Χριστάκης ΟΝΗΣΙΦΟΡΟΥ 1. Λέξεις κλειδιά: πιθανοτική ανάλυση, εύρος ρωγμής, αξιοπιστία, Ευρωκώδικας 2

Transcript

1 Πιθανοτική προσέγγιση για τον υπολογισμό του εύρους ρωγμής σύμφωνα με τον Ευρωκώδικα 2 A probabilistic approach for the calculation of crack idth based on Eurocode 2 Χριστάκης ΟΝΗΣΙΦΟΡΟΥ 1 Λέξεις κλειδιά: πιθανοτική ανάλυση, εύρος ρωγμής, αξιοπιστία, Ευρωκώδικας 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Για την τήρηση της οριακής κατάστασης λειτουργικότητας σε συνήθεις πρακτικές σχεδιασμού, ο έλεγχος του εύρους ρωγμής του σκυροδέματος καθορίζεται με βάση το ελάχιστο ποσοστό οπλισμού ή το μέγιστο διάστημα μεταξύ ράβδων σε εφελκυσμό. Ο Ευρωκώδικας 2 προτείνει επίσης μια αναλυτική μέθοδο υπολογισμού του εύρους ρωγμής. Η παρούσα εργασία παρουσιάζει μια πιθανοτική προσέγγιση για τον υπολογισμό του εύρους ρωγμής, με βάση τη μέθοδο υπολογισμού του Ευρωκώδικα 2. Η αβεβαιότητα στον υπολογισμό εισάγεται μέσω στατιστικών κατανομών για την επικάλυψη του οπλισμού και το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος. Ακολούθως, διενεργούνται αναλύσεις αξιοπιστίας με τη μέθοδο Μόντε Κάρλο, από τις οποίες υπολογίζεται ο συντελεστής αξιοπιστίας και η πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς, δηλαδή η πιθανότητα το εύρος ρωγμής να ξεπεράσει τη μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή της οριακής κατάστασης λειτουργικότητας. ABSTRACT : In order to satisfy the serviceability limit state for common design practice, crack idth is controlled by using minimum tension reinforcement or limiting the maximum spacing of tension bars. In addition, Eurocode 2 suggests an analytical method for the calculation of crack idth. The current ork presents a probabilistic approach for the calculation of crack idth, based on the suggested method of Eurocode 2. The uncertainty in the calculation is introduced via statistical distributions of the reinforcement cover and the elastic modulus of concrete. Folloing this, reliability analyses are performed using Monte Carlo simulations. The reliability index is derived and finally the probability of undesired performance is estimated, i.e. the probability of crack idth exceeding the maximum alloable value of the serviceability limit state. 1 Λέκτορας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Frederick, Κύπρος, eng.oc@frederick.ac.cy 1

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πιθανοτική ανάλυση αξιοπιστίας είναι ένας σημαντικός τρόπος εκτίμησης των συνθηκών αστοχίας ενός συστήματος, και συνεχώς κερδίζει έδαφος στη μηχανική επιστήμη, ειδικά όταν η σωστή λήψη αποφάσεων είναι κρίσιμη. Σε αντίθεση με το συνήθη υπολογισμό ενός συντελεστή ασφαλείας, υπολογίζεται η πιθανότητα αστοχίας (ή αλλιώς η πιθανότητα του γεγονότος ανεπιθύμητης συμπεριφοράς) με βάση στατιστικές κατανομές για τις παραμέτρους οι οποίες παρουσιάζουν αβεβαιότητα στην ανάλυση. Οπότε με αυτή τη μέθοδο, η αβεβαιότητα μπορεί να προσομοιωθεί με πιο αποδοτικό τρόπο. Οι στοχαστικές προσομοιώσεις και οι αναλύσεις αξιοπιστίας έχουν τις ρίζες τους στην υπεράκτια μηχανική όπου υπάρχουν αβεβαιότητες τόσο στις συνθήκες φόρτισης όσο και στις συνθήκες του εδάφους. Τα τελευταία χρόνια είναι πιο ευρέως γνωστές, ιδίως σε συνάρτηση με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων, στη γεωτεχνική μηχανική (Onisiphorou 2000, Hicks et al 2005, Fenton et al 2007) και στη δομοστατική μηχανική, με εφαρμογές στην ανάλυση με πεπερασμένα στοιχεία (Papadrakakis et al 2005), υποστηλώματα με έκκεντρη φόρτιση (Szerszen 2005) και γέφυρες από οπλισμένο σκυρόδεμα (Thoft-Christensen 1996). Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εφαρμογή της γενικής ιδέας της ανάλυσης αξιοπιστίας στον υπολογισμό του εύρους ρωγμής σε μια διατομή από σκυρόδεμα, με βάση την προτεινόμενη μέθοδο του πρόσφατου Ευρωκώδικα 2 (EN1992-1, 2004). Οι ρωγμές είναι ένα ημι-στοχαστικό φαινόμενο, και σίγουρα δεν είναι δυνατή η απόλυτη πρόβλεψη του μέγιστου εύρους ρωγμών. Οι αβεβαιότητες που περιλαμβάνονται, για παράδειγμα, στην επικάλυψη του οπλισμού, στη θλιπτική αντοχή ή το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος και στην εφελκυστική αντοχή του σκυροδέματος, δύναται να επηρεάσουν το τελικό αποτέλεσμα. Η οριακή κατάσταση λειτουργικότητας στον Ευρωκώδικα 2 καθορίζει μέγιστες επιτρεπόμενες τιμές για τον έλεγχο των ρωγμών. Στην παρούσα ανάλυση, διενεργούνται πολλαπλές αναλύσεις τύπου Μόντε Κάρλο για τον υπολογισμό της πιθανότητας να ξεπεραστούν αυτά τα επιτρεπόμενα όρια του εύρους ρωγμής. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΥΡΟΥΣ ΡΩΓΜΗΣ Αρκετοί ερευνητές έχουν εργαστεί σε θέματα υπολογισμού του εύρους ρωγμής, με γνωστότερο κυρίως τον Beeby (1971). Επίσης υπάρχουν εξισώσεις πρόβλεψης του εύρους ρωγμής σε αρκετούς κώδικες σχεδιασμού όπως για παράδειγμα στο Βρετανικό κώδικα σκυροδέματος BS8110 (BSI 1985). Το εύρος ρωγμής εξαρτάται κυρίως από το διάστημα μεταξύ των σχηματιζόμενων ρωγμών και τη μέση ανηγμένη παραμόρφωση στο επίπεδο όπου λαμβάνεται υπ όψην η ρωγμή. Ο υπολογισμός του εύρους ρωγμής για την παρούσα εργασία έγινε σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφεται στην Παράγραφο του Ευρωκώδικα 2 (επίσης υπάρχει και στο Narayanan 2005). Το μέγιστο εύρος ρωγμής σε μια 2

3 διατομή από σκυρόδεμα εξαρτάται από το μέγιστο διάστημα μεταξύ των σχηματιζόμενων ρωγμών και τη μέση ανηγμένη παραμόρφωση της διατομής του οπλισμένου σκυροδέματος. Δίνεται από την Εξίσωση (1) πιο κάτω = S ε r, max m (1) όπου S r,max το μέγιστο διάστημα μεταξύ ρωγμής, και ε m η μέση ανηγμένη παραμόρφωση. Οι πιο κάτω υποενότητες συνοψίζουν τις εξισώσεις και παραμέτρους που χρειάζονται για τους υπολογισμούς. Υπολογισμός μέγιστου διαστήματος μεταξύ ρωγμών Το μέγιστο διάστημα μεταξύ ρωγμών υπολογίζεται ως εξής: φ S = 3.4c k k (2) r, max 1 2 ρ eff. όπου c η επικάλυψη του οπλισμού και Ø η διάμετρος των ράβδων οπλισμού. Ο συντελεστής k 1 λαμβάνει υπ όψην τις ιδιότητες συνοχής του οπλισμού, και είναι ίσος με 0.8 για ράβδους με υψηλή συνοχή. Ο συντελεστής k 2 εξαρτάται από την κατανομή τάσεων και είναι ίσος με 0.5 σε κάμψη. Ο ενεργός λόγος οπλισμού, ρ eff, είναι ο λόγος του εμβαδού εφελκυστικού οπλισμού, A s, που περιέχεται στο ενεργό εμβαδό σκυροδέματος σε εφελκυσμό, A c,eff. Το τελευταίο είναι ίσο με το μικρότερο από 2.5b(h-d), b(h-x)/3, bh/2, όπου b, h το πλάτος και ύψος της διατομής αντίστοιχα, d το στατικό ύψος της διατομής και x το ύψος του ουδέτερου άξονα. Τα πιο πάνω φαίνονται και στο Σχήμα 1 που ακολουθεί. Ευρωκώδικας 2 ουδέτερος άξονας Διατομή ε σ Σχήμα 1. Διατομή, διάγραμμα παραμόρφωσης και τάσης - b, h το πλάτος και ύψος της διατομής αντίστοιχα, d το στατικό ύψος της διατομής και x το ύψος του ουδέτερου άξονα. (Webster 2005) 3

4 Υπολογισμός των μέσων ανηγμένων παραμορφώσεων Η μέση ανηγμένη παραμόρφωση του σκυροδέματος, ε m, είναι η μέση ανηγμένη παραμόρφωση του οπλισμού, ε sm, πλην τη μέση ανηγμένη παραμόρφωση της επιφάνειας του σκυροδέματος, ε cm, δηλαδή ε m = ε sm ε cm (3) Η πιο πάνω μέση ανηγμένη παραμόρφωση, λαμβάνοντας υπ όψην την ακαμψία λόγω εφελκυσμού, δίνεται από την Εξίσωση (4) ως εξής: f ct, eff σ k s t 1 + α ρ e eff ρ eff σ ε ε = 0. 6 s sm cm Ε Ε s s (4) όπου σ s η τάση εφελκυστικού οπλισμού υπολογιζόμενη για μια ρηγματωμένη διατομή (=M appl.z), και E s το μέτρο ελαστικότητας του οπλισμού ίσο με 200GPa, όπως συνιστάται και από την Παράγραφο 3.2.7(4). Ο συντελεστής διάρκειας φόρτισης, k t, είναι ίσος με 0.6 για μικρής διάρκειας φορτία και 0.4 για μεγαλύτερης διάρκειας φορτία. Η f ct,eff είναι η μέση ανηγμένη εφελκυστική αντοχή του ενεργού σκυροδέματος κατά τη διάρκεια των πρώτων ρωγμών. Ο Ευρωκώδικας 2 εισηγείται όπως λαμβάνεται ίση με την f ctm, εκτός αν είναι ξεκάθαρο ότι θα υπάρξουν ρωγμές πριν τις 28 μέρες, οπότε πρέπει να χρησιμοποιηθεί μια μικρότερη τιμή. Το α e είναι ο λόγος των μέτρων ελαστικότητας (=E c /E s ). Μεθοδολογία ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Για το σκοπό μιας πιθανοτικής ανάλυσης (ή ανάλυσης αξιοπιστίας) πρέπει να οριστεί ένα όριο ασφαλείας, M. Αυτός ο ορισμός προτιμάται από τον πιο συνήθη όρο του συντελεστή ασφαλείας αφού σε αυτή την περίπτωση οριακής κατάστασης λειτουργικότητας, δε μελετάται απόλυτα η αστοχία. Ο υπολογισμός του ορίου ασφαλείας οδηγεί στην πιθανότητα αστοχίας, ή ακόμη καλύτερα, στην πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς. Για την παρούσα εργασία υπολογισμού εύρους ρωγμής, το όριο ασφαλείας, M, ορίζεται από την Εξίσωση (5) 4

5 M = max k (5) όπου max το μέγιστο επιτρεπόμενο εύρος ρωγμής για τις δεδομένες συνθήκες έκθεσης του σκυροδέματος (ίσο με 0.30mm για την ανάλυση αυτή) και k το προβλεπόμενο μέγιστο εύρος ρωγμής του σκυροδέματος από την Εξίσωση (1). Το εύρος ρωγμής διαφοροποιείται ανάλογα με τις στοχαστικές μεταβλητές του προβλήματος, οι οποίες δίνονται από τυχαία πεδία τιμών που ακολουθούν κανονική πιθανοτική κατανομή. Ο δείκτης αξιοπιστίας, β, για το όριο ασφαλείας M, υπολογίζεται από μ M β = σ M = 0.30 μ k σ k (6) Υποθέτοντας μια κανονική πιθανοτική κατανομή για το M, τότε το β θα ακολουθεί μια τυποποιημένη κανονική κατανομή, εφ όσον το M κανονικοποιείται σε σχέση με την τυπική απόκλιση του. Οπότε η πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς, p u, (δηλαδή για M <0) δίνεται από p u = 1 Φ( β ) = Φ( β ) (7) όπου Φ(β) το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος της τυποποιημένης κανονικής κατανομής που δίνει την πιθανότητα Z<z, όπως συνηθίζεται να δίνεται σε στατιστικούς πίνακες (εδώ το Ζ αντιστοιχεί με το β). Στοχαστικές παράμετροι Ένας αριθμός παραμέτρων υπολογίζεται με στοχαστικό τρόπο, με βάση πιθανοτικές κατανομές για τις μεταβλητές. Αυτό αντικαθιστά τη χρήση μιας μέσης ανηγμένης τιμής, που είναι η συνήθης πρακτική, αλλά κάποιες φορές μπορεί να είναι παραπλανητική αν η διακύμανση των τιμών είναι μεγάλη. Για το σκοπό της ανάλυσης αυτής, η επικάλυψη του οπλισμού και το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος θα εισαχθούν από τυχαία πεδία τιμών, με την κάθε παράμετρο να ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση ανηγμένη τιμή μ και τυπική απόκλιση σ. Δεν προτιμήθηκε η εισαγωγή πολλαπλών στοχαστικών μεταβλητών για την παρούσα εργασία, καθώς σκοπός είναι απλά η παρουσίαση 5

6 μιας πιθανοτικής προσέγγισης για τον υπολογισμό του εύρους ρωγμής και όχι μια πλήρης στοχαστική ανάλυση. Οι στατιστικές παράμετροι για τα τυχαία πεδία τιμών των c και E c δίνονται στον Πίνακα 1 πιο κάτω και βασίζονται σε τυπικές τιμές από τη βιβλιογραφία (Reynolds et al 2003, Kong et al 1994). Πίνακας 1. Στοχαστικές παράμετροι (c σε mm, E c σε GPa). Παράμετρος μ σ c 25 3 E c 28 2 Τα τυχαία πεδία θα δημιουργηθούν με βάση την Εξίσωση (8) που είναι ως εξής: Y = μ ± σ u(i) Y Y (8) στην οποία το Y είναι η στοχαστική παράμετρος που ακολουθεί κανονική κατανομή (σε αυτή την περίπτωση τα c και E s ) και u(i) ένας τυχαίος όρος με τυποποιημένη κανονική κατανομή με μέση ανηγμένη τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΛΑΚΑ ΑΠΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ Ορισμός προβλήματος Η προηγούμενη ενότητα σχετικά με τη μεθοδολογία για πιθανοτικό υπολογισμό για το εύρος ρωγμής εφαρμόστηκε στη φόρτιση μιας συνεχούς πλάκας από οπλισμένο σκυρόδεμα, αντοχής C25/30 και ανοίγματος 6m. Οι συνθήκες φόρτισης είναι ημι-μόνιμες (ψ =0.6) με μόνιμα φορτία G k =8.0kN/m 2 και μεταβλητά φορτία Q k =7.5kN/m 2. Η πλάκα έχει ολικό πάχος 250mm και εφελκυστικό οπλισμό Φ12/150mm. Το ύψος του ουδέτερου άξονα στη διατομή της πλάκας, x, και η ροπή αδρανείας I c υπολογίζονται από γραφικές παραστάσεις (Roe 1985). Πιθανοτική ανάλυση και αποτελέσματα Διενεργήθηκαν πολλαπλές αναλύσεις αξιοπιστίας τύπου Μόντε Κάρλο για το πιο πάνω πρόβλημα. Έγιναν συνολικά 500 διαφορετικές αναλύσεις για τον υπολογισμό του εύρους ρωγμής, σε 5 ομάδες των 100, για τις προαναφερθείσες στοχαστικές παραμέτρους. 6

7 Ο Πίνακας 2 πιο κάτω περιλαμβάνει επιλεκτικά κάποιες τιμές από την εισαγωγή δεδομένων για την ανάλυση, όσον αφορά τις υπόλοιπες προσδιορίσιμες παραμέτρους αλλά και άλλες εξαρτώμενες από τις στοχαστικές. Πίνακας 2. Δεδομένα για την ανάλυση (επιλεκτικά). Παράμετρος Τιμή k k A s 754 mm 2 ρ eff A s /A c, eff k t 0.4 f ct,eff 2.6 GPa Τα αποτελέσματα από κάθε ομάδα ανάλυσης περιλαμβάνουν τη μέση ανηγμένη τιμή και την τυπική απόκλιση του ορίου ασφαλείας M, τον δείκτη αξιοπιστίας β και την πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς, p u. Ο Πίνακας 3 πιο κάτω δείχνει ένα δείγμα από τα αποτελέσματα. Οι διακυμάνσεις στις τιμές του β προκύπτουν από την Εξίσωση (6) λόγω των διακυμάνσεων των τιμών του εύρους ρωγμής. Πίνακας 3. Αποτελέσματα από διαφορετικές προσομοιώσεις της πιθανοτικής ανάλυσης. Δείκτης αξιοπιστίας για υπολογισμό εύρους ρωγμής β Πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς p u E E E E E E E E E E-06 Το Σχήμα 2 παρουσιάζει το ιστόγραμμα της κατανομής των υπολογιζόμενων τιμών του εύρους ρωγμής, οι οποίες κυμαίνονται από mm. Παρατηρούμε ότι υπάρχει μια κανονική κατανομή ως σύνολο, με μια μικρή στρέβλωση, με μέσο ανηγμένο εύρος ρωγμής γύρω στα 0.21mm. 7

8 Το σημαντικότερο όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο κατανέμονται οι τιμές του ορίου ασφαλείας Μ, λόγω της παραδοχής για ακολουθία κανονικής κατανομής. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 3, το όριο ασφαλείας ακολουθεί με καλύτερη προσέγγιση μια κανονική κατανομή και έτσι δικαιολογείται η χρήση των Εξισώσεων (6) και (7). Οι τιμές του Μ κυμαίνονται από 0.04 μέχρι 0.18, με μέσο ανηγμένο Μ κοντά στο εύρος ρωγμής (mm) Σχήμα 2. Κατανομή τιμών εύρους ρωγμής με τη χρήση στοχαστικών παραμέτρων για την επικάλυψη του οπλισμού και το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος όριο ασφαλείας M Σχήμα 3. Κατανομή τιμών ορίου ασφαλείας Μ σύμφωνα με την Εξίσωση (5). 8

9 Το Σχήμα 4 παρουσιάζει τη μεταβολή του δείκτη αξιοπιστίας β σε σχέση με την πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς p u. Η καμπύλη από την ανάλυση βρίσκεται κοντά στην τυποποιημένη κανονική κατανομή αν και χρησιμοποιήθηκε σχετικά μικρός αριθμός αναλύσεων τύπου Μόντε Κάρλο (συνολικά 500 αναλύσεις). Αυτό ενισχύει την παραδοχή, που ακολούθησε το Σχήμα 3, ότι το Μ ακολουθεί κανονική κατανομή. Με βάση τα στοχαστικά δεδομένα (στατιστικές παραμέτρους μεταβλητών) και τα υπόλοιπα βασικά δεδομένα (φορτία, γεωμετρία κλπ), ο δείκτης αξιοπιστίας είναι πάντα θετικός, ή αλλιώς p u <<1, που σημαίνει ότι τo υπολογιζόμενο εύρος ρωγμής δε ξεπερνά τα 0.3mm. Όσο ο δείκτης αξιοπιστίας αυξάνεται, παρατηρείται μια συνεχής μείωση της πιθανότητας ανεπιθύμητης συμπεριφοράς. Από β=2 έως β=2.5 υπάρχει μια ραγδαία μείωση, ενώ από β=2.5 έως β=3.5, η πιθανότητα μειώνεται απότομα από σε χαμηλότερες τιμές. Για τιμές β>4.5, η p u τείνει προς το μηδέν, τουλάχιστον όσον αφορά πρακτικές συνθήκες παρά μαθηματικές. Επιπρόσθετα, είναι δυνατό να επιλεγεί αρχικά μια στοχευμένη πιθανότητα. Χρησιμοποιώντας το διάγραμμα αξιοπιστίας του Σχήματος 4, το μέσο ανηγμένο μέγιστο εύρος ρωγμής μπορεί να εκτιμηθεί με την χρήση της Εξίσωσης (6). Για παράδειγμα, αν η στοχευμένη πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς είναι 0.003, τότε για β=2.7 (από το Σχήμα 4) και για μια τυπική απόκλιση ίση με 0.02mm (από το εύρος των τιμών κανονικής κατανομής του Σχήματος 3), καταλήγουμε σε ένα μέσο ανηγμένο μέγιστο εύρος ρωγμής ίσο με 0.246mm. Άρα, συμπεραίνουμε ότι οποιοδήποτε εύρος ρωγμής μικρότερο από 0.246mm θα είναι αποδεκτό p u ανάλυση αξιοπιστίας Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή δείκτης αξιοπιστίας β 4.5 Σχήμα 4. Διάγραμμα αξιοπιστίας για τον υπολογισμό του εύρους ρωγμής. 9

10 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάστηκε μια πιθανοτική προσέγγιση για τον υπολογισμό του εύρους ρωγμής σε διατομές από σκυρόδεμα. Αυτή έγινε σύμφωνα με τη μέθοδο υπολογισμού που προτείνεται από τον Ευρωκώδικα 2. Για το σκοπό της ανάλυσης, η επικάλυψη του οπλισμού και το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος, μεταβάλλονταν στοχαστικά με τυχαία πεδία τιμών, που ακολουθούσαν όμως κανονικές πιθανοτικές κατανομές με προκαθορισμένη μέση ανηγμένη τιμή και τυπική απόκλιση. Mε βάση το όριο ασφαλείας που ορίστηκε για το εύρος ρωγμής, υπολογίστηκε ο δείκτης αξιοπιστίας και η πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς. Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόστηκε σε παράδειγμα για την περίπτωση μιας συνεχούς πλάκας από οπλισμένο σκυρόδεμα. Ο δείκτης αξιοπιστίας και η πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς υπολογίστηκαν για 500 αναλύσεις τύπου Μόντε Κάρλο. Αν και έγινε ένας σχετικά μικρός αριθμός αναλύσεων, τα αποτελέσματα δεν είναι μακριά από την θεωρητική καμπύλη. Οι αβεβαιότητες που εισάχθηκαν στην ανάλυση δε δίνουν μεγάλες πιθανότητες ανεπιθύμητης συμπεριφοράς (κάτω από 0.02), αλλά δύναται να αυξηθούν αν εισαχθούν περισσότερες στοχαστικές παράμετροι με βάση πιθανοτικές κατανομές (κανονική κατανομή ή άλλες). Ωστόσο, όσο πιο μικρή είναι αυτή η πιθανότητα, τόσο πιο ασφαλής είναι ο σχεδιασμός αφού μικραίνει η πιθανότητα το εύρος ρωγμής να ξεπεράσει τη μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή. Επίσης, συζητήθηκε η στοχευμένη πιθανότητα ανεπιθύμητης συμπεριφοράς και δόθηκε ένα απλό παράδειγμα πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αρχικό κριτήριο για την ανάλυση. Μια πιθανή μελλοντική εργασία στο παρόν θέμα θα μπορούσε να συμπεριλάβει την αύξηση των αναλύσεων τύπου Μόντε Κάρλο, τη σύγκριση με άλλες μεθόδους ανάλυσης αξιοπιστίας (π.χ. Hasofer-Lind) καθώς και την αύξηση των στοχαστικών παραμέτρων (π.χ. f ct,eff και A s ). Οι αναλύσεις αξιοπιστίας και οι πιθανοτικές αναλύσεις είναι πολύ χρήσιμες και πρέπει να λαμβάνονται υπ όψην, ιδίως όταν υπάρχουν αβεβαιότητες από δοκιμές για τη μέτρηση παραμέτρων ή μη εύκολα προσδιορίσιμες παράμετροι που μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά το τελικό αποτέλεσμα. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Beeby, A.W., The prediction and control of flexural cracking in reinforced concrete members, in Proceedings of the ACI Symposium on cracking, deflection and ultimate load of concrete slab systems, American Concrete Institute, Detroit, USA, (1971),

11 BSI, BS8110: Structural Use of Concrete. Code of practice for design and construction, BSI Standard (1985) EN1992-1: Eurocode 2: Design of concrete structures, General rules and rules for buildings, Eurocodes Standard (2004) Fenton, G.A., Zhang, X.Y., & Griffiths, D.V., Reliability of shallo foundations designed against bearing failure using LRFD, Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards, Vol.1, No.4, (2007), Hicks, M.A. & Onisiphorou, C., Stochastic Evaluation of Static Liquefaction in a predominantly dilative sand fill, Geotechnique, Vol.55, (2005), Kong, F.K. & Evans, R.H., «Reinforced and Prestressed Concrete», Chapman & Hall, Cambridge (1994) Narayanan, R.S. & Beeby, A.W., «Designer s Guide to EN and EN : Design of concrete structures», Thomas Telford, London (2005) Onisiphorou C., Stochastic finite element analysis of the Nerlerk underater berm, in Proceedings of the 6 th Young Geotechnical Engineers Symposium, London, UK (2000) Papadrakakis, M., Papadopoulos V., Georgioudakis E., Hofstetter, G., Feist, C. & Theiner Y., Reliability Analysis of a plain concrete beam, IALAD Project report (2005) Reynolds, C.E. & Steedman, J.C., «Reinforced Concrete Designer s Handbook», Spon Press, London (2003) Roe, R.E., «Handbook to British Standards BS8110: 1985: Structural Use of Concrete», Palladian, London (1985) Szerszen, M., Reliability analysis for eccentrically loaded columns, American Concrete Institute, Technical Report (2005) Thoft-Christensen, P., Reliability profiles for concrete bridges, NSF Workshop on Structural Reliability in Bridge Engineering, Boulder, USA, (1996) Webster, R., The practical use of Eurocode 2,Concrete Innovation & design Technical Report (2005) 11