Skup prirodnih brojeva...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Skup prirodnih brojeva..."

Transcript

1 Kompleksn brojev Skup prrodnh brojeva Skup cjelh brojeva Skup raconalnh brojeva Skup raconalnh brojeva Skup realnh brojeva Skup magnarnh brojeva Skup kompleksnh brojeva Računske operacje s kompleksnm brojevma Konjugrano kompleksn brojev Djeljenje kompleksnh brojeva Kompleksna ravnna Apsolutna vrjednost kompleksnog broja.

2 . Skup prrodnh brojeva Pojam broja javlja se z potrebe prebrajanja predmeta, bća pojava u čovjekovoj okoln. Tako su nastal brojev,, 3,... koje nazvamo prrodnm brojevma. Skup prrodnh brojeva označavamo s N: N = {,, 3, 4, 5,...}. Ovaj skup ma početn element broj, koj je ujedno najmanj element, al ovaj skup nema najveć element, tj. ne postoj najveć prrodn broj. To znač da od svakog, ma kako velkog prrodnog broja n, uvjek postoj prrodn broj već od njega. Za svak njegov element, osm prvoga, postoj neposredn prethodnk broj za manj, neposredn sljedbenk broj za već. Za svaka dva razlčta prrodna broja a b vrjed l a < b l b < a, što znač da u skupu N postoj uređaj. U skupu prrodnh brojeva uvedena je računska operacja zbrajanja. Prtom brojeve koje zbrajamo nazvamo prbrojncma (sumandma), a rezultat zbrajanja zbrojem (sumom). Svojstva zbrajanja u N 33Skup N zatvoren je na zbrajanje, tj. zbroj blo kojh dvaju prrodnh brojeva prrodn je broj. Smbolčk, za a, b N vrjed: a + b N. 33Asocjatvnost: prbrojnke možemo na blo koj načn združt zbroj se neće promjent. Smbolčk, za a, b, c N vrjed: (a + b) + c = a + (b + c). 33Komutatvnost: prbrojncma možemo zamjent mjesta zbroj se neće promjent. Smbolčk, za a, b N vrjed: a + b = b + a. 8

3 KOMPLEKSNI BROJEVI U skupu prrodnh brojeva uvedena je računska operacja množenja. Brojeve koje množmo nazvamo faktorma, a rezultat množenja umnoškom (produktom). Svojstva množenja u N 33Skup N zatvoren je na množenje, tj. umnožak blo kojh dvaju prrodnh brojeva prrodn je broj. Smbolčk, za a, b N vrjed: a b N 33Asocjatvnost: faktore možemo na blo koj načn združt umnožak se neće promjent. Smbolčk, za a, b, c N vrjed: (a b) c = a (b c). 33Komutatvnost: faktorma možemo zamjent mjesta umnožak se neće promjent. Smbolčk, za a, b N vrjed: a b = b a. 33Neutraln element za množenje jest broj, to znač: Jednadžba a = a = a, a N. x + a = b, gdje su a, b N, ne mora mat rješenje u skupu N. Tako, prmjerce, jednadžba x + 3 = 5 ma prrodn broj x = za rješenje, dok ne postoj prrodn broj x koj b bo rješenje jednadžbe x + 7 = 4. Rješenje ove jednadžbe jest broj x = 3, koj prpada skupu cjelh brojeva. 9

4 . Skup cjelh brojeva Skup cjelh brojeva prošrenje je skupa prrodnh brojeva nulom negatvnm brojevma. Označavamo ga sa Z: Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Ako je a cjel broj, tada je a cjel broj. Brojeve a a nazvamo suprotnm brojevma. Ovaj skup nema n najmanj n najveć element. Kao u skupu prrodnh brojeva, za svak cjel broj postoj neposredn prethodnk neposredn sljedbenk. I u skupu Z postoj uređaj, tj. za svaka dva razlčta cjela broja a b vrjed l a < b l b < a. Skup cjelh brojeva nasljedo je operacje zbrajanja množenja z skupa prrodnh brojeva, a ovdje je moguća operacja oduzmanja, tj. za svaka dva cjela broja a b vrjed a b Z. Prtom broj od kojeg oduzmamo nazvamo umanjenkom (mnuendom), broj koj oduzmamo umanjteljem (suptrahendom), a rezultat oduzmanja razlkom (dferencjom). Za oduzmanje vrjed: a b = a + ( b), a, b Z, što znač da je oduzmanje zbrajanje umanjenka s umanjteljem kojem je promjenjen predznak. Svojstva zbrajanja u Z Svojstva zbrajanja nasljeđuju se z skupa N, al vrjed sljedeće: 33U skupu Z postoj neutraln element za zbrajanje. To je broj 0 jer za njega vrjed 0 + a = a + 0, a Z. 33Za svak cjel broj a postoj njemu suprotan cjel broj a takav da vrjed: 0 a + ( a) = ( a) + a = 0.

5 KOMPLEKSNI BROJEVI Svojstva množenja u Z Svojstva množenja u Z nasljeđuju se z skupa N. Uočmo da broj 0, s obzrom na operacju množenja, ma važno svojstvo: Jednadžba a 0 = 0 a = 0 za svak a Z. x a = b, gdje su a, b Z, ne mora mat rješenje u skupu Z. Tako, prmjerce jednadžba x 3 = ma cjel broj x = 4 za rješenje, dok ne postoj cjel broj x koj b bo rješenje jednadžbe 7 x = 4. Rješenje je ove jednadžbe broj x = 4 koj prpada skupu raconalnh brojeva. 7

6 3. Skup raconalnh brojeva Skup raconalnh brojeva čne brojev koje možemo zapsat u oblku razlomka: m, m Z, n N, n pr čemu ovaj zaps predstavlja djeljenje cjelog broja m (brojnka) prrodnm brojem n (nazvnkom). Ako je brojnk djeljv nazvnkom, raconaln broj ujedno je cjel. Vrjed obrat: svak cjel broj možemo napsat u oblku razlomka nazvnka : m = m, m Z. Dakle, skup raconalnh brojeva prošrenje je skupa cjelh brojeva. Označavamo ga s Q: Q = m n : m Z, n N Ako je broj m n Q tada je broj n m Q u slučaju kad je m 0. Brojeve m n, n m m 0, nazvamo recpročnm brojevma. U skupu Q postoj uređaj, tj. za svaka dva razlčta raconalna broja a b vrjed l a < b l b < a. Za elemente ovog skupa ne možemo odredt neposrednog prethodnka n neposrednog sljedbenka. Između blo koja dva raconalna broja postoj beskonačno mnogo raconalnh brojeva. Tako, prmjerce za a, b Q, a < b postoj broj za koj vrjed: a < a+ b < b. Osm računskh operacja nasljeđenh z skupa cjelh brojeva njhovh svojstava, za raconalne brojeve defnrana je operacja djeljenja, pa za svaka dva raconalna broja a b, b 0, vrjed a : b Q. Prtom broj kojeg djelmo nazvamo djeljenkom (dvdendom), broj kojm djelmo djelteljem (dvzorom), a rezultat djeljenja kolčnkom (kvocjentom). Za djeljenje raconalnh brojeva vrjed:

7 KOMPLEKSNI BROJEVI a: b= a, a, b Q, b 0, b što znač da je djeljenje množenje recpročnm brojem. Računske operacje u skupu Q nasljeđuju svojstva z skupa Z, a za množenje još vrjed: 33Za svak element skupa Q (osm nule) postoj nverzn element za množenje. To znač da za svak raconaln broj a (razlčt od nule) postoj njemu recpročn broj a takav da vrjed: a = a =. a a Jednadžba x x = a, a Z, a 0, l kraće x = a ne mora mat rješenje u skupu Q. Tako su, prmjerce, rješenja jednadžbe x = 6 raconaln brojev x = 4 x = 4, dok ne postoj raconaln broj x koj b bo rješenje jednadžbe x = 7. Rješenja ove jednadžbe su brojev x = raconalnh brojeva. 7 x = 7 koj prpadaju skupu 3

8 4. Skup raconalnh brojeva Istaknul smo da se svak raconaln broj može prkazat kao razlomak. No, svak raconaln broj možemo zapsat u decmalnom oblku (prmjerce djeljenjem brojnka nazvnkom) pr čemu je broj decmalnh mjesta l konačan l se skupna znamenaka ponavlja. Obrat ne vrjed jer postoje decmaln brojev koje ne možemo napsat u oblku razlomka. Takv brojev čne skup raconalnh brojeva. Tom skupu prpadaju, prmjerce,, 3, 5,... Decmaln zaps raconalnog broja ma beskonačno mnogo decmalnh mjesta pr čemu ne postoj skupna znamenaka koja se ponavlja. Takve brojeve, dakle, ne možemo prkazat u decmalnom oblku, al, buduć da h korstmo u računu, aproksmramo h decmalnm brojem s konačno mnogo decmala. Prmjerce: π , e Skup raconalnh brojeva uobčajeno je označt s I. 4

9 5. Skup realnh brojeva Skup raconalnh brojeva skup raconalnh brojeva zajedno čne skup realnh brojeva koj označavamo s R. Dakle, Q I= R. U skupu realnh brojeva defnrane su računske operacje zbrajanja množenja sa svojstvma nasljeđenm z skupa raconalnh brojeva. Elementma skupa R možemo prdružt točke pravca kojeg u tom slučaju nazvamo brojevnm pravcem. Tako je svakom realnom broju prdružena točno jedna točka brojevnog pravca obratno, svakoj je točk brojevnog pravca prdružen točno jedan realn broj. Pokažmo kako se to prdružvanje vrš. Odredmo na pravcu točku O kojoj prdružmo broj 0 te točku E kojoj prdružmo broj. Točku O nazvamo shodštem, a točku E jednčnom točkom. Udaljenost točaka O E nazvamo jednčnom udaljenošću. Nanesmo dužnu OE desno od točke E. Tako dobvamo točke (počevš od točke E) kojma su prdružen prrodn brojev, tj. element skupa N. Nanesmo dužnu OE ljevo od točke O. Tako dobvamo točke kojma su prdružen negatvn cjel brojev, pa tme na brojevnom pravcu dobvamo točke kojma su prdružen sv brojev skupa Z. Podjelmo l dužnu OE na n djelova, pa jedan od njh nanesemo m puta desno (odnosno ljevo) od točke O, dobl smo točku kojoj je prdružen raconaln broj m n (odnosno m ). Ako smo dužnu OE nanosl desno od O, dobl smo poztvan n raconalan broj, a ako smo to učnl ljevo od O, dobl smo negatvan raconalan broj. Tako smo odredl točke u koje se preslkavaju element skupa Q. 5

10 KOMPLEKSNI BROJEVI Neke elemente skupa I na brojevnom pravcu možemo dobt konstrukcjom pravokutnka kojemu se duljna djagonale može zračunat korsteć se Ptagornm poučkom. Ako je realnom broju x prdružena točka T, kažemo da je x koordnata točke T, što zapsujemo T(x). Brojevn pravac zorno prkazuje uređaj u skupu realnh brojeva. Name, ako je točka T (x ) ljevo od točke T (x ), tada je realn broj x manj od broja x pšemo x < x. Neka je realnom broju x prdružena točka T brojevnog pravca. Udaljenost točke T od shodšta O nazvamo apsolutnom vrjednošću l modulom broja x. Apsolutna vrjednost realnog broja uvjek je poztvan broj, tj. x x za x< 0 = 0 za x = 0 x za x> 0. Apsolutna vrjednost negatvnom broju promjen predznak, a poztvan broj nulu ostavlja nepromjenjenma. Za nas će često bt značajan podskup skupa R čj su element samo poztvn realn brojev. Taj ćemo podskup označavat smbolom R +. Dakle, R + = {x R : x > 0}. U skupu realnh brojeva moguće je rješt jednadžbu oblka x = a samo ako je a 0. Tako, prmjerce, jednadžba x = 4 nema rješenja u skupu realnh brojeva. Njh treba potražt u jednom drugom skupu - skupu magnarnh brojeva. 6

11 6. Skup magnarnh brojeva Jednadžbu x = rješt ćemo korjenovanjem: x =±. Prtom se ptamo koj broj moramo pomnožt samm sobom da bsmo dobl. Jednadžba ma dva realna rješenja: Rješmo analogno jednadžbu: Sljed: x =, x =. x =. x =±. Broj nje realan jer ne postoj broj koj, pomnožen sam sobom, daje kao umnožak. Broj nazvamo magnarnom jedncom označavamo oznakom : = Očgledno vrjed: = ( ) =. Nadalje vrjed: Zapamtmo: 3 = = ( ) = 4 = = ( ) ( ) =. = 3 = 4 =. 7

12 KOMPLEKSNI BROJEVI Ovo posljednje možemo skorstt za prkaz svake cjelobrojne potencje magnarne jednce. Djeljenjem prrodnog broja s 4, ostatak može bt 0,, l 3. To znač da se svak prrodn broj može napsat kao: 4k l 4k + l 4k + l 4k + 3, gdje je k N. Potencramo l broj prrodnm brojem, rezultat može bt: 4k = ( 4 ) k = k = 4k + = 4k = = 4k + = 4k = ( ) = 4k + 3 = 4k 3 = ( ) =. Prmjer Izračunajmo Rješenje Prv prbrojnk možemo transformrat na sljedeć načn: 7 = = ( 4 ) 6 3 = 6 ( ) =. Očgledno je dovoljno gledat samo ostatak djeljenja eksponenta brojem 4: 7 = 3 =. Tako je 7 = =. Prsjetmo se: broj je djeljv s 4 ako mu je dvoznamenkast završetak djeljv s 4. To znač da je ovdje dovoljno promatrat ostatak djeljenja broja 7 s 4. Buduć da ostatak djeljenja broja 57 s 4 znos, to je = = pa je = + + =. Podsjetmo se da smo raconalzacju nazvnka provodl prošrvanjem razlomka: 8 = a = a, a R +. a a a a

13 KOMPLEKSNI BROJEVI Buduć da je = nazvnku:, slčno možemo postupt u slučaju magnarne jednce u = = = ( ) =. Sada možemo pojednostavnt svaku potencju magnarne jednce s negatvnm cjelobrojnm eksponentom. Prmjer Izračunajmo Rješenje Buduć da je to je 90 = 90 = = = 90 = 90 = 0 = =, 9 = 9 = 3 = = ( )= = + =. Skup magnarnh brojeva čne brojev oblka b, b R, gdje je magnarna jednca. U ovaj skup možemo uvest operacju zbrajanja ona će mat sva svojstva koja ma zbrajanje realnh brojeva. Međutm, množenjem dvaju magnarnh brojeva, nećemo dobt magnarn već realn broj, što znač da skup magnarnh brojeva nje zatvoren na operacju množenja. Da b se struktura skupa realnh brojeva prošrla na magnarne brojeve, uveden je skup kompleksnh brojeva. 9

14 7. Skup kompleksnh brojeva Brojeve oblka z = x + y, x, y R nazvamo kompleksnm brojevma. Prtom je magnarna jednca. Broj x R nazvamo realnm djelom kompleksnog broja oblježavamo Re z, a broj y R magnarnm djelom kompleksnog broja oblježavamo Im z. Skup kompleksnh brojeva uobčajeno je označt oznakom C: C = {x + y : x, y R}. Dakle, opć oblk kompleksnog broja je z = x + y, x, y R. Uočmo, ako je y = 0, onda je z = x, pa zaključujemo da je skup R podskup skupa C, tj. R C. Prmjer 3 Odredmo realn magnarn do kompleksnog broja z = Rješenje Re z = 3, Im z = 4. 0

15 8. Računske operacje s kompleksnm brojevma Uvedmo operacju zbrajanja u skup C: (x + y) + (u + v) = (x + u) + (y + v). Zbroj kompleksnh brojeva kompleksn je broj kojemu je realn do zbroj realnh djelova prbrojnka, a magnarn do zbroj magnarnh djelova prbrojnka. Svojstva zbrajanja u C 33Skup C zatvoren je na zbrajanje, tj. zbroj blo kojh dvaju kompleksnh brojeva kompleksn je broj. Smbolčk, za z, z C vrjed: z + z C. 33Asocjatvnost zbrajanja: prbrojnke možemo na blo koj načn združt zbroj se neće promjent. Smbolčk, za z, z, z 3 C vrjed: (z + z ) + z 3 = z + (z + z 3 ). 33Komutatvnost zbrajanja: prbrojncma možemo zamjent mjesta zbroj se neće promjent. Smbolčk, za z, z C vrjed: z + z = z + z. 33U skupu C postoj neutraln element za zbrajanje. To je, naravno, 0 koju, u skladu s općm oblkom kompleksnog broja, pšemo Name, vrjed: (x + y) + (0 + 0) = (0 + 0) + (x + y) = x + y. 33Za svak kompleksn broj z = x + y postoj njemu suprotn broj z = x y sa svojstvom: z + ( z) = ( z) + z = 0, tj. zbroj blo kojeg kompleksnog broja njemu suprotnog elementa jednak je neutralnom elementu za zbrajanje. U skupu C defnrana je operacja množenja na sljedeć načn: (x + y) (u + v) = (xu yv) + (xv + yu). Name, (x + y) (u + v) = xu + xv + yu + yv = xu + xv + yu yv = = (xu yv) + (xv + yu). Kompleksne brojeve množmo kao bnom bnomom, a prtom vodmo računa o čnjenc da je =.

16 KOMPLEKSNI BROJEVI Svojstva množenja u C 33Skup C zatvoren je na množenje, tj. umnožak blo kojh dvaju kompleksnh brojeva kompleksn je broj. Smbolčk, za z, z C vrjed: z z C. 33Asocjatvnost množenja: faktore možemo na blo koj načn združt umnožak se neće promjent. Smbolčk, za z, z, z 3 C vrjed: (z z ) z 3 = z (z z 3 ). 33Komutatvnost množenja: faktorma možemo zamjent mjesta umnožak se neće promjent. Smbolčk, za z, z C vrjed: z z = z z. 33U skupu C postoj neutraln element za množenje. To je broj + 0 =. Name, vrjed: (x + y) = (x + y) = x + y. Prmjer 4 Zbrojmo, oduzmmo pomnožmo brojeve z = z = 4. Rješenje z + z = = (3 + 4) + (5 ) = z z = (4 ) = = (3 4) + (5 + ) = + 7 z z = (3 + 5) (4 ) = = ( + 0) + ( 6 +0) = = + 4 Prmjer 5 Izračunajmo z za z = + 3. Rješenje z = ( + 3) = (3) = = 5 +

17 9. Konjugrano kompleksn brojev Za svak kompleksn broj z = x + y postoj kompleksn broj z = x y. Rad se, dakle, o brojevma jednakh realnh djelova suprotnh magnarnh djelova. Ovakav par brojeva nazvamo konjugranm parom kompleksnh brojeva. Zbroj para konjugrano kompleksnh brojeva realn je broj: z + z = x + y + x y = x. Razlka para konjugrano kompleksnh brojeva magnarn je broj: z z = x + y (x y) = x + y x + y = y. Umnožak para konjugrano kompleksnh brojeva realn je broj jednak zbroju kvadrata realnog magnarnog djela toga broja: z z = (x + y) (x y) = x (y) = x + y. Prethodna jednakost, čtana zdesna naljevo, daje rastav zbroja kvadrata na faktore: x + y = (x + y) (x y). Prmjer 6 Rastavmo na faktore: a) x + 4, b) a 4 b 4. Rješenje a) x + 4 = (x + ) (x ) b) a 4 b 4 = (a + b ) (a b ) = (a + b) (a b) (a + b) (a b) 3

18 0. Djeljenje kompleksnh brojeva Prsjetmo se da smo razlomke s raconalnm brojem u nazvnku raconalzral na sljedeć načn: Buduć da je = analogno: = a b = a b a+ b a + b a b a b., to u slučaju kompleksnog broja u nazvnku postupamo x = x+ y x + y x y x y = y x ( y) = x x + y y x + y. Djeljenje kompleksnh brojeva možemo prkazat u oblku razlomka, a njega možemo prošrt kompleksnm brojem koj predstavlja konjugrano kompleksn broj nazvnka. Na taj se načn u nazvnku pojavljuje zbroj kvadrata, a to je realn broj s kojm možemo djelt realn magnarn do brojnka, te tme odredt opć oblk traženog kompleksnog broja. Dakle, kolčnk kompleksnh brojeva kompleksn je broj. Prmjer 7 Podjelmo z = + 0 brojem z = + 3. Rješenje z z : z = = = = = =4. z

19 . Kompleksna ravnna Konstrurajmo koordnatnu ravnnu na sljedeć načn. Neka je os apscsa brojevn pravac na kojem će se očtavat realn do kompleksnh brojeva. Nazovmo taj pravac realnom os. Položmo okomto na njega os ordnata brojevn pravac na kojem će se očtavat magnarn do kompleksnog broja. Nazvamo ga magnarnom os. Tako određenu koordnatnu ravnnu nazvamo kompleksnom ravnnom l Gaussovom ravnnom. Na ovaj je načn kompleksnom broju z = x + y prdružena u kompleksnoj ravnn točka s koordnatama (x, y) pa često kompleksn broj prkazujemo u oblku uređenog para. Dakle, svakom je kompleksnom broju prdružena točno jedna točka ravnne. Vrjed obrat: svakoj je točk Gaussove ravnne prdružen točno jedan kompleksn broj. Buduć da su točke (x, 0), x R, smještene na os apscsa, zaključujemo da se skup realnh brojeva u kompleksnoj ravnn nalaz na toj os pa je označavamo s Re. Sve točke s koordnatama (0, y), y R, smještene su na os ordnata. Buduć da su kompleksn brojev oblka 0 + y = y zapravo magnarn brojev, to su on u kompleksnoj ravnn smješten na os ordnata pa je označavamo s Im. Prmjer 8 Prkažmo u kompleksnoj ravnn brojeve z = 3 +, z = 4 +, z 3 = 3, z 4 = 3 prdružmo m uređene parove. Rješenje slka z = (3, ), z = ( 4, ), z = ( 3, 0), z = (0, 3) 5

20 KOMPLEKSNI BROJEVI Prmjer 9 Prkažmo u kompleksnoj ravnn sve točke za koje vrjed: Re z Im z = 3. Rješenje Ako je rječ o kompleksnom broju z = x + y, gdje je Re z = x, a Im z = y, zadanu jednakost možemo napsat: x y = 3, z čega sljed y = x 3, što predstavlja eksplctn oblk jednadžbe pravca. Dakle, sve točke koje zadovoljavaju jednadžbu y = x 3 (a tme jednadžbu Re z Im z = 3), prpadaju grafu toga pravca. slka Podsjetmo se postupka crtanja grafa lnearne funkcje y = ax + b, a, b R. Realn broj b predstavlja odsječak pravca na os ordnata najprje crtamo točku T (0, b). Gledamo l realn broj a (kojeg nazvamo koefcjentom smjera pravca, jer određuje njegov nagb u koordnatnom sustavu) kao razlomak a = c, pomaknmo se od d nacrtane točke T za d (nazvnk!) jednca udesno, tj. nacrtajmo točku T (d, b). Od točke T pomaknmo se u točku T 3 (d, b + c), a to znač c jednca prema gore ako je koefcjent smjera poztvan, odnosno prema dolje ako je koefcjent smjera negatvan. 6

21 . Apsolutna vrjednost kompleksnog broja Apsolutna vrjednost l modul kompleksnog broja predstavlja udaljenost točke prdružene tom broju od shodšta. slka 3 Prmjenom Ptagorna poučka (slka 3) apsolutnu vrjednost kompleksnog broja z = x + y računamo na sljedeć načn: x = x + y. Prmjer 0 Izračunajmo apsolutnu vrjednost kompleksnog broja z = 3 4. Rješenje z = + ( ) = + = =

22 KOMPLEKSNI BROJEVI Prmjer Odredmo točke kompleksne ravnne koje zadovoljavaju jednadžbu z =. Rješenje Zadanu jednadžbu možemo napsat ovako: x + y =, z čega kvadrranjem dobvamo x + y = 4. Posljednja jednadžba predstavlja jednadžbu kružnce sa sredštem u shodštu polumjera. Općento, jednadžbom (x p) + (y q) = r određena je kružnca sa sredštem u točk S(p, q) polumjera r. Dakle, z jednadžbe je potrebno pročtat koordnate sredšta odredt ga u koordnatnoj ravnn, a zatm oko njega opsat kružncu polumjera r čj kvadrat stoj na desnoj stran zadane jednadžbe. 8

23 Zadac. Rješ jednadžbe: a) x 5 = 0, b) 9x 00 = 0, c) x + 5 = 0, d) x + 9 = 0, e) x + 7 = 0, f ) x + 8 = 0, g) 0.6x + = 0, h) 7x + 6 = 0.. Izračunaj: a) + 4 9, b) , c) , d) , e) + 9, f ) , g) , h) Izračunaj: a) ( ) + ( 9), b) ( 5+ 5) ( 49), c) ( 4 3) + ( + 7), d) ( + 8) ( 3 8). 4. Izračunaj: a) , b) , 4 3 c) , d) Izračunaj: a) 3 ( 4) + ( ), b) 5 ( + 5 ) ( 5 ), c) (4 3 ) ( + 7 ), d) 3 ( 4) 3 ( + ). 6. Izračunaj: 3 5 a) , b) , c) +, d) Izračunaj: a) [( ) 3 + ( ) 4 6 ]:( ) 6, b) ( 4) :( ) 4 ( 3) 4 :( 9),. 3 3 c) ( 3 8) + ( 8) d) 3 :

24 8. Izračunaj: a) ( 3 ) 7, b) ( ) ( ), 4 3 c) ( ) ( ) ( ) ( ), d) ( ) 5 ( 8) Odred realn magnarn do sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = 3 +, b) z = 4, c) z =, d) z = e) z = 3, f ) z = 9, g) z = 9 +, h) z = Odred nepoznate realne brojeve x y z uvjeta da kompleksn brojev z z budu jednak: a) z = 3 +, z = x +, b) z = 3 + y, z = 3, c) z = x +, z = 5 + y, d) z = 3 + x, z = y 4, e) z = x + y, z = 8, f ) z = (x + y) + y, z = 3, g) z = 3 + (x + y), z = x, h) z = x + 3y + y, z = Odred realne brojeve x y ako je zadano: a) x + y = 3 4, b) x + (y + ) = 6 3, c) (x + 6) + (y ) = 3 4, d) (x + y) + (x + y) = Zbroj oduzm sljedeće kompleksne brojeve: a) z = 3 +, z = +, b) z = 3 + 7, z = 3, c) z = +, z = 5 +, d) z = , z = 4 4, e) z = 3 +, z = 3, f ) z = , z = Zadan su kompleksn brojev z = 3 + 7, z = 3 z 3 = + 4. Izračunaj: a) z + z + z 3, b) z +3z z 3, c) z 4z + z 3, d) z z + z 3, e) 3(z +z ) z 3, f ) 3 z 3 z + z Pomnož sljedeće kompleksne brojeve: a) z = +, z = +, b) z = 3 + 5, z = 3, c) z = 3 +, z = 4 +, d) z = 7 + 5, z = 7 3, 30

25 e) z = + 4, z = 4 +, f ) z = 5 +, z = 5, g) z = 3 + 3, z = 3, h) z = 0. +., z = Izračunaj: a) (5 + ), b) (3 + 5), c) (3 ), d) 5), e) +, f ) + 3, g) ( + ) 3, h) ( 3) 3, ) 3 6. Izračunaj: 3 +, j) 3 3, k) ( ) 4, l) ( + ) 8. a) ( + ) + ( 3), b) ( + ) ( ), c) (3 ) + ( + ), d) (3 ) (6 ). e) (4 + ) (4 ) ( ), f ) (3 ) ( + ) ( ). 7. Izračunaj: a) ( ) 4 + ( + ) 4, b) ( + ) 4 ( ) 4, c) ( ) 0, d) e) g) 8. Podjel: , f ) +, h) , 0, a) + 7, b) , c) 7 +, d) 4 + 3, e), f ) 3 5 +, g) 3 5+, h) Odred realn magnarn do sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = 3 + ( ) ( 3), b) z = ( ) + 3 (3 ), c) z = (4 4) + ( ) ( 3), d) z = + 3, e) z = , f ) z = ( 3+ )( 5 ). + 3

26 0. Izračunaj: a) Re 3 + +, b) Re (4 ), c) Im + 3 5, d) Im +. Neka je z = 3 z = +. Izračunaj: a) z + z, b) z + 3z, c) z z, d) z, e) z, f ) z : z, g) z z, h) 5z : z... Izračunaj: a) ( + ) + ( + ) 3 + ( + ) 4, b), c) ( ) + 3 : 5, 5 ( 5 ) Rješ jednadžbe: d) : a) z = + 6, b) 7 z + 5 = 4 c) z (3 + ) = 3 +, d) z : (4 + 3) =, e) (7 + ) : z = 3 + 4, f ) (3 + ) + z (3 ) = Odred konjugran broj sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = +, b) z = +, c) z = 7, d) z = 3, e) z = 3 4, f ) z = 5, g) z = 3 +, h) z = Za zadan kompleksn broj z zračunaj z + z, z z, z z z : z ako je: a) z = + 3, b) z = +, c) z = 5 3 d) z =. 6. Ako je z = +, zračunaj: a) z + z, b) z z 7. Ako je z = +, zračunaj: z z z. a) +, b) + z z z z, c) + zz + z+ z, d) z z z z 8. Iz zadanh jednakost odred kompleksn broj z: a) z + z = 8 b) z 3 z = + z z =, z 4z = 4, c) 5 z : 3 z= z+ z =, 3 3 d) z 3z = + 5 z : z =..

27 9. Izračunaj apsolutnu vrjednost sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = 4 + 3, b) z = 8 6, c) z = 3, d) z =, e) z = 4 3 +, f ) z = Izračunaj apsolutnu vrjednost sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = ( ) (3 ), b) z = ( + ) ( ), c) z = , d) z = ( 3 ) Izračunaj z ako je zadano: a) z= ( 3+ 4) ( 8+ 5 ), b) z = Neka je z z = 3, = Odred: a) Re (z + z ), b) Im (z z ), c) z, d) z z. 33. U kompleksnoj ravnn prkaž sljedeće kompleksne brojeve: z = +, z =, z 3 = 3, z 4 = + 3, z 5 = 4, z 6 = 3, z 7 = 3, z 8 =. 34. Koj su brojev prkazan u kompleksnoj ravnn na sljedećoj slc? Im z z z 5 z 3 O z 4 Re z 6 z U kompleksnoj ravnn prkaž sljedeće skupove: a) Re z =, b) Im z = 3, c) Re z + Im z =, d) z + = z, e) z = z, f*) z = 3, g*) z 4 =, h*) z 3 + =. 36. U kompleksnoj ravnn prkaž sljedeće skupove: a) Re z < 3, b) Re z, c) Im z >, d) Im z 0, 33

28 e) Re z Im z <, f ) Re z + Im z, g) z + z, h) z > z, *) z < 3, j*) z > 4, k*) z 3, l*) z Rastav na faktore: a) a + b, b) a + 9, c) 5 + b, d) 4a + b, e) x + 6y, f ) 36x + 49y. 38. Skrat: a) 9 + x, b) 5x x 0x 39. Rješ sustav jednadžb: z 3z = + 9 z+ z = 3 a) b) z z = 7+ 8, z z =. Rješenja. a) ±5, b) ± 0, c) ±5, d) ±3, e) ± 7, f ) ± 3, g) ±.5, h) ± 3.. a) 0, b), c) 4, d) 4, e), f ) 6, g) 3, h) a) 3 4, b) 3 +, c) 6+ 3, d) a) , b) 4 + 5, c) , d) a) 8 4, b) , c) ( 3), d). 6. a) 0, b) 0, c), d). 7. a), b) 0, c) 8, d). 8. a), b) 4, c) 4 35, d) a) Re z = 3, Im z =, b) Re z = 4, Im z =, c) Re z = 0, Im z =, d) Re z = 3 4, Im z = 3, 34 e) Re z = 3, Im z =, f ) Re z = 9, Im z = 0, g) Re z =, Im z = 9, h) Re z = 0, Im z = a) x = 3, b) y =, c) x = 5, y =, d) x = 4, y = 3, e) x = 8, y =, f ) x = 4, y =, g) x = 3, y = 8, h) x =, y = 3.. a) x = 3, y =, b) x = 3, y = 5, c) x = 3, y =, d) x =, y =.. a) z + z = 4 + 4, z z =, b) z + z = 6 + 6, z z = 8, c) z + z = 5 +, z z = 4 +, d) z + z = +, z z = , e) z + z = 3 3, z z = 3+ 3, f ) z + z = 3.6 +, z z =

29 3. a) 4 + 0, b) 4, c) 8 +, d) +0, e) + 0, f ) a) 3 + 4, b) 4 +, c) + 7, d) 64 +4, e) 6, f ) 0 4 0, g) , h) a) + 0, b) , c) 8 6, d) 4 0, e) 3 + 4, f ) 3, g), h) 46 9, ), j), k) 4, l) a), b) 4, c) 5 + 0, d) 7 8, e) 7 +, f ) a) 4, b) 0, c) 0, d) 0, e), f ) 3, g), h). 8. a) 3 + 4, b), c) 3 + 4, d) 3 +, e) 4 + 3, f ), g) 3, h). 9. a) Re z =, Im z = 0, b) Re z = 8, Im z = 5, c) Re z = 4, Im z = 39, d) Re z = 3, Im z =, e) Re z = 4, Im z = 0, f ) Re z =, Im z =. 0. a), b) 5, c) 0, d).. a) 5, b) 7, c) 3 4, d) 5, e) 3 + 4, f ) 5 ( 4+ 7 ), g) ( 8 + ), h) (4 + 7).. a) + 39, b) 3, c), d) a) z = +, b) z = 3 + 6, c) z = + 3, d) z = +, e) z =, f ) z =. 4. a), b), c) 7 +, d) 3 +, e) 3 4, f ) 5 +, g) 3, h) a) z+ z = 4, z z = 6, z z = 3, 5 z : z = +, 3 3 b) z+ z =, z z = 4, z z = 5, 3 4 z : z = +, 5 5 c) z+ z = 0, z z = 6, z z = 34, 8 5 z : z =, 7 7 d) z+ z = 0, z z =, z z =, z : z =. 6. a) 4, b) a), b), c), d). 5 35

30 8. a) 4 +, b), c), d) a) 5, b) 0, c) 0, d), e) 5 3, f ) a) 5, b) 5, c), d). 3. a) 85, b) a) 4 5, b) 5, c) , d) 5. Im z 4 z 8 z z 7 z 5 z 3 O z Re z z = + 3, z =, z 3 = 3 +, z 4 = 3, z 5 = 4, z 6 =, z 7 = a) b) c) d) Im Im Im Im x+y = x = x = 0.5 Re Re Re O O O O Re x = 3 e) f ) g) h) Im Im Im Im O y=x x +y =9 ( x 4) +y = ( x 3) + ( y +) =4 Re Re O O O 36

31 36. a) b) c) d) Im Im Im Im x = 3 x = Re Re Re y =0 Re O O O O y = e) f ) g) h) Im Im Im O x y = Re x+y = Re Re O O O 4 x y +3=0 Im x 4y +3=0 Re ) j) k) l) Im Im Im Im x + y =9 Re Re Re O O O O ( x ) + y =6 ( x 3) +( y ) =4 ( x ) +( y ) =9 37. a) (a b) (a + b), b) (a 3) (a + 3), c) (5 b) (5 + b), d) (a b) (a + b), e) (x 4y) (x + 4y), f ) (6x 7y) (6x + 7y). 38. a) 3 x, b) 5 x a) z = + 3, z = 3, b) z = +, z =. 37

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

skup prirodnih brojeva N = {1, 2, 3...} skup cijelih brojeva Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} skup racionalnih brojeva Q = n : m Z, n N }

skup prirodnih brojeva N = {1, 2, 3...} skup cijelih brojeva Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} skup racionalnih brojeva Q = n : m Z, n N } SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Brojev su jedno od područja najšreg nteresa matematčara matematčke znanost. Put od prrodnh do realnh brojeva, koj je trajao tsućljećma, danas svak školarac prelaz već tjekom svojeg

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

4. Perspektiviteti i perspektivne figure. Desarguesov teorem

4. Perspektiviteti i perspektivne figure. Desarguesov teorem 4 Persektvtet ersektvne fgure Desarguesov teorem Promatrajmo rojektvnu ravnnu kao oeratvn rostor u njoj nz točaka ramen ravaca ( ) s vrhom, r čemu točka ne lež na ravcu ( ) na nosocu Jednoznačno obostrano

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove

Διαβάστε περισσότερα

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu.

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu. Neke metode z nelnearnog programranja Od metoda nelnearnog programranja koje se korste za rješavanje nekh problema sa specfčnom funkcjom clja zdvojt će se sljedeće: a) grafčka metoda, b) metoda neposrednog

Διαβάστε περισσότερα

Popis zadataka. a. Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija. b. Koja od zadanih funkcija raste brže? 4.,,, 5. Pojednostavi izraz:

Popis zadataka. a. Računski pronađi nultočke tih dviju funkcija. b. Koja od zadanih funkcija raste brže? 4.,,, 5. Pojednostavi izraz: Pops zadataka. Kolko su u koordnantnom sustavu udaljene točke A(, ) B(-, -)?. Izračunaj sve za koje vrjed jednadžba:. Zadane su funkcje. a. Računsk pronađ nultočke th dvju funkcja. b. Koja od zadanh funkcja

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI predavač: dr Marko Petković

POLINOMI predavač: dr Marko Petković Gmnazja Svetozar Markovć, Nš Dodatna nastava z matematke za drug, treć četvrt razred Nedelja, 01.11.2009. POLINOMI predavač: dr Marko Petkovć 1 Osnovna teorja Defncja. Neka je R prsten. Polnom P (x) nad

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Hamilton-Jacobijeva jednadžba

Hamilton-Jacobijeva jednadžba Klasčna mehanka 2 p. 1/26 Hamlton-Jacobjeva jednadžba - faznm portretom u blo kojem vremenskom trenutku odre den je fazn portret u svm ranjm kasnjm vremenma - svaka točka faznog portreta prpada odre denoj

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM . METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM. METODA BISEKCIJE.. METODA Nakon početnog stražvanja unkcje poznat su nam Kako može zgledat na ntervalu [ l, d ]? <

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Osnovna razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Osnovna razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Osnovna razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana

Διαβάστε περισσότερα