1. Eισαγωγικά. 2. Διατύπωση των Kelvin-Plank

Transcript

1

2 1. Eισαγωγικά Mολονότι ο πρώτος θερµοδυναµικός νόµος αποτελεί µια παγκόσµια αρχή που ισχύει σε όλες τις φυσικές διεργασίες που συµβαίνουν στην Σύµπαν, όµως δέν δίνει απάντηση στο ερώτηµα αν µπορεί να πραγµατοποιηθεί κάποιο φυσικό φαινόµενο. Πράγµατι µπορούµε να σκεφθούµε φυσικά φαινόµενα που δεν παρα βιάζουν τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, αλλά ποτέ δεν έχουν πραγµατοποιη θεί. Λόγου χάρη η αυθόρµητη µεταφορά θερµότητας από ένα ψυχρό πρός ένα θερµό σώµα δεν έχει ποτέ παρατηρηθεί, µολονότι αυτό επιτρέπεται από τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο. Eπίσης η αυθόρµητη συµπίεση ενός ιδανικού αερίου σε δοχείο µε αδιαβατικά και σταθερά τοιχώµατα δεν έχει ποτέ πραγµατο ποιηθεί, µολονότι το φαινόµενο αυτό δεν πραβιάζει τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο. Aπάντηση στο ερώτηµα αν είναι δυνατή η πραγµατοποίηση ενός φυσικού φαινοµένου δίνει ο δεύτερος θερµοδυναµικός νόµος, ο οποίος αποτελεί κατά ένα τρόπο την ικανή συνθήκη γιά να εξελιχθεί το φαινόµενο, ενώ ο πρώτος θερµοδυναµικός νόµος αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για την εξέλιξη του φαινοµένου. O δεύτερος θερµοδυναµικός νόµος έχει τρείς ισοδύναµες διατυ πώσεις, εκ των οποίων οι δύο έχουν ποιοτικό χαρακτήρα, δηλαδή δεν περιγρά φονται από κάποια µαθηµατική σχέση, ενώ η τρίτη διατύπωση γνωστή ως εντροπική διατύπωση έχει ποσοτικό χαρακτήρα, ο οποίος σχετίζεται µε την έννοια της εντροπίας. 2. Διατύπωση των Kelvin-Plank H διατύπωση αυτή είναι αποτέλεσµα της εµπειρίας που έχουµε αποκτήσει εξετάζοντας τη λειτουργία των θερµικών µηχανών. Λέγοντας θερµική µηχανή εννοούµε κάθε σύστηµα, µέσω του οποίου η θερµότητα µετασχηµατίζεται σε ωφέλιµο µηχανικό έργο. Mία θερµική µηχανή περιλαµβάνει ένα χώρο εντός του οποίου ένα υλικό µέσο (π.χ. ένα αέριο ή µείγµα αερίων) υποβάλλεται συνεχώς στην ίδια κυκλική διεργασία, κατά την εξέλιξη της οποίας συµβαί νουν τα εξής: Tο υλικό µέσο απορροφά θερµότητα από µία πηγή θερµότητας A υψηλής θερµοκρασίας T 1, ένα µέρος αυτής το αποδίδει στο περιβάλλον της µηχανής µε τη µορφή µηχανικού έργου καί το υπόλοιπο εκχωρείται σε µία άλλη πηγή θερµότητας B χαµηλής θερµοκρασίας T 2 (T 2 <T 1 ). Mέχρι στιγµής δεν έχει επινοηθεί θερµική µηχανή που να µετασχηµατίζει πλήρως τη θερµότητα σε µηχανικό έργο, δηλαδή δεν υπάρχει θερµική µηχανή που να λειτουργεί µόνο µε µία πηγή θερµότητας από την οποία το υλικό µέσο της µηχανής να αντλεί θερµότητα, την οποία να µετατρέπει εξ' ολοκλήρου σε µηχανικό έργο. Aν Q 1 είναι η θερµότητα που εκχωρεί η πηγή A στο υλικό µέσο της θερµικής µηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της, Q 2 η αντίστοιχη θερµότητα που απο δίδει το µέσο στην πηγή θερµότητας B καί W το αντίστοιχο ωφέλιµο έργο της µηχανής, τότε συµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο θα ισχύει η σχέση:

3 Q 1 + Q 2 = U + W Q 1 - Q 2 = W (1) διότι ΔU=0, Q 1 >0 και Q 2 <0. Tο πηλίκο W/Q 1 ορίζεται ως θερµοδυναµικός συντε λεστής απόδοσης της θερµικής µηχανής και συµβολίζεται µε α, δηλαδή ισχύει: Σχήµα 1 = W Q 1 (1) = Q 1 - Q 2 Q 1 = 1 - Q 2 Q 1 (2) Eπειδή γιά όλες τις θερµικές µηχανές ισχύει Q 2 0 εύκολα προκύπτει ότι α<1. Oι Kelvin και Plank γενικεύοντας το συµπέρασµα αυτό διατύπωσαν την ακό λουθη πρόταση, η οποία αποτελεί την αρχική µορφή του δεύτερου θερµοδυνα µικού νόµου: Δεν είναι δυνατή µια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερµοδυναµικού συστήµα τος, µε µοναδικό αποτέλεσµα την ολοκληρωτική µετατροπή της θερµότητας σε µηχανικό έργο. 3. Διατύπωση του Clausius H διατύπωση αυτή οφείλεται στην εµπειρία που αποκτήθηκε από τη µελέτη των ψυκτικών µηχανών. Λέγοντας ψυκτική µηχανή εννοούµε µία διάταξη κατά τη λειτουργία της οποίας µεταφέρεται συνεχώς θερµότητα από ένα ψυχρό πρός ένα θερµό σώµα µε τον εξής τρόπο. Ένα κατάλληλο υλικό µέσο υποβάλ λεται σε κυκλική διεργασία, κατά την οποία προσλαµβάνοντας έργο από το πε ριβάλλον αντλεί θερµότητα από µία πηγή B χαµηλής θερµοκρασίας T 2 καί την µεταφέρει σε µία πηγή θερµότητας A υψηλής θερµοκρασίας T 1 (T 1 >T 2 ). Mέχρι στιγµής δεν έχει κατασκευαστεί ψυχτική µηχανή η οποία να µεταφέρει θερµό τητα από ένα ψυχρό πρός ένα θερµό σώµα, χωρίς να καταναλώνει έργο καί σχεδόν επικρατεί βεβαιότητα ότι και στό µέλλον δεν θα υπάρξει τέτοια ψυχτι κή µηχανή. Aν Q 2 είναι η θερµότητα που παρέχει ανά κύκλο η πηγή B χαµη λής θερµοκρασίας T 2 στο υλικό µέσον της ψυκτικής µηχανής, W το αντίστοιχο έργο που αντλεί το µέσον από το περιβάλλον καί Q 1 η αντίστοιχη θερµότητα που εκχωρείται στην πηγή A υψηλής θερµοκρασίας T 1, τότε σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο ισχύει η σχέση:

4 Q 1 + Q 2 = U + W Q 2 = W - Q 1 Q 2 = - W + Q 1 W = Q 1 - Q 2 (1) Σχήµα 2 διότι ΔU=0, W<0 και Q 1 <0. Tο πηλίκο Q 2 / W ορίζεται ως συντελεστής από δοσης της ψυκτικής µηχανής καί συµβολίζεται µε α, δηλαδή ισχύει: = Q 2 W (1) = Q 2 Q 1 - Q 2 Eπειδή γιά όλες τις ψυκτικές µηχανές ισχύει W >0, θα είναι λόγω της (1) καί Q 1 >Q 2, oπότε ο συντελεστής απόδοσης µιάς ψυκτικής µηχανής δεν µπορεί να απειριστεί. O Clausius γενικεύοντας το συµπέρασµα αυτό διατύπωσε την ακό λουθη πρόταση, η οποία αποτελεί µια άλλη µορφή του δευτερoυ θερµοδυναµι κού νόµου. Δεν είναι δυνατή µια κυκλική φυσική διεργασία ενός θερµοδυναµικού συστήµα τος, µε µοναδικό αποτέλεσµα τη µεταφορά θερµότητας από ψυχρό σε θερµό σώµα. 4. Iσοδυναµία της διατύπωσης Clausius προς τη διατύπωση Kelvin-Plank Θα δείξουµε ότι, οι δύο προηγούµενες διατυπώσεις του δεύτερου θερµοδυ ναµικού νόµου είναι µεταξύ τους ισοδύναµες. Προς τούτο αρκεί να δείξουµε ότι η άρνηση της διατύπωσης του Clausius συνεπάγεται και άρνηση της διατύ πωσης των Kelvin-Plank και αντίστροφα. Θεωρούµε λοιπόν ότι, υπάρχει ιδανι κή ψυκτική µηχανή, που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της µεταφέρει από µια πηγή θερµότητας B, χαµηλής θερµοκρασίας T 2, θερµότητα Q 2 σε µια πηγή θερ µότητας A, υψηλής θερµοκρασίας T 1, (T 1 >T 2 ) χωρίς να καταναλώνει έργο. Θεωρούµε ακόµη ότι, µεταξύ των πηγών θερµότητας A και B εργάζεται µια θερ µική µηχανή, η οποία λειτουργώντας σύµφωνα µε τη διατύπωση των Kelvin- Plank, παίρνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της καταλληλη ποσότητα θερµότη τας Q 1 από την πηγή A, ώστε να δίνει θερµότητα Q 2 στην πηγή B και να παράγει µηχανικό έργο W (σχήµα 3). Tότε το σύστηµα των δύο αυτών µηχα νών θα αποτελούσε µια θερµική µηχανή, που θα µετέτρεπε όλη τη θερµότητα

5 Q 1 σε µηχανικό έργο W, γεγονός που σηµαίνει την άρνηση της διατύπωσης των Kelvin- Plank. Σχήµα 3 Σχήµα 4 Έστω τώρα ότι υπάρχει ιδανική θερµική µηχανή, δηλαδή µια θερµική µηχανή που µετατρέπει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της την θερµότητα Q 1 που παίρνει από µια πηγή θερµότητας A, υψηλής θερµοκρασίας T 1, πλήρως σε µηχανικό έργο W. Θεωρούµε τώρα και µια ψυκτική µηχανή που λειτουργεί µεταξύ των πηγών A και B, ακολουθώντας την διατύπωση του Clausius (σχήµα 4). Eίναι δυνατόν η ψυκτική αυτή µηχανή, παίρνωντας το έργο W, να δίνει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της θερµότητα Q 1 στην πηγή A, αφαιρώντας συγχρόνως κατάλληλη ποσότητα θερµότητας Q 2, από την πηγή B. Tότε όµως, το σύστηµα των δύο µηχανών θα αποτελούσε µια ιδανική ψυκτική µηχανή, γεγονός που ισοδυναµεί µε άρνηση της διατύπωσης του Clausius. 5. Θερµική µηχανή του Carnot O Γάλλος µηχανικός Sadi Carnot επιθυµώντας να διευκρινίσει πιο είναι το ανώτατο όριο του θερµοδυναµικού συντελεστή απόδοσης µιας θερµικής µηχα νής, που λειτουργεί ανάµεσα σε δύο δεδοµένες θερµοκρασίες T 1 καί T 2, επινό ησε ένα µοντέλο θερµικής µηχανής µε τα εξής χαρακτηριστικά: α. Tο υλικό µέσο της µηχανής αυτής είναι ένα ιδανικό αέριο. β. Kατά τη λειτουργία της µηχανής το υλικό της µέσο υφίσταται συνεχώς µια αντιστρεπτή κυκλική διεργασία που είναι γνωστή ως κύκλος Carnot καί αποτελείται από τις εξής επιµέρους µεταβολές. Aπό µια ισόθερµη εκτόνωση A B στη διάρκεια της οποίας το υλικό µέσο απορροφά από τη δεξαµενή θερµότητας υψηλής θερµοκρασίας T 1 θερµότητα Q 1 (Q 1 >0). Aπό µια αδιαβατική εκτόνωση B Γ στη διάρκεια της οποίας η θερµοκρασία του υλικού µέσου µειώνεται από T 1 σε T 2. Aπό µια ισόθερµη συµπίεση Γ Δ κατά την οποία το µέσο εκχωρεί θερµότητα Q 2 (Q 2 <0) στη δεξαµενή θερµότητας χαµηλής θερµοκ ρασίας T 2. Tέλος το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση µέσω µιας αδιαβατικής συµπίεσης Δ A κατά την οποία η θερµοκρασία του αυξάνεται από T 1 σε T 2 (σχήµα 5). O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α C της µηχανής του Carnot σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν στο προηγούµενο εδάφιο είναι:

6 C = 1 - Q 2 Q 1 (1) Όµως γιά τις θερµότητες Q 1 καί Q 2 ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 5 Q 1 = nrt 1. ln V $ B & και Q 2 = nrt 2. ln V $ & % % V A όπου V A,V B,V Γ,V Δ οι όγκοι των αερίων στις καταστάσεις A, B, Γ καί Δ αντιστοίχως και n ο αριθµός των mol του αερίου. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: V C = 1 - T 2 ln(v /V ) T 1 ln(v B /V A ) (2) Eξάλλου γιά τις αδιαβατικές µεταβολές B Γ καί Δ A ισχύουν οι σχέσεις: -1 V = T 2 V -1 V = T 2 V T 1 B -1 T 1 A -1 ( :) V B V A $ & % -1 = V V $ & % -1 V B V = V A V ln V $ B & = ln V A % V V $ & % ln V B V A $ & = -ln % V V $ & %

7 οπότε η σχέση (2) δίνει: C = 1 - T 2 T 1 (3) Παρατηρούµε από τη σχέση (3) ότι, ο θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης µιας θερµικής µηχανής Carnot εξαρτάται µόνο από τις θερµοκρασίες T 1 καί T 2 των δεξαµενών θερµότητας που χρησιµοποιεί και µάλιστα όσο πιο µικρός είναι ο λόγος T 2 /T 1 τόσο µεγαλύτερος είναι ο συντελεστής α C. 6. Oρισµός της εντροπίας O Clausius επιθυµώντας να δώσει µαθηµατική µορφή στον δεύτερο θερµοδυ ναµικό νόµο επινόησε την έννοια της εντροπίας, ένα µέγεθος που άνοιξε ευρύ τατους ορίζοντες για την ανάπτυξη της Θερµοδυναµικής. Aφετηρία για να ορί σει ο Clausius την έντροπία υπήρξε ο κύκλος του Carnot, τον οποίο σκέφθηκε να διαµερίσει σε µεγάλο πλήθος στοιχειωδών µεταβολών και σχηµάτισε για κάθε µια το πηλίκο της θερµότητας dq που ανταλλάσσει το αέριο µε το περι βάλλον του, προς την αντίστοιχη θερµοκρασία T υπό την οποία γίνεται η ανταλ λαγή και στη συνέχεια άθροισε όλα αυτά τα πηλίκα. Aναπαράγοντας τις ιδέες του Clausius για τον κύκλο Carnot ΑΒΓΔ (σχήµα 6) θα έχουµε: ( dq/t) = ( dq/t) + ( dq/t) + ( dq/t) + ( dq/t) (1) (C) (AB ) (B) ( ) ( A) Σχήµα 6 Όµως οι µεταβολές BΓ και ΔA είναι αδιαβατικές και εποµένως τα αντίστοιχα αθροίσµατα είναι µηδενικά, δηλαδή ισχύει: ( dq/t) = ( dq/t) = 0 (2) (B ) ( A) Eξάλλου, εάν Q 1 είναι το ποσό θερµότητας που παίρνει το αέριο κατά την ισό θερµη εκτόνωσή του AB, Q 2 το ποσό της θερµότητας που δίνει κατά την ισό

8 θερµη συµπίεση του ΓΔ και T 1, T 2 οι αντίστοιχες απόλυτες θερµοκρασίες του, θα έχουµε τις σχέσεις: ( dq/t) = Q 1 /T 1 και ( dq/t) = Q 2 /T 2 (3) (AB ) ( ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουµε: Q$ ' & = Q 1 + Q 2 (4) (C) T % T 1 T 2 Όµως σε µια κυκλική µεταβολή Carnot ισχύει η σχέση: Q 1 T 1 = - Q 2 T 2 Q 1 T 1 + Q 2 T 2 = 0 οπότε η (4) γράφεται: ( dq/t) = 0 (5) (C) H σχέση (5) δηλώνει ότι, σε κάθε κυκλική µεταβολή Carnot ενός αερίου, το αλγεβρικό άθροισµα των πηλίκων των στοιχειωδών θερµότητων που αυτό ανταλλάσσει µε το περιβάλλον του, προς την αντίστοιχη απόλυτη θερµοκρασία, υπό την οποία γίνεται η ανταλλαγή, είναι ίση µε µηδέν. O Clausius έδειξε ότι, η σχέση (5) έχει γενικώτερο χαρακτήρα, δηλαδή ισχύει για κάθε αντιστρεπτή κυκλική µεταβολή ενός σώµατος και το γεγονός αυτό του επέτρεψε να ισχυρι σθεί ότι, για κάθε σώµα υπάρχει ένα φυσικό µέγεθος, χαρακτηριστικό της κατά στασής του και ανεξάρτητο του τρόπου µε τον οποίο το σώµα βρέθηκε στην κατάσταση αυτή. Tο µέγεθος αυτό ο Clausius το ονόµάσε εντροπία του σώµα τος και το συµβόλισε µε S. Mολονότι η σχέση (4) εγγυάται την ύπαρξη της εντροπίας σε κάθε κατάσταση ισορροπίας του σώµατος, δεν µας επιτρέπει να την ορίσουµε. Mας επιτρέπει όµως να ορίσουµε τη µεταβολή της εντροπίας κατά µια αντιστρεπτή πορεία του από µια αρχική κατάσταση σε µια τελική κατάσταση. Σε περίπτωση που το σώµα εκτελεί µια στοιχειώδη αντιστρεπτή µεταβολή, κατά την εξέλιξη της οποίας ανταλλάσσει µε το περιβάλλον ένα πολύ µικρό (στοιχειώδες) ποσό θερµότητας dq και βρίσκεται σε απόλυτη θερµοκρασία T, τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης µεταβολή ds της εντροπίας του ορίζεται από τη σχέση: ds = dq/t (7) Eάν η αντιστρεπτή µεταβολή δεν είναι στοιχειώδης, τότε η συνολική µεταβολή ΔS ολ. της εντροπίας του σώµατος, όταν αυτό οδηγείται από µιά αρχική κατά σταση α σε µιά τελική κατάσταση τ, θα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών µεταβολών ds 1, ds 2,... ds n της εντροπίας του, που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις αντιστρεπτές µεταβολές στις οποίες διαµερίζεται η θεωρούµε νη µεταβολή, δηλαδή θα ισχύει: ΔS ολ. =ds 1 +ds ds n

9 S, = dq 1 T 1 + dq 2 T 2 Παρατηρήσεις dq n T n = $ dq$ ' & (8) T % i) Όταν αναφερόµαστε σε θερµοδυναµικό σύστηµα στο οποίο εξελλίσεται µιά οποιαδήποτε διαδικασία (αντιστρεπτή ή όχι), η µεταβολή της εντροπίας του συστήµατος είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των µεταβολών της εντροπίας των σωµάτων που το αποτελούν. ii) Όταν ένα θερµοδυναµικό σύστηµα οδηγείται µε αντιστρεπτό τρόπο από µιά αρχική σε µία τελική κατάσταση ισορροπίας, η µεταβολή της εντροπίας του είναι ακριβώς αντίθετη της µεταβολής που παθαίνει η εντροπία του περιβάλ λοντος του συστήµατος. Aυτό είναι άµεση συνέπεια του ορισµού που έχουµε δώσει για την αντιστρεπτή µεταβολή και δικαιολογείται ως εξής. Kατά την εξέλιξη της αντιστρεπτής µεταβολής το θερµοδυναµικό σύστηµα ανταλλάσσει µε το περιβάλλον του στοιχειώδη ποσά θερµότητας, ευρισκόµενο σε θερµοδυ ναµική ισορροπία µε αυτό, που σηµαίνει ότι υπάρχει κάθε στιγµή ανάµεσά τους µιά πολύ µικρή διαφορά θερµοκρασίας. Έτσι, αν το σύστηµα πάρει από το περι βάλλον του κατά τρόπο αντιστρεπτό την στοιχειώδη θερµότητα dq υπό θερµο κρασία T, η µέν εντροπία του συστήµατος θ αυξηθεί κατά dq/t, ενώ του περιβάλλοντος του θα ελαττωθεί κατά dq/t, οπότε η αντίστοιχη µεταβολή της εντροπίας του συστήµατος και του περιβάλλοντος θα είναι ίση µε µηδέν. Oµως το θερµοδυναµικό σύστηµα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύµπαν, που θεωρείται αποµονώµενο σύστηµα, δηλαδή σύστηµα που δεν ανταλλάσει ύλη και ενέργεια, οπότε µπορούµε να διατυπώσουµε την παρακάτω γενική πρόταση: Kατά τις αντιστρεπτές µεταβολές των θερµοδυναµικών συστηµάτων η εντροπία του Σύµπαντος διατηρείται σταθερή. iii) Όταν ένα σώµα υποβάλλεται σε αντιστρεπτή ή µη αντιστρεπτή κυκλική µεταβολή της θερµοδυναµικής του κατάστασης, τότε η συνολική µεταβολή της εντροπίας του είναι µηδέν. Στην περίπτωση που η κυκλική µεταβολή είναι αντιστρεπτή, η παραπάνω ιδιότητα περιγράφεται από τη σχέση: ( dq/t) = 0 (C) όπου ο υπολογισµός του αθροίσµατος θα γίνει κατα µήκος της κλειστής καµπύ λης γραµµής (C), η οποία απεικονίζει σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηµα αξό νων τη θεωρούµενη κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή του σώµατος. 7. Yπολογισµός της µεταβολής της εντροπίας σε ειδικές περιπτώσεις O υπολογισµός της µεταβολής της εντροπίας ενός σωµάτος, όταν αυτό µετέχει σε µια φυσική διεργασία, παρουσιάζει στη γενική περίπτωση µαθηµατική δυσκολία, η οποία εξαρτάται από το είδος της διεργασίας στην οποία υποβάλλε ται. Σε µερικές όµως περιπτώσεις ο υπολογισµός της είναι εφικτός µε απλοική µαθηµατική διαδικασία, όπως λογουχάρη στην περίπτωση της ισόθερµης και

10 αντιστρεπτής µεταβολής ή στην περίπτωση της αδιαβατικής και αντιστρεπτής µεταβολής της κατάστασης ιδανικού αερίου. α. Iσόθερµη µεταβολή: Aς δεχθούµε ότι, µια µάζα n mol ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε ισόθερµή και αντιστρεπτή µεταβολή της θερµοδυναµικής του κατάστασης υπό θερµοκρασία T, κατά την οποία ο όγκος του µεταβάλλεται από σε V 2. Eπειδή η θερµοκρα σία του αερίου παραµένει σταθερή, µπορεί να βγεί κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του αθροίσµατος Σ(dQ/T), oπότε για τη µεταβόλή ΔS ισοθ της εντρο πίας του αερίου θα έχουµε τη σχέση: S $% = 1 T dq ( ) = Q $% T Όµως η θερµότητα Q ισοθ που ανταλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του είναι ίση µε το αντίστοιχο έργο W ισοθ του αερίου, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφε ται: S $% = W $% T = nrt T ln V $ 2 & = nrln V $ 2 & % % Παρατηρούµε ότι κατά την ισόθερµη αντιστρεπτή εκτόνωση του αερίου (V 2 > ) ισχύει ΔS>0, που σηµαίνει ότι η εντροπία του αυξάνεται. Aκριβώς τα αντίστρο φα συµβαίνουν κατά την ισόθερµη συµπίεση του αερίου (V 2 < ), οπότε ΔS<0. β. Aδιαβατική µεταβολή: Όταν το αέριο υφίσταται αδιαβατική και αντιστρεπτή µεταβολή, τότε όλα τα στοιχειώδη ποσά θερµότητας dq που ανταλάσσει µε το περιβάλλον του είναι µηδενικά, οπότε η µεταβολή της εντροπίας του θα είναι µηδενική, δηλαδή θα ισχύει: ΔS αδιαβ = 0 Λόγω της παραπάνω ιδιότητας, µια αδιαβατική και αντιστρεπτή µεταβολή της κατάστασης ιδανικού αερίου ονοµάζεται και ισεντροπική µεταβολή. 8. Eντροπική διατύπωση του δεύτερου θερµοδυναµικού νόµου Aς θεωρήσουµε ένα σώµα που µετέχει µιας φυσικής διαδικασίας, η οποία το οδηγεί από µια αρχική σε µια τελική κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας. Kατά την διαδικασία αυτή η εντροπία του σώµατος µεταβάλλεται ανεξάρτητα από τον τρόπο που εξελίσσεται η διαδικασία αυτή, αφού η εντροπία του σώµα τος είναι µονότιµη συνάρτηση της κατάστασής του. Στην περίπτωση που το σώµα οδηγείται στην τελική κατάσταση κατά µη αντιστρεπτό τρόπο, δεν µπο ρούµε για τον υπολογισµό της µεταβολής της εντροπίας του να χρησιµοποι ήσουµε τη σχέση (8) του εδαφίου 6, διότι όπως αναφέρθηκε παραπάνω αυτή έχει νόηµα µόνο σε αντιστρεπτές διαδικασίες. Mπορούµε όµως να επιλέξουµε µια κατάλληλη αντιστρεπτή πορεία που οδηγεί το σώµα στην τελική του κατά

11 σταση και να υπολογίσουµε πάνω σ αυτή την πορεία την µεταβολή της εντρο πίας του σώµατος, χρησιµοποιώντας τη σχέση (8). H µεταβολή αυτή θα αντιπροσωπεύει και τη µεταβολή της εντροπίας του σώµατος κατά την αντί στοιχη µη αντιστρεπτή διαδικασία. Στα επόµενα θα επιχειρήσουµε να υπολογί σουµε τη µεταβολή της εντροπίας σε µερικές χαρακτηριστικές µη αντιστρε πτές διεργασίες και να αξιολογήσουµε τα αποτελέσµατα των υπολογισµών. α. Eλεύθερη εκτόνωση ιδανικού αερίου Aς θεωρήσουµε ένα ιδανικό αέριο, που βρίσκεται σε δοχείο µε αδιαβατικά τοιχώµατα. Tο δοχείο αυτό χωρίζεται µε τη βοήθεια ενός διαφράγµατος σε δύο χώρους, που τον ένα καταλαµβάνει το αέριο, ενώ ο άλλος χώρος είναι κενός. Aν αφαιρέσουµε το διάφραγµα, τότε το αέριο εκτονώνεται από τον αρχικό του όγκο V1 στον όγκο V 2 του δοχείου, χωρίς να ανταλλάσσει θερµότητα και έργο µε το περιβάλλον του (Q=0 και W=0). Tο φαινόµενο αυτό ονοµάζεται ελεύθερη εκτόνωση του αερίου, αποτελεί δε µη αντιστρεπτό φαινόµενο, αφού ποτέ δεν παρατηρήθηκε αυτόµατη αδιαβατική συµπίεση του αερίου στην αρχική του κατάσταση. Eφαρµόζοντας στο αέριο τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο παίρνουµε για την µεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας την σχέση ΔU=0, που σηµαίνει ότι κατά την ελεύθερη εκτόνωση του αέριου η εσωτερική του ενέρ γεια, άρα και η θερµοκρασία του, παρέµεινε η ίδια. Έτσι η αρχική και η τελική κατάσταση του αέριου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερµη καµπύλη, χωρίς Σχήµα 7 Σχήµα 8 όµως οι ενδιάµεσες καταστάσεις του αερίου να βρίσκονται πάνω στην καµπύλη αυτή, αφού δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και εποµένως δεν απεικονίζονται σε διάγραµµα P-V. Γίνεται τώρα φανερό ότι, για να υπολογίσουµε τη µεταβολή ΔS της εντροπίας του αέριου, θα χρησιµοποιήσουµε την αντίστοιχη ισόθερµη αντιστρεπτή εκτόνωση που µπορεί να το οδηγήσει από την αρχική κατάσταση A 1 όγκου, στην τελική κατάσταση A 2 όγκου V 2 (σχήµα 8) Για τη µεταβολή αυτή έχουµε: S = nr ln( V 2 / ) (1) όπου n ο αριθµός των mol του αερίου και R η παγκόσµια σταθερά των ιδανι κών αερίων. Eπειδή V 2 > θα ισχύει και ln(v 2 / )>0, οπότε, σύµφωνα µε την (1), η µεταβολή της εντροπίας του αερίου κατά την ελεύθερη εκτόνωση του είναι θετική, δηλαδή η εντροπία του αυξάνεται. Eξάλλου η εντροπία του περι βάλλοντος του αερίου δεν παθαίνει καµιά µεταβολή στη διάρκεια αυτής της µη αντιστρεπτής διαδικασίας, αφού το περιβάλλον δεν συµµετέχει ενεργειακά σ

12 αυτήν. Έτσι µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, τουλάχιστον* γι αυτή την µη αντιστρεπτή µεταβολή η εντροπία του αερίου και του περιβάλλοντος αυξάνει. Όµως το αέριο µαζί µε το περιβάλλον του αποτελούν το Σύµπαν, οπότε η ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύµπαν τος. Pοή θερµότητας δια µέσου χάλκινης ράβδου Tο φαινόµενο ροής θερµότητας από µια δεξαµενή θερµότητας A υψηλής θερµοκρασίας T 1 προς µια άλλη δεξαµενή B, χαµηλής θερµοκρασίας T 2 (T 1 >T 2 ), δια µέσου χάλκινης ράβδου, είναι µη αντιστρεπτό φαινόµενο. Kατά την εξέλιξη του φαινοµένου αυτού η εντροπία της χάλκινης ράβδου δεν µεταβάλλεται, αφού η θερµοκρασία σε κάθε διατοµή της είναι χρονικά σταθερή και όση θερµότητα φθάνει στην διατοµή αυτή µέσα σ ένα χρονικό διάστηµα, τόση φεύ γει από τη διατοµή στο διάστηµα αυτό. Έτσι η ολική µεταβολή ΔS ολ. της εντρο πίας του συστήµατος είναι ίση µε το άθροισµα της µεταβολής ΔS A της εντρο πίας της δεξαµενής A και της µεταβολής ΔS B της εντροπίας της δεξαµενής B, δηλαδή ισχύει: ΔS συστ =ΔS A +ΔS B (2) Για να υπολογίσουµε τις µεταβολές ΔS A και ΔS B πρέπει να βρούµε µια αντισ τρεπτή διαδικασία µεταφοράς της θερµότητας Q από τη δεξαµενή A στη B. Tέτοια διαδικασία µπορεί να εξασφαλιστεί αν διαθέτουµε µια δεξαµενή θερµό τητας, που τη θερµοκρασία της µπορούµε να ελέγχουµε ** αυτόµατα, η οποία Σχήµα 9 να έρχεται διαδοχικά σε επαφή πρώτα µε την A και στη συνέχεια σε επαφή µε την B. Mε τον τρόπο αυτό η δεξαµενή ελεγχόµενης θερµοκρασίας θα µεταφέρει κατά αντιστρεπτό τρόπο την θερµότητα Q από την A στην B, οπότε για τις µεταβολές ΔS A και ΔS B θα έχουµε τις σχέσεις: S A = -Q/T 1 S B = Q/T 2 (+ ) S A + S B = Q - Q = Q T - T $ 1 2 & (3) T 2 T 1 T 1 T 2 % * Προς στιγµή αγνοούµε όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες που συµβαίνουν στο περιβάλλον του αέριου και εντοπίζουµε την προσοχή µας στο πως επηρεάζεται το περιβάλλον από την ελεύθερη εκτόνωση του αερίου. ** Mε τη βοήθεια µιας τέτοιας πηγής, µπορούµε να εξασφαλίσουµε κάθε στιγµή µικρή διαφορά θερµοκρασίας ανάµεσα στην πηγή αυτή και στις πηγές A και B, οπότε η ροή θερµότητας θα γίνεται κατά τρόπο αντιστρεπτό.

13 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση: S $ = Q T - T $ 1 2 & (4) T 1 T 2 % Aπό την (4) προκύπτει ΔS συστ >0 που σηµαίνει ότι, κατά τη ροή θερµότητας από τη δεξαµενή A στην B δια µέσου της χάλκινης ράβδου, η εντροπία του συστή µατος αυξάνεται. Eξάλλου το περιβάλλον του συστήµατος των δύο δεξαµενών θερµότητας και της χάλκινης ράβδου δεν συµµετέχει ενεργειακά σ αυτή τη µη αντιστρεπτή διεργασία, οπότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, η εντροπία του δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει ΔS περ =0. Όµως το σύστηµα και το περιβάλλον του αποτελούν το Σύµπαν, οπότε η ροή θερµότητας δι αγωγής οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του Σύµπαντος. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε, εάν εξετάσουµε και άλλες φυσικές διαδικασίες που εξελλίσονται κατά µη αντιστρε πτό τρόπο, όλες δε οι πειραµατικές µας εµπειρίες που αναφέρονται σε µη αντι στρεπτά φαινόµενα, είναι συµβιβαστές µε την ακόλουθη πρόταση: Kάθε µη αντιστρεπτή διαδικασία που συµβαίνει στο Σύµπαν, οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του. H πρόταση αυτή αποτελεί την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερµο δυναµικού νόµου και µολονότι δεν υπάρχει αυστηρή µαθηµατική απόδειξη αυτής πρέπει να τονίσουµε ότι, η πρόταση είναι συνεπής προς όλα τα φυσικά φαινόµενα που εξελίσσονται στο Σύµπαν κατά µη αντιστρεπτό τρόπο. Όπως θα δειχθεί στο επόµενο εδάφιο η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερµοδυνα µικού νόµου είναι ισοδύναµη µε τη διατύπωση Kelvin-Plank, που σηµαίνει ότι, η αποδοχή ή παραβίαση της µιας συνεπάγεται την αποδοχή ή παραβίαση της άλλης. Παρατήρήση: Kάθε φυσική διαδικασία που συµβαίνει µέσα σ ένα αποµονωµένο σύστηµα, δηλαδή σ ένα σύστηµα που δεν ανταλλάσσει ύλη και ενέργεια µε το περιβάλ λον του, θεωρείται αυθόρµητο φυσικό φαινόµενο, αφού για την πραγµατο ποίησή του δεν χρειάζεται εξωτερική επίδραση. Όµως µε την έννοια αυτή τα αυθόρµητα φαινόµενα είναι και µη αντιστρεπτά, οπότε σύµφωνα µε την εντρο πική διατύπωση του δεύτερου θερµοδυναµικού νόµου, συνοδεύονται από αύξηση της εντροπίας του αποµονωµένου συστήµατος. Mπορούµε λοιπόν να διατυπώσουµε την παρακάτω πρόταση, που είναι γνωστή ως αρχή αύξησης της εντροπίας ενός αποµονωµένου συστήµατος. Kάθε αυθόρµητη διαδικασία που συµβαίνει σ ένα αποµονωµένο σύστηµα, οδηγεί σε αύξηση της εντροπίας του. 9. Iσοδυναµία της εντροπικής διατύπωσης προς την διατύπώση Kelvin-Plank Θα δείξουµε ότι, η άρνηση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερµοδυ ναµικού νόµου συνεπάγεται, άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank. Προς τούτο θεωρούµε µία θερµική µηχανή Carnot, η οποία λειτουργεί µεταξύ των πηγών θερµότητας A και B, αντιστοίχων θερµοκρασίων T 1 και T 2, µε T 2 <T 1 και

14 υποθέτουµε ότι, σε κάθε κύκλο λειτουργίας της το θερµαντικό της σώµα (ιδανικό αέριο) απορροφά από την πηγή A θερµότητα Q 1 και δίνει στην πηγή B θερµότητα Q 2. Eπί πλέον υποθέτουµε ότι κατά τη λειτουργία της θερµικής αυτής µηχανής παραβιάζεται η εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερµοδυνα µικού νόµου, δηλαδή ότι η εντροπία του Σύµπαντος µειώνεται. Tότε θα ισχύει: ΔS Συµπ <0 ΔS µηχ +ΔS περ <0 (1) Όµως η µεταβολή ΔS περ της εντροπίας του περιβάλλοντος της θερµικής µηχα νής του Carnot είναι µηδενική, διότι αυτό παίρνει µόνο έργο από τη µηχανή, ενώ η µεταβολή ΔS µηχ της εντροπίας της µηχανής θα είναι: ΔS µηχ =ΔS αερ +ΔS A +ΔS B S µ = 0 + -Q 1 T 1 + Q 2 T 2 (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση: -Q 1 T 1 + Q 2 T 2 < 0 Q 1 T 1 > Q 2 T 2 (3) Όµως η σχέση (3) σηµαίνει ότι η θερµική µηχανή του Carnot δεν λειτουργεί σύµφωνα µε τη διατύπωση των kelvin-plank, διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση Q 1 T 1 = Q 2 T 2. Δηλαδή, η παραβίαση της εντροπικής διατύπωσης του δεύτερου θερµοδυναµικού νόµου συνεπάγεται και την παραβίαση της διατύπω σης Kelvin-Plank. 10. Aρχή υποβάθµισης της ενέργειας Aς θεωρήσουµε ένα σύστηµα από δύο σώµατα A και B, που βρίσκονται σε αντί στοιχες θερµοκρασίες T 1 και T 2 µε T 1 >T 2, το οποίο είναι αποµονωµένο µε το περιβάλλον του. Eάν τα δύο σώµατα έλθουν σε επαφή, τότε είναι γνωστό ότι θα µεταβιβαστεί θερµότητα από το σώµα υψηλής θερµοκρασίας T 1 προς το σώµα χαµηλώτερης θερµοκρασίας T 2, µέχρις ότου τα δύο σώµατα αποκτήσουν κοινή θερµοκρασία T κ για την οποία ισχύει T 2 <T κ <T 1. Kατά την µη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία το σύστηµα δεν ανταλλάσσει έργο και θερµότητα µε το περιβάλλον του, αφού αποτελεί αποµονωµένο σύστηµα, µε αποτέλεσµα η εσωτερική του ενέργεια να παραµένει σταθερή (πρώτος θερµοδυναµικός νόµος), ενώ σύµφωνα µε την εντροπική διατύπωση του δεύτερου θερµοδυναµικού νόµου, η εντροπία του συστήµατος αυξάνεται. Eξάλλου το σύστηµα στην αρχική του κατάσταση εµφανίζει µιά ορισµένη ικανότητα παραγωγής οργανωµένης ενέργειας, αφού µπορεί ν αποδώσει µηχανικό έργο µε τη µεσολάβηση µιας θερµικής µηχανής ανάµεσα στα δύο σώµατα. Aντίθετα, στην τελική του κατάσταση το σύστηµα έχει χάσει την ικανότητά του να δώσει οργανωµένη ενέργεια, αφού τώρα είναι αδύνατη η λειτουργία µιάς θερµικής µηχανής µεταξύ των δύο σωµάτων, καθό σον τα δύο σώµατα βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Aπό την σύγκριση των δύο καταστάσεων βγαίνει το συµπέρασµα ότι, µολονότι η εσωτερική ενέργεια του συστήµατος δεν άλλαξε, η ικανότητα του για παραγωγή οργανωµένης ενέργειας, δηλαδή ενέργειας που µπορεί να χρησιµοποιηθεί ωφέλιµα, έχει µηδε νιστεί, ενώ ταυτόχρονα η εντροπία του συστήµατος παρουσιάζεται αυξηµένη. Δηλαδή η αυξηµένη εντροπία του συστήµατος έχει υποβαθµίσει την ποιότητα

15 της εσωτερικής του ενέργειας, µε την έννοια ότι αυτό δεν είναι τώρα σε θέση να δώσει ωφέλιµη ενέργεια. Γενικώτερα, αν αναφερθούµε στα µη αντιστρεπτά φυσικά φαινόµενα που συµβαίνουν στο Σύµπαν, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι συνοδεύονται µε ενεργειακή υποβάθµισή του, δηλαδή µε απώλεια της δυνατότητάς του για παραγωγή ενέργειας ανώτερης ποιότητας, µολονότι η εσωτερική του ενέργεια παραµένει αναλλοίωτη. Aυτό σηµαίνει ότι, µε την πάροδο του χρόνου το Σύµπαν τείνει σε µιά κατάσταση µέγιστης εντροπίας, που του περιορίζει την ποιότητα του ενεργειακού του περιεχόµενου και το οδη γεί στον λεγόµενο θερµικό ή εντροπικό θάνατο. Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα που µας δείχνει ότι, η αύξηση της εντροπίας ενός αποµονωµένου συστήµατος ελαττώνει την ικανότητα του για παραγωγή οργανωµένης ενέρ γειας είναι το εξής: Aφήνουµε ένα σώµα να πέσει από ύψος h, στο πάτωµα του δωµατίου µας. Tο σώµα ξεκινάει την διαδροµή του µε µιά οργανωµένη δυνα µική ενέργεια mgh, η οποία µετά την κρούση του µε το πάτωµα µετασχη µατίζεται σε ανοργάνωτη θερµική ενέργεια, που κατανέµεται στο σώµα, στο πάτωµα, στον αέρα και στους τοίχους του δωµατίου, µε αποτέλεσµα ν αυξηθεί λίγο η θερµοκρασία τους. Kατά την µη αντιστρεπτή αυτή διαδικασία η ολική ενέργεια του συστήµατος διατηρήθηκε σταθερή, αυξήθηκε όµως η εντροπία του. H αυξηµένη εντροπία του συστήµατος κάνει αδύνατη την αντίστροφη εξέλιξη του φαινοµένου, δηλαδή την µετατροπή της προηγούµενης θερµικής ενέργειας, σε δυναµική ενέργεια, µε αυθόρµητη ανύψωση του σώµατος στην αρχική του θέση, και ταυτόχρονη ψύξη όλων των σωµάτων που πήραν µέρος στο φαινόµενο. Έτσι το σύστηµά παρουσιάζεται στην τελική του κατάσταση µε υποβαθµισµένο ενεργειακό περιεχόµενο, δηλαδή έχει µειωθεί η ποιότητα της ενέργειάς του, αφού αυτό έχασε την ικανότητά του να δίνει ωφέλιµο έργο. Παρατήρηση: H θερµότητα ως µορφή ενέργειας είναι ποσοτικά ισοδύναµη µε τις άλλες µορφές ενέργειας (µηχανική, ηλεκτρική, χηµική κ.λ.π.) αλλά ποιοτικά είναι υποβαθµισµένη ως προς αυτές. Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, η θερµότητα δεν µπορεί να µετασχηµατιστεί ολοκληρωτικά σε ενέργεια άλλης µορφής, ενώ αντίθετα οι άλλες µορφές ενέργειας µε απλές διαδικασίες µετασχηµατίζονται ολοκληρωτικά σε θερµότητα. Ετσι η θερµότητα θεωρείται ως ενέργεια κατώτε ρης ποιότητας ή ως µη οργανωµένη ενέργεια, ως προς τις άλλες µορφές ενέρ γειας, οι οποίες θεωρούνται ως ενέργειες ανώτερης ποιότητας. P.M. fysikos Iδανικό αέριο εκτελεί διαδοχικά τις παρακάτω θερµικές διαδικασίες. α) Mιά αντιστρεπτή ισοβαρή µεταβολή, κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται.

16 β) Mιά αντιστρεπτή ισόχωρη µεταβολή, κατά την οποία η πίεση του αερίου γίνεται η µισή της αρχικής του πιέσεως. i) Nα σχεδιαστούν τα διαγράµµατα P-V, P-T και V-T των δύο αυτών συνεχόµενων µεταβολών. ii) Nα βρεθεί η συνολική θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του. Δίνονται τα καταστατικά µεγέθη, P 0 και T 0 της αρ χικής κατάστασης του αερίου. ΛYΣH: i) Kατά την αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση A B του ιδανικού αερί ου, από τον όγκο στον όγκο 2, η απόλυτη θερµοκρασία του αυξάνει από την τιµή T 0 στην τιµή 2T 0 (νόµος Gay-Lussac). Στην αντιστρεπτή ισόχωρη µεταβολή B Γ που ακολουθεί, ο όγκος του αέριου µένει σταθερός και ίσος µε 2 ενω η πίεσή του ελαττώνεται από την τιµή P ο στην τιµή P 0 /2, µε απο τέλεσµα να ελαττώνεται και η θερµοκρασία του αέριου από την τιµή 2T 0 στην Σχήµα 10 Σχήµα 11 Σχήµα 12 τιµή T 0 (νόµος Charles). Όλα τα παραπάνω εκφράζονται συµβολικά ως εξής: A(P 0,, T 0 ) B(P 0, 2, 2T 0 ) Γ(P 0 /2, 2, T 0 ) Tα σχήµατα (10), (11), (12) αποτελούν τα ζητούµενα διαγράµµατα της µεταβο λής A B Γ του ιδανικού αερίου. ii) Aφού κατά την αντιστρεπτή διαδικασία A B Γ η θερµοκρασία του αερίου τελικά δεν µεταβάλλεται, η ολική µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι µηδέν, διότι η εσωτερική ενέργεια µιας ορισµένης µάζας ιδανικού αερίου είναι συνάρτηση µόνο της θερµοκρασίας του. Δηλαδή ισχύει: ΔU ολ = 0 (1) Eφαρµόζοντας για το ιδανικό αέριο τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο κατά τη µεταβολή A B Γ παίρνουµε τη σχέση: (1) Q = U + W Q = 0 + W = W Q = W AB + W B = P 0 (2 - ) + 0 Q = P 0

17 Mια θερµική µηχανή Carnot λειτουργεί µεταξύ των θερµοκρασιών T 1 =500 0 K και T 2 =200 0 K. H µηχανή απορροφά από τη θερµή δεξαµενή θερµότητα µε ρυθµό q 1 = J/s. i) Nα βρεθεί η ωφέλιµη ισχύς της µηχανής. ii) Nα βρεθεί ο ρυθµός µε τον οποίο πρέπει να µεταφέρεται θερµότη τα στην ψυχρή πηγή µιας θερµικής µηχανής, που λειτουργεί µεταξύ των θερµοκρασιών T 1, T 2 και εχει θερµοδυναµικό συντελεστή απόδο σης ίσο µε 80% του συντελεστή απόδοσης της µηχανής Carnot και την ίδια ωφέλιµη ισχύ µε αυτή. ΛYΣH: i) Eάν Q 1 είναι η θερµότητα που µεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερµή πηγή της µηχανής Carnot στο ιδανικό αέριο που χρησιµοποιεί και W το αντίστοιχο ωφέλιµο έργο της µηχανής, τότε ο θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α C της µηχανής θα ικανοποιεί τη σχέση: C = W Q 1 W = C Q 1 W t = C Q 1 t (1) Όµως το πηλίκο W/t αποτελεί την ωφέλιµη ισχύ N της µηχανής, ενώ το πηλίκο Q 1 /t αποτελεί το ρυθµό q 1 µεταφοράς θερµότητας από τη θερµή πηγή της µηχανής προς το αέριο που χρησιµοποιεί, οπότε η σχέση (1) γράφεται: N = C q 1 = (1 - T 2 /T 1 )q 1 N=(1-200/500) J/s=1, J/s ii) Aς θεωρήσουµε τη θερµική µηχανή που εργάζεται µεταξύ των θερµοκρα σιών T 1, T 2 και εχει θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης α=0,8α C και ωφέλιµη ισχύ N. Eάν Q' 1 είναι η θερµότητα που µεταφέρεται σε χρόνο t από τη θερµή πηγή της µηχανής προς το ενεργό υλικό που χρησιµοποιεί και Q' 2 η αντίστοιχη θερµότητα που µεταφέρεται από το υλικό αυτό προς την ψυχρή δεξαµενή της, θα έχουµε τις σχέσεις: Q' 1 = W'+Q' 2 0,8 C = W'/Q' 1 W' 0,8 C = W'+Q' 2 1 $ W' - 1& 0,8 C % = Q' 2 W' t 1 $ - 1& = Q' 2 0,8 C % t µε C = 1- T 2 /T 1 = 3/5. Όµως το πηλίκο Q' 2 /t αποτελεί το ρυθµό q' 2 µεταφοράς θερµότητας στην ψυχρή πηγή της θερµικής µηχανής, ενώ το πηλίκο W'/t αποτελεί την ισχύ N της µηχανής, οπότε η (2) γράφεται: q' 2 = N(5/4 C - 1) = 1, (25 /12-1) J/s = J/s

18 Mια θερµική µηχανή αποτελείται από δύο θερµι κές µηχανές Carnot και η ψυχρή πηγή της µιας αποτελεί θερµή πηγή της άλλης. Eάν α 1, α 2 είναι οι θερµοδυναµικοί συντελεστές από δοσης των δύο µηχανών, T 1 η απόλυτη θερµοκρασία της θερµής πηγής της πρώτης και T 3 η απόλυτη θερµοκρασία της ψυχρής πηγής της δεύτερης, να δείξετε τις σχέσεις: α ολ = α 1 + α 2 - α 1 α 2 και α ολ = 1 - T 3 /T 1 όπου α ολ ο θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης της σύνθετης µηχανής Carnot. ΛYΣH: Έστω ότι σε χρόνο t µεταφέρεται θερµότητα Q 1 από τη θερµή πηγή της µηχανής Carnot M 1 προς το ιδανικό αέριο που χρησιµοποιεί και W 1 είναι το αντίστοιχο ωφέλιµο έργο της µηχανής αυτής. O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α 1 της µηχανής θα είναι: 1 = W 1 /Q 1 W 1 = 1 Q 1 (1) Σχήµα 13 Eξάλλου, εάν Q 2 είναι η θερµότητα που µεταφέρεται σε χρόνο t στην ψυχρή πηγή της µηχανής M 1, αυτή θα αποτελεί και την αντίστοιχη θερµότητα που λαµβάνει το αέριο της δεύτερης µηχανής Carnot M 2, οπότε το ωφέλιµο έργο W 2 της µηχανής αυτής σε χρόνο t θα υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: W 2 = 2 Q 2 (2) O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α ολ του συστήµατος των δύο µηχα νών θα είναι: = W 1 + W 2 (1) Q 1 (2 ) = Q + Q = Q 1 + Q 2 2 (3) 1 Q 1 Όµως, εάν T 2 είναι η απόλυτη θερµοκρασία της ψυχρής πηγής της M 1 ή της

19 θερµής πηγής της M 2, θα ισχύει η σχέση: Q 1 T 1 = Q 2 T 2 Q 2 Q 1 = T 2 T 1 = 1-1 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: = (1-1 ) = (5) Eπειδή α 1 =1-T 2 /T 1 και α 2 =1-T 3 /T 2 η σχέση (5) γράφεται: = 1 - T T T $ 2 T 1 T & 1 - T $ 3 & 2 % % T 1 T 2 = 2 - T 2 T 1 - T 3 T T 2 T 1 - T 2 T 1 T 3 T 2 = 1 - T 3 T 1 Mιά µάζα n mol µονοατοµικού ιδανικού αέριου (C V =3R/2), όγκου και πιέσεως P 0, υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική µεταβολή, που αποτελείται από τις εξής επί µέρους µεταβο λές: i) από µια ισόχωρη θέρµανση A B, κατά την οποία η πίεση του αε ρίου διπλασιάζεται, ii) από µια ισόθερµη εκτόνωση B Γ, κατά την οποία ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται και iii) από µια ισοβαρή συµπίεση Γ A µέσω της οποίας το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση. α) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της κυκλικής αυτής µεταβολής και να βρείτε τη θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλ λον του. β) Nα βρείτε το θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης µιας θερµικής µηχανής, η οποία λειτουργεί µε βάση τον κύκλο ABΓA. ΛYΣH: α) Tο διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ABΓA (σχήµα 14) αποτελείται από τα εξής τµήµατα: i) Aπό το ευθύγραµµο τµήµα AB που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη θέρµανση του αέριου υπό σταθερό όγκο, κατά την οποία η πίεση του αέριου από P 0 γίνεται 2P 0, οπότε η θερµοκρασία του από T 0 γίνεται 2T 0 (νόµος Charles).

20 ii) Aπό το καµπύλογραµµο τµήµα BΓ, που αντιστοιχεί στην ισόθερµη εκτόνωση του αέριου υπό σταθερή θερµοκρασία 2T 0, κατά την οποία ο όγκος του αέριου από γίνεται 2, οπότε η πίεσή του από 2P 0 γίνεται P 0 (νόµος Boyle) και iii) από το ευθύγραµµο τµήµα ΓA, που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή συµπίεση του αέριου, µέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A(P 0,,T 0 ). Eξάλλου, σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, η θερµότητα Q που το αέριο ανταλλάσσει µε το περιβάλλον του κατά τον κύκλο ABΓA, η µεταβολή ΔU της εσωτερικής του ενέργειας και το έργο W που παράγει το αέριο, συνδέονται µε τη σχέση: Q = ΔU + W Q = 0 + W Q = W (1) Σχηµα 14 Όµως το έργο W είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των επί µέρους έργων W AB, W BΓ και W ΓA που αντιστοιχούν στις µεταβολές A B, B Γ και Γ A. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: W = W AB + W B + W A W = 0 + 2nRT 0 ln (2 ) + P 0 ( - 2 ) W = 2nRT 0 ln2 - P 0 = 2P 0 ln2 -P 0 (1) Q= P 0 (2ln2-1) (2) β) O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α µιας θερµικής µηχανής, η οποία θα λειτουργούσε µε βάση τον κύκλο ABΓA είναι ίσος µε το πηλίκο του έργου W που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του προς την θερµότητα Q πρ. που προσφέ ρεται σ αυτό σε κάθε κύκλο λειτουργίας της µηχανής, δηλαδή ισχύει: = W (1) Q = (2) Q Q = P 0 (2ln2-1) Q (3) Όµως για τη θερµότητα Q πρ ισχύει η σχέση: Q = + Q B = nc V (2T 0 - T 0 ) + 2nRT 0 ln(2 / )

21 Q = nc V T 0 + 2nRT 0 ln2 = nt 0 (C V + 2Rln2) (4) όπου C V η γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα του αέριου υπό σταθερό όγκο. Όµως το αέριο που εξετάζουµε ισχύει C V =3R/2 και η (4) γράφεται: Q = nt 0 (3R/2 + 2Rln2) = nrt 0 (3/2 + 2ln2) Q = P 0 (3/2 + 2ln2) (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουµε τη σχέση: = P 0 (2ln2-1) P 0 (3/2 + 2ln2) = 2ln2-1 3/2 + 2ln2 = 2(2ln2-1) 3 + 4ln2 Mιά ορισµένη µάζα µονοατοµικού ιδανικού αερί ου (C V =3R/2), όγκου, πιέσεως P 0 και απόλυτης θερµοκρασίας T 0, υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή, που αποτελείται: i) από µια ισοβαρή εκτόνωση A B, κατά την οποία ο όγκος του διπλασιάζεται, ii) από µια ισόχωρη ψύξη B Γ και iii) από µια ισόθερµη συµπίεση, µέσω της οποίας το αέριο επανέρχε ται στην αρχική του κατάσταση. α) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της κυκλικής αυτής µεταβολής και να υπολογίσετε το έργο που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλ λον του. β) Nα βρείτε το συντελεστή απόδοσης της κυκλικής αυτής µεταβολής ΛYΣH: α) Tο διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ABΓA (σχήµα 15) αποτελείται από τα εξής τµήµατα: i) από το ευθύγραµµο τµήµα AB, που είναι παράλληλο προς τον άξονα των όγκων και αντιστοιχεί στην ισοβαρή εκτόνωση του αέριου υπό πίεση P 0, κατά την οποία ο όγκος του από γίνεται 2, οπότε η θερµοκρασία του από T 0 γίνεται 2T 0 (νόµος Gay-Lussac), ii) από το ευθύγραµµο τµήµα BΓ, που είναι παράλληλο προς τον άξονα των πιέσεων και αντιστοιχεί στην ισόχωρη ψύξη του αερίου υπό σταθερό όγκο 2, κατά την οποία το αέριο ψύχεται από τη θερµοκρασία 2T 0 στη θερµοκρασία T 0, οπότε η πίεσή του από P 0 γίνεται P 0 /2 (νόµος Charles) και iii) από το καµπυλόγραµµο τµήµα ΓA, που αντιστοιχεί στην ισόθερµη συµπί εση του αέριου υπό σταθερή θερµοκρασία T 0, κατά την οποία ο όγκος του ελατ τώνεται από 2 σε, ενώ η πίεση του αυξάνει από P 0 /2 σε P 0 (νόµος Boyle). Eξάλλου το έργο W, που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του θα είναι

22 ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των έργων W AB, W BΓ και W ΓA, που ανταλλάσσει το αέριο κατά τη διάρκεια των επί µέρους µεταβολών A B, B Γ και Γ A, δηλαδή θα ισχύει: Σχήµα 15 W = W AB + W B + W A = P 0 (2 - ) nrt 0 ln( /2 ) W = P 0 + nrt 0 ln(1/2) W = P 0 - nrt 0 ln2 (1) όπου n ο αριθµός των mol του αέριου και R η παγκόσµια σταθερά των αερίων. Όµως, σύµφωνα µε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ισχύει P 0 =nrt 0, οπότε η (1) γράφεται: W = P 0 - P 0 ln2 W = P 0 ( 1 - ln2) (2) β) O συντελεστής απόδοσης α του κύκλου ABΓA είναι ίσος µε το πηλίκο του έργου W προς την θερµότητα που προσφέρεται στο αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου, δηλαδή ισχύει: = W (1) = P 0 (1 - ln2) nc P (2T 0 - T 0 ) = nrt 0 (1 - ln2) nc p T 0 (3) όπου C P η γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα του αέριου, υπό σταθερή πίεση. Eπειδή γιατο αέριο έχουµε C P =5R/2, η σχέση (3) γράφεται: = nrt 0 (1 - ln2) 2(1- ln2) = 5nRT 0 /2 5 (4) Ένα ιδανικό αέριο υποβάλλεται σε κυκλική αντισ τρεπτή µεταβολή, η οποία αποτελείται από µια ισόθερµη εκτόνωση A B θερµοκρασίας T 1, από µια ισόχωρη ψύξη B Γ όγκου, από µια ισόθερµη συµπίεση Γ Δ, θερµοκρασίας T 2 και από µια ισόχωρη θέρµανση Δ A, όγκου V 2 = /2. Eάν ο λόγος C P /C V του αερίου είναι γ,

23 να βρεθεί ο θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης της κυκλικής µεταβολής. ΛYΣH: Kατά την εξέλιξη της κυκλικής µεταβολής του το αέριο απορροφά από το εξωτερικό του περιβάλλον τα ποσά θερµότητας Q ΔA και, που ανιστοι χούν στην ισόχωρη θέρµανσή του Δ A και στην ισόθερµη συµπίεσή του A B. Άρα ο θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α της κυκλικής αυτής µεταβο λής είναι: = W Q $A + (1) Σχήµα 16 όπου W ολ το ολικό έργο που παρέχει το αέριο στο περιβάλλον του. Όµως για το έργο αυτό ισχύει: W = W A + W AB + W B$ + W $ = 0 + W AB W $ W = W AB + W $ = nrt 1 ln V $ 1 /2 & + nrt 2 ln V /2 $ 1 & % % W = nrt 1 ln2 - nrt 2 ln2 W = nr(t 1 - T 2 )ln2 (2) Εξάλλου για τις θερµότητες και Q ΔA ισχύουν οι σχέσεις: και = nrt 1 ln V $ 1 /2 & = nrt 1 ln2 % Q A = nc V (T 1 - T 2 ) = nr(t 1 - T 2 ) - 1 οπότε η (1) δίνει:

24 = nr(t 1 - T 2 )ln2 nr(t 1 - T 2 )/( - 1) + nrt 1 ln2 = ( - 1)(T 1 - T 2 )ln2 T 1 - T 2 + ( - 1)T 1 ln2 i) Nα δείξετε ότι η άρνηση της διατύπωσης των Kelvin-Plank για το δεύτερο θερµοδυναµικό νόµο, συνεπάγεται και άρνηση της διατύπωσης του Clausius. ii) Nα δείξετε ότι µια κυκλική µεταβολή ορισµένης µάζας ιδανικού αέριου, που αποτελείται από µια ισόχωρη θέρµανση, από µια αδια βατική εκτόνωση και από µια αδιαβατική συµπίεση, βρίσκεται σε αντίφαση µε το δεύτερo θερµοδυναµικό νόµο, δηλαδή µια τέτοια κυκ λική µεταβολή είναι αδύνατη. ΛYΣH: i) Έστω ότι υπάρχει θερµική µηχανή που σε κάθε κύκλο λειτουργίας της µετατρέπει ολοκληρωτικά την θερµότητα Q 1, που παίρνει από την πηγή θερµότητας A υψηλής θερµοκρασίας T 1, σε µηχανικό έργο W, χωρίς να δίνει θερµότητα στην πηγή B, χαµηλής θερµοκρασίας T 2. Θεωρούµε τώρα µια κατάλ Σχήµα 17 Σχήµα 18 ληλη ψυκτική µηχανή, η οποία όταν λειτουργεί ανάµεσα στις ίδιες, πηγές θερ µότητας µεταφέρει θερµότητα Q 1 στην πηγή A καταναλώνοντας το έργο W, που παράγει η θερµική µηχανή. Tότε η ψυκτική αυτή µηχανή θα παίρνει από την πηγή B µια ορισµένη θερµότητα Q 2 και εποµένως το σύστηµα των δύο µηχανών θα ισοδυναµεί µε µια ψυκτική µηχανή, η οποία θα απάγει θερµότητα Q 2 από την ψυχρή πηγή B χωρίς κατανάλωση έργου, πράγµα που αποτελεί άρνηση της διατύπωσης του Clausius. ii) Έστω ότι µια ορισµένη µάζα ιδανικού αέριου εκτελεί την κυκλική µεταβο λή ABΓA, που αποτελείται από µια ισόχωρη θέρµανση A B, µια αδιαβατική εκτόνωση B Γ και µια αδιαβατική συµπίεση Γ A (σχήµα 18). Eφαρµόζοντας για τη µεταβολή αυτή τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, παίρνουµε τη σχέση: + Q BΓ + Q ΓA = ΔU ολ + W ολ = 0 + W ολ = W ολ (1)

25 H σχέση (1) δηλώνει ότι, κατά την εξέλιξη της κυκλικής µεταβολής ABΓA η θερµότητα, που προσφέρεται στο αέριο, µετατρέπεται ολοκληρωτικά σε έργο, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση µε τη διατύπωση των Kelvin-Plank. Παρατήρηση: H µη πραγµατοποίση της κυκλικής µεταβολής ABΓA ισοδυναµεί µε το ότι, οι αδιαβατικές καµπύλες BΓ και ΓA δεν είναι δυνατό να τέµνονται. Mιά ορισµένη µάζα ιδανικού αερίου εκτελεί κύκλο Carnot ABΓΔA. Eάν,V 2,V 3,V 4 είναι οι όγκοι του αέριου, που αντιστοιχούν στις κατατάσεις A, B, Γ και Δ και T 1, T 2 είναι οι απόλυτες θερµοκρασίες της ισόθερµης εκτόνωσης και της ισόθερµης συµπίεσης του αέριου αντιστοίχως (T 1 >T 2 ), να δείξετε τις σχέσεις: V 3 = V 2 V 4 και W = nr(t 1 - T 2 )ln(v 2 / ) όπου n τα mol του αερίου, R η παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων και W το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του. ΛYΣH: Για την ισόθερµη εκτόνωση A B, σύµφωνα µε το νόµο του Boyle, ισχύει: P 1 = P 2 V 2 (1) Για την αδιαβατική εκτόνωση B Γ, σύµφωνα µε το νόµο του Poisson, ισχύει: P 2 V 2 = P 3 V 3 (2) Σχήµα 19 Για την ισόθερµη συµπίεση Γ Δ, σύµφωνα µε το νόµο του Boyle, έχουµε: P 3 V 3 = P 4 V 4 (3) Tέλος για την αδιαβατική συµπίεση Δ A, σύµφωνα µε τον νόµο του Poisson έχουµε:

26 P 4 V 4 = P 1 (4) όπου γ ο λόγος των δύο γραµµοµοριακών ειδικών θερµοτήτων C P και C V του αερίου. Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1), (2), (3) και (4) κατά µέλη παίρνου µε τη σχέση: P 1 P 2 V 2 P 3 V 3 P 4 V 4 = P 2 V 2 P 3 V 3 P 4 V 4 P V2 4 V = V V 3 = V 2 V 4 (5) Tο έργο W ολ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της κυκ λικής µεταβολής ABΓΔA είναι, σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, ίσο µε την ολική θερµότητα που ανταλλάσει µε το περιβάλλον του. Δηλαδή ισχύει η σχέση: W = Q = + Q B + Q $ + Q $A = + Q $ (6) διότι για τις αδιαβατικές µεταβολές B Γ και Δ A έχουµε Q BΓ =Q ΔA =0. Eξάλλου για τις θερµότητες και Q ισχύουν οι σχέσεις: = nrt 1 ln(v 2 ) Q = nrt 2 ln(v 4 V 3 ) $ (+ ) ' + Q = nr T 1 ln V $ 2 V & + T 2 ln V $ * ) 4 1 % V &, () 3 % +, (6 ) ' W = nr T 1 ln V $ 2 V & + T 2 ln V $ * ) 4 1 % V &, () 3 % +, (7) Όµως από τη σχέση (5) έχουµε: V 2 = V 3 ln V $ 2 V & = ln V $ 3 & ln V $ 2 & = - ln V $ 4 & 4 % % % % οπότε η (7) γράφεται: V 4 W = nr(t 1 - T 2 )ln V $ 2 & (8) % V 3 Mια θερµική µηχανή αναγκάζει ιδανικό αέριο σε κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή, η οποία αποτελείται από τις εξής επιµέρους µεταβολές: i) από µια ισόχωρη θέρµανση, κατά την οποία η πίεση του αερίου τριπλασιάζεται,

27 ii) από µια ισοβαρή εκτόνωση κατά την οποία ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται, iii) από µια ισόχωρη ψύξη, µέχρις ότου η πίεση του αερίου ανακτή σει την αρχική της τιµή και iv) απο µια ισοβαρή συµπίεση, µέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση. α) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής. β) Eάν P 0, είναι η πίεση και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου στην αρχική του κατάσταση και γ ο λόγος C P /C V των γραµµοµοριακών του ειδικών θερµοτήτων, να βρείτε την προσφερόµενη στο αέριο θερµό τητα κατά την εξέλιξη του κύκλου. γ) Nα βρείτε το θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής και να τον συγκρίνετε µε το συντελεστή απόδοσης της µηχα νής Carnot, η οποία λειτουργεί µεταξύ της µέγιστης και της ελά χιστης θερµοκρασίας του αερίου της µηχανής. ΛYΣH: α) Eπειδή κατά την ισόχωρη θέρµανση AB του αερίου η πίεσή του τριπλασιάζεται, σύµφωνα µε το νόµο του Charles θα τριπλασιάζεται και η απόλυτη θερµοκρασία του αερίου, δηλαδή από T 0 θα γίνει 3T 0. Κατά την ισοβα ρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερίου τριπλασιάζεται, οπότε και η απόλυτη θερµοκρασία του θα τριπλασιάζεται (νόµος Gay-Lussac), δηλαδή από 3T 0 θα γίνει 9T 0. Kατά την ισόχωρη ψύξη ΓΔ του αερίου η πίεση του απο την τιµή 3P 0 λαµβάνει την τιµή P 0, δηλαδή υποτριπλασιάζεται και σύµφωνα µε το νόµο του Σχήµα 20 Charles πρέπει να υποτριπλασιασθεί και η απόλυτη θερµοκρασία του, δηλαδή από 9T 0 πρέπει να γίνει 3T 0. Aυτό σηµαίνει ότι, οι καταστάσεις B και Δ βρίσ κονται πάνω στην ίδια ισόθερµη καµπύλη, θερµοκρασίας 3T 0. Mε βάση τις παρα πάνω διαπιστώσεις το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ABΓΔA του αερίου έχει τη µορφή που φαίνεται στο σχήµα (20). β) Kατά την εξέλιξη του κύκλου στο αέριο προσφέρεται θερµότητα στο στάδιο της ισόχωρης θέρµανσης AB και της ισοβαρούς εκτόνωσης BΓ, δηλαδή ισχύει:

28 Q = + Q B = nc V ( 3T 0 - T 0 ) + nc P ( 9T 0-3T 0 ) Q = 2nC V T 0 + 6nC P T 0 = 2n( C V + 3C P )T 0 (1) Όµως οι γραµµοµοριακές ειδικές θερµότητες C V και C P του αερίου ικανοποιούν τις σχέσεις: C P = C V + R C P = C V $ C = C + R V V C P = C V $ C = R/ - 1 V C P = R/ - 1$ (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε: Q = 2nRT 0-1 (1+ 3) = 2P V $ & (3) % γ) O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α της θερµικής µηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA, είναι: = W /Q $% (4) Όµως το ωφέλιµο έργο W ωφ της µηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της είναι ίσο µε το εµβαδόν του σκιασµένου ορθογωνίου ABΓΔ, δηλαδή ισχύει: W = µ$(ab% &) = (3P 0 - P 0 )(3 - ) = 4P 0 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3),(4) και (5) έχουµε: = 4P V $ & = 2P % 2( - 1) Oρισµένη µάζα ιδανικού µονοατοµικού αερίου (C V =3R/2), υποβάλλεται στην κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ABΓΔA, της οποίας το διάγραµµα P-T φαίνεται στο σχήµα (21). i) Eάν οι θερµοδυναµικές µεταβλητές της κατάστασης A είναι P 0, και T 0, να βρείτε τη θερµότητα που απορροφά το αέριο στη διάρκεια του κύκλου, αφού προηγουµένως σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V του κύκλου. ii) Nα βρείτε τον θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής που υποβάλλει το αέριο στον παραπάνω κύκλο. ΛYΣH: i) H µεταβολή AB είναι ισόθερµη συµπίεση υπό θερµοκρασία T 0, κατά την οποία η πίεση του αερίου διπλασιάζεται, οπότε σύµφωνα µε το νόµο του Boyle ο όγκος του αερίου θα υποδιπλασιάζεται, δηλαδή από θα γίνει /2. H µεταβολή BΓ είναι ισοβαρής θέρµανση υπο πίεση 2P 0, κατά την οποία η απόλυ

29 τη θερµοκρασία του αερίου διπλασιάζεται και σύµφωνα µε το νόµο Gay-Lussac θα διπλασιάζεται και ο όγκος του αερίου, δηλαδή από /2 θα γίνει. H µετα βολή ΓΔ είναι ισόθερµη εκτόνωση υπό θερµοκρασία 2T 0, κατά την οποία η πίεση του αερίου υποδιπλασιάζεται, οπότε ο όγκος του θα διπλασιάζεται (νόµος Σχήµα 21 Σχήµα 22 Boyle), δηλαδή από θα γίνει 2. Mε βάση τα παραπάνω οδηγούµαστε στο διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ABΓΔA του αερίου, το οποίο έχει την µορφή που φαίνεται στο σχήµα (22). Στο αέριο προσφέρεται θερµότητα κατά το στάδιο της ισοβαρούς εκτόνωσής του BΓ και της ισόθερµης εκτόνωσής του ΓΔ, δηλαδή ισχύει η σχέση: Q = Q B + Q $ = nc P (2T 0 - T 0 ) + nr2t 0 ln(2 / ) Q = 5nRT 0 /2 + 2nRT 0 ln2 Q = P 0 (5/2 + 2ln2) (1) ii) O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α της θερµικής µηχανής που υπο βάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓΔA είναι: = W /Q $% (2) Όµως το ωφέλιµο έργο W ωφ της µηχανής σε κάθε κύκλο λειτουργίας της υπο λογίζεται από τη σχέση: W = W AB + W B + W $ + W $ A W = nrt 0 ln V $ 0 & + 2P 2 % 0 - $ 2 % & + + nr2t 0 ln 2V $ 0 & + P 0 ( - 2 ) % W = -nrt 0 ln2 +P 0 +2nRT 0 ln2 - P 0 = nrt 0 ln2 = P 0 ln2 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1),(2) και (3) έχουµε:

30 = P 0 ln2 P 0 (5/2 + 2ln2) = ln2 5/2 + 2ln2 Tο αέριο µιας θερµικής µηχανής είναι ιδανικό και υποβάλλεται σε αντιστρεπτό κύκλο, ο οποίος αποτελείται από τις εξής επιµέρους µεταβολές: i) από µια ισοβαρή εκτόνωση AB, µέχρις τετραπλασιασµού του όγ κου του αερίου, ii) από µια αδιαβατική εκτόνωση BΓ, µέχρις ότου η πίεση του αερίου γίνει ίση µε το 1/32 της αρχικής της τιµής P A και iii) από µια ισόθερµη συµπίεση ΓA, µέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A όγκου V A. α) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής. β) Nα βρείτε το λόγο γ=c P /C V του αερίου και να δείξετε ότι, η θερ µότητα που απορροφά κατά την εξέλιξη του κύκλου είναι ίση µε 15P A V A /2. γ) Nα βρείτε τον θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής. ΛYΣH: α) Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση AB του αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται, σύµφωνα µε το νόµο του Gay-Lussac θα τετραπλασιάζεται και η απόλυτη θερµοκρασία του, δηλαδή απο T A θα γίνει 4T A. Σύµφωνα µε το πρόβληµα, κατά την αδιαβατική εκτόνωση BΓ του αερίου η πίεση του µειώνε ται από την τιµή P A στην τιµή P A /32, ο δε όγκος του αυξάνεται από την τιµή Σχήµα 23 4V A στην τιµή V Γ. Όµως µέσω της ισόθερµης συµπίεσης ΓA το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A, οπότε σύµφωνα µε το νόµο του Boyle θα έχουµε τη σχέση: P V = P A V A V = 32V A