c c (3) Για παράδειγμα, αν πρέπει να απορριφθεί η συγκεκριμένη συχνότητα c, επιλέγοντας B και c 98, σχεδιάζεται το IIRφίλτροαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας με απόκριση συχνότητας H

24 Στο Σχήμα φαίνεται το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του IIR φίλτρου αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Παρατηρούμε ότι πράγματι το φίλτρο αποκόπτει τη συχνότητα c και ελαττώνεται το εύρος των συχνοτήτων στην περιοχή της συχνότητας c που επηρεάζονται Μάλιστα, όσο η παράμετρος c πλησιάζει την τιμή, τόσο περισσότερο ελαττώνεται μικραίνει το εύρος των συχνοτήτων στην περιοχή της συχνότητας c, που επηρεάζονται H magitud frqucy i pi uits Σχήμα IIR φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας 8 Φίλτρα γραμμικής φάσης Τα φίλτρα γραμμικής φάσης είναι αυτά που έχουν γραμμική φάση Τα φίλτρα γραμμικής φάσης έχουν απόκριση συχνότητας της μορφής c, H H c οπότε η φάση είναι γραμμική: arg H ( ) c (3) (3) και η καθυστέρηση ομάδας είναι σταθερή d ( ) ( ) c (33) d Τα FIRφίλτρα μπορεί να έχουν γραμμική φάση τύπου I, τύπου II, τύπου III, τύπου IVκαι έχουν κρουστική απόκριση h( ), [: N] μήκους N Ο τύπος της γραμμικής φάσης εξαρτάται από το αν ο αριθμός N είναι άρτιος ή περιττός και από το αν η κρουστική συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, όπως φαίνεται στον Πίνακα 3 Τα IIR φίλτρα δεν έχουν γραμμική φάση 8

25 Πίνακας 3 Τύποι φίλτρων γραμμικής φάσης Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου I Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] Ο αριθμός N Συμμετρία h () Τύπος άρτιος άρτια Τύπου I περιττός άρτια Τύπου II άρτιος περιττή Τύπου III περιττός περιττή Τύπου IV N είναι άρτιος και η κρουστική απόκριση είναι άρτια συνάρτηση με άξονα συμμετρίας στο Η απόκριση συχνότητας είναι: H N / N/ ak k k cos( ) με συντελεστές N N ak h k, k,,, N a h 8 (3) (35) (36) (37) Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου II Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] (38) Ο αριθμός N είναι περιττός και η κρουστική απόκριση είναι άρτια συνάρτηση με άξονα συμμετρίας στο N Η απόκριση συχνότητας είναι: ( N )/ N/ H bk cos k (39) k με συντελεστές N N bk h k, k,,, () Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου III Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] () Ο αριθμός N είναι άρτιος και η κρουστική απόκριση είναι περιττή συνάρτηση με κέντρο συμμετρίας το N, Η απόκριση συχνότητας είναι: N / N/ H ck si k () k με συντελεστές N N ck h k, k,,, (3) Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου IV N

26 Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] () Ο αριθμός N είναι περιττός και η κρουστική απόκριση είναι περιττή συνάρτηση με κέντρο συμμετρίας το N, Η απόκριση συχνότητας είναι: ( N )/ N/ H dk si k (5) k με συντελεστές N N dk h k, k,,, (6) Παρατήρηση Για τα φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου I και τύπου III ισχύει: H Για τα φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου II και τύπου IV ισχύει: H (7) (8) Μπορείτε να διερευνήσετε τα φίλτρα γραμμικής φάσηςμε το Διαδραστικό πρόγραμμα Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα Φίλτρα γραμμικής φάσης 3 Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο ThMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgladProakis, 3 καιlis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Ασημάκης, 8Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octav είναι τα βιβλία Eato, Batma, Haubrg, Whbrig, και Has, Όταν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT), τότε είναι δυνατό να υπολογιστεί το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) είναι συνάρτησητης μεταβλητής Πρώτα δηλώνεται το πεδίο τιμών της μεταβλητής Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ώστε το πεδίο τιμών της μεταβλητής να είναι διάνυσμα Χρήσιμο είναι το πεδίο τιμών της μεταβλητής να περιλαμβάνει τουλάχιστον μία περίοδο (συνήθως δίνονται πεδία τιμών, ή, ) Μετά δίνεται ο τύπος υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Προσοχή στη χρήση της τελείας στους τελεστές των πράξεων, ώστε οι πράξεις να γίνονται με κάθε τιμή του διανύσματος, που αντιστοιχεί στη μεταβλητή Χρήσιμο είναι να υπολογίζεται το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου (DTFT) Για τον υπολογισμό του πραγματικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση ralγια τον υπολογισμό του φανταστικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση imagγια τον υπολογισμό του μέτρου χρησιμοποιείται η συνάρτηση absγια τον υπολογισμό της φάσης χρησιμοποιείται η συνάρτηση aglείναι δυνατή η ταυτόχρονη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου (DTFT) σε ένα Σχήμα με τη χρήση της συνάρτησης subplot 8

27 Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) έχει μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνου (DTFT) X Για τον υπολογισμό του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου (DTFT) και τη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου (DTFT) απαιτείται η κλήση w=[::]; X= / (-5*xp(-*w)); ralx=ral(x); imagx=imag(x); absx=abs(x); aglx=agl(x); figur(); subplot(,,); plot(w,ralx); subplot(,,); plot(w,imagx); subplot(,,3); plot(w,absx); subplot(,,); plot(w,aglx); Επίσης, συνηθίζεται η σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου (DTFT) σε μονάδες Σε αυτήν την περίπτωση απαιτείται η κλήση (τροποποίηση της παραπάνω κλήσης) w=[::]*(*pi)/; X= / (-5*xp(-*w)); ralx=ral(x); imagx=imag(x); absx=abs(x); aglx=agl(x); p=w/pi; figur(); subplot(,,); plot(p,ralx); subplot(,,); plot(p,imagx); subplot(,,3); plot(p,absx); subplot(,,); plot(p,aglx); Λυμένες Ασκήσεις Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( 3) Λύση Αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου x( ) u( 3) u( 3) u( 3) u( 3) Επομένως υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου του σήματος 83

28 Στη συνέχεια γίνεται ο υπολογισμός X x( ) u( 3) u( 3) u( 3) Θέτοντας a έχουμε 3 3 a a a a a 3 3 a a a a a a 3 a a a a a a a 3 3 a 3 a επειδή a cos( ) si( ) cos ( ) si ( ) Άρα a X a Μία άλλη λύση είναι να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Το σήμα x ( ) γράφεται: x( ) u( 3) u( 3) 8 u( 3) 8 y( 3) όπου θέσαμε y( ) u( ) Από τα ζεύγη των μετασχηματισμών Fourir διακριτού χρόνου γνωρίζουμε ότι: DTFT y( ) u( ) Y Επίσης, από την ιδιότητα της μετατόπισης του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου γνωρίζουμε ότι: 3 3 DTFT 3 y( 3) u( 3) Y και από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου γνωρίζουμε ότι: 3 DTFT x( ) 8 y( 3) X 8 Άρα 3 8 X Να υπολογίσετε την έξοδο y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος με κρουστική απόκριση 8

29 h( ) a u( ), a και είσοδο x( ) b u( ), b Λύση Αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης των μετασχηματισμών Fourir διακριτού χρόνου h( ) a u( ) a u( ) a u( ) a a a a και x( ) b u( ) b u( ) b u( ) b b b b Στη συνέχεια υπολογίζονται οι (ευθείς) μετασχηματισμοί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού: H a X b Μετά υπολογίζεται το γινόμενο Y H X a b Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας πράξεις: A B Y a b a b Τότε a A a b b B a b όπου a b Άρα a b Y a b a a b b Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: a b y( ) a u( ) b u( ) a b a b Στην περίπτωση όπου a b έχουμε Y a και χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) καταλήγουμε: y( ) ( ) a u( ) 3 Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) ( ) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας Λύση Η απόκριση συχνότητας είναι: 85

30 όπου - η πραγματική συνιστώσαείναι - η φανταστική συνιστώσα είναι Im H H I si( ) - το μέτροείναι Im H HI si( ) - η φάση είναι ( ) arg H arcta arcta arcta R H H cos( ) Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) a( ), a Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας Λύση Η απόκριση συχνότητας είναι: Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Eulr, έχουμε H a a cos( ) si( ) όπου - η πραγματική συνιστώσα είναι - η φανταστική συνιστώσαείναι - το μέτρο είναι Im H HI a si( ) - η φάση είναι ( ) arg H arcta arcta arcta R H H a cos( ) 5 Ασκήσεις Να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourir διακριτού χρόνου των σημάτων α x( ) u( ) β γ δ H h ( ) ( ) ( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) R R H H cos( ) R I H H H cos( ) si( ) cos( ) cos( ) H h( ) ( ) a ( ) a a a cos( ) si( ) a cos( ) a si( ) x( ) a u( ), a x( ) u( ) x( ) u( ) Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) ( ) 3 ( 3) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας R I R H H a cos( ) Im H H a si( ) R I R 86 R H H H a cos( ) a si( ) a cos( ) a

31 3 Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) 3 ( ) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) x( ) x( ) x( 3) 5 y( ) y( 3) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας 5 Δίνεται η απόκριση συχνότητας ενός LTIσυστήματος: 3 5 H 3 5 Να υπολογιστεί η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει τοσύστημα 6 Να δείξετε ότι τα φίλτρα μέσης τιμής είναι φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου I ή τύπου II 6 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση 9 Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Δίνεται το σήμα x( ) u( ) 3 με μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου X 3 Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου X του σήματος x ( ) για [, ] Περιοδικότητα μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Δίνεται το σήμα /8 x( ) u( ) 3 Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου X του σήματος x ( ) για [, ] Να επιβεβαιώσετε ότι ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου είναι περιοδικός με θεμελιώδη περίοδο 3 Γραμμικότητα Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε δύο σήματα διακριτού χρόνου και x ( για [:] Στη συνέχεια, να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) x ( ) 3 x ( ) 87

32 Να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourir διακριτού χρόνου και X για [, ] και να υπολογίσετε την ποσότητα Y X 3 X Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου X για [, ] Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς X αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το Μετατόπιση στον χρόνο Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μετατόπισης στον χρόνο του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [:] Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνου X για [, ] Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x( ) Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνουy για [, ] Στη συνέχεια, να υπολογίσετε την ποσότητα Z X Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς Z αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 5 Αντιστροφή στον χρόνο Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της αντιστροφής στον χρόνο του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [:] Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνου X για [, ] Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x( ) Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνουy για [, ] Στη συνέχεια, να υπολογίσετε την ποσότητα Z X Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς Z αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 6 Μετατόπιση στη συχνότητα Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μετατόπισης στη συχνότητα του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [:] Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνου X για [, ] / Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x( ) Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνουy για [, ] Στη συνέχεια, να υπολογίσετε X Να σχεδιάσετε το μέτρο και τη φάση των μετασχηματισμών Fourir διακριτού χρόνου Y και X ( ) 7 Συνέλιξη στον χρόνο ( ) και να διαπιστώσετε ότι Y X 5 ( ) 5 5 X Y Y Y 88

33 Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της συνέλιξης στον χρόνο του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε δύο σήματα διακριτού χρόνου και x ( για [:] Να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourir διακριτού χρόνου και X για [, ] και να υπολογίσετε την ποσότητα X X X Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνου X για [, ] Στη συνέχεια, να παράγετε τη συνέλιξη y( ) x ( ) x ( ) και να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου Y για [, ] Να σχεδιάσετε το μέτρο και τη φάση των μετασχηματισμών Fourir διακριτού χρόνου και Y και να διαπιστώσετε ότι είναι ίσοι 8 Μιγαδική συζυγία Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μιγαδικής συζυγίας του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [: ] Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνου X για [, ] * Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση co να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x ( ) που είναι το συζυγές σήμα του x ( ) Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourir διακριτού χρόνουy για [, ] * Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση co ναυπολογίσετε την ποσότητα Z X Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς Z αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 9 Χαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (LowPass) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου (LowPass) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου: H,,, με c Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρου για, Υψηπερατό φίλτρο (HighPass) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου (LowPass) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου: H,,, με c c c c 5 X X Y H x c c c 89

34 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρου για, Ζωνοπερατό φίλτρο (BadPass) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου (BadPass) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου: H,,,, με και 3 3 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρου για, Ζωνοφρακτικό φίλτρο ή φίλτρο απόρριψης ζώνης (BadStop) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου (BadStop) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου: H,,,, με και 3 3 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου y () του φίλτρου για, 3 Απόκριση συχνότητας LTIσυστήματος FIRφίλτρου Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) 3 ( ) Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας του φίλτρου για, Απόκριση συχνότητας LTIσυστήματος IIRφίλτρου Δίνεται η εξίσωση διαφορών ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος y( ) x( ) x( ) y( ) 3 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) για [:] 3 H x H x H H x 9

35 Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας του φίλτρου για, H Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου X της εισόδου ( ) του φίλτρου για, Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση του μετασχηματισμούfourir διακριτού χρόνου Y της εξόδου () του φίλτρου για, 5 Απόκριση συχνότητας συνδεδεμένων LTIσυστημάτων Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) u( ) συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) u( ) Το σύστημα που προκύπτει συνδέεται παράλληλα με ένα LTI 3 σύστημα με κρουστική απόκριση h3 ( ) u( ) Να αποδείξετε θεωρητικά ότι η απόκριση συχνότητας του συνολικού φίλτρου είναι: H H H H, 3 H H 3 όπου,, H είναι οι επί μέρους κρουστικές αποκρίσεις Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση του συνολικού συστήματος Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας του συνολικού φίλτρου 6IIRχαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (LowPass) Ένα χαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (LowPass) μπορεί να υλοποιηθεί με ένα IIRφίλτρο τάξης ( NM, ) (,) με απόκριση συχνότητας της μορφής: H cos( ) c cos( ) c Οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται, έτσι ώστεο αριθμητής να μηδενίζεται στα δύο συζυγή σημεία που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο και ο παρονομαστής να μηδενίζεται στα δύο συζυγή σημεία c με c, που βρίσκονται μέσα στο μοναδιαίο κύκλο Για /, / και 8, να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας H για, Ποιοι είναι οι συντελεστές του IIRφίλτρου που υλοποιεί το LowPass φίλτρο; 7 IIRζωνοπερατό φίλτρο (BadPass) Ένα ζωνοπερατό φίλτρο (BadPass) μπορεί να υλοποιηθεί με ένα IIRφίλτρο τάξης ( NM, ) (,) με απόκριση συχνότητας της μορφής H c cos( ) c Οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται, έτσι ώστεο αριθμητής να μηδενίζεται στα δύο σημεία και - και ο παρονομαστής να μηδενίζεται στα συζυγή σημεία c με c, που βρίσκονται μέσα στο μοναδιαίο κύκλο Για / και 8, να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας για, Ποιοι είναι οι συντελεστές του IIRφίλτρου που υλοποιεί το BadPass φίλτρο; x y c c H 9

36 7 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου με τον Ήχο Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DiscrtTimFourirTrasform DTFT) είναι ένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου X ενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ), αν υπάρχει, είναι η αναπαράσταση του σήματος συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών σημάτων της μορφής, όπου είναι η κυκλική συχνότητα Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου (DTFT) H της κρουστικής απόκρισης h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται απόκριση συχνότητας (frqucyrspos) Η απόκριση συχνότητας είναι περιοδική με θεμελιώδη περίοδο Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων Η απόκριση συχνότητας εξαρτάται από τους συντελεστές του LTI συστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης διαφορών αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνότητας Έτσι, η απόκριση συχνότητας αρκεί για να περιγράψει ένα LTI σύστημα στο πεδίο της συχνότητας Τα φίλτρα με κατά τμήματα σταθερόμέτρο της απόκρισης συχνότητας ονομάζονται φίλτρα επιλογής συχνοτήτων και διακρίνονται σε τέσσερις κατηγορίες: χαμηλοπερατά ή βαθυπερατά φίλτρα (Low Pass), υψηπερατά φίλτρα (High Pass), ζωνοπερατά φίλτρα (Bad Pass), ζωνοφρακτικά φίλτρα ή φίλτρα απόρριψης ζώνης (Bad Stop) Τα φίλτρα γραμμικής φάσης είναι FIR φίλτρα με γραμμική φάση και διακρίνονται σε τύπου I, II, III και IV 9

37 Βιβλιογραφία/Αναφορές Eato, J W, Batma, D, Haubrg, S, Whbrig R () GNU Octav (3rd d) Has J S () GNU Octav Bgir's Guid Packt Publishig Hays, M H () Ψηφιακή Επεξεργασίας Σήματος ΕκδόσειςΤζιόλα Igl, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Procssig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Col Lis, J W () Digital Sigal Procssig usig MATLAB for studts ad rsarchrs J Wily ad Sos McCllla, J H, Schafr, R W, Yodr, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης ThMathWorksIc (5)Sigal Procssig Toolbox Usr s Guid Ασημάκης, Ν (8) Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Gutbrg Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α () Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ 93

38 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 9

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων

Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων. ηµήτριος Βαρσάµης Καθηγητής Εφαρµογών

Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων. ηµήτριος Βαρσάµης Καθηγητής Εφαρµογών Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων ηµήτριος Βαρσάµης Καθηγητής Εφαρµογών Πεδίο Συχνοτήτων Απόκριση συχνότητας LTI συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς Hz). Σε ένα LTI σύστηµα µε συνάρτησηµεταφοράς Hz), εφόσον ο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 Α. Σχεδίαση Ψηφιακών Φίλτρων Β. Φίλτρα FIR Σχετικές εντολές του Matlab: fir, sinc, freqz, boxcar, triang, hanning, hamming, blackman, impz, zplane, kaiser. Α. ΣΧΕΔΙΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Γενικά Μορφές Μετασχηµατισµού Fourir Σήµατα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους µετασχηµατισµών α Μετασχηµατισµός Fourir FT β Σειρά

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 10: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος. Γιάννης Κοψίνης Γραφείο: Ι (γιώτα) 3, (Δευτέρα 14:00-15:00)

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος. Γιάννης Κοψίνης   Γραφείο: Ι (γιώτα) 3, (Δευτέρα 14:00-15:00) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Γιάννης Κοψίνης Email: kopsiis@i.org Γραφείο: Ι γιώτα 3, Δευτέρα 4:00-5:00 Σήματα x x x x Συστήματα Τεχνητά συστήματα Αποθορυβοποίηση Ακύρωση θορύβου ois Cacllatio Ακύρωση Αντιλάλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας ορισμός της έννοιας του συστήματος διακριτού και συνεχούςχρόνου Αναλύονται οι βασικές ιδιότητες των συστημάτων διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 1: Σήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Σήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Διαφορές Αναλογικής Ψηφιακής Επεξεργασίας Παραγωγή Ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής. ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια. Σήματα και Συστήματα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής. ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια. Σήματα και Συστήματα ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Συγγραφή Νικόλαος Ασημάκης Μαρία Αδάμ Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Βέντζας Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός aplace και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού aplace και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του μαθήματος

Παρουσίαση του μαθήματος Παρουσίαση του μαθήματος Εργαστήριο 1 Ενότητες Μαθήματος 1. Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΙΚΟΝΑ Τι είναι ψηφιακή εικόνα. Τι σημαίνει Επεξεργασία εικόνας. Ανάλυση εικόνας σε συχνότητα ( Μετασχηματισμός Fourier σε εικόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 AΣΚΗΣΗ () [ ] (.5)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ / 46 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 9 με Μετασχηματισμούς Κεφ. 5 (εκτός 5.7.4 και 5.3 μόνο από διάλεξη) Ένα ΓΧΑ σύστημα καθορίζεται πλήρως από Κρουστική απόκριση (impulse response)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER Για το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σημάτων, για =, ±, ±, ±3, παρατηρούμε ότι m, T m d T,, m m T m Τα εκθετικά σήματα,, =, ±, ±,...,

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι.

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn

stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 7: Σχεδιασμός Φίλτρων!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eg.ucy.ac.cy/chadcha/

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων 2 Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

3. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση. y[n] = x[n]-2x[n-1] y[n] = x[n]-2x[1-n]

3. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση. y[n] = x[n]-2x[n-1] y[n] = x[n]-2x[1-n] 1. Δίνεται ψηφιακό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση y[] = x[]+x[-1]+2 για το σύστημα ισχύει η αρχή της: Α) Ομογένειας Β) Επαλληλίας Γ) Γραμμικότητας. Δ) Χρονικής αμεταβλητότητας. 2. Δίνεται ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος σε Πραγματικό Χρόνο 2009 10 ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασία Σήματος σε Πραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5α. Σημειώσεις μαθήματος: E mail:

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5α. Σημειώσεις μαθήματος: E mail: Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Τ.Ε Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/courses/tio127/ E mail: pasv@teiath.gr 2 1 Περιοδικά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 19: Φίλτρα (IV) Σχεδιασμός φίλτρων FIR Είδαμε ότι για φίλτρα IIR συνήθως σχεδιάζουμε ένα φίλτρο ΣΧ και μετασχηματίζουμε Για φίλτρα FIR θα δούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήμα; Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας. Σήμα εικόνας. Σεισμικά σήματα. Ιατρικά σήματα

Τι είναι σήμα; Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας. Σήμα εικόνας. Σεισμικά σήματα. Ιατρικά σήματα Τι είναι σήμα; Σεραφείμ Καραμπογιάς Ως σήμα ορίζεται ένα φυσικό μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο ή με οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Παραδείγματα: Σήμα

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 2 / 55 3 / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας-Φίλτρα Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα. Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης 1

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα. Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης 1 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα x T [ ] y x y Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα x T [ ] y x y Συνέλιξη y x, όπου y x η κρουστική απόκριση Ψ.Ε.Σ.Ε. Σ. Θεοδωρίδης 2 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1) Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα