Έλεγχοι υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Εισαγωγή

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Έλεγχοι υποθέσεων Εισαγωγή Οι έλεγχοι υποθέσεων µαζί µε τα διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι τα δύο σηµαντικότερα εργαλεία της στατιστικής συµπερασµατολογίας. Αντικείµενο του κλάδου αυτού της στατιστικής είναι η εξαγωγή συµπερασµάτων σχετικά µε τα χαρακτηριστικά ενός πληθυσµού από πληροφορίες που αναφέρονται σε ένα µόνο δείγµα. Σύµφωνα µε την πρακτική των διαστηµάτων εµπιστοσύνης, υπολογίζεται µια σηµειακή εκτίµηση µιας παραµέτρου του πληθυσµού (π.χ. µέση τιµή) και στη συνέχεια σχηµατίζεται ένα διάστηµα εµπιστοσύνης γύρω από την εκτίµηση αυτή, για το οποίο υπάρχει βεβαιότητα (εµπιστοσύνη) κατά ένα ποσοστό ότι βρίσκεται η ζητούµενη παράµετρος του πληθυσµού. Αυτή η ανάλυση δε λαµβάνει υπόψη οποιαδήποτε πεποίθηση υπάρχει σχετικά µε τον πληθυσµό. Στην άλλη πλευρά βρίσκονται οι έλεγχοι υποθέσεων (ή έλεγχοι σηµαντικότητας ή κανόνες αποφάσεων). Η πρακτική αυτή λαµβάνει υπόψη την πεποίθηση που υπάρχει σχετικά µε την παράµετρο ενός πληθυσµού, η οποία οδηγεί στην κατάστρωση µιας υπόθεσης. Σκοπός της ανάλυσης είναι η αποδοχή ή η απόρριψη της υπόθεσης χρησιµοποιώντας τις πληροφορίες που παρέχει το δείγµα του πληθυσµού. Στόχος του κεφαλαίου είναι η εκµάθηση του τρόπου κατάστρωσης στατιστικών ελέγχων µε τη βοήθεια του Excel. Αρχικά παρουσιάζονται οι έννοιες που αφορούν στους ελέγχους υποθέσεων και στη συνέχεια επιλύονται ορισµένα χαρακτηριστικά παραδείγµατα.

2 126 Κεφάλαιο 6 Στατιστικές υποθέσεις Για την κατανόηση των αρχών των ελέγχων υποθέσεων θα χρησιµοποιηθεί ένα παράδειγµα ελέγχου ποιότητας. Κατά τη µαζική παραγωγή ενός προϊόντος, ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων σε κάθε παρτίδα ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 50 και τυπική απόκλιση σ = 15. Πιστεύοντας ότι η νέα διαδικασία παραγωγής έχει µειώσει τον αριθµό των ελαττωµατικών προϊόντων, ελέγχεται ένα δείγµα n = 25 παρτίδων. Έστω ότι η µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα στο δείγµα είναι X= 45. Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν η διαφορά αυτή που παρατηρείται είναι ικανή ένδειξη ότι η νέα διαδικασία παραγωγής έχει οδηγήσει σε µείωση των ελαττωµατικών προϊόντων. Στην προσπάθεια να απαντηθεί η παραπάνω ερώτηση καταστρώνεται η ακόλουθη υπόθεση: Η νέα µέθοδος παραγωγής δεν έχει µεταβάλλει τον αριθµό των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα. Η υπόθεση αυτή λέγεται µηδενική υπόθεση και συµβολίζεται µε H. Η o µηδενική υπόθεση συνήθως αντιπροσωπεύει την υπάρχουσα κατάσταση, την οποία κάποιο γεγονός προσπαθεί να µεταβάλλει ή την ευρέως αποδεκτή θεωρία την οποία ο αναλυτής προσπαθεί να αντικρούσει. Η συµπληρωµατική της µηδενικής υπόθεσης ονοµάζεται εναλλακτική υπόθεση και συµβολίζεται µε H. a Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η εναλλακτική υπόθεση διατυπώνεται ως εξής: Η νέα µέθοδος παραγωγής έχει µεταβάλλει τον αριθµό των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα. Για να είναι εφικτός ο έλεγχος των υποθέσεων µε τη χρήση στατιστικών µεθόδων πρέπει αυτές να εκφράζουν µια παραδοχή σχετικά µε τις παραµέτρους του πληθυσµού. Στη µορφή αυτή οι υποθέσεις ονοµάζονται στατιστικές υποθέσεις. Έτσι, η µηδενική και η εναλλακτική υπόθεση του παραπάνω παραδείγµατος διατυπώνονται ως εξής: H : Η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα o είναι ίση µε 50. H : Η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα a είναι διαφορετική από 50. Έλεγχοι υποθέσεων και περιοχή απόρριψης Για την πραγµατοποίηση του ελέγχου γίνεται κατ αρχήν δεκτό ότι η µηδενική υπόθεση αληθεύει. Γίνεται, δηλαδή, δεκτό ότι η µέση τιµή των

3 Έλεγχοι υποθέσεων 127 ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα είναι ίση µε 50. Η µέση τιµή όµως του δείγµατος είναι ίση µε 45. Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν η τιµή αυτή βρίσκεται ή όχι σε συµφωνία µε τη µέση τιµή του πληθυσµού που έγινε δεκτή. Αν δηλαδή, σε µια κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 50 και τυπική απόκλιση 15 είναι πιθανό ή όχι να βρεθεί ένα δείγµα µεγέθους 25, µε µέση τιµή ίση µε 45. Αν ναι, τότε η µηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή. Στην αντίθετη περίπτωση η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική. Αν η µηδενική υπόθεση γίνει αποδεκτή, τότε σύµφωνα µε το κεντρικό οριακό θεώρηµα η δειγµατική µέση τιµή ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 50 και τυπική απόκλιση σ n = 3 (τυπικό σφάλµα). Σύµφωνα µε τις ιδιότητες της κανονικής κατανοµής, υπάρχει περίπου 95% πιθανότητα η µέση τιµή ενός τυχαίου δείγµατος να βρίσκεται σε απόσταση δύο τυπικών αποκλίσεων από τη µέση τιµή. Υπάρχει δηλαδή 95% πιθανότητα η µέση τιµή ενός τυχαίου δείγµατος µεγέθους 25 να βρίσκεται στο διάστηµα [44, 56]. Αντίθετα, υπάρχει µόλις 5% πιθανότητα η µέση τιµή ενός τυχαίου δείγµατος να είναι µικρότερη από 44 ή µεγαλύτερη από 56. Αν λοιπόν στο δείγµα βρεθεί µια τιµή που δεν ανήκει στο διάστηµα [44, 56] και αν αποφασιστεί ότι η πιθανότητα 5% είναι πολύ µικρή (ασήµαντη), προκύπτει το συµπέρασµα ότι η κατανοµή που έχει γίνει δεκτή είναι λανθασµένη (η µέση τιµή του πληθυσµού δεν είναι 50). Εποµένως, απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική. Αν αντίθετα, η µέση τιµή του δείγµατος είναι εντός του παραπάνω διαστήµατος τότε δεν υπάρχουν επαρκείς ενδείξεις για την απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης η οποία γίνεται αποδεκτή. Το ποσοστό 5%, ή ισοδύναµα η τιµή α = 0,05, ονοµάζεται επίπεδο σηµαντικότητας. Συνήθως παίρνει τις τιµές 0,1 ή 0,05 ή 0,01. Το σύνολο των τιµών που στο παράδειγµα είναι µικρότερα από 44 ή µεγαλύτερα από 56 αποτελεί την περιοχή απόρριψης ή περιοχή σηµαντικότητας. Το σύνολο των τιµών που βρίσκεται µεταξύ 44 και 56 αποτελεί την περιοχή αποδοχής ή περιοχή µη-σηµαντικότητας. Στη γενική περίπτωση και για δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας α, τα όρια των περιοχών υπολογίζονται όπως και τα όρια των διαστηµάτων εµπιστοσύνης. Έτσι η περιοχή αποδοχής δίνεται από τη σχέση: σ µ Z, µ + Z n 1 α 2 1 α 2 σ n (6.1) Η κρίσιµη τιµή Z1 α 2 υπολογίζεται από την τυπική κανονική κατανοµή, ως η τιµή εκείνη για την οποία η πιθανότητα στα δεξιά της Z1 α 2 και στα

4 128 Κεφάλαιο 6 Σχήµα 6.1 Εποπτική παρουσίαση ελέγχου υπόθεσης. αριστερά της Z1 α 2 είναι ίση µε 100 α% ή ισοδύναµα η πιθανότητα στα αριστερά της Z1 α 2 είναι ίση µε 100 (1 α/2)%. α P( Z Z1 α 2 ) = 1. (6.2) 2 Στο αρχείο HTEST.XLS (σχήµα 6.1) παρουσιάζονται εποπτικά οι παραπάνω έννοιες. Στο δυναµικό διάγραµµα του φύλλου εργασίας παρουσιάζεται µε µαύρη γραµµοσκίαση η περιοχή απόρριψης. Στο κάτω δεξιά τµήµα του φύλλου εργασίας, στον πίνακα µε τίτλο «Αποτελέσµατα», δίνονται τα όρια της περιοχής αποδοχής, όπως αυτά υπολογίζονται από τη σχέση (6.1). Οι ακριβείς τιµές τους για επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05 είναι 44,12 και 55,88 αντίστοιχα. Καθώς η µέση τιµή του δείγµατος (ίση µε 45) βρίσκεται εντός της περιοχής αποδοχής (κατακόρυφη γραµµή), δεν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης. εν υπάρχουν, δηλαδή, αρκετές ενδείξεις ότι η νέα µέθοδος παραγωγής έχει µεταβάλλει τον αριθµό των ελαττωµατικών προϊόντων. Έλεγχοι υποθέσεων και τιµή-p Εναλλακτικά, οι στατιστικοί έλεγχοι µπορεί να στηριχθούν στην κρίσιµη τιµή της τυποποιηµένης µεταβλητής Ζ:

5 Έλεγχοι υποθέσεων 129 Z C X µ = (6.3) σ n Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η τιµή αυτή είναι ίση µε 1,67. Επειδή η τυχαία µεταβλητή Ζ ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή, µπορεί να υπολογιστεί η πιθανότητα να εµφανιστεί µια τιµή της Ζ σε απόσταση από τη µέση τιµή µεγαλύτερη της Z : C ( C C ) ( ) P Z Z και Z Z = 2 P Z Z C. (6.4) Η πιθανότητα αυτή ονοµάζεται τιµή-p και αντιπροσωπεύει το ελάχιστο επίπεδο σηµαντικότητας που µπορεί να επιλεγεί ώστε η µέση τιµή του δείγµατος X να βρίσκεται εντός της περιοχής απόρριψης. ηλαδή, για τιµές του α µεγαλύτερες από την τιµή-p η µέση τιµή X βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης ενώ για µικρότερες βρίσκεται στην περιοχή αποδοχής. Εποµένως, ο υπολογισµός της τιµής-p οδηγεί στα ακόλουθα συµπεράσµατα σχετικά µε την αποδοχή ή την απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης: Αν p < α η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Αν p > α η µηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή. Όπως φαίνεται από το σχήµα 6.1, η τιµή-p είναι ίση µε 0,096 (µεγαλύτερη της α = 0,05), γεγονός που οδηγεί στο ίδιο µε πριν συµπέρασµα, δηλαδή στην αποδοχή της µηδενικής υπόθεσης. Μονόπλευροι και δίπλευροι έλεγχοι Στο παράδειγµα που εξετάστηκε ενδιέφεραν οι διαφορές της δειγµατικής µέσης τιµής X δεξιά και αριστερά της µέσης τιµής της µηδενικής υπόθεσης. Ένας τέτοιος έλεγχος καλείται δίπλευρος έλεγχος. Συχνά όµως ενδιαφέρουν µόνο οι διαφορές προς το ένα άκρο της κατανοµής. Για παράδειγµα, όταν αυτό που ενδιαφέρει είναι αν η νέα µέθοδος παραγωγής είναι καλύτερη (και όχι απλά διαφορετική) από την προηγούµενη, σκόπιµο είναι να πραγµατοποιηθεί ο ακόλουθος έλεγχος: H : Η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα o είναι µεγαλύτερη ή ίση από 50. H : Η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα a είναι µικρότερη από 50. Ο έλεγχος αυτός καλείται αριστερά µονόπλευρος έλεγχος. Η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο άπειρο προς τα δεξιά και η περιοχή απόρριψης

6 130 Κεφάλαιο 6 Σχήµα 6.2 Αριστερά µονόπλευρος έλεγχος υπόθεσης. περιορίζεται στα αριστερά µε πιθανότητα ίση µε α (όχι α/2). Η σχέση (6.1) που δίνει την περιοχή αποδοχής γίνεται: σ µ Z, n 1 α (6.5) όπου η κρίσιµη τιµή Z1 α υπολογίζεται από την τυπική κανονική κατανοµή, ως η τιµή εκείνη για την οποία η πιθανότητα στα αριστερά είναι ίση µε 100 (1 - α)% ( ) P Z Z = 1 α (6.6) 1 α Αντίστοιχα, η τιµή-p του ελέγχου ισοδυναµεί µε την πιθανότητα στα αριστερά της : Z C P( Z Z C ) (6.7) Αν στο αρχείο HTEST.XLS και στην οµάδα «Παράµετροι Ελέγχου» επιλεγεί το «Αριστερά µονόπλευρος έλεγχος» συµβαίνουν τα ακόλουθα (βλ. σχήµα 6.2): Το πάνω όριο της περιοχής αποδοχής γίνεται άπειρο ενώ το κάτω όριο παίρνει την τιµή 45,07.

7 Έλεγχοι υποθέσεων 131 Η µέση τιµή του δείγµατος βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης. Η τιµή-p του ελέγχου γίνεται ίση µε 0,048, δηλαδή µικρότερη από το επίπεδο εµπιστοσύνης. Εποµένως, απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική. Αντίστοιχα µε τον αριστερά µονόπλευρο έλεγχο που παρουσιάστηκε παραπάνω, µπορεί να πραγµατοποιηθεί δεξιά µονόπλευρος έλεγχος. Ο έλεγχος στην περίπτωση αυτή διατυπώνεται ως εξής: H : Η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα o είναι µικρότερη ή ίση από 50. H : Η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα a είναι µεγαλύτερη από 50. Η διαδικασία ελέγχου είναι αντίστοιχη µε αυτήν που παρουσιάσθηκε πριν. Η περιοχή αποδοχής δίνεται από τη σχέση:,µ + Z 1 α σ n ενώ η τιµή-p του ελέγχου ισοδυναµεί µε την πιθανότητα στα δεξιά της Z C : ( ) ( ) C (6.8) P Z Z = 1 P Z Z C (6.9) Παράγοντες που επηρεάζουν την υπόθεση Οι παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσµα της υπόθεσης είναι το επίπεδο σηµαντικότητας, η τυπική απόκλιση του πληθυσµού και το µέγεθος του δείγµατος. Με τη βοήθεια του αρχείου HTEST.XLS είναι δυνατή η εποπτική εξέταση της επίδρασης των παραπάνω παραγόντων. ίνονται ορισµένα παραδείγµατα: Αν το επίπεδο σηµαντικότητας µεταβληθεί από 0,05 σε 0,1 τότε ελαττώνεται η κρίσιµη τιµή και η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο διάστηµα [45,07, 54,93] γεγονός που οδηγεί σε απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης. Αντίθετα, αν το επίπεδο σηµαντικότητας µεταβληθεί από 0,05 σε 0,01 τότε αυξάνεται η κρίσιµη τιµή και η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο διάστηµα [42,27, 57,73]. Αν το µέγεθος του δείγµατος µεταβληθεί από 25 σε 50 τότε µειώνεται το τυπικό σφάλµα και η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο διάστηµα [45,84, 54,16] γεγονός που οδηγεί σε απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης. Αντίθετα, αν το µέγεθος του δείγµατος µεταβληθεί από 25

8 132 Κεφάλαιο 6 σε 20 τότε αυξάνεται το τυπικό σφάλµα και η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο διάστηµα [43,43, 56,57]. Αν η τυπική απόκλιση του πληθυσµού µεταβληθεί από 15 σε 10 τότε µειώνεται το τυπικό σφάλµα και η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο διάστηµα [46,08, 53,90] γεγονός που οδηγεί σε απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης. Αντίθετα, αν η τυπική απόκλιση του πληθυσµού µεταβληθεί από 15 σε 20 τότε αυξάνεται το τυπικό σφάλµα και η περιοχή αποδοχής εκτείνεται στο διάστηµα [42,16, 57,64]. Τύποι σφαλµάτων Οι έλεγχοι υποθέσεων στηρίζονται σε στατιστικές πρακτικές. Είναι εποµένως δυνατό να γίνει δεκτή (ή να απορριφτεί) µια υπόθεση που στην πραγµατικότητα είναι λανθασµένη (ή σωστή). Για παράδειγµα, είναι δυνατό να απορριφθεί η µηδενική υπόθεση αν και είναι σωστή, γιατί έτυχε ο έλεγχος να στηριχθεί σε ένα µη αντιπροσωπευτικό δείγµα. Γενικά τα σφάλµατα αποφάσεως που µπορούν να γίνουν είναι δύο τύπων. Σφάλµα τύπου Ι (ή πρώτου είδους). Αντιστοιχεί στην περίπτωση που απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση, η οποία στην πραγµατικότητα αληθεύει και έπρεπε να γίνει αποδεκτή. Σφάλµα τύπου ΙΙ (ή δευτέρου είδους). Αντιστοιχεί στην περίπτωση που γίνεται αποδεκτή η µηδενική υπόθεση, η οποία στην πραγµατικότητα είναι λανθασµένη. Αν και τα δύο είδη σφαλµάτων µπορεί να φαίνονται το ίδιο σοβαρά, συνήθως τα σφάλµατα τύπου Ι είναι σοβαρότερα, επειδή η αποδοχή της εναλλακτικής υπόθεσης συνήθως οδηγεί σε αποφάσεις αλλαγής της υπάρχουσας κατάστασης, οι οποίες αντιστοιχούν σε σηµαντικό κόστος. Έλεγχοι υποθέσεων µε την κατανοµή t Στα παραδείγµατα που προηγήθηκαν θεωρήθηκε ότι η τυπική απόκλιση του πληθυσµού είναι γνωστή. Αυτό όµως συµβαίνει σπάνια και αντί της τυπικής απόκλισης του πληθυσµού χρησιµοποιείται η σηµειακή της εκτίµηση, δηλαδή η τυπική απόκλιση του δείγµατος. Η αντικατάσταση αυτή µεταβάλλει την κατανοµή της τυποποιηµένης µεταβλητής Z από τυπική κανονική σε κατανοµή t µε n 1 βαθµούς ελευθερίας. Οι σχέσεις που παρουσιάσθηκαν ισχύουν και πάλι, µε τη διαφορά ότι οι υπολογισµοί που αναφέρονται στην τυπική κανονική κατανοµή αντικαθίστανται µε τους αντίστοιχους της κατανοµής t.

9 Έλεγχοι υποθέσεων 133 Σχήµα 6.3 Έλεγχος υπόθεσης για τον αριθµό των ελαττωµατικών προϊόντων. Παράδειγµα στατιστικού ελέγχου Στο αρχείο DEFECTS.XLS δίνονται οι µετρήσεις από 25 παρτίδες του προϊόντος που αναφέρθηκε παραπάνω. Να ελεγχθεί αν µε τη νέα µέθοδο παραγωγής η µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα είναι (α) διαφορετική από 50 και (β) µικρότερη από 50. Λύση Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 6.3 και επιτυγχάνονται µε τα παρακάτω βήµατα. Στα κελιά Ε8 έως Ε11 υπολογίζονται τα στατιστικά µεγέθη του δείγµατος, µε τους τύπους: =COUNT(DEFECTS) =AVERAGE(DEFECTS) =STDEV(DEFECTS) =E10/SQRT(E8)

10 134 Κεφάλαιο 6 Αρχικά, πραγµατοποιείται ένας δίπλευρος έλεγχος, σύµφωνα µε τη µηδενική υπόθεση: «η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα είναι ίση µε 50». Στα κελιά Ε15 και Ε16 υπολογίζονται τα όρια της περιοχής αποδοχής ως: =MEAN-TINV(ALPHA;SIZE-1)*STDERR =MEAN+TINV(ALPHA;SIZE-1)*STDERR Στο κελί Ε17 υπολογίζεται η τυποποιηµένη τιµή της µέσης τιµής του δείγµατος µε τον τύπο: =(SMEAN-MEAN)/STDERR Με βάση την τιµή αυτή υπολογίζεται η τιµή-p του ελέγχου στο κελί Ε18 ως: =TDIST(ABS(E17);SIZE-1;2) Τέλος, στο κελί Ε19 ελέγχεται η αποδοχή ή όχι της µηδενικής υπόθεσης, µε τον τύπο: =IF(E18>ALPHA;"Ναι";"Όχι") Όπως φαίνεται από το σχήµα 6.3, η µέση τιµή του δείγµατος (45, 48) βρίσκεται εντός της περιοχής αποδοχής [44,77, 55,23]. Ισοδύναµα, η τιµή-p (0,087) είναι µεγαλύτερη από το επίπεδο σηµαντικότητας (0,05). Εποµένως, γίνεται δεκτή η µηδενική υπόθεση. Στη συνέχεια πραγµατοποιείται ένας αριστερά µονόπλευρος έλεγχος σύµφωνα µε τη µηδενική υπόθεση: «η νέα µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα είναι µεγαλύτερη ή ίση από 50». Το πάνω όριο της περιοχής αποδοχής εκτείνεται στο άπειρο ενώ το κάτω όριο υπολογίζεται στο κελί F16 ως: =MEAN-TINV(2*ALPHA;SIZE-1)*STDERR Η τυποποιηµένη τιµή της µέσης τιµής του δείγµατος είναι ίδια µε την προηγούµενη, ενώ η τιµή p του ελέγχου υπολογίζεται στο κελί F18 ως: =TDIST(ABS(F17);SIZE-1;1) Παρατηρείται ότι η µέση τιµή του δείγµατος (45,48) βρίσκεται εκτός της περιοχής αποδοχής [45,665, ). Ισοδύναµα, η τιµή-p (0,044) είναι µικρότερη από το επίπεδο σηµαντικότητας (0,05). Εποµένως, απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται δεκτή η εναλλακτική, δηλαδή ότι η νέα

11 Έλεγχοι υποθέσεων 135 µέση τιµή των ελαττωµατικών προϊόντων ανά παρτίδα είναι µικρότερη από 50. Αξιολόγηση επένδυσης από στοιχεία µετρήσεων Οι έλεγχοι υποθέσεων συχνά συνδυάζονται µε µια αντίστοιχη οικονοµική ανάλυση. Μια τέτοια περίπτωση εξετάζεται στο παρακάτω παράδειγµα. Μια εταιρεία που διαθέτει ένα προϊόν στην αγορά σκοπεύει να µεταβάλει ελαφρώς την ποιότητά του, πιστεύοντας ότι έτσι θα αυξήσει τις πωλήσεις και κατά συνέπεια τα κέρδη της. Κατά τους προκαταρκτικούς ελέγχους η έρευνα έδειξε ότι πράγµατι οι πελάτες προτιµούν το προϊόν µε τη νέα ποιότητα. Συγκεκριµένα, το προϊόν διατέθηκε σε 85 τυχαία καταστήµατα όπου και καταγράφηκαν οι ετήσιες πωλήσεις. Οι µετρήσεις βρίσκονται στο αρχείο SALES.XLS. Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι η µέση ετήσια τιµή των πωλήσεων κυµάνθηκε σε προϊόντα ανά κατάστηµα. Γνωρίζοντας ότι η εταιρεία προµηθεύει συνολικά καταστήµατα, υπολογίζεται ο συνολικός αναµενόµενος ετήσιος όγκος των πωλήσεων σε 72,6 εκατοµµύρια προϊόντα περίπου, αρκετά µεγαλύτερος από τα 65 εκατοµµύρια προϊόντα που είναι σήµερα. Για την παραγωγή του νέου προϊόντος απαιτείται µια αρχική επένδυση 0,3 εκατοµµυρίων. Το κόστος παραγωγής του τρέχοντος προϊόντος είναι 1,6 ανά µονάδα ενώ αυτό του νέου προϊόντος είναι κατά 0,02 µεγαλύτερο. Η τιµή πώλησης είναι ίση µε 2 και δεν προβλέπεται αύξησή της. Πρέπει ή όχι η εταιρεία να υιοθετήσει τη νέα ποιότητα του προϊόντος; Λύση Η αποδοχή ή η απόρριψη της επενδυτικής ιδέας πρέπει να στηριχθεί σε οικονοµικά δεδοµένα, όπως η καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης. Το πρόβληµα βρίσκεται στο γεγονός ότι η καθαρή παρούσα αξία δεν µπορεί να υπολογιστεί µε βεβαιότητα, επειδή οι µετρήσεις αναφέρονται σε ένα δείγµα του συνόλου (πληθυσµού) των καταστηµάτων. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιείται η στατιστική µέθοδος ελέγχου υποθέσεων. Το πρόβληµα επιλύεται σε τρία στάδια. Στο πρώτο στάδιο (οικονοµική ανάλυση) υπολογίζονται οι καθαρές παρούσες αξίες της υπάρχουσας κατάστασης και της επένδυσης. Στο δεύτερο στάδιο (εξισορρόπηση) υπολογίζεται η µέση ετήσια τιµή του όγκου των πωλήσεων ανά κατάστηµα, η οποία εξισορροπεί την καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης µε αυτή της υπάρχουσας κατάστασης. Τέλος, στο τρίτο στάδιο (έλεγχος), εξετάζεται αν η ετήσια µέση τιµή του όγκου πωλήσεων, όπως αυτή υπολογίζεται από το

12 136 Κεφάλαιο 6 δείγµα των 85 καταστηµάτων, είναι µεγαλύτερη από την τιµή που προέκυψε στο στάδιο της εξισορρόπησης. Σχήµα 6.4 Υπολογισµός καθαρής παρούσας αξίας. Α. Οικονοµική ανάλυση Η οικονοµική ανάλυση πραγµατοποιείται στο φύλλο εργασίας Breakeven (σχήµα 6.4). Οι υποθέσεις παρουσιάζονται στις γραµµές 4 έως 7 ενώ τα δεδοµένα βρίσκονται στα κελιά C10 έως C16. Στις γραµµές 18 έως 21 υπολογίζεται η καθαρή παρούσα αξία για τα επόµενα τέσσερα χρόνια αν η εταιρεία δε µεταβάλλει την ποιότητα του προϊόντος. Στο κελί C19 εισάγεται ο τύπος: =$C$10 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί F19. Στο κελί C20 εισάγεται ο τύπος =($C$12-$C$13)*C19 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί F20.

13 Έλεγχοι υποθέσεων 137 Στο κελί Β21 υπολογίζεται η καθαρή παρούσα αξία της τρέχουσας κατάστασης µε τον τύπο (η συνάρτηση NPV εξηγείται στη συνέχεια): =NPV(C15;C20:F20) Στις γραµµές 23 έως 26 υπολογίζεται η καθαρή παρούσα αξία στην περίπτωση που η εταιρεία αποφασίσει να µεταβάλλει την ποιότητα του προϊόντος. Στο κελί C24 εισάγεται µια δοκιµαστική τιµή για τον όγκο των πωλήσεων (π.χ. 65), ενώ στα κελιά D24:F24 εισάγεται ο τύπος: =$C$24 Στο κελί C25 εισάγεται ο τύπος: =($C$12-$C$14)*C24 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί F25. Στο κελί Β26 υπολογίζεται η καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης εισάγοντας τον τύπο: =-C11+NPV(C15;C25:F25) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ NPV Η συνάρτηση NPV υπολογίζει την καθαρή παρούσα αξία µιας σειράς χρηµατοροών. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: NPV(rate;value1;value2; ;valuen) Το όρισµα rate αντιπροσωπεύει το επιτόκιο προεξόφλησης και value1, value2,,valuen είναι οι χρηµατοροές. Οι χρηµατοροές θεωρούνται θετικές όταν αναφέρονται σε έσοδα (εισροές) και αρνητικές όταν αναφέρονται σε έξοδα (εκροές). Η συνάρτηση υποθέτει ότι όλες οι χρηµατοροές πραγµατοποιούνται στο τέλος κάθε περιόδου (η value1 στο τέλος της πρώτης περιόδου, η value2 στο τέλος της δεύτερης περιόδου, κ.τ.λ.). Στην περίπτωση που µία χρηµατοροή πραγµατοποιείται στην αρχή της επένδυσης δεν πρέπει να συµπεριληφθεί στα ορίσµατα της συνάρτησης αλλά να προστεθεί (αν πρόκειται για εισροή) ή να αφαιρεθεί (αν πρόκειται για εκροή) από το αποτέλεσµα της συνάρτησης. Β. Εξισορρόπηση

14 138 Κεφάλαιο 6 Για την εξισορρόπηση των δύο αξιών χρησιµοποιείται το εργαλείο Ανεύρεση Στόχου (Goal Seek). Σχήµα 6.5 Εξισορρόπηση αξιών µε το εργαλείο Goal Seek. Από το µενού Tools επιλέγεται η εντολή Goal Seek και στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται εισάγονται τα στοιχεία που παρουσιάζονται στο σχήµα 6.5. Με τον τρόπο αυτό, στο κελί C24 υπολογίζεται ο ετήσιος όγκος των πωλήσεων του νέου προϊόντος που εξισορροπεί την παρούσα αξία των κερδών. Η τιµή αυτή είναι ίση µε 68,665 εκατοµµύρια προϊόντα. Με βάση τον αριθµό των καταστηµάτων µπορεί εύκολα να υπολογιστεί ο ετήσιος όγκος πωλήσεων ανά κατάστηµα. Στο κελί C28 εισάγεται ο τύπος: = *C24/C16 Η τιµή που προκύπτει είναι ίση µε Η αποδοχή ή όχι της νέας ποιότητας του προϊόντος πρέπει να στηριχθεί στην τιµή αυτή. Τα αποτελέσµατα από την ανάλυση εξισορρόπησης παρουσιάζονται στο σχήµα 6.6. Γ. Στατιστικός έλεγχος Ο έλεγχος πραγµατοποιείται στο φύλλο εργασίας Data. Αρχικά υπολογίζονται τα στατιστικά µεγέθη του δείγµατος. Στα κελιά Ε8 έως Ε11 εισάγονται οι τύποι: =COUNT(UNITS) =AVERAGE(UNITS) =STDEV(UNITS) =E10/SQRT(SIZE) Ο έλεγχος που πραγµατοποιείται έχει τη µορφή:

15 Έλεγχοι υποθέσεων 139 H o : µ H a : µ > Σχήµα 6.6 Εξισορρόπηση αξιών. όπου µ η µέση τιµή του όγκου πωλήσεων του νέου προϊόντος. Η ανάλυση δε διαφέρει από αυτή του προηγούµενου παραδείγµατος και παρουσιάζεται στο σχήµα 6.7. Οι υπολογισµοί πραγµατοποιούνται στα κελιά E14 έως E16 µε τους ακόλουθους τύπους: =MEAN+TINV(2*ALPHA;SIZE-1)*STDERR =(SMEAN-MEAN)/STDERR =TDIST(E15;SIZE-1;1) Καθώς πρόκειται για µονόπλευρο προς τα δεξιά έλεγχο, το κάτω όριο της περιοχής αποδοχής είναι µείον άπειρο ενώ το πάνω όριο είναι ίσο µε Επειδή η µέση τιµή του δείγµατος (7.644) βρίσκεται στην περιοχή αποδοχής, δεν υπάρχουν αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης που θα οδηγούσε στην απόφαση παραγωγής του νέου προϊόντος. Το ίδιο συµπέρασµα προκύπτει και από την εξέταση της τιµής-p, η οποία είναι ίση µε 0,096, µεγαλύτερη του επιπέδου εµπιστοσύνης (0,05).

16 140 Κεφάλαιο 6 Σχήµα 6.7 Έλεγχος υπόθεσης για τη µέση τιµή των πωλήσεων ανά κατάστηµα. Έλεγχοι υποθέσεων για άλλες παραµέτρους Σε πολλές περιπτώσεις αυτό που ενδιαφέρει δεν είναι η µέση τιµή ενός πληθυσµού αλλά µια άλλη παράµετρος, όπως η συνολική τιµή ή το ποσοστό του πληθυσµού που έχει µια συγκεκριµένη ιδιότητα. Συχνά επίσης ενδιαφέρει ο έλεγχος της διαφοράς των µέσων τιµών δύο πληθυσµών. Σε κάθε περίπτωση, η διαδικασία που περιγράφηκε δε µεταβάλλεται. Αυτό που αλλάζει είναι η κατανοµή της αντίστοιχης παραµέτρου, όπως περιγράφτηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο όπου εξετάσθηκαν τα διαστήµατα εµπιστοσύνης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα παράδειγµα ελέγχου διαφοράς µέσων τιµών.

17 Έλεγχοι υποθέσεων 141 Έλεγχος προτίµησης πελατών Μία εταιρεία διαθέτει ένα νέο προϊόν στην αγορά και θέλει να εκτιµήσει την προτίµηση των πελατών σε δύο διαφορετικές συσκευασίες. Επιλέγει τυχαία 80 καταστήµατα (περίπου του ίδιου µεγέθους και όγκου πωλήσεων) και στα 40 από αυτά διαθέτει προς πώληση το προϊόν µε την πρώτη συσκευασία, ενώ στα υπόλοιπα 40 το προϊόν µε τη δεύτερη συσκευασία. Οι υπεύθυνοι της εταιρίας πιστεύουν ότι οι πωλήσεις του προϊόντος, εκτός από τη συσκευασία, επηρεάζονται και από την ύπαρξη ή όχι ενός ανταγωνιστικού προϊόντος στο συγκεκριµένο κατάστηµα. Τα αποτελέσµατα από τις µετρήσεις βρίσκονται στο αρχείο SALES2.XLS (µέρος των οποίων φαίνονται στο σχήµα 6.8). Οι µεταβλητές που δίνονται είναι οι: Κατάστηµα: Ο Α/Α του καταστήµατος. Πωλήσεις: Ο αριθµός των προϊόντων που πωλήθηκαν στη διάρκεια µιας εβδοµάδας. Συσκευασία: Το είδος της συσκευασίας (1 ή 2) Ανταγωνισµός: 1 αν στο συγκεκριµένο κατάστηµα πωλείται το ανταγωνιστικό προϊόν και 0 αν όχι. Με βάση τις µετρήσεις αυτές, οι υπεύθυνοι της εταιρείας θέλουν να αξιολογήσουν την προτίµηση των πελατών στη νέα συσκευασία. Θέλουν επίσης να ελέγξουν αν οι πωλήσεις επηρεάζονται ή όχι από την ύπαρξη του ανταγωνιστικού προϊόντος. Για τα λόγο αυτό επιθυµούν: (α) Να υπολογίσουν τις µέσες τιµές των πωλήσεων για κάθε συσκευασία ξεχωριστά και τα αντίστοιχα 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης. (β) Να υπολογίσουν τη µέση διαφορά των πωλήσεων µεταξύ των προϊόντων συσκευασίας 1 και συσκευασίας 2 και το αντίστοιχο 95% διάστηµα εµπιστοσύνης. (γ) Να ελέγξουν αν οι πωλήσεις διαφοροποιούνται λόγω της συσκευασίας. (δ) Να υπολογίσουν τα αντίστοιχα µε τις περιπτώσεις (α) και (β) µεγέθη, µε κριτήριο όµως την ύπαρξη ή όχι του ανταγωνιστικού προϊόντος. (ε) Να ελέγξουν την υπόθεση ότι οι µέσες τιµές των πωλήσεων αυξάνονται κατά ένα ποσό (π.χ. 30 προϊόντα ανά εβδοµάδα) όταν στα καταστήµατα δεν πωλείται το ανταγωνιστικό προϊόν.

18 142 Κεφάλαιο 6 Σχήµα 6.8 Μετρήσεις πωλήσεων µε τις δύο συσκευασίες και µε ύπαρξη ή όχι ανταγωνιστικού προϊόντος. Λύση Το πρόβληµα αυτό αποτελεί µια χαρακτηριστική περίπτωση υπολογισµού διαστηµάτων εµπιστοσύνης και ελέγχου υπόθεσης για τη διαφορά µέσων τιµών ασυσχέτιστων δειγµάτων. Στην περίπτωση ανάλυσης της επίδρασης της συσκευασίας του προϊόντος, τα δύο δείγµατα αναφέρονται στη συσκευασία 1 και στη συσκευασία 2. Στην περίπτωση ανάλυσης της

19 Έλεγχοι υποθέσεων 143 επίδρασης του ανταγωνισµού, τα δύο δείγµατα αναφέρονται στην ύπαρξη και στη µη ύπαρξη του ανταγωνιστικού προϊόντος. Ένα πρόβληµα που δυσχεραίνει την ανάλυση και επεξεργασία των δεδοµένων του προβλήµατος είναι ότι τα δείγµατα δεν έχουν διαχωριστεί (αποτελούν µέρος µιας βάσης δεδοµένων) µε αποτέλεσµα να µην είναι δυνατή η εφαρµογή των γνωστών στατιστικών συναρτήσεων (AVERAGE, STDEV κλπ.). Για την επίλυση του προβλήµατος αυτού µπορούν να ακολουθηθούν δύο πρακτικές. Ο διαχωρισµός των µετρήσεων και η δηµιουργία ξεχωριστών σειρών δεδοµένων για κάθε δείγµα. Για το σκοπό αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθούν τα εργαλεία διαχείρισης βάσης δεδοµένων του µενού Data. Συγκεκριµένα, χρησιµοποιώντας το εργαλείο Auto Filter είναι δυνατό να φιλτραριστούν οι µετρήσεις κάθε δείγµατος (π.χ. οι µετρήσεις που αναφέρονται στη συσκευασία 1 είναι αυτές που στη στήλη «Συσκευασία» έχουν την τιµή 1) και να αντιγραφούν σε µια νέα θέση. Στη συνέχεια µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι γνωστές στατιστικές συναρτήσεις σε κάθε σειρά δεδοµένων ξεχωριστά. Μια εναλλακτική πρακτική είναι η χρήση των συναρτήσεων βάσεων δεδοµένων που παρέχει το Excel. Με τον τρόπο αυτό δεν απαιτείται ο διαχωρισµός των στοιχείων ενώ ταυτόχρονα τα αποτελέσµατα είναι δυναµικά, δηλαδή µεταβάλλονται αυτόµατα κάθε φορά που µεταβάλλεται κάποιο από τα στοιχεία. Στη συνέχεια θα ακολουθηθεί η δεύτερη από τις παραπάνω πρακτικές. Όµως, πριν χρησιµοποιηθούν οι συναρτήσεις βάσεων δεδοµένων είναι απαραίτητος ο καθορισµός των κριτηρίων. Όλα τα πιθανά κριτήρια εισάγονται κάτω από τα δεδοµένα όπως φαίνεται στο σχήµα 6.9. Συγκεκριµένα: Στα κελιά C84:C85 εισάγεται το κριτήριο µε το οποίο φιλτράρονται τα δεδοµένα που αντιστοιχούν στη συσκευασία 1. Στα κελιά C87:C88 εισάγεται το κριτήριο µε το οποίο φιλτράρονται τα δεδοµένα που αντιστοιχούν στη συσκευασία 2. Στα κελιά D84:D85 εισάγεται το κριτήριο µε το οποίο φιλτράρονται τα δεδοµένα που αντιστοιχούν στα καταστήµατα όπου δεν πωλείται το ανταγωνιστικό προϊόν. Στα κελιά D87:D88 εισάγεται το κριτήριο µε το οποίο φιλτράρονται τα δεδοµένα που αντιστοιχούν στα καταστήµατα όπου πωλείται το ανταγωνιστικό προϊόν.

20 144 Κεφάλαιο 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μια βάση δεδοµένων στο Excel είναι µια λίστα συσχετιζόµενων πληροφοριών στην οποία οι γραµµές αποτελούν τις εγγραφές και οι στήλες τα πεδία. Η πρώτη γραµµή της λίστας περιέχει τις ετικέτες κάθε στήλης. Το Excel παρέχει πολλές συναρτήσεις βάσεων δεδοµένων οι περισσότερες από τις οποίες είναι αντίστοιχες µε τις στατιστικές συναρτήσεις. Η βασική τους διαφορά από τις στατιστικές συναρτήσεις είναι ότι µπορούν να περιέχουν κάποια κριτήρια αναζήτησης. Συνήθως έχουν το ίδιο όνοµα µε πρόθεµα το γράµµα D (π.χ. η συνάρτηση υπολογισµού της µέσης τιµής των στοιχείων µιας βάσης δεδοµένων έχει το όνοµα DAVERAGE). Όλες οι συναρτήσεις βάσεων δεδοµένων έχουν τη γενική σύνταξη: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ(Βάση εδοµένων;πεδίο;κριτήρια) όπου: «ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ» είναι το όνοµα της συνάρτησης (π.χ. DAVERAGE). «Βάση εδοµένων» είναι η περιοχή των κελιών που αποτελούν τη βάση δεδοµένων. Το όρισµα «Πεδίο» δηλώνει τη στήλη που χρησιµοποιεί η συνάρτηση. Το «Πεδίο» µπορεί να δοθεί είτε ως κείµενο, µε την ετικέτα της στήλης µέσα σε διπλά εισαγωγικά, είτε ως αριθµός που αντιπροσωπεύει τη στήλη µέσα στη λίστα. «Κριτήρια» είναι η περιοχή κελιών, η οποία περιέχει τα επιθυµητά κριτήρια. Η περιοχή κριτηρίων πρέπει να περιλαµβάνει τουλάχιστον µία ετικέτα στήλης και τουλάχιστον ένα κελί κάτω από την ετικέτα στήλης. Στο κελί αυτό καθορίζεται το κριτήριο για τη συγκεκριµένη στήλη Επίδραση της συσκευασίας Η επίδραση της συσκευασίας στις πωλήσεις των προϊόντων εξετάζεται στο φύλλο εργασίας Package και παρουσιάζεται στο σχήµα Αρχικά υπολογίζονται τα στατιστικά µεγέθη των µετρήσεων που αντιστοιχούν σε κάθε συσκευασία ξεχωριστά. Στα κελιά B5, B6, B7 και B8 εισάγονται οι τύποι: =DCOUNT(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!C84:C85) =DAVERAGE(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!C84:C85) =DSTDEV(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!C84:C85) =B7/SQRT(B5)

21 Έλεγχοι υποθέσεων 145 Σχήµα 6.9 Κριτήρια για τη χρήση των συναρτήσεων βάσεων δεδοµένων. Στα κελιά C5, C6, C7 και C8 εισάγονται οι τύποι: =DCOUNT(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!C87:C88) =DAVERAGE(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!C87:C88) =DSTDEV(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!C87:C88) =C7/SQRT(C5) Στη συνέχεια υπολογίζονται τα στατιστικά µεγέθη που αντιστοιχούν στη διαφορά της µέσης τιµής των πωλήσεων µεταξύ συσκευασίας 1 και 2. Οι σχέσεις υπολογισµού των µεγεθών αυτών παρουσιάσθηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο. Στα κελιά D6, D7 και D8 εισάγονται οι τύποι: =B6-C6 =SQRT(((B5-1)*B7^2+(C5-1)*C7^2)/(B5+C5-2)) =D7*SQRT(1/B5+1/C5) Τα διαστήµατα εµπιστοσύνης της µέσης τιµής των πωλήσεων για κάθε µία συσκευασία ξεχωριστά, καθώς επίσης και της διαφοράς των µέσων τιµών, υπολογίζονται στην περιοχή A10:D16.

22 146 Κεφάλαιο 6 Σχήµα 6.10 Ανάλυση επίδρασης της συσκευασίας στις πωλήσεις των προϊόντων. Στο κελί Β13 εισάγεται ο τύπος: =B5-1 και αντιγράφεται στο κελί C13. Στο κελί D13 εισάγεται ο τύπος: =B5+C5-2 Στο κελί Β14 εισάγεται ο τύπος: =TINV(1-$B$11;B13) και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί D14. Στο κελί Β15 εισάγεται ο τύπος:

23 Έλεγχοι υποθέσεων 147 =B6-B14*B8 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί D15. Στο κελί Β16 εισάγεται ο τύπος: =B6+B14*B8 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί D16. Όπως φαίνεται από το σχήµα 6.10, η µέση διαφορά των πωλήσεων είναι 12,18 προϊόντα ανά κατάστηµα. Το αντίστοιχο 95% διάστηµα εµπιστοσύνης είναι [1,02, 23,33]. Το γεγονός ότι το διάστηµα εµπιστοσύνης δεν περιέχει την τιµή µηδέν φανερώνει ότι η διαφορά της προτίµησης των πελατών στη συσκευασία 1 είναι στατιστικά σηµαντική. Το ίδιο συµπέρασµα προκύπτει αν εφαρµοστεί και η µέθοδος ελέγχου υποθέσεως. Συγκεκριµένα, στα κελιά Α18:Β26 πραγµατοποιείται στατιστικός έλεγχος µε: H o : µ = 0 H a : µ 0 Στα κελιά Β21:Β25 εισάγονται οι τύποι: =TINV(B19;D13) =(D6-B20)/D8 =B20-B21*D8 =B20+B21*D8 =TDIST(ABS(B22);D13;2) Στο κελί Β26 ελέγχεται η αποδοχή ή όχι της εναλλακτικής υπόθεσης µε τον τύπο: =IF(B25>B19;"Όχι";"Ναι") Καθώς η τιµή-p του ελέγχου (0,03) είναι µικρότερη από το επίπεδο σηµαντικότητας (0,05), απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. ηλαδή, η διαφορά των πωλήσεων των προϊόντων µε τη συσκευασία 1 και 2 είναι διαφορετική από µηδέν. Επίδραση της ύπαρξης ανταγωνιστικού προϊόντος Η ανάλυση της επίδρασης του ανταγωνιστικού προϊόντος πραγµατοποιείται µε αντίστοιχο τρόπο στο φύλλο εργασίας Competitiveness και παρουσιάζεται στο σχήµα Ο υπολογισµός των στατιστικών µεγεθών των πωλήσεων µε και χωρίς την ύπαρξη ανταγωνιστικού προϊόντος καθώς επίσης και της διαφοράς τους πραγµατοποιείται στην περιοχή κελιών A3:D8.

24 148 Κεφάλαιο 6 Σχήµα 6.11 Ανάλυση επίδρασης της ύπαρξης ανταγωνιστικού προϊόντος. Στα κελιά B5, B6, B7 και B8 εισάγονται οι τύποι: =DCOUNT(Data!A1:D81;"Ανταγωνισµός";Data!D84:D85) =DAVERAGE(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!D84:D85) =DSTDEV(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!D84:D85) =B7/SQRT(B5) Στα κελιά C5, C6, C7 και C8 εισάγονται οι τύποι: =DCOUNT(Data!A1:D81;"Ανταγωνισµός";Data!D87:D88) =DAVERAGE(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!D87:D88) =DSTDEV(Data!A1:D81;"Πωλήσεις";Data!D87:D88) =C7/SQRT(C5) Τέλος, στα κελιά D6, D7 και D8 εισάγονται οι τύποι:

25 Έλεγχοι υποθέσεων 149 =B6-C6 =SQRT(((B5-1)*B7^2+(C5-1)*C7^2)/(B5+C5-2)) =D7*SQRT(1/B5+1/C5) Τα διαστήµατα εµπιστοσύνης της µέσης τιµής των πωλήσεων µε και χωρίς την ύπαρξη ανταγωνιστικού προϊόντος καθώς επίσης και της διαφοράς τους υπολογίζονται στην περιοχή A10:D16. Στο κελί Β13 εισάγεται ο τύπος: =B5-1 και αντιγράφεται στο κελί C13. Στο κελί D13 εισάγεται ο τύπος: =B5+C5-2 Στο κελί Β14 εισάγεται ο τύπος: =TINV(1-$B$11;B13) και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί D14. Στο κελί Β15 εισάγεται ο τύπος: =B6-B14*B8 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί D15. Στο κελί Β16 εισάγεται ο τύπος: =B6+B14*B8 και αντιγράφεται δεξιά µέχρι το κελί D16. Όπως φαίνεται από το σχήµα 6.11, η µέση διαφορά των πωλήσεων είναι 32,10 προϊόντα ανά κατάστηµα. Στη συνέχεια, στα κελιά Α18:Β26 πραγµατοποιείται µονόπλευρος προς τα δεξιά στατιστικός έλεγχος µε µηδενική υπόθεση ότι η διαφορά δεν υπερβαίνει µια συγκεκριµένη τιµή (έστω 30). H o : µ 30 H a : µ > 30 Στα κελιά Β21, Β22, Β24 και Β25 εισάγονται οι τύποι: =TINV(2*B19;D13) =(D6-B20)/D8 =B20+B21*D8 =TDIST(ABS(B22);D13;1) Ενώ στο κελί Β26 ελέγχεται η αποδοχή ή όχι της εναλλακτικής υπόθεσης µε τον τύπο:

26 150 Κεφάλαιο 6 =IF(B25>B19;"Όχι";"Ναι") Καθώς η τιµή-p του ελέγχου (0,32) είναι µεγαλύτερη από το επίπεδο σηµαντικότητας (0,05), απορρίπτεται η εναλλακτική υπόθεση και γίνεται δεκτή η µηδενική. εν υπάρχουν δηλαδή επαρκείς ενδείξεις ότι οι πωλήσεις στα καταστήµατα όπου δεν πωλείται το ανταγωνιστικό προϊόν αυξάνονται κατά 30 προϊόντα. Βιβλιογραφία Albright, S.C., Winston, W.L, and Zappe, C. (1999) Data Analysis & Decision Making with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Barlow, F.G. (1999) Excel Models for Business and Operations Management, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Berk, K.N., and Carey, P. (1998) Data Analysis with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Hamburg, M. (1983) Statistical Analysis for Decision Making, Harcourt Brace Jovanovitch, USA. Levine, D.M., Berenson, M.L., and Stephan, D. (1999) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Prentice-Hall, NJ.