Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. 1.1 Επιχειρησιακή Ερευνα
|
|
- Τισιφόνη Παπαντωνίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Επιχειρησιακή Ερευνα Η Βελτιστοποίηση είναι η διαδικασία απόκτησης του ϐέλτιστου αποτελέσματος κάτω από δεδομένες καταστάσεις. Στο σχεδιασμό, στην εφαρμογή και στη συντήρηση οποιουδήποτε επιχειρηματικού σχεδίου, οι αποφασίζοντες ϑα πρέπει να πάρουν πάρα πολλές τεχνολογικές και διοικητικές απο- ϕάσεις σε πάρα πολλά επίπεδα. Ο στόχος όλων αυτών των αποφάσεων είναι είτε η ελαχιστοποίηση του κόστους είτε ή μεγιστοποίηση του κέρδους. Αφού το κόστος και το κέρδος σε οποιοδήποτε πρόβλημα μπορεί να εκφραστούν ως μία συνάρτηση καθορισμένων μεταβλητών απόφασης, η ϐελτιστοποίηση μπορεί να καθοριστεί ως η διαδικασία εύρεσης των συνθηκών που δίνουν τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης. Οπως είναι ϕυσικό δεν υπάρχει μια μόνο μέθοδος που να μπορεί να επιλύσει ικανοποιητικά όλα τα προβλήματα ϐελτιστοποίησης. Για αυτό το λόγο ένας πολύ μεγάλος αριθμός από μεθόδους ϐελτιστοποίησης έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση διαφο- ϱετικών τύπων προβλημάτων. Οι μέθοδοι αναζήτησης του ϐέλτιστου είναι γνωστές και ως τεχνικές μαθηματικού προγραμματισμού και αποτελούν μέ- ϱος της επιχειρησιακής έρευνας. Η επιχειρησιακή έρευνα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την εφαρμογή επιστημονικών μεθόδων και τεχνικών σε προβλήματα λήψης αποφάσεων, με στόχο την εύρεση και την εφαρμογή της καλύτερης (ϐέλτιστης) λύσης. Κατά τη διάρκεια του Δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου, η αγγλική στρατιωτική διεύθυνση κάλεσε μια ομάδα από ερευνητές να μελετήσουν στρατηγικά και τακτικά προβλήματα που συσχετιζόταν με την άμυνα της χώρας. Ο αντικειμενικός τους στόχος ήταν να καθοριστεί η πιο αποτελεσματική αξιοποί-
2 26 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση ηση των περιορισμένων στρατιωτικών πόϱων. Η διαδικασία αυτή ονομάστηκε επιχειρησιακή έρευνα (operations research) γιατί η ομάδα ασχολιόταν με έρευνα σε στρατιωτικές επιχειρήσεις. Από τη γέννηση της χαρακτηρίστηκε από τη χρήση της επιστημονικής γνώσης με στόχο την επίτευξη της καλύτεϱης αξιοποίησης περιορισμένων πόρων. Τα ενθαρρυντικά αποτελέσματα που επετεύχθηκαν από τις ϐρετανικές ομάδες επιχειρησιακών ερευνητών, οδήγησαν και τις Ηνωμένες Πολιτείες να δημιουργήσουν αντίστοιχες ομάδες. Μετά τη λήξη του πολέμου η επιτυχία που είχαν οι στρατιωτικές ομάδες προσέλκυσε και διευθυντές επιχειρήσεων που αναζητούσαν λύσεις στα προ- ϐλήματά τους, τα οποία ήταν πιο περίπλοκα λόγω της ιδιαίτερης δομής και λειτουργίας των διαφόρων επιχειρήσεων. Λόγω της δυσκολίας στην επίλυση των προβλημάτων επιχειρησιακής έρευνας, αναζητήθηκαν αποτελεσματικά εργαλεία για την αντιμετώπισής τους. Η πρώτη ευρέως αποδεκτή μαθηματική τεχνική, ονομάστηκε μέθοδος simplex και αναπτύχθηκε το 1947 από τον Αμερικάνο μαθηματικό George Dantzig. Από τότε, νέες τεχνικές επίλυσης αλλά και νέες εφαρμογές έχουν αναπτυχθεί μετατρέποντας την επιχειρησιακή έρευνα σε ένα από τα σημαντικότερα πεδία έρευνας, τόσο σε ακαδημαϊκό όσο και σε επιχειρηματικό επίπεδο. Στις μέρες μας η εντυπωσιακή πρόοδος της επιχειρησιακής έρευνας οφείλεται κατά ένα πολύ μεγάλο μέρος στη ϱαγδαία ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και στην ικανότητά τους να επιλύουν προβλήματα πολύ μεγάλων διαστάσεων, σε πολύ μικρό χρόνο. Τοπεδίοτηςεπιχειρησιακής έρευνας ασχολείται με την ανάπτυξη και την εφαρμογή ποσοτικών τεχνικών για την επίλυση προβλημάτων που αντιμετωπίϲουν αποφασίζοντες σε δημόσιους και ιδιωτικούς οργανισμούς. Τα ϐήματα που απαιτούνται για τη λήψη μιας απόφασης σε ένα οργανισμό είναι τα ακόλουθα : 1. Αναγνώριση της ανάγκης. Η αντίληψη ότι κάποιες δράσεις πρέπει να γίνουν ή να γίνουν καλύτερα. 2. Καθορισμός του προβλήματος. Στο ϐήμα αυτό περιλαμβάνονται τα α- κόλουθα σημεία : Ακριβής περιγραφή των στόχων της μελέτης. Καθορισμός των εναλλακτικών αποφάσεων του συστήματος. Αναγνώριση των ορίων, των περιορισμών και των απαιτήσεων του συστήματος.
3 Κεφ.1 Εισαγωγή Κατασκευή του μαθηματικού προτύπου. Τα μαθηματικά πρότυπα, όπως ϑα δούμε και αναλυτικά στη συνέχεια, καθορίζουν ϱητά τη σχέση των δεδομένων εισόδου (μεταβλητές, πεϱιοϱισμοί και παράμετροι) με τα δεδομένα εξόδου (τιμή του κριτηρίου ϐελτιστοποίησης που εκφράζεται με την αντικειμενική συνάρτηση). 4. Συλλογή δεδομένων. Συλλογή των δεδομένων του προβλήματος που στην ουσία απεικονίζουν πραγματικές συνθήκες στην επιχείρηση. 5. Επίλυση του μαθηματικού προτύπου. Για την επίλυση του μαθηματικού προτύπου έχει αναπτυχθεί ένας πολύ μεγάλος αριθμός από τεχνικές α- νάλογα με τη δομή του προβλήματος, για παράδειγμα, το πλήθος και το είδος των περιορισμών (γραμμικοί, ακέραιοι, κ.λπ.) του προβλήματος. 6. Επεξεργασία της λύσης του μαθηματικού προτύπου. Αφού επιλυθεί κάποιο πρότυπο είναι αναγκαία η ύπαρξη ανάλυσης ευαισθησίας. Αυτή η ανάλυση ϑα εστιαστεί στην αξιοπιστία τόσο του προτύπου όσο και της λύσης. 7. Υλοποίηση των τελικών αποτελεσμάτων. Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι τα ϐήματα που περιγράφτηκαν δεν πρέπει να ϑεωρηθούν σαν ένα άκαμπτο σύνολο από ϐήματα, όπου κάποιος εισέρχεται στο ένα άκρο και εξέρχεται από το άλλο άκρο. Αντίθετα, αναμένεται στην επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος ένας πολύ μεγάλος αριθμός από επαναλήψεις διαφόρων ϐημάτων και από τροποποιήσεις της στρατηγικής σε διάφορα ϐήματα. Γενικεύοντας, μπορούμε να πούμε ότι η επιχειρησιακή έρευνα αναζητά τον καθορισμό της ϐέλτιστης δράσης σε ένα πρόβλημα απόφασης με ϐάση τους περιορισμένους πόρους που διαθέτουμε. Ο όρος επιχειϱησιακή έρευνα σχεδόν πάντα συσχετίζεται με τη χρήση μαθηματικών τεχνικών για την προτυποποίηση και την ανάλυση των προβλημάτων απόφασης. Αν και τα μαθηματικά πρότυπα είναι ο ακρογωνιαίος λίθος της επιχειρησιακής έρευνας, υπάρχει κάτι περισσότερο στην επίλυση ενός προβλήματος από την κατασκευή και την επίλυση ενός μαθηματικού προτύπου. Πιο συγκεκριμένα, τα προβλήματα απόφασης περιλαμβάνουν σημαντικούς δυσδιάκριτους παράγοντες οι οποίοι δεν μπορούν να αποδοθούν άμεσα σε όρους ενός μα- ϑηματικού προτύπου. Ο πιο σημαντικός από αυτούς τους παράγοντες είναι
4 28 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση η παρουσία του ανθρώπινου στοιχείου, σε οποιοδήποτε περιβάλλον απόφασης. 1.2 Μαθηματικός Προγραμματισμός Προτυποποίηση Προβλημάτων Σε ένα πρόβλημα επιχειρησιακής έρευνας αναπτύσσεται ένα πρότυπο που να προσομοιάζει μια ϕυσική κατάσταση. Δηλαδή, στην ουσία, ένα πρότυπο επιχειρησιακής έρευνας καθορίζει μια εξιδανικευμένη αναπαράσταση ενός πραγματικού συστήματος. Το σύστημα αυτό είτε υπάρχει είτε είναι μια ιδέα που περιμένει να μορφοποιηθεί και να γίνει πραγματικότητα. Στην πρώτη περίπτωση ο αντικειμενικός στόχος είναι η ανάλυση της συμπεριφοράς του συστήματος, με σκοπό να ϐελτιωθεί η απόδοσή του, ενώ στη δεύτερη περίπτωση είναι να καθοριστεί η ϐέλτιστη δομή τού ανάπτυξη συστήματος. Η πολυπλοκότητα ενός πραγματικού συστήματος προέρχεται από τον πολύ μεγάλο αριθμό των στοιχείων (μεταβλητών) που ελέγχουν τη συμπεϱιϕοϱά του συστήματος. Η απλοποίηση του πραγματικού συστήματος με τη χρήση ενός προτύπου εστιάζεται πρωταρχικά στον καθορισμό των κυρίαρχων μεταβλητών και των σχέσεων που τις διέπουν. Ο πιο σημαντικός τύπος προτύπου επιχειρησιακής έρευνας είναι ο συμ- ϐολικός ή μαθηματικός τύπος προτύπου. Στη μορφοποίηση αυτού του τύπου προβλημάτων κάποιος υποθέτει ότι όλες οι συσχετιϲόμενες μεταϐλητές είναι ποσοτικές. Ετσι, μαθηματικά σύμβολα χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των μεταβλητών και στη συνέχεια συσχετίζονται με τις κατάλληλες μαθηματικές συναρτήσεις για να περιγράψουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Ενα μαθηματικό πρότυπο περιλαμβάνει τρία ϐασικά σύνολα στοιχείων : 1. Μεταβλητές απόφασης (decision variables). Οι μεταβλητές από- ϕασης είναι οι άγνωστοι που πρέπει να καθοριστούν από την επίλυση του προτύπου. Οι παράμετροι αποτελούν τις μεταβλητές ελέγχου του συστήματος. 2. Περιορισμοί (constraints). Για τη μέτρηση των ϕυσικών περιορισμών του συστήματος, το πρότυπο πρέπει να περιέχει περιορισμούς που να περιορίζουν τις μεταβλητές απόφασης στις εφικτές (επιτρεπτές) τιμές τους. Ενα πρόβλημα κατατάσσεται σε διαφορετικές κατηγορίες ϐάση
5 Κεφ.1 Εισαγωγή 29 της ϕύσης των περιορισμών του (γραμμικοί, ακέραιοι, μη γραμμικοί κ.λπ.) 3. Αντικειμενική συνάρτηση (objective function). Η αντικειμενική συνάρτηση καθορίζει το μέτρο της αποτελεσματικότητας του συστήματος σαν μαθηματική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης του. Για παράδειγμα, αν ο αντικειμενικός στόχος του συστήματος είναι η μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους, η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να καθορίζει το κέρδος σε όρους των μεταβλητών απόφασης. Γενικά, η ϐέλτιστη (optimal) λύση ενός μοντέλου επιτυγχάνεται όταν οι αντίστοιχες τιμές των μεταϐλητών απόφασης οδηγούν στη ϐέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, ικανοποιώντας ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς. Τα μαθηματικά πρότυπα στην επιχειρησιακή έρευνα μπορούν να ϑεωρη- ϑούν ως ο καθορισμός των τιμών των μεταβλητών απόφασης x i,i=1,,n, όπου : optimize x 0 = f(x 1,,x n ) (1.1) g i (x 1,,x n ) b i i =1,,n (1.2) x i 0 i =1,,n (1.3) Ησυνάρτησηf είναι η αντικειμενική συνάρτηση, ενώ το g i (x 1,,x n ) b i αντιπροσωπεύει τον i οστό περιορισμό και το b i είναι μια γνωστή σταθε- ϱά. Οι περιορισμοί x i 0 είναι περιορισμοί μη αρνητικότητας, δηλαδή περιορίζουν τις μεταβλητές σε τιμές 0 ή ϑετικές. Στα περισσότερα πραγματικά συστήματα, οι περιορισμοί μη αρνητικότητας εμφανίζονται να είναι μια ϕυσική απαίτηση. Δηλαδή συνολικά έχουμε τη ϐελτιστοποίηση μιας δεδομένης συνάρτησης ϐάση ενός συνόλου περιορισμών. Οταν λέμε, όμως, ϐελτιστοποίηση (optimization) τι εννοούμε ; Με τη λέξη ϐελτιστοποίηση (optimization) εννοούμε είτε την ελαχιστοποίηση (minimization) είτε τη μεγιστοποίηση (maximization) της αντικειμενικής συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι δύο αναλυτές που δουλεύουν ανεξάρτητα στο ίδιο πρόβλημα, μποϱεί να οδηγηθούν σε δύο διαφορετικά μοντέλα με διαφορετικά αντικειμενικά κριτήρια. Για παράδειγμα, ο ένας αναλυτής μπορεί να προτιμάει να μεγιστοποιήσει το κέρδος ενώ ο άλλος να ελαχιστοποιήσει το κόστος. Τα δύο αυτά κριτήρια δεν είναι ισοδύναμα, με την έννοια ότι για το ίδιο πρόβλημα και με τους ίδιους περιορισμούς μπορεί να οδηγηθούμε σε εντελώς διαφο-
6 30 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση ϱετικές ϐέλτιστες λύσεις. Το κύριο συμπέρασμα σε αυτό το σημείο είναι ότι η ϐέλτιστη λύση ενός προτύπου, είναι η ϐέλτιστη που συσχετίζεται μόνο με αυτό το μοντέλο Προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού (Linear Programming Problems) Ενα πρόβλημα του οποίου όλοι οι περιορισμοί είναι γραμμικοί, καθώς και η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική, ονομάζεται πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Μια γενική μορφή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι η ακόλουθη : n optimize F (x) = c i x i (1.4) i=1 n a ij x i = b j j =1,,m (1.5) i=1 x i 0 i =1,,n (1.6) όπου c i,a ij,b j σταθερές. Παράδειγμα 1.1 Ενα εργοστάσιο παράγει δύο διαφορετικούς τύπους τηλεοράσεων, Α και Β. Υπάρχουν δύο γραμμές παραγωγής, μία για κάθε τύπο. Η χωρητικότητα της γραμμής παραγωγής του μοντέλου Α είναι 60 κομμάτια την ημέρα, ενώ του μοντέλου Β είναι 50. Το μοντέλο Α απαιτεί μία ανθρωποώρα εργασίας, ενώ το μοντέλο Β απαιτεί δύο ανθρωποώρες. Υπάρχει ένα μέγιστο 120 ανθρωποωρών την ημέρα όπου μπορεί το εργοστάσιοναδιαθέσεικαιγια τους δύο τύπους. Αν το κέρδος από την παραγωγή του μοντέλου Α είναι 20 ευρώ το κομμάτι και του Β είναι 30 ευρώ το κομμάτι, ποια πρέπει να είναι η ημερήσια παραγωγή ; Εστω x 1 είναι οι μονάδες του Α που ϑα πρέπει να παραχθούν την ημέρα και x 2 είναι οι μονάδες του Β. Εχουμε : max 20x 1 +30x 2 (1.7)
7 Κεφ.1 Εισαγωγή 31 Παράδειγμα 1.2 x 1 60 (1.8) x 2 50 (1.9) x 1 +2x (1.10) x 1,x 2 0 (1.11) Πρόβλημα επικάλυψης (Set Covering Problem). Εστω το σύνολο U = {u 1,u 2,,u m } και η οικογένεια F= {F 1,F 2,,F n } με n γνήσια υποσύνολα του U,δηλαδήF j U, j. ΚάθεσύνολοF j συνδέεται με κόστος c j, j. Θέλουμε να ϐρούμε μία υπο-οικογένεια (F j ) j J όπου J n, πουεπικαλύπτειτο U, δηλαδή j J F j = U και της οποίας το ολικό κόστος είναι ελάχιστο. Για κάθε υποσύνολο F j,έστωα j =[α ij ],i =1, 2,,m, j το χαρακτηριστικό του διάνυσμα δηλαδή : { 1, εάν το στοιχείο ui F a ij = j (1.12) 0, εάν το u i / F j Μπορούμε να διαμορφώσουμε μια μήτρα Α της οποίας οι στήλες αντιστοιχούν σε αυτά τα χαρακτηριστικά διανύσματα. Μια τέτοια μήτρα ϑα έχει ϐέβαια n στήλες και m γραμμές. Εισάγουμε τώρα τις μεταβλητές : j J { 1, εαν το υποσύνολο Fj επιλέγεται τελικά y i = 0, αλλιώς (1.13) Εστω ότι είναι y =[y i ] το διάνυσμα όλων των μεταβλητών. Για να επικαλύψουμε το U πρέπει η τελική επιλογή των υποσυνόλων να είναι τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του U επιλέγεται τουλάχιστον μία ϕορά. Άρα έχουμε τους περιορισμούς : n a ij y j 1,i=1, 2,,m. (1.14) j=1 Επομένως, το μαθηματικό πρότυπο είναι : n min c j y j (1.15) j=1
8 32 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση n a ij y j 1 i =1,,m (1.16) j=1 y j {0, 1} j =1,,m (1.17) ή σε έκφραση μητρών : min c T y (1.18) Ay e (1.19) Παράδειγμα 1.3 y {0, 1} (1.20) Πρόβλημα ανάμειξης προϊόντων. Ενας χονδρέμπορας πουλάει σκυλοτρο- ϕές χονδρικώς, αλλά έχει αποφασίσει να ανοιχτεί στο λιανεμπόριο ανακατεύοντας ένα πλήθος από τροφές για να δημιουργήσει καινούριες ποικιλίες τροϕών. Κατάφερε να μορφοποιήσει τρεις διαφορετικές ϕόρμουλες για καινούϱιες τροφές : Τροφή τύπου Ο για τα μεγαλύτερα σκυλιά, τροφή τύπου Τ γιαταμεσαίασκυλιάκαιτροφήτύπουp για πολύ τα μικρά σκυλιά. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του προβλήματος ανάμειξης προϊόντων. Ο χονδρέμπορας ϑα χρησιμοποιήσει τεσσάρων ειδών τροφές Α, Β, C και D. Η ανάλυση των απαιτήσεων των νέων προϊόντων και των συστατικών των τροφών έχει οδηγήσει στις παρακάτω απαιτήσεις για τις τροφές : Η τροφή τύπου Ο πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 25% από την τροφή τύπου Β και όχι περισσότερο από 20% από την τροφή τύπου C. Η τροφή τύπου Τπρέπει να περιέχει τουλάχιστον 50% από την τροφή τύπου Α και όχι περισσότερο από 25% από την τροφή τύπου D. Η τροφή τύπου P πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 25% από την τροφή τύπου Α και 25% από την τροφή τύπου Β και 0% από την τροφή τύπου C. Περιορισμένες ποσότητες από τις αρχικές τροφές είναι διαθέσιμες. Για κάθε ϐδομάδα υπάρχουν 1000kg από την τροφή τύπου Α, 1000kg από την τροφή τύπου Β, 750kg από την τροφή τύπου C και 800kg από την τροφή τύπου D. Ο χονδρέμπορας πληρώνει 0.5/kg για την τροφή τύπου Α, 0.6/kg για την τροφή τύπου Β, 0.4/kg για την τροφή τύπου C και 0.45/kg για την τροφή τύπου D. Σχεδιάζει να πουλήσει 0.9/kg την τροφή τύπου Ο, 0.85/kg την τροφή τύπου Τκαι 0.9/kg την τροφή τύπου P.Οχονδρέμποραςϑέλεινα
9 Κεφ.1 Εισαγωγή 33 ξέρει τις ϐέλτιστες ποσότητες που ϑα ανακατέψει τις αρχικές τροφές για να παράξει τα τρία νέα προϊόντα, με σκοπό να μεγιστοποιήσει το κέρδος του. Εστω ότι i = A, B, C, D και j = O, T, P, τότε οι μεταβλητές απόφασης κα- ϑορίζονται ως ακολούθως : x(i, j) =κιλά από τις τροφές i που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή των καινούριων προιόντων j. Τοκέρδοςαπότηνπώλησητουπροϊόντος Ο είναι 0.9/kg και η αγορά του προϊόντος Α κοστίζει 0.5/kg άρα το συνολικό κέρδος είναι ( )/kg και άρα στην αντικειμενική συνάρτηση η μεταβλητή x(a, O) ϑα πολλαπλασιαστεί με 0.4. Ομοίως προκύπτουν όλες οι τιμές με τις οποίες ϑα πολλαπλασιαστούν στην αντικειμενική συνάρτηση οι μεταβλητές x(i, j). Ετσι έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα : max 0.40x(A, O)+0.30x(B, O)+0.50x(C, O)+0.45x(D, O)+ 0.35x(A, T )+0.25x(B, T)+0.45x(C, T)+0.40x(D, T)+ 0.40x(A, P )+0.30x(B, P)+0.35x(D, P) (1.21) x(a, O) 3x(B,O)+x(C, O)+x(D, O) 0 (1.22) x(a, O) x(b,o)+4x(c, O) x(d, O) 0 (1.23) x(a, T )+x(b,t)+x(c, T)+x(D, T) 0 (1.24) x(a, T ) x(b,t) x(c, T)+3x(D, T) 0 (1.25) 3x(A, P )+x(b,p)+x(d, P) 0 (1.26) x(a, P ) 3x(B,P)+x(D, P) 0 (1.27) x(a, O)+x(A, T )+x(a, P ) 1000 (1.28) x(b,o)+x(b,t)+x(b,p) 1000 (1.29) x(c, O)+x(C, T) 750 (1.30) x(d, O)+x(D, T)+x(D, P) 800 (1.31) x(a, O),x(A, T ),x(a, P ),x(b,o),x(b,t),x(b,p), x(c, O),x(C, T),x(D, O),x(D, T),x(D, P) 0 (1.32) Εδώ, ο πρώτος περιορισμός εγγυάται την ύπαρξη τουλάχιστον 25% της τρο- ϕής τύπου Α στην τροφή τύπου Ο, ο δεύτερος περιορισμός εγγυάται την ύπαρξη τουλάχιστον 20% της τροφής τύπου C στην τροφή τύπου Ο κ.ο.κ. Το σημαντικότερο σημείο, όπως είπαμε, για τη σωστή επίλυση ενός προ- ϐλήματος, είναι να προτυποποιηθούν κατάλληλα όλοι οι παράγοντες του
10 34 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση προβλήματος. Το επόμενο ϐήμα είναι να ϐρούμε έναν τρόπο (μια μέθοδο ή ένα πρόγραμμα) που να επιλύει το πρότυπο. Υπάρχουν αρκετά πακέτα λογισμικού που επιλύουν προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού και γενικότερα συνδυαστικής ϐελτιστοποίησης (όπως ο Solver του Excel). Στο σημείο αυτό ϑα παρουσιάσουμε το πρόγραμμα LINGO το οποίο παρέχει μια γλώσσα προτυποποίησης που επιτρέπει την περιγραφή προτύπων με πολύ γενικό τρόπο. Η προτυποποίηση με το LINGO ϐοηθάει στην περιγραφή του προβλήματος με ϕυσικό τρόπο, που μοιάζει με τον ϐασικό μαθηματικό συμβολισμό. Στα πεϱισσότεϱα προγράμματα οι περιορισμοί πρέπει να μπαίνουν ο ένας μετά τον άλλον, πράγμα που δυσχεραίνει πάρα πολύ το γράψιμο του προτύπου στον υπολογιστή. Αντίθετα στο LINGO οι πε- ϱιορισμοί ομαδοποιούνται ανάλογα με τη μαθηματική προτυποποίηση του προβλήματος. Ετσι, τα πρότυπα μπορούν εύκολα να προσαρμοστούν σε περίπλοκες κατάστασεις απλά με μερικές αλλαγές. Ενα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό του LINGO είναι ο τρόπος εισόδου των δεδομένων. Τα δεδομένα, όπως ϑα δούμε και στη συνέχεια, μπαίνουν σε ένα ξεχωριστό κομμάτι, πράγμα που επιτρέπει την απομόνωση των δεδομένων από την λοιπη μορφοποίηση του προβλήματος. Ετσι, με αυτόν τον τρόπο, παρέχεται η δυνατότητα τα δεδομένα του προβλήματος να ϐρίσκονται σε ένα ϕύλλο εργασίας στο Excel ή σε μια ϐάση δεδομένων ή ακόμα και σε ένα αρχείο κειμένου. Καθορίζουμε, τώρα, δύο σύνολα BULKFOOD = {A, B, C, D} και NEW MIX = {O, T, P}. Οι περιορισμένες ποσότητες των τροϕών μπορούν να αναπαρασταθούν από το διάνυσμα LIMIT S, όπουlimit S(A) = 1000, LIMIT S(B) = 1000, LIMIT S(C) = 750, LIMIT S(D) = 800. Εστω I οδείκτηςτουbulkfood και J οδείκτηςτουnewmix. Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε τις μεταϐλητές ως : MIX(I,J)=κιλά της αρχικής τροφής I γιαναχρησιμοποιηθούνγιαταj. Στο LINGO γράφουμε < LIMITS(I)); Η αντιστοιχία με τη μαθηματική προτυποποίηση είναι η ακόλουθη : για όλα τα i στο BULKFOOD το MIX ij είναι μικρότερο από τον περιορισμό LIMIT S(i). j
11 Κεφ.1 Εισαγωγή 35 Ομοια, έστω PROFIT(I,J) το κέρδος που καθορίζει τον πίνακα των συντελεστών των σταθερών, δηλαδή εδώ : J S T P A I B C D Η αντικειμενική συνάρτηση εκφράζεται ως ακολούθως : PAIRS(BULKFOOD,NEWMIX) : PROFIT, MIX MAX Η αντιστοιχία με τη μαθηματική προτυποποίηση είναι η ακόλουθη : ελαχιστοποίησε το : PROFIT ij MIX ij. (1.33) i j Η εισαγωγή της εντολής PAIRS επιτρέπει την έκφραση ενός διπλού αθροίσματος με ευθύ και εύκολο τρόπο. Για να ξεκινήσουμε ένα πρότυπο πρέπει να γράψουμε την εντολή MODEL, ενώ για να το ολοκληρώσουμε πρέπει να γράψουμε την εντολή END. Ενα πρόγραμμα στο LINGO συνήθως αποτελείται από τρία ξεχωριστά σύνολα. Στο πρώτο σύνολο, το οποίο ξεκινάει με την εντολή SETS και τελειώνει με την εντολή ENDSETS, γίνεται η δήλωση των μεταβλητών απόφασης και των παραμέτρων του προβλήματος και καθορίζεται το μέγεθος και οι διαστάσεις τους. Στο δεύτερο μέρος του προγράμματος γίνεται εισαγωγή της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών του προβλήματος, με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω. Τέλος, στο τρίτο μέρος του προγράμματος γίνεται η εισαγωγή των δεδομένων, είτε άμεσα μέσα στο πρόγραμμα είτε από κάποιο ξεχωριστό αρχείο, με τη χρήση της Τ ο πρόβλημα του χονδρέμπορου, προτυποποιείται ως εξής : MODEL: 1]SETS: 2]BULKFOOD/A,B,C,D/:LIMITS;
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH
ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΠολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης
Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming)
Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 4 η Διάλεξη: Βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (Μulti-objective optimization) 2019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στην βελτιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γεωργία Φουτσιτζή- Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου τελευταία ενημέρωση: 7/10/2016 1 Περιεχόμενα Εισαγωγή Ιστορική Αναδρομή Επιχειρησιακή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH
ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου τελευταία ενημέρωση: 7/10/2016 1 Τι είναι η Επιχειρησιακή Έρευνα; Η Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραFermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807
Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης
Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης 1 Outline Introduction to mathematical programming Introduction to scheduling Flow shop optimization Scheduling of crude oil Decomposition techniques
Διαβάστε περισσότεραCase 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Φουτσιτζή Γεωργία-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Περιεχόμενα Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)
Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής
Διαβάστε περισσότεραCase 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1 Γραφική μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού
3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας
Διαβάστε περισσότεραΠολυκριτηριακά Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλ. Βιομηχανικών Διατάξεων & Συστημάτων Αποφάσεων Πολυκριτηριακά Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ε09 Πολυκριτήρια
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραAsset & Liability Management Διάλεξη 3
Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Cash-flow matching Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μεθόδου Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων
Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα 1. Εισαγωγή
Επιχειρησιακή Έρευνα 1. Εισαγωγή 1 Ορολογία Operational Research (British/Europeans) Operations Research (USA) Κοινός συμβολισμός: OR Άλλοι όροι: Management Science (MS), Industrial Engineering (IE) Decision
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου
Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1)
Στοχαστικές Στρατηγικές η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 08-09 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z
Άσκηση Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραιαµόρφωση Προβλήµατος
Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Δυναμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία
Διαβάστε περισσότερα