Skupovi, relacije, funkcije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Skupovi, relacije, funkcije"

Transcript

1 Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u kojoj: (i) redosled navodjenja elemenata nije bitan i (ii) elementi se ne ponavljaju. Koristićemo notaciju a A da označimo da element a pripada skupu A. Ako element a ne pripada skupa A pišemo a A. Skupove ćemo označavati velikim slovima, a njihove elemente malim slovima abecede. Uobičajene su i sledeće oznake: N - za skup prirodnih brojeva, Z - za skup celih brojeva, Q - za skup racionalnih brojeva i R - za skup realnih brojeva. Skup se predstavlja: - navodjenjem elemenata u vitičastim zagradama ili - navodjenjem osobina S elemenata skupa, u obliku {x : S(x)}. (Čitamo:,,skup svih elemenata x koji zadovoljavaju S(x)). Primer Skupovi mogu biti zadati na sledeći način: (a) {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 6, 9, 12,...}, 5

2 6 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Figure 1.1: Vennovi dijagrami za dva,tri i četiri skupa. (b) {x : x N 1 x 5}, {x : x N 3 x}. Primer Za proizvoljne elemente a i b važi {a, b} = {b, a}, i {a, a, b} = {a, b}. Prazan skup je skup koji ne sadrži nijedan element i označavaćemo ga sa ili {}. (Napomena: primetimo da se on razlikuje od skupa { } koji sadrži element.) Partitivni skup skupa A, uoznacip(a), je skup svih podskupova skupa A : P(A) ={X : X A}. Primer Neka je A = {0, 1, 2}. Tada je P(A) ={, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Kažemo da su skupovi A i B jednaki, uoznacia = B, ako važi ( x)(x A x B). Kažemo da je A podskup skupa B, uoznacia B, ako važi ( x)(x A x B). Za proizvoljne skupove A i B definišemo A \ B = {x : x A x B}, razliku skupova A i B, A B = {x : x A x B}, uniju skupova A i B i A B = {x : x A x B}, presek skupova A i B. Ako je A B =, kažemo da su skupovi A i B disjunktni.

3 1.1. SKUP, TORKA, MULTISKUP 7 Neka su X, Y, Z A. Tada važi = A (X ) = X X \ X = X = X X A = A X X = A zakoni idempotencije: X X = A A = X \ = X X A = X X = X X = X X = X zakoni asocijativnosti: (X Y ) Z = X (Y Z) (X Y ) Z = X (Y Z) zakoni komutativnosti: X Y = Y X X Y = Y X zakoni distributivnosti: X (Y Z) =(X Y ) (X Z) X (Y Z) =(X Y ) (X Z) zakoni apsorpcije: X (X Y )=X X (X Y )=X De Morganovi zakoni: (X Y ) = X Y (X Y ) = X Y (gdejex = A \ X) Table 1.1: Neki zakoni koji važe za operacije na skupovima

4 8 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Uredjena n-torka elemenata Uredjena torka elemenata poseduje sledeće osobine: (i) redosled navodjenja elemenata jeste bitan i (ii) elementi mogu da se ponavljaju. Uredjena n-torka (a 1,...,a n ),n 1, se definiše na sledeći način: n =1: (a 1 )=a 1 n =2: (a 1,a 2 )={{a 1 }, {a 1,a 2 }} (uredjen par) n 3: r (a 1,...,a n 1,a n )=((a 1,...,a n 1 ),a n ). (rekurzivno) Element a i,i {1,...,n}, se zove i-ta komponenta (koordinata) uredjene n- torke (a 1,...,a n ). Primer Za skupove važi dok je za uredjene torke elemenata {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1} (1, 1, 2, 2, 2) (1, 2) i (1, 2) (2, 1). Na osnovu definicije jednakosti skupova, možemo dokazati da su dva uredjena para jednaka ako i samo ako su im jednake odgovarajuće komponente, što je formulisano sledećim tvrdjenjem. Teorema Uredjeni parovi (a, b) i (c, d) su jednaki ako i samo ako je a = c i b = d. Dokaz. (a, b) =(c, d) {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ({a} = {c} {a, b} = {c, d}) ({a} = {c, d} {a, b} = {c}) (a = c b = d) (a = b = c = d). Posledica (a 1,a 2,...,a n )=(b 1,b 2,...,b n ) a 1 = b 1 a 2 = b 2... a n = b n. Dokaz. Indukcijom po n.

5 1.1. SKUP, TORKA, MULTISKUP 9 (1,3) (2,3) (3,3) (1,2) (2,2) (3,2) (1,1) (2,1) (3,1) Figure 1.2: Kvadrat skupa A = {1, 2, 3}. Dekartov proizvod skupova Dekartov (direktan) proizvod n skupova A 1,A 2,...,A n 1 i A n,n 2, se definiše na sledeći način: Ako je n =2, onda važi A 1... A n = {(a 1,...,a n ): a i A i,i=1,...,n}. A 1 A 2 = {(a 1,a 2 ): a 1 A 1 a 2 A 2 }. Za n {0, 1, 2,...}, n-ti Dekartov stepen skupa A, uoznacia n, je { },n=0 A n = A,n =1 {(a 1,...,a n ) a i A, i =1,...,n},n Multiskup Multiskup (kesa), za razliku od skupa, je kolekcija elemenata u kojoj (i) redosled navodjenja elemenata nije bitan i (ii) elementi mogu da se ponavljaju konačno mnogo puta. Broj pojavljivanja nekog elementa u multiskupu je jedinstven pozitivan ceo broj, dok broj različitih elemenata u multisupu može biti beskonačan. Ako se x pojavljuje tačno n puta u skupu M, pišemo x n M. Za multiskup u kojem se x 1 pojavljuje n 1 puta, x 2 se pojavljuje n 2 puta itd, pišemo [x 1,x 2,...] n1,n 2,...

6 10 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE ili u uglastim zagradama navodimo sva pojavljivanja elemenata. Primer {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1}, (1, 1, 2, 2, 2) (1, 2) i (1, 2) (2, 1), dok je [1, 1, 2, 2, 2] [1, 2] i [1, 2] = [2, 1]. 1.2 Relacije Neka su n, m N. m-arna relacija ρ skupa A je bilo koji podskup od A m, ρ A m. Relacija arnosti m sa n elemenata se može predstaviti matricom formata m n u kojoj su kolone elementi relacije ρ. ρ = a 11 a a 1n a m1 a m2... a mn Binarne relacije Ako je n = 2 kažemo da je relacija binarna. Za binarnu relaciju ρ, umesto (a, b) ρ, koristimo i sledeće ekvivalentne zapise: a aρb ρ(a, b) ρ. b Skup svih binarnih relacija na A označavamo sa R (2) A. Kažemo da je binarna relacija ρ R (2) (R) Refleksivna, ako ( a A) (a, a) ρ, (I) Antirefleksivna, ako ( a A) (a, a) ρ, (S) Simetrična: ako ( a, b A) (a, b) ρ (b, a) ρ, (A) Antisimetrična: ako ( a, b A) (a, b) ρ (b, a) ρ a = b, (T) Tranzitivna: ako ( a, b, c A) (a, c) ρ (c, b) ρ (a, b) ρ. Na primer, relacija je refleksivna na skupu realnih brojeva, dok je relacija < irefleksivna. Primer Neka je A = {0, 1}. Tada je = refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

7 1.2. RELACIJE 11 Relacije poretka Neka je ρ A 2. Relacija ρ je skupu A ako je relacija poretka (ili parcijalnog uredjenja) na (R) refleksivna, (A) antisimetrična i (T) tranzitivna. Relacija ρ je relacija strogog poretka (striktnog uredjenja) ako je antirefleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Ako je ρ relacija poretka na nepraznom skupu A, onda se uredjen par (A, ρ) naziva parcijalno uredjen skup (ili poset). Primer (a) ({0, 1, 2}, ) je parcijalno uredjen skup, gde je = (b) ({0, 1, 2},<) je strogo parcijalno uredjen skup, gde je < = (c) (P(A), ), gde je A = {0, 1}, je parcijalno uredjen skup. (d) (P(A), ), gde je A = {0, 1, 2}, je parcijalno uredjen skup. Relacije poretka se mogu predstaviti uz pomoć Hasevih dijagrama. UHaseovom dijagramu, elementi skupa A su predstavljeni tačkama, tako da je za (x, y) ρ za koje je x y, tačka x je nacrtana niže od tačke y. Ako izmedju njih nema drugih elemenata, onda postoji dužizmedju njih. Ilustracija je data u sledećem primeru. Primer Neka je ({2, 3, 4, 5, 6, 15, 30}, ) parcijalno uredjen skup, gde je ( x, y N) x y ( k N)y = kx. Neka je (A, ρ) parcijalno uredjen skup. a A je najmanji element skupa A ako za sve x A važi (a, x) ρ. a A je najveći element skupa A ako za sve x A važi (x, a) ρ. a A je minimalni element skupa A ako ne postoji element x A za koji je (x, a) ρ i x a.

8 12 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Figure 1.3: Haseovo dijagram za ({2, 3, 4, 5, 6, 15, 30, 120}, ). a A je maksimalni element skupa A ako ne postoji element x A za koji je (a, x) ρ i x a. Neka je X A. Element a A je donja granica skupa X ako je (a, x) ρ za svako x X. Element a A je najveća donja granica (infinum od X), u oznaci inf X, ako je a najveći element skupa donjih granica. Element a A je gornja granica skupa X ako je (x, a) ρ za svako x X. Element a A je najmanja gornja granica (supremum od X), u oznaci sup X ako je a najmanji element skupa gornjih granica. Neka je (A, ρ) parcijalno uredjen skup. Kažemo da je on totalno uredjen (lanac) ako za sve elemente a, b A važi (a, b) ρ ili (b, a) ρ. antilanac ako za sve elemente a, b A važi (a, b) ρ i(b, a) ρ. dobro uredjen ako za svaki neprazni podskup X A ima najmanji element. Relacije ekvivalencije Neka je ρ A 2. Relacija ρ je relacija ekvivalencije na skupu A ako je (R) refleksivna,

9 1.2. RELACIJE 13 (S) simetrična i (T) tranzitivna. Klasa ekvivalencije elementa x A je skup Koriste se još i oznake C x i x/ρ. Skup svih klasa ekvivalencije je količnički skup (ili faktor skup). [x] ρ = {y A :(x, y) ρ}. [A] ρ = {[x] ρ : x A} Primer (a) Najpoznatija relacija ekvivalencije je svakako relacija = na skupu realnih brojeva. (b) Neka je A = {0, 1, 2}. Za relacije A = A 2 = [A] A = {{0}, {1}, {2}} [A] A 2 = {{0, 1, 2}} kažemo da su trivijalne relacije ekvivalencije na A. Pored toga, postoje još tri relacije ekvivalencije na skupu A : ρ 1 = [A] ρ1 = {{0}, {1, 2}} ρ 2 = [A] ρ2 = {{2}, {0, 1}} ρ 3 = [A] ρ3 = {{1}, {0, 2}} Particija skupa A je skup {A 1,...,A n } za koji važi (i) za svako i {1,...,n} A i, (ii) A = i=n i=1 A i i (iii) za sve i, j {1,...,n} važi i j A i A j =. Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, količnički skup je jedna particija skupa A.

10 14 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 1.3 Funkcije Funkcija (preslikavanje, transformacija) skupa D u skup B, piše se f : D B, je podskup skupa D B takav da za svako a D postoji tačno jedno b B sa osobinom (a, b) f. U tom slučaju pišemo f(a) =b ili f : a b. Tada se za svako X D definiše skup f(x) (im f) na sledeći način f(x) ={b B postoji a X takvo da je f(a) =b}. Skup svih funkcija skupa D uskupb se označava sa B D. Neke vrste funkcija: Preslikavanje f : A B je 1 1(injekcija) akkoje ( x, y A)(f(x) =f(y) x = y). Preslikavanje f : A B je na (sirjekcija) akkoje ( b B)( a A)(f(a) =b). Preslikavanje f : A B je (bijekcija) akkoje1 1ina. Operacije na skupu funkcija:neka je f : A B i g : B C. Kompozicija funkcija f i g je funkcija g f : A C definisana je sa (g f)(x) =g(f(x)). Dijagonalna relacija A = {(x, x) : x A} je funkcija i zovemo je identična funkcija i obeležavamo sa 1 A. Kažemo da je f : B A inverzna funkcija funkcije f ako važi f f =1 B f f =1 A. Inverznu funkciju, ako postoji, obeležavamo sa f Zadaci 1. Ako skup A ima n elemenata, koliko elemenata ima skup P(A)? 2. Dokazati da važe zakoni dati u Tabeli Dokazati da za sve X, Y, Z A važi (a) X \ Y = X Y, (b) X \ (Y Z) =(X \ Y ) (X \ Z)X \ (Y Z) =(X \ Y ) (X \ Z),

11 1.4. ZADACI 15 (c) X =(X \ Y ) (X Y ), (d) (X \ Y ) (X Y )=. 4. Dokazati da za sve X, Y A važi formula uključenja-isključenja X Y = X + Y X Y. Dokaz. Ako su A i B disjunktni skupovi, onda je A B = A + B. Kako je X =(X \ Y ) (X Y )iskupovix\ Y i X Y su disjunktni, to je X = X \ Y + X Y. Sličnim rezonovanjem je Odatle je Y = Y \ X + X Y. X Y = (X \ Y ) (X Y ) (Y \ X) = X \ Y + X Y + Y \ X = ( X X Y )+ X Y +( Y X Y ) = X + Y X Y 5. Dokazati da za sve X, Y, Z A važi formula uključenja-isključenja X Y Z = X + Y + Z X Y X Z Y Z + X Y Z. 6. Na prvoj godini studija geodezije ima 50 studenata. U januarskom ispitnom roku će njih 24 izaći na ispit iz Algebre, 20 na ispit iz Analize I, a 13 na ispit iz Fizike. Algebru i Analizu I će polagati 6 studenata, Analizu I i Fiziku 5 studenata, a Algebru i Fiziku 4 studenta. Ako jedino Marko polaže sva tri ispita, koliko studenata neće izaći ni na jedan od ta tri ispita. 7. Teorema Svaki dobro uredjen skup je totalno uredjen skup. Dokaz. Pretpostavimo da su a, b A proizvoljno izabrani. Kako je skup A dobro uredjen, to njegov podskup {a, b} A ima najmanji elemenat. Ako je taj najmanji elemenat a onda je (a, b) ρ. Inače, ako je najmanji b, ondaje(b, a) ρ. 8. Teorema Parcijalno uredjen skup ima najviše jedan najmanji (najveći) element. Dokaz. Pretpostavimo da parcijalno uredjeni skup (A, ρ) ima dva najmanja elementa a i b. Tada je (a, b) ρ zato što je a najmanji element i (b, a) ρ zato što je b najmanji element. Kako je relacija ρ antisimetrična, sledi a = b. 9. Dokazati da je presek dve relacije ekvivalencije na A relacija ekvivalencije na skupu A.

12 16 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 10. Dokazati da unija dve relacije ekvivalencije na skupu A ne mora biti relacija ekvivalencije na skupu A. (Konstruisati odgovarajući primer.) 11. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} inekaje ρ = {(x, y) A 2 :4 (x y)}. Ispitati da li je ρ relacija ekvivalencije i, ako jeste, odrediti količničnički skup skupa A po relaciji ρ. 12. Teorema Ako je ρ relacija ekvivalencije na A, onda važi Dokaz. ( ) Nekaje(x, y) ρ. Sledi, ( x, y A)(x, y) ρ [x] ρ =[y] ρ. z [x] ρ (z,x) ρ (x, y) ρ (z,y) ρ z [y] ρ, čime smo dokazali da je [x] ρ [y] ρ. Slično, z [y] ρ (y, z) ρ (x, y) ρ (x, z) ρ z [x] ρ, odakle je [y] ρ [x] ρ. ( ) Nekaje[x] ρ =[y] ρ. Tada je (x, x) ρ x [x] ρ =[y] ρ (x, y) ρ. 13. Teorema Neka su x, y A i ρ relacija ekvivalencije na skupu A. Tada je [x] ρ [y] ρ = ili [x] ρ =[y] ρ. Dokaz. Moguća su dva slučaja: [x] ρ [y] ρ = ili je [x] ρ [y] ρ. Pretpostavimo da važi drugi slučaj, tj. da postoji z [x] ρ [y] ρ. Na osnovu definicije preseka tada z [x] ρ i z [y] ρ. Na osnovu definicije klase ekvivalencije, (x, z) ρ i(z,y) ρ. Kako je ρ tranzitivna relacija, to je (x, y) ρ, odakle na osnovu prethodne teoreme sledi [x] ρ =[y] ρ. 14. Neka je A = {0, 1}. Napisati sve binarne relacije koje su (a) relacije poretka. (b) relacije ekvivalencije. 15. Neka je A = {0, 1, 2}. Napisati sve binarne relacije koje su

13 1.4. ZADACI 17 (a) relacije poretka. (b) relacije ekvivalencije. 16. Dokazati da na svakom konačnom nepraznom skupu A postoji neparan broj relacija poretka. 17. Dokazati da je relacija poretka. 18. Nacrtati Haseove dijagrame parcijalno uredjenih skupova (a) ({1, 3, 5, 15, 30, 45}, ) (b) ({1, 2, 3, 5, 30, 60}, ) i odrediti najmanje, najveće, minimalne i maksimalne elemente.

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990. PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković

Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti Sadržaj predavanja 1 Prirodni

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα