Minimum night coastal temperature in O C. Mean daily Sunshine ( Hours)

Transcript

1 3. ΠΙΝΑΚΕΣ 3.1. Ορισµοί, είδη, µορφές, ισότητ πινάκων. Μονδιίος κι µηδενικός πίνκς. Πλοίο πρόκειτι ν προσεγγίσει το λιµάνι της Πάφου στη νοτιοδυτική Κύπρο. όκιµος πλοίρχος που νζητά περισσότερ στοιχεί γι το λιµέν προορισµού, µπορεί ν δει τον πρκάτω πίνκ κι ν εξάγει χρήσιµ συµπεράσµτ γι τις κιρικές συνθήκες που νµένετι ν συνντήσει. MONTHS Maximum daily coastal temperature in O C Minimum night coastal temperature in O C Mean daily Sunshine ( Hours) Sea temperatur e in O C Humidity ( %) Rainda ys JANUARY 17,3 8,4 6,1 16, ,4 FEBRUARY 17,5 8,1 7, 16,6 73 9,1 MARCH 19,4 10,0 8,0 16,9 68 8,9 APRIL,6 1,7 9, 17,4 67 5,0 MAY 6,6 16,5 11, 19,0 69,6 JUNE 30,7 0,1 1,8 1,8 70 0,3 JULY 33,0, 1,6 4,1 71 0,0 AUGUST 33,,6 11,9 5,4 73 0,0 SEPTEMBER 31,3 0,4 10,6 5,8 67 0,3 OCTOBER 8,6 17,7 8,9 3, 68 3,4 NOVEMBER 3,5 13,4 7, 0, 73 7,4 DECEMBER 19,0 10,0 5,8 18, ,0 Στις σελίδες κάποιου πό τ εξειδικευµέν περιοδικά που σχολούντι µε το χώρο της νυτιλίς µπορεί ν συνντήσει τους πρκάτω πίνκες οι οποίοι προυσιάζουν έν ηµερολόγιο κθώς κι σττιστικά στοιχεί σχετικά µε τη νυτιλί. TOP 0 LENDERS TO GREEK OWNERS BANK $m * 1 Royal Bank of Scotland 1,945 HSH Nordbank 5,900 3 Deutsche Schiffsbank 4,800 4 Credit Suisse ** 3,500 5 Piraeus Bank 3,376 6 Alpha Bank,677 7 Calyon **,500 8 National Bank of Greece,39 9 Marfin Egnatia Bank,50 10 DNB, HVB,043 1 Commercial Bank of Greece 1, DVB Nedship 1,70 14 Commerzbank 1, HSBC 1, EFG Eurobank 1, Fortis Bank 1,55 18 Citibank 1,80 19 ABN AMRO 1,150 0 DB/SHL Shipping 966 * At end December 007 **Market estimates Greek banks are show in red. ΕΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑ ΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΙΑ ΘΑΛΑΣΣΗΣ ( ΕΚΑΤΟΜ. ΤΟΝΟΙ ) ΕΞΑΜΕΝΟ- ΠΛΟΙΑ ΞΗΡΟ ΦΟΡΤ ΙΟ ΚΥΡΙΑ ΦΟΡΤΙΑ * ** * Σιδηροµετάλλευµ, δηµητρικά, άνθρκς, βωξίτης, λουµίν, φωσφορικό άλς ** Εκτιµήσεις ΜΑΙΟΣ 014 Τ Τ Π Π Σ Κ Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 1

2 Η ΠΟΡΕΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΟΚΤΗΤΟΥ ΣΤΟΛΟΥ ΕΤΟΣ ΠΛΟΙΑ DWT GT ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ορισµός. Ονοµάζοµε πίνκ ή µήτρ (matrix) τύπου µxν ή πιο πλά µxν πίνκ των πργµτικών ριθµών ij (i=1,,3,4,,µ κι j=1,,3,4,,ν), µί ορθογώνι τοποθέτηση των ριθµών υτών σε µ γρµµές κι ν στήλες. Το πλήθος µ των γρµµών κι ν των στηλών ονοµάζοντι διστάσεις του πίνκ. Οι ριθµοί που σχηµτίζουν τον πίνκ ονοµάζοντι στοιχεί του. Συνήθως οι πίνκες συµβολίζοντι µε κεφλί γράµµτ Α, Β, Γκ.ο.κ. ενώ τ στοιχεί τους µε µικρά. Το στοιχείο ενός πίνκ Α διστάσεως µxν που βρίσκετι στην i γρµµή κι στη j στήλη, συµβολίζετι a ij κι ο πίνκς γράφετι ως εξής: j 1 ν 1 1ν 1 j ν 1 ν i1 i ij iν 1 iν µ 1 1 µ 1 µ 1 j µ 1 ν 1 µ 1 ν µ1 µ µ j µ ν 1 µν Επίσης γράφετι κι ως µxν a ij συντοµογρφικά a ij ή ( ij) Α = ή µxν ( aij) Α = ή a ij a i= 1,,3,...,µ κι j= 1,,3,...,ν. Α= ή ( a ij ) Α= ή Πρτηρούµε ότι όλ τ στοιχεί του πίνκ που βρίσκοντι στην ίδι γρµµή έχουν ίδιο τον πρώτο τους δείκτη ενώ όλ τ στοιχεί που βρίσκοντι στην ίδι στήλη έχουν ίδιο το δεύτερο τους δείκτη. Εφρµογή. Ο x3πίνκς δείχνει το πλήθος ξιωµτικών γέφυρς, µηχνής που πσχολούντι σε δύο πλοί ετιρείς. Ο πίνκς δηλώνει ότι στο πρώτο πλοίο πσχολούντι 3, 5, 7 κι στο δεύτερο 4, 6, 8 ξιωµτικοί Α, Β, Γ τάξεως ντίστοιχ. Είνι 11=3, 1 =5, 13 =7, 1 =4, =6, 3 =8. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών.

3 Α Β Γ A πλοίο 1 = πλοίο Στον πίνκ Α βρείτε τ στοιχεί: 1, 1, 3, 3, A= Π.χ. Ν σχηµτιστεί ο διστάσεων x 3 πίνκς Α ότν aij = i+ j. Είνι: 11=1+1=, 1 = 1=1+=3, 13=1+3=4, =+=4, 3=+3= Συνεπώς ο πίνκς Α είνι A= Ν σχηµτιστεί ο διστάσεων 3x 3 πίνκς Α ότν a = i+ 3 j. ij Εφρµογή. Στο σχήµ το διάνυσµ ΑΑ i j δηλώνει ότι το Περιγράψτε την σχέση επιρροής µε πίνκ ij ν 1, ότν το Α επηρρεάζει το Α i ij= 0, ότν διφορετικά j Α i επηρεάζει το Α j. Α1 Α Α3 Α4 Α Α Είνι Α Α= Α Α Α5 Την εφρµογή υτή µπορούµε ν δούµε όχι µόνο µε τη στενή µθηµτική της διτύπωση, λλά ν φντστούµε ότι τ σηµεί πριστάνουν τ µέλη οµάδς νθρώπων (ή οµάδες συµφερόντων ή επιχειρήσεις ή κράτη κι µελετούµε τις µετξύ τους σχέσεις επιρροής). Άρ η θεωρί πινάκων είνι έν χρήσιµο εργλείο µε εφρµογές σε πολλούς τοµείς της επιστήµης. Επίσης µπορούµε ν δούµε πόσ κι Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 3

4 ποι άτοµ, τουλάχιστον, πρέπει ν µεσολβήσουν γι ν φτάσει µί πληροφορί πό τον ποµπό στο δέκτη, άρ ν την γνωρίζουν. Πίνκς γρµµή ή διάνυσµ γρµµή ονοµάζετι ένς πίνκς που έχει µόνο µί Α=.... γρµµή (µ=1) κι η γενική µορφή του είνι [ ] ν-1 1ν 0 cos, [ ] 1x3 0 Π.χ. Α 1x4 = Β = 0 0 7, Γ 1x = sin30 Πίνκς στήλη ή διάνυσµ στήλη ονοµάζετι ένς πίνκς που έχει µόνο µί στήλη (ν=1) κι η γενική µορφή του είνι Α= µ-11 µ Π.χ. Α 4x1=, Β 3x1= 6, Γ x1=. ln8 3,6 8 Πίνκς στοιχείο ονοµάζετι ένς πίνκς που έχει µόνο µί γρµµή κι στήλη, Α=. άρ περιέχει έν µόνο στοιχείο κι η γενική του µορφή είνι [ 11] Π.χ. Α 1x1= [ 9 ], Β 1x1= [ 007 ] Τετργωνικός ονοµάζετι ένς πίνκς που έχει ίδιο ριθµό γρµµών κι στηλών (µ = ν). Αν ν είνι το πλήθος γρµµών κι στηλών, θ σηµειώνοµε ότι έχοµε τον νxν πίνκ Α ή τον πίνκ Α νxν. Α = 11 1 x 1, Α = x π sin Π.χ. Β 4x4 = , 3x3= , Γ x = e 7, Κύρι ή πρωτεύουσ διγώνιος ενός τετργωνικού πίνκ νxν ονοµάζετι εκείνη η διγώνιος που περιέχει τ στοιχεί ij (i,j= 1,,3,,ν) του πίνκ µε i= j. ηλδή περιέχει τ στοιχεί 11,, 33, 44, 55,, ν-ν-, ν-1ν-1, νν που ονοµάζοντι πρωτεύοντ στοιχεί του πίνκ. Στον τετργωνικό πίνκ τ στοιχεί ij που βρίσκοντι πάνω πό την κύρι διγώνιο έχουν την ιδιότητ i< j, ενώ τ στοιχεί που βρίσκοντι κάτω πό υτή έχουν την ιδιότητ i> j. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 4

5 Α x =, Α 3x3= ευτερεύουσ διγώνιος ενός τετργωνικού πίνκ νxν ονοµάζετι η διγώνιος που περιέχει τ στοιχεί ij (i,j= 1,,3,,ν) του πίνκ γι τ οποί ισχύει ότι i+j = ν Α x = µε 1+ = +1 =3, Α 3x3= µε 1+3=+=3+1= Κλιµκωτός άνω ονοµάζετι ένς πίνκς µxν ότν όλ τ στοιχεί του τ ευρισκόµεν κάτω πό την κύρι διγώνιο είνι µηδέν. ηλδή ij =0 ότν i> j ν ν ν 1 ν ν ν ν ν µ 1ν 1 µ 1ν µν 3 6 Π.χ. Α 3x = , Β x3= Κλιµκωτός κάτω ονοµάζετι ένς πίνκς µxν ότν όλ τ στοιχεί του τ ευρισκόµεν πάνω πό την κύρι διγώνιο είνι µηδέν. ηλδή ij =0 ότν i< j. 3 0 Π.χ. Α 3x = , Β x3= Τριγωνικός άνω ονοµάζετι ο τετργωνικός πίνκς που όλ τ στοιχεί του τ ευρισκόµεν κάτω πό την κύρι διγώνιο είνι µηδέν. ηλδή ij =0 ότν i> j. Π.χ. 1 9 Α x= ν 1 1 ν ν 1 ν ν ν ν ν ν -1ν -1 ν 1ν νν 0 8 Β = , 3x3 Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 5

6 Τριγωνικός κάτω ονοµάζετι ο τετργωνικός πίνκς που όλ τ στοιχεί του τ ευρισκόµεν πάνω πό την κύρι διγώνιο είνι µηδέν. ηλδή ij =0 ότν i< j Π.χ. Α x = 9 4, Β 3x3= ιγώνιος ονοµάζετι ο τετργωνικός πίνκς που όσ στοιχεί του δεν νήκουν στην κύρι διγώνιο, είνι µηδέν. ηλδή ij =0 ότν i j. Κάθε διγώνιος πίνκς είνι τριγωνικός άνω κι κάτω. Π.χ. Π.χ. Αν 1 0 Α x= 0 4, 3x3 Α= x x Β = Γι ν είνι ο Α διγώνιος πρέπει, ν βρεθεί ο x R ώστε ο Α ν είνι διγώνιος. Λύση. x + 1 = 0 κι x 1 = 0 άρ x = 1 κι x = ±1 άρ x= 1. Ανάστροφος ενός πίνκ Α= [ ij ] διστάσεων µxν ονοµάζετι ο διστάσεων νxµ πίνκς Α Τ = [ ji ], δηλδή ο πίνκς που προκύπτει πό τον Α, ν οι γρµµές υτού γίνουν στήλες κι οι στήλες γρµµές µε την ίδι τάξη. Τ Ανάστροφός του νάστροφου είνι ο ρχικός πίνκς, δηλδή ( Α ) Τ =Α. Π.χ. 1 0 Α x = Τ Α x = 0 4, 3x Β = Τ Β 3x3= 4 5 6, Τ Γ x3= 4 6 Γ 3x = Συµµετρικός ονοµάζετι εκείνος ο τετργωνικός πίνκς Α νxν που τ στοιχεί του τ συµµετρικά ως προς την κύρι διγώνιο είνι ίσ. ηλδή [ ij ] = [ ji ]. Άρ ν ο τετργωνικός πίνκς Α ισούτι µε τον νάστροφο του (Α Τ =Α), τότε είνι συµµετρικός Π.χ. Α x= 4, Β 3x3= Αντισυµµετρικός ονοµάζετι ο τετργωνικός πίνκς Α νxν που τ στοιχεί του τ συµµετρικά ως προς την κύρι διγώνιο είνι ντίθετ κι όλ τ στοιχεί της 0, ότν i=j κύρις διγωνίου του είνι µηδέν. ηλδή ij=. - ji, ότν i j Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 6

7 Άρ, ν ο τετργωνικός πίνκς Α είνι ντίθετος µε τον νάστροφο του Τ ( Α = Α ), τότε είνι ντισυµµετρικός Π.χ. Α x = 1 0, Β 3x3= Μηδενικός µxν ονοµάζετι εκείνος ο διστάσεων µxν πίνκς, κάθε στοιχείο του οποίου είνι µηδέν κι συµβολίζετι ως O µ ν ή ότν δεν υπάρχει κίνδυνος συγχύσεως µε το O. Επειδή ο πργµτικός ριθµός 0 είνι µονδικός, έπετι ότι κι ο µηδενικός πίνκς θ είνι µονδικός γι κάθε διάστση πίνκ Π.χ. Ο 1x1= [ 0 ], O x = 0 0, Ο x3= 0 0 0, Ο 3x = 0 0, Ο 3x3= Αντίθετος ενός πίνκ Α διστάσεως µxν ονοµάζετι ο ιδίων διστάσεων πίνκς, του οποίου όλ τ στοιχεί είνι ντίθετ των ντίστοιχων στοιχείων του πίνκ Α. Ο πίνκς υτός συµβολίζετι µε Α. Προφνώς ισχύει ότι ( Α ) = Α Π.χ. Αντίθετος του Α= 4είνι ο Α= Μονδιίος ονοµάζετι εκείνος ο διγώνιος πίνκς που όλ τ στοιχεί της κύρις διγωνίου του είνι 1 ( 11 = = 33 = νν = 1). Ο Ι ν γράφετε πλούστερ Ι ότν είνι φνερός ο τύπος του πό τις πράξεις µε τους άλλους πίνκες Π.χ. Ι = 0 1, Ι 3= 0 1 0, Ι ν = Εφρµογή. Κτά τη διάρκει σκήσεως 4 πλοί πίρνουν τις θέσεις (1 /Ξ, Υ/Β, 3 Φ/Γ, 4 Π/Κ) κι επικοινωνούν µετξύ τους όπως φίνετι στο σχήµ. Κτσκευάστε πίνκ Α=[ ij ], ώστε κάθε στοιχείο του ij, ν δείχνει το πλήθος κνλιών άµεσης επικοινωνίς µετξύ των πλοίων. (Π.χ. 34 = ). /Ξ Υ/Β Φ/Γ Π/Ρ /Ξ Υ/Β Φ/Γ 1 0 Π/Ρ x Α= Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 7

8 Τ κνάλι άµεσης επικοινωνίς περιγράφοντι πό τον πρπάνω πίνκ διπλής εισόδου πό τον οποίο προκύπτει ο συµµετρικός πίνκς Α. Ισότητ πινάκων. ύο πίνκες Α, Β ονοµάζοντι ίσοι ότν έχουν ίδιο ριθµό γρµµών, ίδιο ριθµό στηλών (άρ είνι του ιδίου τύπου) κι τ ντίστοιχ στοιχεί τους είνι ίσ. Γι ν δηλώσοµε ότι δύο πίνκες είνι ίσοι γράφοµε Α=Β. ύο ή περισσότερ στοιχεί ονοµάζοντι ντίστοιχ ότν βρίσκοντι στην ίδι γρµµή κι στήλη, σε δύο ή περισσότερους πίνκες. Π.χ. Ν βρεθεί ο πργµτικός ριθµός που ικνοποιεί την εξίσωση Α=Β, όπου 3 3 Α= x 1, Β= 5 1. Λύση Έχοµε δύο τετργωνικούς πίνκες διστάσεως, άρ γι ν είνι ίσοι ρκεί τ ντίστοιχ στοιχεί τους ν είνι ίσ έν προς έν. ηλδή 11 ==β 11, 1 =3= β 1, 1 =x=5= β 1, =1=β. Άρ πρέπει x=5 (µονδική λύση). Αν Α= 3x 6 5, 6 Β= x 5 Άσκηση ν δειχθεί ότι Α Β γι κάθε πργµτικό ριθµό x. Άσκηση Βρείτε, ν υπάρχουν, τις τιµές του x R που επληθεύουν τις εξισώσεις. 3 3 () = x (β) 3 3 = 4 x 4 x (γ) = x x 4 x (δ) 1 x = (ε) 1 x = x x -7 Ιδιότητες ισότητς πινάκων. Από τις ιδιότητες ισότητς πργµτικών ριθµών, συνάγετι ότι η ισότητ πινάκων έχει τις κόλουθες ιδιότητες: 1. Κάθε πίνκς Α είνι ίσος µε τον ευτό του δηλδή Α=Α. (νκλστική). Αν Α=Β τότε Β=Α. (συµµετρική) 3. Αν Α=Β κι Β=Γτότε Α=Γ (µετβτική) 3.. Στοιχειώδεις πράξεις µε πίνκες Πρόσθεση πινάκων. Νυτιλική ετιρεί που έχει δροµολογήσει το σκάφος ΙΚΑΡΙΑ 1 µε προορισµό Εύδηλο Ικρίς, έχει κόψει γι τη δεύτερη εβδοµάδ Αυγούστου, εισιτήρι νά ηµέρ κι κτηγορί όπως φίνοντι στον πρκάτω πίνκ Α. Λόγω µηχνικής βλάβης δε θ εκτελέσει τ προγρµµτισµέν δροµολόγι του κι θ ντικτστθεί πό το σκάφος της ίδις ετιρείς ΙΚΑΡΙΑ, το οποίο Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 8

9 όµως έχει κόψει γι την ίδι εβδοµάδ εισιτήρι όπως φίνοντι νά ηµέρ κι κτηγορί στον πρκάτω πίνκ Β. Φ/Γ Ι.Χ. ΜΟΤ. VIP ΟΙΚ. Φ/Γ Ι.Χ. ΜΟΤ. VIP OIK ευτέρ Τρίτη Τετάρτη Α= Πέµπτη Β= Πρσκευή Σάββτο Κυρική Ο συνολικός ριθµός των φορτηγών υτοκίνητων, ι.χ., µοτοποδήλτων, επιβτών δικεκριµένης κι οικονοµικής θέσεως που θ χρεισθεί ν µετφέρει νά ηµέρ το ΙΚΑΡΙΑ, είνι ένς πίνκς Γ, του οποίου κάθε στοιχείο είνι το άθροισµ των ντίστοιχων στοιχείων των δύο πινάκων Α, Β. Ο πίνκς Γ ονοµάζετι άθροισµ των δύο προηγουµένων πινάκων. Η πράξη µε την οποί βρίσκοµε το άθροισµ δύο πινάκων ονοµάζετι πρόσθεση πινάκων Γ= = Ορισµός. Άθροισµ δύο µ x ν πινάκων Α=[ ij ], Β=[β ij ], ονοµάζετι ο µ x ν πίνκς κάθε στοιχείο του οποίου είνι άθροισµ των ντιστοίχων στοιχείων των Α, Β. ηλδή Α+Β = [ ij + β ij ] ν β11 β1 β β1ν ν β 1 β β 3... βν = µ1 µ µ3... µν βµ1 βµ β µ3... βµν Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 9

10 11+β11 1+β1 13+β ν+β1ν 1+β1 +β 3+β 3... ν+βν µ1 +βµ1 µ +βµ µ3 +β µ3... µν +βµν εν ορίζετι άθροισµ πινάκων διφορετικού τύπου. Ιδιότητες προσθέσεως πινάκων. Οι ιδιότητες προσθέσεως πινάκων είνι νάλογες µε τις ιδιότητες προσθέσεως πργµτικών ριθµών. Αν Α,Β,Γ, τρεις πίνκες διστάσεων µxν κι Ο ο ντίστοιχος µηδενικός πίνκς διστάσεων µxν, τότε ισχύουν: 1. Α+Β=Β+Α Αντιµετθετική ιδιότητ.. Α+(Β+Γ)=(Α+Β)+Γ Προσετιριστική ιδιότητ. Το ( Α+Β)+Γ ονοµάζετι άθροισµ των Α, Β, Γ κι συµβολίζετι ως Α+Β+Γ. Η προσετιριστική ιδιότητ επιτρέπει ν γράφοµε Α+Β+Γ γι κθέν πό τ ίσ θροίσµτ Α+(Β+Γ), (Α+Β)+Γ. Οµοίως ν Α, Β, Γ, πίνκες ιδίου τύπου, ισχύει: [(A+B)+Γ]+ =(Α+Β)+( Γ+ ) = [Α+ (Β+Γ)] + =Α+ [Β+ (Γ+ )] =Α+[ (Β+Γ) + ]=[ (Β+Α) +Γ]+ = κ.ο.κ. Γενικότερ, µε όµοιο τρόπο ορίζετι το άθροισµ περισσοτέρων πό τρεις (κ 3) πινάκων διστάσεων µxν, Α1, Α,..., Α κ, συµβολίζετι ως Α 1+Α Α κ κι είνι ίδιο νεξάρτητ του τρόπου εκτελέσεως της προσθέσεως, διότι ισχύουν η ντιµετθετική κι προσετιριστική ιδιότητ. 3. Α + Ο = Ο + Α = Α Ουδέτερο στοιχείο. Πρτήρηση. Γι κάθε µ xνπίνκ Α, υπάρχει έν κι µόνο έν ουδέτερο στοιχείο προσθέσεως. ηλδή ο πίνκς Ο που επληθεύει την νωτέρω σχέση είνι µονδικός. Απόδειξη Έστω ότι ο µ xνπίνκς Α έχει κι ένν άλλο, εκτός τον Ο, ιδίων διστάσεων, πίνκ Ο γι τους οποίους ισχύουν οι πρκάτω σχέσεις : Α + Ο = Ο + Α = Α (1) A + Ο = Ο + A = A () Η (1) γι Α = Ο γίνετι : Ο + Ο = Ο + Ο = Ο (3) Η () γι Α = Ο γίνετι : Ο + Ο = Ο + Ο = Ο (4) Από τις (3), (4) έχοµε ότι φού είνι ίσ τ πρώτ µέλη θ είνι κι τ δεύτερ. Άρ Ο = Ο. 4. Α + ( Α ) = ( Α ) + Α = Ο. Πρτήρηση. Γι κάθε µ xνπίνκ Α υπάρχει ένς κι µόνο ένς ντίθετος πίνκς. Απόδειξη Έστω ότι ο Α δεν έχει ντίθετο µόνο τον Α λλά κι τον ( Α ). Τότε πρέπει ν ισχύουν τυτόχρον οι πρκάτω ισότητες: Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 10

11 Α + ( A) = ( A) + Α = Ο κι Α + ( Α ) = ( Α ) + Α = Ο. Από τις νωτέρω ισότητες είνι: ( Α ) = ( Α ) + Ο =( Α ) +[ Α + ( A)] = [( Α ) + Α] + ( A) = Ο + ( A) = A Άρ οι πίνκες Α κι( Α ) συµπίπτουν. 5. Αν Α,Β είνι πίνκες διστάσεως µxν τότε (Α+Β) Τ = Α Τ +Β Τ. Χρκτηρίστε ως σωστές ή λάθος τις πρκάτω προτάσεις ιτιολογώντς τις πντήσεις σς: 1. Τo άθροισµ δύο x3 πινάκων είνι πίνκς ίδις διστάσεως.. Το άθροισµ δύο διγωνίων πινάκων είνι διγώνιος πίνκς. 3. Ο µηδενικός πίνκς είνι διγώνιος. 4. Ένς τετργωνικός πίνκς διστάσεως νxν έχει ν στοιχεί. 5. Ο µονδιίος πίνκς είνι κλιµκωτός άνω. 6. Ο µονδιίος πίνκς είνι συµµετρικός. 7. Ο µηδενικός πίνκς είνι συµµετρικός. 8. Ο µονδιίος πίνκς διστάσεως x έχει στοιχεί. 9. Ο µονδιίος πίνκς διστάσεως x έχει στοιχεί διάφορ του µηδέν. 10. Ο νάστροφος ενός πίνκ γρµµή είνι πίνκς στήλη. 11. Η κύρι διγώνιος τετργωνικού πίνκ έχει περισσότερ στοιχεί πό τη δευτερεύουσ. 1. Η κύρι διγώνιος τετργωνικού πίνκ διστάσεως 3x3, περιέχει 3 τουλάχιστον στοιχεί. 13. Αν οι πίνκες Α, Β, Γ είνι διστάσεως x3 τότε κι ο Α+Β+Γ είνι x Αν Α τετργωνικός πίνκς κι Α Τ ο νάστροφος του, ο Α+ Α Τ είνι συµµετρικός. 15. Οι µηδενικοί πίνκες είνι πάντ ίσοι µετξύ τους. 16. Οι µηδενικοί πίνκες είνι πάντ τετργωνικοί. 17. Ο µονδιίος πίνκς είνι πάντ διστάσεων x ή 3x3. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 11

12 Εφρµογή. Οι ηµερήσιες πωλήσεις εφηµερίδων πό περίπτερο, γι δύο συνεχόµενες ηµέρες ριθµούν σε φύλλ όπως δείχνουν οι πίνκες: 1 η Ηµέρ Αθλητικές Οικονοµικές Πολιτικές Πρωινές Απογευµτινές η Ηµέρ Αθλητικές Οικονοµικές Πολιτικές Πρωινές Απογευµτινές Κτσκευάστε τους πίνκες Α, Β των πωλήσεων της 1 ης, ης ηµέρς ντίστοιχ, υπολογίστε τον Α+Β κι ερµηνεύστε τον. Είνι: Αθλ. Οικ. Πολ Πρωινές Β= Α= Απογευµτινές Αθλ. Οικ. Πολ Πρωινές Α+Β= + = Απογευµτινές Ο Α+Β εκφράζει τις συνολικές πωλήσεις εφηµερίδων, πρωινών κι πογευµτινών, το διήµερο, νά κτηγορί. Ο µέσος όρος των ηµερήσιων πωλήσεων υτόµτου πωλητή νψυκτικών δίνετι πό τον πίνκ Α γι τις πρωινές κι πό τον πίνκ Β γι τις πογευµτινές πωλήσεις. Βρείτε τον Α+Β κι εξηγήστε τι εκφράζει. Cola Η Ο Τσάι η Α= Μηχνή η Μηχνή Cola Η Ο Τσάι η Β= Μηχνή η Μηχνή Η κτνάλωση ρεύµτος σε κιλοβτώρες ( kwh ), νά τετράµηνο, τεσσάρων διµερισµάτων πολυκτοικίς φίνετι στον πίνκ. Α Τετράµηνο 14/01/014 15/05 Β Τετράµηνο 16/05 17/09 Γ Τετράµηνο 18/09 19/01/015 1 η Οικογένει η Οικογένει η Οικογένει η Οικογένει Αν η κιλοβτώρ κοστίζει 0,8 κι κάθε τετράµηνο ο λογρισµός επιβρύνετι µε πάγι χρέωση 10, δηµοτικά τέλη 0 κι 10 γι την Ν.Ε.Ρ.Ι.Τ., πρστήστε µε πίνκ Β τ ποσά που θ πληρώσει κάθε οικογένει νά τετράµηνο. Αν η.ε.η. υξήσει την τιµή της κιλοβτώρς στο 1, βρείτε πόσο θ επιβρυνθούν κτ έτος οι οικογένειες. Αν η 4 η οικογένει, θορυβηµένη πό την ύξηση της τιµής της κιλοβτώρς µειώσει την κτνάλωση της κτά 5% (λλάζοντς τις λάµπες µε ηλεκτρονικές, Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 1

13 εγκθιστώντς ηλικό θερµοσίφων κι τοποθετώντς στις οροφές φωτιστικά µε νεµιστήρ) βρείτε πόσ χρήµτ εξοικονόµησε. 1 3 Αν Α= 4 5 6, θροίσµτ: A+B, A+Γ, Β= 1 3, Γ= 0 5 0, ν υπολογισθούν τ Β+Γ, Α+Β+Γ Αφίρεση πινάκων. Πλοίο νχωρεί πό τον Πειριά γι Εύδηλο Ικρίς κι Σάµο µετφέροντς οχήµτ κι επιβάτες όπως φίνετι νά κτηγορί στον πίνκ Α. Αν στον Εύδηλο πρόκειτι ν ποβιβσθούν τόσ οχήµτ κι επιβάτες όσ φίνοντι στον πίνκ Β, πόσοι επιβάτες κι οχήµτ νµένετι ν ποβιβσθούν στη Σάµο προκειµένου ν ενηµερωθεί έγκιρ το εκεί λιµενρχείο; 30 Φορτηγά 10 Φορτηγά 160 Ι.Χ. 90 Ι.Χ. Α= 00 ίκυκλ Β= 10 ίκυκλ 300 V.I.P. 100 V.I.P Οικονοµική 500 Οικονοµική Η διφορά οχηµάτων κι επιβτών δίνετι πό τον πρκάτω πίνκ, του οποίου κάθε στοιχείο είνι διφορά των ντίστοιχων στοιχείων των Α, Β Φορτηγά Ι.Χ. 70 Γ= ίκυκλ Άρ Γ= 80 επιβάτες κι οχήµτ, νά V.I.P Οικονοµική 500 κτηγορί, νµένετι ν ποβιβσθούν στη Σάµο. Ορισµός Αν Α = [ ij ], Β = [β ij ] δύο πίνκες διστάσεως µxν, ονοµάζετι διφορά του Β πό τον Α, ο διστάσεων µxν πίνκς του οποίου κάθε στοιχείο είνι η διφορά των ντίστοιχων στοιχείων των Α, Β κι συµβολίζετι Α Β. ηλδή Α Β = [ ij β ij ] =Α + ( Β) ν β11 β1 β β1ν ν β 1 β β 3... βν = µ1 µ µ3... µν βµ1 βµ β µ3... βµν Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 13

14 11 β11 1 β1 13 β ν β1ν 1 β1 β 3 β 3... ν βν µ1 βµ1 µ βµ µ3 β µ3... µν βµν Γι ν ορίζετι η διφορά δύο πινάκων πρέπει υτοί ν είνι ιδίων διστάσεων. Η πράξη µε την οποί βρίσκοµε την διφορά δύο πινάκων, λέγετι φίρεση πινάκων. Προφνώς ισχύει ότι Α Ο =Α. Ιδιότητες φιρέσεως πινάκων. 1. Στους πργµτικούς ριθµούς η εξίσωση + x= β έχει µονδική λύση x= β+ ( ) = β.οµοίως στο σύνολο Π µxν των πινάκων διστάσεων µ x ν ισχύει: Α + Χ = Β Χ = ( Α)+Β ή ( Μονδική λύση εξίσωσης). Χ + Α = Β Χ = Β + ( Α) Μί ισότητ µετξύ πινάκων που περιέχει ένν άγνωστο πίνκ ονοµάζετι εξίσωση µε πίνκες. Η διδικσί που κολουθείτι µε σκοπό ν βρεθεί ο άγνωστος πίνκς Χ, ονοµάζετι επίλυση της εξισώσεως.. Στους πργµτικούς γνωρίζοµε ότι + x= β+ x = β. Οµοίως, στο Π µxν ισχύει: Α+Χ=Β+Χ Α=Β. (Νόµος διγρφής) Π.χ. Αν Α, Β πίνκες διστάσεων µ x ν ν δειχθεί ότι ν Α=Β τότε Α Β=Ο. Πράγµτι Α = Β άρ Α + ( Β) = Β + ( Β) άρ Α Β = Ο. 3. Αν Α πίνκς διστάσεως µxν, τότε ( Α) Τ = Α Τ. 4. Αν Α, Β, Γ πίνκες µxν τότε Α (Β + Γ) = Α Β Γ, (Α + Β) = Α Β. Χρκτηρίστε ως σωστές ή λάθος τις πρκάτω προτάσεις ιτιολογώντς τις πντήσεις σς: 1. Τo άθροισµ δύο πινάκων διστάσεων x3 είνι πίνκς ίδις διστάσεως.. Το άθροισµ δύο διγωνίων πινάκων είνι διγώνιος πίνκς. 3. Αν Α,Β,Γ πίνκες x3 τότε κι ο πίνκς (Α+Β Γ) Τ είνι διστάσεως x3. 4. Αν Α τετργωνικός κι Α Τ ο νάστροφος του, ο Α Α Τ είνι ντισυµµετρικός. 5. Αν Α,Β συµµετρικοί νxν πίνκες, τότε οι Α+Β, Α Β είνι συµµετρικοί. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 14

15 Αν 1 Α= 3 4, 5 6 Β= 7 8, 9 0 Γ= Α Β +Γ, Α+Α. ( Α ) + ( Β ), ( Α+Β ), Α ( Β Γ ), ( ) βρείτε τους: ( Α+Β ) +Γ, Α+ ( Β+Γ ), Πολλπλσισµός πργµτικού ριθµού επί πίνκ. Νυτιλική ετιρεί λόγω υξηµένης κερδοφορίς ποφσίζει εφέτος ν διπλσιάσει το bonus που χορηγεί κάθε πρωτοχρονιά στους ξιωµτικούς των πλοίων της κι το οποίο µέχρι τώρ ντιστοιχούσε σε έν µισθό, νάλογου µε την τάξη κι ειδικότητ. Η µισθοδοσί (σε $) νά ειδικότητ κι βθµό φίνετι στον πρκάτω πίνκ Α. Πλ. Μηχ Α τάξεως Α= Β τάξεως Γ τάξεως Ζητείτι ν υπολογισθεί το ύψος που θ κυµνθούν τ φετινά bonus. Προφνώς όλ τ νωτέρω ποσά θ διπλσισθούν κι τ εφετινά bonus φίνοντι στον 3xπίνκ Β, ίδις διστάσεως µε τον Α που κάθε στοιχείο του προκύπτει πό τον πολλπλσισµό του ντίστοιχου στοιχείου του Α επί τον ριθµό. Πλ. Μηχ Α τάξεως Β= Β τάξεως Γ τάξεως Ορισµός. Γινόµενο ενός πργµτικού ριθµού λ επι ένν πίνκ Α=[ ij ], ονοµάζετι ο πίνκς που προκύπτει ν πολλπλσιάσοµε κάθε στοιχείο του Α επί λ. Ο πίνκς υτός συµβολίζετι λ Α ή λα. ηλδή λ Α= [λ ij ]. Η πράξη µε την οποί βρίσκοµε το γινόµενο ριθµού επί πίνκ ονοµάζετι πολλπλσισµός πργµτικού ριθµού επί πίνκ. Στον πρπάνω ορισµό δεν νφερθήκµε κθόλου στις διστάσεις του πίνκ, άρ ορίζετι πολλπλσισµός πργµτικού ριθµού µε πίνκ τυχίων διστάσεων j... 1ν-1 1ν 1... j... ν-1 ν ΑνΑ= i1 i... ij... iν-1 iν τότε γι κάθε πργµτικό µ-11 µ-1... µ-1j... µ-1ν-1 µ-1ν µ1 µ... µj... µν-1 µν Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 15

16 ριθµό λ ισχύει ότι λ λ... λ... λ λ λ λ... λ... λ λ λα= i λ λ... λ... λ λ λ λ... λ... λ λ λ µ1 λ µ... λ... λ λ j 1ν-1 1ν 1 j ν-1 ν i1 i ij iν-1 iν µ-11 µ-1 µ-1j µ-1ν-1 µ-1ν µj µν-1 µν Στη σχέση λα= i λ ij η τελεί ( ) στο πρώτο µέλος είνι το σύµβολο γι την πράξη πολλπλσισµού πργµτικού ριθµού επί πίνκ που δίνει ποτέλεσµ πίνκ, ενώ η τελεί ( ) στο δεύτερο µέλος είνι το σύµβολο γι το γνωστό πολλπλσισµό µετξύ πργµτικών ριθµών. Επειδή ο πολλπλσισµός µετξύ πργµτικών είνι ντιµετθετική πράξη δηλδή λ ij=ij λ, µπορούµε ν γράφοµε λ Α= λ ij = ij λ. Ιδιότητες του πολλπλσισµού πργµτικού ριθµού επί πίνκ. Αν Α,Β µ xνπίνκες κι κ,λ R, ισχύουν οι πρκάτω ιδιότητες ως άµεση συνέπει του ορισµού: 1. λ (Α + Β) = λα + λβ.. (κ + λ) Α = κα + λa. 3. κ (λα) = (κλ) Α. 4. 1Α = Α όπου 1 το µονδιίο στοιχείο του πολλπλσισµού. 5. Αν Oο µηδενικός πίνκς τότε λ O =O. 6. ( 1)Α = Α. Προκύπτει πό λα, γι λ= Το γινόµενο του ριθµού 0 επί τυχίο πίνκ Α είνι ο ντίστοιχος µηδενικός πίνκς. ηλδή 0Α = Oκι προκύπτει πό λα, γι λ=0. 8. Αν λα = Oτότε λ = 0 ή Α= O. 9. Αν Α=Β τότε λα = λβ. 10. Αν λα = λβ κι λ 0 τότε Α=Β. 11. Αν κα = λa κι Α O τότε κ = λ. 1. Αν Α πίνκς µ ν x κι λ Rτότε ( λ ) Τ Τ Α = λα. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 16

17 Εφρµογή. Ο πίνκς Α δείχνει τις τιµές πωλήσεως τριών ηλεκτρικών συσκευών σε δύο υποκτστήµτ. T.V. DVD ΙPΑD Υποκτάστηµ 1 Α= Υποκτάστηµ Αν κτά την περίοδο των εκπτώσεων οι συσκευές προσφέροντι στους κτνλωτές µε έκπτωση 10%, υπολογίστε µε χρήση πινάκων τις νέες τους τιµές. Αφού τ προϊόντ πωλούντι µε έκπτωση 10%, η τιµή πωλήσεως τους είνι το 90% της ρχικής τιµής ή διφορετικά τ 9/10 υτής. Οι νέες τιµές φίνοντι στον πίνκ Β, γι τον οποίο ισχύει ότι Β = 0,9 Α. T.V. DVD IPAD Υποκτάστηµ 1 B=0,9 = Υποκτάστηµ Εφρµογή. Αποδείξτε ότι το πρκάτω άθροισµ είνι διγώνιος πίνκς. cosα sinα sinα cosα cosα +sinα sinα cosα cosα sinα. Λύση. cosα sinα sinα cosα Πράγµτι, cosα +sinα = sinα cosα cosα sinα cosα cosα sinα cosα sinα sinα cosα sinα + = sinα cosα cosα cosα cosα sinα sinα sinα cos Α sinα cosα sin Α cosα sinα + = sinα cosα cos Α cosα sinα sin Α cosα+sin Α = 0 cosα+sin Α 0 1. Εφρµογή. Βιοµηχνί επεξεργσίς ξύλου χρησιµοποιεί τέσσερις µηχνές µε τις οποίες κτσκευάζει τρπέζι, κρέκλες, κι κρεβάτι. Το πλήθος των πργόµενων προϊόντων νά ώρ κι µηχνή δίνετι πό τον πίνκ: Τρ Κρ Κρεβ η µηχνή η Α= µηχνή η µηχνή η µηχνή Στο τέλος µίς εργάσιµης ηµέρς (8 ώρες εργσίς) πόσες µονάδες πό το κάθε προϊόν έχει κτσκευάσει κάθε µηχνή; Προφνώς όλ τ νωτέρω ποσά θ οκτπλσιστούν κι φίνοντι στον πίνκ Β που κολουθεί. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 17

18 Τρ Κρ Κρεβ η µηχνή η µηχνή Β=8Α=8 = η µηχνή η µηχνή Ο Β είνι ίδις διστάσεως (4x3) µε τον Α κι κάθε στοιχείο του προκύπτει πό τον πολλπλσισµό του ντίστοιχου στοιχείου του Α επί τον ριθµό 8. Εφρµογή. Τ τρίποντ, δίποντ κι οι ελεύθερες βολές που πέτυχν, εντός κι εκτός έδρς στις δύο πρώτες γωνιστικές του πρωτθλήµτος µπάσκετ τέσσερις οµάδες µπάσκετ φίνοντι στον πρκάτω πίνκ. ΠΟΝΤΟΙ ΤΡΙΠΟΝΤΑ ΤΡΙΠΟΝΤΑ ΙΠΟΝΤΑ ΙΠΟΝΤΑ ΕΛΕΥΘ ΒΟΛΕΣ ΟΜΑ ΕΣ ΕΝΤΟΣ Ε ΡΑΣ ΕΚΤΟΣ Ε ΡΑΣ ΕΝΤΟΣ Ε ΡΑΣ ΕΚΤΟΣ Ε ΡΑΣ ΕΝΤΟΣ Ε ΡΑΣ ΕΛΕΥΘ ΒΟΛΕΣ ΕΚΤΟΣ Ε ΡΑΣ ΑΣΤΡΑΠΗ ΚΕΡΑΥΝΟΣ ΘΥΕΛΛΑ ΑΝΙΚΗΤΟΣ Ν γρφούν τ δεδοµέν υπό µορφή τριών πινάκων Α, Β, Γ, που περιέχουν ντίστοιχ τ τρίποντ, δίποντ κι τις ελεύθερες βολές κάθε οµάδς. Ν βρεθεί πίνκς που δίνει τους συνολικούς πόντους που σηµείωσε κάθε µί οµάδ εντός κι εκτός έδρς. Ο πίνκς Α δίνει τ τρίποντ που σηµειώθηκν εντός κι εκτός έδρς. Ο πίνκς Β δίνει τ δίποντ που σηµειώθηκν εντός κι εκτός έδρς. Ο πίνκς Γ δίνει τις ελεύθερες βολές που σηµειώθηκν εντός κι εκτός έδρς Α= 18 14, Β= 1 11, Γ= Ο πίνκς που δίνει τους συνολικούς πόντους κάθε µίς οµάδς στις δυο πρώτες γωνιστικές του πρωτθλήµτος = = Εντός Εκτός = = Αστρπή Κερυνός Θύελλ Ανίκητος Εφρµογή Τέσσερις νυτιλικές ετιρείες κτλµβάνουν πό ένν όροφο µεγάρου, του οποίου η νάλυση των εξόδων µηνός Μρτίου φίνετι στον πρκάτω πίνκ. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 18

19 ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ ΑΝΕΛΚΥΣΤΗΡΕΣ ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΦΥΛΑΞΗ ΕΙ ΙΚΑ ΕΞΟ Α Αν η νλογί επιβρύνσεως κτά όροφο είνι: 1 ος ΟΡΟΦΟΣ ος ΟΡΟΦΟΣ 3 ος ΟΡΟΦΟΣ 4 ος ΟΡΟΦΟΣ () Κτσκευάστε πίνκ που νλύει κτά κτηγορί, τ έξοδ κάθε ορόφου. (β) Το µήν Απρίλιο λόγω νόδου της θερµοκρσίς, θ µειωθεί κτά 10% η δπάνη θερµάνσεως λλά θ υξηθούν κτά 0% τ ειδικά έξοδ, λόγω συντηρήσεως ποχετεύσεων κι κηπευτικών εργσιών στον περιβάλλοντ χώρο. Βρείτε µε βάση τ νέ δεδοµέν, τι ποσό θ πληρώσει ο κάθε όροφος το µήν Απρίλιο. () Γνωρίζοµε ότι 100 = 100 / = 0,1 κι 150 = 150 / = 0,15 κι 350 = 350 / = 0,35 κι 400 = 400 / = 0,4. Κτσκευάζοµε τον πίνκ στήλη που περιέχει τις νλογίες (χιλιοστά) επιβρύνσεως κάθε ορόφου. 0,1 0,15 0,35 0,4 Τ έξοδ νά κτηγορί προκύπτουν πό τους πολλπλσισµούς: 0, , = γι την κθριότητ, 0, , ,1 0 0, = 0, ,4 80 γι τους νελκυστήρες, 0, , = γι τη θέρµνση 0, , , , = γι τη φύλξη, 0, ,4.000 Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 19

20 0,1 50 0, = γι τ ειδικά έξοδ 0, ,4 00 Ο νλυτικός πίνκς εξόδων, µηνός Μρτίου, κτά κτηγορί γι κάθε όροφο είνι ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ ΑΝΕΛΚΥΣΤΗΡΕΣ ΘΕΡΜΑΝΣΗ ΦΥΛΑΞΗ ΕΙ ΙΚΑ 1 ος ΟΡΟΦΟΣ ος ΟΡΟΦΟΣ 3 ος ΟΡΟΦΟΣ 4 ος ΟΡΟΦΟΣ ΕΞΟ Α (β) Τον Απρίλιο η δπάνη γι θέρµνση θ µειωθεί κτά 10%, συνεπώς θ νέρχετι στο 90% της ντίστοιχης δπάνης του Μρτίου κι ο κτµερισµός της νά όροφο προκύπτει πό τον πρκάτω πολλπλσισµό: 0,1 0,1 90 0,15 0, ,9 =900 = 0,35 0, ,4 0,4 360 Οµοίως, η δπάνη γι ειδικά έξοδ θ σηµειώσει ύξηση 0%, συνεπώς θ νέρχετι στο 10% της ντίστοιχης δπάνης του Μρτίου κι ο κτµερισµός της νά όροφο προκύπτει πό τον πρκάτω πολλπλσισµό: 0,1 0,1 60 0,15 0, , =600 = 0,35 0, ,4 0,4 40 Οι υπόλοιπες δπάνες πρµένουν µετάβλητες (3.500 γι κθριότητ, 00 γι συντήρηση νελκυστήρων κι γι υπηρεσίες φυλάξεως). Η δπάνη νά όροφο (άρ κι νά νυτιλική ετιρεί) γι τον Απρίλιο προκύπτει πό τον πρκάτω πολλπλσισµό: 0,1 0,15 ( , , ) = 0,35 0,4 ου 0, Νυτιλική ετιρεί 1 ορόφου = ου 0, Νυτιλική ετιρεί ορόφου ου 0, Νυτιλική ετιρεί 3 ορόφου ου 0, Νυτιλική ετιρεί 4 ορόφου Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 0

21 Εφρµογή. Κάθε διάνυσµ του επιπέδου µπορεί ν γρφτεί µε τη βοήθει πίνκ γρµµή ή πίνκ στήλη. Όπως φίνετι στο πρκάτω σχήµ, Α1 3 ΟΑ=[Α1,Α]=[3,5] ή ΟΑ= = Α 5 Β1 7 ΟΒ=[Β1,Β]=[7,] ή ΟΒ= = Β Γι ν προσθέσοµε ή φιρέσοµε δύο δινύσµτ, προσθέτοµε ή φιρούµε τις ντίστοιχες συντετγµένες τους. Συνεπώς είνι: Α1 Β ΟΑ+ΟΒ= + = + = Α Β 5 7 Α1 Β ΟΑ ΟΒ= = = Α Β 5 3 Ότν έν διάνυσµ πολλπλσιάζετι επί πργµτικό ριθµό, το διάνυσµ που προκύπτει έχει ως συντετγµένες τις ντίστοιχες συντετγµένες του ρχικού πολλπλσισµένες επί τον πργµτικό ριθµό. 4 Στο σχήµ είνι ΟΓ=, Ο = ΟΓ= = 4, άρ ο πολλπλσισµός ριθµού επί διάνυσµ νάγετι σε πολλπλσισµό ριθµού επί πίνκ Πολλπλσισµός πινάκων. Οι ξιωµτικοί που πσχολούντι σε νυτιλική ετιρεί, νά ειδικότητ (πλοίρχοι, µηχνικοί) κι βθµό (Α, Β, Γ τάξεως) φίνοντι στον πίνκ Α. Πλ. Μηχ Α τάξεως Α= Β τάξεως Γ τάξεως Λόγω ιδιίτερ υξηµένης κερδοφορίς, η ετιρεί κτέβλε πέρυσι πριµ σε κάθε ξιωµτικό γέφυρς κι στον ντίστοιχο µηχνής, νεξρτήτως τάξεως. Γι εφέτος προγρµµτίζει ν κάνει το ίδιο προσφέροντς κι ντίστοιχ. Ζητείτι πό το λογιστήριο ν υπολογίσει πόσ χρήµτ δόθηκν πέρυσι στους ξιωµτικούς (πλοιάρχους κι µηχνικούς) κάθε τάξεως ξεχωριστά κι πόσ θ δοθούν εφέτος. Ο λογιστής, θ σχηµτίσει τον x πίνκ Β των bonus κι θ κάνει τις πρκάτω πράξεις: Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 1

22 Πέρυσι Εφέτος Πλοίρχοι Β= Μηχνικοί Γι το περσινό πριµ των ξιωµτικών Α τάξεως (πλοιάρχων κι µηχνικών) έδωσε = = Η πρπάνω διδικσί περιγράφετι µε τη βοήθει πινάκων ως εξής: [ 30 40] = [ ] = [ ] Γι το εφετινό πριµ των ξιωµτικών Α τάξεως (πλοιάρχων κι µηχνικών) θ δώσει = = Η πρπάνω διδικσί περιγράφετι µε τη βοήθει πινάκων ως εξής: [ 30 40] = [ ] = [ ] Γι το περσινό πριµ των ξιωµτικών Β τάξεως (πλοιάρχων κι µηχνικών) έδωσε = = Η πρπάνω διδικσί περιγράφετι µε τη βοήθει πινάκων ως εξής: [ 35 45] = [ ] = [ ] Γι το εφετινό πριµ των ξιωµτικών Β τάξεως (πλοιάρχων κι µηχνικών) θ δώσει = = Η πρπάνω διδικσί περιγράφετι µε τη βοήθει πινάκων ως εξής: [ 35 45] = [ ] = [ ] Γι το περσινό πριµ των ξιωµτικών Γ τάξεως (πλοιάρχων κι µηχνικών) έδωσε = = Η πρπάνω διδικσί περιγράφετι µε τη βοήθει πινάκων ως εξής: [ 50 60] = [ ] = [ ] Γι το εφετινό πριµ των ξιωµτικών Γ τάξεως (πλοιάρχων κι µηχνικών) θ δώσει = = Η πρπάνω διδικσί περιγράφετι µε τη βοήθει πινάκων ως εξής: [ 50 60] = [ ] = [ ] Όλ τ ποτελέσµτ των πρπάνω πράξεων µπορούν ν συνοψιστούν υπό τη µορφή πίνκ διπλής εισόδου ως εξής: ΠΕΡΥΣΙ ΕΦΕΤΟΣ Αξιωµτικοί (Πλοίρχοι & µηχνικοί) Α τάξεως Αξιωµτικοί (Πλοίρχοι & µηχνικοί) Β τάξεως Αξιωµτικοί (Πλοίρχοι & µηχνικοί) Γ τάξεως ή υπό µορφή πίνκ Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών.

23 Πέρυσι Εφέτος Αξιωµτικοί ( Πλοίρχοι & Μηχνικοί) Α τάξεως Γ= Α ξιωµτικοί ( Πλοίρχοι & Μηχνικοί) Β τάξεως Α ξιωµτικοί ( Πλοίρχοι & Μηχνικ οί) Γ τάξεως Ο πίνκς Γ ονοµάζετι γινόµενο του πίνκ Α µε τον πίνκ Β κι συµβολίζετι ΑΒ. Πρτηρούµε ότι το στοιχείο γ 11 προκύπτει ν πολλπλσιάσοµε τ στοιχεί της πρώτης γρµµής του Α µε τ ντίστοιχ της πρώτης στήλης του Β κι θροίσοµε τ γινόµεν. Το στοιχείο γ 1 προκύπτει ν πολλπλσιάσοµε τ στοιχεί της πρώτης γρµµής του Α µε τ ντίστοιχ στοιχεί της δεύτερης στήλης του Β κι θροίσοµε τ γινόµεν, κ.ο.κ. Ορισµός. Αν Α=[ ik ] πίνκς µxν, Β=[β kj ] πίνκς νxρ, ορίζοµε ως γινόµενο του πίνκ Α επί τον πίνκ Β κι συµβολίζοµε ως ΑΒ ή Α Β, τον µxρ πίνκ του οποίου κάθε στοιχείο γ ij είνι άθροισµ των γινοµένων των ν στοιχείων της i γρµµής του Α επί τ ντίστοιχ στοιχεί της j στήλης του Β. ηλδή : γ ij = i1 β 1j + i β j + i3 β 3j + + iν β νj. Σχηµτικά υτό περιγράφετι ως εξής: j στήλη ν 1... ν , i γρµµή µ1 µ... µν Α µxν = i1 i... iν β11 β 1... β 1j... β1ρ β1 β... β j... β ρ κι Β= β i1 β i... β ij... β iρ βν1 β ν... β νj... βνρ j στήλη ν β11 β 1... β 1j... β1ρ 1... ν β1 β... β j... β ρ = i γρµµήi1 i... iνβi1 β i... β ij... βiρ µ1 µ... µν βν1 β ν... β νj... βνρ j στήλη γ11 γ 1... γ 1j... γ1ρ γ1 γ... γ j... γ ρ γi1 γ i... γ ij... γiρ i γρµµή γµ1 γ µ... γ µj... γµρ Κάνοντς µεγέθυνση έχοµε ότι: Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 3

24 Πρτηρούµε ότι ο πολλπλσισµός ΑΒ των πινάκων Α, Β δεν ορίζετι γι όλους τους πίνκες λλά µόνο γι υτούς στους οποίους ο ριθµός των στηλών του πρώτου πίνκ ισούτι µε τον ριθµό των γρµµών του δευτέρου πίνκ. Ορισµός. ύνµη ενός τετργωνικού πίνκ διστάσεως ν, µε εκθέτη φυσικό ριθµό κ k 0 ορίζοµε τον πίνκ Α =ΑΑΑ...Α. Ότν k = 1ορίζοµε 1 Α =Α. κ φορές Εφρµογή. Το πρκάτω δίκτυο προυσιάζει τις συνδέσεις των λιµνιών Λ1, Λ µε τ λιµάνι Λ3, Λ4, Λ5 µίς άλλης χώρς κι τις συνδέσεις υτών µε τ λιµάνι Λ6, Λ7. Ο ριθµός των νυτιλικών ετιρειών που συνδέουν τ λιµάνι φίνετι στο δίκτυο πάνω πό κάθε γρµµή. 1. Ν δοθούν µε τη µορφή πίνκ Α οι πληροφορίες του δικτύου γι τ δροµολόγι πό τ λιµάνι Λ1, Λ προς τ λιµάνι Λ3, Λ4, Λ5.. Οµοίως µε τη µορφή πίνκ Β γι τ δροµολόγι πό τ λιµάνι Λ3, Λ4, Λ5 προς τ λιµάνι Λ6, Λ7. 3. Γράψτε πίνκ Γ που ν δίνει πληροφορίες γι το πλήθος όλων των δυντών δροµολογίων µετξύ των Λ1, Λ κι Λ6, Λ7. 4. Υπολογίστε το γινόµενο ΑΒ κι συγκρίνετε το µε τον πίνκ Γ. Ν γίνει εφρµογή γι a=3, b=6, c=1, d=5, e=, f=3, g=4, h=, i=1. 1. Οι πληροφορίες δίνοντι πό τον πίνκ διπλής εισόδου κθώς κι τον πίνκ Α Λ3 Λ4 Λ Α= Λ1 a=3 b=6 c=1 0 5 Λ 0 d=5 h=. Οι πληροφορίες δίνοντι πό τον πίνκ διπλής εισόδου κθώς κι τον πίνκ Β Λ6 Λ7 0 0 Λ3 0 0 Β= 1 Λ4 i=1 e= 4 3 Λ5 g=4 f=3 Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 4

25 3. Οι πληροφορίες δίνοντι πό τον πίνκ διπλής εισόδου κθώς κι τον πίνκ Γ Λ6 Λ Γ= Λ1 bi + cg = = 10 be +cf = = Λ di + hg = =13 de + hf= =16 4. Εκτελούµε τις πράξεις κι πρτηρούµε ότι ΑΒ = Γ ΑΒ= 1 = =Γ Η µπίλι στο πρκάτω σχήµ µπορεί ν κινηθεί πό την κορυφή του πλέγµτος προς τ κάτω, µόνο πλγίως, όπως δείχνουν τ βέλη κι µόνο κτά έν τετράγωνο την κάθε φορά. () Ν συµπληρωθούν οι πρκάτω κινήσεις της πό γρµµή σε γρµµή του πλέγµτος κολουθώντς τον εξής κνόν: Γράφοµε 1 ν η µπίλι µπορεί ν µετκινηθεί πό το έν τετράγωνο στο άλλο κι 0 ν δεν µπορεί. Στο γ1 γ γ3 γ4 Στο 1 Στο β1 β β3 β , , Από την ρχή Από Απόβ , β Στο ε1 ε ε3 ε4 ε5 ε6 Στο δ1 δ δ3 δ4 δ5 δ γ γ δ Από,. Απόδ γ δ γ δ (β) Αν Α 1,Α,Α 3,Α 4,Α 5 είνι κτά σειρά οι πρπάνω πίνκες, ν βρεθεί το γινόµενο Α 1 Α Α 3 Α 4 Α 5 κι ν εξηγηθεί τι πριστάνει. 3x y=3 Εφρµογή. Το γρµµικό σύστηµ µπορεί µε χρήση πινάκων ν γρφεί 5x+y= µε τη µορφή Α Χ=Β, όπου Α= 5 ο πίνκς των συντελεστών των γνώστων Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 5

26 x Χ = y ο πίνκς των γνώστων κι 3 Β= 16 ο πίνκς των στθερών όρων. Το γρµµικό σύστηµ x + y + z = 8 x y + 3z = 15 ν γρφεί στη µορφή ΑΧ=Β. 3x y z 3 + = Ιδιότητες πολλπλσισµού πινάκων. 1. Ο πολλπλσισµός πινάκων δεν είνι πράξη ντιµετθετική, όπως ο πολλπλσισµός πργµτικών ριθµών, διότι υπάρχουν οι εξής πέντε περιπτώσεις: () Ν µην ορίζοντι τ ΑΒ κι ΒΑ. Π.χ. Α, Β (β) Ν ορίζετι µόνο το ΑΒ λλά όχι το ΒΑ. Π.χ. Α 1Χ, Β Χ3 (γ) Ν ορίζετι µόνο το ΒΑ λλά όχι το ΑΒ. Π.χ. Β 3Χ4, Α 4Χ1 (δ) Ν ορίζοντι τ ΑΒ, ΒΑ, λλά ν είνι πίνκες διφορετικών διστάσεων, άρ όχι ίσοι µετξύ τους. Π.χ. Α Β (ΑΒ) κι Β Α (ΒΑ). Χ3 3Χ Χ 1Χ 3Χ Χ3 3Χ3 (ε) Ν ορίζοντι τ ΑΒ, ΒΑ ν είνι πίνκες ιδίων διστάσεων λλά ΑΒ ΒΑ. 3Χ4 Π.χ. Αν Α= 1 4 κι Β= 7 τότε ΑΒ= = = ΒΑ= = = Πιθνό στην εκφώνηση κάποιων σκήσεων, ν νφέρετι ότι ΑΒ=ΒΑ. Αυτό είνι µί ειδική περίπτωση, δεν είνι κάτι γενικό κι σε κµί περίπτωση δε σηµίνει ότι ισχύει η ντιµετθετική ιδιότητ στον πολλπλσισµό πινάκων.. Αν ΑΒ=Ο δε συνεπάγετι ότι Α=Οή Β=Ο όπως συµβίνει στους πργµτικούς ριθµούς Αν Α= Ο 1 0, Β= Ο 0 1 τότε ΑΒ= = =Ο Αν κ,λ Rκι Α, Β, Γ πίνκες, ισχύουν οι πρκάτω ιδιότητες υπό την προϋπόθεση ότι ορίζοντι οι πράξεις που σηµειώνοντι. Α (Β+Γ) = ΑΒ + ΑΓ επιµεριστική Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 6

27 (Β+Γ) Α = ΒΑ + ΓΑ επιµεριστική (κα) (λβ) = (κλ) ΑΒ λ(αβ) = (λα)β = Α (λβ) ΑΙ ν = Ι µ Α =Α όπου µ, ν οι διστάσεις του Α. Αν Α οποιοσδήποτε τετργωνικός πίνκς διάστσεως ν, ισχύει ΑΙ ν = Ι ν Α=Α. Α (ΒΓ) = (ΑΒ) Γ προσετιριστική Η ιδιότητ υτή επιτρέπει ν γράφοµε ΑΒΓ γι κθέν πό τ ίσ γινόµεν Α(ΒΓ), (ΑΒ)Γ. Αν Α, Β, Γ, πίνκες τέτοιοι ώστε ν ορίζοντι τ γινόµεν ΑΒ, ΒΓ, Γ, έχοµε: (ΑΒ)(Γ ) = [(ΑΒ)Γ] = Α[Β(Γ )] = [Α(ΒΓ)] κι µπορούµε ν γράφοµε ΑΒΓ γι κθέν πό τ γινόµεν υτά. Γενικά επειδή ισχύει η προσετιριστική ιδιότητ, µπορεί ν ποδειχθεί ότι ότν πολλπλσιάζοµε ένν ριθµό πινάκων Α 1, Α, Α 3, Α ν-1,α ν, το γινόµενο θ είνι ίδιο κτά οποιονδήποτε τρόπο κι ν εκτελεστεί ο πολλπλσισµός, χωρίς όµως ν λλάξει η σειρά των πργόντων κι συµβολίζετι Α 1 Α Α 3 Α ν-1 Α ν. 4. Αν κ,λ φυσικοί ριθµοί διάφοροι του µηδέν κι ρ πργµτικός ριθµός ισχύουν: Α κ Α λ = Α κ+λ, (Α κ ) λ = Α κλ, (ρα) κ = ρ κ Α κ, 1 Α =Α, ( ) κ ν Ι =Ι,κ 0. ν 5. Αν Α πίνκς νxµ, Β πίνκς µxρ τότε (ΑΒ) Τ = Β Τ Α Τ. Επγωγικά ποδεικνύετι ότι: ( ) Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Α 1Α Α 3... Α ν =Α ν Α ν-1 Α ν-... Α3Α Α Αν Α, Β διγώνιοι πίνκες διστάσεως ν τότε οι ΑΒ, ΒΑ είνι διγώνιοι κι ΑΒ=ΒΑ. 3 ν ν 0 7. Αν Α= 0 β τότε Α =, Α = 0 β 3,, Α = 0 β νόπου ν 0 β φυσικός ριθµός Επίσης ν Β= 0 β τότε Β = 0 β 0, Β = 0 β 0,, 0 0 γ 0 0 γ γ ν 0 0 ν ν Β = 0 β 0 όπου ν φυσικός ριθµός. ν 0 0 γ 8. Αν γι τους πίνκες Α, Β, Γ ισχύει ότι ΑΒ=ΑΓ, δε συνεπάγετι ότι Β=Γ (νόµος διγρφής). Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 7

28 Π.χ. Θεωρούµε τους Α= 3 6, Β= 1 1, Γ= 0. Προφνώς Β Γ. 1 Όµως ΑΒ=ΑΓ= 3 6. Πρτήρηση. Αν Α πίνκς διστάσεως µxν δείξτε ότι οι πίνκες ΑΑ Τ κι Α Τ Α είνι συµµετρικοί. Απόδειξη Τ Τ Τ Γνωρίζοµε ότι (ΑΒ) =Β Α κθώς επίσης ότι ν Α=Α Τ τότε ο πίνκς Α είνι συµµετρικός. Τ Τ Αφού ( Α Α ) ( ) Τ Οµοίως ( Α Α ) Α ( Α ) = Α Α = Α Α, θ είνι ο πίνκς ΑΑ Τ συµµετρικός. Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ = = Α Α. Συνεπώς ο πίνκς Α Τ Α είνι συµµετρικός. Αδύνµος ονοµάζετι ο τετργωνικός πίνκς Α νxν γι τον οποίο ισχύει Α =Α. Ένς δύνµος πίνκς ονοµάζετι κι περιοδικός µε περίοδο 1. Οι δύνµοι πίνκες έχουν πολλές εφρµογές στη σττιστική. Ορθογώνιος ονοµάζετι ο τετργωνικός Α νχν γι τον οποίο ισχύει AA T = A T A = I. Εξετάστε ν είνι ορθογώνιος ο cosθ sinθ Α= sinθ cosθ Πρδείγµτ κι σκήσεις. Εφρµογή. Εµπορική επιχείρηση έχει υποκτστήµτ σε Αθήν, Θεσσλονίκη κι Ηράκλειο, πό τ οποί πούλησε σε µί ηµέρ, τρί προϊόντ σε ποσότητες νά υποκτάστηµ, όπως φίνετι στον πρκάτω πίνκ. ΠΡΟΙΟΝ 1 ΠΡΟΙΟΝ ΠΡΟΙΟΝ 3 ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ Laptop Printer Scanner ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αν οι τιµές πωλήσεως γι τ προϊόντ 1,, 3 είνι 600, 50, 40 ντίστοιχ, νεξάρτητ πό το υποκτάστηµ που πωλούντι, ν βρεθούν µε τη βοήθει των πράξεων των πινάκων τ έσοδ του κάθε υποκτστήµτος. Ο 3x3 πίνκς Α δείχνει τις πωλήσεις νά προϊόν κι υποκτάστηµ. Ο 3x1 πίνκς Β δείχνει τις τιµές πωλήσεως κάθε προϊόντος. Ο 3x1πίνκς Γ =Α Β δείχνει τ έσοδ κάθε υποκτστήµτος. Lap Pr Scan Αθήν Α 3Χ3= Θεσ/νίκη Ηράκλειο 600 Laptop B 3X1= 50 Printer 40 Scanner Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 8

29 Γ=Α3x3B 3x1= = = Αθήν = = Θεσ/νίκη Ηράκλειο Π.χ. Θεωρούµε τους πίνκες Α= 1, Β= 4 1. είξτε ότι Ποιο είνι το συµπέρσµ σς Είνι : Α = ΑΑ = = κι Α +Β =(Α+Β) Β = ΒΒ = = άρ 4 0 Α +Β = Επίσης είνι (Α+Β) = (Α+Β)(Α+Β) = = Άρ Α +Β = (Α+Β). Το συµπέρσµ είνι ότι γενικά στους πίνκες δεν ισχύουν οι τυτότητες που γνωρίζµε στους πργµτικούς ριθµούς διότι δεν ισχύει στους πίνκες η ντιµετθετική ιδιότητ του πολλπλσισµού. Στο συγκεκριµένο πράδειγµ µπορούµε ν υπολογίσουµε τον (Α+Β) κι ως εξής: (Α+Β) =(Α+Β)(Α+Β)=Α +ΑΒ+ΒΑ+Β. Χρκτηρίστε ως σωστές ή λάθος τις πρκάτω προτάσεις ιτιολογώντς τις πντήσεις σς: 1. Γι ν ορίζετε ο Α πρέπει ο πίνκς Α ν είνι τετργωνικός.. Αν Α πίνκς x τότε ισχύει ότι Α Α = Α Α. 3. Αν ο Α έχει διστάσεις µxν κι ισχύει ότι Α Ι ν = Ι ν Α = Α τότε είνι µ=ν. 4. Αν ο Α είνι x3 κι ο Β 3x, τότε ορίζοντι τ Α Β, Β Α κι Α Β= Β Α. Ποιοι πό τους πρκάτω πίνκες είνι σίγουρ ίσοι µε τον (Α+Β) ; (1) (Β+Α) () Α +ΑΒ+ Β (3) Α(Α+Β) + Β(Α+Β) (4) Α +ΑΒ+ΒΑ+Β Σηµειώστε την σωστή πάντηση. 1. Αν δύο πίνκες είνι x3 τότε ορίζετι: () Το άθροισµ τους (β) Το γινόµενο τους (γ) Κι τ δύο (δ) Τίποτ πό τ δύο. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 9

30 . Αν γι δύο πίνκες x ισχύει Α =Β, τότε: () Α=Β (β) Α = Β (γ) Ισχύουν κι τ δύο (δ) Μπορεί ν µην ισχύει κνέν πό τ δύο. 3. Αν γι δύο πίνκες διστάσεως νxν ισχύει (Α Β) = Ο, τότε: () A=B (β) Α = Β = Ο (γ) εν είνι πρίτητο ν ισχύουν τ (), (β). 4. Αν γι τον τετργωνικό πίνκ Α, διστάσεως ισχύει ότι Α = Ο, τότε: () A = I (β) Α = Ο (γ) εν είνι πρίτητο ν ισχύουν τ (), (β). Οι διστάσεις που πρέπει ν έχουν δύο πίνκες Α, Β ντίστοιχ, ώστε ν ορίζετι το γινόµενο τους κι ν είνι πίνκς στοιχείο είνι: () µxν, νx1 (β) 1xν, νx1 (γ) 1xν, νxλ. Αν Α, Β τετργωνικοί πίνκες ιδίου τύπου δείξτε ότι ( ) Α Β =Α ΑΒ ΒΑ+Β. Πότε ισχύει η ισότητ ( ) Α±Β =Α ±ΑΒ+Β ; Βιοµηχνί επίπλων έχει δύο εργοστάσι Ε 1, Ε. Οι πίνκες Α, Β δίνουν τις ώρες εργσίς που πιτούντι γι την κτσκευή κάθε επίπλου κι τις ωριίες µοιβές σε ευρώ ( ) του προσωπικού ντιστοίχως. Κτσκευή Βάψιµο Συσκευσί Ε Ε 1 0,5 0,3 Τρπέζι 5 6 Κτσκευή Α= 1 0,5 0, Κρεβάτι Β= 4 5 Βάψιµο 0,5 0, 0,1 Κρέκλ 3 Συσκευσί Βρείτε τον ΑΒ κι εξηγήστε τι εκφράζει. Ποιο το κόστος εργσίς γι την πργωγή µίς κρέκλς στο εργοστάσιο Ε 1 κι ενός τρπεζιού στο Ε ; Έστω τετργωνικοί πίνκες Α, Β διστάσεως 3. Σηµειώστε ποιους πό τους πρκάτω ισχυρισµούς θεωρείτε σωστούς ή λάθος. ικιολογήστε την πάντηση σς στους σωστούς ισχυρισµούς κι δώστε έν ριθµητικό ντιπράδειγµ στους λάθος. () Αν η πρώτη κι τρίτη στήλη του Β είνι ίδιες, τότε η πρώτη µε την τρίτη στήλη του ΑΒ είνι ίδιες. (β) Αν η πρώτη κι τρίτη γρµµή του Β είνι ίδιες, τότε η πρώτη µε την τρίτη γρµµή του ΑΒ είνι ίδιες. (γ) Αν η πρώτη κι τρίτη γρµµή του Α είνι ίδιες, τότε η πρώτη µε την τρίτη γρµµή του πίνκ ΑΒ είνι ίδιες. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 30

31 Βρείτε, µε δοκιµές, πίνκες x τέτοιους ώστε: () (β) Α = Ι µε στοιχεί του Α πργµτικούς ριθµούς. Β =Ο µε κάποι στοιχεί του Β διάφορ του µηδέν. (γ) Γ = Γ, µε Γ Ο (δ) ΕΖ =Ο, µε όλ τ στοιχεί των Ε κι Ζ µη µηδενικά. είξτε ότι το γινόµενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων διστάσεως 3 είνι άνω τριγωνικός ίδις διστάσεως. Αν γι τους Α, Β ορίζοντι τ Α+Β, ΑΒ δείξτε ότι οι πίνκες είνι τετργωνικοί. Γι π x kπ+, k Zδείξτε ότι cos x tan x sin x cos x sin x sin x cos x + cos x sin x = Στοιχειώδεις πράξεις επί των γρµµών πίνκ - Βθµός πίνκ. Αν ένς πίνκς έχει µί µόνο γρµµή κι ν στήλες, τότε ονοµάζετι πίνκς γρµµή ή διάνυσµ γρµµή. Αν έχει µόνο µί στήλη κι µ γρµµές ονοµάζετι πίνκς στήλη ή διάνυσµ στήλη. Έτσι µπορούµε γι τον πίνκ Α=[ ij ], i=1,,3,,µ, j=1,,3,,ν ν λέµε ότι τ δινύσµτ γρµµές υτού είνι τ: Γ 1= [ ν], [ 1 ν] Γ =...,, Γ µ = µ1 µ... µν κι τ δινύσµτ στήλες υτού είνι τ: ν 1 Σ 1=, Σ... = ν,, Σ... ν =.... µ1 µ µν Ορισµός. Τ δινύσµτ στήλες Σ 1, Σ,,Σ κ του πίνκ Α µxν ονοµάζοντι γρµµικώς εξρτηµέν ν κι µόνο ν υπάρχουν πργµτικοί ριθµοί λ 1, λ,, λ κ µε ένν τουλάχιστο διάφορο του µηδέν, ώστε λ 1 Σ 1 + λ Σ + +λ κ Σ κ = Ο, όπου Οο µηδενικός πίνκς µx1. Γι τ δινύσµτ γρµµές έχοµε τον ίδιο ορισµό µόνο που το Οτου δευτέρου µέλους συµβολίζει το µηδενικό πίνκ 1xν. 1 Π.χ. Αν Σ 1= 3 4 Σ =10 Σ Σ = τότε οι στήλες Σ 1, Σ είνι γρµµικώς εξρτηµένες διότι 30 40, Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 31

32 Οµοίως ν Γ = [ 5 6 7], Γ = [ ] γρµµικώς εξρτηµένες διότι Γ = 3 Γ 1. 1, τότε οι γρµµές Γ 1, Γ είνι Ορισµός. Τ δινύσµτ στήλες Σ 1, Σ,,Σ κ λέγοντι γρµµικώς νεξάρτητ ότν η σχέση λ 1 Σ 1 +λ Σ + +λ κ Σ κ =Ο, όπου λ 1, λ,, λ κ πργµτικοί ριθµοί κι Οο µηδενικός πίνκς µx1, ισχύει µόνο ότν λ 1 =λ = =λ κ =0. Όµοιο ορισµό έχοµε κι γι τις γρµµικώς νεξάρτητες γρµµές Γ 1,Γ,,Γ κ µόνο που µε Ο συµβολίζοµε το µηδενικό πίνκ 1xν. 1 0 Π.χ. Αν Σ 1= 0, Σ = 1 τότε οι στήλες Σ 1, Σ γρµµικώς νεξάρτητες διότι 1 0 λ1 λ1 λσ 1 1+λΣ =λ 1 +λ = 0 1 λ κι πό λσ 1 1 +λ Σ =Ο έχοµε =Ο λ άρ λ 1=λ =0. Ορισµός. Σε κάθε πίνκ Α το µέγιστο πλήθος ρ των γρµµικώς νεξάρτητων στηλών ή γρµµών του, ονοµάζετι βθµός του πίνκ κι συµβολίζετι rank Α=ρ. Πορίσµτ. 1.Αν ο Α είνι διστάσεων µxν κι ρ ο βθµός υτού τότε ρ µ κι ρ ν..αν ρ ο βθµός πίνκ, τότε υπάρχουν ρ στήλες ή ρ γρµµές υτού που είνι γρµµικώς νεξάρτητες, ενώ οποιεσδήποτε ρ+1 στήλες ή ρ+1 γρµµές υτού είνι γρµµικώς εξρτηµένες Π.χ. Ν βρεθεί ο βθµός του Α= Ο πίνκς έχει 3 γρµµές κι στήλες. Άρ rank A 5. Επειδή Σ 1 = Σ οι στήλες Σ 1 κι Σ είνι γρµµικά εξρτηµένες άρ rank A 4. Οι Σ 1,Σ 3,Σ 5 είνι γρµµικά νεξάρτητες διότι λσ 1 1+λΣ 3 3+λΣ 5 5 =Ο ισοδυνµεί µε λ1 0 λ = 0. Άρ 3 rank A 4. Πρτηρούµε ότι ισχύει 3Σ 1 +5Σ 3 +0Σ 5 = Σ 4 άρ οι Σ 1 3 λ 5 0,Σ 3, Σ 5, Σ 4 γρµµικά εξρτηµένες άρ rank A=3. Ασκήσεις Ν ποδειχθεί ότι rank Α=, rank B=3, όπουα= 0 1, Β= Αντιστρέψιµοι πίνκες. Ορισµός ντιστρόφου πίνκ Αντιστρέψιµοι πίνκες. Ορισµός ντιστρόφου πίνκ. Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 3

33 Γνωρίζοµε ότι γι κάθε πργµτικό ριθµό a 0υπάρχει ο ντίστροφος του, που συµβολίζετι ως 1 ή 1, γι τον οποίο ισχύει ότι 1 1 = =1. Ανρωτιόµστε ν κάτι ντίστοιχο συµβίνει κι στους πίνκες. ηλδή ν δοθέντος του πίνκ Α υπάρχει πίνκς Χ τέτοιος ώστε ΑΧ=ΧΑ=Ι. Ορισµός. Έστω Α τετργωνικός πίνκς διστάσεως ν. Αν υπάρχει τετργωνικός πίνκς διστάσεως ν τέτοιος ώστε ΑΧ=ΧΑ=Ι ν, τότε ο Α ονοµάζετι ντιστρέψιµος 1 κι ο πίνκς Χ ντίστροφος του Α κι συµβολίζετι ως Α. Είνι προφνές εκ του ορισµού, ότι ντίστροφος του ντιστρόφου, είνι ο 1 ίδιος ο πίνκς, δηλδή ( ) 1 Α =Α. 1 1 Π.χ. Αν Α= 3 4, Χ= 3 1 τότε ΑΧ=ΧΑ=Ι, άρ ο Χ είνι ντίστροφος του Α είξτε ότι ο Χ είνι ντίστροφος του Α, ότν Α= 1 3, Χ= 1. Πρτήρηση. Αν ο τετργωνικός νxν πίνκς Α έχει ντίστροφο, τότε υτός είνι µονδικός. Απόδειξη. 1 1 Έστω ότι ο Α δεν έχει ως ντίστροφο του µόνο τον Α, λλά κι τον Β. Τότε ισχύουν ΑΑ =Α Α=Ι κι ΑΒ =Β Α=Ι. Θ δείξοµε ότι Α =Β Β =Β Ι=Β ΑΑ = Β Α Α =ΙΑ =Α. Πράγµτι ( ) ( ) Πρτήρηση. 1 Τ Αν Α ντιστρέψιµος πίνκς τότε ο Α Τ Τ 1 είνι ντιστρέψιµος κι ( Α ) = ( Α ) Απόδειξη. Αφού ο πίνκς Α είνι ντιστρέψιµος ισχύει ότι Τ Άρ ( ) ( ) Τ 1 1 Τ ΑΑ = Α Α =Ι 1 1 ΑΑ =Α Α=Ι Τ Τ 1 Τ Τ 1. Συνεπώς ( ) ( ) Α Α =Α Α =Ι. ηλδή ο Α Τ είνι ντιστρέψιµος κι ντίστροφος του είνι ο 1 Τ Τ 1 ισχύει ότι ( Α ) ( Α ) =.. 1 ( Α ) Τ. ηλδή. Πρτήρηση. Τ Τ Αν Α ορθογώνιος νxν πίνκς τότε Α Α = Α Α= Ι. Άρ ορθογώνιοι πίνκες είνι ντιστρέψιµοι. 1 Τ Α =Α. Συνεπώς οι Π.χ. Αν Α, Β ντιστρέψιµοι πίνκες κι ΑΒ=Α, ΒΑ=Β, δείξτε ότι Α =Α κι Β =Β. ΕίνιΑ =ΑΑ= ( ΑΒ) Α=Α( ΒΑ ) =ΑΒ=Α κι Β =ΒΒ= ( ΒΑ) Β=Β( ΑΒ ) =ΒΑ=Β Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 33

34 Π.χ. Αν Α, Β ντιστρέψιµοι κι ΑΒ=ΒΑ, δείξτε ότι 1 1 ΑΒ Β ΒΑ Β 1 1 ΑΒ =Β Α 1 1 κι Α Β= ΒΑ. 1 1 Α ΒΒ = Β ΑΒ άρ Είνι ΑΒ=ΒΑ άρ ( ) = ( ) άρ ( ) ( ) 1 ΑΙ=Β( ΑΒ ) άρ Α Β( ΑΒ = ) άρ Β Α=Β Β( ΑΒ ) Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) άρ Β Α= Ι( ΑΒ ) άρ Β Α= ΑΒ. Οµοίως ποδεικνύετι κι ότι 1 1 Α Β= ΒΑ. Ιδιότητες των ντιστρέψιµων πινάκων. 1.Ο µηδενικός νxν πίνκς δεν είνι ντιστρέψιµος.. Ο µονδιίος νxν πίνκς Ι είνι ντιστρέψιµος κι 1 Ι=Ι. 3. Αν Α ντιστρέψιµος τότε ο Α ν ντιστρέψιµος µε ( ) ( ) 1 ν ν 1 ν Α = Α = Α. 4. Αν Α, Β ντιστρέψιµοι πίνκες τότε ο ΑΒ ντιστρέψιµος µε ( ) ΑΒ =Β Α. Η ιδιότητ υτή επεκτείνετι κι γι περισσότερους πίνκες. Αν Α 1, Α, Α 3,, Α ν είνι ντιστρέψιµοι τότε ποδεικνύετι ότι ο Α 1 Α Α 3. Α ν ντιστρέψιµος κι ( ) ΑΑ 1 Α 3...Α ν =Α ν...α3αα1 Ειδικά γι 3 πίνκες ισχύει ότι ( ) ΑΒΓ Γ Β Α =. 5.Αν Α, Β ντιστρέψιµοι πίνκες κι Α=Β τότε 1 1 Α =Β. 6. Αν Α ντιστρέψιµος πίνκς κι ΑΒ=ΑΓ ή ΒΑ=ΓΑ τότε είνι Β=Γ. 7. Αν Α ντιστρέψιµος πίνκς κι ΑΒ= Οή ΒΑ=Οτότε είνι Β=Ο. 8. Αν ΑΒ=Ι οι Α, Β πίνκες είνι ντιστρέψιµοι µε 1 Α =Β κι 1 Β =Α. 9. Αν Α, Β ντιστρέψιµοι δεν έπετι ότι οι Α+Β ή Α Β είνι ντιστρέψιµοι. Έτσι ν Α ντιστρέψιµος πίνκς δεν έπετι ότι ο Α+ λι είνι ντιστρέψιµος. Αν ο πίνκς Α είνι ντιστρέψιµος, δείξτε ότι κι ο πίνκς λ Α, λ 0είνι 1 λα = Α. λ ντιστρέψιµος κι ισχύει ( ) Εύρεση ντιστρόφου x πίνκ. β Θεωρούµε πίνκ Α= γ δ κι θ εξετάσοµε ν υπάρχει ο ντίστροφος του. Έστω 1 x y 1 1 ότι υπάρχει κι είνι ο Α = z ω.τότε πό ΑΑ = Α Α= Ι έχοµε ισοδύνµ β x y 1 0 = γ δ z ω 0 1 άρ x+βz y+βω 1 0 = γx+δz γy+δω 0 1 άρ άρ Στέφνος Ι. Κρνβάς, Μθηµτικός (Μ.Εd.), Επίκουρος Κθηγητής Α.Ε.Ν. Οινουσσών. 34